Разложение многочлена на множители — справочник студента

Справочник по математике Алгебра Деление многочленов.Корни многочленов

Разложение многочлена на множители - Справочник студента

      Пусть   n   – произвольное натуральное число. Рассмотрим многочлен   n   – ой степени от переменной   x  

Pn (x) == a0 xn + a1 x n –1 ++ … + an –1 x + an , (1)

коэффициенты которого

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!
a0 ,  a1 , … , an –1 , an (2)
  • являются любыми комплексными числами.
  •       Заметим, что в этом случае коэффициент   a0   отличен от нуля, и введем следующее определение.
  •       Определение 1. Алгебраическим уравнением степени   n   с неизвестным   x   называют уравнение вида
  •       Определение 2. Корнем уравнения (3) называют вещественное или комплексное число   α ,   для которого
  • Pn (α) = 0 .
  •       Определение 3 . Число   α   называют корнем кратности   k   уравнения (3), если справедливо равенство
  • Pn (α) = (x – α )k Q (x) ,
  • где
  • .

Разложение многочленов на множители в комплексной области

  1.       Основная теорема алгебры (теорема Гаусса) утверждает, что любое алгебраическое уравнение вида (3) имеет   n   корней, при условии, что каждый корень считается столько раз, какова его кратность.

  2.       Если
  3. z1 ,  z2 , … , zk –1 , zk
  4. – полный набор корней уравнения (3), а
  5. l1 ,  l2 , … , lk –1 , lk
  6. – их кратности, то, во-первых,
  7. l1 +  l2 + … + lk –1 + lk = n ,
  8. а, во-вторых, справедливо равенство
Разложение многочлена на множители - Справочник студентаРазложение многочлена на множители - Справочник студента (4)
  •       Замечание. Линейными множителями называют многочлены первой степени
  • x – z1 ,  x – z2 , … , x – zk ,
  • входящие в формулу (4), а саму формулу (4) называют формулой разложения многочленов на линейные множители в комплексной области.

Разложение на множители многочленов с действительными коэффициентами

  1.       Рассмотрим теперь многочлены степени   ,   все коэффициенты которых являются вещественными числами.
  2.       Тогда справедливо следующее
  3.       Утверждение. Если комплексное число

Разложение многочлена на множители - Справочник студента

является корнем кратности   ls   многочлена с вещественными коэффициентами, то и комплексно сопряженное число

Разложение многочлена на множители - Справочник студента

является корнем этого многочлена, причем тоже кратности   ls .

      Из утверждения вытекает, что в разложение (4) степень каждого бинома, содержащая комплексный корень   zs   и имеющая вид

Разложение многочлена на множители - Справочник студентаРазложение многочлена на множители - Справочник студента (5)

входит в паре со степенью бинома, содержащей комплексно сопряженный корень     и имеющей вид

Разложение многочлена на множители - Справочник студента (6)

      А поскольку

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Преподавание и учение как две стороны обучения - справочник студента

Оценим за полчаса!

то произведение каждой пары биномов (5) и (6), входящей в формулу (4), даёт степень квадратного трехчлена с вещественными коэффициентами:

      Следствие. Каждый многочлен ненулевой степени, коэффициенты которого являются вещественными числами, разлагается на множители, являющиеся многочленами с вещественными коэффициентами первой или второй степени.

  •       Пример. Разложить на множители многочлен четвертой степени
  • x4 + 1 .
  •       Решение.

Теорема (формулы) Виета

      Снова рассмотрим уравнение   n – ой степени от переменной   x  

(7)

и, немного изменив предыдущие обозначения, предположим, что

z1 ,  z2 , … , zn –1 , zn (8)

— его корни, причем в записи (8) каждый корень взят столько раз, какова его кратность.

      Тогда из формулы (4) вытекают следующие равенства, которые называют формулами Виета для уравнения   n – ой степени:

  1.       Формулы Виета для   n = 2   доказаны в разделе «Квадратные уравнения» нашего справочника.
  2.       При   n = 3   уравнение (7) имеет вид
  3. а формулы Виета записываются так:

      В случае уравнения 4-ой степени

формулы Виета записываются так:

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/algebra/thalg.htm

Способ группировки

Кроме вынесения общего множителя за скобки существует еще один способ разложения многочлена на множители — способ группировки.

Этот способ разложения на множители считается более сложным, поэтому перед его изучением, убедитесь, что вы уверенно выносите общий множитель за скобки.

Запомните!

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, необходимо сделать следующее.

  1. Подчеркнуть повторяющиеся буквы и записать друг за другом одночлены с одинаковыми буквенными множителями.
  2. Вынести общий множитель за скобки у каждой группы одночленов.
  3. Вынести полученный общий многочлен за скобки.

Рассмотрим пример разложения многочлена на множители способом группировки.

Разложение многочлена на множители - Справочник студента

  1. Подчеркнем повторяющиеся буквенные множители в одночленах.
  2. Разложение многочлена на множители - Справочник студента У нас получится две группы одночленов с повторяющимися буквенными множителями. Разложение многочлена на множители - Справочник студента

  3. Вынесем общий множитель за скобки у каждой группы одночленов.
  4. Разложение многочлена на множители - Справочник студента Проверим, верно ли мы вынесли общий множитель за скобки. Для этого раскроем скобки обратно. Разложение многочлена на множители - Справочник студента Мы получили исходный многочлен, значит, мы правильно вынесли общий множитель за скобки.

  5. Теперь в полученном результате вынесем общий многочлен «(a + b)» за скобки.
  6. Разложение многочлена на множители - Справочник студента

Примеры способа группировки

Группировать одночлены можно по-разному. При правильной группировке должен появиться общий многочлен.

Рассмотрим пример. Требуется разложить многочлен на множители, используя способ группировки.

Первый способ

48xz2 + 32xy2 − 15z2 − 10y2 =

Обратим внимание, что в двух одночленах повторяется «y2» и «z2». Подчеркнем повторяющиеся одночлены и запишем их друг за другом. Затем вынесем общий множитель у каждой группы одночленов.

48xz2 + 32xy2 − 15z2 − 10y2 = 48xz2 − 15z2 + 32xy2 − 10y2 = 3z2(16x − 5) + 2y2(16x − 5) = = (16x − 5)(3z2 + 2y2)

Запишем пример еще раз. Теперь обратим внимание, что в первых двух одночленах повторяется «x». Подчеркнем повторяющиеся одночлены. Вынесем общий множитель у каждой группы одночленов.

48xz2 + 32xy2 − 15z2 − 10y2 = 16x(3z2 + 2y2) − 5(3z2 + 2y2) = (3z2 + 2y2)(16x − 5)

В итоге получился такой же ответ, как и при первом способе.

Рассмотрим еще один пример разложения многочлена способом группировки.

  • 4q(p − 1) + p − 1 = 4q(p − 1) + (p − 1) = 4q(p − 1) + 1 · (p − 1) = (p − 1)(4q + 1) В этом примере следует отметить, что для вынесения общего многочлена мы добавили умножение на 1 к многочлену (p − 1), что не изменяет результат умножения. Это помогает понять, что останется во второй скобке после вынесения общего многочлена.

Смена знаков в скобках

Важно!

Иногда для вынесения общего многочлена требуется сменить все знаки одночленов в скобках на противоположные.

Для этого за скобки выносится знак «−», а в скобках у всех одночленов меняются знаки на противоположные.

2ab2 − 3x + 1 = −(−2ab2 + 3x − 1)

Рассмотрим пример способа группировки, где для вынесения общего многочлена, нам потрубуется выполнить смену знаков в скобках.

  • 2m(m − n) + n − m = −2m( −m + n) + (n − m) = −2m(n − m) + 1 · (n − m) = = (n − m)(−2m + 1)

Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages/polynomials/way_of_group_polynomials.php

Сборник задач по алгебре

ГЛАВА VI

РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ.

§ 27. Разложение многочленов на множители способом группировки.

В каждом из следующих примеров заключить в скобки два последних члена и затем вынести общий множитель за скобку:

Разложение многочлена на множители - Справочник студента

Разложить на множители

Разложение многочлена на множители - Справочник студента Разложение многочлена на множители - Справочник студента

862.  Приписать к каждому из следующих  выражении такой член,   чтобы  полученный   многочлен   можно   было разложить на множители способом группировки:

1) ab + ас + bх…       2) am + an — bт…

3) ах + х — ау…        4) а2 — ab + ас…

863.   Придумать  два  примера  на  разложение многочленов на множители способом группировки.

864.  Найти двумя способами числовое значение следующих выражений:  1) предварительно разложив их на множители; 2) не разлагая на множители.  Выяснить,   какой способ проще.

Разложение многочлена на множители - Справочник студента

Разложить на множители:

Разложение многочлена на множители - Справочник студента

  • 868. Доказать тождество:
  • х2ху + 2х—2у = (ху)(х + 2).
  • Указания. Использовать два способа доказательства:
  • 1)  разложить на   множители левую   часть   равенства;
  • 2)  выполнить   умножение  двучленов  в   правой части равенства.
  • 869.  Решить следующий пример двумя способами:
  • 1)  не делая предварительно преобразований;
  • 2)  преобразовать   данное  выражение  в   произведение способом группировки и вычислить ответ в уме:
  • 139•15 + 18•139 + 15•261 + 18•261.
  • Упражнения для   повторения.
  • 870.  Разложить на множители многочлены:
  • 1) ах + а + 3х + 3;     2) a3 — 5a2 — 2a + 10
  • 3)  ах — bх— а + b;     4) 7x3x2y — 7x4 + x3y
  • 871.  Найти числовое значение выражения:
  •  a2ab — 2а + 2b при а = 0,35; = 0,15.
  • 872.  Решить уравнение:
  • (1 + 3х)(1 — 3х) — 5х + 12х2 = 27 + 3(х — 2)(х + 3).
  • ОТВЕТЫ

Разложение многочлена на множители - Справочник студента

Источник: http://oldskola1.narod.ru/Lar02/Lar27.htm

Многочлены. Разложение многочлена на множители: способы, примеры :

Понятия «многочлен» и «разложение многочлена на множители» по алгебре встречаются очень часто, ведь их необходимо знать, чтобы с легкостью производить вычисления c большими многозначными числами. В этой статье будет описано несколько способов разложения. Все они достаточно просты в применении, стоит лишь правильно подобрать нужный в каждом конкретном случае.

Понятие многочлена

Многочлен является суммой одночленов, то есть выражений, содержащих только операцию умножения.

Разложение многочлена на множители - Справочник студента

Например, 2 * x * y – это одночлен, а вот 2 * x * y + 25 — многочлен, который состоит из 2 одночленов: 2 * x * y и 25. Такие многочлены называет двучленами.

Иногда для удобства решения примеров с многозначными значениями выражение необходимо преобразовать, например, разложить на некоторое количество множителей, то есть чисел или выражений, между которыми производится действие умножения. Есть ряд способов разложения многочлена на множители. Стоит рассмотреть их начиная с самого примитивного, который применяют еще в начальных классах.

Группировка (запись в общем виде)

Разложение многочлена на множители - Справочник студента

  • Формула разложения многочлена на множители способом группировки в общем виде выглядит таким образом:
  • ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Необходимо сгруппировать одночлены так, чтобы в каждой группе появился общий множитель. В первой скобке это множитель с, а во второй – d. Это нужно сделать для того, чтобы затем вынести его за скобку, тем самым упростив вычисления.

Алгоритм разложения на конкретном примере

Простейший пример разложения многочлена на множители способом группировки приведен ниже:

10ас + 14bc – 25a — 35b = (10ас – 25а) + (14bc — 35b)

В первую скобку нужно взять слагаемые с множителем а, который и будет общим, а во вторую – со множителем b. Обратите внимание на знаки + и – в готовом выражении.

Мы ставим перед одночленом тот знак, который был в начальном выражении. То есть нужно работать не с выражением 25а, а с выражением -25.

Знак минус как бы «приклеить» к стоящему за ним выражению и всегда учитывать его при вычислениях.

На следующем шаге нужно вынести множитель, который является общим, за скобку. Именно для этого и делается группировка.

Вынести за скобку – значит выписать перед скобкой (опуская знак умножения) все те множители, которые с точностью повторяются во всех слагаемых, которые находятся в скобке.

Если в скобке не 2, а 3 слагаемых и больше, общий множитель должен содержаться в каждом из них, иначе его нельзя вынести за скобку.

В нашем случае — только по 2 слагаемых в скобках. Общий множитель сразу виден. В первой скобке – это а, во второй – b. Здесь нужно обратить внимание на цифровые коэффициенты. В первой скобке оба коэффициента (10 и 25) кратны 5.

Это значит, что можно вынести за скобку не только а, но и 5а.

Перед скобкой выписать 5а, а затем каждое из слагаемых в скобках поделить на общий множитель, который был вынесен, и также записать частное в скобках, не забывая о знаках + и — Со второй скобкой поступить также, вынести 7b, так как и 14 и 35 кратно 7.

Итак:

10ас + 14bc – 25a — 35b = (10ас – 25а) + (14bc — 35b) = 5а(2c — 5) + 7b(2c – 5).

Получилось 2 слагаемых: 5а(2c — 5) и 7b(2c – 5). Каждое из них содержит общий множитель (все выражение в скобках здесь совпадает, значит, является общим множителем): 2с – 5. Его тоже нужно вынести за скобку, то есть во второй скобке остаются слагаемые 5а и 7b:

  1. 5а(2c — 5) + 7b(2c – 5) = (2c – 5)*(5а + 7b).
  2. Итак, полное выражение:
  3. 10ас + 14bc – 25a — 35b = (10ас – 25а) + (14bc — 35b) = 5а(2c — 5) + 7b(2c – 5) = (2c – 5)*(5а + 7b).
  4. Таким образом, многочлен 10ас + 14bc – 25a — 35b раскладываается на 2 множителя: (2c – 5) и (5а + 7b). Знак умножения между ними при записи можно опускать

Разложение многочлена на множители - Справочник студента

Иногда встречаются выражения такого типа: 5а2 + 50а3 , здесь можно вынести за скобку не только а или 5а, а даже 5а2. Всегда нужно стараться вынести максимально большой общий множитель за скобку. В нашем случае, если разделить каждое слагаемое на общий множитель, то получается:

5а2 / 5а2 = 1; 50а3 / 5а2 = 10а (при вычислении частного нескольких степеней с равными основаниями основание сохраняется, а показатель степени вычитается). Таким образом, в скобке остается единица (ни в коем случае не забывайте писать единицу, если выносите за скобку целиком одно из слагаемых) и частное от деления: 10а. Получается, что:

5а2 + 50а3 = 5а2 (1 + 10а)

Формулы квадратов

Для удобства вычислений были выведены несколько формул. Они называются формулами сокращенного умножения и используются довольно часто. Эти формулы помогают разложить на множители многочлены, содержащие степени. Это еще один действенный способ разложения на множители. Итак, вот они:

  • a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 — формула, получившая название «квадрат суммы», так как в результате разложения в квадрат берется сумма чисел, заключенная в скобки, то есть значение этой суммы умножается само на себя 2 раза, а значит, является множителем.
  • a2 + 2ab — b2 = (a — b)2 — формула квадрата разности, она аналогична предыдущей. В результате получается разность, заключенная в скобки, содержащаяся в квадратной степени.
  • a2 — b2 = (a + b)(а — b) — это формула разности квадратов, так как изначально многочлен состоит из 2 квадратов чисел или выражений, между которыми производится вычитание. Пожалуй, из трех названных она используется чаще всего.

Примеры на вычисления по формулам квадратов

Разложение многочлена на множители - Справочник студента

Вычисления по ним производятся достаточно просто. Например:

  1. 25×2 + 20xy + 4y2 — используем формулу «квадрат суммы».
  2. 25×2 является квадратом выражения 5х. 20ху — удвоенное произведение 2*(5х*2у), а 4y2 — это квадрат 2у.
  3. Таким образом, 25×2 + 20xy + 4y2 = (5x + 2у)2 = (5x + 2у)(5x + 2у). Данный многочлен раскладывается на 2 множителя (множители одинаковые, поэтому записывается в виде выражения с квадратной степенью).

Действия по формуле квадрата разности производятся аналогично этим. Остается формула разность квадратов. Примеры на эту формулу очень легко определить и найти среди других выражений. Например:

  • 25а2 — 400 = (5а — 20)(5а + 20). Так как 25а2 = (5а)2, а 400 = 202
  • 36х2 — 25у2 = (6х — 5у) (6х + 5у). Так как 36х2 = (6х)2, а 25у2 = (5у2)
  • с2 — 169b2 = (с — 13b)(c + 13b). Так как 169b2 = (13b)2

Важно, чтобы каждое из слагаемых являлось квадратом какого-либо выражения. Тогда этот многочлен подлежит разложению на множители по формуле разности квадратов. Для этого не обязательно, чтобы над числом стояла именно вторая степень. Встречаются многочлены, содежащие большие степени, но все равно подходящие к этим формулам.

a8+10a4+25 = (a4)2 + 2*a4*5 + 52 = (a4+5)2

В данном примере а8 можно представить как (a4)2 , то есть квадрат некого выражения. 25 — это 52, а 10а4это удвоенное произведениеслагаемых2*a4*5. То есть данное выражение, несмотря на наличие степеней с большими показателями, можно разложить на 2 множителя, чтобы в последствии работать с ними.

Формулы кубов

Такие же формулы существуют для разложения на множители многочленов, содержащих кубы. Они немного посложнее тех, что с квадратами:

  • a3 + b3 = (а + b)(a2 — ab + b2) — эту формулу называют суммой кубов, так как в начальном виде многочлен представляет собой сумму двух выражений или чисел, заключенных в куб.
  • a3 — b3 = (а — b)(a2 + ab + b2) — формула, идентичная предыдущей, обозначена как разность кубов.
  • a3 + 3a2b + 3ab2+ b3 = (a + b)3 — куб суммы, в результате вычислений получается сумма чисел или выражений, заключенная в скобки и умноженная сама на себя 3 раза, то есть находящаяся в кубе
  • a3 — 3a2b + 3ab2 — b3 = (a — b)3 — формула, составленная по аналогии предыдущей с изменением лишь некоторых знаков математических операций (плюс и минус), имеет название «куб разности».

Последние две формулы практически не испольуются с целью разложения многочлена на множители, так как они сложны, и достаточно редко встречаются многочлены, полностью соответствующие именно такому строению, чтобы их можно было разложить по этим формулам. Но их все равно нужно знать, так как они потребуются при действиях в обратном направлении — при раскрытии скобок.

Примеры на формулы кубов

Разложение многочлена на множители - Справочник студента

Рассмотрим пример: 64a3 − 8b3 = (4a)3 − (2b)3 = (4a − 2b)((4a)2 + 4a*2b + (2b)2) = (4a−2b)(16a2 + 8ab + 4b2).

Здесь взяты достаточно простые числа, поэтому сразу можно увидеть, что 64а3 — это (4а)3, а 8b3 — это (2b)3. Таким образом, этот многочлен раскладывается по формуле разность кубов на 2 множителя. Действия по формуле суммы кубов производятся по аналогии.

Важно понимать, что далеко не все многочлены подлежат разложению хотя бы одним из способов. Но есть такие выражения, которые содержат большие степени, чем квадрат или куб, но их также можно разложить по формуам сокращенного умножения. Например: x12 + 125y3=(x4)3+(5y)3=(x4+5y)*((x4)2 − x4*5y+(5y)2)=(x4 + 5y)(x8 − 5x4y + 25y2).

В этом примере содержится аж 12 степень. Но даже его возможно разложить на множители по формуле суммы кубов. Для этого нужно представить х12 как (x4)3 , то есть как куб какого-либо выражения. Теперь в формулу вместо а нужно подставлять именно его. Ну а выражение 125у3 — это куб 5у. Далее следует составить произведение по формуле и произвести вычисления.

Разложение многочлена на множители - Справочник студента

На первых порах или в случае возникших сомнений, вы всегда можете произвести проверку обратным умножением. Вам нужно лишь раскрыть скобки в получившемся выражении и выполнить действия с подобными слагаемыми. Этот метод относится ко всем перечисленным способам сокращения: как к работе с общим множителем и группировке, так и к действиям по формулам кубов и квадратных степеней.

Источник: https://www.syl.ru/article/321439/mnogochlenyi-razlojenie-mnogochlena-na-mnojiteli-sposobyi-primeryi

Примеры разложения многочленов на множители

Разложение многочлена на множители - Справочник студента

Приводится 8 примеров разложения многочленов на множители. Они включают в себя примеры с решением квадратных и биквадратных уравнений, примеры с возвратными многочленами и примеры с нахождением целых корней у многочленов третьей и четвертой степени.

Разложить многочлен на множители: x4 + x3 – 6×2.

Решение

Выносим x2 за скобки: . Решаем квадратное уравнение x2 + x – 6 = 0: . Корни уравнения:

  • ,   .
  • Отсюда получаем разложение многочлена на множители: .
  • Ответ
  • .

Пример 1.2

Разложить на множители многочлен третьей степени: x3 + 6×2 + 9x.

Решение

Выносим x за скобки: . Решаем квадратное уравнение x2 + 6x + 9 = 0: Его дискриминант:   . Поскольку дискриминант равен нулю, то корни уравнения кратные: ; .

  1. Отсюда получаем разложение многочлена на множители: .
  2. Ответ
  3. .

Пример 1.3

Разложить на множители многочлен пятой степени: x5 – 2×4 + 10×3.

Решение

Выносим x3 за скобки: . Решаем квадратное уравнение x2 – 2x + 10 = 0. Его дискриминант:   . Поскольку дискриминант меньше нуля, то корни уравнения комплексные: ; ,   .

  • Разложение многочлена на множители имеет вид: .
  • Если нас интересует разложение на множители с действительными коэффициентами, то: .
  • Ответ
  • .

Примеры разложения многочленов на множители с помощью формул

Примеры с биквадратными многочленами

Пример 2.1

Разложить биквадратный многочлен на множители: x4 +x2 – 20.

Решение

Применим формулы: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2; a2 – b2 = (a – b)(a + b). ; .

Ответ

.

Пример 2.2

  1. Разложить на множители многочлен, сводящийся к биквадратному: x8 +x4 + 1.
  2. Решение
  3. Применим формулы: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2; a2 – b2 = (a – b)(a + b): ; ; .
  4. Ответ
  5. .

Пример 2.3 с возвратным многочленом

Разложить на множители возвратный многочлен: .

Решение

Возвратный многочлен имеет нечетную степень. Поэтому он имеет корень x = –1. Делим многочлен на x – (–1) = x + 1. В результате получаем: . Делаем подстановку:

,   ;

; ; .

  • Ответ
  • .

Примеры разложения многочленов на множители с целыми корнями

Пример 3.1

Разложить многочлен на множители: .

Решение

Предположим, что уравнение имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 6 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел: –6, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 6. Подставляем поочередно эти значения:

(–6)3 – 6·(–6)2 + 11·(–6) – 6 = –504;

(–3)3 – 6·(–3)2 + 11·(–3) – 6 = –120; (–2)3 – 6·(–2)2 + 11·(–2) – 6 = –60; (–1)3 – 6·(–1)2 + 11·(–1) – 6 = –24; 13 – 6·12 + 11·1 – 6 = 0; 23 – 6·22 + 11·2 – 6 = 0; 33 – 6·32 + 11·3 – 6 = 0; 63 – 6·62 + 11·6 – 6 = 60.

Итак, мы нашли три корня: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3. Поскольку исходный многочлен – третьей степени, то он имеет не более трех корней. Поскольку мы нашли три корня, то они простые. Тогда

  1. .
  2. Ответ
  3. .

Пример 3.2

Разложить многочлен на множители: .

Решение

Предположим, что уравнение имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 2 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел: –2, –1, 1, 2. Подставляем поочередно эти значения:

(–2)4 + 2·(–2)3 + 3·(–2)3 + 4·(–2) + 2 = 6;

(–1)4 + 2·(–1)3 + 3·(–1)3 + 4·(–1) + 2 = 0; 14 + 2·13 + 3·13 + 4·1 + 2 = 12; 24 + 2·23 + 3·23 + 4·2 + 2 = 54.

  • Итак, мы нашли один корень: x1 = –1. Делим многочлен на x – x1 = x – (–1) = x + 1: Разложение многочлена на множители - Справочник студента Тогда,
  • .

Теперь нужно решить уравнение третьей степени: . Если предположить, что это уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 2 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел: 1, 2, –1, –2. Подставим x = –1: .

Итак, мы нашли еще один корень x2 = –1. Можно было бы, как и в предыдущем случае, разделить многочлен     на   , но мы сгруппируем члены: .

  1. Поскольку уравнение x 2 + 2 = 0 не имеет действительных корней, то разложение многочлена на множители имеет вид: .
  2. Ответ
  3. .

Источник: https://1cov-edu.ru/mat_analiz/integrali/neopredelennie/ratsionalnye/razlozhenie_mnogochlenov/primery/

3.1.2. Разложение выражений на множители

Изучение приёмов преобразования уравнений начнём с обсуждения того, как можно разлагать на множители выражения, входящие в данное уравнение. Вообще представление уравнения f (x) = g (x) в виде

F1 (x) · F2 (x) · … · Fn (x) = 0, (5)

где выражения Fk (x), k = 1, …, n «проще» функций f (x) и g (x), представляет собой несомненное продвижение в решении уравнения. В самом деле, представление вида (5) позволяет сразу приравнивать множители Fk (x) нулю и решать более простые уравнения. Представление уравнения (1) в виде (5) иногда называют факторизованным видом уравнения (1) (от английского слова «factor» – множитель).

  • Перечислим теперь некоторые наиболее распространённые приёмы разложения многочленов, как наиболее простых алгебраических функций, на множители.
  • 1. Вынесение общего множителя за скобку
  • В том случае, когда все члены многочлена имеют один и тот же общий множитель, его можно вынести за скобку, получая тем самым разложение многочлена.

Пример 1

Разложить на множители многочлен x5 – 2×3 + x2.

Каждое слагаемое этого многочлена содержит множитель x2. Вынесем его за скобку и получим ответ: x5 – 2×3 + x2 = x2(x3 – 2x + 1).

2. Применение формул сокращённого умножения

Формулы сокращения довольно эффективно применяются при разложении многочлена на множители. Полезно помнить следующие формулы:

Разложение многочлена на множители - Справочник студента

Пример 2

Разложить на множители многочлен (x – 2)4 – (3x + 1)4.

Разложим разность четвёртых степеней по формуле, приведённой выше:

Разложение многочлена на множители - Справочник студента

3. Применение выделения полного квадрата

Без преувеличения можно сказать, что метод выделения полного квадрата является одним из наиболее эффективных методов разложения на множители. Суть его состоит в выделении полного квадрата и последующего применения формулы разности квадратов. Поясним сказанное на примере.

4. Группировка

Метод группировки слагаемых, как правило, применяется совместно с другими методами разложения на множители и чаще всего с методом вынесения за скобки.

Суть метода состоит в том, что все слагаемые данного многочлена перегруппировываются таким образом, чтобы в каждой группе, возможно после вынесения общего множителя за скобки, образовалось бы одно и то же выражение.

Это выражение можно также вынести за скобки как общий для всех групп множитель.

  1. 5. Метод неопределённых коэффициентов
  2. Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной.
  3. Теоретической основой метода являются следующие утверждения.
  • Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.
  • Любой многочлен третьей степени имеет хотя бы один действительный корень, а потому разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителя.
  • Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение многочленов второй степени.

Для доказательства второго утверждения вспомним, как выглядит график степенной функции с нечетной целой степенью (§ 2.2.5). Действительно, из его вида следует, что значение многочлена имеет разные знаки при x → +∞ и x → –∞. Многочлен степени n – непрерывная функция, значит, найдется хотя бы одна точка, в которой график этой функции пересечет ось Ox.

Пример 4

Разложить на множители многочлен 3×3 – x2 – 3x + 1.

  • Поскольку многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителей, то будем искать многочлены x – p и ax2 + bx  + c такие, что справедливо равенство
    3×3 – x2 – 3x + 1 = (x – p)(ax2 + bx + c) = ax3 + (b – ap)x2 + (c – bp)x – pc.
  • Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получаем систему четырёх уравнений для определения четырёх неизвестных коэффициентов:

    Решая эту систему, получаем: a = 3, p = –1,  b = 2, c = –1.

  • Итак, многочлен 3×3 – x2 – 3x + 1 разлагается на множители:
    3×3 – x2 – 3x + 1 = (x – 1)(3×2 + 2x – 1).

6. Теорема о корнях многочлена

Разложение многочлена на множители иногда удаётся провести, если один из его корней угадан с помощью теоремы о рациональных корнях, доказанной в § 2.1.4. После того, как корень x = α угадан, многочлен Pn (x) представим в виде Pn (x) = (x – α) · Pn – 1 (x), где Pn – 1 (x) − многочлен степени на 1 меньше, чем Pn (x).

Пример 5

Разложить на множители многочлен x3 – 5×2 – 2x + 16.

Данный многочлен имеет целые коэффициенты. По следствию теоремы о рациональных корнях (см. § 2.1.4) если целое число является корнем этого многочлена, то оно является делителем числа 16, то есть если у данного многочлена есть целые корни, то это могут быть только числа ±1, ±2, ±4, ±8, ±16. Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем этого многочлена, то есть

x3 – 5×2 – 2x + 16 = (x – 2) · Q (x),

где Q (x) − многочлен второй степени. Следовательно, исходный многочлен разлагается на множители, один из которых (x – 2).

7. Разложение относительно параметра

Суть этого метода легче всего понять на примере.

Пример 6

Разложить на множители многочлен x4 – 10×2 – x + 20.

Преобразуем данный многочлен:

x4 – 10×2 – x + 20 = x4 – 5 · 2×2 – x + 25 – 5 = 25 – 5(1 + 2×2) + x4 – x

Рассмотрим теперь многочлен a2 – a(1 + 2×2) + x4 – x, который при a = 5 совпадает с данным. Полученный многочлен является квадратным, его корни легко найти по теореме Виета:

a2 – a(1 + 2×2) + x4 – x = a2 – a(1 + 2×2) + x(x3 – 1) = a2 – a(1 + 2×2) + x(x – 1)(x2 + x + 1).

Следовательно, a1 = x(x – 1), a2 = x2 + x + 1. Значит, исходный многочлен разлагается на множители a2 – a(1 + 2×2) + x4 – x = (a – (x2 – x))(a – (x2 + x + 1)). Вернемся к многочлену, данному в условии задачи, подставив a = 5.

Получим:

x4 – 10×2 + x + 20 = (5 – x2 + x)(5 – x2 – x – 1) = (x2 – x – 5)(x2 + x – 4).

Источник: https://mathematics.ru/courses/algebra/content/chapter3/section1/paragraph2/theory.html

Разложение многочлена на множители

Выражения, преобразование выражений

  • Раскладывать многочлены на множители приходится при упрощении выражений (чтобы можно было провести сокращение), при решении уравнений или при разложении дробно рациональной функции на простейшие дроби.
  • Имеет смысл говорить о разложении многочлена на множители, если его степень не ниже второй.
  • Многочлен первой степени называют линейным.
  • Рассмотрим сначала теоретические основы, затем перейдем непосредственно к способам разложения многочлена на множители.

Необходимая теория

Теорема.

Любой многочлен степени n вида Разложение многочлена на множители - Справочник студента представляется произведением постоянного множителя при старшей степени и n линейных множителей , i=1, 2, …, n, то есть Разложение многочлена на множители - Справочник студента, причем , i=1, 2, …, n являются корнями многочлена.

Эта теорема сформулирована для комплексных корней , i=1, 2, …, n и комплексных коэффициентов , k=0, 1, 2, …, n. Она является основой для разложения любого многочлена на множители.

  1. Если коэффициенты , k=0, 1, 2, …, n – действительные числа, то комплексные корни многочлена ОБЯЗАТЕЛЬНО будут встречаться комплексно сопряженными парами.
  2. К примеру, если корни и многочлена являются комплексно сопряженными, а остальные корни действительные, то многочлен представится в виде , где
  3. Замечание.
  4. Среди корней многочлена могут быть повторяющиеся.
  5. Доказательство теоремы проводится с использованием основной теоремы алгебры и следствия из теоремы Безу.
  6. Основная теорема алгебры.
  7. Всякий многочлен степени n имеет по крайней мере один корень (комплексный или действительный).
  8. Теорема Безу.
  9. При делении многочлена на (x-s) получается остаток, равный значению многочлена в точке s, то есть , где есть многочлен степени n-1.
  10. Следствие из теоремы Безу.
  11. Если s – корень многочлена , то .
  12. Это следствие будем достаточно часто употреблять при описании решения примеров.
  13. К началу страницы

Квадратный трехчлен раскладывается на два линейных множителя: , где и являются корнями (комплексными или действительными).

Таким образом, разложение на множители квадратного трехчлена сводится к решению квадратного уравнения.

Разложить квадратный трехчлен на множители.

  • Найдем корни квадратного уравнения .
  • Дискриминант уравнения равен , следовательно,
  • Таким образом, .

Для проверки можно раскрыть скобки: . При проверке пришли к исходному трехчлену, поэтому разложение выполнено верно.

Разложить на множители квадратный трехчлен .

  1. Соответствующее квадратное уравнение имеет вид .
  2. Найдем его корни.
  3. Поэтому, .

Разложить многочлен на множители .

  • Найдем корни квадратного уравнения .
  • Получили пару комплексно сопряженных корней.
  • Разложение многочлена будет именть вид .

Разложить на множители квадратный трехчлен .

Решим квадратное уравнение .

Поэтому,

  1. Замечание:
  2. В дальнейшем, при отрицательном дискриминанте, мы будем оставлять многочлены второго порядка в исходном виде, то есть не будем раскладывать их на линейные множители с комплексными свободными членами.
  3. К началу страницы

В общем случае эта задача предполагает творческий подход, так как не существует универсального метода ее решения. Но все же попробуем дать несколько наводок.

В подавляющем числе случаев, разложение многочлена на множители основано на следствии из теоремы Безу, то есть находится или подбирается корень и понижается степень многочлена на единицу делением на . У полученного многочлена ищется корень и процесс повторяется до полного разложения.

Если же корень найти не удается, то используются специфические способы разложения: от группировки, до ввода дополнительных взаимоисключающих слагаемых.

Дальнейшее изложение базируется на навыках решения уравнений высших степеней с целыми коэффициентами.

Вынесение за скобки общего множителя

  • Начнем с простейшего случая, когда свободный член равен нулю, то есть многочлен имеет вид .
  • Очевидно, что корнем такого многочлена является , то есть многочлен представим в виде .
  • Этот способ есть ни что иное как вынесение общего множителя за скобки.

Разложить многочлен третьей степени на множители.

  1. Очевидно, что является корнем многочлена, то есть х можно вынести за скобки:
  2. Найдем корни квадратного трехчлена
  3. Таким образом,

К началу страницы

Сначала рассмотрим способ разложения многочлена с целыми коэффициентами вида , коэффициент при старшей степени равен единице.

В этом случае, если многочлен имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.

Разложить на множители выражение .

Проверим, имеются ли целые корни. Для этого выписываем делители числа -18: . То есть, если многочлен имеет целые корни, то они находятся среди выписанных чисел. Последовательно проверим эти числа по схеме Горнера. Ее удобство еще и в том, что в итоге получим и коэффициенты разложения многочлена:

  • То есть, х=2 и х=-3 являются корнями исходного многочлена и он представим в виде произведения:
  • Осталось разложить квадратный трехчлен .
  • Дискриминант этого трехчлена отрицательный, следовательно, он не имеет действительных корней.

.

  1. Замечание:
  2. вместо схемы Горнера можно было воспользоваться подбором корня и последующим делением многочлена на многочлен.
  3. Теперь рассмотрим разложение многочлена с целыми коэффициентами вида , причем коэффициент при старшей степени не равен единице.
  4. В этом случае многочлен может иметь дробно рациональные корни.

Разложить на множители выражение .

Выполнив замену переменной y=2x, перейдем к многочлену с коэффициентом равным единице при старшей степени. Для этого сначала домножим выражение на 4.

Если полученная функция имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена. Запишем их:

Вычислим последовательно значения функции g(y) в этих точках до получения нуля.

То есть, y=-5 является корнем , следовательно, является корнем исходной функции. Проведем деление столбиком (уголком) многочлена на двучлен .

  • Таким образом,
  • Проверку оставшихся делителей продолжать нецелесообразно, так как проще разложить на множители полученный квадратный трехчлен
  • Следовательно,

К началу страницы

Далеко не всегда многочлены имеют рациональные корни. В этом случае при разложении на множители приходится искать специальные способы. Но, как бы нам не хотелось, некоторые многочлены (а точнее подавляющее большинство) так и не получится представить в виде произведения.

Способ группировки

Иногда получается сгруппировать слагаемые многочлена, что позволяет найти общий множитель и вынести его за скобки.

Разложить многочлен на множители.

Так как коэффициенты являются целыми числами, то могут быть целые корни среди делителей свободного члена. Проверим значения 1, -1, 2 и -2, вычислив значение многочлена в этих точках.

То есть, целых корней нет. Будем искать другой способ разложения.

Проведем группировку:

После группировки исходный многочлен представился в виде произведения двух квадратных трехчленов. Разложим их на множители.

Следовательно,

Замечание.

При всей видимой простоте группировки очень не просто выбрать слагаемые для ее проведения. Универсальных способов нет, так что экспериментируем и еще раз экспериментируем.

Разложить на множители .

  1. Целых корней многочлен не имеет (нужно проверить лишь делители числа 2).
  2. Проведем группировку слагаемых:
  3. Разложив на множители каждый из полученных квадратных трехчленов, придем к результату:

К началу страницы

Иногда внешний вид многочлена наводит на мысль о способе его разложения на множители.

К примеру, после несложных преобразований коэффициенты выстраиваются в строчку из треугольника Паскаля, то есть, являются коэффициентами бинома Ньютона.

Разложить многочлен на множители.

  • Преобразуем выражение к виду:
  • Последовательность коэффициентов суммы в скобках явно указывают, что это есть .
  • Следовательно, .
  • Теперь применим формулу разности квадратов:
  • Выражение во второй скобке действительный корней не имеет, а для многочлена из первой скобки еще раз применим формулу разности квадратов:

Разложить на множители .

Преобразуем выражение:

Применим формулу сокращенного умножения разность кубов:

К началу страницы

Часто замена переменной позволяет понизить степень многочлена и разложить его на множители.

Разложить на множители .

  1. Напрашивается замена :
  2. Корнями полученного квадратного трехчлена являются y=-2 и y=-3, поэтому,
  3. Применяем формулу сокращенного умножения сумма кубов:
  4. Так получили искомое разложение.
  • В большинстве случаев рассмотренные способы помогут Вам разложить многочлен на множители, если он вообще разложим.
  • Некогда разбираться?
  • Закажите решение
  • К началу страницы

Источник: http://www.cleverstudents.ru/expressions/polynomial_factorization.html

Алгебра 7-9 классы. 8. Способы разложения многочлена на множители — Всё для чайников

Подробности Категория: Алгебра 7-9 классы

Умножение многочлена на многочлен

Представим это произведение в виде многочлена. С этой целью обозначим многочлен буквой х и воспользуемся правилом умножения одночлена на многочлен:

В выражение подставим вместо х многочлен и снова воспользуемся правилом умножения одночлена на многочлен:

Итак,

Произведение многочленов и мы представили в виде многочлена . Этот многочлен является суммой всех одночленов, получающихся при умножении каждого члена многочлена на каждый член многочлена .Вообще, произведение любых двух многочленов можно представить в виде многочлена.При умножении многочлена на многочлен пользуются правилом:

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

  • Умножим многочлен на многочлен

 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ СПОСОБОМ ГРУППИРОВКИ

  1. Иногда удается разложить многочлен на множители, используя группировку его членов.
  2. Пусть требуется разложить на множители многочлен Для этого попытаемся сгруппировать его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель:
  3. В первой группе вынесем за скобки множитель b, а во второй — множитель 3:
  4. Мы представили многочлен в виде суммы , в которой оба слагаемых имеют общий множитель Вынесем этот множитель за скобки:
  5. Итак,
  6. Способ, с помощью которого мы разложили многочлен на множители, называют способом группировки.
  7. Разложение многочлена а на множители можно выполнить, группируя его члены иначе:
  8. Приведем еще один пример.
  9. Разложим на множители многочлен Сгруппируем первый член многочлена с третьим и второй с четвертым.
  10. В первой группе вынесем за скобки множитель с, а во второй — множитель — d. Получим:
  11. Заметим, что при группировке слагаемых можно сразу перед второй скобкой поставить знак «минус» и вынести за скобки во второй группе множитель d. Получим:

Источник: https://forkettle.ru/vidioteka/estestvoznanie/matematika/181-algebra/algebra-7-9-klassy/1884-algebra-7-9-klassy-8-sposoby-razlozheniya-mnogochlena-na-mnozhiteli

Ссылка на основную публикацию