Решение задач на максимум и минимум с помощью производной — справочник студента

Инфоурок › Физика ›Другие методич. материалы›Интегрированный урок «Решение задач на максимум и минимум с помощью производной (в рамках подготовки к ЕГЭ)»

Выбранный для просмотра документ Решение задач на максимум и минимум.ppt

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Решение задач на максимум и минимум с помощью производной - Справочник студента

Решение задач на максимум и минимум с помощью производной - Справочник студента

Решение задач на максимум и минимум с помощью производной - Справочник студента

Решение задач на максимум и минимум с помощью производной - Справочник студента

Решение задач на максимум и минимум с помощью производной - Справочник студента

Решение задач на максимум и минимум с помощью производной - Справочник студента

Решение задач на максимум и минимум с помощью производной - Справочник студента

Решение задач на максимум и минимум с помощью производной - Справочник студента

Решение задач на максимум и минимум с помощью производной - Справочник студента

Решение задач на максимум и минимум с помощью производной - Справочник студента

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Описание слайда:

«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н.И.Лобачевский

2 слайд Описание слайда:

Решение задач на максимум и минимум (в рамках подготовки к ЕГЭ)

3 слайд Описание слайда:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Векторный потенциал и его связь с вектором индукции магнитного поля - справочник студента

Оценим за полчаса!

Ответы на домашнее задание

4 слайд Описание слайда:

Ньютон Задача определения скорости прямолинейного неравномерного движения была впервые решена Ньютоном. Функцию он назвал флюэнтой, т.е. текущей величиной, производную же – флюксией. Ньютон пришел к понятию производной, исходя из вопросов механики. Предполагают, что Ньютон открыл свой метод флюксий ещё в середине 60-х годов XVII в.

5 слайд Описание слайда:

Ответы на домашнее задание

6 слайд Описание слайда:

Лагранж 1736-1813 В 19 лет он стал профессором в Артиллерийской школе Турина. Именно Лагранж в 1791 г. ввёл термин «производная», ему же мы обязаны и современным обозначением производной (с помощью штриха). Термин «вторая производная» и обозначение(два штриха) также ввёл Лангранж

7 слайд Описание слайда:

Решим задачу: Материальная точка движется по закону X = -2 + 4t + 3t2 (м). Определите скорость и ускорение в момент времени 2 секунды ?

8 слайд Описание слайда:

Решение задачи:

9 слайд Описание слайда:

Формулы из физики с производной. v(t) = х′(t) – скорость a (t)=v′(t) — ускорение J (t) = q′(t) — сила тока ω (t)= φ′(t) — угловая скорость N(t) = A′(t) — мощность ε = Ф′(t) – электродвижущая сила

10 слайд Описание слайда:

Алгоритм 1. Выберите величину – функцию и величину – аргумент. Составьте формулу аналитической зависимости между этими величинами. 2. Уточните промежуток изменения независимой величины (аргумента), на котором отыскивается наибольшее (наименьшее) значение функции, 3. Найдите критические точки функции. 4. Найдите значение функции в критических точках и на концах промежутка.

11 слайд Описание слайда:

Решим задачу: Найти наименьшее значение функции на отрезке f(x)=(x-15) ex-14 на отрезке [13; 15]

Читайте также:  Учет добавочного капитала - справочник студента

12 слайд Описание слайда:

Решим задачу: Найти точку минимума функции y=

13 слайд Описание слайда:

Решим задачу: Источник тока с электродвижущей силой 220 В и внутренним сопротивлением 50 Ом подключен к прибору сопротивлением R. Чему должно быть равно сопротивление R потребителя, чтобы потребляемая мощность была наибольшей?

14 слайд Описание слайда:

Алгоритм 1. Выберите величину – функцию и величину – аргумент. Составьте формулу аналитической зависимости между этими величинами. 2. Уточните промежуток изменения независимой величины (аргумента), на котором отыскивается наибольшее (наименьшее) значение функции, 3. Найдите критические точки функции. 4. Найдите значение функции в критических точках и на концах промежутка.

15 слайд Описание слайда:

Решим задачу: Дождевая капля падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь так, что ее масса меняется по закону (m – измеряется в граммах, t — в секундах). Через какое время после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей?

16 слайд Описание слайда:

Решим задачу: Два корабля плывут со скоростями 20 км/ч и 30 км/ч по прямым, угол между которыми равен 60 о, в направлении точки пересечения этих прямых. Найдите наименьшее расстояние между кораблями, если в начальный момент времени расстояния кораблей от точки пересечения прямых были соответственно 10 км и 20 км.

17 слайд Описание слайда:

Домашнее задание:

18 слайд Описание слайда:

Ломоносов М.В. Слеп физик без математики

Курс повышения квалификации

ЕГЭ по физике: методика решения задач

Скрыть

Важно! Узнайте, чем закончилась проверка учебного центра «Инфоурок»?

Краткое описание документа:

Общая информация

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Источник: https://infourok.ru/material.html?mid=3879

Максимумы, минимумы и экстремумы функций

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Решение задач на максимум и минимум с помощью производной - Справочник студента

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

Решение задач на максимум и минимум с помощью производной - Справочник студента

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).

Решение задач на максимум и минимум с помощью производной - Справочник студента         Решение задач на максимум и минимум с помощью производной - Справочник студента

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

— Производная положительна там, где функция возрастает. — Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Решение задач на максимум и минимум с помощью производной - Справочник студента

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Решение задач на максимум и минимум с помощью производной - Справочник студента

Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.

(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.

  • (- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.
  • (-7): минимум.
  • (3): максимум.
  • Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус. — Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

  1. Найдите производную функции (f'(x)). 
  2. Найдите корни уравнения (f'(x)=0). 
  3. Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
  4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов). 
  5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью). 
  6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2: — если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума; — если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;

    — если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.

Решение задач на максимум и минимум с помощью производной - Справочник студента

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Решение задач на максимум и минимум с помощью производной - Справочник студента

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54). Решение: 1. Найдем производную функции: (y'=15x^4-60x^2).

  1. 2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:
  2. (15x^4-60x^2=0)      (|:15) (x^4-4x^2=0) (x^2 (x^2-4)=0) (x=0)       (x^2-4=0)
  3.                (x=±2)

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Решение задач на максимум и минимум с помощью производной - Справочник студента

Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).

Ответ. (-2).

Источник: http://cos-cos.ru/math/327/

Общая схема решения задач B15

30 марта 2012

Все задачи B15, которые встречаются в ЕГЭ по математике, делятся на два типа:

  1. Задачи на поиск максимального или минимального значения функции на отрезке. Иногда отрезок не задан — в этом случае работаем на всей числовой прямой;
  2. Задачи на точку максимума/минимума. Решаются чуть проще, зато функции здесь намного разнообразнее.

У каждого из них свои алгоритмы решения, которые будут рассмотрены ниже. Но в любом случае, чтобы решить задачу B15, учитесь считать производную — см. «Производная». Без производных здесь делать нечего.

Задачи на максимальное/минимальное значение

Если в задаче B15 требуется найти максимальное или минимальное значение функции f (x) на отрезке [a; b], выполняем следующие действия:

  1. Найти производную функции: f ’(x);
  2. Решить уравнение f ’(x) = 0. Если корней нет, пропускаем третий шаг и переходим сразу к четвертому;
  3. Из полученного набора корней вычеркнуть все, что лежит за пределами отрезка [a; b]. Оставшиеся числа обозначим x1, x2, …, xn — их, как правило, будет немного;
  4. Подставим концы отрезка [a; b] и точки x1, x2, …, xn в исходную функцию. Получим набор чисел f (a), f (b), f (x1), f (x2), …, f (xn), из которого выбираем наибольше или наименьшее значение — это и будет ответ.

Небольшое пояснение по поводу вычеркивания корней, когда они совпадают с концами отрезка. Такое вполне может встретиться на настоящем экзамене. Эти точки можно вычеркнуть, поскольку на четвертом шаге концы отрезка все равно подставляются в функцию — даже если уравнение f ’(x) = 0 не имело решений.

Также следует внимательно читать условие задачи. Когда требуется найти значение функции (максимальное или минимальное), концы отрезка и точки x1, x2, …, xn подставляются именно в функцию, а не в ее производную.

Задача. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−5; 0]:

y = x3 + 3×2 − 9x − 7

  • Для начала найдем производную:
  • y’ = (x3 + 3×2 − 9x − 7)’ = 3×2 + 6x − 9
  • Затем приравняем ее к нулю:

y’ = 0; 3×2 + 6x − 9 = 0; …

x1 = −3; x2 = 1.

Вычеркиваем корень x = 1, поскольку он не принадлежит отрезку [−5; 0]. Осталось вычислить значение функции на концах отрезка и в точке x = −3. Имеем:

y(−5) = (−5)3 + 3 · (−5)2 − 9 · (−5) − 7 = −12; y(−3) = (−3)3 + 3 · (−3)2 − 9 · (−3) − 7 = 20; y(0) = 03 + 3 · 02 − 9 · 0 − 7 = −7.

Очевидно, что наибольшее значение равно 20 — оно достигается в точке x = −3.

Задачи на точки максимума/минимума

Теперь рассмотрим случай, когда требуется найти точку максимума или минимума функции f (x) на отрезке [a; b]. Если отрезок не задан, функция рассматривается на своей области определения. В любом случае, схема решения такова:

  1. Найти производную функции: f ’(x);
  2. Решить уравнение f ’(x) = 0. Если производная — дробно-рациональная функция, дополнительно выясняем, когда ее знаменатель равен нулю. Полученные корни обозначим x1, x2, …, xn;
  3. Отметить x1, x2, …, xn на координатной прямой и расставить знаки, которые принимает производная между этими числами. Если задан отрезок [a; b], отмечаем его и вычеркиваем все, что лежит за его пределами;
  4. Среди оставшихся точек ищем ту, где знак производной меняется с минуса на плюс (это точка минимума) или с плюса на минус (точка максимума). Такая точка должна быть только одна — это и будет ответ.
Читайте также:  Трудности классической теории электропроводности - справочник студента

В целом, задачи на точки максимума/минимума считаются даже проще, чем задачи на поиск наименьшего/наибольшего значения. Это происходит хотя бы из-за того, что здесь не надо считать значение функции в конкретных точках. Статистика свидетельствует, что именно на этом шаге ученики допускают больше всего ошибок.

Вдумчивый читатель наверняка заметит, что для некоторых функций этот алгоритм не работает. Действительно, существует целый класс функций, для которых нахождение точек экстремума требует более сложных выкладок. Однако такие функции в ЕГЭ по математике не встречаются.

Внимательно отнеситесь к расстановке знаков между точками x1, x2, …, xn. Помните: при переходе через корень четной кратности знак производной не меняется. Когда ищутся точки экстремума, знаки читают слева направо, т.е. по направлению числовой оси.

Задача. Найдите точку максимума функции на отрезке [−10; −1]:

Решение задач на максимум и минимум с помощью производной - Справочник студента

Найдем производную:

Решение задач на максимум и минимум с помощью производной - Справочник студента

Поскольку это дробно-рациональная функция, приравниваем к нулю числитель:

y’ = 0; x2 − 25 = 0; …

  1. x1 = 5; x2 = −5.
  2. Получили два корня. Теперь приравниваем к нулю знаменатель:
  3. x2 = 0; x = 0.

Получили x = 0 — корень второй кратности. При переходе через него знак производной не меняется. Осталось отметить точки x = −5; x = 0; x = 5 на координатной прямой, а затем расставить знаки и границы. Имеем:

Решение задач на максимум и минимум с помощью производной - Справочник студента

Очевидно, что внутри отрезка останется лишь одна точка x = −5, в которой знак производной меняется с плюса на минус. Это и есть точка максимума.

Еще раз поясню, чем отличаются точка экстремума от самого экстремума. Точка экстремума — это значение переменной, при которой

функция принимает наибольшее или наименьшее значение. Экстремум — это значение самой функции, максимальное или минимальное в некоторой окрестности.

Источник: https://www.berdov.com/ege/extremum/general_pattern/

Задачи на максимум и минимум 11 класс, Никольский С.М. ©Бахова Альфуся Борисовна учитель математики МОУ СОШ 6 г.Нарткала, КБР. — презентация

1 Задачи на максимум и минимум 11 класс, Никольский С.М. ©Бахова Альфуся Борисовна учитель математики МОУ СОШ 6 г.Нарткала, КБР

2 Изменение силы тока I в зависимости от времени t задано уравнением ( I – в амперах, t – в секундах). Найдите скорость изменения силы тока в момент времени t = 10 сек. 2.

Известно, что тело массой m=5 кг движется прямолинейно по закону (S – путь в метрах, t – время в секундах). Найдите кинетическую энергию тела через 2 сек после начала движения.

Ответ: v(t) = 4t – 5 (A/c), v(10) = 35 (A/c) 2

  • 3 x 0 y1 12 По характеру изменения графика функции укажите, на каких промежутках производная положительна, на каких отрицательна. Каждая из функций определена на R Ответ: на
  • 4 x 0 y12 По характеру изменения графика функции укажите, на каких промежутках производная положительна, на каких отрицательна. Каждая из функций определена на R Ответ: на 1
  • 5 x 0 y12 По характеру изменения графика функции укажите, на каких промежутках производная положительна, на каких отрицательна. Каждая из функций определена на R Ответ: на 1
  • 6 x 0 y12 На рисунке изображен график дифференцируемой функции y = h(x). Определите знак производной функции на промежутках

7 Дан график производной одной из перечисленных функций. Определите какой? x 0 y Верно Подумай 1

8 Дан график производной одной из перечисленных функций. Определите какой? x 0 y Верно Подумай 1

9 Дан график производной одной из перечисленных функций. Определите какой? x 0 y Подумай Верно Подумай 1

10 Дан график производной одной из перечисленных функций. Определите какой? x 0 y Подумай Верно 1

11 Дан график производной одной из перечисленных функций. Определите какой? x 0 y Подумай Верно 1

12 Функция f(x) задана на [a; b]. Определите max и min функции, и точки локального экстремума на [a; b]. х у 0 а b х 1 х 1 х 2 х 2 х 3 х 3 х 4 х 4

13 Л.Н.

Толстой «Много ли человеку земли надо?» …Крестьянин Пахом очень мечтал о собственной земле и собрал он наконец, желанную сумму, предстал перед требованием старшины: «Сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за 1000 р. Но если к заходу солнца не возвратишься на место, с которого вышел, пропали твои деньги». Выбежал утром Пахом, прибежал на место и упал без чувств, обежав четырехугольник периметром 40 км.

14 А ВС D P = AB + BC + CD + DA P = = 40 (км) Наибольшую ли площадь при данном периметре получил Пахом?

15 Начертите четырехугольник с периметром 40 км и наибольшей площадью 1 ряд 2 ряд 3 ряд

16 Составить таблицу для вычисления площадей прямоугольников с различными длинами Периметр P 40 Стороны а b Площадь S Вывод.Из всех прямоугольников данного периметра наибольшую площадь имеет квадрат. Пахом, например, мог бы пройти всего 36 км (P = 9*4=36 км) и иметь участок площадью S = 9*9 =81(кв.км)

17 Схема исследования на наибольшее и наименьшее значения функции 1. Ввести переменную х, от значения которой зависит та величина, которая согласно условию задачи принимает наибольшее (наименьшее) значение; 2. Определить границы изменения переменной х – промежуток Х; 3.

Выразить через х величину, которая согласно условию задачи принимает наибольшее (наименьшее) значение (получить функцию f(x)); 4. Рассмотреть функцию f(x), заданную на Х, найти ее критические точки, точки локального максимума (минимума); 5. Объяснить, почему в точке локального максимума (минимума) функция принимает наибольшее (наименьшее) значение; 6.

Интерпретировать результаты исследования функции f(x) с точки зрения решаемой задачи.

18 В круг радиуса а вписать прямоугольник наибольшей площади. А ВС D x O a a РЕШЕНИЕ 1.,

19 продолжение 5. где 6. х Ответ:

20 А В С D х 20 — х Наибольшую ли площадь при данном периметре (40 км) получил Пахом? на интервале (0; 20) функция имеет единственную критическую точку х=10

21 Если бы Пахом при Р=40 км, пробежал бы по периметру квадрата, то площадь была бы больше и равна 100 кв.км продолжение х

22 Задача В некотором царстве, в некотором государстве подорожала жесть, идущая на изготовление консервных банок. Экономный хозяин фабрики рыбных консервов хочет выпускать свою продукцию в банках цилиндрической формы объемом V с наименьшими возможными затратами жести. Вычислите диаметр основания и высоту такой банки. Решение х 1. x > 0, 2. 3.

23 продолжение на интервале (0; +) на интервале (0; +) функция имеет единственную критическую точку х 1 х 1 х min

24 продолжение Ответ:

25 Дана прямоугольная система координат х 0 у. Выяснить, какую наименьшую площадь может иметь прямоугольный треугольник, на гипотенузе которого лежит точка М(0;1), а катеты лежат на прямых х = -2 и у = 0.

Решение 1) Изобразим один из возможных прямоугольных треугольников – треугольник ABD. х у М(0;1) В А D C Х=-2 2) Так как М(0;1) и С(-2; 1), то МО=1, OD=MC=2.

O 3) Обозначим АС=t (t>0), тогда АСМ~MOВ (по двум углам)

26 Дана прямоугольная система координат х 0 у. Выяснить, какую наименьшую площадь может иметь прямоугольный треугольник, на гипотенузе которого лежит точка М(0;1), а катеты лежат на прямых х = -2 и у = 0.

продолжение 4) Из подобия треугольников АСМ и МОВ следует, что х у М(0;1) В А D C Х=-2 O 5)

27 Дана прямоугольная система координат х 0 у. Выяснить, какую наименьшую площадь может иметь прямоугольный треугольник, на гипотенузе которого лежит точка М(0;1), а катеты лежат на прямых х = -2 и у = 0.

продолжение 6) Так как для любого t>0 справедливо неравенство х у М(0;1) В А D C Х=-2 O причем только при t=1, то для t>0 функция достигает наименьшего значения 4 при t=1.

28 Дана прямоугольная система координат х 0 у.

Выяснить, какую наименьшую площадь может иметь прямоугольный треугольник, на гипотенузе которого лежит точка М(0;1), а катеты лежат на прямых х = -2 и у = 0.

продолжение 7) Заметим, что если в данной задаче обозначить ОВ=t, то х у М(0;1) В А D C Х=-2 O аналогичными рассуждениями можно получить, что Тогда из неравенства следует, что Ответ:4

29 Д/З : п.5.9 – выучить; выучить алгоритм решить 5.94*, творческое задание (необязательное) Придумать прикладную задачу по пройденной теме. Какова схема исследования на наибольшее и наименьшее значение функции?

30 Продолжите фразы: Сегодня на уроке я узнал… Сегодня на уроке я научился… Сегодня на уроке я познакомился… Сегодня на уроке я повторил… Сегодня на уроке я закрепил… http://aida.ucoz.ru30

31 %D1%8C%D0%BA%D0%BE%20%D0%B7%D0%B5%D0%BC%D0%BB%D0%B8%20%D0% BD%D0%B0%D0%B4%D0%BE%20%D1%87%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B 5%D0%BA%D1%83%20%D0%A2%D0%BE%D0%BB%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B9 %20%D0%9B.%D0%9D.&spsite=hiero.ru&img_url=en.hiero.ru%2Fpict%2F766%2F jpg&rpt=simagehttp://images.yandex.ru/search?p=3&ed=1&text=%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BB %D1%8C%D0%BA%D0%BE%20%D0%B7%D0%B5%D0%BC%D0%BB%D0%B8%20%D0% BD%D0%B0%D0%B4%D0%BE%20%D1%87%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B 5%D0%BA%D1%83%20%D0%A2%D0%BE%D0%BB%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B9 %20%D0%9B.%D0%9D.&spsite=hiero.ru&img_url=en.hiero.ru%2Fpict%2F766%2F jpg&rpt=simage (сколько земли 1) %D1%8C%D0%BA%D0%BE%20%D0%B7%D0%B5%D0%BC%D0%BB%D0%B8%20%D0% BD%D0%B0%D0%B4%D0%BE%20%D1%87%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B 5%D0%BA%D1%83%20%D0%A2%D0%BE%D0%BB%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B9 %20%D0%9B.%D0%9D.&spsite=feb-web.ru&img_url=feb- web.ru%2Ffeb%2Ftolstoy%2Fpictures%2FLEB-338.jpg&rpt=simagehttp://images.yandex.ru/search?p=8&ed=1&text=%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BB %D1%8C%D0%BA%D0%BE%20%D0%B7%D0%B5%D0%BC%D0%BB%D0%B8%20%D0% BD%D0%B0%D0%B4%D0%BE%20%D1%87%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B 5%D0%BA%D1%83%20%D0%A2%D0%BE%D0%BB%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B9 %20%D0%9B.%D0%9D.&spsite=feb-web.ru&img_url=feb- web.ru%2Ffeb%2Ftolstoy%2Fpictures%2FLEB-338.jpg&rpt=simage (сколько земли 2) Список использованных ресурсов и литературы 1. Лукин Р.Д., Лукина Т.К., Янунина М.С. Устные упражнения по алгебре и началам анализа. – М.Просвещение, 1989 г. 2. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профиль. уровни. – М.:Просвещение, Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра и начала анализа. Дидактический материал. 11 кл.. – М.:Просвещение, Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра и начала анализа. 11 кл.Книга для учителя. – М.:Просвещение, Толстой Л.Н. Много ли человеку земли надо. Презентация – шаблон Microsoft Office PowerPoint , автор Александрова З.В. (Aida_Alex)

Источник: http://www.myshared.ru/slide/1196014/

Ссылка на основную публикацию