Параллельность прямых и плоскостей — справочник студента

  • Материалы Рє зачетной работе РїРѕ теме
    «РћСЃРЅРѕРІРЅС‹Рµ понятия Рё аксиомы стереометрии.
    Параллельность прямых Рё плоскостей»
  • Стереометрия — это раздел геометрии, РІ котором изучаются свойства фигур РІ пространстве.
  • Слово «стереометрия» РїСЂРѕРёСЃС…РѕРґРёС‚ РѕС‚ греческих слов В«στερεοσВ» — объемный, пространственный Рё В«μετρεοВ» — измерять.
  • Простейшие фигуры РІ пространстве: точка, прямая, плоскость.
Плоскость. Представление Рѕ плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно РІРѕ РІСЃРµ стороны. Параллельность прямых и плоскостей - Справочник студента
РќР° рисунках плоскости изображаются РІ РІРёРґРµ параллелограмма или РІ РІРёРґРµ произвольной области Рё обозначаются греческими буквами α, β, γ Рё С‚.Рґ. Точки Рђ Рё Р’ лежат РІ плоскости β (плоскость β РїСЂРѕС…РѕРґРёС‚ через эти точки), Р° точки M, N, P РЅРµ лежат РІ этой плоскости. Коротко это записывают так: Рђ ∈ β, B ∈ β, Параллельность прямых и плоскостей - Справочник студента Параллельность прямых и плоскостей - Справочник студента

Аксиомы стереометрии и их следствия

РђРєСЃРёРѕРјР° 1. Через любые три точки, РЅРµ лежащие РЅР° РѕРґРЅРѕР№ РїСЂСЏРјРѕР№, РїСЂРѕС…РѕРґРёС‚ плоскость, Рё притом только РѕРґРЅР°. Параллельность прямых и плоскостей - Справочник студента
РђРєСЃРёРѕРјР° 2. Если РґРІРµ точки РїСЂСЏРјРѕР№ лежат РІ плоскости, то РІСЃРµ точки РїСЂСЏРјРѕР№ лежат РІ этой плоскости. (Прямая лежит РЅР° плоскости или плоскость РїСЂРѕС…РѕРґРёС‚ через РїСЂСЏРјСѓСЋ). Параллельность прямых и плоскостей - Справочник студента
Р�Р· аксиомы 2 следует, что если прямая РЅРµ лежит РІ данной плоскости, то РѕРЅР° имеет СЃ ней РЅРµ более РѕРґРЅРѕР№ общей точки. Если прямая Рё плоскость имеют РѕРґРЅСѓ общую точку, то РіРѕРІРѕСЂСЏС‚, что РѕРЅРё пересекаются. Параллельность прямых и плоскостей - Справочник студента
РђРєСЃРёРѕРјР° 3. Если РґРІРµ различные плоскости имеют общую точку, то РѕРЅРё имеют общую РїСЂСЏРјСѓСЋ, РЅР° которой лежат РІСЃРµ общие точки этих плоскостей. Р’ таком случае РіРѕРІРѕСЂСЏС‚, плоскости пересекаются РїРѕ РїСЂСЏРјРѕР№. Пример: пересечение РґРІСѓС… смежных стен, стены Рё потолка комнаты. Параллельность прямых и плоскостей - Справочник студента

Некоторые следствия из аксиом

Теорема 1. Через РїСЂСЏРјСѓСЋ a Рё РЅРµ лежащую РЅР° ней точку Рђ РїСЂРѕС…РѕРґРёС‚ плоскость, Рё притом только РѕРґРЅР°. Параллельность прямых и плоскостей - Справочник студента
Теорема 2. Через РґРІРµ пересекающиеся прямые a Рё b РїСЂРѕС…РѕРґРёС‚ плоскость, Рё РїСЂРё том только РѕРґРЅР°. Параллельность прямых и плоскостей - Справочник студента

Параллельные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема Рѕ параллельных прямых. Через любую точку пространства, РЅРµ лежащую РЅР° данной РїСЂСЏРјРѕР№, РїСЂРѕС…РѕРґРёС‚ прямая, параллельная данной, Рё притом только РѕРґРЅР°. Параллельность прямых и плоскостей - Справочник студента
Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми.
Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
  1. Теорема о трех прямых в пространстве.
  2. Если РґРІРµ прямые параллельны третьей РїСЂСЏРјРѕР№, то РѕРЅРё параллельны (если a∥c Рё b∥c, то a∥b).

Параллельность прямой и плоскости

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Теория партисипативного управления - справочник студента

Оценим за полчаса!

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна
какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
Теорема. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Теорема. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Пересекающиеся прямые: лежат в одной плоскости, имеют одну общую точку. Параллельные прямые: лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются) Скрещивающиеся прямые: не лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)
Параллельность плоскостей Две плоскости называются параллельными, если РѕРЅРё РЅРµ пересекаются, С‚.Рµ. РЅРµ имеют РЅРё РѕРґРЅРѕР№ общей точки. α∥β.
Признак параллельности РґРІСѓС… плоскостей Теорема. Если РґРІРµ пересекающиеся прямые РѕРґРЅРѕР№ плоскости параллельны РґРІСѓРј пересекающимся прямым РґСЂСѓРіРѕР№ плоскости , то эти плоскости параллельны.Если Р°∥Р°1 Рё b∥b1, то α∥β.

Свойства параллельных плоскостей

Вели α∥β Рё РѕРЅРё пересекаются СЃ γ, то Р°∥b. Если РґРІРµ параллельные плоскости пересечены третьей, то линии РёС… пересечения параллельны.
  • Если α∥β Рё AB∥CD, то РђР’ = CD.
  • Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
вернуться РЅР° страницу «РњР°С‚ематика» вверх

Источник: http://osiktakan.ru/mg_10-0.htm

Решение задач по теме «Параллельность прямых и плоскостей» — ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ — ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

  • Цели урока:
  • 1) повторить теорию;
  • 2) подготовить учащихся к контрольной работе.
  • Ход урока
  • I. Организационный момент

II. Актуализация знаний учащихс.

1. Проверка домашнего задания.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Наклонная плоскость - справочник студента

Оценим за полчаса!
  1. а) первый ученик у доски решает № 45 (а);
  2. б) второй ученик у доски решает № 46;
  3. в) третий ученик у доски решает № 90.

№ 45 а. Дано: ABCD — параллелограмм; а || ВС; а ∉ (ABCD) (рис. 1).

Доказать: а и CD — скрещивающиеся.

Найти: угол между а и CD, если ∠BCD = 50°.

Параллельность прямых и плоскостей - Справочник студента

Решение:

I. 1) Так как а || ВС, то проведем через них плоскость α.

  • 2) D ∉ α, так как иначе DC ∈ α, то есть α совпала бы с плоскостью ABCD и а ∈ (ABCD), что противоречит условию.
  • 3) Тогда DC ∩ α в точке С ∉ а;
  • 4) Вывод: по теореме а и CD — скрещивающиеся.

II. Проведем через точку С прямую, параллельную прямой а. Это будет прямая СВ. Значит, угол между а к СВ равен углу между прямыми СВ и CD, то есть ∠BCD = 50°. (Ответ: 50°.)

№ 47. Дано: ABCD — пространственный четырехугольник; АВ = CD, N — середина AD; М — середина ВС (рис. 2).

Доказать: угол между АВ и MN и угол между CD и MN равны.

Параллельность прямых и плоскостей - Справочник студента

Решение:

1. Точка К — середина АС. Через точку М проведем МК || АВ, МК — средняя линия ΔABC, ∠(MN, АВ) = ∠KMN.

2. МК — средняя линия ΔABC, МК || АВ; МК = 1/2АВ. Через точку N проведем NK || DC, NK — средняя линия ΔADC, ∠(DC, MN) = ∠MNK.

3. NK — средняя линия ΔCDP; NK || CD; NK = 1/2CD.

4. КМ = 1/2АВ, NK = 1/2DC, так как АВ = DC, то КМ = NK, то есть ΔNMK — равнобедренный.

5. Вывод: ∠KMN = ∠MNK, что и требовалось доказать.

Параллельность прямых и плоскостей - Справочник студента

№ 90 (рис. 3).

а) Решение: Если АВ ∈ α и АВ || DC, то DC || α;

б) Решение: АВ не параллельно CD. Так как АВ и CD лежат в одной плоскости ABCD, то АВ ∩ CD. Значит, CD пересекает плоскость α.

Параллельность прямых и плоскостей - Справочник студента

2. Работа по карточкам (см. приложение)

Три ученика работают по карточкам.

Остальные учащиеся решают задачу по планиметрии.

Дано: ABCD — трапеция, описанная около окружности. АВ = CD. Т, М, Р, Е — точки касания окружности. ВТ = 2, АЕ = 8 (рис. 4).

Найти: SABCD.

Параллельность прямых и плоскостей - Справочник студента

Решение:

Параллельность прямых и плоскостей - Справочник студента

  1. Решение задач к карточка.
  2. Карточка № 1
  3. № 1. Решение:

а) Так как К — середина АВ, и М — середина ВС, то КМ — средняя линия ΔАВС. КМ || АС и КМ = 1/2АС. Так как ACFE — квадрат, то EF || АС.

Вывод: KM || EF.

Параллельность прямых и плоскостей - Справочник студента

(Ответ: а) КМ || EF; б) КМ = 4 см.)

№ 2. Дано: ABCD — трапеция: BC || AD — основания. AD ∈ α; точка Е — середина АВ; точка F середина CD; EF ∉ α (рис. 5).

Доказать: EF || α.

Параллельность прямых и плоскостей - Справочник студента

Доказательство:

1. Так как Е — середина АВ, F — середина CD, то EF — средняя линия трапеции ABCD. EF || AD — по свойству средней линии.

2. AD ∈ α — по условию.

3. Вывод: EF || α (по признаку параллельности прямой и плоскости, п. 6, стр. 12).

№ 3. Дано: точки А, В, С, и D не лежат в одной плоскости (рис. 6).

Параллельность прямых и плоскостей - Справочник студента

  • Найти: а) прямую, скрещивающуюся с АВ; б) прямую, скрещивающуюся с ВС.
  • (Ответ: a) DC; б) AD.)
  • Карточка № 2

№ 1. Дано: А, В, С, D — не лежат в одной плоскости; точка Е — середина АВ; точка F — середина ВС; точка М — середина DC; точка К — середина AD (рис. 7).

а) Доказать: EFMK — параллелограмм.

б) Найти: P(EFMK), если АС = 6 см; BD = 8 см.

Параллельность прямых и плоскостей - Справочник студента

  1. Решение:
  2. а) КМ — средняя линия ΔADC ⇒ КМ || АС; КМ = 1/2АС; MF — средняя линия ΔDCB ⇒ MF || BD; MF = 1/2BD; EF — средняя линия ΔABC ⇒ EF || AC; EF = 1/2AC; KE — средняя линия ΔABD ⇒ KE || BD; KE = 1/2BD. Значит,
  3. Вывод: EFMK — параллелограмм.
  4. б) или (Ответ: a) EFMK — параллелограмм; б) P(EFMK) = 14 см.)

№ 2. Дано: α — плоскость; точка (рис. 8).

Доказать: b ∈ α.

Доказательство: Пусть b ∉ α, но b проходит через точку A ∈ α, ⇒ b ∩ α в точке А. А так как a || α, то получается, что b ∩ α, что противоречит условию. Значит, прямая b ∈ α, что и требовалось доказать. (Ответ: b ∈ α.)

№ 3. Дано: ABCDA1B1C1D1 — куб (рис. 9).

  • Укажите: три прямые, проходящие: а) через точку D и скрещивающиеся с прямой АВ1; б) через точку B1 и скрещивающиеся с прямой A1D1.
  • Решение:
  • а) прямая АВ1 ∈ (AA1B1B); прямые DD1, DC и DB — скрещивающиеся с прямой АВ1, так как они не лежат в плоскости (АА1В1В);

б) прямая A1D ∈ (AA1D1D); прямые B1D1, В1С1 и ВВ1 — скрещивающиеся с прямой A1D, так как они не лежат в плоскости (AA1D1D). (Ответ: a) DD1, DC, DB; б) B1D1; В1С1; ВВ1.)

Карточка № 3

№ 1. Дано: (ABC) — плоскость; точка M ∉ (ABC); точка D — точка пересечения медиан ΔМАВ; точка Е — точка пересечения медиан ΔМВС (рис. 10).

  1. а) Доказать: ADEC — трапеция.
  2. б) Найти: DE, если АС = 12 см.
  3. Решение:

а) Рассмотрим ΔАКС и ΔDEK. У ни.

а) (по свойству медиан в треугольниках); б) ∠K — общий. Значит, ΔАКС и ΔDEK подобны по двум сторонам и углу между ними.

  • Из этого следует, и они являются соответственными при прямых DE и АС и секущих АК и СК.
  • Вывод: DE || АС, значит, ADEC — трапеция.
  • б) Так как ΔАKC ~ ΔDKE с коэффициентом подобия k = 1/3, то (Ответ: a) ADEC — трапеция; б) DE = 4 см.)

№ 2. Дано: АА1, ВВ1, СС1 — отрезки, не лежащие в одной плоскости. АА1 ∩ ВВ1 ∩ СС1 в точке О. Точка О — их середина (рис. 11).

  1. Доказать: прямая АВ || (А1СВ1).
  2. Доказательство: Рассмотрим плоскость, проходящую через отрезки АА1 и ВВ1 (такая есть и единственная, так как АА1 ∩ ВВ1 в точке О).

В этой плоскости лежит четырехугольник АВА1В1, диагонали которого точкой пересечения О делятся пополам. Значит, АВА1В1 — параллелограмм. Следовательно, АВ || А1В1, а А1В1 прямая, которая лежит в плоскости А1СВ1, следовательно, АВ || (А1СВ1). (Ответ: АВ || (А1СВ1).)

Выслушивается и проверяется решение домашних задач.

III. Решение задач (фронтальная работа.

Дополнительные задачи, № 88 стр. 32.

Дано: AC || BD — прямые; АС ∩ α в точке А; DB ∩ α в точке В; точки С и D лежат по одну сторону от α; АС = 8 см, BD = 6 см, АВ = 4 см (рис. 12).

  • Доказать: CD ∩ α в точке Е.
  • Найти: BE.
  • Решение:

1. Проведем плоскость через прямые АС и BD. Если CD || АВ, то ABCD — параллелограмм, значит АС = BD, но АС = 8 см, BD = 6 см. Значит CD не параллельна АВ, но так как они лежат в одной плоскости, то CD ∩ АВ в точке Е, то есть CD ∩ α в точке Е.

2. а) как соответственные при AC || BD и секущих АЕ и СЕ.

б) ΔEDB ~ ΔЕСА (по трем углам) ⇒ (Ответ: 12 см.)

Дополнительные задачи, № 97 стр. 32 (рис. 13 а, б, в).

Решение: Рассмотрим ∠АВС и ∠А1В1С1, у которых АВ || А1В1 и ВС || В1С1. Проведем прямую ВВ1.

а) тогда ∠АВС = ∠А1В1С1 (см. п. 8) (рис. 13 а).

б) тогда рассмотрим ∠АВC2 — смежный к ∠АВС ⇒ (по теореме пункта 7) ∠АВС2 = ∠ А1В1С1, значит, (рис. 13 б).

в) тогда рассмотрим ∠А2ВС2 — вертикальный к ∠АВС. Следовательно, (см. рис. 13 в).

№ 87 б. Дано: ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед. (рис. 14).

  1. Построить: MNK — сечение.
  2. Построение: Возможны два случая:
  3. I. 1) Соединим точки К и М, КМ || ВС;
  4. 2) (точка N ∈ AD);
  5. 3) Соединим К с А и M c D;
  6. 4) AKMD — искомое сечение.
  7. II. 1) КМ ∩ ВС в точке L;
  8. 2) Через точку N проведем прямую а || КМ;
  9. 3) а ∩ АА1 в точке Р;
  10. 4) Соединим точу К и точку Р;
  11. 5) NL ∩ DC в точке К;
  12. 6) KPNRM- искомое сечение.
  13. IV. Подведение итогов
  14. Домашнее задание

П. 1-9. № 87 а, 46, 93.

Вопросы № 9-16 (стр. 31-32).

Источник: https://compendium.su/mathematics/geometry10/15.html

Параллельность прямых и плоскостей

Параллельность прямых и плоскостей.

Скачать домашний вариант.

1. Точки М, Р, К – середины ребер DA, DB, DC тетраэдра DABC. Назовите прямую, параллельную плоскости FАB.
Параллельность прямых и плоскостей - Справочник студента
  • Комментарий:1) МК – средняя линия треугольника ADB, следовательно МК || АВ.
  • 2) АВ лежит в плоскости FАB, следовательно по признаку параллельности прямой и плоскости МК || FАВ
2. АВСDA 1 B1 C1 D1 – прямоугольный параллелепипед. Какая из прямых параллельна плоскости A1 AD? Параллельность прямых и плоскостей - Справочник студента
Комментарий:Параллельность прямых и плоскостей - Справочник студента
3. В тетраэдре DАВС AM = MD, AN = NB. Плоскости какой грани параллельна прямая MN?
Параллельность прямых и плоскостей - Справочник студента
Комментарий:MN – средняяя линия треугольника ADB, значит MN || DB. По признаку параллельности прямой и плоскости MN || DBC.
Читайте также:  Теорема остроградского - гаусса - справочник студента
Комментарий «Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.» Высказывание № 1 – верно. «не пересекаются», значит не имеют общих точекВысказывание № 2 – неверно. не каждая прямая, лежащая в параллельной для данной прямой плоскости, так же будет лежать в одной плоскости с этой прямой. Высказывание № 3 – верно. Линия пересечения плоскостей – это прямая, принадлежащая каждой из этих плоскостей, следовательно данная прямая параллельна данным плоскостям по признаку параллельности прямой и плоскости. Высказывание № 4 – не верно. грани параллелепипеда – параллелограммы, противоположные стороны каждого из которых параллельны, следовательно углы при них и секущей (смежная сторона) в сумме равны 1800Если все углы граней будут острыми, то сумма одностосронних углов будет меньше 1800. Получили противоречие.

Вы неправильно решили следующие задачи:

Источник: http://inf-mat.ucoz.ru/publ/testy/geometrija/parallelnost_prjamykh_i_ploskostej/5-1-0-35

Урок 4. параллельность прямых, прямой и плоскости — Геометрия — 10 класс — Российская электронная школа

Урок Конспект Дополнительные материалы

Подчеркните пары параллельных прямых.

Параллельность прямых и плоскостей - Справочник студента Воспользуйтесь определением параллельных прямых.

  • 1. КМ и АС
  • 2. АС и ЕF
  • 3. KM и EF
  • 4. AE и CF
  • 5. AE и EF
  • 6. КМ и CF

На ленте времени распределите учёных, которые в разное время работали в области параллельных прямых.

Воспользоваться исторической справкой.

Заполните пропуски в решении задач, вставив номер, соответствующий верному ответу, напротив каждой строки.

Квадрат АВСВ и трапеция KMNL не лежат в одной плоскости. Точки А и D – середины отрезков КМ и NL соответственно. Докажите, что KL || BC.

Варианты ответов:

  1. AB
  2. ВС
  3. AD
  4. DC
  5. KL
  6. MN
  7. AD||MN
  8. AD||NL
  9. AD||KL

Мы знаем, что средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

Дано: в ∆ АВС, КМ − средняя линия, КМ = 5; ACFE – параллелограмм.

Найти: EF.

Т.к. ACFE − параллелограмм, то АС = EF.

Опираясь на рисунок, укажите пары параллельных и скрещивающихся отрезков.

Параллельность прямых и плоскостей - Справочник студента

Даны плоскость α и параллельная ей а. Сколько существует плоскостей, проходящих через прямую а и параллельных плоскости α?

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

  1. 1. ни одной;
  2. 2. одна или ни одной;
  3. 3. бесконечно много;
  4. 4. одна;

5. бесконечно много или одна.

На рисунке m || α, P ∈ α. Докажите, что в плоскости α существует прямая, проходящая через точку Р и параллельная прямой m.

Поставьте напротив пробела порядковый номер ответа:

  1. прямую
  2. плоскость
  3. аксиоме 1
  4. аксиоме 2
  5. аксиоме 3
  6. пересекаются
  7. ||
  8. единственные
  9. общие

Доказательство:

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Докажите, что если данная прямая m параллельна прямой, по которой пересекаются две плоскости, и не лежит в этих плоскостях, то она параллельна этим плоскостям.

Доказательство:

Пусть нам даны плоскости α и β, которые пересекаются по прямой l, прямая m параллельна прямой l и не лежит в плоскостях α и β. Докажем, что m параллельна и плоскости α, и плоскости β.

  • Впишите напротив каждого из тезисов доказательства соответствующий номер прямой:
  • l — 1
  • m — 2

Воспользуйтесь признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.

Точка М не лежит в плоскости ромба ABCD. На отрезке ВМ выбрана точка F так, что MF:FB = 1:3, точка К — точка пересечения прямой МС с плоскостью AFD. Найдите FK, если AD = 16 cм.

Поставьте напротив тезиса порядковый номер ответа

Обратите внимание, что из параллельности прямых вытекает подобие треугольников, соответственно, можно найти коэффициент подобия, составив соотношение сторон.

Через две параллельные прямые а и b проходят плоскости α и β соответственно. Доказать, что линия l их пересечения параллельна прямым а и b.

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

По условию прямая 

прямой b, расположенной в плоскости β. По

параллельности прямой и плоскости, прямая а параллельна плоскости β.

Плоскость α проходит через прямую 

, параллельную плоскости β, и пересекает плоскость β по прямой 

. Согласно утверждению

, прямая 

 параллельна прямой а.

Аналогично, прямая b параллельна прямой а, расположенной в плоскости α. По

параллельности прямой и плоскости, прямая b параллельна плоскости α.

Плоскость β проходит через прямую b, параллельную плоскости α, и пересекает плоскость α по прямой 

. Согласно утверждению

, прямая l параллельна прямой 

.

Дано: ∆ АВС ∈ α; ∆ ABD ∈ β; a || CD.

Доказать: прямая а пересекает плоскости α и β (поставьте порядковый номер ответа напротив тезиса доказательства).

  1. АВ
  2. АС
  3. CD
  4. АВС
  5. А
  6. B
  7. С
  8. D
  9. только одна
  10. любая

Параллельность прямой и плоскостей.

  1. Дано: ABCD — параллелограмм, АВ и ВС — пересекают плоскость α.
  2. Доказать: прямые AD и DC пересекают плоскость α.
  3. 1. Параллельных
  4. 2. CD
  5. 3. AC
  6. 4. Параллельны
  7. 5. BD

Воспользуйтесь свойством противоположных сторон параллелограмма и леммой: если одна из двух паралельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
  • 13
  • 14

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6065/train/

Письменный зачет по теме "Параллельные прямые и плоскости в пространстве"

  • Департамент образования города Севастополя
  • Государственное бюджетное образовательное учреждение
  • профессионального образования города Севастополя
  • «Севастопольский судостроительный колледж»
  • Методическая разработка урока
  • Контрольная работа по теме:
  • Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.
  • «Математика: Алгебра и начала математического анализа; Геометрия»
  • Подготовила преподаватель Орлова Елена Николаевна
  • Севастополь 2017
  • Тема: Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.
  • Технологическая карта контрольно-измерительных материалов
Курс 1 курс НПО
Предмет Математика (алгебра и начала анализа)
Учебник, по которому ведется преподавание Математика Башмаков М.И. Профессиональное образование «Академия» 2014г.
Статус дидактических материалов Материалы для зачета составлены по задачнику Башмакова М.И. 2014г. И с сайтаhttp://festival.1september.ru/articles/518719/
Тема контроля Параллельность прямых и плоскостей в пространстве
Вид контроля текущий
Форма и методы контроля
  1. 1) по степени индивидуализации (индивидуальный);
  2. 2) по манере исполнения (письменный);
  3. 3) по способу подачи контролирующих заданий (письменный зачет)
Время контроля 45 минут
Цель контроля Определение качества усвоения учащимися учебного материала, уровня овладения ими знаниями, умениями и навыками, предусмотренными учебной программой по математике. Определить уровень усвоения учебного материала и в случае необходимости провести их коррекцию.
Содержание контроля Варианты имеют одинаковый уровень сложности и содержат по 5 заданий. Задания в карточке представлены теоретическими и практическими вопросами.
Критерии оценивания Критерии оценки контрольной работы

Задания Баллы Примечание
1(а,б,в,г,д,е) 3 Каждый правильный ответ 0,5 балла
3 и 5 2 Каждый правильный ответ 1 балл
2 и 4 2 Каждый правильный ответ 1 балл

Максимальный балл за работу – 7 баллов

Шкала перевода баллов в отметки

Отметка Число баллов, необходимое для получения отметки
« 5» (отлично) 6-7
« 4» (хорошо) 4-5
« 3» (удовлетворительно) 3
« 2 « (неудовлетворительно) менее 3

Зачет по теме: «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве».

Вариант 1.

Параллельность прямых и плоскостей - Справочник студента

1) Дано: АВСDА1В1С1D1 – прямоугольный параллелепипед. АВ1 и СВ1 – диагонали боковых граней. Определить взаимное расположение прямых и плоскостей:

  • а) прямая AА1 и плоскость (CBB1)
  • б) прямая BC и плоскость (АА1B1)
  • в) прямая CC1 и прямые АD; DD1; DC
  • г) прямая CB1 и плоскость (AA1D)
  • д) прямая AB1 и прямые СС1; СВ1
  • е) напишите пару параллельных плоскостей
  1. Прямая a параллельна плоскости  . Существует ли на плоскости  прямая, не параллельная прямой а? Сколько таких прямых можно провести?

  2. Прямые a и b лежат в пересекающихся плоскостях α и β. Могут ли эти прямые быть: а) параллельными; б) пересекающимися? Сделайте рисунок для каждого возможного случая.

  3. Выполните чертеж к задаче. Прямые а, в, и с имеют общую точку  О, но не все три прямые лежат в одной плоскости.

5) Дано: Прямая АВ пересекает параллельные плоскости α и β в точках А и В соответственно, а CD пресекает эти плоскости в точках C и D. Параллельность прямых и плоскостей - Справочник студента  Найти: АВ.

 Зачет по теме: «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве».

Вариант 2.

1) Дано: АВСDА1В1С1D1 – прямоугольный параллелепипед. АВ1 и СВ1 – диагонали боковых граней. Определить взаимное расположение прямых и плоскостей:

  1. а) прямая AA1 и плоскость (CDD1)
  2. б) прямая DC и плоскость (AA1D1)
  3. в) прямая CC1 и прямые A1D1; B1C; BB1
  4. г) прямая AB1 и плоскость (AA1D)
  5. д) прямая CB1 и плоскость (AВВ1)
  6. е) напишите пару параллельных плоскостей

2) Прямые а и b параллельны плоскости . Как могут быть расположены прямые а и b относительно друг друга?

3) Сторона АВ параллелограмма АВСD лежит в плоскости , а сторона СD ей не принадлежит. Как взаимно расположены прямая СD и плоскость ? Cделайте рисунок и объясните ответ.

4) Выполните чертеж к задаче.  Прямая а параллельна каждой из параллельных плоскостей α и β.

5) Дано: Прямая АВ пересекает параллельные плоскости α и β в точках А и В соответственно, а CD пресекает эти плоскости в точках C и D.   Найти: АВ.

Зачет по теме: «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве».

Вариант 3.

1) Дано: АВСDА1В1С1D1 – прямоугольный параллелепипед. АВ1 и СВ1 – диагонали боковых граней. Определить взаимное расположение прямых и плоскостей:

  • а) прямая DD1 и плоскость (CBB1)
  • б) прямая AD и плоскость (AA1B1)
  • в) прямая DD1 и прямые АВ1 ; СС1 ; AD
  • г) прямая CB и плоскость (AA1D)
  • д) прямая CB1 и плоскость (BCD)
  • е) напишите пару параллельных плоскостей

2) Прямые а и b параллельны. Через каждую из них проведено по плоскости, которые пересекаются по прямой с. Как расположена прямая с по отношению к прямым а и b?

3) Прямые a и b лежат в пересекающихся плоскостях α и β. Могут ли эти прямые быть: а) параллельными; б) скрещивающимися? Сделайте рисунок для каждого возможного случая.

4)Выполните чертеж к задаче.  Прямая АВ параллельна плоскости γ, а прямая АK пересекает ее в точке K.

5) Дано: Прямая АВ пересекает параллельные плоскости α и β в точках А и В соответственно, а CD пресекает эти плоскости в точках C и D.   Найти: АВ.

Зачет по теме: «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве».

Вариант 4.

1)Дано: АВСDА1В1С1D1– прямоугольный параллелепипед. АВ1 и СВ1 – диагонали боковых граней. Определить взаимное расположение прямых и плоскостей:

  1. а) прямая AD и плоскость (CBB1)
  2. б) прямая BC и плоскость (ADD1)
  3. в) прямая B1A и прямые CB1; CC1; AA1
  4. г) прямая CB1 и плоскость (ADD1)
  5. д) прямая B1C и плоскость (BCD)
  6. е) напишите пару параллельных плоскостей

2) Прямая а лежит в плоскости . Как расположена относительно плоскости  прямая b, если b параллельна а?

3) Прямые a и b лежат в параллельных плоскостях α и β. Могут ли эти прямые быть: а) параллельными; б) скрещивающимися? Сделайте рисунок для каждого возможного случая.

4) Выполните чертеж к задаче. Прямые СD и СК пересекают плоскость β в разных точках.

5) Дано: Прямая АВ пересекает параллельные плоскости α и β в точках А и В соответственно, а CD пресекает эти плоскости в точках C и D.   Найти: АВ.

Источник: https://urokimatematiki.ru/pismenniy-zachet-po-teme-parallelnie-pryamie-i-ploskosti-v-prostranstve-4984.html

Ссылка на основную публикацию