Свойства функции распределения, график — справочник студента

Для эмпирической случайной величины, заданной эмпирическим законом распределения, можно записать и построить выборочную функцию распределения.

Функция распределения случайной величины задана на всей числовой оси и определяется равенством: F (x) = P (ξ < x), т.е. функция распределения равна вероятности того, что случайная величина примет значение меньше х.

При x ≤ 1 событие ξ20< 1 невозможно, т.к. нет значений ξ20 меньше 1, а вероятность невозможного события равна нулю, следовательно,

F (x) = P (ξ20< 1) = 0.

F (x) = P (ξ20< 2) = 0,1.

На промежутке 2 < x ≤ 4 событие ξ20< 4 состоит в том, что ξ20 принимает значение 1 или 2, соответственно вероятность такого события равна , т.е.

F (x) = P (ξ20< 4) = 0,3.

На промежутке 4 < x ≤ 5 событие ξ20< 5 состоит в том, что ξ20 принимает значение или 1, или 2, или 4. Соответственно вероятность такого события равна , т.е.

F (x) = P (ξ20< 5) = 0,65.

На промежутке 5 < x ≤ 6 событие ξ20< 6 состоит в том, что ξ20 принимает значение или 1, или 2, или 4, или 5. Соответственно вероятность такого события равна , т.е.

F (x) = P (ξ20< 6) = 0,75.

И.т.д.

Таким образом, выборочная функция распределения имеет вид:

Определив значения функции распределения на всей числовой оси, можно построить ее график (Рис.1).

Рис.1.

График выборочной функции распределения имеет ступенчатый вид и строится в виде отрезков: левее наименьшего значения (х = 1) значение функции равно 0 (т.е. график совпадает с горизонтальной осью); в каждой следующей точке xi происходит скачек на величину вероятности νi..

Например, в точке х1 = 1 скачек равен ν1 =.0,1(см. эмпирический закон распределения); в точке х2 = 2 скачек равен ν2 = 0,2; в точке х3 = 4 скачек равен ν3 = 0,2; и т.д. Правее наибольшего значения (х8 = 13) функция равна единице.

Стрелки и точки на концах отрезков показывают, что функция определена на полуинтервалах.

Частотная табуляция

При большом объеме выборки ее элементы группируют. Для этого интервал, содержащий все значения выборки (от xmin до xmax), разбивают на т непересекающихся интервалов.

При этом считается, что правая граница интервала принадлежит следующему интервалу (последний интервал содержит обе свои границы).

Число интервалов т можно выбрать произвольно или найти по формуле Стерджесса:

где п – объем выборки.

Тогда длина каждого интервала равна , где w – размах выборки.

После этого подсчитывают частоты nj – количество элементов выборки, попавших в j-й интервал, и накопленные частоты. Результаты сводят в таблицу частот группированной выборки. Процесс формирования такой таблицы называется частотной табуляцией.

Проведем частотную табуляцию выборки из нашего примера.

Определим число интервалов по формуле Стерджесса:

Число т должно быть целым, т.е. либо 5, либо 6. Т.к. размах выборки равен , то удобнее взять т = 6, т.к. в этом случае длина одного интервала . Если мы возьмем т = 5, то , что не очень удобно, т.к. значения выборки целые.

Таким образом, разбиваем интервал значений выборки (от 1 до 13) на интервалов с шагом . Результаты заносим в таблицу (Таблица 1).

• В первом столбце таблицы записываем номер интервала от 1 до 6. Затем, используя статистический ряд выборки, определяем границы интервалов и записываем их во втором столбце:
• 1) наименьшее значение выборки равно 1, значит, начинаем построение с 1:
• от 1 → 1 + 2 = 3 → до 3;
• 2) от 3 → 3 + 2 = 5 → до 5;
• 3) от 5 → 5 + 2 = 7 → до 7;
• 4) от 7 → 7 + 2 = 9 → до 9;
• 5) от 9 → 9 + 2 = 11 → до 11;
• 6) от 11 → 11 + 2 = 13 → до 13.
• Наибольшее значение выборки равно 13, значит, интервалы определены верно.

В третьем столбце запишем середины полученных интервалов. Середину интервала (а; b) можно найти по формуле: , например: для 1-го интервала ; для 2-го интервала и т.д.

Таблица 1

№ интервала	Границы интервала	Середина интервала	Частота	Накопленная частота
[1; 3)
[3; 5)
[5; 7)
[7; 9)
[9; 11)
[11;13]

В четвертом столбце записываем интервальные частоты, т.е. частоты попадания элементов выборки в данный интервал, например:

в 1-й интервал попадают значения 1 и 2, при этом значение 1 встречается 2 раза (п1 = 2)[15], значение 2 встречается 4 раза (п2 = 4), поэтому первая интервальная частота равна ; в первой строке записываем 6;

во 2-й интервал попадают значения 3 и 4, при этом значение 3 вообще не встречается в выборке, значение 4 встречается 7 раз (п3 = 7), поэтому вторая интервальная частота равна ; во второй строке записываем 7;

в 3-й интервал попадают значения 5 и 6, при этом значение 5 встречается 2 раза (п4 = 2), значение 6 встречается также 2 раза (п4 = 2), поэтому третья интервальная частота равна ; в третьей строке записываем 4 и т.д.

В пятом столбце Таблицы 1 записываем накопленные частоты по принципу: j-я частотанакопл. =. (j – 1)-я частотанакопл+ j-я частотаинт. Например:

1-я накопленная частота равна 6, т.к. предыдущая накопленная частота равна 0 (ее нет), а 1-я интервальная частота равна 6 (см. 4-й столбец): 0 + 6 = 6;

2-я накопленная частота равна 13, т.к. предыдущая (1-я) накопленная частота равна 6, а 2-я интервальная частота равна 7 (см. 4-й столбец): 6 + 7 = 13;

На этом частотная табуляция выборки заканчивается.

Вариационный ряд можно представить и графически, построив полигон и гистограмму частот выборки. Графическое изображение выборки позволяет визуально оценить плотность вероятности распределения генеральной совокупности.

Для построения полигона и гистограммы выборки в рассмотренном примере воспользуемся данными данным Таблицы 1.

На координатной плоскости по горизонтальной оси откладываем значения выборки (xi), по вертикальной оси – частоты (ni) (Рис.2). Единичные отрезки по осям могут быть различны (их размер выбирают, руководствуясь принципом наглядности).

Рис. 2

Гистограмма. На отрезках, равных интервалам Таблицы 1 (2-й столбец), строятся прямоугольники, высота которых равна соответствующим интервальным частотам (4-й столбец Таблицы 1). Полученный набор прямоугольников называется гистограммой выборки.

Полигон. Соединим отрезками середины верхних сторон прямоугольников гистограммы. Полученная ломаная линия называется полигоном выборки (на Рис.2 она обозначена красным цветом).

Проверка гипотезы о законе распределения

Рассмотрим процесс проверки гипотезы о законе распределения на примере из предыдущего раздела.

Пример. Книгу «Винни-Пух и все-все-все» открывали на случайной странице, где выбирали случайное слово. При этом фиксировали длину этого слова. В результате 20 опытов получена следующая выборка:

1. 4, 1, 4, 5, 1, 13, 4, 10, 2, 4, 7, 2, 2, 4, 6, 4, 5, 6, 2, 4.
2. Требуется:
3. 1) Вычислить выборочные характеристики: среднее выборочное, выборочную дисперсию, несмещенную оценку дисперсии.

2) При уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что длина слов распределена по нормальному закону. Параметры распределения оцениваются по выборке: математическое ожидание – по среднему выборочному, среднее квадратическое отклонение – по квадратному корню из несмещенной оценки дисперсии.

• Выборочные характеристики
• Выборочное среднее может быть найдено по формуле
• где k – число различных элементов выборки,
• п – объем выборки.
• Выборочная дисперсия:
• Несмещенная оценка дисперсии:
• .
• Обычно процесс вычисления выборочных характеристик оформляют в виде таблицы (Таблица 2).

В нашем примере k = 8, п = 20, значения xi и ni приведены в статистическом ряде выборки. Заполнение расчетной таблицы начинаем с заполнения столбцов xi и ni, записывая в них данные статистического ряда.

Затем вычисляем произведения xi · ni и результаты заносим в третий столбец. В последней строке суммируем данные, получили 90. Теперь вычисляем среднее выборочное, поделив получившуюся сумму на объем выборки, т.е.

на 20.

1. Теперь, вычислив среднее выборочное, заполняем четвертый столбец, записывая в него соответствующие разности , например:
2. Записываем в первой строке -3,5;

Записываем во второй строке -2,5 и т.д.

Таблица 2

xi	ni	xi · ni
-3,5	12,25	24,50
-2,5	6,25	25,00
-0,5	0,25	1,75
0,5	0,25	0,50
1,5	2,25	4,50
2,5	6,25	6,25
5,5	30,25	30,25
8,5	72,25	72,25
Σ	165,00

В пятом столбце записываем квадраты значений предыдущего столбца, например:

Записываем в первой строке 12,25;

Записываем во второй строке 6,25 и т.д.

Далее умножаем полученные значения пятого столбца на соответствующие частоты (из второго столбца) и результат записываем в последнем столбце, например:

Записываем в первой строке 24,50;

Записываем во второй строке 25,00 и т.д.

• В последней строке суммируем данные последнего столбца, получили 165,00. Теперь вычислим выборочную дисперсию:
• Несмещенную оценку дисперсии найдем, зная выборочную дисперсию:
• .



Источник: https://infopedia.su/14×127.html

Эмпирическая функция распределения, свойства

Вариационный ряд. Полигон и гистограмма.

• Ряд распределения — представляет собой упорядоченное распределение единиц изучаемой совокупности на группы по определенному варьирующему признаку.
• В зависимости от признака, положенного в основу образования ряда распределения различают атрибутивные и вариационные ряды распределения:
• § Ряды распределения, построенные в порядке возрастания или убывания значений количественного признака называются вариационными.
• Вариационный ряд распределения состоит из двух столбцов:

В первом столбце приводятся количественные значения варьирующегося признака, которые называются вариантами и обозначаются . Дискретная варианта — выражается целым числом. Интервальная варианта находится в пределах от и до. В зависимости от типа варианты можно построить дискретный или интервальный вариационный ряд. Во втором столбце содержится количество конкретных вариант, выраженное через частоты или частости:

Частоты — это абсолютные числа, показывающие столько раз в совокупности встречается данное значение признака, которые обозначают . Сумма всех частот равна должна быть равна численности единиц всей совокупности.

Частости( ) — это частоты выраженные в процентах к итогу. Сумма всех частостей выраженных в процентах должна быть равна 100% в долях единице.

1. Графическое изображение рядов распределения
2. Наглядно ряды распределения представляются при помощи графических изображений.
3. Ряды распределения изображаются в виде:
4. § Полигона
5. § Гистограммы
6. § Кумуляты
7. § Огивы
8. Полигон
9. При построении полигона на горизонтальной оси (ось абсцисс) откладывают значения варьирующего признака, а на вертикальной оси (ось ординат) — частоты или частости.

1. Полигон на рис. 6.1 построен по данным микропереписи населения России в 1994 г.

Домохозяйства, состоящие из:	одного человека	двух человек	трех человек	5 или более	всего
Число домохозяйств в %	19,2	26,2	22,6	20,5	100,0

Гистограмма

Для построения гистограммы по оси абсцисс указывают значения границ интервалов и на их основании строят прямоугольники, высота которых пропорциональна частотам (или частостям).

На рис. 6.2. изображена гистограмма распределения населения России в 1997 г. по возрастным группам.

Все население	В том числе в возрасте
до 10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70 и старше	Всего
Численность населения	12,1	15,7	13,6	16,1	15,3	10,1	9,8	7,3	100,0

Рис.1. Распределение населения России по возрастным группам

Эмпирическая функция распределения, свойства.

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Обозначим через число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее x и через n – общее число наблюдений. Очевидно, относительная частота события X

Источник: https://megaobuchalka.ru/10/17556.html

Распределение Стьюдента (t-распределение). Распределения математической статистики в EXCEL

Рассмотрим Распределение Стьюдента (t-распределение). С помощью функции MS EXCEL СТЬЮДЕНТ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности, поясним применение этого распределения для целей математической статистики.

• Распределение Стьюдента (также называется t -распределением ) применяется в различных методах математической статистики:
• Определение : Если случайная величина Z распределена по стандартному нормальному закону N(0;1) и случайная величина U имеет распределение ХИ-квадрат с ν степенями свободы, то случайная величина T=Z/√(U/v) имеет t-распределение .
• Плотность распределения Стьюдента выражается формулой:
• при −∞ < t < ∞

СОВЕТ : Подробнее о Функции распределения и Плотности вероятности см. статью Функция распределения и плотность вероятности в MS EXCEL .

Распределение Стьюдента (англ. Student ’ s t — distribution ) зависит от одного параметра, который называется степенью свободы ( df , degrees of freedom ).

Например, при построении доверительного интервала для среднего число степеней свободы равно df=n-1, где n – размер выборки . При увеличении числа степеней свободы это распределение стремится к стандартному нормальному распределению .

В центральной части распределения (около 0) при df=25, относительная разница со стандартным нормальным распределением составляет порядка 1%, а при df=100 разница составляет 0,25%.

Дисперсию t -распределения можно вычислить по формуле =df/(df-2)

Графики функций

1. В файле примера на листе График приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .
2. График плотности распределения Стьюдента , как и стандартного нормального распределения , является симметричным и колоколообразным, но с более тяжелыми хвостами.
3. Ниже для сравнения приведены графики плотности стандартного нормального распределения и распределения Стьюдента.

Примечание : Для построения функции распределения и плотности вероятности можно использовать диаграмму типа График или Точечная (со сглаженными линиями и без точек). Подробнее о построении диаграмм читайте статью Основные типы диаграмм .

t-распределение в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для t-распределения имеется функция СТЬЮДЕНТ.РАСП() , английское название — T.DIST(), которая позволяет вычислить плотность вероятности (см. формулу выше) и интегральную функцию распределения (вероятность, что случайная величина Х, имеющая распределение Стьюдента , примет значение меньше или равное х, P(X

Примечание : В файле примера на листе Функции приведены основные функции MS EXCEL, связанные с этим распределением.

Кроме этой функции в MS EXCEL имеется еще довольно много других функций, относящихся к данному распределению, но по большому счету их функционал покрывается функцией СТЬЮДЕНТ.РАСП() .

Кроме того, СТЬЮДЕНТ.РАСП() является единственной функцией, которая возвращает плотность вероятности (третий аргумент должен быть равным ЛОЖЬ). Остальные функции возвращают интегральную функцию распределения , т.е. вероятность того, что случайная величина примет значение из указанного диапазона: P(X x) или даже P(|X| > x).

Очевидно, что справедливо равенство

=СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ(x;n)+СТЬЮДЕНТ.РАСП(x;n;ИСТИНА)=1 т.к. первое слагаемое вычисляет вероятность P(X > x), а второе P(X

До MS EXCEL 2010 в EXCEL была только функция СТЬЮДРАСП() , которая позволяет вычислить функцию распределения (точнее — правостороннюю вероятность, т.е. P(X>x)) и объединяет возможности нескольких новых функций MS EXCEL 2010: СТЬЮДЕНТ.РАСП(x; n; ЛОЖЬ) , СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ() , СТЬЮДЕНТ.РАСП.2Х() . Функция СТЬЮДРАСП() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

• Если значение аргумента «хвосты» = 1, функция СТЬЮДРАСП() вычисляет правостороннюю вероятность P(X > x), где X — случайная переменная, соответствующая t-распределению. Под термином «хвост» подразумевается «хвост» распределения, в данном случае правый. На графике плотности вероятности этому «хвосту» будет соответствовать площадь фигуры под графиком (выделена синим), которая ограничена слева вертикальной линией X = x.

• Если значение аргумента «хвосты» = 2, функция СТЬЮДРАСП() вычисляет вероятность P(|X| > x) или другими словами P(X > x или X < -x). Т.е. формула =СТЬЮДРАСП(x;n;2) эквивалентна =СТЬЮДРАСП(x;n;1)*2
• Функцией СТЬЮДРАСП() значения x < 0 не поддерживаются и нельзя записать СТЬЮДРАСП(-x;n;1) . Чтобы вычислить вероятность P(X =ЕСЛИ(x>0;СТЬЮДРАСП(x;n;1);1-СТЬЮДРАСП(-x;n;1)) .

Примеры

Найдем вероятность, что случайная величина Х примет значение меньше или равное заданного x : P(X x ). Это можно сделать несколькими функциями:

• =СТЬЮДЕНТ.РАСП(x; n; ИСТИНА) или =1-СТЬЮДЕНТ.РАСП(-x; n; ИСТИНА) , используется свойство симметричности плотности распределения относительно оси Х.
• =1-СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ(x;n) или =СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ(-x;n) , функция СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ() возвращает вероятность P(X > x), так называемую правостороннюю вероятность, поэтому, чтобы найти P(X
• =1-СТЬЮДЕНТ.РАСП.2Х(x;n)/2 или =1-СТЬЮДРАСП(x;n;2)/2 , в этой формуле х может принимать только положительные значения (подробнее об этой функции см. ниже);
• =1-СТЬЮДРАСП(x; n; 1) , в этой формуле х может принимать только положительные значения, функция СТЬЮДРАСП() , как и СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ() , возвращает «правостороннюю вероятность», т.е. P(X > x).

Аналогичные вычисления для P(X > x) и P(|X| > x) приведены в файле примера на листе Функции , в том числе и для x

Обратная функция используется для вычисления альфа — квантилей , т.е. для вычисления значений x при заданной вероятности альфа , причем х должен удовлетворять выражению P{X альфа .

Функция СТЬЮДЕНТ.ОБР() используется для вычисления как двухсторонних, так и односторонних доверительных интервалов . А функции СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х() и СТЬЮДРАСПОБР() созданы специально для вычисления квантилей , необходимых для расчета двусторонних доверительных интервалов: в качестве аргумента нужно указывать уровень значимости альфа , а не альфа/2 , как для СТЬЮДЕНТ.ОБР() .

Некоторые примеры расчетов приведены в файле примера на листе Функции .

Примечание : Ниже приведено соответствие русских и английских названий функций: СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ() — англ. название T.DIST.RT, т.е. T-DISTribution Right Tail, the right-tailed Student's t-distribution СТЬЮДЕНТ.РАСП.2Х() — англ. название T.DIST.2T, т.е.

T-DISTribution 2 Tails СТЬЮДЕНТ.ОБР() — англ. название T.INV, т.е. T-distribution INVerse СТЬЮДРАСП() — англ. название TDIST, т.е. T-DISTribution СТЬЮДРАСПОБР() — англ. название TINV, т.е. T-distribution INVerse (the right-tailed inverse of the Student's t-distribution) СТЬЮДЕНТ.ОБР.

2Х() — англ. название T.INV.2T

Функции MS EXCEL, использующие t-распределение

Как было сказано выше, при построении доверительных интервалов используется функция ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ() — англ. название CONFIDENCE.T.

Например, формула =ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ(альфа;СТАНДОТКЛОН.В(B20:B79); СЧЁТ(B20:B79)) эквивалентна классической формуле для вычисления доверительного интервала =СТЬЮДЕНТ.ОБР(1-альфа/2; СЧЁТ(B20:B79)-1)* СТАНДОТКЛОН.В(B20:B79)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(B20:B79))

где предполагается, что выборка находится в диапазоне B20:B79 .

Как видим, особых преимуществ в использовании ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ() нет.

Другая функция — СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ() — англ. название T.TEST, используется для оценки различия двух выборочных средних .

Оценка параметров распределения

Т.к. обычно t-распределение используется для целей математической статистики (вычисление доверительных интервалов, проверки гипотез и др.), и практически никогда для построения моделей реальных величин, то для этого распределения обсуждение оценки параметров распределения здесь не производится.

• СОВЕТ : О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .

Источник: https://excel2.ru/articles/raspredelenie-styudenta-t-raspredelenie-raspredeleniya-matematicheskoy-statistiki-v-ms-excel

Нормальный закон распределения Лекция 18. План лекции Нормальный закон распределения. Свойства нормального закона распределения Функции нормального закона. — презентация

1 Нормальный закон распределения Лекция 18

2 План лекции Нормальный закон распределения. Свойства нормального закона распределения Функции нормального закона распределения. Асимметрия и эксцесс. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Доверительные вероятности, доверительный интервал.

3 Нормальный закон распределения случайных величин Нормальное распределение возникает тогда, когда на изменение случайной величины действует множество различных независимых факторов, каждый из которых в отдельности не имеет преобладающего значения.

4 Кривая нормального распределения (Гаусса)

5 ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ: Параметр характеризует математическое ожидание (среднее арифметическое) случайной величины, являясь центром распределения и наиболее вероятным значением. Изменение математического ожидания не влияет на форму кривой, а только вызывает ее смещение вдоль оси x. Пример: Рост в группе 101-M(x)=170 см, σ=5 см 102-M(x)=175 см, σ=5 см

• 6 Пример:
• 7 ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ: Параметр характеризует изменчивость случайной величины (меру растянутости кривой вдоль оси x): чем больше, тем больше кривая растянута. Пример: Рост в группе 101-M(x)=170 см, σ=5 см 102-M(x)=170 см, σ=10 см
• 8 Пример: σ=10 σ=5

9 ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ: График нормальной кривой симметричен относительно прямой x= (одинаковые по абсолютной величине отрицательные и положительные отклонения случайной величины от центра равновероятны). По мере увеличения разности (x– ) значение f(x) убывает. Это значит, что большие отклонения менее вероятны, чем малые. При (x– ) значение f(x) стремится к нулю, но никогда его не достигает.

1. 10 Функции нормального закона: Функция плотности распределения вероятностей Функция распределения вероятностей
2. 11 Задача: Записать функции нормального закона для распределения студентов по росту: M(X)=170 см; σ=5 см
3. 12 Нормальное распределение с параметрами M(x)=0 и σ=1 называется нормированным Функция плотности распределения вероятностей Функция распределения вероятностей
4. 13 Характеристики кривой нормального распределения: Коэффициент асимметрии Показатель эксцесса
5. 14 КОЭФФИЦИЕНТ АСИММЕТРИИ А>0 — правоасимметричные, А
6. 15 ПОКАЗАТЕЛЬ ЭКСЦЕССА f(x) Х Для нормального распределения показатели А=0, и Е=0
7. 16 Нормированное отклонение: Нормированным отклонением называется отклонение случайной величины x,от её математического ожидания, выраженное в единицах σ
8. 17 Найти нормированное отклонение для x=166 см, если M(x)=170 см, σ=5 см. -0,8σ
9. 18 Вероятность попадания значения случайной величины в интервал от — до x: Функция F(x) не выражается через элементарные функции, но для нее составлены таблицы, которые называются таблицами нормального интеграла вероятности
10. 19 Вероятность попадания значения случайной величины в интервал от а до b: причем Ф(–t) = 1– Ф(t) =Ф(t 2 )-Ф(t 1 )
11. 20 Значение нормальной функции распределения Ф(t) tФ(t)t t 0,10 0,53980, , , , , , ,50 0,6915 0, , , , , , , , , ,90 0,8159 0, , , , , ,928212
12. 21 Задача: Найти вероятность попадания случайной величины в интервал от 155 см до 160 см если M(x)=170 см, σ=5 см. Ф(-2)-Ф(-3)=(1-Ф(2))-(1-Ф(3))=(1-0,9772)-(1-0,9986)= 0,0228-0,0014=0,0214=2%
13. 22 Интервальные оценки нормированное отклонение х – μ=σt 1σ – 68,3%; 2σ – 95,5%; 3σ – 99,7% всех вариант Закон 3 : в пределах 3σ находится 99,7% всех вариант
14. 23 Доверительные вероятности и доверительные интервалы Вероятности 0,95 и 0,99 (95% и 99%) – доверительные вероятности Δх=± t – доверительный интервал ВероятностиИнтервалы 0,95 1,96 0,99 2,58 0,999 3,03

24 Уровни значимости Определенным значениям доверительных вероятностей соответствуют так называемые уровни значимости ( ). Уровень значимости обозначает вероятность выхода случайной величины за пределы доверительного интервала. Если доверительную вероятность обозначить – Р, а уровень значимости –, то =1 – Р.

• 25 Доверительные вероятности Уровни значимости 0,950,05 0,990,01 0,9990,001
• 26 95% доверительный интервал
• 27 Задача: Найти доверительный интервал для роста студентов с вероятностью p=0,95 ( =0,05); M(x)=170 см, σ=5 см Δх=1, см Следовательно, рост студентов находится в интервале:

28 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: Основная литература: Ганичева А.В., Козлов В.П. Математика для психологов. М.: Аспект-пресс, 2005, с Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики. М.

, ГЭОТАР-Медиа, Журбенко Л. Математика в примерах и задачах. М.: Инфра-М, Учебно–методические пособия: Шапиро Л.А., Шилина Н.Г.

Руководство к практическим занятиям по медицинской и биологической статистике Красноярск: ООО «Поликом». – 2003.

Источник: http://www.myshared.ru/slide/762391/