Ограниченность классического определения вероятности, статистическая вероятность и геометрические вероятности — справочник студента

  • Геометрическое определение вероятности применимо для несовместных событий, в которых число равновозможных исходов бесконечно, например, попадания точки на участок отрезка, плоскости, пространства, объёма.
  • Общая формула для определения геометрической вероятности:
  • $Pleft( A
    ight) = frac{{mesleft( g
    ight)}}{{mesleft( G
    ight)}}$
  • Отношение меры области g, благоприятствующей событию А, к мере всей области G.
  • Формула геометрической вероятности попадания точки на участок отрезка L для одномерного пространства равна:

Ограниченность классического определения вероятности, статистическая вероятность и геометрические вероятности - Справочник студента
Ограниченность классического определения вероятности, статистическая вероятность и геометрические вероятности - Справочник студента

Формула геометрической вероятности попадания точки в область пространства S для фигур в двухмерном пространстве равна:

Ограниченность классического определения вероятности, статистическая вероятность и геометрические вероятности - Справочник студента
Ограниченность классического определения вероятности, статистическая вероятность и геометрические вероятности - Справочник студента

Формула геометрической вероятности попадания точки в заданный объём для фигур в трёхмерном пространстве V равна:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Электрическое напряжение - справочник студента

Оценим за полчаса!

Ограниченность классического определения вероятности, статистическая вероятность и геометрические вероятности - Справочник студента
Ограниченность классического определения вероятности, статистическая вероятность и геометрические вероятности - Справочник студента
На отрезок OA длины L числовой оси Ох наудачу поставлена точка В(х). Найти вероятность того, что меньший из отрезков OB и BA имеет длину, большую, чем L/3. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

Решение

Ограниченность классического определения вероятности, статистическая вероятность и геометрические вероятности - Справочник студента
Ограниченность классического определения вероятности, статистическая вероятность и геометрические вероятности - Справочник студента

На отрезке L длины 20 см помещен меньший отрезок l длины 10 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

  1. Решение
  2. Аналогично первому примеру, вероятность равна:
  3. P(A)=l/L=10/20=1/2

В круг радиуса R помещен меньший круг радиуса r. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.

Вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет в малый круг равна:
Ограниченность классического определения вероятности, статистическая вероятность и геометрические вероятности - Справочник студента

Данный ниже рисунок показывает графически отношение (нажмите на рисунок)

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Метод опроса - справочник студента

Оценим за полчаса!

Пример 4

Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры

Решение

P(A)=0.5·πr2/πr2=0.5

Пример 5

Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 1/4 часа, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 до 13 часов).

Ограниченность классического определения вероятности, статистическая вероятность и геометрические вероятности - Справочник студента

  Многоугольник KBCMDA— есть многоугольник моментов встречи студентов, каждый из которых ждет другого не более 1/4 часа, то есть 15 минут, тогда

$Pleft( A
ight) = frac{{{S_{KBCMDA}}}}{{{S_{KLMN}}}}$ SBLC = 0,5·BL·LC = 1/2·3/4·3/4 = 9/32

Пример 6

Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг:
а) квадрата;

б) правильного треугольника.

Источник: https://www.matematicus.ru/teoriya-veroyatnosti/geometricheskoe-opredelenie-veroyatnosti

Геометрическая вероятность

4 июля 2011

Классическое определение вероятности связано с понятием элементарного события. Рассматривается некий набор Ω равновероятных событий Ai, которые в совокупности дают достоверное событие. И тогда все хорошо: всякое событие разбивается на элементарные, после чего считается его вероятность.

Однако, далеко не всегда исходный набор Ω (т.е. пространство всех элементарных событий) является конечным. Например, в качестве Ω можно взять ограниченное множество точек на плоскости или отрезок на прямой.

В качестве события A можно рассмотреть любую подобласть области Ω. Например, фигуру внутри исходной фигуры на плоскости или отрезок, лежащий внутри исходного отрезка на прямой.

Заметим, что элементарным событием на таком множестве может быть только точка. В самом деле, если множество содержит более одной точки, его можно разбить на два непустых подмножества. Следовательно, такое множество уже неэлементарно.

Теперь определим вероятность. Тут тоже все легко: вероятность «попадания» в каждую конкретную точку равна нулю. Иначе получим бесконечную сумму одинаковых положительных слагаемых (ведь элементарные события равновероятны), которые в сумме по-любому больше P(Ω) = 1.

Итак, элементарные события для бесконечных областей Ω — это отдельные точки, причем вероятность «попадания» в любую из них равна нулю. Но как искать вероятность неэлементарного события, которое, подобно Ω, содержит бесконечное множество точек? Вот мы и пришли к определению геометрической вероятности.

Геометрическая вероятность события A, являющегося подмножеством множества Ω точек на прямой или плоскости — это отношение площади фигуры A к площади всего множества Ω:

Задача. Мишень имеет форму окружности радиуса 4. Какова вероятность попадания в ее правую половину, если попадание в любую точку мишени равновероятно? При этом промахи мимо мишени исключены.

Ограниченность классического определения вероятности, статистическая вероятность и геометрические вероятности - Справочник студента

Взглянем на картинку: нас устроит любая точка из правого полукруга. Очевидно, площадь S(A) этого полукруга составляет ровно половину площади всего круга, поэтому имеем:

Ограниченность классического определения вероятности, статистическая вероятность и геометрические вероятности - Справочник студента

Как видите, ничего сложного в геометрической вероятности нет. Однако даже в Москве многие репетиторы по высшей математике стараются обойти эту тему стороной, поскольку считают ее необязательной. Результат — непонимание материала и, как следствие, проблемы на экзамене по теории вероятностей.

Чтобы наглядно представить себе, что такое геометрическая вероятность, возьмите лист бумаги и начертите произвольную фигуру. Треугольник, квадрат или окружность — что угодно. Затем возьмите острый, хорошо заточенный карандаш и ткните им в любую точку фигуры. Повторите этот нехитрый процесс несколько раз. Если исключить попадания за пределами фигуры, то получится вот что:

  1. Вероятность попадания в фигуру равна P(Ω) = 1. Это вполне логично, поскольку вся наша фигура — это и есть пространство элементарных событий Ω;
  2. Если некоторую точку (элементарное событие) отметить заранее, то вероятность попадания именно в нее равна нулю. Даже если специально «целиться», точного попадания не будет. Ошибка составит тысячные доли миллиметра, но не ноль;
  3. Теперь возьмем две точки. Вероятность попадания в любую из них все равно ноль. Аналогично, если взять 3 точки. Или пять — без разницы.

Этот опыт показывает, что конечная сумма нулевых слагаемых всегда равна нулю. Но что происходит, когда слагаемых становится бесконечно много? Здесь ситуация не так однозначна, и возможны три варианта:

  1. Сумма равна нулю, как и для конечного набора точек. Если в нашем опыте отмечать точки до бесконечности, вероятность попадания в их объединение все равно нулевая;
  2. Сумма равна некоторому положительному числу — этот случай принципиально отличается от первого. Здесь и возникает геометрическая вероятность;
  3. Сумма равна бесконечности — бывает и такое, но сейчас нас это не интересует.

Почему так происходит? Механизм возникновения положительных чисел и бесконечностей связан с понятием счетности множества. Кроме того, надо понимать, что такое мера Лебега. Впрочем, эти знания действительно нужны вам, только если вы учитесь на математика.

Источник: https://www.berdov.com/works/teorver/geometric_probability/

Классическое статистическое и геометрическое определение вероятности

Наблюдая за событиями повседневной жизни, можно заключить, что у разных событий степень возможности их появления различная. Например, количество шансов у события: встретить соседа во дворе дома, в котором вы оба живете, больше, чем у события: встретить его же в метро. Для числовой характеристики возможности появления события вводится понятие вероятности этого события.

Определение 1.7. Вероятностью события Р(А) называется количественная характеристика степени возможности появления события в определенных условиях, повторяющихся неограниченное количество раз.

Определим количественную меру вероятности — единицу ее измерения. Для этого рассмотрим два крайних случая.

Определение 1.8. Событие называется достоверным, если в результате опыта, проводимого многократно в одних и тех же условиях, оно всякий раз происходит.

Например, событие, состоящее в том, что в результате бросания шестигранной игральной кости выпадет количество очков меньшее 7, является достоверным событием.

Определение 1.9. Событие называется невозможным, если в результате опыта, проводимого многократно в одних и тех же условиях, оно всякий раз не происходит.

В качестве примера можно привести событие, противоположное рассмотренному в предыдущем примере, которое заключается в том, что в результате бросания игральной кости выпадет число большее или равное 7.

Условимся считать, что вероятность достоверного события равна 1, а вероятность невозможного события равна 0. Очевидно, что значение вероятности любого случайного события находится между вероятностью достоверного и невозможного событий. Таким образом, мы установили диапазон изменения вероятности случайного события А:

Определение 1.7 конкретизирует понятие вероятности, но не указывает способа ее подсчета. Для этой цели вводятся еще два определения вероятности: классическое и статистическое.

Все исходы опыта, в результате которого некоторое событие может произойти или не произойти, можно разделить на две группы: исходы, соответствующие рассматриваемому событию и все остальные возможные исходы.

Определение 1.10. Исход называется благоприятствующим событию Л, если его появление влечет за собой наступление этого события.

Например, для события: появление четного количества очков при бросании игральной кости, благоприятствующими являются следующие 3 исхода: появление 2, 4 или 6 очков.

Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода.

Определение 1.11 (классическое) Вероятностью события А называется отношение числа т — благоприятствующих событию А исходов к общему числу равновозможных исходов IT.

Пример 1.5. Бросается один раз игральная кость. Определить вероятность выпадения нечетного числа очков.

Решение. Число благоприятствующих исходов т = 3, общее число равновозможных исходов п = 6.

Классическое определение вероятности не связано с необходимостью проведения опытов. При этом предполагается, что все исходы равновозможные, число их конечно и его можно определить.

Часто на практике мы встречаемся с необходимостью определять вероятность события, для которого нельзя рассчитать заранее количество исходов. В этих случаях делается оценка вероятности события. Считается, что она приблизительно равна относительной частоте его появления события в серии повторяющихся опытов:

Здесь т 1 — число появлений события А; п{ — число опытов.

Определение 1.12 (статистическое). Вероятностью события А называется число, к которому стремится относительная частота Р (Л) при неограниченном увеличении числа опытов.

Из определения следует, что точность оценки вероятности с использованием относительной частоты будет тем выше, чем больше число опытов пу

Читайте также:  Власть и влияние - справочник студента

Случайному событию А можно дать геометрическую интерпретацию. Для этого все возможные исходы рассматриваемого события будем представлять точками некоторой геометрической области G, которая называется пространством элементарных исходов.

На прямой, в одномерном случае, эта область представляется отрезком (или совокупностью отрезков), на плоскости это площадь, в пространстве — объем.

Исходам, благоприятствующим событию Л, соответствует множество точек, образующих подобласть А области G (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Области элементарных исходов и области исходов, благоприятствующих событию Л: a — одномерный случай; б — двумерный случай

Определение 1.13 (геометрическое). Вероятностью Р(А) события А называется отношение

где т(А) и m(G) — геометрические меры (длина, площадь или объем) соответственно области А и области G.

Источник: https://bstudy.net/706579/ekonomika/klassicheskoe_statisticheskoe_geometricheskoe_opredelenie_veroyatnosti

Классическое определение вероятности – теория и решение задач

Классическое определение вероятности

Разберём классическое определение вероятности при помощи формул и примеров.

Случайные события называются несовместимыми, если они не могут происходить одновременно. Например, когда мы подкидываем монету, выпадет что-то одно – «герб» или число» и они не могут появится одновременно, так как логично, что это невозможно. Несовместимыми могут быть такие события, как попадание и промах после сделанного выстрела.

Случайные события конечного множества образовывают полную группу попарно несовместимых событий, если при каждом испытании появляется одна, и только одна из этих событий – единственно возможные.

Рассмотрим всё тот же пример с подкидыванием монеты:

  1. При подбрасывании монеты полную группу создают два случайных события: появление «герба» (событие ) и появление «числа» (событие ).
  2. При подбрасывании двух монет полная группа состоит из четырёх событий: :
  • Первая монета           Вторая монета           События
  • 1) «герб»                    «герб»                        
  • 2) «герб»                    «число»                     
  • 3) «число»                  «герб»                        
  • 4) «число»                  «число»                     
  • Или сокращённо – «ГГ», – «ГЧ», – «ЧГ», – «ЧЧ».
  • События называются равновозможными, если условия исследования обеспечивают одинаковую возможность появления каждой из них.

Как вы понимаете, когда подбрасываете симметричную монету, тогда у неё одинаковые возможности, и есть вероятность, что выпадет как «герб», так и «число». Это же касается подбрасывания симметричного игрального кубика, так как есть вероятность того, что могут появится грани с любым числом 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Допустим, что теперь кубик подбрасываем со смещением центра тяжести, например, в сторону грани с цифрой 1, тогда чаще всего будет выпадать противоположная грань, то есть грань с другой цифрой. Таким образом, в этой модели возможности появления для каждой из цифр от 1 до 6 будут разными.

Равновозможные и единственно возможные случайные события называются случаями.

Есть случайные события, которые относятся к случаям, а есть случайные события, которые не относятся к случаям. Ниже на примерах рассмотрим эти события.

Те случаи, в результате которых случайное событие появляется, называются благоприятными случаями для этого события.

Если обозначить через , которые влияют на событие при всех возможных случаях, а через – вероятность случайного события , тогда можно записать известное классическое определение вероятности:

Свойства вероятности

Классическая вероятность рассмотрена, а теперь разберём основные и важные свойства вероятности.

Свойство 1. Вероятность достоверного события равняется единице.

Например, если в ведёрке все шариков белые, тогда событию , наугад выбрать белый шарик, влияют случаев, .

Свойство 2. Вероятность невозможного события равняется нулю.

Свойство 3. Вероятностью случайного события есть положительное число:

Значит, вероятность любого события удовлетворяет неравенство:

Теперь решим несколько примеров на классическое определение вероятности.

Примеры классического определения вероятности

Пример 1

Задача

В корзине 20 шариков, из них 10 белых, 7 красных и 3 чёрных. Наугад выбирается один шарик. Выбран белый шарик (событие ), красный шарик (событие ) и чёрный шарик (событие ). Найти вероятность случайных событий .

Решение

Согласно условию задачи, способствуют , а случаев из возможных, поэтому по формуле (1):

Ответ

Вероятность случайного события , , .

Пример 2

Задача

В ящике лежат 25 одинаковых электроламп, из них 2 бракованные. Найти вероятность того, что наугад выбранная электролампа не бракованная.

Решение

По условию задачи все лампы одинаковые и выбирается только одна. Всего возможностей выбрать . Среди всех 25 лампа две бракованные, значит, оставшихся пригодных лампа . Поэтому по формуле (1) вероятность выбора пригодной электролампы (событие ) равняется:

Ответ

Вероятность того, что наугад выбранная электролампа не бракованная = .

Пример 3

  1. Задача
  2. Наугад подбрасываются две монеты. Найти вероятность таких событий:
  3. 1) – на обеих монетах выпало по гербу;
  4. 2) – на одной из монет выпал герб, а на второй – число;
  5. 3) – на обеих монетах выпали числа;
  6. 4) – хотя бы один раз выпал герб.
  7. Решение

Здесь имеем дело с четырьмя событиями . Установим, какие случаи способствуют каждой из них. Событию способствует один случай, это когда на обеих монетах выпал герб (сокращённо «ГГ»).

  • Чтобы разобраться с событием , представим, что одна монета серебряная, а вторая – медная. При подбрасывании монет могут быть случаи:
  • 1) на серебряной герб, на медной – число (обозначим – «ГЧ»);
  • 2) на серебряной число, на медной – герб ( – «ЧГ»).
  • Значит, событию способствуют случаи и .
  • Событию способствует один случай: на обеих монетах выпали числа – «ЧЧ».

Таким образом, события или (ГГ, ГЧ, ЧГ, ЧЧ) образовывают полную группу событий, все эти события несовместимы, так как в результате подбрасывания происходит только одна из них. Кроме того, для симметричных монет все четыре события равновозможные, поэтому их можно считать случаями. Всех возможных событий – четыре .

  1. Событию способствует только одно событие, поэтому его вероятность равняется:
  2. .
  3. Событию способствуют два случая , поэтому:
  • Вероятность события такая же, как и для :
  • .
  • Событию способствуют три случая: ГГ, ГЧ, ЧГ и поэтому:
  • .
  • Так как рассмотрены события ГГ, ГЧ, ЧГ, ЧЧ, которые равновозможные и создают полную группу событий, тогда появление любой из них – это достоверное событие (обозначим её буквой , которой способствуют все 4 случая . Поэтому вероятность:
  • .
  • Значит, подтверждается первое свойство вероятности.
  • Ответ
  • Вероятность события .
  • Вероятность события .
  • Вероятность события .
  • Вероятность события .

Пример 4

Задача

Подкидываются два игральных кубика с одинаковой и правильной геометрической формой. Найти вероятность всех возможных сумм на обеих гранях, что выпадают.

Решение

Чтобы было удобнее решать задачу, представьте, что один кубик белый, а второй – чёрный. С каждой из шести граней белого кубика и также может выпасть одна из шести граней чёрного кубика, поэтому всех возможных пар будет .

Так как возможность появления граней на отдельном кубике одинаковая (кубики правильной геометрической формы!), тогда одинаковой будет возможность появления каждой пары граней, причём, в результате подбрасывания выпадает только одна из пар. Значи события несовместимы, единовозможные. Это случаи, и всех возможных случаев – 36.

Теперь рассмотрим возможность значения суммы на гранях. Очевидно, что самая маленькая сумма 1 + 1 = 2, а самая большая 6 + 6 = 12. Оставшаяся часть суммы вырастает на единицу, начиная со второй.

Обозначим событий, индексы которых равняются сумме очков, что выпали на гранях кубиков.

Для каждой из этих событий выпишем благоприятные случаи при помощи обозначений , где – сумма, – очки на верхней грани белого кубика и  – очки на грани чёрного кубика.

  1. Значит, для события:
  2. для – один случай (1 + 1);
  3. для – два случая (1 + 2; 2 + 1);
  4. для – три случая (1 + 3; 2 + 2; 3 + 1);
  5. для – четыре случая (1 + 4; 2 + 3; 3 + 2; 4 + 1);
  6. для – пять случаев (1 + 5; 2 + 4; 3 + 3; 4 + 2; 5 + 1);
  7. для – шесть случаев (1 + 6;  2 + 5; 3 + 4; 4 + 3; 5 + 2; 6 + 1);
  8. для – пять случаев (2 + 6; 3 + 5; 4 + 4; 5 + 3; 6 + 2);
  9. для – четыре случая (3 + 6; 4 + 5; 5 + 4; 6 + 3);
  10. для – три случая (4 + 6; 5 + 5; 6 + 4);
  11. для – два случая (5 + 6; 6 + 5);
  12. для – один случай (6 + 6).
  13. Таким образом значения вероятности такие:
  14. Ответ

Пример 5

  • Задача
  • Троим участникам перед фестивалем предложили тянуть жребий: каждый из участников по очереди подходит к ведёрку и наугад выбирает одну из трёх карточек с номерами 1, 2 и 3, что означает порядковый номер выступления данного участника.
  • Найти вероятность таких событий:
  • 1) – порядковый номер в очереди совпадает с номером карточки, то есть порядковым номером выступления;
  • 2) – ни один номер в очереди не совпадает с номером выступления;
  • 3) – только один из номеров в очереди совпадает с номером выступления;
  • 4) – хотя бы один из номеров в очереди совпадёт с номером выступления.
  • Решение

Возможными результатами выбора карточек – это перестановки из трёх элементов , количество таких перестановок равняется . Каждая из перестановок и есть событие. Обозначим эти события через . Каждому событию припишем в скобках соответствующую перестановку:

; ; ; ; ; .

Перечисленные события равновозможные и единовозможные, то есть, это и есть случаи. Обозначим так: (1ч, 2ч, 3ч) – соответствующие номера в очереди.

  1. Начнём с события . Благоприятный только один случай   поэтому:
  2. .
  3. Благоприятными для события – два случая и , поэтому:
  4. .
  5. Событию способствуют 3 случая: , поэтому:
  6. .
  7. Событию , кроме , способствует ещё и , то есть:
  8. .
  9. Ответ
  10. Вероятность события – .
  11. Вероятность события – .
  12. Вероятность события – .
  13. Вероятность события – .

Источник: https://NauchnieStati.ru/spravka/klassicheskoe-opredelenie-verojatnosti/

Ссылка на основную публикацию