Вписанная и описанная окружности — справочник студента

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Вписанная окружность

Здесь мы будем говорить об окружностях, связанных с треугольником. Оставим пока в стороне страшное слово «вневписанная» и поговорим об окружности, вписанной в треугольник. Итак, что же это такое?

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!
Вписанная и описанная окружности - Справочник студента Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех (трёх) его сторон.

Для всякого ли треугольника можно подобрать такую окружность? И как найти ее центр?

На эти вопросы отвечает следующая теорема (математически называют очень важные утверждения теоремами)

Вписанная и описанная окружности - Справочник студента Во всякий треугольник можно вписать окружность, причём единственным образом. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

И повторим ещё раз то, что очень нужно запомнить.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.
  • Если тебя заинтересовал вопрос, а почему это все три биссектрисы обязаны пересечься, и какое отношение имеют биссектрисы к тому, что окружность касается сторон треугольника, то добро пожаловать к темам «Биссектриса».
  • Но для начала хватит просто запомнить то, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.
  • Теперь немножко о радиусе.
Вписанная и описанная окружности - Справочник студента Посмотри, пусть у нас в   вписана окружность с центром  . Тогда отрезки  ,  , и   – радиусы этой окружности.

Поэтому они, конечно же, равны, но ещё – они все перпендикулярны сторонам. Это происходит оттого, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Итак, запомни и используй:

Радиусы вписанной окружности, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам треугольника.

Что же ещё? Давай представим, что мы откуда-то узнали все три стороны треугольника.

Вписанная и описанная окружности - Справочник студента

Можно ли найти как-то отрезочки  ,  ,   и.д. — отрезки, на которые точки касания разбивают стороны треугольника? Представь себе, можно, и даже очень легко. Для этого нужно знать только то, что отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны (если ещё не успел это узнать – загляни в тему «Касательные, касающиеся окружности»).

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Ограниченность классического определения вероятности, статистическая вероятность и геометрические вероятности - справочник студента

Оценим за полчаса!

Итак, начнём поиск!

Посмотри внимательно: из точки   проведено две касательных, значит их отрезки   и   равны.

Вписанная и описанная окружности - Справочник студента Мы обозначим их « ». Далее, точно так же:   (обозначили).   (обозначили).

Теперь вспомним-ка, что мы знаем длины всех трёх сторон треугольника. Обозначим эти длины « », « », « » — смотри на рисунок. Что же теперь получилось? А вот, например, отрезок « » состоит из двух отрезков « » и « », да и отрезки « » и « » тоже из чего-то состоят. Запишем это всё сразу:

Ух ты! Выход в алгебру! Три уравнения и три неизвестных! Сейчас решим!

  1. Сложим первые два уравнения и вычтем третье:
  2.  , то есть:
  3. А теперь сложим первое и третье уравнение и вычтем второе:
  4.  , то есть:
  5. И последний шаг: сложим второе и третье, а потом вычтем первое.
  6. Ну вот, всё нашли:

Очень много плюсов и минусов – аж в глазах рябит. Как же это запомнить? А оказывается, очень просто. Смотри-ка на картинку и формулу сразу.

Вписанная и описанная окружности - Справочник студента

Секрет вот в чём: те стороны, на которых есть « » (« » и « ») будут с плюсом, а та сторона, где нет « » (это « »), будет с минусом. Ну, а пополам поделить всё хозяйство. С другими буквами точно так же

На « » и « » есть « » — они с плюсом, на « » нет « » — она с минусом

На « » и « » есть « » — они с плюсом, на « » нет « » — она с минусом.

Вписанная окружность и площадь

Вписанная и описанная окружности - Справочник студента

  • Здесь скажем совсем коротко:
  • Есть такая формула:
  •  ,
  • где   — это полупериметр треугольника, то есть  , а   — радиус вписанной окружности.

Вневписанная окружность

Ну вот, пора приступать к самому непонятному. Что же это за зверь такой: «вневписанная окружность»? Сначала посмотри на картинку:

Вписанная и описанная окружности - Справочник студента

Видишь, окружность тоже чего-то касается, но «сидит» как-то снаружи, вне треугольника? Вот поэтому и называется вневписанной.

Окружность называется вневписанной для треугольника, если она касается ОДНОЙ стороны треугольника и продолжений двух других сторон.

А как ты думаешь, сколько у одного треугольника может быть вневписанных окружностей? Вот, представь себе, аж три!

Посмотри, вот, так:

Вписанная и описанная окружности - Справочник студента

Захватывает дух? Насладись впечатлением. Подробное обсуждение этой картинки смотри в следующих уровнях теории. Там ответим на всякие вопросы, типа

  1. — A откуда взялся  ?
  2. — A что это за точка  ?
  3. — И что это вообще за тьма линий на рисунке?
  4. А сейчас вернёмся к одной, какой-нибудь, вневписанной окружности и узнаем всего один, но очень важный факт.

Вписанная и описанная окружности - Справочник студента

  •  ,
  • или, что то же самое:  , где   — полупериметр.
  • Доказывать не будем, но ещё раз посмотри и запомни:
до «дальней» точки касания вневписанной окружности – ровно полупериметр.

Вписанная и вневписанная окружность

Вписанная в треугольник окружность — окружность, которая касается всех (трёх) сторон треугольника.

Теорема: В любой треугольник можно вписать окружность, причём единственным образом.

  • Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.
  • Радиусы вписанной окружности, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам треугольника:

 ,  ,  .

  • Отрезки от вершин треугольника до точек касания выражаются по формулам:

 .

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности:  , где   — полупериметр треугольника, а   — радиус вписанной окружности.

Вневписанная окружность — окружность, которая касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон.

  • Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы внутреннего угла треугольника ( ) и биссектрис двух внешних углов (  и  ).

Площадь треугольника через радиус вневписанной окружности:  , где   — полупериметр треугольника, а   — радиус вневписанной окружности.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

  1. Стать учеником YouClever,
  2. Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 
  3. А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

 

Источник: https://youclever.org/book/vpisannaya-i-vnevpisannaya-okruzhnost-1

Вписанная и описанная окружности. Видеоурок. Геометрия 8 Класс

Тема: Окружность

Урок: Вписанная и описанная окружности

Прежде всего, речь идет о вписанных и описанных окружностях относительно треугольника. Мы подготовлены к этой теме, так как изучили свойства биссектрис и серединных перпендикуляров треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность (см. Рис. 1).

Вписанная и описанная окружности - Справочник студента

Рис. 1

Доказательство:

Мы знаем, что все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке – пусть в точке О. Проведем биссектрисы АО, ВО, СО. Точка их пересечения О равноудалена от сторон треугольника. Она равноудалена от сторон угла  – АС и АВ, так как принадлежит биссектрисе этого угла. Аналогично она равноудалена от сторон углов  и , таким образом, от трех сторон треугольника.

Опустим перпендикуляры из точки О на стороны треугольника – ОМ на сторону АС, OL – на ВС, ОК – на АВ. Эти перпендикуляры и будут расстояниями от точки О до сторон треугольника, и они равны:

Вписанная и описанная окружности - Справочник студента

Обозначим расстояние от точки О до сторон треугольника за r и рассмотрим окружность с центром в точке О и радиусом r.

Окружность касается прямой АВ, т.к. имеет с ней общую точку К, и радиус ОК, проведенный в эту точку, перпендикулярен прямой АВ. Аналогично окружность касается прямых АС и ВС. Таким образом, окружность касается всех тех сторон треугольника, значит, она вписана в треугольник.

Итак, три биссектрисы треугольника пересекаются в точке, являющейся центром вписанной окружности.

Рассмотрим еще одну теорему, она касается точки пересечения серединных перпендикуляров треугольника. Мы знаем, что они пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром описанной около треугольника окружности.

Около любого треугольника можно описать окружность.

Итак, задан треугольник . Проведем серединный перпендикуляр р1 к стороне треугольника ВС, р2 – к стороне АВ, р3 – к стороне АС (см. Рис. 2).

Вписанная и описанная окружности - Справочник студента

Согласно теореме о свойствах серединных перпендикуляров, точка, принадлежащая серединному перпендикуляру к отрезку, равноудалена от концов отрезка. Отсюда , т.к. точка Q принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку АС. Аналогично  и . Таким образом, точка Q равноудалена от вершин треугольника. Отсюда QA, QB, QC – радиусы

Вписанная и описанная окружности - Справочник студента

Рис. 2

окружности, описанной около треугольника . Обозначим радиус за R. Точка О пересечения серединных перпендикуляров – центр описанной окружности.

Рассмотрим окружность, вписанную в некий четырехугольник, и свойства этого четырехугольника (см. Рис. 3).

  • Вспомним свойства точки, лежащей на биссектрисе угла.
  • Задан угол , его биссектриса – AL, точка М лежит на биссектрисе.
  • Если точка М лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон угла, то есть расстояния от точки М до АС и до ВС сторон угла равны.

Вписанная и описанная окружности - Справочник студента

Рис. 3

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра. Проведем из точки М перпендикуляры МК к стороне АВ и МР к стороне АС.

Рассмотрим треугольники  и . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т.к. имеют общую гипотенузу АМ, а углы  и  равны, так как AL – биссектриса угла . Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу, отсюда следует, что , что и требовалось доказать. Таким образом, точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Кроме того, катеты . Таким образом, отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

Итак, вернемся к четырехугольнику. Первым действием нужно провести в нем биссектрисы.

Все биссектрисы четырехугольника пересекаются в одной точке – точке О, центре вписанной окружности.

Из точки О опускаем перпендикуляры к сторонам четырехугольника в точки K, L, M, N и определяем точки касания (см. Рис. 3).

Касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны между собой, таким образом, из каждой вершины выходит пара равных касательных: , , , .

Вписанная и описанная окружности - Справочник студента

Рис. 3

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. Это легко доказать:

Вписанная и описанная окружности - Справочник студента

; ; ; ;

Вписанная и описанная окружности - Справочник студента

Раскроем скобки:

Вписанная и описанная окружности - Справочник студента

  1. Таким образом, мы доказали простую, но важную теорему.
  2. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
  3. Справедлива обратная теорема.
  4. Если в четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.
  5. Рассмотрим окружность, описанную около четырехугольника.

Заданы окружность с центром О и произвольный четырехугольник ABCD. Рассмотрим свойства этого четырехугольника. Все четыре серединных перпендикуляра данного четырехугольника пересекаются в одной точке: эта точка – центр описанной окружности.

Доказать, что все четыре серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, было бы утомительно. Есть другой признак.

Рассмотрим угол ےА, это вписанный угол окружности, он опирается на дугу  и измеряется половиной градусной меры данной дуги (см. Рис. 4). Обозначим угол ےА за , тогда дуга .

Аналогично обозначим противоположный угол ےС за , он вписан в окружность и опирается на дугу . Отсюда дуга .

Вписанная и описанная окружности - Справочник студента

  • Рис. 4
  • Дуги  и  составляют полную окружность. Отсюда:
  • ,
  • Поделим полученное выражение на два, получаем:
  • Итак, мы доказали прямую теорему.
  • Теорема
  • Если около четырехугольника описана окружность, сумма его противоположных углов составляет .
  • Это есть необходимый и достаточный признак, то есть справедлива обратная теорема.
  • Если сумма противоположных углов четырехугольника составляет , около этого четырехугольника можно описать окружность.

На основании данных теорем отметим, что вокруг параллелограмма нельзя описать окружность, так как его противоположные углы равны, и их сумма не равна  (см. Рис. 5).

Рис. 5

Около параллелограмма можно было бы описать окружность, если бы его противоположные углы были равны по 90°, то есть если бы он был прямоугольником, таким образом, около прямоугольника можно описать окружность (см. Рис. 6).

  1. Рис. 6
  2. Около ромба также нельзя описать окружность, но можно вписать, так как все стороны ромба равны, и таким образом, суммы противоположных сторон ромба равны.

Кроме того, у ромба каждая диагональ является биссектрисой, точка пересечения биссектрис равноудалена от всех сторон ромба (см. Рис. 7).

Рис. 7

Итак, мы доказали, что в любой треугольник можно вписать окружность, и центр этой окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника. Мы также доказали, что около любого треугольника можно описать окружность, и ее центр совпадет с точкой пересечения серединных перпендикуляров.

Кроме того, мы увидели, что в некоторые четырехугольники можно вписать окружность, и для этого нужно, чтобы суммы противоположных сторон четырехугольника были равны.

Мы также показали, что около некоторых четырехугольников можно описать окружность, и необходимым и достаточным условием для этого является равенство суммы противоположных углов .

Список литературы

  1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
  2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
  3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Uztest.ru (Источник).
  2. Mschool.kubsu.ru (Источник).
  3. Ege-study.ru (Источник).

Домашнее задание

  1. Задание 1 – найдите радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, если радиус вписанной в него окружности – 5 см.
  2. Задание 2 – биссектриса угла А равнобедренного треугольника  пересекает описанную около него окружность в точкe D. Найдите углы ےА, ےВ и ےС, если угол ےBDC = 70°.
  3. Задание 3 – докажите, что сумма катетов прямоугольного треугольника равна сумме диаметров описанной и вписанной окружности.

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/8-klass/okruzhnost/vpisannaya-i-opisannaya-okruzhnosti

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Справочник по математике Геометрия (Планиметрия) Треугольники

      Напомним определение биссектрисы угла.

      Определение 1. Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

      Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла). Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Вписанная и описанная окружности - Справочник студента

Рис. 1

      Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую на биссектрисе угла BAC, и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE, а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

DF = DE,

что и требовалось доказать.

      Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1). Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Вписанная и описанная окружности - Справочник студента

Рис. 2

      Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE, а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Вписанная и описанная окружности - Справочник студента

что и требовалось доказать.

      Определение 2. Окружность называют окружностью, вписанной в угол, если она касается касается сторон этого угла.

      Теорема 3. Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

      Доказательство. Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC, а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Вписанная и описанная окружности - Справочник студента

  • Рис.3
  •       Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности), а гипотенуза AD – общая. Следовательно
  • AF = AE,
  • что и требовалось доказать.

      Замечание. Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

      Напомним определение биссектрисы треугольника.

      Определение 3. Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

      Теорема 4. В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

      Доказательство. Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Вписанная и описанная окружности - Справочник студента

  1. Рис. 4
  2.       Опустим из точки O перпендикуляры OD, OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
  3. OD = OE,
  4.       Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
  5. OD = OF,
  6.       Следовательно, справедливо равенство:
  7. OE = OF,
  8. откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC. Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

     Определение 4. Окружностью, вписанной в треугольник, называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности.

Вписанная и описанная окружности - Справочник студента

Рис. 5

      Следствие. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

      Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности, удобно представить в виде следующей таблицы.

Фигура Рисунок Формула Обозначения
Произвольный треугольник Вписанная и описанная окружности - Справочник студента Вписанная и описанная окружности - Справочник студентаПосмотреть вывод формулы a, b, c – стороны треугольника,S – площадь,r – радиус вписанной окружности,p – полупериметр.
Посмотреть вывод формулы
Равнобедренный треугольник Посмотреть вывод формулы a – боковая сторона равнобедренного треугольника,b – основание,r – радиус вписанной окружности
Равносторонний треугольник Посмотреть вывод формулы a – сторона равностороннего треугольника,r – радиус вписанной окружности
Прямоугольный треугольник Посмотреть вывод формул a, b – катеты прямоугольного треугольника,c – гипотенуза,r – радиус вписанной окружности
Произвольный треугольник
  • гдеa, b, c – стороны треугольника,S –площадь,r –  радиус вписанной окружности,p – полупериметр.
  • Посмотреть вывод формулы
  1. гдеa, b, c – стороны треугольника,r – радиус вписанной окружности,p – полупериметр.
  2. Посмотреть вывод формулы
Равнобедренный треугольник
  • гдеa – боковая сторона равнобедренного треугольника,b – основание,r – радиус вписанной окружности
  • Посмотреть вывод формулы
Равносторонний треугольник
  1. гдеa – сторона равностороннего треугольника,r – радиус вписанной окружности
  2. Посмотреть вывод формулы
Прямоугольный треугольник
  • гдеa, b – катеты прямоугольного треугольника,c – гипотенуза,r – радиус вписанной окружности
  • Посмотреть вывод формул
Произвольный треугольник
  1. гдеa, b, c – стороны треугольника,S –площадь,r –  радиус вписанной окружности,p – полупериметр.
  2. Посмотреть вывод формулы
  • гдеa, b, c – стороны треугольника,r – радиус вписанной окружности,p – полупериметр.
  • Посмотреть вывод формулы
Равнобедренный треугольник
  1. гдеa – боковая сторона равнобедренного треугольника,b – основание,r – радиус вписанной окружности
  2. Посмотреть вывод формулы
Равносторонний треугольник
  • гдеa – сторона равностороннего треугольника,r – радиус вписанной окружности
  • Посмотреть вывод формулы
Прямоугольный треугольник
  1. гдеa, b – катеты прямоугольного треугольника,c – гипотенуза,r – радиус вписанной окружности
  2. Посмотреть вывод формулы

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

      Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, – полупериметр (рис. 6).

  • Рис. 6
  •       Доказательство. Из формулы
  • с помощью формулы Герона получаем:
  1. что и требовалось.
  2.       Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

  • Рис. 7
  •       Доказательство. Поскольку для произвольного треугольника справедлива формула
  • где
  • то, в случае равнобедренного треугольника, когда

получаем

  1. что и требовалось.
  2.       Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

  • Рис. 8
  •       Доказательство. Поскольку для равнобедренного треугольника справедлива формула
  • то, в случае равностороннего треугольника, когда
  • b = a,
  • получаем

что и требовалось.

      Замечание. Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

      Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

где a, b – катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза, r – радиус вписанной окружности.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 9.

  1. Рис. 9
  2.       Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольникомпрямоугольником, у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадратквадрат. Следовательно,
  3. СD = СF= r,
  4.       В силу теоремы 3 справедливы равенства

      Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

что и требовалось.

      Замечание. Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/uslugi/uslugischoolrost.htm

Подготовка к ЕГЭ "Вписанные и описанные окружности"

Вписанные и описанные окружности

ВВписанная и описанная окружности - Справочник студентаписанная окружность.

Окружность называетсявписанной в многоугольник, если она касается его сторон. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов многоугольника.

  • Не во всякий многоугольник можно вписать окружность.
  • Площадь многоугольника, в который вписана окружность можно найти по формуле ,
  • зВписанная и описанная окружности - Справочник студентадесь — полупериметр многоугольника,  — радиус вписанной окружности.
  • Отсюда радиус вписанной окружности равен 
  • ЕВписанная и описанная окружности - Справочник студентасли в выпуклый четырехугольник вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны. Обратно: если в выпуклом четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, то в четырехугольник можно вписать окружность: Вписанная и описанная окружности - Справочник студента

В любой треугольник можно вписать окружность, притом только одну. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.

Радиус вписанной окружности равен . Здесь Вписанная и описанная окружности - Справочник студента

ОВписанная и описанная окружности - Справочник студентаписанная окружность.

Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все вершины многоугольника. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон многоугольника. Радиус вычисляется как радиус окружности, описанной около треугольника, определенного любыми тремя вершинами данного многоугольника:

  1. Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна .
  2. ∠+∠=∠+∠
  3. ОВписанная и описанная окружности - Справочник студентаколо любого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Ее центр лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника:
  4. Радиус описанной окружности вычисляется по формулам:
  5. Вписанная и описанная окружности - Справочник студента,
  6. где  — длины сторон треугольника,  — его площадь.

Задание 1

Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 16.

Задание 2

Сторона ромба равна 58, острый угол равен 30˚. Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.

  • Задание 3
  • Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 14.
  • Задание 4

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 80, ее большая боковая сторона равна 30. Найдите радиус окружности.

Задание 5

В четырехугольник ABCD вписана окружность,  AB=52, CD=53. Найдите периметр четырехугольника.

Задание 6

Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:17:23 . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 84.

Задание 7

Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 26˚. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Задание 8

Стороны четырехугольника ABCD ABBCCD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Задание 9

Точки ABCD, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги ABBCCD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1:2:7:26. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

Задание 10

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 38˚, угол CAD равен 33˚. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Задание 11

Меньшая сторона прямоугольника равна 16. Угол между диагоналями равен 60˚. Найдите радиус описанной окружности этого прямоугольника.

Задание 12

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 60, средняя линия равна 25. Найдите боковую сторону трапеции.

Задание 13

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60˚, большее основание равно 82. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Задание 14

Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Задание 15

Периметр правильного шестиугольника равен 108. Найдите диаметр описанной окружности.

Источник: https://infourok.ru/podgotovka-k-ege-vpisannie-i-opisannie-okruzhnosti-2253189.html

Вписанная и описанная окружность /qualihelpy

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Окружность вписана в n-угольник, если она касается всех сторон этого n-угольника (рис. 8.106). 

Окружность описана около n-угольника, если все вершины n-угольника лежат на окружности (рис. 8.107). 

Вписанная и описанная окружности - Справочник студента

Свойства вписанной окружности

1. Окружность можно вписать в любой треугольник.

2. Окружность можно вписать в четырехугольник, если суммы длин его противолежащих сторон равны. 

Например, на рисунке 8.106 Вписанная и описанная окружности - Справочник студента

Так, окружность можно вписать в квадрат и в ромб, но нельзя вписать в параллелограмм и в прямоугольник.

Свойства описанной окружности

1. Окружность можно описать около любого треугольника.

2. Окружность можно описать около четырехугольника, если суммы его противолежащих углов равны. 

Например, на рисунке 8.107 Вписанная и описанная окружности - Справочник студента

  • Так, окружность можно описать около квадрата и прямоугольника, но нельзя описать около параллелограмма и ромба.
  • Расположение центров окружностей, описанных около треугольника:
  • 1) центр окружности расположен на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника;
  • 2) если треугольник остроугольный, то центр окружности расположен в этом треугольнике: 

а) в равностороннем треугольнике центром окружности является точка пересечения высот, биссектрис, медиан треугольника (центры вписанной и описанной окружностей совпадают (рис. 8.108); 

б) в равнобедренном треугольнике центр окружности расположен на биссектрисе, проведенной из вершины треугольника к его основанию (рис. 8.109);

3) если треугольник прямоугольный, то центр окружности расположен на середине гипотенузы (рис. 8.110);

4) если треугольник тупоугольный, то центр окружности расположен вне треугольника (рис. 8.111).

Вписанная и описанная окружности - Справочник студента

Расположение центров окружностей, вписанных в треугольник:

1) центр окружности, вписанной в треугольник, расположен в этом треугольнике (рис. 8.112 – 8.115);

2) центром окружности является точка пересечения биссектрис треугольника;

3) в равностороннем треугольнике центром окружности является точка пересечения высот, биссектрис, медиан треугольника. 

Вписанная и описанная окружности - Справочник студента

Формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружностей

Радиус окружности, описанной около многоугольника, как правило, обозначают , а радиус окружности, вписанной в многоугольник, обозначают : 1) для равностороннего треугольника со стороной :, (8.34); (8.35)2) для произвольного треугольника со сторонами  и площадью : , (8.36); (8.37)3) для прямоугольного треугольника с катетами  и гипотенузой : , (8.38); (8.39)4) для квадрата со стороной  и диагональю : , (8.40); (8.41)5) для прямоугольника с диагональю : ; (8.42)6) для ромба с высотой : ; (8.43)7) для трапеции с высотой , при условии, что в трапецию можно вписать окружность: . (8.44)Если около трапеции можно описать окружность, то, проведя диагональ трапеции и рассмотрев один из полученных треугольников со сторонами  и площадью , по формуле  найдем радиус окружности описанной около треугольника, а значит и около трапеции (рис. 8.116);8) для правильного шестиугольника со стороной : , (8.45). (8.46)Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников (рис. 8.117) и точка является центром вписанной в него и описанной около него окружностей.    Пример 1. Найдите сторону квадрата, если известно, что разность между площадью квадрата и площадью вписанного в него круга равна .Решение. Так как площадь круга радиуса  находят по формуле 8.32, а площадь квадрата со стороной  находят по формуле , то согласно условию задачи запишем: , .А так как , то , , , , .Ответ: .

Пример 2. Площадь прямоугольника равна 4, а разность длин его смежных сторон рана 3. Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника. 

Решение. Площадь прямоугольника со смежными сторонами  и  находят по формуле .Пусть , тогда  (рис. 8.118).Получим: , , откуда , следовательно, , . По теореме Пифагора найдем диагональ прямоугольника: , . Согласно формуле 8.42 .Ответ: .

Пример 3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб, если его диагонали равны 6 и 8. 

Решение. По теореме Пифагора найдем сторону ромба (рис. 8.119):

, , .По формуле  найдем площадь ромба: . Но площадь ромба можно найти и по формуле , а так как , то . Тогда , а .

Ответ: 2,4.

Пример 4. Найдите длину окружности, вписанной в правильный треугольник, если его площадь равна .Решение. Площадь правильного треугольника со стороной  находят по формуле: .Зная площадь треугольника, найдем его сторону: , , . По формуле 8.35 найдем радиус окружности, вписанной в этот треугольник: .По формуле 8.30 найдем длину окружности: .Ответ: .

Пример 5. Радиус окружности, описанной около равнобедренного прямоугольного треугольника равен 2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. 

Решение. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с гипотенузой  находят по формуле 8.38. Тогда . Так как треугольник равнобедренный, то его катеты  и  раны и по теореме Пифагора , откуда , . Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находят по формуле 8.39. В нашем случае , .Ответ: .

Пример 6. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 8, а радиус окружности, вписанной в треугольник равен 3. Найдите площадь треугольника.

Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник . Точка  является центром вписанной в треугольник окружности (рис. 8.120).Так как радиусы вписанной в треугольник окружности перпендикулярны сторонам треугольника в точках касания, то имеем квадрат  со стороной 3. Если катет , а сторона квадрата , то .Пусть отрезок . По свойству касательных  и .Тогда по теореме Пифагора  или , откуда , .Найдем катет : .Найдем площадь треугольника: , .

Ответ: 60.

Пример 7. Окружность, центр которой расположен на большей стороне треугольника, делит эту сторону на отрезки 4 и 8 и касается двух других его сторон, длина одной из которых равна 6. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник (рис.8.121).

Решение. Согласно свойству биссектрисы треугольника запишем: , откуда . Радиус окружности, вписанной в треугольник, найдем по формуле 8.37.В свою очередь по формуле Герона  найдем площадь треугольника. Так как , то .Тогда .Ответ:  .

Пример 8. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса 3, которая в точке касания делит ее боковую сторону на отрезки 4 и 5. Найдите площадь трапеции. 

Решение. Согласно условию задачи и рисунку 8.122, запишем: , .По свойству четырехугольника, описанного около окружности, получим: , , .Согласно формуле  найдем площадь трапеции: .

Ответ: 45.

Пример 9. Длины оснований равнобедренной трапеции относятся как , а длина ее высоты равна 17. Вычислите площадь круга, описанного около трапеции, если известно, что средняя линия трапеции равна ее высоте.Решение. Рассмотрим равнобедренную трапецию  (рис. 8.123) и проведем диагональ трапеции .Радиус окружности, описанной около треугольника , найдем по формуле 8.36:, .Зная, что  и вводя коэффициент пропорциональности , получим , .Так как длина средней линии трапеции равна высоте трапеции, то , откуда . Тогда , . Поскольку четырехугольник  является прямоугольником, то , тогда .

Согласно теореме Пифагора запишем:

, ;, .По формуле 8.36 найдем радиус окружности, описанной около треугольника , а, следовательно, и около трапеции :.Согласно формуле 8.32 найдем площадь круга: .Ответ: .Пример 10. В правильный шестиугольник вписана окружность и около него описана окружность. Найдите площадь образовавшегося кольца, если сторона шестиугольника равна .Решение. По формуле 8.45 найдем радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника: . По формуле 8.46 найдем радиус окружности, вписанной в этот шестиугольник. Так как , то . Площадь круга находят по формуле 8.32. Тогда , а .Найдем площадь кольца: , .Ответ: .

1. В любой треугольник можно вписать окружность и около любого треугольника можно описать окружность.

2. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, окружность можно вписать в ромб и квадрат, но нельзя вписать в параллелограмм и прямоугольник.

3. Не около всякого четырехугольника можно описать окружность. Например, окружность можно описать около квадрата и прямоугольника, но нельзя описать около параллелограмма и ромба.

4. Не во всякую трапецию можно писать окружность и не около всякой трапеции можно описать окружность. Описать окружность можно только около равнобедренной трапеции. 

5. Если многоугольник правильный (все его стороны и все его углы равны между собой), то в него всегда можно вписать окружность и около него всегда можно описать окружность. Причем, центры этих окружностей совпадают.

Длину окружности радиуса  находят по формуле: . (8.30)Площадь круга

Источник: http://helpy.quali.me/theme/school/48

Все что нужно знать об окружности

Вписанная и описанная окружности - Справочник студента Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим. Вписанная и описанная окружности - Справочник студента Вписанная и описанная окружности - Справочник студента Вписанная и описанная окружности - Справочник студента 2014-09-13

Главная » СТАТЬИ » ПЛАНИМЕТРИЯ » Все, что нужно знать об окружности

  • Эта статья содержит минимальный набор сведений об окружности, необходимый для успешной сдачи ЕГЭ по математике.
  • Окружностью называется множество точек, расположенных на одинаковом  расстоянии от данной точки, которая называется центром окружности.
  • Для любой точки , лежащей на окружности выполняется равенство ( Длина отрезка равна радиусу окружности.
  • Отрезок, соединяющий две точки окружности называется хордой.
  • Хорда, проходящая через центр окружности называется диаметром окружности ().
  • Вписанная и описанная окружности - Справочник студента

Длина окружности:

Площадь круга:

Дуга окружности:

Часть окружности, заключенная между двумя ее точками называется дугой окружности. Две точки окружности определяют две дуги. Хорда  стягивает две дуги: и . Равные хорды стягивают равные дуги.

  1. Угол между двумя радиусами называется центральным углом:
  2. Чтобы найти длину дуги , составляем пропорцию:
  3. а) угол дан в градусах:
  4. Отсюда
  5. б) угол дан в радианах:
  6. Отсюда
  7. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду и дуги, которые она стягивает пополам:
  8. Если  хорды и окружности пересекаются в точке , то произведения отрезков хорд, на которые они делятся точкой равны между собой:

Касательная к окружности.

Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку называется касательной к окружности. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки называется секущей.

  • Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к  точке касания.
  • Если из данной точки  проведены к окружности две касательные, то отрезки касательных  равны между собой и центр окружности лежит на биссектрисе угла с вершиной в этой точке:
  • Если из данной точки проведены к окружности касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной  равен произведению  всего отрезка секущей на его внешнюю часть:
  • Следствие: произведение всего отрезка одной секущей на его внешнюю часть равно произведению всего отрезка другой секущей на его внешнюю часть:

Углы в окружности.

  1. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается:
  2. ∠ ⌣
  3. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны содержат хорды, называется вписанным углом.

      Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается:

  4. ∠∠
  5. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой:
  6. ∠∠∠
  7. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны:
  8. ∠∠∠
  9. Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду равны или их сумма равна
  10. ∠∠
  11. ∠∠∠
  12. Вершины треугольников с заданным основанием и равными углами при вершине лежат на одной окружности:
  13. Угол между двумя хордами (угол с вершиной внутри окружности) равен полусумме угловых величин дуг окружности, заключенных внутри данного угла и внутри вертикального угла.
  14. ∠ ∠∠( ⌣ ⌣ )
  15. Угол между двумя секущими (угол с вершиной вне окружности) равен полуразности угловых величин дуг окружности, заключенных внутри угла.
  16. ∠ ∠∠( ⌣ ⌣ )

 Вписанная окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается его сторон. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов многоугольника.

  • Не во всякий многоугольник можно вписать окружность.
  • Площадь многоугольника, в который вписана окружность можно найти по формуле
  • ,
  • здесь — полупериметр многоугольника, — радиус вписанной окружности.
  • Отсюда радиус вписанной окружности равен
  • Если в выпуклый четырехугольник вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны. Обратно: если в выпуклом четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, то в четырехугольник можно вписать окружность:

В любой треугольник можно вписать окружность, притом только одну. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.

Радиус вписанной окружности равен . Здесь

Описанная окружность.

Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все вершины многоугольника. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон многоугольника. Радиус вычисляется как радиус окружности, описанной около треугольника, определенного любыми тремя вершинами данного многоугольника:

  1. Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна .
  2. ∠+∠=∠+∠
  3. Около любого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Ее центр лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника:
  4. Радиус описанной окружности вычисляется по формулам:
  5. Где — длины сторон треугольника, — его площадь.

Теорема Птолемея

  • Во вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон:

Источник: https://ege-ok.ru/2014/09/13/vse-chto-nuzhno-znat-ob-okruzhnosti

Ссылка на основную публикацию