Центральные и вписанные углы — справочник студента

Общие сведения

Перед обучением необходимо ознакомиться с основными понятиями об углах, а также подробно разобрать их классификацию. Углом называется геометрическая фигура, состоящая из общей точки и двух исходящих лучей, которые не лежат на одной прямой. Он обозначается символом «∠». Луч — часть прямой линии, ограниченной с одной стороны и неограниченной с другой.

Точкой называется базовая единица геометрии, при помощи которой строятся другие фигуры. Прямая — линия, которая не имеет начала и конца.

Однако базовых элементов недостаточно для построения более сложных фигур. В этом случае применяются аксиомы геометрии Евклида.

Аксиомы плоскостной геометрии

Аксиома — утверждение, не требующее доказательств. Оно воспринимается как неоспоримый факт. Плоскостная геометрия называется Евклидовой. Она основана на базовых элементах, аксиомах и теоремах. Теоремой называется гипотеза, которую следует доказать при помощи аксиом или их комбинаций.

В геометрии существует всего 5 базовых утверждений: принадлежности, порядка, равенства (конгруэнтности), параллельности прямых линий и непрерывности. Знать формулировки этих базисов очень важно. Они характеризуются такими определениями:

1. Первая: на любой геометрической плоскости существует множество точек, и через две из них можно провести одну прямую.
2. Вторая: на произвольной прямой существует точка, лежащая между двумя другими точками.
3. Третья: если на плоскости даны три отрезка (угла), причем первый равен третьему, а второй — первому, то они конгруэнтны между собой.
4. Четвертая: в случае когда на плоскости существует произвольная прямая и некоторая точка, не лежащая на ней, тогда через последнюю можно провести другую прямую параллельную заданной.
5. Пятая (Архимедова): если на некоторой прямой на плоскости лежат два отрезка, расстояния между точками одного отрезка равны таким же параметрам другого, то они равны по косвенному признаку.

Для понимания первой аксиомы необходимо представить лист бумаги. Это некоторая плоскость, состоящая из множества точек. Однако для удобства и читабельности их не отмечают, а берут только нужные. Известно, что достаточно всего двух точек, чтобы провести прямую. На листе бумаги можно их отметить и провести ее. Необходимо отметить, что лист бумаги является ограниченной плоскостью.

Что касается второго утверждения, то любая прямая включает в себя простейшие элементы (точки), которые могут лежать между другими. Это свойство позволяет отмечать на искомой фигуре любое количества элементов для выполнения чертежей.

Архимедова аксиома считается сложной для понимания на первоначальных этапах обучения. Однако все очень просто. Следует начертить прямую, и отметить на ней два равных отрезка.

Каждый из них поделить на две части, чтобы первая часть одного отрезка была эквивалентна части другого. Пусть первый отрезок АВ = 10 см, а второй — DЕ = 10 см. На первом нужно отметить точку С (АС = 3 и СВ = 7).

На втором — отметить точку F, лежащую между D и E (DF = 3 и FE = 7). Следовательно, АС = DF = 3 и СВ = FE = 7.

Классификация треугольников

Углы отличаются между собой по градусной мере. Последняя является главной характеристикой и исчислением его размерности. На основании этого свойства их можно классифицировать таким образом по интервалам:

1. (0;90) или 0 < x < 90: острый.
2. 90: прямой.
3. (90;180): тупой.
4. 180: развернутый.
5. (180;360): выпуклый.
6. 360: полный.

Запись (90;180) расшифровывается следующим образом: значение принадлежит интервалу от 90 градусов не включительно до 180 не включительно. Смежным является угол, который лежит на одной прямой с основным. Например, на прямой нужно отметить произвольную точку.

Затем через нее следует провести луч под углом 60 градусов. Чтобы найти смежный ∠, нужно выполнить такие действия: 180 — 60 = 120. Прямая — развернутый ∠, т. е. его размерность составляет 180.

Необходимо также отметить, какими свойствами обладает величина угла:

1. Градусная мера (размерность) существует у всех ∠. Она может быть отрицательной и положительной (по или против часовой стрелки соответственно).
2. У равных ∠ одинаковые размерности.
3. Часть угла всегда меньше основного.

Для доказательства теорем следует разобрать классификацию треугольников. Она более сложная включает в себя некоторые критерии:

Сумма углов фигуры эквивалентна 180 градусам. Следовательно, у него бывают только острые, тупой и прямой углы. Если один из них является прямым или тупым, то значит два других — острые. Исходя из этого можно выделить три вида фигур, которые классифицируются по данному параметру (∠): остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.

Следующий критерий — стороны. Если у треугольника три стороны не равны между собой, то его принято называть разносторонним. Когда равны две стороны, тогда он является равнобедренным (третья — основание). В случае равенства всех сторон он считается правильным или равносторонним. У него каждый из углов равен 60.

Подобными называются треугольники, у которых прослеживается равенство ∠, а стороны пропорциональны между собой. Соотношение последних зависит от некоторой величины. Ее в геометрии называют коэффициентом подобия. Всего три признака подобия: по всем ∠, по двум ∠ и стороне, а также по двум сторонам и ∠ между ними.

Следует отметить, что для доказательства теорем следует обратить внимание на такие вспомогательные элементы: высоту, медиану и биссектрису. Первый элемент — отрезок, опущенный из произвольной вершины на противоположную сторону под углом 90 градусов.

Медианой является луч или отрезок, который соединяет вершину с центром противоположной стороны. Биссектриса — прямая (луч, отрезок), которая делит заданный угол на две равные между собой части.

В правильном и равнобедренном треугольниках эти три элемента совпадают.

Информация об окружности

Окружностью называет геометрическое место точек, соединенных между собой и удаленных от центра на равные расстояния. Отрезок, проходящий через ее центр и соединяющий две соседние точки, является диаметром (d). Радиус некоторый отрезок, соединяющий центральную точку с любой из точек на окружности. Его принятое обозначение литерой «R». Если из центра провести два луча (радиуса), то часть окружности, образованная ими, называется дугой.

Следует отметить, что любой отрезок, проходящий только через две точки окружности, является хордой. Если последняя проходит через центр, то она является диаметром.

Площадью окружности называется произведение квадрата радиуса на число ПИ, которое примерно соответствует значению 3,1416. Формула имеет такой вид: S = ПИ * R 2. Соотношение можно править таким образом: S = (ПИ * d 2 ) / 4.

Из соотношения можно сделать вывод, что d = R / 2. Длиной окружности является произведение ПИ на диаметр заданной окружности.

Вписанные углы

Вокруг любого угла можно описать окружность. Он бывает центральным или вписанным. Термины нужно различать между собой, чтобы правильно применять следствия из утверждения.

Центральным называется произвольный угол, у которого вершина совпадает с центральной точкой окружности, а его стороны эквивалентны радиусам.

Вписанным является любой угол с вершиной, расположенной на окружности и сторонами, пересекающими ее.

Затем следует рассмотреть теоремы о вписанных углах. Кроме того, центральный также является вписанным, но отличие состоит в том, что его вершина совпадает с центром круга. На основании утверждений можно сформулировать некоторые свойства вписанного угла. Последние могут также оказаться полезными при вычислении параметров некоторых фигур.

Основные теоремы

Теоремы применяются для оптимизации вычислений некоторых величин и параметров фигур, образованных углами и описанной окружностью вокруг них. Необходимо отметить, что специалисты классифицируют их на два вида: для вписанных и углов, образованных хордами и касательными. В первом случае утверждения, которые следует доказать, являются следующими:

1. Градусная мера вписанного угла в некоторую окружность равна половине центрального, опирающегося с ним на одну дугу.
2. Если два угла опираются на одну дугу, то они конгруэнтны.
3. Когда углы опираются на одну хорду и лежат по одну сторону от нее, тогда их градусные меры равны между собой.
4. Сумма углов эквивалентна 180 градусам, когда их вершины лежат по разные стороны от общей хорды.
5. Если некоторый угол опирается на диаметр, то он соответствует 90 градусам, т. е. является прямым.
6. Средняя точка гипотенузы прямоугольного треугольника совпадает с центром окружности, описанной вокруг него.
7. Угол, который опирается на дугу, равен ½ от ее градусной меры.

Необходимо отметить, что вышеописанные теоремы являются также и свойствами. Следует ввести обозначение вписанного ∠ АВС. В первом случае свойство доказывается для двух вариантов. Первый — ∠ АВС лежит на диаметре АВ. Необходимо обозначит центральный ∠ АОС. Следовательно, АО = ВО = R.

Треугольник АОВ является равнобедренным, а его ∠ при основании равны (∠ АВО = ∠В АО). Для внешнего ∠ АОС справедливо такое равенство: ∠ АОС = 2 * ∠В АО. Если центральная точка круга лежит внутри ∠ABC. Следует провести биссектрису вписанного ∠, пересекающую окружность в точке D.

Тогда ∠ABC = ∠AОC / 2.

Другие случаи

Однако бывают и другие случаи, в результате которых образовываются углы внутри окружности. Специалисты выделяют следующие теоремы о них, образованных касательными и хордами:

1. Размерность угла, который образован при пересечении хорд, эквивалентна ½ от суммы размеров его дуг. Углы между собой равны, поскольку являются вертикальными.
2. Если существуют две секущие, которые пересекаются за пределами окружности, то угол равен ½ от разности соответствующих дуг.
3. Когда проведена касательная и хорда к общей точке окружности, тогда градусная мера эквивалентна половине дуги, образованной данными элементами.
4. Угол, образованный секущей и касательной, эквивалентен ½ разности образованных при этом дуг.
5. Если угол образуют две касательные к заданной окружности, то его размерность соответствует ½ от разности дуг между сторонами первого.

Как правило, теорем бывает достаточно для доказательства геометрических тождеств. Однако для закрепления материала нужно разобрать пример решения задания.

Пример решения

Для практического применения знаний следует разобрать задачу на данную тематику. Задания состоят из двух частей: исходных данных и неизвестной величины. Например, дана хорда АВ.

Она делит окружность на две дуги, градусные меры которых относятся между собой как 5:7. Дана также еще точка, расположенная на дуге меньшей части. Необходимо вычислить вписанный ∠АСВ.

Для решения следует воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Сумма градусных мер двух дуг составляет 360.
2. Необходимо составить уравнение: 5у + 7у = 360.
3. Корень уравнения: у = 360 / 12 = 30.
4. Меньшая дуга вычисляется таким образом: 5 * 30 = 150.
5. Для расчета большей дуги следует произвести такой расчет: 7 * 30 = 210.
6. Проверка правильности вычислений: 150 + 210 = 360 (уравнение решено верно).
7. ∠АСВ опирается на большую дугу. Следовательно, его размерность эквивалентна ½ от размерности этой дуги: 210 / 2 = 105 (градусов).

В седьмом пункте алгоритма было использовано свойство под номером 7. Если его не применять, то решение займет больше времени, поскольку потребует строить треугольник и искать его стороны. После этих операций можно будет найти его ∠ по теореме косинусов или синусов.

Таким образом, для проведения расчетов размерностей углов, которые являются центральными или вписанными, необходимы знания основных теорем и формул.

Источник: https://nauka.club/matematika/geometriya/tsentralnye-i-vpisannye-ugly.html

Центральные и вписанные углы

Центральные и вписанные углы

Геометрия, 8 класс

К учебнику Л.С.Атанасяна

• Софронова Наталия Андреевна,
• учитель математики высшей категории
• МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»
• Оршанского района Республики Марий Эл

1. Дуга окружности
2. А
3. L
4. Точки А и В делят окружности на две дуги
5. В
6. О
7. Обозначают дуги так:
8. ᴗ АВ мал. или ᴗ АLВ
9. М
10. ᴗ АВ бол. или ᴗ АМВ

• Дуга окружности
• А
• Дуга называется полуокружностью , если отрезок соединяющий её концы является диаметром окружности
• О
• В

1. Центральный угол
2. и дуга окружности
3. Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом
4. О
5. ∠ АОВ – центральный угол
6. В
7. А
8. Центральному углу АОВ соответствуют две дуги окружности с концами в точках А и В.

• Центральный
• угол и дуга окружности
• О
• В
• А
• О
• А
• В
• Если ∠АОВ – не развернутый ,
• то говорят, что дуга, расположенная внутри его меньше полуокружности (она выделена красным цветом).
• ∠ АОВ – развернутый ,
• ему соответствуют две полуокружности.
• Про другую (выделена зеленым цветом) говорят, что она больше полуокружности.

1. Центральный угол и дуга окружности
2. О
3. Дугу окружности можно измерить в градусах.
4. В
5. А
6. Если дуга АВ окружности с центром в точке О меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ.
7. В
8. А
9. О

• Центральный угол и дуга окружности
• М
• Если дуга АВ больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной 360 0 — ∠АОВ
• О
• В
• А

1. Центральный угол
2. и дуга окружности
3. М
4. О
5. 97 0
6. В
7. А
8. К

• Центральный угол
• и дуга окружности
• А
• С
• 30 0
• 115 0
• В
• D
• О
• Чему равны градусные меры дуг
• DAB, САВ, DCA, CDB, ABD, ABC

1. Центральный угол и дуга окружности
2. М
3. О
4. В
5. А
6. К

• ВПИСАННЫЙ УГОЛ
• В
• Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом
• О
• А
• С
• ∠ АВС — вписанный

В

Теорема. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

1. О
2. А
3. С
4. 2 случай
5. 3 случай
6. 1 случай
7. В
8. В
9. В
10. О
11. О
12. О
13. А
14. А
15. А
16. С
17. С
18. С

• 3 случай
• 2 случай
• 1 случай
• 2
• В
• В
• В
• О
• О
• О
• 1
• А
• А
• С
• А
• К
• С
• С
• К

1. Следствие 1
2. Следствие 2
3. В
4. D
5. В
6. А
7. С
8. О
9. О
10. А
11. С
12. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность , равен 90 0 .
13. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу , равны.
14. ∠ АВС = ∠АDС
15. ∠ АВС = 90 0

• Задача 4.
• Задача 5.
• В
• В
• 59 0
• О
• О
• 128 0
• С
• С
• А
• А
• ∠ АОС = 128 .
• ∠ АВС = ?
• ∠ АВС = 59 .
• ∠ АОС = ?

1. Задача 6.
2. Задача 7.
3. В
4. D
5. В
6. D
7. 32 0
8. 38 0
9. А
10. А
11. С
12. С
13. ∠ АВС = 32 .
14. ∠ АDС = ?
15. ∠ BCD = 38 .
16. ∠ BAD = ?

• Задача 9.
• Задача 8.
• D
• D
• А
• А
• 31 0
• 36 0
• О
• О
• В
• В
• С
• С
• ∠ BAC = 31 .
• ∠ BOD = ?
• ∠ BAC = 36 .
• ∠ АОD = ?

1. Задача 10.
2. А
3. D

Две точки окружности делят окружность на две дуги, равные 58 0 и 302 0 . Найдите величину угла DAB между касательной к окружности и хордой. Ответ дайте в градусах.

• В
• О
• ∠ DАВ — ?

Задача 11.

Из точки В к окружности проведены касательная ВА и секущая ВD.

Найдите величину угла АВD, если дуги, высекаемые ими на окружности, равны 210 0 и 96 0 . Ответ дайте в градусах.

1. А
2. В
3. 57
4. 96
5. 117 0
6. С
7. 96 0
8. 63 0
9. О
10. 54 0
11. 210
12. 54
13. D
14. ∠ АВD — ?

• Задача 12.
• В
• Из точки В к окружности проведены две секущие ВА и ВС.

Дуги, высекаемые секущими на окружности, равны 46 0 и 94 0 . Найдите угол между секущими.Ответ дайте в градусах.

1. К
2. 24
3. 46
4. 133 0
5. М
6. 23 0
7. А
8. 47 0
9. 94
10. С
11. ∠ АВС — ?

• Свойство двух пересекающихся хордах
• С
• В
• 1
• 3
• Е
• 4
• 2
• А
• D

1. Задача 13
2. Задача 14
3. С
4. В
5. М
6. K
7. М
8. А
9. E
10. P
11. T
12. D
13. АМ = 18, ВМ = 9, СМ = 6.
14. Найти МD.
15. EМ = 15, PE = 4, TE = 10.
16. Найти KE.

• Свойство двух секущих,
• проведенных из одной точки
• В
• А
• М
• 1
• С
• 2
• D

1. Свойство касательной и секущей,
2. проведенных из одной точки
3. А
4. К
5. М
6. Р
7. О
8. По свойству секущих
9. АР ∙ АТ = АК ∙ АМ (2)
10. Т
11. Из равенств (1) и (2) следует
12. АВ 2 = АК ∙ АМ
13. В

Источник: https://multiurok.ru/index.php/files/tsientral-nyie-i-vpisannyie-ughly-4.html

Задачи №6. Вписанные, центральные углы

Елена Репина 2013-05-23 2019-07-27

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а обе стороны пересекают эту окружность.

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается.

Свойства вписанных углов

 

Рассмотрим примеры, после чего для вас – тест по теме “Вписанные, центральные углы”.

Задача 1

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет  окружности.

Решение: + показать

Окружность составляет , поэтому дуга АС, которая составляет окружности, равняется . Поэтому вписанный угол АВС равен , так как градусная мера вписанного угла вдвое меньше градусной меры  дуги, на которую опирается.

Ответ:  

Задача 2

Найти величину угла А0С (см. рис.), если угол АВС равен

• 
• Решение: + показать
• Заметим, тот угол АОС, что помечен на картинке, хоть и является центральным углом, но не является соответствующим для вписанного угла АВС, так как они опираются на разные дуги (угол АВС опирается на дугу АС, а угол АОС – на дугу АВС).

Так как вписанный угол АВС, равный , опирается на дугу АС, то она равна . Значит дуга АВС равна . А значит центральный угол АОС, который измеряется градусной мерой дуги, на которую опирается, равен .

Ответ:  

Задача 3

1. Найти величину угла  ВАD, изображенного на картинке:
2. Решение: + показать
3. Так как углы ВСА и ВDA опираются на одну дугу (АВ), то они равны, то есть .

Теперь обратимся к треугольнику АВD. Он прямоугольный, так как угол АВD, опирающийся на диаметр, – прямой. Значит, .

Ответ:  

Задача 4

• Найти величину угла D, изображенного на картинке:
• Решение: + показать
• 1) как вертикальные.
• 2) Из треугольника АВS:
• 3) , так как углы опираются на одну дугу.
• Ответ:  

Задача 5

Центральный угол на  больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол.

1. Решение:  
2. Обозначим градусную меру угла АСВ за x, тогда
3. Так как центральный угол вдвое больше соответствующего вписанного угла, то составим уравнение: , откуда
4. Ответ:  

Задача 6

• Найти градусную меру  угла ВАD:
• Решение: 

, следовательно как дуга вписанного угла. Аналогично, , следовательно . Тогда  . А так как    (AD – диаметр), то . А значит, .

Ответ:  

Задача 7.

1. Найдите угол АСВ, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно  и .
2. Решение: 

, так как опирается на дугу ВА. А значит,
, так как является   смежным   с .

• , так как опирается на дугу DE.
• Тогда из треугольника ADC
  .
• Ответ:  

Задача 8.

1. Найдите величину угла АВС.
2. Решение: 

– центральный для  вписанного угла . Угол же АОС равен (например, потому, что для треугольника АОС    выполняется теорема Пифагора (, ) ). Тогда .

Ответ:  

Задача 9.

• Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности?
• Решение: 

Так как хорда АС равна  радиусу окружности, то треугольник АОС – равносторонний. А значит, . Тогда дуга АВС составляет .  Откуда следует, что дуга АС равна . Стало быть, вписанный угол АВС, опирающийся на дугу АС, равен 

Ответ:  

Задача 10.

1. Найти градусную меру угла, изображенного на рисунке:
2. Решение: 

Правильный восьмиугольник делит дугу окружности своими вершинами на восемь одинаковых частей, а значит на каждую такую часть приходится .  опирается на дугу , составленную из трех дуг по ( то есть  дуга равна ), поэтому равен .

Ответ:  

Задача 11.

• Найдите величину угла АВС, изображенного на рисунке. Видео New*
• Решение: 

Центральным углом для вписанного угла АВС является угол АОС. Будем искать его градусную меру, после чего лишь придется разделить результат на 2, – получим градусную меру угла АВС.

Итак, опустим из точки С перпендикуляр СТ к прямой АО. Получили прямоугольный треугольник СТО. Гипотенуза в нем – радиус окружности, то есть 4 (смотрим по клеточкам), катет СТ  равен 2. Стало быть  , так как напротив него лежит катет, вдвое меньший гипотенузы. То есть центральный угол АОС равен

Поэтому искомый угол АВС равен .

Ответ:  . 

Задача 12.

Четырёхуголь­ник  впи­сан в окруж­ность. Угол  равен 106°, угол  равен 64°. Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

1. Решение:
2. Вписанный угол равен половине дуги , на которую опирается.
3. Заметим при этом , аналогично
4. Тогда
5. Ответ: 42.

Вы можете пройти тест “Вписанные, центральные углы”. Тест хорош как для подготовки к ГИА, так и к ЕГЭ.

Источник: https://egemaximum.ru/vpisannye-ugly/

Центральные и вписанные углы в задании 6

19 февраля 2012

Сегодня мы рассмотрим очередной тип задач 6 — на этот раз с окружностью. Многие ученики не любят их и считают сложными. И совершенно напрасно, поскольку такие задачи решаются элементарно, если знать некоторые теоремы. Или не решаются вообще, если их не знать.

Прежде чем говорить об основных свойствах, позвольте напомнить определение:

Вписанный угол — тот, у которого вершина лежит на самой окружности, а стороны высекают на этой окружности хорду.

Центральный угол — это любой угол с вершиной в центре окружности. Его стороны тоже пересекают эту окружность и высекают на ней хорду.

Теорема. Центральный угол всегда в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же самую дугу.

Несмотря на простоту утверждения, существует целый класс задач 6, которые решаются с помощью него — и никак иначе.

Задача. Найдите острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности.

Пусть AB — рассматриваемая хорда, O — центр окружности. Дополнительное построение: OA и OB — радиусы окружности. Получим:

Рассмотрим треугольник ABO. В нем AB = OA = OB — все стороны равны радиусу окружности. Поэтому треугольник ABO — равносторонний, и все углы в нем по 60°.

Пусть M — вершина вписанного угла. Поскольку углы O и M опираются на одну и ту же дугу AB, вписанный угол M в 2 раза меньше центрального угла O. Имеем:

M = O : 2 = 60 : 2 = 30

Задача. Центральный угол на 36° больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол.

Введем обозначения:

1. AB — хорда окружности;
2. Точка O — центр окружности, поэтому угол AOB — центральный;
3. Точка C — вершина вписанного угла ACB.

Поскольку мы ищем вписанный угол ACB, обозначим его ACB = x. Тогда центральный угол AOB равен x + 36. С другой стороны, центральный угол в 2 раза больше вписанного. Имеем:

AOB = 2 · ACB; x + 36 = 2 · x; x = 36.

Вот мы и нашли вписанный угол AOB — он равен 36°.

Окружность — это угол в 360°

Прочитав подзаголовок, знающие читатели, наверное, сейчас скажут: «Фу!» И действительно, сравнивать окружность с углом не совсем корректно. Чтобы понять, о чем речь, взгляните на классическую тригонометрическую окружность:

К чему эта картинка? А к тому, что полный оборот — это угол в 360 градусов. И если разделить его, скажем, на 20 равных частей, то размер каждой из них будет 360 : 20 = 18 градусов. Именно это и требуется для решения задачи B8.

Точки A, B и C лежат на окружности и делят ее на три дуги, градусные меры которых относятся как 1 : 3 : 5. Найдите больший угол треугольника ABC.

Для начала найдем градусную меру каждой дуги. Пусть меньшая из них равна x. На рисунке эта дуга обозначена AB. Тогда остальные дуги — BC и AC — можно выразить через AB: дуга BC = 3x; AC = 5x. В сумме эти дуги дают 360 градусов:

AB + BC + AC = 360; x + 3x + 5x = 360; 9x = 360; x = 40.

Теперь рассмотрим большую дугу AC, которая не содержит точку B. Эта дуга, как и соответствующий центральный угол AOC, равна 5x = 5 · 40 = 200 градусов.

Угол ABC — самый большой из всех углов треугольника. Это вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный угол AOC. Значит, угол ABC в 2 раза меньше AOC. Имеем:

ABC = AOC : 2 = 200 : 2 = 100

Это и будет градусная мера большего угла в треугольнике ABC.

Окружность, описанная вокруг прямоугольного треугольника

Эту теорему многие забывают. А зря, ведь некоторые задачи B8 без нее вообще не решаются. Точнее, решаются, но с таким объемом вычислений, что вы скорее уснете, чем дойдете до ответа.

Теорема. Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.

Что следует из этой теоремы?

1. Середина гипотенузы равноудалена от всех вершин треугольника. Это прямое следствие теоремы;
2. Медиана, проведенная к гипотенузе, делит исходный треугольник на два равнобедренных. Как раз это и требуется для решения задачи B8.

В треугольнике ABC провели медиану CD. Угол C равен 90°, а угол B — 60°. Найдите угол ACD.

Поскольку угол C равен 90°, треугольник ABC — прямоугольный. Получается, что CD — медиана, проведенная к гипотенузе. Значит, треугольники ADC и BDC — равнобедренные.

В частности, рассмотрим треугольник ADC. В нем AD = CD. Но в равнобедренном треугольнике углы при основании равны — см. «Задача B8: отрезки и углы в треугольниках». Поэтому искомый угол ACD = A.

Итак, осталось выяснить, чему равен угол A. Для этого снова обратимся к исходному треугольнику ABC. Обозначим угол A = x. Поскольку сумма углов в любом треугольнике равна 180°, имеем:

A + B + BCA = 180; x + 60 + 90 = 180; x = 30.

Разумеется, последнюю задачу можно решить по-другому. Например, легко доказать, что треугольник BCD — не просто равнобедренный, а равносторонний. Значит, угол BCD равен 60 градусов. Отсюда угол ACD равен 90 − 60 = 30 градусов. Как видите, можно использовать разные равнобедренные треугольники, но ответ всегда будет один и тот же.

Источник: https://www.berdov.com/ege/plane_geometry/circle_angle_chord/

Онлайн тренажер Центральные и вписанные углы – Новатика

ТренажерПомощь

Очки: Ошибки:

Ваш ответ

Центральные и вписанные углы, Вписанные и описанные четырехугольники, Средняя линия треугольника и ее свойства, Средняя линия трапеции, ее свойства

Поздравляем, вы справились

Определите градусную меру угла, вписанного в окружность, если соответствующий ему центральный угол равен X°.$$Определите градусную меру центрального угла, если градусная мера соответствующего ему вписанного угла равна X°.$$Точки M и N принадлежат окружности и лежат по разные стороны от хорды АВ. Найдите ∠AМВ, если ∠ANB = X°.

$$Точка Р окружности и ее центр О лежат по разные стороны от хорды CD. Найдите ∠COD, если ∠CPD = X°.$$Точка A окружности и ее центр О лежат по разные стороны от хорды LK. Найдите ∠LAK, если ∠LOK = X°.$$Хорды AD и ВС пересекаются в точке F. ∠ABC = X°, ∠BCD = X°. Найдите градусную меру угла ∠AFB.$$О — центр окружности, ∠МВА = X°.

Найдите ∠MNB$$

Найдите ∠А вписанного в окружность четырехугольника ABCD, если ∠С = X°.$$Найдите ∠В вписанного в окружность четырехугольника ABCD, если ∠D = X°.$$В равнобокую трапецию, периметр которой равен X см, вписана окружность. Найдите боковую сторону трапеции.$$Боковая сторона равнобокой трапеции, описанной около окружности, равна X см. Найдите периметр трапеции.$$

KL — средняя линия треугольника АВС. АC = X см. Найдите KL.$$KL — средняя линия треугольника АВС. KL = X см. Найдите АC.$$Отрезок, соединяющий середины боковых сторон равнобедренного треугольника, равен X см. Найдите основание треугольника.

$$Основание равнобедренного треугольника равно X см. Найдите длину отрезка, соединяющего середины боковых сторон треугольника.$$Найдите периметр треугольника, если его средние линии равны X см, X см, и X см.$$Стороны треугольника равны X см, X см и X см.

Найдите периметр треугольника, сторонами которого являются средние линии данного треугольника.$$Периметр треугольника равен X см. Найдите периметр треугольника, вершины которого являются серединами сторон данного треугольника.

$$Периметр треугольника, вершины которого — середины сторон данного треугольника, равен X см. Найдите периметр данного треугольника.$$

Основания трапеции равны X см и X см. Найдите среднюю линию трапеции.$$Найдите основание трапеции, если ее другое основание ВС = X см, а средняя линия — X см.$$Найдите основание трапеции, если ее другое основание AD = X см, а средняя линия — X см.

$$Одно из оснований трапеции равно X см, а другое — вдвое больше. Найдите расстояние между серединами боковых сторон трапеции.$$Боковые стороны трапеции равны X см и X см, а ее средняя линия — X см. Найдите периметр трапеции.

$$Боковые стороны трапеции равны X см и X см, а ее периметр — X см. Найдите среднюю линию трапеции.$$

Источник: https://novatika.org/ru/trenazher-po-geometrij-chotyrykutnyky-8-klas-2-chastyna/

Теорема о вписанном угле

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

На рисунке 1 угол ВАС вписанный, дуга ВLС расположена внутри этого угла. В таком случае говорят, что вписанный угол АВС опирается на дугу ВLC.

Теорема

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство

• Дано: окружность (О), АВС — вписанный, АС — внутри АВС.
• Доказать: АВС = АС.
• Доказательство:
• 1 случай
• Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС.

Пусть ВО совпадает с ВС (Рис. 2).

В данном случае дуга АС меньше полуокружности, следовательно, АОС =АС (т.к. АОС — центральный угол, причем он меньше полуокружности, поэтому градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается).

АВО — равнобедренный с основанием АВ (т.к. ОА = ОВ — радиусы), 1 = 2 (углы при основании).

АОС — внешний угол АВО, АОС = 1 + 2 = 21.

Следовательно, учитывая то, что АОС =АС, получим: АС = 2 1, откуда 1 = АС, т.е. АВС = АС.

2 случай

Луч ВО делит угол АВС на два угла.

В данном случае луч ВО пересекает дугу АС в некоторой точке D (Рис. 3).

1. Точка D разделят дугу АС на две дуги: АD и DС, поэтому АС = АD + DС.
2. Луч ВD разделяет угол АВС на два угла, поэтому АВС = АВD + DВС.

По доказанному в 1 случае АВD = АD и DВС = DС. Складывая эти равенства, получаем: АВD + DВС = АD + DС или АВD + DВС = (АD + DС). Следовательно, АВС = АС.

3 случай

Луч ВО не делит угол АВС на два угла и не совпадает со стороной этого угла.

В данном случае луч ВС пересекает дугу АD в точке С (Рис. 4).

• Точка С разделят дугу АD на две дуги: АC и CD, поэтому АD = АC + CD, откуда АC = АD — CD.
• Луч ВС разделяет угол АВD на два угла, поэтому АВD = АВC + CВD, откуда АВC = АВD — CВD.

По доказанному в 1 случае АВD = АD и СВD = СD.

Вычитая из первого равенства второе, получаем: АВD — СВD = АD — CD или АВD — СВD = (АD — CD). Следовательно, АВС = АС.

Теорема доказана.

Следствия из теоремы о вписанном угле

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (Рис. 5).

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой  (рис. 6).

Теорема

Доказательство

Дано: окружность, АВ и СD — хорды, АВСD = Е (Рис. 7).

1. Доказать: АЕВЕ = СЕDЕ.
2. Доказательство:

В АDЕ и СВЕ: 1 = 2, т.к.

они вписанные и опираются на одну и ту же дугу ВD (смотри следствие 1 из теоремы о вписанном угле), 3 = 4 как вертикальные углы, следовательно, треугольники АDЕ и СВЕ подобны (по 1 признаку подобия треугольников). В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны, поэтому , откуда АЕВЕ = СЕDЕ. Теорема доказана.

Теорема

Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой.

Доказательство

Дано: окр.(О, ), АВ — хорда, АС — касательная, А — точка касания.

• Доказать: ВАС = АВ.
• Доказательство:

АОВ — равнобедренный с основанием АВ, т.к. ОА = ОВ = , значит, ОАВ = ОВА (как углы при основании), при этом ОААС (свойство касательной), поэтому ОАВ = ОВА = 900 — ВАС.

Следовательно, по теореме о сумме углов треугольника: АОВ = 1800 — 2·(900 — ВАС) = 1800 — 1800 + 2ВАС = 2ВАС, откуда ВАС = АОВ. АОВ — центральный, поэтому ВАС = АВ. Теорема доказана.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

1. Взаимное расположение прямой и окружности
2. Касательная к окружности
3. Градусная мера дуги окружности
4. Свойство биссектрисы угла
5. Свойства серединного перпендикуляра к отрезку
6. Теорема о пересечении высот треугольника
7. Вписанная окружность
8. Описанная окружность
9. Окружность

Правило встречается в следующих упражнениях:

• 7 класс
• Задание 656, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 660, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 661, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 673, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 704, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 717, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 883, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 894, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 1133, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 1277, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

1. © budu5.com, 2020
2. Пользовательское соглашение
3. Copyright
4. Нашли ошибку?
5. Связаться с нами

Источник: https://budu5.com/manual/chapter/3513