Теорема остроградского — гаусса — справочник студента

Формула Остроградського-Гауса применяют для преобразования объемного (тройного) интеграла к интегралу по замкнутой поверхности (двойного), превращения объемного (тройного) интеграла к интегралу по замкнутой поверхности (двойного), и наоборот: Другое приложение формулы это вычисления потока векторного поля через замкнутую поверхность с помощью интеграла от дивергенции этого поля по объему, что ограничен этой поверхностью. Дальше будут приведены примеры перехода от двойного к тройному интегралу, расстановки пределов и вычисления объемных интегралов.

Пример 1 Используя формулу Остроградського-Гауса, превратить поверхностный интеграл если гладкая поверхность S ограничивает конечный объем V и — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.

Решение: Поверхностный интеграл 2-го рода сводится к тройному интегралу с помощью формулы Остроградського-Гауса: где P, Q, R выписываем из заданного интеграла 

Далее повторно вычисляем производные, чтобы получить направляющие косинусы в направлении каждой из осей

• Можем перейти от двойного интеграла к тройному здесь обозначили Δu — дельта оператор Лапласа На этом все объяснения к первому примеру.
• Пример 2 Используя формулу Гауса-Остроградського, превратить поверхностный интеграл по гладкой поверхности S ограничивающей конечный объем V и — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.
• Решение: Поверхностный интеграл второго рода сведем к трехмерному интегралу, используя формулы Гауса-Остроградського:
• где P=P(x, y, z)=x3, P=P(x, y, z)=y3, P=P(x, y, z)=z3 берем из условия. Вычисляем вторые производные по «икс, игрек, зет»
• Значительное количество ждет при необходимости расставить пределы интегрирования и найти тройной интеграл.
• Пример 3 Используя формулу Гауса-Остроградського, превратить поверхностный интеграл если гладкая поверхность S ограничивает конечный объем V и — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.
• Решение: Поверхностный интеграл второго рода сведем к тройному интегралу, используя формулу Гауса-Остроградського :
• где P=P(x, y, z)=yz, Q=Q(x, y, z)=xz, R=R(x, y, z)=xy. Частичные производные второго порядка от P, Q, R Поэтому тройной интеграл равен нулю
• Пример 4 Используя формулу Гауса-Остроградського, вычислить поверхностный интеграл int[x3dydz+y3dzdx+z3dxdy, S] где S- внешняя сторона сферы x2+y2+z2=a2.

Записываем формулу перехода от двойного интеграла к тройному   На этом примере Вы видите, что сам переход между кратными и тройными интегралами найти не трудно.

Решение: Поверхностный интеграл ІІ рода сводим к трехкратному интегралу, используя формулу Гауса-Остроградського: Выписываем P=P(x, y, z)=x3, Q=Q(x, y, z)=y3, R=R(x, y, z)=z3.

Тогда частичные производные от P, Q, R равны Область S ограничивает сфера V уравнением: x2+y2+z2=a2.

В декартовой системе координат вычислять тройной интеграл когда объем ограничен сферой нецелесообразно, поскольку будем иметь корневые функции в пределах интеграла. Поэтому всюду перейдем к сферической системе координат:

1. Находим частичные производные первого порядка по углам от параметризующих координат
2. Дополнительно необходимо найти якобиан перехода:
3. Он служит дополнительным множителем в интеграле. Вычислим подынтегральное выражение в новых координатах:
4. Дальше используя формулу Остроградського-Гауса находим поверхностный интеграл второго рода: Внимательно пересмотрите как раскрывали внутренние интегралы в тройном.
5. Пример 5 Используя формулу Гаусса-Остроградського, превратить поверхностный интеграл по гладкой поверхности S ограничивающей конечный объем V и — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.
6. Решение: Имеем поверхностный интеграл ІІ рода
7. Сведем к объемному интегралу, используя формулу Гауса-Остроградського: 
8. В соответствии с условием функции P, Q, R принимают значение
9. Вычисляем частичные производные второго порядка за переменными x, y, z
10. Подставляем и сводим интегрирование по площади на интегрирование по объему

На сайте размещены сотни развязанных примеров из интегрирования, которые охватывают весь курс из интегралов. Все что нужно для учебы Вы можете пересмотреть в категории интегрирования!

Источник: https://yukhym.com/ru/integrirovanie-funktsii/perekhod-ot-poverkhnostnogo-integrala-ii-roda-k-trojnomu-formula-gaussa-ostrogradskogo.html

Теорема и формула Остроградского — Гаусса :: SYL.ru

М.В. Остроградский — российский математик и физик времен Российской империи, академик. Внес огромный вклад в развитие математического анализа, теории вероятностей, механики (раздела физики), теории чисел. В 1826 году вывел формулу, называемую сейчас формулой Остроградского — Гаусса.

История открытия

Впервые формула Остроградского — Гаусса была упомянута Жозефом Лагранжем в 1762 году.

Далее основной способ приведения тройного интеграла к поверхностному был доказан Карлом Гауссом , который использовал в качестве основы для доказательства решение проблем в электродинамике. Произошло это в первой половине XIX века.

Далее формула в общем виде была представлена Михаилом Остроградским. С ее помощью стало возможно выразить значение дифференциала по параметру от N-кратного интеграла.

Смысл формулы Остроградского

Формула Остроградского-Гаусса соотносит тройной интеграл по пространственному объему с интегралом по поверхности на его грани. Она является аналогом формулы Грина, которая соотносит двойной интеграл по плоскости с криволинейным по ее границам.

Вывод формулы

Формула Остроградского — Гаусса: вывод. Допустим, что в области W определена подынтегральная функция R (x, y, z), которая является определенной и непрерывной. Аналогичной является и ее производная во всей области W, включая ее границу. В таком виде известна сейчас теорема Остроградского — Гаусса (формула приведена ниже).

• Причем S — поверхность, которая ограничивает тело, а интеграл справа распространен на ее внешнюю сторону.
• И абсолютно верно,

1. Если аналогично брать во внимание и интегралы по поверхности, то

• при этом справа находится сумма двух интегралов — первый из них соотносится с верхней частью поверхности (S2), а второй — с нижней частью поверхности (S1). Если приписать к данному равенству справа интеграл, указанный ниже, то его справедливость не будет нарушена:

1. Он соотносится с внешней частью поверхности S3 по причине равенства нулю.
2. Если объединить все три вышеуказанных интеграла в один, будет получен частный случай формулы Остроградского.
3. Несложно осознать, что данная формула верна для более широкого класса тел и справедлива так же для фигур, ограниченных абсолютно любыми нелинейными поверхностями.
4. Аналогично справедливы и следующие формулы:

если функции Q и P непрерывны в области вместе со своими производными dP/dx и dQ/dy.

Если сложить оба равенства, будет получено выражение формулы Остроградского. Она отображает интеграл по поверхности, соотнесенный с внешней частью поверхности, через тройной интеграл, который берется по самому телу, границей которого является вышеуказанная поверхность.

Следует понимать, что формулы Грина, Стокса и Остроградского выражают интеграл, связанный с некоторым геометрическим телом, через интеграл, который берется на его границе. Формула Грина используется только в случае двумерности пространства, формула Стокса — к искривленному двумерному пространству.

Формулу Ньютона-Лейбница можно также рассматривать как некоторый аналог этих формул, но для одномерного пространства.

Применение данной формулы

Пусть в какой-либо незамкнутой области пространства заданы непрерывные функции A, B и C. Взяв любую замкнутую поверхность, находящуюся в данной области и ограничивающую некоторое тело, можно рассмотреть следующий интеграл по поверхности:

Необходимо найти такие значения A, B и C, чтобы при любых x, y и z данный интеграл оказывался равен нулю.

Для этого необходимо использовать формулу Остроградского-Гаусса. Одним из подразумеваемых условий является определенность и непрерывность функций A, B и C и их производных.

Так же требуется специально ввести наиболее данное для данного случая ограничение: и тело, и ограничивающая его поверхность должны содержаться одновременно в конкретной и указанной области, называемую односвязной. Основная его особенность заключается в отсутствии пустого пространства (в том числе и точечного). Таким образом, границей тела будет являться одна и при том единственная поверхность.

После применения формулы возможно получение следующего условия, которое является достаточным:

• Чтобы доказать, что условие является так же и необходимым, достаточно воспользоваться дифференцированием тройного интеграла.
• В заключении необходимо сказать об областях использования.

Как же применяется на практике формула Остроградского-Гаусса? Примеры использования можно обнаружить в самых разных сферах: для вывода некоторых формул в физике (например, уравнение диффузии), преобразования интегралов, вычисления интегралов Гаусса, доказательства некоторых формул и многого иного.

Источник: https://www.syl.ru/article/303849/teorema-i-formula-ostrogradskogo—gaussa

Теорема Остроградского-Гаусса

Теорема Остроградского-Гаусса одна из важнейших для практики теорем электродинамики. Доказанная в ней формула устанавливает связь между потоком векторного поля через замкнутую поверхность и источниками этого поля, находящимися в объёме, ограниченном этой поверхностью.

Краткая история. Теорема сформулирована французским математиком Лагранжем в 1762 году. Применительно к электрическому полю теорему доказал российский математик и механик Остроградский Михаил Васильевич в 1826 году, а в 1831 году опубликовал результаты, представив формулу в дифференциальной форме.

Доказанная им теорема получила название основной теоремы электростатики в дифференциальной форме.

Примерно одновременно с этим немецкий математик, астроном и физик Карл Гаусс разработал общий метод преобразования тройного интеграла к поверхностному на примере решения задач электродинамики, а затем в 1839 году получил результат в интегральной форме и опубликовал его.

Суть теоремы. Полное векторное поле в любой точке является векторной суммой (интегралом) вкладов всех источников. Однако, за исключением самых простых случаев, вычислить эту сумму, как поверхностный интеграл крайне сложно. Тогда как, пользуясь теоремой Остроградского-Гаусса, удается рассчитать гораздо проще и изящнее.

Приведем формулу Остроградского-Гаусса без доказательств, поскольку это задача интересна только математикам.

Формулировка задачи. Пусть в некоторой области трехмерного пространства V, ограниченной замкнутой кусочно-гладкой поверхностью S, задано непрерывно-дифференцируемого векторное поле . Тогда, как установлено ранее, поток векторного поля  через внешнюю сторону замкнутой поверхности S равен поверхностному интегралу первого рода по поверхности S от скалярного произведения вектора нормали к этой поверхности и вектора-функции поля.

Формула Остроградского-Гаусса позволяет математически выразить поток непрерывно-дифференцируемого векторного поля через замкнутую поверхность более простым интегралом от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью.

Формула Остроградского-Гаусса в инвариантной и координатной форме соответственно имеет следующий вид:

Данная теорема расширяет понятие дивергенции для конечного объема. Произведение дает мощность источников в элементарном объеме dV, поэтому полная мощность источников поля в объеме V определяется объемным интегралом в правой части формулы (17) или (18). Поток через замкнутую поверхность состоит из суммы входящего и выходящего потоков (точнее из разности выходящего и входящего из-за противоположных направлений нормалей к S). Итоговый поток будет положительным, если в объеме преобладают источники поля, и отрицательным, если преобладают «стоки». Следовательно, выходящий наружу поток равен интегральной мощности источников в объеме V.

Таким образом, формула (23) позволяет свести задачу вычисления поверхностного интеграла второго рода по замкнутой поверхности S к более простой: вычислению тройного интеграла по области V.

Основная ценность теоремы в области электродинамики состоит в том, что она позволяет глубже понять природу электростатического поля и устанавливает более общую связь между зарядами и полем. Она представляет собой более общую и более изящную формулировку закона Кулона.

Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем, т.е. для замкнутых полупространств с границей.

Теорема Кельвина-Стокса

Другой не менее важной теоремой электродинамики является теорема Кельвина-Стокса, которую применительно к электродинамики часто, не совсем заслужено, называют теоремой Стокса.

Данная теорема в обобщенном виде называется теоремой об интегрировании дифференциальных форм.

В частотном случае теорема позволяет рассчитывать циркуляцию вектора по контуру конечной длины с помощью ротора этого вектора.

Историческая справка. Формула, устанавливающая данную взаимосвязь, была получена в 1949 году британским математиком и физиком Уильямом Томсоном лордом Кельвин.

Тогда как, английским математиком, механиком и физиком-теоретиком ирландского происхождения Джорджем Стоксом она использовалась в качестве задачи на олимпиадах, проводимых в Кембриджском университете, а также была включена в обобщенную теорему в качестве частного случая.

Стоит отметить, что главный приз за 1854 год достался 23-летнему английскому математику Джеймсу Максвеллу, который в последствие заложил основы электродинамики (уравнения Максвелла). Есть основания считать, что оно справился с этой теоремой.

Теорема Кельвина-Стокса позволяет рассчитывать циркуляцию вектора по контуру конечной длины с помощью ротора этого вектора.

Формулировка теоремы: Циркуляция векторного поля  по замкнутому положительно ориентированному контуру L (т.е. направление нормали выбрано) равна потоку ротора этого поля через любую гладкую поверхность S, опирающуюся (натянутую) на данный контур.

Формула Кельвина-Стокса в инвариантной и координатной форме соответственно имеет следующий вид:

Для доказательства теоремы рассмотрим контур ABCA с охватываемой им площадью S (см. рис. 6). Весь контур разбивается на элементарные контуры той же ориентации AB0A, A0CA, BC0B, площадь которых равна dS.

Рис. 6 – Пояснение к криволинейному интегрированию

Для вычисления интеграла по контуру ABCA, воспользуемся свойством аддитивности криволинейного интеграла второго рода, и представим интеграл по замкнутому контуру ABCA в виде суммы интегралов по контурам AB0A, BC0B и CA0C, лежащим в координатных плоскостях (см. рис. 6).

Легко убедиться что это действительно так, поскольку отрезки А0, В0 и С0 вносят нулевой вклад в суммарную циркуляцию, т.к.

интегрирование по ним производится дважды, по в противоположных направлениях, следовательно циркуляция всех этих внутренних участков взаимно компенсируется.

Некомпенсированными остаются только внешние участки принадлежащие контуру АВСА (контуру L в общем виде), что в итоге и дает формулу Кельвина-Стокса.

Формулы (19) и (20) позволяют свести вычисление более сложного криволинейного интеграла второго рода к вычислению более простого двойного интеграла по поверхности S.

Доказательство формулы Кельвина-Стокса, строго подтверждает критерий потенциальности полей, согласно которому необходимым и достаточным условием (критерием) того, что векторное поле является потенциальным, оказывается тождественное равенство нулю его ротора.

Частным случаем теоремы Кельвина-Стокса является теорема Грина, устанавливающая связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуру и двойным интегралом по односвязной области, ограниченной этим контуром. Теорема названа в честь английского математика Джорджа Грина.

Формула Кельвина-Стокса находит широкое применение в гидро- и аэродинамике, электродинамике и т.д.

• Заключение
• Итак, в ходе лекции рассмотрены дифференциальные операции в скалярных и векторных полях, раскрыта сущность таких дифференциальных операторов, как градиент, лапласиан, дивергенция и ротор, приведен их физический смысл.
• Векторные операторы ротор и дивергенция наиболее часто применяются для векторных полей, тогда как градиент и лапласиан – для скалярных полей.
• Приведённая ниже таблица содержит все данные, относящиеся к дифференциальным операциям над векторными и скалярными полями.
• Рассмотернные в лекции основные теоерем электродинамики Остроградского-Гаусса и Кельвина-Стокса имеют большую практическую значимость, поскольку сводят сложные задачи вычисления соответственно поверхностного интеграла и криволинейного интегралов второго рода к вычислению более простых интегралов.

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 691;

Источник: https://studopedia.net/5_51682_teorema-ostrogradskogo-gaussa.html

ПОИСК

    Формула Гаусса-Остроградского позволяет преобразовать интеграл по замкнутой поверхности X в интеграл по объему V, ограниченному этой поверхностью. Если величина а-вектор с компонентами д1,а2,аз , то эта формула примет вид [c.410]

    В дальнейшем будет использована формула Гаусса — Остроградского в виде [c.19]

    Применяя формулу Гаусса—Остроградского [c.234]

    Формула (4.76) находится с помощью формулы Гаусса — Остроградского для тензорных нолей с использованием свойств симметрии тензоров Яда и е  [c.168]

    Уравнения сохранения массы целевого компонента и энергии получаются на основании применения формулы Гаусса — Остроградского к интегральным уравнениям (1.137) и (1.138) при Av ->0  [c.77]

    Для вычисления коэффициента В g) воспользуемся следующим приемом. Умножим правую и левую части формулы (18) на плотность пара р11 2 на границе с зародышем и преобразуем, воспользовавшись теоремой Гаусса — Остроградского, поверхностный интеграл по в в интеграл по объему, занятому газом  [c.153]

    Между потоком вектора на замкнутую поверхность / ограничивающую обьем F, и дивергенцией (расходимостью) вектора существует связь, выражаемая формулой Гаусса — Остроградского  [c.381]

    Следующее предложение можно рассматривать как частный случай формулы Гаусса — Остроградского для конических областей ЙЗ ([О, Т] X Я ) и меры йх X л на них, поскольку оно связывает интегралы по D со значениями функций на боковых поверхностях 8(. [c.578]

    По формуле Гаусса — Остроградского [c.334]

    Интегральным соотношениям (1.1.9) после применения формулы Гаусса — Остроградского соответствуют дифференциальные уравнения импульсов каждой составляющей [c.20]

    Интегральным соотношениям (1.1.19) после применения формулы Гаусса — Остроградского соответствуют дифференциальные уравнения энергии составляющих [c.22]

    Из (1.1.25) после использования формулы Гаусса — Остроградского с учетом (1.1.6) следует выражение для субстанциональной производной ВФ/ВЬ через частные производные по времени и координатам или субстанциональные производные [c.23]

    Выведем дифференциальные уравнения сохранения массы и импульса. Если внутри объема V нет разрывов, то справедлива формула Остроградского — Гаусса [c.20]

    Уравнения сохранения массы в дифференциальной форме для г-й й несущей фаз получаются на основании применения формулы Остроградского — Гаусса к интегральным уравнениям (. 3) и (1.6)  [c.20]

    Применяя формулу Остроградского — Гаусса к выражению (2.204), получим [c.201]

    Используя формулу Остроградского-Гаусса [c.98]

    Но по формуле Остроградского—Гаусса между интегралами по поверхности и по объему существует связь  [c.55]

    Интенсивность прохождения вещества А через поверхность за счет конвекции прн скорости для жидкой массы в соответствии с формулой Остроградского — Гаусса (см. стр. 226) будет  [c.369]

    Это уравнение легко преобразуется в дифференциальное уравнение диффузии с помощью формулы Остроградского — Гаусса. [c.25]

    Дифференциальные уравнения, описывающие изменение количества движения газа и твердых частиц, получим из соотношений (1.2-16) и (1.2-17) после применения формулы Остроградского— Гаусса. Они будут иметь вид  [c.15]

•     Напомним, что для векторного поля А(х, у, 2)==1Аж+ — — Ay- -VAz справедлива формула Остроградского — Гаусса [c.13]
•     Дифференциальные уравнения движения получаются из этой системы следующим образом все интегралы по поверхности преобразуются в интегралы по объему с помощью формулы Остроградского-Гаусса в силу [c.10]
•     Если Р — площадь граничной поверхности контрольного объема V, то, применяя формулу Остроградского—Гаусса, получаем [c.130]
•     Применение формулы Остроградского — Гаусса к входящему в (1) интегралу по поверхности дает [c.30]

    Обратный переход от уравнения (4.53) к задаче (4.45), (4,46) проводится с пснользованпом предположения о существовании вторых производных решения уравнения (4,53), формулы Гаусса — Остроградского и основной леммы варнацнонного исчисления. [c.166]

    Преобразуя интеграл правой части уравнения по формуле Гаусса-Остроградского, имеем  [c.57]

    Выведем одну формулу для среднего числа Шервуда, которая понадобится далее. Для этого проинтегрируем уравнение (6.

Кроме того, используем условие ненро-текания жидкости через поверхность капли (vn)r=rs = 0. В результате получим [c.197]

    Преобразуя равенство (1.5) по формуле Остроградского — Гаусса [31, получим  [c.10]

    Для стационарных процессов первый интеграл в левой части (4.18а) равен нулю. Преобразуя по формуле Остроградского—Гаусса оставшиеся интегралы в поверхностные, получаем [c.138]

    Если тепфь воспользоваться формулой Остроградского — Гаусса [c.159]

    Аналогичным образом могут быть получены постановки сопряженных краевых задач и формулы для градиентов невязки применительно к другим экстремальным постановкам обратных задач.

Для этого, следуя известной процедуре решения задач на условный экстремум, составляется расширенный функционал, учитывающий невязку и (с помощью неопределенных множителей Лагранжа) условия математической модели в виде дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий, условий сопряжения.

Для расширенного функционала вычисляется главная линейная часть приращения, отвечающая вариациям исходных величин и, соответственно, вариациям переменных состояния.

Затем, согласно необходимому условию стационарности расширенного функционала, его вариация приравнивается нулю. Учитывая произвольный характер приращений переменных состояния, приравниваются нулю коэффициенты при соответствующих приращениях. Получившиеся равенства представляют собой условия для определения множителей Лагранжа, которыми в зависимости от учитываемого условия математической модели могут быть функции и константы. Совокупность этих равенств и дает искомую постановку сопряженной краевой задачи. [c.188]

    Рассмотрим теперь начальную стадию процесса, соответствующую малым значениям безразмерного времени. Проинтегрируем уравнение (4.2.1) по объему, занятому телом v. Учитывая тождество АТ = div (gradT), с помощью формулы Остроградского — Гаусса перейдем в правой части полученного выражения от объемного интеграла к поверхностному. В результате имеем [c.140]

Источник: https://www.chem21.info/info/145971/