Понятие системы нескольких случайных величин — справочник студента

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное заранее неизвестное значение.

Примерами могут служить: потери и подсосы воздуха, степень усвоения кислорода, неточности взвешивания компонентов шихты, колебания химического состава сырья в связи с недостаточным усреднением и т. д.

Соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения, который количественно выражается в двух формах.

Рис. 5.1 Функция распределения (а) и плотность распределения (б)

Вероятность события , зависящая от значения , называется функцией распределения случайной величины:

.        (5.1)есть неубывающая функция (рис. 5.1,а). Значения ее при предельных значениях аргумента равны:и.

Плотность распределения

Чаще используется другая форма закона распределения – плотность распределения случайной величины , являющаяся производной функции распределения:

.        (5.2)Тогда вероятность нахождения величины в интервалеиможно выразить через плотность распределения:
.        (5.3`)Плотность распределения есть неотрицательная функция (рис. 21,б), площадь под кривой распределения равна единице:
.        (5.4)Функция распределения может выражаться через плотность распределения:
.        (5.5)Для решения большинства практических задач закон распределения, т. е. полная характеристика случайной величины, неудобен для использования. Поэтому чаще применяют числовые характеристики случайной величины, определяющие основные черты закона распределения. Наиболее распространенными из них являются математическое ожидание и дисперсия (или среднеквадратичное отклонение).

Математическое ожидание

Математическое ожидание случайной величины определяется следующим образом

.        (5.6)где

• – возможное значение случайной величины;
• – вероятность этого значения.

Математическое ожидание случайной величиныобычно оценивается ее средним арифметическим, которое при увеличении числа опытовсходится к математическому ожиданию

.        (5.7)где — наблюдаемые значения случайной величины.

Важно отметить, что в случае, если – непрерывно меняющаяся во времени величина (температура свода, стенки, химический состав продуктов горения), то необходимо брать в качестве значения величинызначения величины , разделенные такими интервалами во времени, чтобы их можно было рассматривать как независимые опыты. Практически это сводится к учету инерционности по соответствующим каналам. Способы оценки инерционности объектов будут рассмотрены ниже.

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение

Дисперсия определяет рассеяние случайной величины около ее математического ожидания

.        (5.8)Оценка дисперсии производится по формуле
.        (5.9)а среднеквадратического отклонения по формуле

.

Коэффициент корреляции

Коэффициент корреляции характеризует степень линейной связи между величинамии, т. е. здесь уже имеем дело с системой случайных величин. Оценка коэффициент корреляции производится по формуле

.        (5.10) 

Определение ошибок и доверительных интервалов для характеристик случайных величин

Для того, чтобы рассмотренными характеристиками случайных величин можно было пользоваться с определенной надежностью, необходимо кроме указанных оценок вычислить для каждой из них ошибки или доверительные интервалы, которые зависят от степени разброса, числа опытов и заданной доверительной вероятности. Ошибка для математического ожидания приближенно определяется по формуле

.        (5.11)где– критерий Стьюдента; выбирается по таблицам в зависимости от заданной доверительной вероятностии числа опытов(например, прии,).

• Таким образом, истинное значение математического ожидания с вероятностью находится в доверительном интервале

.        (5.12)При заданной точности расчетаи надежности эти же формулы можно использовать для расчета необходимого числа независимых опытов.

1. Подобным образом определяется и ошибка коэффициент корреляции величин и

.        (5.13)Считается, что линейная зависимость междуидействительно существует, если
.или
.        (5.14)Например, призависимость между исследуемыми величинами действительно имеет место, если
.        (5.15)В противном случае существование зависимости между величинами инедостоверно.

Случайная величина

Определение понятия случайной величины

• Форма связи между случайными величинами определяется линией регрессии, показывающей, как в среднем изменяется величина
• при изменении величины, что характеризуют условным математическим ожиданиемвеличины, вычисляемым при условии, что величинаприняла определенное значение. Таким образом, кривая регрессиинаесть зависимость условного математического ожидания от известного значения

.        (5.16)где,–параметры уравнения (коэффициенты).

Изменения случайной величиныобусловлены изменчивостью стохастически связанной с ней неслучайной величины, а также других факторов, влияющих на, но не зависящих от. Процесс определения уравнения регрессии складывается из двух важнейших этапов: выбора вида уравнения, т. е. задания функции, и расчета параметров уравнения регрессии.

Выбор вида уравнения регрессии

Выбирается этот вид исходя из особенностей изучаемой системы случайных величин.

Одним из возможных подходов при этом является экспериментальный подбор типа уравнения регрессии по виду полученного корреляционного поля между величинамииили целенаправленный перебор структур уравнений и оценка каждой из них, например, по критерию адекватности.

В случае же, когда имеется определенная априорная (доопытная) информация об объекте, более эффективным является использование для этой цели теоретических представлений о процессах и типах связей между изучаемыми параметрами. Такой подход особенно важен, когда необходимо количественное описание и определение причинно – следственных связей.

Например, лишь имея некоторые представления о теории сталеплавильных процессов, можно делать вывод о причинно – следственных связях для зависимости скорости обезуглероживания от расхода вдуваемого в конвертерную ванну кислорода или обессеривающей способности шлака от его основности и окисленности.

После выбора вида уравнения регрессии производится расчет его параметров (коэффициентов), для чего чаще всего используется метод наименьших квадратов, который будет рассмотрен ниже.

Возможно, вам будет интересно также:

Источник: https://bookaa.ru/matematicheskoe-modelirovanie/osnovnye-kharakteristiki-sluchaynykh-v.html

Понятие системы нескольких случайных величин

Наименование параметра	Значение
Тема статьи:	Понятие системы нескольких случайных величин
Рубрика (тематическая категория)	Технические дисциплины
Articles-ads

Самый простой и дольно понятный случай — ϶то случай с использованием однои̌ случайнои̌ величины X . Такая случайная величина называется одномернои̌ случайнои̌ величинои̌. Помимо таких величин рассматриваются так величины, которые определяются двумя, тремя или n значениями. Такие величины называются, соответственно, двумерными, трехмерными , … , n- мерными случайными величинами. При ϶том каждое ᴎɜ значений называют составляющей случайнои̌ величины.

Понятие 1

n- мерная случайная величина называется дискретнои̌, если всœе её составляющие являются дискретными случайными величинами.

Понятие 2

n- мерная случайная величина называется непрерывнои̌, если всœе её составляющие являются непрерывными случайными величинами.

Понятие системы случайных величин

Понятие 3

Составляющие n- мернои̌ случайнои̌ величины, рассматриваемые вместе, называется системой n случайных величин.

В дальнейшем, чаще всœего, мы будем рассматривать систему двух случайных величин и обозначать её (X, Y) .

Понятие 4

Случайная величина называется двумернои̌, если она определяется двумя числами.

Понятие 5

Составляющие двумернои̌ случайнои̌ величины, рассматриваемые вместе, называется системой двух случайных величин.

Законы распределения двумернои̌ случайнои̌ величины

Понятие 6

Законом распределения двумернои̌ случайнои̌ величины (X,Y) — называется множество возможных пар чисел (x_i, y_j) (где x_i epsilon X, y_j epsilon Y ) и их вероятностей p_{ij} .

Существуют три основных вида законов распределения случайнои̌ величины. Самый простой ᴎɜ них — запись виде таблицы, где в первом столбце и строке значения случайных величин, а в остальных вероятности, связывающие их.

Ведем ещё два вида законов распределения двумернои̌ случайнои̌ величины.

Понятие 7

[Fleft(x,y
ight)=P(X

Понятие 8

[Fleft(x,y
ight)=intlimits^x_{-infty }{intlimits^y_{-infty }{varphi left(t,z
ight)dtdz}}]

1. Нахождение вероятности попадания двумернои̌ случайнои̌ величины в заданную прямоугольную область с помощью интегральнои̌ функции распределения.

[Pleft(x_1

Нахождение вероятности попадания двумернои̌ случайнои̌ величины в заданную область D с помощью функции плотности распределения.

[Pleft(left(X,Y
ight)in D
ight)=iintlimits_{(D)}{varphi left(x,y
ight)dxdy}]

Причем, если D — прямоугольник, то

[Pleft(left(X,Y
ight)in D
ight)=intlimits^{x_2}_{x_1}{intlimits^{y_2}_{y_1}{varphi left(x,y
ight)dxdy}}]

Примеры задач

Пример 1

Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равняется 0,3 . Найти вероятность попадания такой случайнои̌ величины в прямоугольную область ABCD с координатами вершин A(0,0) , B=(0,2) , C=left(1,2
ight), D(1,0) .

Решение.

• Рисунок 1.
• Из полученного закона, очевидно, что функция распределения имеет вид:

Рисунок 2.

[Pleft(x_1Получим: [Pleft(0Ответ: 0,4.

Пример 2

1. Распределение двумернои̌ случайнои̌ величины задано функцией плотности распределения, имеющей вид
2. Найти вероятность попадания такой случайнои̌ величины область D , ограниченную прямыми x=0, x=2, y=0, y=1 .
3. Решение:
4. Так как задана плотность распределения двумернои̌ случайнои̌ величины и область D — прямоугольник, то воспользуемся следующей формулой вычисления вероятности попадания даннои̌ величины в область D
5. Ответ: 0,0625 .

[varphi left(x,y
ight)=frac{2}{{pi }^2left(4+x^2
ight)(1+y^2)}] [Pleft(left(X,Y
ight)in D
ight)=intlimits^{x_2}_{x_1}{intlimits^{y_2}_{y_1}{varphi left(x,y
ight)dxdy}}] [Pleft(left(X,Y
ight)in D
ight)=intlimits^2_0{intlimits^1_0{frac{2}{{pi }^2left(4+x^2
ight)(1+y^2)}dxdy}}=frac{2}{{pi }^2}intlimits^2_0{intlimits^1_0{frac{dxdy}{left(4+x^2
ight)(1+y^2)}}}=] [=frac{2}{{pi }^2}intlimits^2_0{frac{dx}{4+x^2}}intlimits^1_0{frac{dy}{1+y^2}}=frac{2}{{pi }^2}intlimits^2_0{frac{dx}{4+x^2}}cdot {left.left(arctgy
ight)
ight|}^1_0=] [=frac{2}{{pi }^2}left(frac{pi }{4}+0
ight)intlimits^2_0{frac{dx}{4+x^2}}=frac{1}{2pi }{left.left(frac{1}{2}arctgfrac{x}{2}
ight)
ight|}^2_0=frac{1}{4pi }left(frac{pi }{4}+0
ight)=frac{1}{16}] [Pleft(left(X,Y
ight)in D
ight)=0,0625]

Понятие системы нескольких случайных величин — понятие и виды. Классификация и особенности категории «Понятие системы нескольких случайных величин»2018-2019.

— Понятие системы нескольких случайных величин

Понятие n-мерной случайной величиныСамый простой и дольно понятный случай — это случай с использованием одной случайной величины $X$. Такая случайная величина называется одномерной случайной величиной. Помимо таких величин рассматриваются также величины, которые… [читать далее].

Источник: http://referatwork.ru/info-lections-55/tech/view/1106_ponyatie_sistemy_neskol_kih_sluchaynyh_velichin

Теория вероятностей — Вентцель Е.С

Название: Теория вероятностей. 1969.

Вентцель Е.С.

    Книга представляет собой учебник, предназначенный для лиц, знакомых с математикой в объеме обычного ВТУЗовского курса и интересующихся техническими приложениями теории вероятностей, в частности теорией стрельбы. Книга представляет также интерес для инженеров других специальностей, которым приходится применять теорию вероятностей в их практической деятельности.От других учебников, предназначенных для той же категории читателей, книга отличается большим вниманием к важным для приложений новым ветвям теории вероятностей (например, теории вероятностных процессов, теории информации, теории массового обслуживания и др.     Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.Условимся,  что  мы  будем   понимать под «случайным явлением».При научном исследовании различных физических в технических задач часто приходится встречаться с особого типа явлениями, которые принято называть случайными. Случайное явление — это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.

• ОГЛАВЛЕНИЕ
• Глава 1. Введение 11
• Глава 2. Основные понятия теории вероятностей 23
• Глава 3. Основные теоремы теории вероятностей 37
• Глава 4. Повторение опытов 59
• Глава 5. Случайные величины н их законы распределения 67
• Глава 6. Нормальный закон распределения 115
• Глава 7. Определение законов распределения случайных величин на основе опытных данных 131
• Глава 8. Системы случайных величин 159
• Глава 9. Нормальный закон распределения для системы случайных величин 188
• Глава 10. Числовые характеристики функций случайных величин 210
• Глава 11. Линеаризация функций 252
• Глава 12. Законы распределения функций случайных аргументов 263
• Глава 13. Предельные теоремы теории вероятностей 286
• Глава 14. Обработка опытов 312
• Глава 15. Основные понятия теории случайных функций 370
• Глава 16. Канонические разложения случайных функций 405
• Глава 17. Стационарные случайные функции 419
• Глава 18. Основные понятия теории информации 468
• Глава 19. Элементы теории массового обслуживания 515

Предисловие ко второму изданиюПредисловие к первому изданию 91.1. Предмет теории вероятностей 111.2. Краткие исторические сведения 172.1. Событие. Вероятность события 232.2. Непосредственный подсчет вероятностей 242.3. Частота, или статистическая вероятность, события 282.4. Случайная величина 322.5. Практически невозможные и практически достоверные события. Принцип практической уверенности 343.1. Назначение основных теорем. Сумма и произведение событий 373.2. Теорема сложения вероятностей 403.3. Теорема умножения вероятностей 453.4. Формула полной вероятности 543.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) 564.1. Частная теорема о повторении опытов 594.2. Общая теорема о повторении опытов 615.1. Ряд распределения. Многоугольник распределения 675.2. Функция распределения 725.3. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок 785.4. Плотность распределения 805.5. Числовые характеристики случайных величин. Их роль и назначение 845.6. Характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана) 855.7. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение 925.8. Закон равномерной плотности 1035.9. Закон Пуассона. 1066.1. Нормальный закон и его параметры 1166.2. Моменты нормального распределения 1206.3. Вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, на заданный участок. Нормальная функция распределения 1226.4. Вероятное (срединное) отклонение 1277.1. Основные задачи математической статистики 1317.2. Простая статистическая совокупность. Статистическая функция распределения 1337.3. Статистический ряд. Гистограмма 1337.4. Числовые характеристики статистического распределения 1397.5. Выравнивание статистических рядов 1437.6. Критерии согласия 1498.1. Понятие о системе случайных величин 1598.2. Функция распределения системы двух случайных величин 1638.3. Плотность распределения системы двух случайных величин 1638.4. Законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Условные законы распределения 1638.5. Зависимые и независимые случайные величины 1718.6. Числовые характеристики системы двух случайных величии. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции 1758.7. Система произвольного числа случайных величин 1828.8. Числовые характеристики системы нескольких случайных величин 1849.1. Нормальный закон на плоскости 1889.2. Эллипсы рассеивания. Приведение нормального закона к каноническому виду 1939.3. Вероятность попадания в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания 1969.4. Вероятность попадания в эллипс рассеивания 1989.5. Вероятность попадания в область произвольной формы 2029.6. Нормальный закон в пространстве трех измерений. Общая запись нормального закона для системы произвольного числа случайных величин 20510.1. Математическое ожидание функции. Дисперсия функции 21010.2. Теоремы о числовых характеристиках 21910.3. Применения теорем о числовых характеристиках 23011.1. Метод линеаризации функций случайных аргументов 25211.2. Линеаризация функции одного случайного аргумента 25311.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов 25511.4. Уточнение результатов, полученных методом линеаризации 25912.1. Закон распределения монотонной функции одного случайного аргумента 64312.2. Закон распределения линейной функции от аргумента, подчиненного нормальному закону 26612.3. Закон распределения немонотонной функции одного случайного аргумента 26712.4. Закон распределения функции двух случайных величин 26912.5. Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения 27112.6. Композиция нормальных законов 27512.7. Линейные функции от нормально распределенных аргументов 27912.8. Композиция нормальных законов на плоскости 28013.1. Закон больших чисел и центральная предельная теорема 28613.2. Неравенство Чебышева 28713.3. Закон больших чисел (теорема Чебышева) 29013.4. Обобщенная теорема Чебышева. Теорема Маркова 29213.5. Следствия закона больших чисел: теоремы Бернулли и Пуассона 29513.6. Массовые случайные явления и центральная предельная теорема 29713.7. Характеристические функции 29913.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых 30213.9. Формулы, выражающие центральную предельную теорему и встречающиеся при ее практическом применении 30614.1. Особенности обработки ограниченного числа опытов. Оценки для неизвестных параметров закона распределения 31214.2. Оценки для математического ожидания и дисперсии 31414.3. Доверительный интервал. Доверительная вероятность 31714.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону 32414.5. Оценка вероятности по частоте 33014.6. Оценки для числовых характеристик системы случайных величин 33914.7. Обработка стрельб 34714.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов 35115.1. Понятие о случайной функции 37015.2. Понятие о случайной функции как расширение понятия о системе случайных величин. Закон распределения случайной функции 37415.3. Характеристики случайных функций 37715.4. Определение характеристик случайной функции из опыта 38315.5. Методы определения характеристик преобразованных случайных функций по характеристикам исходных случайных функций 38515.6. Линейные и нелинейные операторы. Оператор динамической системы 38815.7. Линейные преобразования случайных функций 39315.8. Сложение случайных функций 39Э15.9. Комплексные случайные функции 40216.1. Идея метода канонических разложений. Представление случайной функции в виде суммы элементарных случайных функций 40616.2. Каноническое разложение случайной функции 41016.3. Линейные преобразования случайных функций, заданных каноническими разложениями 41117.1. Понятие о стационарном случайном процессе 41917.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий 42717.3. Спектральное разложение стационарной случайной функции на бесконечном участке времени. Спектральная плотность стационарной случайной функции 43117.4. Спектральное разложение случайной функции в комплексной форме 43817.5. Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной системой 44717.6. Применения теории стационарных случайных процессов к решению задач, связанных с анализом и синтезом динамических систем 45417.7. Эргодическое свойство стационарных случайных функций 45717.8. Определение характеристик эртодическои стационарной случайной функции по одной реализации 46218.1. Предмет и задачи, теории информации 46818.2. Энтропия как мера степени неопределенности состояния физической системы 46918.3. Энтропия сложной системы. Теорема сложения энтропии 47515.1. Условная энтропия. Объединение зависимых систем 47718.1. Энтропия н информация 48118.2. Частная информация о системе, содержащаяся в сообщении о событии. Частная информация о событии, содержащаяся в сообщении о другом событии 48918.7. Энтропия и информация для систем с непрерывным множеством состояний 49318.8. Задачи кодирования сообщений. Код Шеннона — Фэно 50218.9. Передача информации с искажениями. Пропускная способность канала с помехами 50919.1. Предмет теории массового обслуживания 51519.2. Случайный процесс со счетным множеством состояний 51719.3. Поток событий. Простейший поток и его свойства 52019.4. Нестационарный пуассоновский поток 52719. 5. Поток с ограниченным последействием (поток Пальма) 52916. 6. Время обслуживания 53419. 7. Марковский случайный процесс 53719. 8. Система массового обслуживания с отказами. Уравнения Эрланга 54019. 9. Установившийся режим обслуживания. Формулы Эрланга 54419.10. Система массового обслуживания с ожиданием 54819.11. Система смешанного типа с ограничением по длине очереди 557Приложение. Таблицы 561Литература 573Предметный указатель 574
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать: Скачать книгу Теория вероятностей — Вентцель Е.С. — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать файл № 1 — djvu

Скачать файл № 2 — djvuНиже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу
Скачать книгу Теория вероятностей — Вентцель Е.С. — depositfiles

Скачать книгу Теория вероятностей — Вентцель Е.С. — letitbit

Закон Пуассона

28.06.2011 09:22 UTC

Источник: https://nashol.me/2011062856890/teoriya-veroyatnostei-ventcel-e-s.html

Понятие о системе случайных величин и законе ее распределения

При изучении случайных явлений часто приходится иметь дело с двумя, тремя и большим числом случайных величин. Совместное рас­смотрение нескольких случайных величин приводит к системам слу­чайных величин.

Так, точка попадания снаряда характеризуется си­стемой (X, У) двух случайных величин: абсциссой X и ординатой У; успеваемость наудачу взятого абитуриента характеризуется системойпслучайных величин (Х^, Х2, • * •1 Хп) — оценками, проставленными в его аттестате зрелости.

Рч] «Упорядоченный набор (Х, Х2,…, Хп)случайных величин Х{(г =

= 1,п), заданных на одном и том же ПЭС ft, называется п-мерной случайной величинойили системой п случайных величин. р| Одномерные с. в. X'2t • • ■ 1 Хп называются компонентамиили

, составляющимиn-мерной с. в. (Xi, Х2,. ■.} Хп).Их удобно рассма­тривать как координаты случайной точки или случайного вектора X = (Х,Х2,… ,ХП) в пространстве п измерений.

На многомерные случайные величины распространяются почти без изменений основные понятия и определения, относящиеся к одномер­ным случайным величинам. Ограничимся для простоты рассмотрени­ем системы двух случайных величин; основные понятия обобщаются на случай большего числа компонент.

Упорядоченная пара (X, У) двух случайных величин X и Y назы­вается двумерной случайной величиной или системой двух одномерных случайных величин X и Y.

Систему (X, У) можно изобразить случайной точкойМ(Х, У) илислучайным вектором ОМ(рис. 36 и 37).

Система (X, У) есть функция элементарного события: (Х,У) == Y).

Pij
Pl3
Pi 1
Pl2
	2/i	У 2	Уз
/	/	У
——— J	P22^	t'l_____ ,	/__ _ __.

Рис. 38

Зная закон распределения двумерной дискретной случайной ве­личины, можно найти законы распределения каждой из компонент (обратное, вообще говоря, неверно).

Так, pXl = Р{Х =£i} —рц + + Pi2 + • • • -f pimiчто следует из теоремы сложения несовместных со­бытий {X = xi,Y= ух}, {X = xi,Y= у2}, {X = xi,Y = ут}. Аналогично можно найти

1. m п
2. Pxi = Р{Х = Xi} = ^Ру, PVj = = Vj} =
3. j=1 t=l

[яу| Пример 3.2. В урне 4 шара: 2 белых, 1 черный, 1 синий. Из нее наудачу — извлекают два шара. Пусть с. в. X — число черных шаров в выборке, с. в. К — число синих шаров в выборке. Составить закон распределения для системы (X, У). Найти законы распределения X и У.

О С. в. X может принимать значения 0, 1; с. в. У — значения 0, 1. Вычислим соответствующие вероятности: рц = Р{Х= 0,У = 0} =

= i (или: f ■ i = I); Р12 = Р{Х = 0,Y = 1} = ^ — 2-

• 6 v—— 4 3 6
• г>21 = Р{Х = 1,Y = 0} = Р22 = Р{Х = 1,У = 1} = ±. Таблица распределения системы (X, У) имеет вид:
• С1
• Отсюда следует: Р{Х= 0} = £ + | = ^ Р{Х =1} — | + I — I;
• Р{У = 0} = ^ + ^ = P{Y= 1} = ^ + ^ = Законы распределения составляющих А» и У имеют вид:
• Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства
• Универсальной формой задания распределения двумерной случай­ной величины является функция распределения (или «интегральная функция»), пригодная как для дискретной, так и для непрерывной слу­чайной величины, обозначаемая Fxx(x->y) или просто F(x,y).
• Функцией распределения двумерной случайной величины(X, У) на­зывается функция F(x, у),которая для любых действительных чисел х и уравна вероятности совместного выполнения двух событий {X < ж} и {У

Источник: https://poisk-ru.ru/s11204t1.html

Числовые характеристики системы нескольких случайных величин

Закон распределения системы (заданный функцией распределения или плотностью распределения) является полной, исчерпывающей характеристикой системы нескольких случайных величин. Однако очень часто такая исчерпывающая характеристика не может быть применена.

Иногда ограниченность экспериментального материала не дает возможности построить закон распределения системы. В других случаях исследование вопроса с помощью сравнительно громоздкого аппарата законов распределения не оправдывает себя в связи с невысокими требованиями к точности результата.

Наконец, в ряде задач примерный тип закона распределения (нормальный закон) известен заранее и требуется только найти его характеристики.

Во всех таких случаях вместо законов распределения применяют неполное, приближенное описание системы случайных величин с помощью минимального количества числовых характеристик.

Минимальное число характеристик, с помощью которых может быть охарактеризована система п случайных величин Xh Х2,…, Х„, сводится к следующему:

1) п математических ожиданий

характеризующих средние значения величин;

характеризующих их рассеивание;

3) п(п — 1) корреляционных моментов

характеризующих попарную корреляцию всех величин, входящих в систему.

Заметим, что дисперсия каждой из случайных величин За есть, по существу, не что иное, как частный случай корреляционного момента, а именно корреляционный момент величины Х,и той же величины Х{.

Все корреляционные моменты и дисперсии удобно расположить в виде прямоугольной таблицы (так называемой матрицы):

Очевидно, что не все члены корреляционной матрицы различны. Из определения корреляционного момента ясно, что Ку = KJh т.е. элементы корреляционной матрицы, расположенные симметрично по отношению к главной диагонали, равны. В связи с этим часто заполняется не вся корреляционная матрица, а лишь ее половина, считая от главной диагонали:

Корреляционную матрицу, составленную из элементов Ку, часто сокращенно обозначают символом ЦА^.Ц.

По главной диагонали корреляционной матрицы стоят дисперсии случайных величин X,, Х2,…. Х„.

В случае, когда случайные величины Xt, Х2, …. Х„ не коррелиро- ваны, все элементы корреляционной матрицы, кроме диагональных, равны нулю:

Такая матрица называется диагональной.

В целях наглядности суждения именно о коррелированности случайных величин безотносительно к их рассеиванию часто вместо корреляционной матрицы | К у | пользуются нормированной корреляционной матрицей |/~ ||, составленной не из корреляционных моментов, а из коэффициентов корреляции:

Все диагональные элементы этой матрицы, естественно, равны единице. Нормированная корреляционная матрица имеет вид:

Введем понятие о некоррелированных системах случайных величин (иначе — о некоррелированных случайных векторах). Рассмотрим две системы случайных величин:

Источник: https://bstudy.net/637812/estestvoznanie/chislovye_harakteristiki_sistemy_neskolkih_sluchaynyh_velichin

Системы случайных величин (стр. 1 из 3)

Введение

В статистической радиотехнике частот приходится иметь дело одновременно с несколькими случайными величинами, например, мгновенные значения напряжения на выходах антенной решетки при воздействии на ее вход сигналов и помех и т.д. Свойства системы нескольких СВ не исчерпываются свойствами отдельной СВ, так как при этом необходимо описание связи между составляющими системы СВ.

1. Функции распределения системы из двух случайных величин

Функцией распределения системы из двух СВ

называется вероятность совместного выполнения двух неравенств и : .

По определению, функция распределения

есть вероятность попадания случайной точки с координатами в квадрат с бесконечными размерами, расположенный левее и ниже этой точки на плоскости . Отдельно для каждой СВ Xи Yможно определить одномерную функцию распределения, например, есть вероятность попадания в полуплоскость, расположенную левее точки с координатой x. Также и есть вероятность попадания в полуплоскость ниже точки y.

• Свойства
• 1)
• 2) на — ¥ по обеим осям она равна нулю;
• 3) при равенстве +¥ одного из аргументов согласно другому аргументу она превращается в одномерную функцию распределения;
• 4) если оба аргумента равны +¥, то
• Вероятность попадания случайной точки в квадрат Rс координатами

: есть неубывающая функция обоих своих аргументов; = 1. по оси xи по оси yравна . существует как для непрерывных, так и для дискретных СВ.

Двумерная плотность вероятности есть предел следующего отношения:

.

Если

не только непрерывна, но и дифференцируема, то двумерная плотность вероятности есть вторая смешанная частная производная функции по xи по y.

Размерность

обратна произведению размерностей СВ Xи Y.

1. Таким образом, двумерная плотность вероятности есть предел отношению вероятности попадания точки в малый прямоугольник к площади этого прямоугольника, когда оба размера прямоугольника стремятся к нулю. Геометрически
2. Если рассечь эту поверхность плоскостью, параллельной плоскости xy, и спроецировать полученное сечение на плоскость xy, то получится кривая, называемая «кривой равной плотности вероятности».
3. Иногда удобно рассматривать семейства кривых равной плотности при разных уровнях сечения. Как и для одномерной плотности вероятности, здесь вводится понятие элемента вероятности
4. Вероятность попадания случайной точки в произвольную область Gопределяется двумерным интегралом от

можно представить как некоторую поверхность. . по этой области. Геометрически это объем, ограниченный и областью G.

Если Gесть прямоугольник с координатами вершин по оси x:

и , а по оси y: и , то вероятность попадания случайной точки в этот прямоугольник определяется интегралом .

Свойства двумерной плотности вероятности:

есть неотрицательная величина;

свойство нормировки аналогично одномерной плотности вероятности, но при двумерном интегрировании в бесконечных пределах.

3. Условные законы распределения отдельных СВ, входящих в систему СВ

Имея закон распределения системы двух СВ, всегда можно определить законы распределения отдельных СВ, входящих в систему. Например,

и . Если известна плотность вероятности , то .

Аналогично определяется

.

Таким образом, зная двумерную плотность вероятности, всегда можно определить одномерную плотность вероятности. Обратную задачу в общем случае решить невозможно. Ее можно решить, если известны условные плотности вероятности или функции распределения.

Условным законом распределения СВ, входящей в систему, называется ее закон распределения, определенный при условии, что другая СВ приняла определенное значение:

. В этом случае можно найти двумерную плотность вероятности по формуле . Из этих выражений следует: , .

СВ Xназывается независимой от СВ Y, если закон распределения величины Xне зависит от того, какое значение приняла СВ Y. В этом случае

при любом y. Необходимо заметить, что если СВ Xне зависит от СВ Y, то и СВ Yне зависит от СВ X. Для независимых СВ теорема умножения законов распределения имеет вид: .

Это условие рассматривается как необходимое и достаточное условие независимости СВ. Различают понятия функциональной и статистической зависимостей.

При статистической зависимости нельзя указать точно значение, которое принимает одна из СВ, если известно значение другой, можно лишь определить влияние в среднем.

Но по мере увеличения взаимозависимости статистическая зависимость превращается в функциональную.

5. Числовые характеристики системы двух СВ. Коррелированность

• Как и для одной СВ, для системы двух СВ можно использовать начальные и центральные моменты.
• Начальным моментом порядка k,sсистемы (X, Y) называется МО произведения:
• Центральным моментом порядка k,sсистемы (X, Y) называется МО произведения k-й и s-й степени соответствующих центрированных величин.
• Для непрерывных СВ –
• Первый начальный момент есть МО для соответствующей СВ Xили Y.
• Аналогично имеются и вторые центральные моменты системы СВ:

; . , . и , которые характеризуют степень разбросанности случайной точки вдоль осей xи yсоответственно.

Особую роль в статистической радиотехнике играет второй смешанный центральный момент

= KXY — корреляционный момент.

Для непрерывных СВ корреляционный момент выражается формулой

.

Этот момент, кроме рассеивания СВ, характеризует и взаимозависимость СВ Xи Y. При этом, если СВ Xи Yнезависимы, то

. Докажем это предположение: если СВ Xи Yнезависимы, , то последний интеграл распадается на два независимых интеграла, в которых имеется произведение двух первых центральных моментов. Эти моменты равны нулю.

Источник: https://mirznanii.com/a/121550/sistemy-sluchaynykh-velichin