Следствия теорем сложения и умножения — справочник студента

Теоремы сложения и умножения вероятностей и их следствия

Цели урока:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!
  1. Образовательные: введение новых понятий теории вероятностей, ознакомление учащихся с методикой решения не простейших задач теории вероятностей.

  2. Развивающие: Развитие математически грамотной речи у учащихся, алгоритмической культуры, критического мышления

  3. Воспитательные: воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения.

Оборудование: мел, доска, мультимедийный проектор.

Ход урока: организационный момент, постановка целей урока

учитель: Здравствуйте, как известно задачи по теории вероятностей уже несколько лет входят как в профильную так и в базовую часть программы единого государственного экзамена по математике. Давайте рассмотрим две задачи, причем эти задачи возьмем из тренировочных вариантов ЕГЭ по математике.

Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента

( учащимся предлагается решить эту задачу)

Решение: распишем задачу.

В данном случае, испытанием является бросание жребия, а испытанием тот факт, что начинать игру будет Вова. Применяем классическое определение вероятности. Р(А)=m/n.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Структурные методы управления конфликтом - справочник студента

Оценим за полчаса!

Так как в результате бросания жребия начинать игру может любой из них, то о бщее количество элементарных исходов равно 4, а гарантировать наступление события будет очевидно только 1 исход, так как среди них только один Вова. Поэтому Р(А)=1/4=0,25.

Как мы видим при решении этой задачи нам понадобилось только классическое определение вероятности.

Рассмотрим еще одну задачу:

Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента

(учитель выбирает учащегося и предлагает решить эту задачу)

Решение: Испытание: выбор одно шара из 30. Поэтому всего исходов будет 30. Событие А- вынутый шар желтый. Здесь всего 9 желтых шаров, поэтому и исходов, благоприятствующих наступлению события А также будет 9. По классическому определению вероятности получим:

  • Р(А)=9/30=0,3
  • Видим из решения, что зная только классическое определение мы снова решили задачу.
  • Теперь рассмотрим еще одну задачу:

Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента

(учитель предлагает немного порассуждать по поводу решения этой задачи)

Учитель: Как мы видим,задачи теории вероятностей увы не всегда являются легко решаемыми. Например, для решения данной задачи недостаточно знание одно лишь классического определения вероятности, необходимо знать гораздо больше.

Нам необходимо расширить знания теории, рассмотреть какие-нибудь свойства вероятности или теоремы, чтобы решить эту задачу. Именно этим мы и займемся сегодня на уроке и в конце урока попробуем решить эту задачу.

Итак тема сегодняшнего урока:

Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента

  1. Учитель: поставим вопрос: так ли необходимы эти теоремы и можно ли обойтись без них при изучении теории вероятностей и подготовки к ЕГЭ? А вот в чем состоит суть этих теорем нам сегодня расскажут ваши одноклассник(ца) )учитель называет фамилию и имя первого докладчика, с которым заранее была проведена соответствующая работа по изучению нового материала)
  2. Докладчик 1: «Здравствуйте, тема моего доклада «Теоремы сложения вероятностей несовместных событий»
  3. Сначала разберемся, что же такое сумма событий

Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента

Теперь сформулируем правило, по которому можно вычислять вероятности суммы событий

Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента

Сформулируем следствие из теоремы, которое в практическом содержании будет интересовать нас даже больше, чем сама теорема:

Следствие:

Сумма вероятностей двух противоположных событий равна 1. т.е

(справедливость следствия очевидна, т.к. событие — достоверное, а события А и несовместны.

  • Рассмотрим пример:
  • Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента
  • Решение: очевидно, что в нашем случае два события
  • А- Температура воздуха больше 25 град.
  • — температура воздуха меньше или равна 25 град.
  • Эти два события противоположны, так как они несовместны и в результате испытания одно из них обязательно наступает. Поэтому
  • По условию Р(А)=0,32, Тогда , или

На этом мой доклад окончен. Спасибо за внимание.

Учитель: Спасибо. Как мы видим из доклада в вашем арсенале добавились новые понятия и две формулы, по которым вы уже вполне можете решать более сложные задачи теории вероятностей. Давайте теперь послушаем второй доклад, который подготовил( учитель называет фамилию и имя ученика)

Докладчик 2: Здравствуйте. Тема моего доклада «Теоремы умножения вероятностей», но сначала давайте выясним, что понимается под произведением событий и какие события мы будем называть зависимыми, а какие независимыми.

Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента

Поясним на конкретном примере. Пусть в корзине лежат два красных и два синих шара. Из корзины наудачу вынимается один шар. Обозначим событие А – вынутый шар оказался красным. Р(А)=1/2. (2 из 4)

1случай. Пусть вынутый шар обратно положили в урну и снова случайно из корзины взяли шар. Событие В – вынутый шар красный. Очевидно, что Р(В)=1/2(2 из 4). Причем эта вероятность не зависит от того, наступило событие А или нет, так как после первого испытания шар вернули в корзину и количество красных и синих шаров не изменилось, т.е А и В независимые события.

2 случай. Пусть после первого испытания шар обратно в корзину не возвращают и снова из корзины вынимают шар. В – вынутый шар красный. Очевидно, что если первый раз был вынут красный шар, то в корзине остался всего один красный шар(событие А наступило) и еще 2 синих, т.е.

всего 3. Таким образом Р(В)=1/3. Если же первый раз был вынут не красный шар, а синий (Событие А не наступило),то в корзине 2 красных шара и 1 синий,т.е всего 3,и Р(В)=2/3. Таким образом, вероятность события В зависит от того, наступило А или нет. Значит А и В зависимые события.

Пусть А и В зависимые события.

Условной вероятностью события В называется вероятность события В, найденная предположении, что событие А уже наступило. В условиях предыдущего примера, =1/3.

Теперь сформулируем правила, с помощью которых можно вычислять вероятности произведения событий:

Теорема:

  1. Вероятность произведения двух зависимых событий, равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что второе уже наступило., те.

Р(АВ)=Р(А)

  1. Вероятность произведения двух независимых событий, равна произведению вероятностей этих событий т.е. Р(АВ)=Р(А)Р(В)

Теперь рассмотрим задачи:

Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента

Решение:

Пусть С– нужный товар будет доставлен из магазина А

Д- нужный товар доставлен из магазина В. Очевидно требуется вычислить Р(. По условия С и Д независимые события, значит:

Решение: Пусть А – первый вынутый шар синий, В – второй шар синий. Очевидно, необходимо вычислить: Р(АВ). Ясно, что события А и В зависимые, поэтому: Р(АВ)=Р(А) , Р(А)=9/24, =8/23, получаем: Р(АВ)=(9/24)(8/23)=72/552

На этом мой доклад окончен. Спасибо.

  1. Учитель: Спасибо. Теперь заслушаем доклад (учитель называет имя и фамилию ученика)
  2. Докладчик 3: Здравствуйте. А тема моего доклада «Теорема сложения двух совместных событий»
  3. Данная теорема широко применяется при решении задач.
  4. Рассмотрим одну из таких задач:

Решение: Пусть А – в магазин завезут свежие фрукты, В– в магазин завезут свежие овощи. Р(А)=0,7, Р(В)=0,9, очевидно, что необходимо вычислить Р(А+В). Следует заметить, что А и В совместные, поэтому:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)=0,7+0,9-0,63=1,6-0,63=0,97.

На этом мой доклад окончен. Спасибо.

Учитель: Большое спасибо. Вот теперь вы знакомы с теоремами сложения и умножения вероятностей, что позволяет вам значительно расширить типы решаемых вами задач по теории вероятностей, что позволит улучшить предстоящую подготовку к ЕГЭ. Теперь давайте вернемся к задаче, которая нас и подтолкнула к изучении теорем и попробуем ее решить.

  • Учитель предлагает классу решить эту задачу самостоятельно и сверить результаты.
  • Решение:

Пусть С – выигрыш А белыми, Д – Выигрыш А черными. Пусть первую партию А играет белыми, тогда вторую – черными. Необходимо вычислить Р(АВ). Ясно, что события А и В независимые, поэтому Р(АВ)=0,45

Сверка ответов.

Учитель:

Теперь давайте ответим на поставленный вопрос. Можно ли в задачах теории вероятности обойтись только одним определением вероятности без теорем сложения и умножения?( учащиеся отвечают) Естественно, этими теоремами теория вероятностей не ограничивается.

Существует еще масса теорем и свойств,которые необходимо знать,чтобы решать задачи определенного типа по теории вероятностей.

Более того, сегодня мы на уроке охватили далеко не всю практическую составляющую теорем сложения и умножения, поэтому этими вопросами мы продолжим заниматься на последующих уроках, а для этого вам необходимо вдумчиво разобраться в теории. Это и будет вашим домашним заданием. Звпишите дом.задание. всем спасибо за урок.

Источник: https://infourok.ru/razrabotka-uroka-po-teme-teoremi-slozheniya-i-umnozheniya-veroyatnostey-1229039.html

Высшая математика и экономика

Основные понятия События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. В противном случае они называются совместными. Полной группой называют совокупность событий, объединение которых есть событие достоверное.

Читайте также:  Методы исследования личности в психологии - справочник студента

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. События называются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от наступления или ненаступления других событий.

События называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от наступления или ненаступления других.

  • Теорема сложения вероятностей несовместных событий
  • где А, В — несовместные события.
  • Теорема сложения вероятностей совместных событий Р(A+B)=Р(A)+Р(B)-P(AB), где А и В — совместные события.
  • Теорема умножения вероятностей независимых событий Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента, где А и В независимые события.
  • Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Р(A+B)=Р(A)+Р(B), Р(АВ)=Р(А)РA(B), где РA(B) — вероятность наступления события В при условии, что произошло событие А; А и В- зависимые события.

Задача 1.
Стрелок производит два выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле 0,8. Составить полную группу событий и найти их вероятности. Решение. Испытание — Производится два выстрела по мишени.

Событие А — оба раза промахнулся.

Событие В — попал один раз. Событие С — оба раза попал. Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента. Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента Контроль: P(A) + P(B) + P(C) = 1. Задача 2. Согласно прогнозу метеорологов Р(дождь)=0,4; Р(ветер)=0,7; Р(дождь и ветер)=0,2. Какова вероятность того, что будет дождь или ветер? Решение. По теореме сложения вероятностей и в силу совместности предложенных событий имеем: Р(дождь или ветер или то и другое)=Р(дождь) +Р(ветер) –Р(дождь и ветер)=0,4+0,7-0,2=0,9.

Задача 3. На станции отправления имеется 8 заказов на отправку товара: пять – внутри страны, а три – на экспорт.

Какова вероятность того, что два выбранных наугад заказа окажутся предназначенными для потребления внутри страны? Решение. Событие А – первый взятый наугад заказ – внутри страны.

Событие В – второй тоже предназначен для внутреннего потребления. Нам необходимо найти вероятность  Тогда по теореме об умножении вероятностей зависимых событий имеем

Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента Задача 4. Из партии изделий товаровед наудачу отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что выбранная вещь окажется высшего сорта равна, 0,8; первого сорта – 0,7; второго сорта – 0,5. Найти вероятность того, что из трех наудачу отобранных изделий будут:а) только два высшего сорта;

б) все разные.

Решение. Пусть событие  — изделие высшего сорта; событие — изделие первого сорта; событие — изделие второго сорта. По условию задачи ; ;  События — независимы. а) Событие А – только два изделия высшего сорта будет выглядеть так Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студентатогда Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента б) Событие В – все три изделия различны — выразим так:Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента, тогда Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента. Задача 5. Вероятности  попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1=0,8;  p2=0,7;  p3=0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий. Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события  (попадание первого орудия),  (попадание второго орудия) и  (попадание третьего орудия) независимы в совокупности. Вероятности событий, противоположных событиям  (т.е. вероятности промахов), соответственно равны: Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента Искомая вероятность Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента Задача 6. В типографии имеется 4 печатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А). Решение. События «машина работает» и «машина не работает» (в данный момент) – противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице: Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна Искомая вероятность . Задача 7. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей , из которых три в переплете . Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

Решение. Рассмотрим следующие события: А1- первый взятый учебник в переплете; A2- второй взятый учебник в переплете.

Событие, состоящее в том, что оба взятых учебника в переплете . События А1 и А2 являются зависимыми, так как вероятность наступления события А2 зависит от наступления события А1. Для решения указанной задачи воспользуемся теоремой умножения вероятностей зависимых событий: .

Вероятность наступления события А1  p(A1) в соответствии с классическим определением вероятности: P(A1)=m/n=3/6=0,5.

Вероятность наступления события А2 определяется условной вероятностью наступления события А2 при условии наступления события А1 , т.е. (A2)==0,4.

Тогда искомая вероятность наступления события:

P(A)=0,5*0,4=0,2.

Источник: http://www.matem96.ru/primer/primer_terver12.shtml

Лекция 2 основные теоремы 1 теорема сложения

Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента

Пример 3. Круговая мишень (рис. ) состоит из трех зон: I, II и III. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле 0, 15, во вторую 0, 23, в третью 0, 17. Найти вероятность промаха. Решение. Обозначим –A- промах, A- попадание. Тогда тогда

Вероятность суммы двух совместимых событий выражается формулой В справедливости формулы можно наглядно убедиться

ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Определение: Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Определение: Событие А называется зависимым от события В , если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Пример: Определить зависимы события или нет 1) Опыт состоит в бросании двух монет; рассматриваются события: А– появление герба на первой монете, В – появление герба на второй монете.

2) В урне два белых шара и один черный; два лица вынимают из урны по одному шару; рассматриваются события: А – появление белого шара у 1 -го лица, В– появление белого шара у 2 -го лица. Вероятность события А до того, как известно что-либо о событии В , равна 2/3.

Если стало известно, что событие В произошло, то вероятность события А становится равной ½, из чего заключаем, что событие зависит от события.

Теорема: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место: (2)

Доказательство: Докажем для схемы случаев.

Пусть возможные исходы опыта сводятся к n случаям, которые мы для наглядности изобразим в виде точек: Предположим, что событию A благоприятны m случаев, а событию B благоприятны k случаев.

Так как мы не предполагали события A и B несовместными, то вообще существуют случаи, благоприятные и событию A, и событию B одновременно. Пусть число таких случаев-l. Тогда

Вычислим , условную вероятность события B в предположении, что A имело место. Если известно, что событие A произошло, то из ранее возможных n случаев остаются возможными только те m , которые благоприятствовали событию A. Из них l случаев благоприятны событию B. Следовательно, Подставляя полученные выражения и в формулу (2), получим тождество. Теорема доказана.

при применении теоремы умножения безразлично, какое из событий и считать первым, а какое вторым,

Из следствия 1 вытекает, что зависимость или независимость событий всегда взаимны.

Определение: Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

Понятие независимости событий может быть распространено на случай произвольного числа событий. Несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Следствие непосредственно вытекает из определения независимых событий.

Пример: 1. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые. 2. Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0, 8, у второго – 0, 9. Стрелки делают по выстрелу.

Найти вероятность: а) двойного попадания; б) двойной промах; в) хотя бы одного попадания; г) одного попадания. 3. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0, 6; 0, 7 и 0, 8 соответственно.

Вычислить вероятность того, что формула содержится 1) только в одном справочнике; 2) только в двух справочниках; 3) во всех трех справочниках.

Источник: https://present5.com/lekciya-2-osnovnye-teoremy-1-teorema-slozheniya/

17.4. Обобщения теорем сложения и умножения. Появление только одного из независимых событий

Рассмотрим примеры совместного применения теорем сло­жения и умножения. Пусть два независимых события А1 и А2 имеют вероятности появления соответственно P1 и Р2. Найдем вероятность появления только одного из этих событий.

Для этого введем новые события: В1 и B2. Событие В1 состоит в том, что событие А1 наступило, а событие А2 не наступило; иными словами, В1 = A12.

Аналогичным образом определя­ется и событие B2 = 1A2 (совместное ненаступление события A1 и наступление события А2). Поскольку события А1 и A2 независимы, то независимы также и противоположные coбытия 1 и 2; тогда события В1 и В2 являются несовместными.

Вероятность наступления только одного из событий А1 и А2 находится как сумма вероятностей несовместных событий В1 и B2:

Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента

Где q1 = 1 – P1 , Q2 = 1 — Р2.

Аналогичным образом можно убедиться в справедливости формулы вероятности наступления только одного из трех не­зависимых событий A1, А2, А3 с вероятностями наступления соответственно Р1, р2 и р3:

Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента

Где Bi произведения наступившего события АI и двух дру­гих ненаступивших событий (I = 1, 2, 3).

Для случая П неза­висимых событий формула вероятности наступления только одного из них имеет аналогичный вид — сумма П слагаемых, каждый член которой представляет собой произведение вероятности наступления одного из событий на вероятности (N — 1) других противоположных событий.

Пример 1. Предприниматель решил вложить свои средства поровну в два контракта, каждый из которых принесет ему прибыль в размере 100%. Вероятность того, что любой из кон­трактов не «лопнет», равна 0,8. Какова вероятность того, что по истечении контрактов предприниматель по меньшей мере ничего не потеряет?

Решение. Предприниматель по крайней мере ничего не по­теряет, если либо не «лопнет» один из контрактов (другой воз­местит ему потери), либо будут выполнены оба контракта. Пусть события А1 и А2 — это выполнение соответствующих контрактов (вероятность Р = 0,8); эти события являются независимыми.

Противоположные им события 1 и 2 — не­выполнение контрактов (вероятность Q = 0,2). Тогда собы­тия В1 = А12, В2 = 1A2 и A1A2 являются несовместны­ми (последнее событие — это выполнение обоих контрактов). Искомая вероятность определяется с учетом формул (17.

10) и (17.7):

Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента

Источник: http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/osnovy-matematiki-i-ee-prilozheniia-v-ekonomicheskom-obrazovanii-krass-m-s-chuprynov-b-p/17-4-obobshcheniia-teorem-slozheniia-i-umnozheniia-poiavlenie-tolko-odnogo-iz-nezavisimykh-sobytii

Теорема сложения и теорема умножения вероятностей

Теорема сложения и теорема умножения вероятностей

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.

  • Например, если из орудия произведены два выстрела и А – попадание при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле, то событие А+В – попадание хотя бы при одном выстреле (или при первом выстреле, или при втором, или в обоих случаях).
  • Теорема 1.(теорема сложения вероятностей)
  • Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
  • P(A+B)=P(A)+P(B) (3)

Доказательство: Введем обозначения: n – общее число возможных элементарных исходов испытания; m1 – число исходов, благоприятствующих событию А; m2 – число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m1+m2. Следовательно, P(A+B)=(m1+m2)/n=. Приняв во внимание, что m1/n=P(A) и m2/n=P(B), окончательно получим P(A+B)=P(A)+P(B)

Следствие 1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)

Пример 3. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Теорема 2. Сумма вероятностей событий А1, А2, …, Аn, образующих полную группу, равна единице:

P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1 (4)

Доказательство: Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то:

P(A1+A2+…+An)=1 (5)

любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения:

P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) (6)

Сравнивая (4) и (5), получим P(A1+A2+…+An)=1

Пусть в результате испытания возможны только два единственно возможных события. Например, а) при одном бросании монеты — «выпал герб» и «выпала цифра»; б) при одном бросании игральной кости — «выпало 6 очков» и «не выпало 6 очков»; с) при одном выстреле — «попадание в мишень» и «не попадание в мишень».

В каждой паре событий появление одного исключает появление второго. Действительно, если монета выпала гербом, то уже не может выпасть цифрой; игральная кость не может одновременно выпасть сразу двумя гранями; стрелок попадая в мишень, исключает промах.

Итак, данных примерах противоположными событиями являются: а) A={выпал герб}, ={выпала цифра}; б) B={выпало 6 очков}, ={не выпало 6 очков}; с) C={попадание в мишень}, ={не попадание в мишень}.

Теорема 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

P(A)+P()=1 или p+q=1, где P(A)=p, p()=q

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А – деталь годная, В – деталь окрашенная, то АВ – деталь годна и окрашена.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Условной вероятностью РА(В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Теорема 4. (теорема умножения вероятностей) Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Читайте также:  Электрическое поле в проводнике с током и его источники - справочник студента

Следствия теорем сложения и умножения - Справочник студента (7)

Следствие 2. Эту теорему можно обобщить на любое конечное число зависимых событий A1,A2,…,Ak

P(A1,A2,…,Ak)=P(A1)•PA1(A2)•PA1A2(A3)…PA1A2…Ak-1(A)

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т.е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности PAB=P(B)

Теорема 5. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

P(AB)=P(A)•P(B) (9)

Пример 4. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А) равна 0,8, а вторым (событие В)-0,7.

Событие А и В независимые, поэтому, по теореме умножения, искомая вероятность P(AB)=P(A)•P(B)=0.7•0.8=0.56

Следствие 3. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

P(A1,A2,…,An)=P(A1)•P(A2)•…•P(An)

Теорема 5. Вероятность появления хотя бы одного из событий A1,A2,…,An, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий 1,2,…,n

P(A)=1-q1q2…qn (10)

Доказательство: Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий A1,A2,…,An. Событие A и 1,…,n (ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна единице:

P(A)+P(1,2,…,n)=1

Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим:

P(A)=1-P(1,2,…,n)=1-P(1)P(2)…P(n)

или

P(A)=1-q1q2…qn

  1. Теорема 6. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления
  2. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) (11)
  3. Доказательство: Поскольку события А и В, по условию, совместны, то событие А+В наступит, если наступит одно из следующих трех совместных событий: B, A или AB. По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

P(A+B)=P(B)+P(A)+P(AB) (*)

  • Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: A или AB. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем:
  • P(A)=P(A)+P(AB)
  • Отсюда P(A)=P(A)-P(AB) Аналогично имеем P(B)=P(B)+P(AB) Отсюда P(B)=P(B)-P(AB)
  • Подставив все в (*)б, окончательно получим P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Порядок вывода комментариев: По умолчанию Сначала новые Сначала старые

Источник: http://testent.ru/publ/studenty/vysshaja_matematika/teorema_slozhenija_i_teorema_umnozhenija_verojatnostej/35-1-0-1123

Теоремы сложения вероятностей

Теорема 3.2 (Теорема сложения вероятностей несовместных событий). Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

.

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

.

Теорема 3.3 (Теорема сложения вероятностей совместных событий). Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий:

.

Пример 3.3. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на три из четырех положенных ему вопросов. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет?

Решение. Введем обозначения: событие A – студент сдал зачет, – студент ответил на 4 вопроса, студент ответил на 3 вопроса. Тогда . События и являются несовместными, тогда по теореме 3.2 получаем .

  • , , , .
  • , , ,
  • в итоге получаем .

Пример 3.4. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в 1, 2 и 3 справочнике соответственно равна 0,6; 0,7; 0,8.

Найти вероятность того, что формула содержится: 1) только в одном справочнике (событие A); 2) только в двух справочниках (событие B); 3) во всех трех справочниках (событие С); 4) ни в одном справочнике (событие D); 5) хотя бы в одном справочнике (событие Е).

Решение. Введем обозначения: событие – формула находится в -ом справочнике (i=1, 2, 3). По условию:

  1. , ;
  2. , ;
  3. , .

1) , тогда в силу теорем 3.1 и 3.2 получаем:

.

2) , аналогично в силу теорем 3.1 и 3.2 получаем:

  • .
  • 3) , .
  • 4) , .

5) Для вычисления вероятности события E перейдем к противоположному событию, формула не содержится ни в одном из справочников, то есть = , . Откуда получаем: .

Пример 3.5. Из колоды в 36 карт наудачу вынимают одну карту. Найти вероятность того, что эта карта пиковая или туз.

Решение. Введем обозначения: событие A – вынута пиковая карта или туз, – вынута пиковая карта, вынут туз. Тогда . События и являются совместными, тогда по теореме 3.3

,

где , . , поэтому . Окончательно получаем:

.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/11_105858_teoremi-slozheniya-veroyatnostey.html

Теоремы сложения и умножения вероятностей

  • ПрактическАЯ РАБОТА№ 2
  • Тема: Решение задач на применение теорем сложения и умножения вероятностей
  • Цели:
  • ознакомиться с понятием вероятности, с теоремами о сложении и умножении вероятностей
  • научиться решать задачи на применение теорем сложения и умножения вероятностей
  1. Оснащение занятия: конспект лекций.
  2. Критерии оценок
  3. оценка «5» ставится за выполнение задания 1 и верное решение всех предложенных задач из задания 2.
  4. оценка «4» ставится за выполнение задания 1 и верное решение любых четырех предложенных задач из задания 2.
  5. оценка «3» ставится за выполнение задания 1 и верное решение любых трехпредложенных задач из задания 2.
  6. Порядок выполнения работы
  7. Задание 1.

1. Ознакомиться с лекциями2 и 3.

  • 2. Выписать в тетрадь определение и свойства основных понятий
  • 3. Записать в тетрадь решение разобранных примеров
  • Лекция 2.
  • Тема «Теория вероятностей. Основные понятия»

Если монету, например рубль, подбросить вверх и позволить ей упасть на пол, то возможны только два исхода: «монета упала гербом вверх» и «монета упала решкой вверх». Случай, когда монета падает на ребро, подкатывается к стене и упирается в нее, бывает очень редко и обычно не рассматривается.

Издавна в России играли в «орлянку» – подбрасывали монету, если надо было решить спорную проблему, у которой не было очевидно справедливого решения, или разыгрывали какой-нибудь приз. В этих ситуациях прибегали к случаю: одни загадывали выпадение «орла», другие – «решки».К подбрасыванию монеты иногда прибегают даже при решении весьма важных вопросов.

Например, полуфинальный матч на первенство Европы в 1968 году между командами СССР и Италии закончился вничью. Не выявился победитель ни в дополнительное время, ни в серии пенальти. Тогда было решено, что победителя определит его величество случай. Бросили монету. Случай был благосклонен к итальянцам.

В повседневной жизни, в практической и научной деятельности мы часто наблюдаем те или иные явления, проводим определенные эксперименты. 

Событие, которое может произойти, а может не произойти в процессе наблюдения или эксперимента, называют случайным событием

Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей.

 Опыт 1:  Петя 3 раза подбросил монету вверх. И все 3 раза выпал «орел» – монета упала гербом вверх. Догадайтесь, возможно ли это?Ответ: Возможно. «Орел» и «решка» выпадают совершенно случайно.

Опыт 2:  Подбросить монету в 1 рубль 50 раз и подсчитать, сколько раз выпадет орел. Записать результаты в тетради. 

В XVIII веке французский ученый, почетный член петербургской академии наук Бюффон для проверки правильности подсчета вероятности выпадения «орла» подкинул монету 4040 раз. «Орел» у него выпал 2048 раз.В XIX веке английский ученый Пирсон подкинул монету 24 000 раз. «Орел» у него выпал 12 012  раз.

Подставим в формулу , позволяющую подсчитать статистическую частоту появления интересующего нас результата,  = 12 012, = 24 000. Получим   = 0,5005.

Рассмотрим пример подбрасывания игрального кубика. Будем считать, что этот кубик имеет правильную форму и сделан из однородного материала и поэтому при его бросании шансы выпадения на его верхней грани любого числа очков от 1 до 6 одинаковы.

Говорят, что существует шесть равновозможных исходов этого испытания: выпадение очков 1, 2, 3, 4, 5 и 6.Вероятность того или иного события проще всего подсчитать, если все  возможных исходов «одинаковы» (ни один из них не имеет преимуществ перед остальными).

 В этом случае вероятность P вычисляется по формуле  Р = , где  n – число возможных исходов. В примере подбрасывании монеты есть лишь два исхода («орел» и «решка»), т.е. п = 2.  Вероятность Р  выпадения «орла»  равна  .

Опыт 4: Каковавероятностьтого, что при бросании игральной кости выпадет:а) 1 очко;     б) более 3 очков.

Ответ: а ) , б) .

ОпределениеЕсли событие при рассматриваемых условиях происходит всегда, то оно называется достоверным. Вероятность появления достоверного события равна 1.

Есть события, которые при рассматриваемых условиях не происходят никогда. Например, Буратино по совету лисы Алисы и кота Базилио  решил зарыть свои золотые монеты на поле Чудес, чтобы из них появилось денежное дерево. Какой будет вероятность того, что их посаженных монет вырастет дерево? Вероятность вырастания денежного дерева из монет, «посаженных» Буратино, равна 0.

Определение:Если событие при рассматриваемых условиях не происходит никогда, то оно называетсяневозможным. Вероятность невозможного события равна 0.

  1. Лекция 3.
  2. Тема «Теоремы сложения и умножения вероятностей»
  3. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий,  безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
  4. P(A+B)=P(A)+P(B);P(+ +…+=P(+P+…+P().
  5. Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
  6. Для трех совместных событий имеет место формула:P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

Событие, противоположное событию A (т.е. ненаступление события A), обозначают . Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице: P(A)+P()=1

  • Вероятность наступления события A, вычисленная в предположении, что событие B уже произошло, называется условной вероятностью события A при условии B и обозначается (A) или P(A/B).ЕслиAи B – независимые события, то 
  • P(B)-(B)=(B).
  • События A,B,C,… называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется в связи с наступлением или ненаступлением других событий по отдельности или в любой их комбинации.

Теоремы умножения вероятностей.Теорема умножения вероятностей независимых событий.Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

  1. P(AB)=P(A)•P(B)
  2. Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле:P()=P()•P()… P().
  3. Теорема умножения вероятностей зависимых событий.Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго:
  4. P(AB)=P(A)• (B)=P(B)•(A)

Решение типовых задачЗадача 1.В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Решение: Событие A-билет выигрышный. Общее число различных исходов есть n=1000 

Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m=200. Согласно формуле P(A)=, получим P(A)==  = 0,2

Задача2.Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.

  • Решение: Событие A-появление черного шара. Общее число случаев n=5+3=8
  • P(A)=  =  = 0,375

Число случаев m, благоприятствующих появлению события A, равно 3

 Задача3. Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

  1.  Решение: Событие A- появление двух черных шаров. Общее число   возможных случаев n равно числу сочетаний из 20 элементов (12+8) по 2 
  2. n==  = 28P(A)=  =  =  = 0,147

n==  =190Число случаев m, благоприятствующих событию A, составляет

  Задача4.В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Решение:Пусть A — появление белого шара из первой урны, а B – появление белого шара из второй урны. Очевидно, что события A и B независимы. Найдем P(A)=4/12=1/3, P(B)=3/12=1/4, получим P(AB)=P(A)•P(B)=(1/3)•(1/4)=1/12=0,083

  • Задание 2.
  • Решить задачи 5, 6, 7 и задачи из указанного преподавателем варианта.
  • Задачи для самостоятельного решения

  Задача5.В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем 5 из них стандартные. Рабочий берет наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной.

   Задача6.Найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно

  Задача7.В ящике находится 12 деталей, из которых 8 стандартных. Рабочий берет наудачу одну за другой две детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

Вариант 1.

  1. Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 40 до 70 является кратным 6?

  2. Какова вероятность того, что при пяти бросаниях монеты она три раза упадет гербом к верху?

Вариант 2.

  1. Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 1 до 30 (включительно)  является делителем числа 30?

  2. В НИИ работает 120 человек, из них 70 знают английский язык, 60 – немецкий, а 50 – знают оба. Какова вероятность того, что выбранный наудачу сотрудник не знает ни одного иностранного языка?

Контроль знаний обучающихся:

  • проверить практическую работу;
  • устный опрос.

1. Что называется вероятность события? Что называется достоверным событием? Что называется невозможным событием?

2. Рассказать теоремы сложения вероятностей независимых и зависимых событий.

3. Рассказать теоремы умножения вероятностей независимых и зависимых событий.

  1. Требования к оформлению практической работы:
  2. Задание должно быть выполнено в тетради для практических работ
  3. Работу сдать после занятия.

Источник: https://kopilkaurokov.ru/matematika/prochee/tieoriemy_slozhieniia_i_umnozhieniia_vieroiatnostiei

Ссылка на основную публикацию