Пространственное преобразование фурье — справочник студента

данной заметки раскрывает вопросы как и почему работает известное всем энергетикам преобразование Фурье.

Здесь мы постарались воздержаться от использования сложного понятийного аппарата, все использованные выкладки должны быть понятны каждому, кто хоть как-то овладел начальным уровнем университетского курса высшей математики. Для всех остальных не исключено понимание изложенного материала на интуитивном уровне.

В настоящее время преобразование Фурье широко используется как основа различных инструментов анализа аварийных осциллограмм. Примеры его использования в современных программах просмотра осциллограмм:

• выделение действующего значения записанной электрической величины и её текущей фазы (рис. 1);
• получение спектра – рис. 2;
• построение векторной диаграммы (рис. 3);
• построение временных годографов комплексных замеров электрических величин (к примеру, сопротивлений) – рис. 4.

Рис. 1. Иллюстрация применения преобразования Фурье для выделения действующего значения тока

Рис. 3. Векторная диаграмма как пример использования преобразования Фурье

Рис. 4. Годограф сопротивления как пример использования преобразования Фурье

Таким образом, роль преобразования Фурье в анализе аварийных осциллограмм сложно переоценить. Далее перейдём к его сути.

1. Преобразование Фурье – это некий линейный оператор (см. рис. 5), который преобразует входной сигнал u(t) во временной области (t – это время) в сигнал U(f) в частотной области (f – это частота).

Рис. 5. Преобразование Фурье как «чёрный ящик»

1. Предполагается, что входной сигнал u(t) состоит из набора (суммы) косинусоид следующего вида:

где f – частота; A – амплитуда; φ0 – начальная фаза.

Далее идёт очень важное утверждение. В соответствии с  известной формулой Эйлера, функция cos определяется как  сумма двух комплексных экспонент:

• где  – мнимая единица.
• Теперь можно внести уточнение: в общем случае преобразование Фурье предполагает, что входной сигнал u(t) состоит не из набора косинусоид, как это утверждалось чуть выше, а из  набора комплексных экспонент.
• Примечание: в преобразовании Фурье частота f – это частота комплексной экспоненты, а не косинусоиды.

Рассмотрим подробнее, из каких именно комплексных экспонент состоит косинусоида s(t). Первая экспонента e1(t) описывает на комплексной плоскости равномерное движение точки по окружности с радиусом A/2 с постоянной угловой скоростью ω = 2πf – см. рис. 6.

Рис. 6. Первая комплексная экспонента, из которой состоит косинусоида

Вторая экспонента e2(t) – это сестра-близнец первой экспоненты e1(t), но в отличие от неё она описывает вращение точки по окружности в противоположную сторону – см. рис. 7. Также заметим, что графики e1(t) и e2(t) симметричны относительно действительной оси Re.

Итак, косинусоида с частотой f состоит из комплексной экспоненты с частотой f и комплексной экспоненты с частотой —f.

1. Такие периодические функции как синусоида, косинусоида и комплексная экспонента обладают очень важным с точки зрения преобразования Фурье свойством: их среднее значение (и интеграл тоже) на периоде равен нулю. Иными словами, если взять комплексную экспоненту с частотой fx и усреднить её на периоде 1/fx, то в результате усреднения мы получим нулевое значение. Это правило справедливо практически для всех комплексных экспонент с любой частотой fx. Но в этом правиле есть одно исключение. Это экспонента с частотой f = 0 Гц, т.е. постоянная составляющая. В результате усреднения постоянной составляющей на любом интервале времени получается сама постоянная составляющая, т.е. она не обнуляется.

Посмотрим, как на рассмотренном правиле построено преобразование Фурье.

В качестве примера возьмём косинусоиду с частотой 50 Гц и амплитудой A. Мы знаем, что эта косинусоида состоит из двух комплексных экспонент с частотами -50 Гц и +50 Гц. Как эти составляющие расположены в области частот можно увидеть на рис. 8. Всего лишь два значения |U(f)| ненулевые ­– в точках -50 Гц и +50 Гц.

Рис. 8. Вид косинусоиды с частотой 50 Гц и амплитудой A в области частот

Если преобразование Фурье предназначено для преобразования сигнала во временной области u(t) в сигнал в частотной области U(f), то в случае косинусоиды u(t)=s(t) в качестве U(f) мы должны получить функцию, изображённую на рис. 8.

Что такого можно сделать с s(t), чтобы на выходе получить |U(f)| как на рис. 8? Для простоты ограничимся не всей функцией |U(f)|, а только лишь одним её значением в точке f=50 Гц. В этой точке значение функции должно быть |U(50)|=A/2.

Итак, нам дана косинусоида s(t), заданное значение частоты f=50 Гц и информация о том, что при этой частоте должно выполняться равенство |U(50)|=A/2.

Как нужно преобразовать s(t), чтобы на выходе преобразования было |U(50)|=A/2? Очевидно, что если просто усреднить косинусоиду s(t) на периоде 1/f=1/50=0,02 с, то на выходе мы получим ноль, т.е. |U(50)|=0.

Поэтому просто усреднение на периоде не годится в качестве искомого преобразования. Попробуем другой вариант. Умножим s(t) на комплексную экспоненту с частотой -50 Гц:

.

В результате входящая в состав косинусоиды s(t) экспонента с частотой ­-50 Гц превратилась в экспоненту с частотой -100 Гц, а экспонента с частотой +50 Гц превратилась в комплексную экспоненту с частотой 0 Гц, т.е. в постоянную составляющую.

Рис. 9. Вид смещённой на -50 Гц косинусоиды в области частот

Далее усредним полученный сигнал s1(t) на периоде 0,02 с. В результате усреднения входящая в состав s1(t) экспонента с частотой -100 Гц () обнуляется, т.к.

интервал времени 0,02 с равен двум её собственным периодам. В то же время вторая экспонента с частотой 0 Гц, входящая в состав s1(t), не обнуляется, результат её усреднения равен A/2.

Итак, усреднив сигнал s1(t) на интервале времени 0,02 с, получим

1. .
2. Получили то, что хотели, а именно |U(50)|=A/2.
3. Собственно, в рассмотренных двух процедурах и заключается преобразование Фурье:
4. 1)    смещение частот всех комплексных экспонент, входящих в состав входного сигнала u(t), на значение —fx для того, чтобы комплексная экспонента с частотой fx превратилась в постоянную составляющую, тем самым приобретя, так сказать, иммунитет к обнулению через усреднение.
5. 2)    усреднение сигнала со смещёнными частотами на интервале времени, кратном периодам всех комплексных экспонент, входящих в состав сигнала u(t), с целью их обнуления (всех экспонент, кроме той, что превратилась в постоянную составляющую).

В общем случае в состав входного сигнала u(t) входит неограниченное число комплексных экспонент со всевозможными частотами. В этом общем случае процедура 2) работает только на интервале усреднения от -∞ до +∞, поскольку только такой интервал времени кратен любому периоду любой комплексной экспоненты. Итак, получили формулу для преобразования Фурье:

.

Приведённое объяснение преобразования Фурье помогает образному восприятию его сути. Более глубокое понимание этого преобразования и его модификаций (дискретное преобразование Фурье, оконное преобразование Фурье, ряд Фурье, вейвлет-преобразование и т.д.) достигается через понятие свертки функций.

• Оконное преобразование ФурьеРассмотрим влияние оконного преобразования Фурье на работу дистанционной защиты. Эта задача возникла в результате обсуждения…
• Ложное срабатывание АЧРОсциллограммы взяты с  форума «Советы бывалого релейщика». Краткое описание: в сети 35 кВ произошло ложное срабатывание автоматики…
• Феррорезонанс?Данная заметка посвящена вопросу, который обсуждается в одной из веток форума «Советы бывалого релейщика». Вопрос…

Источник: https://faultan.ru/osc/essence_of_fourier_transform/

Преобразование Фурье

Преобразование Фурье – это семейство математических методов, основанных на разложении исходной непрерывной функции от времени на совокупность базисных гармонических функций (в качестве которых выступают синусоидальные функции) различной частоты, амплитуды и фазы. Из определения видно, что основная идея преобразования заключается в том, что любую функцию можно представить в виде бесконечной суммы синусоид, каждая из которых будет характеризоваться своей амплитудой, частотой и начальной фазой.

Рис.1. Функция, которая определена на временном интервале, и ее отображение на частотном интервале

 Преобразование Фурье является основоположником спектрального анализа. Спектральный анализ – это способ обработки сигналов, который позволяет охарактеризовать частотный состав измеряемого сигнала. В зависимости от того, каким образом представлен сигнал, используют разные преобразования Фурье. Различают несколько видов преобразования Фурье:

• – Непрерывное преобразование Фурье (в англоязычной литературе Continue Time Fourier Transform – CTFTили, сокращенно, FT);
• – Дискретное преобразование Фурье (в англоязычной литературе Discrete Fourier Transform – DFT);
• – Быстрое преобразование Фурье (в англоязычной литературе Fast Fourier transform – FFT).
• Непрерывное преобразование Фурье

Преобразование Фурье является математическим инструментом, применяемым в различных научных областях. В некоторых случаях его можно использовать как средство решения сложных уравнений, описывающих динамические процессы, которые возникают под воздействием электрической, тепловой или световой энергии.

В других случаях оно позволяет выделять регулярные составляющие в сложном колебательном сигнале, благодаря чему можно правильно интерпретировать экспериментальные наблюдения в астрономии, медицине и химии. Непрерывное преобразование фактически является обобщением рядов Фурье при условии, что период разлагаемой функции устремить к бесконечности.

 Таким образом, классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всем диапазоне существования переменной.

1. Существует несколько видов записи непрерывного преобразования Фурье, отличающихся друг от друга значением коэффициента перед интегралом (две формы записи):
2.  или 
3. где  и — Фурье-образ функцииили частотный спектр функции ;

Следует отметить, что разные виды записи встречаются в различных областях науки и техники. Нормировочный коэффициент необходим для корректного масштабирования сигнала из частотной области во временную. Нормировочный коэффициент уменьшает амплитуду сигнала на выходе обратного преобразования для того чтобы она совпадала с амплитудой исходного сигнала.

В математической литературе прямое и обратное преобразование Фурье умножаются на множитель , в то время как в физике чаще всего при прямом преобразовании множитель не ставят, а при обратном ставят множитель .

Если последовательно рассчитать прямое преобразование Фурье некоторого сигнала, а после взять обратное преобразование Фурье, то результат обратного преобразования должен полностью совпадать с исходным сигналом.

• Если функция нечетная на интервале (−∞, +∞), то преобразование Фурье может быть представлено через синус-функцию:

• Если функция четная на интервале (−∞, +∞), то преобразование Фурье может быть представлено через косинус-функцию:

• Таким образом, непрерывное преобразование Фурье позволяет представить непериодическую функцию в виде интеграла функции, представляющей в каждой своей точке коэффициент ряда Фурье для непериодической функции.
• Преобразование Фурье является обратимым, то есть если по функции  был рассчитан ее Фурье-образ , то по Фурье-образу можно однозначно восстановить исходную функцию . Под обратным преобразованием Фурье понимают интеграл вида (две формы записи):
•  или 
• где  — Фурье-образ функцииили частотный спектр функции ;

• Если функция нечетная на интервале (−∞, +∞), то обратное преобразование Фурье может быть представлено через синус-функцию:

• Если функция четная на интервале (−∞, +∞), то обратное преобразование Фурье может быть представлено через косинус-функцию:

В качестве примера, рассмотрим следующую функцию . График исследуемой экспоненциальной функции представлен ниже.

Рис.2. График исследуемой экспоненциальной функции

Поскольку функция  является четной функцией, то непрерывное преобразование Фурье будет определяться следующим образом:

В результате получили зависимость изменения исследуемой экспоненциальной функции на частотном интервале (см. ниже).

Рис.3. Фурье-образ исследуемой экспоненциальной функции

Дискретное преобразование Фурье

Непрерывное преобразование Фурье используют, как правило, в теории при рассмотрении сигналов, которые изменяются в соответствии с заданными функциями, но на практике обычно имеют дело с результатами измерений, которые представляют собой дискретные данные.

Результаты измерений фиксируются через равные промежутки времени с определённой частотой дискретизации, например, 16000 Гц или 22000 Гц.

Однако в общем случае дискретные отсчёты могут идти неравномерно, но это усложняет математический аппарат анализа, поэтому на практике обычно не применяется.

Рис.4. Исходный аналоговый сигнал и дискретный сигнал

Существует важная теорема Котельникова (в иностранной литературе встречается название «теорема Найквиста-Шеннона», «теорема отсчетов»), которая гласит, что аналоговый периодический сигнал, имеющий конечный (ограниченный по ширине) спектр (0…fmax), может быть однозначно восстановлен без искажений и потерь по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой, большей или равной удвоенной верхней частоте спектра —  частота дискретизации (fдискр >= 2*fmax). Другими словами, при частоте дискретизации 1000 Гц из аналогового периодического сигнала можно восстановить сигнал с частотой до 500 Гц. Следует отметить, что дискретизация функции по времени приводит к периодизации ее спектра, а дискретизация спектра по частоте приводит к периодизации функции.

Дискретное преобразование Фурье  — это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов.

• Прямое дискретное преобразование Фурье ставит в соответствие временной функции , которая определена N-точками измерений на заданном временном интервале, другую функцию , которая определена на частотном интервале. Следует отметить, что функция на временном интервале задается с помощью N-отсчетов, а функция на частотном интервале задается с помощью K-кратного спектра.

1. N ˗ количество значений сигнала, измеренных за период, а также кратность частотного спектра;
2. k ˗ индекс частоты.
3. Частота k-го сигнала определяется по выражению
4. где T — период времени, в течение которого брались входные данные.

Прямое дискретное преобразование может быть переписано через вещественную и мнимую составляющие. Вещественная составляющая представляет собой массив, содержащий значения косинусоидальных составляющих, а мнимая составляющая представляет собой массив, содержащий значения синусоидальных составляющих.

• Из последних выражений видно, что преобразование раскладывает сигнал на синусоидальные составляющие (которые называются гармониками) с частотами от одного колебания за период до N колебаний за период.

Дискретное преобразование Фурье имеет особенность, так как дискретная последовательность может быть получена суммой функций с различным составом гармонического сигнала. Другими словами,   дискретная последовательность раскладывается на гармонические переменные – неоднозначно.

Поэтому при разложении дискретной функции с помощью дискретного преобразования Фурье во второй половине спектра возникают высокочастотные составляющие, которых не было в оригинальном сигнале. Данный высокочастотный спектр является зеркальным отображением первой части спектра (в части частоты, фазы и амплитуды).

Обычно вторая половина спектра не рассматривается, а амплитуды сигнала первой части спектра — удваиваются.

Рис.5. «Зеркальный эффект» на спектре частоты для дискретного сигнала

1. Следует отметить, что разложение непрерывной функции не приводит к появлению зеркального эффекта, так как непрерывная функция однозначно раскладывается на гармонические переменные.
2. Амплитуда постоянной составляющей является средним значением функции за выбранный промежуток времени и определяется следующим образом:
3. Амплитуды и фазы частотных составляющих сигнала определяются по следующим соотношениям:
4. Полученные значения амплитуды и фазы называют полярным представлением (polar notation). Результирующий вектор сигнала будет определяться следующим образом:
5. Рассмотрим алгоритм преобразования дискретно заданной функции   на заданном интервале (на заданном периоде) с количеством исходных точек 

Рис.6. Дискретное преобразование Фурье

• В результате преобразования получаем вещественное и мнимое значение функции , которая определена на частотном диапазоне.
• • Обратное дискретное преобразование Фурье ставит в соответствие частотной функции , которая определена K-кратным спектром на частотном интервале, другую функцию , которая определена на временном интервале.
• N ˗ количество значений сигнала, измеренных за период, а также кратность частотного спектра;
• k ˗ индекс частоты.

Как уже было сказано, дискретное преобразование Фурье N-точкам дискретного сигнала  ставит в соответствие N-комплексных спектральных отсчетов сигнала .

Для вычисления одного спектрального отсчета требуется N операций комплексного умножения и сложения.

Таким образом, вычислительная сложность алгоритма  дискретного преобразования Фурье является квадратичной, другими словами требуется  операций комплексного умножения и сложения.

Быстрое преобразование Фурье

В основе алгоритма заложено разбиение заданной последовательности отсчетов дискретного сигнала на несколько промежуточных последовательностей. Следует отметить, что алгоритм БПФ точнее стандартного ДПФ, т.к.

при сокращении операций снижаются суммарные ошибки округления.

В настоящее время известны несколько алгоритмов быстрого преобразования Фурье, которые являются частными случаями единого алгоритма, базирующегося на задаче разбиения одного массива чисел на два с последующим рекурсивном вычислении каждого массива чисел по дискретному преобразованию Фурье и объединении результатов расчетов.

Рассмотрим алгоритм БПФ с прореживанием по времени. В качестве исходных данных задан N-отсчетный сигнал . Исходный сигнал разбиваем на два массива чисел с -отсчетов: четные отсчеты  и нечетные отсчеты . В результате функция , которая определяется на частотном интервале, будет определяться следующим соотношением:

1. Последнее выражение можно преобразовать в следующий вид:
2. В результате можно получить два выражения для определения функции на первом частотном интервале  и втором частотном интервале :
3. Последнее выражение получено в соответствии со следующими двумя выражениями:

Таким образом, алгоритм вычисления заключается в разбиении входного сигнала  на два массива чисел  и , составленных соответственно из четных и нечетных отсчетов. После этого для каждого массива чисел рассчитывается ДПФ с образованием двух функций   и .

На заключительном шаге выполняются базовые операции сложения и вычитания с умножением одного из компонентов на экспоненциальный множитель . В результате выполнения данных операций получаем функцию .

 Граф алгоритма БПФ с прореживанием по времени представлен ниже.

Рис.7. Граф алгоритма БПФ с прореживанием по времени при делении исходного сигнала на четные и нечетные отсчеты

Из полученного графа видно, что при делении исходного сигнала пополам для вычисления функции , которая определена на частотном интервале, требуется около  комплексных умножений, т.е. вдвое меньше по сравнению с прямым вычислением.

 Операцию разбиения можно повторить, вычисляя вместо  — отсчетного ДПФ два  — отсчетных ДПФ и сокращая объем вычислений приблизительно в два раза. Эту рекурсию можно продолжать, пока возможно разбить входную последовательность на две.

На структурной схеме  базовую операцию сложения и вычитания с умножением одного из компонентов на экспоненциальный множитель  принято показывать сигнальным графом, который в цифровой технике называется  «бабочкой».

Рис.8. Операция «бабочка», используемая при реализации алгоритма БПФ

Рассмотрим алгоритм БПФ с прореживанием по частоте. В качестве исходных данных задан N-отсчетный сигнал . Исходный сигнал разобьём пополам на два массива чисел с  — отсчетными сигналами.

• В результате функция , которая определяется на частотном интервале, будет определяться следующим соотношением:
• Последнее выражение можно преобразовать в следующий вид:
• В результате можно записать два выражения для четных и нечетных отсчетов:

Таким образом, алгоритм вычисления заключается в разбиении входного сигнала  пополам с образованием двух массивов чисел  и .

После этого выполняются базовые операции сложения и вычитания с умножением двух компонентов на экспоненциальный множитель .

На заключительном шаге рассчитывается ДПФ для четных и нечетных отсчетов с объединением результатов расчета. Граф алгоритма БПФ с прореживанием по частоте представлен ниже.

Рис.9. Граф алгоритма БПФ с прореживанием по частоте при делении исходного сигнала пополам

Из полученного графа видно, что при делении исходного сигнала пополам для вычисления функции , которая определена на частотном интервале, требуется около  комплексных умножений, т.е. вдвое меньше по сравнению с прямым вычислением.

 Операцию разбиения можно повторить, представляя вместо  — отсчетного ДПФ два  — отсчетных ДПФ и сокращая объем вычислений приблизительно в два раза. Эту рекурсию можно продолжать, пока возможно разбить входную последовательность на две.

Основное отличие рассмотренных алгоритмов быстрого преобразования Фурье заключается в последовательности выполнения базовой операции: в алгоритме БПФ с прореживанием по времени комплексное умножение выполняется перед операцией вычитания,  а в алгоритме БПФ с прореживанием по частоте комплексное умножение выполняется после операции вычитания. Рассмотренные алгоритмы быстрого преобразования Фурье получили наибольшее распространение из-за их высокой эффективности и относительной простоты программной реализации.

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.

Источник: http://simenergy.ru/math-analysis/digital-processing/82-fourier-transform

Преобразование Фурье: самый подробный разбор

Преобразование Фурье – одно из базовых понятий в обработке сигналов и анализе данных. Но что оно означает? Геометрическая интерпретация.

Возьмём классическую задачу – работу со звуком. Теперь добавим конкретики.

Ваш друг приносит запись своего живого выступления. И это очень удачное выступление. Но! Хотя запись делали на хороший микрофон, в ней всё равно присутствует шум. Друг просит помочь убрать его или хотя бы уменьшить.

• Здесь и пригодится знание преобразования Фурье.
• Что такое звук в математическом смысле?
• Отдельная нота – это гармонический сигнал с определённой частотой и амплитудой.

Как правило, мелодию, речь или иной звуковой сигнал можно представить как сумму гармонических сигналов. Шумом в таком случае мы называем слагаемые, соответствующие любым нежелательным звукам.

Преобразование Фурье позволяет разложить исходный сигнал на гармонические составляющие, что потребуется для выделения шумов.

Запишем определение:

Здесь g(t) – это исходный сигнал (в нашем случае запись друга). В контексте преобразования Фурье его называют оригиналом. G(f) – изображение по Фурье, а параметром f выступает частота.

Возможно, вам уже знакомо это определение. Но знаете ли вы, как происходит это преобразование? Если бы увидели его впервые, поняли бы, как с его помощью анализировать исходный сигнал?

Геометрическая интерпретация преобразования Фурье

Грант Сандерсон предлагает геометрический аналог преобразования Фурье. За несколько графических переходов от исходного сигнала к изображению каждая из компонент определения обретает смысл, а само преобразование получает новое геометрическое прочтение.

В дальнейшем обсуждении предполагается, что вы знакомы с векторами, интегрированием и понятием комплексного числа. Если каких-то знаний вам всё-таки не хватает, ознакомьтесь с материалами из нашей подборки по вузовской математике.

1. Наматываем сигнал

Давайте начнём с самого простого случая. Рассмотрим гармонический сигнал, совершающий 3 колебания в секунду (f0 = 3с-1):

g(t) = 1 + cos (6πt).

Отобразим g(t) на комплексную плоскость. Для этого введём радиус-вектор, который равномерно вращается по часовой стрелке. Его длина в каждый момент времени равна модулю значения сигнала, а частота вращения выбирается произвольным образом.

Теперь построим траекторию движения конца вектора, совершающего полный оборот за две секунды, или, другими словами, с частотой вращения fВ = 0.5 об/с.

Выглядит, будто мы намотали исходный сигнал на начало координат. В минимумах сигнала полученная «намотка» сливается с началом координат, а при приближении к максимумам – отклоняется.

Пока выглядит не особо информативно, не так ли?

А теперь увеличим частоты намотки.

Сначала график распределяется довольно симметрично относительно начала координат до частоты вращения fВ = 3 об/с. Затем максимумы резко смещаются в правую полуплоскость, а намотка перестаёт напоминать узор спирографа.

2. Ищем центр масс

Посмотрим внимательнее, что происходит. В качестве характеристики намотки возьмём усреднённое значение всех её точек – центр масс (отметим его оранжевым цветом).

Строим зависимость положения центра масс от частоты намотки. Сейчас нам достаточно рассмотреть х-кординату, но в дальнейшем для определения преобразования Фурье потребуются обе координаты.

Мы видим два пика: в точках fВ = 0 об/с и fВ = 3 об/с. На основании такого поведения центра масс уже можно судить о частоте исходного сигнала (он колеблется с f = 3с-1).

Тогда что означает всплеск на низких частотах?

3. Анализируем влияние смещения

Возможно, вы обратили внимание, что рассматриваемый нами сигнал смещён на единицу. Сдвиг был введён для наглядности, но именно он приводит к усложнению поведения центра масс.

При нулевой частоте всё отображение сигнала на комплексной плоскости располагается на оси абсцисс. На малых частотах намотка по-прежнему группируется в правой полуплоскости.

Как только мы убираем сдвиг, т. е. берём сигнал вида g(t) = cos (6πt), намотка при низких частотах сдвигается влево по оси абсцисс.

Построение радиус-вектора остаётся аналогичным. Его длина равна модулю значения сигнала, направление вращения – положительное. Но при смене знака g(t) направление вектора меняется на противоположное.

Сейчас вы увидите, как меняется намотка и х-координата центра масс несмещённого сигнала.

Таким образом, на графике остался только один резкий скачок.

Это важный момент при использовании преобразования Фурье: линейный тренд и смещение проявляются на низких частотах, потому их исключают из исходного сигнала.

4. Выделяем частоты полигармонического сигнала

Теперь рассмотрим сумму двух гармонических сигналов с частотой колебаний f1 = 2 с-1 и f2 = 3 с-1. Проделаем с ней те же операции – «намотаем» возле начала координат, и, меняя частоту вращения, построим график х-координаты центра масс.

Мы наблюдаем два пика в точках fВ = 2 об/с и fВ = 3 об/с, что соответствует частотному составу исходной суммы.

Отметим ещё один интересный факт, верный как для х-координаты, так и для преобразования Фурье. Преобразование для суммы сигналов и сумма преобразований сигналов имеют один и тот же вид. Т. е. преобразование Фурье линейно.

Таким образом, этот подход позволяет определить частоту колебаний как моно-, так и полигармонического сигнала. Осталось математически описать процедуру вычисления центра масс намотки.

Вывод преобразования Фурье

1. В самом начале рассмотрения мы отобразили исходный сигнал на комплексную плоскость. Такой выбор не случаен – это позволяет рассматривать точки на плоскости как комплексные числа и использовать формулу Эйлера для описания намотки:
2. eiφ=cos(φ)+i·sin(φ).

3. Геометрически это соотношение означает, что при любом φ точка eiφ на комплексной плоскости лежит на единичной окружности.
4. Построим радиус-вектор eiφ при разных значениях φ.

При изменении φ на 2π вектор проходит полный оборот против часовой стрелки, так как 2π – длина единичной окружности. Чтобы задать скорость вращения вектора, показатель степени домножаем на ft, а для смены направления вращения – на -1.

Тогда намотка сигнала g(t) описывается как g(t)e-2πift.

Теперь вычисляем центр масс. Для этого отметим N

Источник: https://proglib.io/p/fourier-transform/

Свойства преобразования Фурье

• DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов
• Распространяется под лицензией LGPL v3
• Страница проекта на GitHub.

Пусть даны непериодические сигналы и , а также их спектральные плотности и соответственно. Везде далее мы будем предполагать, что и  — абсолютно интегрируемые сигналы, тогда преобразование Фурье сигнала равно

(1)

(2)

Свойство временного сдвига

Рассмотрим сигнал как результат временного сдвига исходного сигнала на произвольную величину . Тогда преобразование Фурье сигнала имеет вид:

(3)

Введем замену переменной , тогда и . При любом конечном пределы интегрирования не меняются и спектральная плотность равна:

1. (4)
2. Таким образом, задержка сигнала во времени приводит к изменению фазы его спектральной плотности без изменения амплитуды.

Преобразование Фурье свертки сигналов

Пусть сигнал представляет собой свертку сигналов и :

(5)

Тогда спектральная плотность сигнала равна:

• (6)
• Поменяем порядок интегрирования, и используем свойство (4) временного сдвига:

1. (7)
2. Таким образом, спектральная плотность свертки двух сигналов равна произведению их спектральных плотностей.
3. Это одно из важнейших свойств спектрального анализа, которое позволяет анализировать системы обработки в частотной области, заменяя трудоемкое вычисление свертки сигналов произведением их спектральных плотностей.

Преобразование Фурье произведения сигналов

Пусть сигнал представляет собой произведение сигналов и . Преобразование Фурье сигнала равно:

• (8)
• Подставим в (8) вместо сигнала обратное преобразование Фурье его спектральной плотности :

1. (9)
2. Поменяем в (9) операции интегрирования и получим:

(10)

Тогда окончательно преобразование Фурье произведения сигналов

(11)

пропорционально свертке спектральных плотностей этих сигналов.

Масштабирование и инверсия во времени

Пусть сигнал представляет собой масштабированный во времени сигнал ,  — вещественная константа, отличная от нуля.

Тогда преобразование Фурье сигнала равно:

(12)

Введем в выражении (12) замену переменной , тогда , . При этом пределы интегрирования при положительном не меняются: , откуда , и аналогично . Тогда (12) принимает вид:

(13)

При отрицательном , помимо масштабирования имеет место инверсия сигнала во времени. Тогда вводя замену переменной в (12), пределы интегрирования при также меняются: , , и аналогично , откуда . В результате при получаем:

(14)

Знак минус в выражении (14) появился в результате перестановки нижнего и верхнего пределов интегрирования. Объединяя выражения (13) и (14), для любого вещественного можно записать:

(15)

Следствием (15) является свойство преобразования Фурье инверсного во времени сигнала при :

(16)

Временна́я инверсия сигнала приводит к частотной инверсии его спектральной плотности.

Преобразование Фурье производной исходного сигнала

Пусть сигнал представляет собой непрерывный на всей числовой оси абсолютно интегрируемый сигнал, чья спектральная плотность равна . Тогда сигнал также является абсолютно интегрируемым, и его преобразование Фурье равно:

• (17)
• Используем правило интегрирования по частям [2, стр. 330]:

(18)

Учтем, что модуль комплексной экспоненты равен единице, а сигнал является абсолютно интегрируемым, т.е. . Тогда два первых слагаемых выражения (18) равны нулю, и окончательно можно записать:

1. (19)
2. Таким образом, спектральная плотность производной сигнала равна спектральной плотности этого сигнала, умноженной на .

Как и в случае с периодическими сигналами, наличие множителя приводит к тому, что с ростом частоты затухает слабее чем спектральная плотность исходного сигнала .

Поэтому изначально мы наложили ограничение на исходный сигнал: он должен быть непрерывным, тогда его спектральная плотность будет затухать быстрее чем , и умножение на не приведет к росту с увеличением частоты, т.е. обеспечит сходимость (17).

Свойство интегрирования исходного сигнала

Пусть теперь представляет собой сигнал с нулевой постоянной составляющей. Спектральная плотность сигнала равна нулю при .

Тогда сигнал

• (20)
• Обратим внимание, что при , сигнал  является абсолютно интегрируемым.

представляет собой выход интегратора при входном сигнале .

Рассмотрим спектральную плотность сигнала . Для этого заметим, что сигнал ничто иное, как производная сигнала . Тогда используя свойство преобразования Фурье производной сигнала (19) можно записать:

(21)

При , спектральная плотность рассчитывается без особого труда. Однако на частоте получаем неопределенность вида , раскрытие которой по правилу Лопиталя [2, стр. 257] по аналогии со свойством ряда Фурье приводит к окончательному выражению вида:

1. (22)
2. Анализируя (22) можно заключить, что интегрирование сигнала устраняет разрывы и приводит к более быстрому затуханию спектральной плотности, ввиду наличия дополнительного множителя .

Преобразование Фурье комплексно-сопряженного сигнала

Пусть исходный сигнал представляет собой комплексный абсолютно интегрируемый сигнал, где  — синфазная и  — квадратурная компоненты. Рассмотрим преобразование Фурье , используя формулу Эйлера представления комплексных экспонент:

(23)

где , , и  — соответствующее значение каждого из четырех интегралов. Заметим, что справедливы следующие равенства:

• (24)
• Рассмотрим теперь преобразование Фурье комплексно-сопряженного сигнала :

(25)

Учтем свойство (24), тогда:

(26)

и сравнивая с (23) можно заключить, что:

1. (27)
2. Таким образом, спектральная плотность комплексно-сопряженного сигнала равна инверсной по частоте комплексно-сопряженной спектральной плотности исходного сигнала.
3. Важным следствием (27) является свойство симметрии спектральной плотности вещественного сигнала.

Пусть имеется вещественный сигнал , чья спектральная плотность равна . Поскольку сигнал вещественный, то комплексное сопряжение его не меняет, т.е. . Перейдя в частотную область, с учетом (27) получаем равенство:

• (28)
• Для вещественного сигнала выражение (24) с учетом можно представить:

Таким образом, спектральная плотность вещественного сигнала обладает симметрией относительно нулевой частоты.

(29)

и спектральная плотность (23) вещественного сигнала принимает вид:

1. (30)
2. Тогда определяет реальную часть спектральной плотности и является четной функцией частоты, а  — мнимая часть спектральной плотности является нечетной функцией частоты.

Амплитудно- и фазочастотная характеристики сигнала

По аналогии с понятиями амплитудного и фазового спектра периодического сигнала можно ввести понятия амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристики сигнала:

• (31)
• Тогда, в случае вещественного сигнала, с учетом свойств симметрии спектральной плотности (28), можно заключить, что АЧХ является четной функцией частоты , а ФЧХ — нечетной: .
• Свойство симметрии наглядно показано на рисунке 1 для одностороннего экспоненциального импульса.

Рисунок 1. Симметрия АЧХ и ФЧХ экспоненциального импульса: а — сигнал во времени; б — АЧХ (сплошная) и ФЧХ (пунктирная)

Двойственность преобразования Фурье

Пусть сигнал имеет спектральную плотность . Рассмотрим что произойдет, если мы возьмем преобразование Фурье от спектральной плотности :

1. (32)
2. Обратите внимание, интегрирование идет по переменной , хотя выражение (32) представляет собой прямое преобразование Фурье. Тогда можно переписать:

(33)

Можно сделать вывод, что преобразование Фурье от спектральной плотности снова возвращает сигнал, инверсный во времени, умноженный на . Это свойство носит название двойственности (дуальности) преобразования Фурье.

Двойственность преобразования Фурье позволяет формулировать свойства как для временного так и для частотного представления одновременно. Внимательный читатель уже мог отметить схожесть формулировок свойств преобразования Фурье.

Так свертка сигналов во времени приводит к произведению спектральных плотностей, в то время как произведение сигналов во времени приводит к свертке в частотной области.

При рассмотрении свойства временного сдвига мы получили, что спектральная плотность умножается на комплексную экспоненту.

Тогда руководствуясь двойственностью преобразования Фурье можно предположить, что сдвиг спектральной плотности по частоте приведет к умножению сигнала на комплексную экспоненту во времени.

Действительно, обратное преобразование от спектральной плотности смещенной по частоте на величину , равно:

• (34)
• Вводя замену переменной получаем , . Пределы интегрирования остаются неизменными, и выражение (34) принимает вид:

1. (35)
2. Обратим внимание, что при смещении спектральной плотности вещественного сигнала по частоте, мы нарушаем симметрию , и сигнал после умножения на комплексную экспоненту становится комплексным.
3. Продолжая рассмотрение двойственности преобразования Фурье, мы можем легко сформулировать требования к сигналу, при котором его спектральная плотность будет вещественной.

Как мы и предполагали, смещение спектральной плотности по частоте приводит к умножению сигнала на комплексную экспоненту.

Мы говорили, что спектральная плотность вещественного сигнала  является симметричной относительно нулевой частоты: . Тогда мы можем переформулировать это свойство и в другую сторону: если сигнал (в общем случае комплексный) обладает свойством симметрии во временной области: , то его спектральная плотность чисто вещественна.

Для доказательства данного утверждения представим сигнал в виде . Тогда . Если выполняется условие симметрии , то:

• (36)
• Тогда с учетом выражения (23) и (24), мнимая часть спектральной плотности равна:

(37)

где

(38)

Заметим, что (38) представляет собой интегралы в бесконечных симметричных пределах от произведения четной и нечетной функции (четность и нечетность мы установили выше). Тогда можно заключить, что оба интеграла (38) равны нулю, и мнимая часть спектральной плотности , симметричного во времени сигнала , также равна нулю согласно (37). Что и требовалось доказать.

Убывание спектральной плотности сигнала по частоте

Мы уже отмечали тот факт, что дифференцирование сигнала приводит к умножению спектральной плотности на , т.е. спектральная плотность производной сигнала убывает медленнее с ростом частоты, чем спектральная плотность исходного сигнала. При интегрировании сигнала  — наоборот, спектральная плотность делится на и убывает быстрее исходного сигнала.

Таким образом, можно предположить, что скорость убывания спектральной плотности зависит от степени гладкости исходного сигнала  и наша цель установить данную зависимость.

Прежде всего, нам потребуется обратиться к лемме Римана-Лебега.

Лемма (Римана-Лебега). Преобразование Фурье абсолютно-интегрируемой функции является ограниченной функцией частоты , при этом стремится к нулю при .

Доказательство данной леммы приведено в [3, стр. 83–84]. Лемма Римана-Лебега доказывает качественное свойство убывания спектральной плотности абсолютно-интегрируемого сигнала с ростом частоты , но не дает количественной оценки скорости убывания .

Пусть исходный сигнал является непрерывной, абсолютно-интегрируемой функцией времени, которая может быть дифференцируема  раз, причем все  первых производных также будут представлять собой абсолютно-интегрируемые функции.

Тогда производную порядка сигнала можно обозначить как .

Если все первых производных являются абсолютно-интегрируемыми, то мы можем перейти в частотную область и согласно свойству преобразования Фурье, спектральная плотность равна:

1. (39)
2. Если сигнал является бесконечно дифференцируемым, например гауссов импульс , то скорость убывания его спектральной плотности носит экспоненциальный характер, что выше любой конечной степени .
3. Наличие в сигнале разрыва первого рода (например скачка в прямоугольном импульсе) приводит к убыванию спектральной плотности со скоростью с ростом частоты.

откуда . Таким образом, можно заключить, что спектральная плотность убывает быстрее чем , если сигнал может быть раз дифференцируем.

Выводы

В данном разделе мы рассмотрели некоторые свойства преобразования Фурье.

В следующем разделе мы рассмотрим спектральные плотности некоторых распространенных сигналов.

Смотри также

Представление периодических сигналов рядом Фурье Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье Преобразование Фурье непериодических сигналов Спектральные плотности некоторых сигналов

Примечания

Преобразование Фурье представляет собой интеграл в бесконечных пределах. Применение правила интегрирования по частям возможно [1, стр. 374] при соблюдении условия сходимости выражения (17), которое обеспечивается при непрерывном .

Список литературы

[1] Будак, Б.М., Фомин, С.В. Кратные интегралы и ряды. Москва, Наука, 1965, 608 c.

[2] Ильин, В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Москва, Наука, 1965, 572 c.

[3] Хургин, Я.И., Яковлев, В.П. Финитные функции в физике и технике. Москва, Наука, 1971, 408 с.

[4] Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, ЛЕНАНД, 2016, 528 c. ISBN 978-5-9710-2464-4

[5] Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, Советское радио, 1977, 608 c.

[6] Bracewell, R. The Fourier Transform and Its Applications McGraw-Hills, 1986, 474 c. ISBN 0-07-007-015-6

© Бахурин Сергей 2015 — 2020. Все права защищены. Любое копирование материалов сайта без разрешения автора запрещено.

Источник: http://ru.dsplib.org/content/fourier_transform_prop/fourier_transform_prop.html