Нормальное распределение, нормальная кривая — справочник студента

Одномерное нормальное распределение

Графики плотности нормального распределения

Вычисления процентных точек нормального распределения

Двумерное нормальное распределение 

Графики плотности двумерного распределения

Нормальное распределение (normal distribution) – играет важную роль в анализе данных.

Иногда вместо термина нормальное распределение употребляют термин гауссовское распределение в честь К. Гаусса (более старые термины, практически не употребляемые в настоящее время: закон Гаусса, Гаусса-Лапласа распределение).

Одномерное нормальное распределение

Нормальное распределение имеет плотность::

• В этой формуле ,  фиксированные параметры,  – среднее, – стандартное отклонение.
• Графики плотности при различных параметрах приведены ниже.
• Характеристическая функция нормального распределения имеет вид:

1. Дифференцируя характеристическую функцию и полагая t = 0, получаем моменты любого порядка.
2. Кривая плотности нормального распределения симметрична относительно  и имеет в этой точке единственный максимум, равный 
3. Параметр стандартного отклонения  меняется в пределах от 0 до ∞.
4. Среднее  меняется в пределах от -∞ до +∞.
5. При увеличении параметра  кривая растекается вдоль оси х, при стремлении  к 0 сжимается вокруг среднего значения (параметр  характеризует разброс, рассеяние).

При изменении  кривая сдвигается вдоль оси х (см. графики).

Варьируя параметры  и , мы получаем разнообразные модели случайных величин, возникающие в телефонии.

Типичное применение нормального закона в анализе, например, телекоммуникационных данных – моделирование сигналов, описание шумов, помех, ошибок, трафика.

Графики одномерного нормального распределения

Рисунок 1. График плотности нормального распределения: среднее равно 0, стандартное отклонение 1

Рисунок 2. График плотности стандартного нормального распределения с областями, содержащими 68% и 95% всех наблюдений

Рисунок 3. Графики плотностей нормальных распределений c нулевым средним и разными отклонениями (=0.5, =1, =2)

• Рисунок 4 Графики двух нормальных распределений N(-2,2) и N(3,2).
• Заметьте, центр распределения сдвинулся при изменении параметра .
• Замечание
• В программе STATISTICA под обозначением N(3,2) понимается нормальный или гауссов закон с параметрами: среднее  = 3 и стандартное отклонение =2.

В литературе иногда второй параметр трактуется как дисперсия, т.е. квадрат стандартного отклонения.

Вычисления процентных точек нормального распределения с помощью вероятностного калькулятора STATISTICA

С помощью вероятностного калькулятора STATISTICA можно вычислить различные характеристики распределений, не прибегая к громоздким таблицам, используемым в старых книгах.

Шаг 1. Запускаем Анализ / Вероятностный калькулятор / Распределения.

В разделе распределения выберем нормальное.

Рисунок 5. Запуск калькулятора вероятностных распределений

Шаг 2. Указываем интересующие нас параметры.

Например, мы хотим вычислить 95% квантиль нормального распределения со средним 0 и стандартным отклонением 1.

Укажем эти параметры в полях калькулятора (см. поля калькулятора среднее и стандартное отклонение).

Введем параметр p=0,95.

Галочка «Обратная ф.р». отобразится автоматически. Поставим галочку «График».

Нажмем кнопку «Вычислить» в правом верхнем углу.

Рисунок 6. Настройка параметров

Шаг 3. В поле Z получаем результат: значение квантиля равно 1,64 (см. следующее окно).

Рисунок 7. Просмотр результата работы калькулятора

Далее автоматически появится окно с графиками плотности и функции распределения нормального закона:

Рисунок 8. Графики плотности и функции распределения. Прямая x=1,644485

Рисунок 9. Графики функции нормального распределения. Вертикальные пунктирные прямые- x=-1.5, x=-1, x=-0.5, x=0

Рисунок 10. Графики функции нормального распределения. Вертикальные пунктирные прямые- x=0.5, x=1, x=1.5, x=2 

Оценка параметров нормального распределения

Значения нормального распределения можно вычислить с помощью интерактивного калькулятора.

Двумерное нормальное распределение

Одномерное нормальное распределение естественно обобщается на двумерное нормальное распределение.

Например, если вы рассматриваете сигнал только в одной точке, то вам достаточно одномерного распределения, в двух точках – двумерного, в трех точках – трехмерного и т.д.

1. Общая формула для двумерного нормального распределения имеет вид:
2. Где  – парная корреляция между X1 и X2;
3. – среднее и стандартное отклонение переменной X1 соответственно;
4. – среднее и стандартное отклонение переменной X2 соответственно.
5. Если случайные величины Х1 и Х2 независимы, то корреляция равна 0,  = 0,  соответственно средний член в экспоненте зануляется, и мы имеем:
6. f(x1,x2) = f(x1)*f(x2)
7. Для независимых величин двумерная плотность распадается в произведение двух одномерных плотностей.

Графики плотности двумерного нормального распределения

• Рисунок 11. График плотности двумерного нормального распределения (нулевой вектор средних, единичная ковариационная матрица)

Рисунок 12. Сечение графика плотности двумерного нормального распределения плоскостью z=0.05

Рисунок 13. График плотности двумерного нормального распределения (нулевой вектор мат. ожидания, ковариационная матрица с 1 на главной диагонали и 0.5 на побочной)

Рисунок 14. Сечение графика плотности двумерного нормального распределения (нулевой вектор мат. ожидания, ковариационная матрица с 1 на главной диагонали и 0.5 на побочной) плоскостью z= 0.05

Рисунок 16. Сечение графика плотности двумерного нормального распределения (нулевой вектор мат. ожидания, ковариационная матрица с 1 на главной диагонали и -0.5 на побочной) плоскостью z=0.05

Рисунок 17. Сечения графиков плотностей двумерного нормального распределения плоскостью z=0.05

Для лучшего понимания двумерного нормального распределения попробуйте решить следующую задачу.

Задача. Посмотрите на график двумерного нормального распределения. Подумайте, можно ли его представить, как вращение графика одномерного нормального распределения? Когда нужно применить прием деформации?

1. Читайте далее — многомерное нормальное распределение
2. Связанные определения:Cтандартное нормальное распределениеКритерий Колмогорова-СмирноваНормальное распределениеШапиро-Уилка W критерий
3. В начало
4. Содержание портала

Источник: http://statistica.ru/theory/normalnoe-raspredelenie/

Управление эффективностью: кривая нормального распределения

Сегодня многие консультанты и специалисты в сфере HRM говорят об управлении эффективностью, дают различные советы и делают выводы «космического масштаба» о том, как ее повысить. Но какова суть эффективности, ее природа? Каким правилам и законам она подчиняется?

Чем более глубокими теоретическими знаниями мы обладаем, тем более совершенна наша практическая деятельность. Действительно, управлять эффективностью можно только в том случае, если мы глубоко понимаем природу этого феномена.

Эффективность — это результативность процесса, операции, проекта. Она определяется как отношение полученного результата (достигнутого эффекта) к затратам — расходам на его получение.

Использование метрик эффективности позволяет эйчарам разработать определенный алгоритм собственной работы.

Эффективность деятельности компании в целом зависит от эффективности работы каждого ее сотрудника. В крупном коллективе работают разные люди — естественно, они демонстрируют различную результативность.

Количество людей с высокой/ средней/ низкой результативностью труда — математики используют термин «распределение» — подчиняется закономерности, которую называют кривой нормального распределения.

Закон нормального распределения сформулировал немецкий математик Фридрих Гаусс еще в начале XIX века. Суть его состоит в том, что заметные отклонения встречаются значительно реже, чем средние величины. Закон Гаусса начинает действовать в группе: чем больше элементов, тем нагляднее проявляется «нормальность» распределения (шире разброс крайних значений и более выражен «горб» средних). На рисунке 1 изображена кривая нормального распределения — гауссиана. Вся живая и неживая природа подчиняется этому закону. Например, в каждом классе любой школы (и во всех школах мира) подавляющее большинство составляют «середнячки», часть учеников учится немного лучше и немного хуже, и несколько процентов детей — очень способны (еще реже — одарены, талантливы) и столько же — плохо обучаемы и не имеют никакой мотивации к учебе.

Рис. 1. Кривая нормального распределения Гаусса

Но констатации факта, что наиболее эффективных сотрудников (в любом коллективе!) примерно столько же, сколько низкопроизводительных, а большая часть работников — «середнячки», недостаточно для того, чтобы управлять результативностью.

Следствия закона нормального распределения могут показаться парадоксальными: в любом коллективе будут лучшие и худшие.

Всегда! Иначе теряет смысл само определение «лучший»… Это не значит, что если уволить лодырей, то «разленятся» другие сотрудники, скорее — повысятся критерии оценки эффективности для этого коллектива.

Любая система стремится к равновесию, и смысл управления в том, чтобы устанавливать это равновесие на все более высоком «базовом» уровне…

Если мы посмотрим на результаты оценки сотрудников реальной компании (по критерию эффективности в достижении поставленных целей), то увидим, что они «выстраиваются» в гауссиану (рис. 2): в группу III входят 5% самых результативных сотрудников, в группу I — 5% самых неэффективных, а остальные (группа II) демонстрируют средние показатели.

Рис. 2. Распределение сотрудников компании по показателю «эффективность» описывается кривой нормального распределения

Далее рассмотрим графики на рисунке 3. Отсутствие «передовиков производства» (вариант на рис. 3а), «отстающих» (рис. 3б) или и тех и других одновременно (рис. 3в) — утопия.

Если статистика противоречит закону Гаусса, значит, у компании есть серьезные проблемы с организацией труда, а также неудачно выстроена система оценки результативности деятельности.

Скорее всего, работа на конкретных рабочих местах плохо описана, неправильно пронормированна и неэффективно стимулируется (то есть нормы выработки, рабочие задания завышены или занижены, а система оплаты не мотивирует к тому, чтобы люди прикладывали больше усилий).

Возможно также, что в этих компаниях неудачно выбрана система показателей для оценки результатов (например, оценивается качество продукции, а реально оплачиваются объемы ее изготовления) и/или есть серьезные управленческие ошибки с постановкой целей и определением приоритетности задач.

Рис 3. Графики распределения сотрудников компании по показателю «эффективность»

Особый практический интерес (исходя из собственного опыта) представляет ситуация «все хорошие» (рис. 3в). Когда дело доходит до периодической оценки сотрудников, многие линейные менеджеры подходят к подчиненным «уравнительно», мотивируя свои решения «благими намерениями»: чтобы не осложнять отношения в коллективе, не провоцировать конфликты.

Дело не только в том, что они не хотят задуматься над тем, что каждый человек уникален по своему, и работать одинаково «хорошо» все не могут.

Это проблема качества управления: справедливая оценка ставит перед сотрудниками реалистичные цели, она сама по себе мотивирует людей, а значит, работает на повышение общей эффективности подразделения и компании в целом.

Впервые с подобным подходом я столкнулся при внедрении периодической системы оценки деятельности сотрудников одного из предприятий тяжелой промышленности: начальник одного из цехов утверждал, что у него все работают хорошо, и он не может кого-либо выделить.

О каком развитии, повышении эффективности может идти речь, если руководитель не может отличить плохую работу от хорошей, а хорошую от отличной? Он сам лишает своих подчиненных возможности развиваться (и, как следствие, препятствует повышению эффективности их труда).

Нередко затратив огромные средства на внедрение системы управления эффективностью, компании не получают ожидаемого результата… Вывод один: пока линейные менеджеры не будут правильно применять инструменты и методы управления сотрудниками, которые им предлагают коллеги из службы по управлению персоналом, явного сдвига в повышении эффективности деятельности организации не будет.

Вернемся к закону Гаусса. Что можно сделать для повышения эффективности компании? Как перевести сотрудников из разряда лодырей хотя бы в разряд «середнячков»? Я предлагаю вниманию коллег проверенные на практике рекомендации:

1. Работать нужно со всем персоналом, повышая результативность каждого. Успеха можно добиться только в масштабах всей компании.

   Если сосредотачивать внимание на «воспитании» самых неэффективных работников или отдавать предпочтение лишь самым успешным, то в результате можно повысить только их личную эффективность.

   Затраты ресурсов и усилий в данном направлении приведут к частичным изменениям (рис. 4).

Рис. 4. Работа только с одной категорией сотрудников приведет к частичным изменениям

1. Цель внедрения системы управления эффективностью — увеличить «норму для середнячков». Если менеджеры будут уделять внимание всему коллективу, то в итоге сохранятся и передовики, и относительно «отстающие» (для данного подразделения на этом этапе развития), но показатели результативности, которых достигают средние работники, — повысятся.

Отражение этого прогресса мы видим на рисунке 5: кривая распределения показателей эффективности сотрудников сместилась вправо по оси Х. По-прежнему 5% работников показывают лучшие в своей группе результаты, 5% — худшие, а подавляющее большинство, как и раньше, демонстрирует средние показатели. Но теперь:

• самые слабые сотрудники работают на уровне «середнячков»;
• «средние» уже подтянулись до уровня лидеров предыдущего периода;
• лидеры достигли суперэффективности.

Рис. 5. Результат: повышение эффективности всей компании

Так все — каждый сотрудник, подразделение и компания в целом — выходят на новый уровень развития.

«Сдвинуть гору» с места, конечно, очень и очень непросто.

Этого можно добиться, систематически проводя грамотную управленческую работу со всем персоналом, а не только с лучшими (кадровым резервом) или худшими.

Для каждой группы сотрудников следует разрабатывать программы повышения эффективности. Непременное условие — они должны охватывать весь коллектив, тогда закон Гаусса будет работать на компанию!

Хочу также акцентировать внимание читателей на том, что управление эффективностью компании — это не разовое событие или мероприятие, а процесс, ежедневный кропотливый труд линейных руководителей и эйчаров.

Поэтому топ-менеджеры каждой компании, перед тем как стать на стезю управления эффективностью, должны ответить на вопрос: «Готовы ли мы инвестировать в эффективность? Готовы ли линейные менеджеры культивировать в своих подразделениях стремление к эффективности? Готовы ли рядовые сотрудники постоянно участвовать в гонке за повышение эффективности? Готов ли весь коллектив вступить в борьбу за результативность, буквально — с мировой энтропией*?» Если ответ положительный — дерзайте!

Рост эффективности каждого отдельного сотрудника повышает эффективность подразделения, компании в целом.

Переход на качественно новый уровень происходит в соответствии с законами диалектики, которые сформулировал великий немецкий философ Фридрих Гегель. Задача менеджеров — по возможности приблизить момент «перехода количества в качество».

Этот закон замечателен своей универсальностью: ему подчиняются не только процессы развития галактик и человеческих цивилизаций, но и профессиональный рост отдельного специалиста (например, эйчара).

Здесь важно наблюдать за собственной результативностью. Анализируйте ее: ежедневные результаты скажут вам об эффективности больше, чем тысяча книг, лекций, разговоров, за которыми не следует действий.

_________

* Энтропия (от греч. поворот, превращение) — 1) в теории информации: величина, характеризующая степень неопределенности системы; 2) в теории систем: величина, обратная уровню организации системы.

Источник: https://hr-portal.ru/article/upravlenie-effektivnostyu-krivaya-normalnogo-raspredeleniya

Нормальное распределение. Непрерывные распределения в EXCEL

Рассмотрим Нормальное распределение. С помощью функции MS EXCEL НОРМ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел, распределенных по нормальному закону, произведем оценку параметров распределения, среднего значения и стандартного отклонения .

Нормальное распределение (также называется распределением Гаусса) является самым важным как в теории, так в приложениях системы контроля качества. Важность значения Нормального распределения (англ. Normal distribution ) во многих областях науки вытекает из Центральной предельной теоремы теории вероятностей.

Определение : Случайная величина x распределена по нормальному закону , если она имеет плотность распределения :

СОВЕТ : Подробнее о Функции распределения и Плотности вероятности см. статью Функция распределения и плотность вероятности в MS EXCEL .

Нормальное распределение зависит от двух параметров: μ (мю) — является математическим ожиданием (средним значением случайной величины) , и σ ( сигма) — является стандартным отклонением (среднеквадратичным отклонением). Параметр μ определяет положение центра плотности вероятности нормального распределения , а σ — разброс относительно центра (среднего).

Примечание : О влиянии параметров μ и σ на форму распределения изложено в статье про Гауссову кривую , а в файле примера на листе Влияние параметров можно с помощью элементов управления Счетчик понаблюдать за изменением формы кривой.

Нормальное распределение в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для Нормального распределения имеется функция НОРМ.РАСП() , английское название — NORM.DIST(), которая позволяет вычислить плотность вероятности (см.

формулу выше) и интегральную функцию распределения (вероятность, что случайная величина X, распределенная по нормальному закону , примет значение меньше или равное x).

Вычисления в последнем случае производятся по следующей формуле:

Вышеуказанное распределение имеет обозначение N (μ; σ). Так же часто используют обозначение через дисперсию N (μ; σ 2 ).

Примечание : До MS EXCEL 2010 в EXCEL была только функция НОРМРАСП() , которая также позволяет вычислить функцию распределения и плотность вероятности. НОРМРАСП() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

Стандартное нормальное распределение

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием μ=0 и дисперсией σ=1. Вышеуказанное распределение имеет обозначение N (0;1).

Примечание : В литературе для случайной величины, распределенной по стандартному нормальному закону, закреплено специальное обозначение z.

Любое нормальное распределение можно преобразовать в стандартное через замену переменной z =( x -μ)/σ . Этот процесс преобразования называется стандартизацией .

Примечание : В MS EXCEL имеется функция НОРМАЛИЗАЦИЯ() , которая выполняет вышеуказанное преобразование. Хотя в MS EXCEL это преобразование называется почему-то нормализацией . Формулы =(x-μ)/σ и =НОРМАЛИЗАЦИЯ(х;μ;σ) вернут одинаковый результат.

В MS EXCEL 2010 для стандартного нормального распределения имеется специальная функция НОРМ.СТ.РАСП() и ее устаревший вариант НОРМСТРАСП() , выполняющий аналогичные вычисления.

Продемонстрируем, как в MS EXCEL осуществляется процесс стандартизации нормального распределения N (1,5; 2).

Для этого вычислим вероятность, что случайная величина, распределенная по нормальному закону N(1,5; 2) , меньше или равна 2,5. Формула выглядит так: =НОРМ.РАСП(2,5; 1,5; 2; ИСТИНА) =0,691462. Сделав замену переменной z =(2,5-1,5)/2=0,5 , запишем формулу для вычисления Стандартного нормального распределения: =НОРМ.СТ.РАСП(0,5; ИСТИНА) =0,691462.

Естественно, обе формулы дают одинаковые результаты (см. файл примера лист Пример ).

Обратите внимание, что стандартизация относится только к интегральной функции распределения (аргумент интегральная равен ИСТИНА), а не к плотности вероятности .

Примечание : В литературе для функции, вычисляющей вероятности случайной величины, распределенной по стандартному нормальному закону, закреплено специальное обозначение Ф(z). В MS EXCEL эта функция вычисляется по формуле =НОРМ.СТ.РАСП(z;ИСТИНА) . Вычисления производятся по формуле

В силу четности функции плотности стандартного нормального распределения f(x), а именно f(x)=f(-х), функция стандартного нормального распределения обладает свойством Ф(-x)=1-Ф(x).

Обратные функции

Функция НОРМ.СТ.РАСП(x;ИСТИНА) вычисляет вероятность P, что случайная величина Х примет значение меньше или равное х. Но часто требуется провести обратное вычисление: зная вероятность P, требуется вычислить значение х. Вычисленное значение х называется квантилем стандартного нормального распределения .

В MS EXCEL для вычисления квантилей используют функцию НОРМ.СТ.ОБР() и НОРМ.ОБР() .

Графики функций

• В файле примера приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .
• Как известно, около 68% значений, выбранных из совокупности, имеющей нормальное распределение , находятся в пределах 1 стандартного отклонения (σ) от μ(среднего или математического ожидания); около 95% — в пределах 2-х σ, а в пределах 3-х σ находятся уже 99% значений. Убедиться в этом для стандартного нормального распределения можно записав формулу:

= НОРМ.СТ.РАСП(1;ИСТИНА)-НОРМ.СТ.РАСП(-1;ИСТИНА)

которая вернет значение 68,2689% — именно такой процент значений находятся в пределах +/-1 стандартного отклонения от среднего (см. лист График в файле примера ).

В силу четности функции плотности стандартного нормального распределения: f ( x )= f (-х) , функция стандартного нормального распределения обладает свойством F(-x)=1-F(x). Поэтому, вышеуказанную формулу можно упростить:

= 2*НОРМ.СТ.РАСП(1;ИСТИНА)-1

1. Для произвольной функции нормального распределения N(μ; σ) аналогичные вычисления нужно производить по формуле:
2. =2* НОРМ.РАСП(μ+1*σ;μ;σ;ИСТИНА)-1
3. Вышеуказанные расчеты вероятности требуются для построения доверительных интервалов .

Примечание : Для построения функции распределения и плотности вероятности можно использовать диаграмму типа График или Точечная (со сглаженными линиями и без точек). Подробнее о построении диаграмм читайте статью Основные типы диаграмм .

Примечание : Для удобства написания формул в файле примера созданы Имена для параметров распределения: μ и σ.

Генерация случайных чисел

• С помощью надстройки Пакет анализа можно сгенерировать случайные числа, распределенные по нормальному закону .
• СОВЕТ : О надстройке Пакет анализа можно прочитать в статье Надстройка Пакет анализа MS EXCEL .
• Сгенерируем 3 массива по 100 чисел с различными μ и σ. Для этого в окне Генерация случайных чисел установим следующие значения для каждой пары параметров:

Примечание : Если установить опцию Случайное рассеивание ( Random Seed ), то можно выбрать определенный случайный набор сгенерированных чисел. Например, установив эту опцию равной 25, можно сгенерировать на разных компьютерах одни и те же наборы случайных чисел (если, конечно, другие параметры распределения совпадают). Значение опции может принимать целые значения от 1 до 32 767. Название опции Случайное рассеивание может запутать. Лучше было бы ее перевести как Номер набора со случайными числами .

В итоге будем иметь 3 столбца чисел, на основании которых можно, оценить параметры распределения, из которого была произведена выборка: μ и σ . Оценку для μ можно сделать с использованием функции СРЗНАЧ() , а для σ – с использованием функции СТАНДОТКЛОН.В() , см. файл примера лист Генерация .

Примечание : Для генерирования массива чисел, распределенных по нормальному закону , можно использовать формулу =НОРМ.ОБР(СЛЧИС();μ;σ) . Функция СЛЧИС() генерирует непрерывное равномерное распределение от 0 до 1, что как раз соответствует диапазону изменения вероятности (см. файл примера лист Генерация ).

Задачи

Задача1 . Компания изготавливает нейлоновые нити со средней прочностью 41 МПа и стандартным отклонением 2 МПа. Потребитель хочет приобрести нити с прочностью не менее 36 МПа.

Рассчитайте вероятность, что партии нити, изготовленные компанией для потребителя, будут соответствовать требованиям или превышать их. Решение1 : = 1-НОРМ.

РАСП(36;41;2;ИСТИНА)

Задача2 . Предприятие изготавливает трубы, средний внешний диаметр которых равен 20,20 мм, а стандартное отклонение равно 0,25мм. Согласно техническим условиям, трубы признаются годными, если диаметр находится в пределах 20,00+/- 0,40 мм.

Какая доля изготовленных труб соответствует ТУ? Решение2 : = НОРМ.РАСП(20,00+0,40;20,20;0,25;ИСТИНА)- НОРМ.РАСП(20,00-0,40;20,20;0,25) На рисунке ниже, выделена область значений диаметров, которая удовлетворяет требованиям спецификации.

Решение приведено в файле примера лист Задачи .

Задача3 . Предприятие изготавливает трубы, средний внешний диаметр которых равен 20,20 мм, а стандартное отклонение равно 0,25мм. Внешний диаметр не должен превышать определенное значение (предполагается, что нижняя граница не важна).

Какую верхнюю границу в технических условиях необходимо установить, чтобы ей соответствовало 97,5% всех изготавливаемых изделий? Решение3 : = НОРМ.ОБР(0,975; 20,20; 0,25) =20,6899 или = НОРМ.СТ.

ОБР(0,975)*0,25+20,2 (произведена «дестандартизация», см. выше)

Задача 4 . Нахождение параметров нормального распределения по значениям 2-х квантилей (или процентилей ).

Предположим, известно, что случайная величина имеет нормальное распределение, но не известны его параметры, а только 2-я процентиля (например, 0,5- процентиль , т.е. медиана и 0,95-я процентиль ). Т.к. известна медиана , то мы знаем среднее , т.е. μ.

Чтобы найти стандартное отклонение нужно использовать Поиск решения . Решение приведено в файле примера лист Задачи .

Примечание : До MS EXCEL 2010 в EXCEL были функции НОРМОБР() и НОРМСТОБР() , которые эквивалентны НОРМ.ОБР() и НОРМ.СТ.ОБР() . НОРМОБР() и НОРМСТОБР() оставлены в MS EXCEL 2010 и выше только для совместимости.

Линейные комбинации нормально распределенных случайных величин

Известно, что линейная комбинация нормально распределённых случайных величин x ( i ) с параметрами μ ( i ) и σ ( i ) также распределена нормально. Например, если случайная величина Y=x(1)+x(2), то Y будет иметь распределение с параметрами μ (1)+ μ(2) и КОРЕНЬ(σ(1)^2+ σ(2)^2). Убедимся в этом с помощью MS EXCEL.

1. С помощью надстройки Пакет анализа сгенерируем 2 массива по 100 чисел с различными μ и σ.
3. Теперь сформируем массив, каждый элемент которого является суммой 2-х значений, взятых из каждого массива.

С помощью функций СРЗНАЧ() и СТАНДОТКЛОН.В() вычислим среднее и дисперсию получившейся выборки и сравним их с расчетными.

Кроме того, построим График проверки распределения на нормальность ( Normal Probability Plot ), чтобы убедиться, что наш массив соответствует выборке из нормального распределения .

Прямая линия, аппроксимирующая полученный график, имеет уравнение y=ax+b. Наклон кривой (параметр а) может служить оценкой стандартного отклонения , а пересечение с осью y (параметр b) – среднего значения.

• Для сравнения сгенерируем массив напрямую из распределения N (μ(1)+ μ(2); КОРЕНЬ(σ(1)^2+ σ(2)^2) ).
• Как видно на рисунке ниже, обе аппроксимирующие кривые достаточно близки.
• В качестве примера можно провести следующую задачу.

Задача . Завод изготавливает болты и гайки, которые упаковываются в ящики парами. Пусть известно, что вес каждого из изделий является нормальной случайной величиной.

Для болтов средний вес составляет 50г, стандартное отклонение 1,5г, а для гаек 20г и 1,2г. В ящик фасуется 100 пар болтов и гаек. Вычислить какой процент ящиков будет тяжелее 7,2 кг. Решение .

Сначала переформулируем вопрос задачи: Вычислить какой процент пар болт-гайка будет тяжелее 7,2кг/100=72г.

Учитывая, что вес пары представляет собой случайную величину = Вес(болта) + Вес(гайки) со средним весом (50+20)г, и стандартным отклонением =КОРЕНЬ(СУММКВ(1,5;1,2)) , запишем решение = 1-НОРМ.РАСП(72; 50+20; КОРЕНЬ(СУММКВ(1,5;1,2));ИСТИНА) Ответ : 15% (см. файл примера лист Линейн.комбинация )

Аппроксимация Биномиального распределения Нормальным распределением

Если параметры Биномиального распределения B(n;p) находятся в пределах 0,1

Источник: https://excel2.ru/articles/normalnoe-raspredelenie-nepreryvnye-raspredeleniya-v-ms-excel

Нормальное распределение (Гаусса) в Excel

В статье подробно показано, что такое нормальный закон распределения случайной величины и как им пользоваться при решении практически задач.

Нормальное распределение в статистике

История закона насчитывает 300 лет. Первым открывателем стал Абрахам де Муавр, который придумал аппроксимацию биномиального распределения еще 1733 году. Через много лет Карл Фридрих Гаусс (1809 г.) и Пьер-Симон Лаплас (1812 г.) вывели математические функции.

Лаплас также обнаружил замечательную закономерность и сформулировал центральную предельную теорему (ЦПТ), согласно которой сумма большого количества малых и независимых величин имеет нормальное распределение.

Нормальный закон не является фиксированным уравнением зависимости одной переменной от другой. Фиксируется только характер этой зависимости. Конкретная форма распределения задается специальными параметрами. Например, у = аx + b – это уравнение прямой.

Ясно, что это функция, которая описывает тенденцию высокой концентрации значений около центра, но ее точная форма задается специальными параметрами.

Кривая нормального распределения Гаусса имеет следующий вид.

График нормального распределения напоминает колокол, поэтому можно встретить название колоколообразная кривая. У графика имеется «горб» в середине и резкое снижение плотности по краям. В этом заключается суть нормального распределения. Вероятность того, что случайная величина окажется около центра гораздо выше, чем то, что она сильно отклонится от середины.

На рисунке выше изображены два участка под кривой Гаусса: синий и зеленый. Основания, т.е. интервалы, у обоих участков равны. Но заметно отличаются высоты. Синий участок удален от центра, и имеет существенно меньшую высоту, чем зеленый, который находится в самом центре распределения. Следовательно, отличаются и площади, то бишь вероятности попадания в обозначенные интервалы.

• Формула нормального распределения (плотности) следующая.
• Формула состоит из двух математических констант:
• π – число пи 3,142;
• е – основание натурального логарифма 2,718;
• двух изменяемых параметров, которые задают форму конкретной кривой:
• m – математическое ожидание (в различных источниках могут использоваться другие обозначения, например, µ или a);
• σ2 – дисперсия;
• ну и сама переменная x, для которой высчитывается плотность вероятности.

Конкретная форма нормального распределения зависит от 2-х параметров: математического ожидания (m) и дисперсии (σ2). Кратко обозначается N(m, σ2) или N(m, σ). Параметр m (матожидание) определяет центр распределения, которому соответствует максимальная высота графика. Дисперсия σ2 характеризует размах вариации, то есть «размазанность» данных.

Параметр математического ожидания смещает центр распределения вправо или влево, не влияя на саму форму кривой плотности.

А вот дисперсия определяет остроконечность кривой. Когда данные имеют малый разброс, то вся их масса концентрируется у центра. Если же у данных большой разброс, то они «размазываются» по широкому диапазону.

Плотность распределения не имеет прямого практического применения. Для расчета вероятностей нужно проинтегрировать функцию плотности.

1. Вероятность того, что случайная величина окажется меньше некоторого значения x, определяется функцией нормального распределения:
2. Используя математические свойства любого непрерывного распределения, несложно рассчитать и любые другие вероятности, так как
3. P(a ≤ X < b) = Ф(b) – Ф(a)

Стандартное нормальное распределение

Нормальное распределение зависит от параметров средней и дисперсии, из-за чего плохо видны его свойства. Хорошо бы иметь некоторый эталон распределения, не зависящий от масштаба данных. И он существует.

Называется стандартным нормальным распределением.

На самом деле это обычное нормальное нормальное распределение, только с параметрами математического ожидания 0, а дисперсией – 1, кратко записывается N(0, 1).

• Любое нормальное распределение легко превращается в стандартное путем нормирования:
• где z – новая переменная, которая используется вместо x;m – математическое ожидание;σ – стандартное отклонение.
• Для выборочных данных берутся оценки:

Среднее арифметическое и дисперсия новой переменной z теперь также равны 0 и 1 соответственно. В этом легко убедиться с помощью элементарных алгебраических преобразований.

В литературе встречается название z-оценка. Это оно самое – нормированные данные. Z-оценку можно напрямую сравнивать с теоретическими вероятностями, т.к. ее масштаб совпадает с эталоном.

1. Посмотрим теперь, как выглядит плотность стандартного нормального распределения (для z-оценок). Напомню, что функция Гаусса имеет вид:
2. Подставим вместо (x-m)/σ букву z, а вместо σ – единицу, получим функцию плотности стандартного нормального распределения:
3. График плотности:

Центр, как и ожидалось, находится в точке 0. В этой же точке функция Гаусса достигает своего максимума, что соответствует принятию случайной величиной своего среднего значения (т.е. x-m=0). Плотность в этой точке равна 0,3989, что можно посчитать даже в уме, т.к. e0=1 и остается рассчитать только соотношение 1 на корень из 2 пи.

Таким образом, по графику хорошо видно, что значения, имеющие маленькие отклонения от средней, выпадают чаще других, а те, которые сильно отдалены от центра, встречаются значительно реже.

Шкала оси абсцисс измеряется в стандартных отклонениях, что позволяет отвязаться от единиц измерения и получить универсальную структуру нормального распределения. Кривая Гаусса для нормированных данных отлично демонстрирует и другие свойства нормального распределения.

Например, что оно является симметричным относительно оси ординат. В пределах ±1σ от средней арифметической сконцентрирована большая часть всех значений (прикидываем пока на глазок). В пределах ±2σ находятся большинство данных. В пределах ±3σ находятся почти все данные.

Последнее свойство широко известно под названием правило трех сигм для нормального распределения.

Функция стандартного нормального распределения позволяет рассчитывать вероятности.

Понятное дело, вручную никто не считает. Все подсчитано и размещено в специальных таблицах, которые есть в конце любого учебника по статистике.

Таблица нормального распределения

• Таблицы нормального распределения встречаются двух типов:
• — таблица плотности;
• — таблица функции (интеграла от плотности).

Таблица плотности используется редко. Тем не менее, посмотрим, как она выглядит. Допустим, нужно получить плотность для z = 1, т.е. плотность значения, отстоящего от матожидания на 1 сигму.

Ниже показан кусок таблицы. 

В зависимости от организации данных ищем нужное значение по названию столбца и строки. В нашем примере берем строку 1,0 и столбец 0, т.к. сотых долей нет. Искомое значение равно 0,2420 (0 перед 2420 опущен). 

Функция Гаусса симметрична относительно оси ординат. Поэтому φ(z)= φ(-z), т.е. плотность для 1 тождественна плотности для -1, что отчетливо видно на рисунке.

Чтобы не тратить зря бумагу, таблицы печатают только для положительных значений.

В таких таблицах также содержатся только положительные значения. Поэтому для понимания и нахождения любых нужных вероятностей следует знать свойства стандартного нормального распределения.

Функция Ф(z) симметрична относительно своего значения 0,5 (а не оси ординат, как плотность). Отсюда справедливо равенство:

Это факт показан на картинке:

Значения функции Ф(-z) и Ф(z) делят график на 3 части. Причем верхняя и нижняя части равны (обозначены галочками). Для того, чтобы дополнить вероятность Ф(z) до 1, достаточно добавить недостающую величину Ф(-z). Получится равенство, указанное чуть выше.

1. Если нужно отыскать вероятность попадания в интервал (0; z), то есть вероятность отклонения от нуля в положительную сторону до некоторого количества стандартных отклонений, достаточно от значения функции стандартного нормального распределения отнять 0,5:
2. Для наглядности можно взглянуть на рисунок.
3. На кривой Гаусса, эта же ситуация выглядит как площадь от центра вправо до z.
4. Довольно часто аналитика интересует вероятность отклонения в обе стороны от нуля. А так как функция симметрична относительно центра, предыдущую формулу нужно умножить на 2:
5. Рисунок ниже.
6. Под кривой Гаусса это центральная часть, ограниченная выбранным значением –z слева и z справа.

Указанные свойства следует принять во внимание, т.к. табличные значения редко соответствуют интересующему интервалу.

Для облегчения задачи в учебниках обычно публикуют таблицы для функции вида:

Если нужна вероятность отклонения в обе стороны от нуля, то, как мы только что убедились, табличное значение для данной функции просто умножается на 2.

Теперь посмотрим на конкретные примеры. Ниже показана таблица стандартного нормального распределения. Найдем табличные значения для трех z: 1,64, 1,96 и 3.

Как понять смысл этих чисел? Начнем с z=1,64, для которого табличное значение составляет 0,4495. Проще всего пояснить смысл на рисунке.

То есть вероятность того, что стандартизованная нормально распределенная случайная величина попадет в интервал от 0 до 1,64, равна 0,4495. При решении задач обычно нужно рассчитать вероятность отклонения в обе стороны, поэтому умножим величину 0,4495 на 2 и получим примерно 0,9. Занимаемая площадь под кривой Гаусса показана ниже.

Таким образом, 90% всех нормально распределенных значений попадает в интервал ±1,64σ от средней арифметической. Я не случайно выбрал значение z=1,64, т.к.

окрестность вокруг средней арифметической, занимающая 90% всей площади, иногда используется для проверки статистических гипотез и расчета доверительных интервалов.

Для проверки гипотез, однако, чаще используется интервал, накрывающий 95% всех значений. Половина вероятности от 0,95 – это 0,4750 (см. второе выделенное в таблице значение).

Для этой вероятности z=1,96. Т.е. в пределах почти ±2σ от средней находится 95% значений. Только 5% выпадают за эти пределы.

Еще одно интересное и часто используемое табличное значение соответствует z=3, оно равно по нашей таблице 0,4986. Умножим на 2 и получим 0,997. Значит, в рамках ±3σ от средней арифметической заключены почти все значения.

Так выглядит правило 3 сигм для нормального распределения на диаграмме.

С помощью статистических таблиц можно получить любую вероятность. Однако этот метод очень медленный, неудобный и сильно устарел. Сегодня все делается на компьютере. Далее переходим к практике расчетов в Excel.

Нормальное распределение в Excel

В Excel есть несколько функций для подсчета вероятностей или обратных значений нормального распределения.

Функция НОРМ.СТ.РАСП

Функция НОРМ.СТ.РАСП предназначена для расчета плотности ϕ(z) или вероятности Φ(z) по нормированным данным (z).

=НОРМ.СТ.РАСП(z;интегральная)

z – значение стандартизованной переменной

интегральная – если 0, то рассчитывается плотность ϕ(z), если 1 – значение функции Ф(z), т.е. вероятность P(Z

Источник: https://statanaliz.info/statistica/teoriya-veroyatnostej/normalnoe-raspredelenie-v-excel/

Нормальное распределение

 КАЛЬКУЛЯТОР ТАБЛИЦА |

Вероятность, что подброшенная монета упадёт орлом вверх 50%, что при броске шестигранного кубика выпадет 4 — 16,7%, что завтра на кого-нибудь упадёт метеорит — 0.00000000294%.

Это простые примеры, достаточно разделить количество желаемых событий на общее количество случаев и мы получаем вероятность события, но когда результаты эксперимента могут быть не только орлом или решкой (что эквивалентно да/нет), а большим набором данных.

Если Вы построите график «Количество буханок — Вес», то график будет иметь форму напоминающую колокол, что-то похожее на следующий график:

Плотность вероятности нормального распределения

Такую форму график получит потому, что большинство значений близко к 400. Это — пример нормального распределения, множество событий имеют закон нормального распределения, например, вес или рост для определённого возраста, или среднее время Вашего похода до магазина и многие другие события также подчиняются закону нормального распределения.

Вот так работают маркетологи: проводят опрос 1000 человек и получают представление о всём населении

В случае таблицы Вы имеете дело с дискретными данными, т.е. для каждого веса есть определённая вероятность, но в случае графика дело немного меняется, теперь мы говорим не о 1000 буханок, которые мы взвесили, а обо всех буханках в мире сразу! Зачем? Что бы не взвешивать все буханки.

Имея закон распределения, который мы получили взвесив 1000 буханок (мы могли взвесить 100, 200, 500, сколько угодно), мы можем предположить, что сколько бы мы буханок не взяли, замерив их, мы получим ту же форму колокола.

Используя термины статистики, все буханки хлеба — это генеральная совокупность, 1000 замеренных буханок — выборка.

Теперь, возьмём одну буханку хлеба, какова вероятность, что её вес будет между 390г и 400г?

Вероятность события между a и b:

P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) — P(X ≤ a)

Распределение вероятности — это функция, в которой для каждого события Х присваивается вероятность p, что событие произойдёт

Распределение Гаусса

Нормальное распределение получило своё название абсолютно справедливо: по статистике, большинство событий происходят именно с вероятностью нормального распределения, но что это значит? Это означает, например, что когда Вы видите на упаковке хлеба обозначение «Вес: 400±16г» — вес батона имеет нормальное распределение со средним значением 400г и стандартным отклонением 16г.

Таблица нормального распределения — это затабулированные значения функции нормального распределения.

Для нахождения вероятности события Z0 можно воспользоваться таблицей нормального распределения ниже. На пересечении строк (n) и столбцов (m) находится значение вероятности n+m.

Z0 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3

3.1

3.2

0.500	0.504	0.508	0.512	0.516	0.520	0.524	0.528	0.532	0.536
0.540	0.544	0.548	0.552	0.556	0.560	0.564	0.568	0.571	0.575
0.579	0.583	0.587	0.591	0.595	0.599	0.603	0.606	0.610	0.614
0.618	0.622	0.625	0.629	0.633	0.637	0.641	0.644	0.648	0.652
0.655	0.659	0.663	0.666	0.670	0.674	0.677	0.681	0.684	0.688
0.692	0.695	0.699	0.702	0.705	0.709	0.712	0.716	0.719	0.722
0.726	0.729	0.732	0.736	0.739	0.742	0.745	0.749	0.752	0.755
0.758	0.761	0.764	0.767	0.770	0.773	0.776	0.779	0.782	0.785
0.788	0.791	0.794	0.797	0.799	0.802	0.805	0.808	0.811	0.813
0.816	0.819	0.821	0.824	0.826	0.829	0.832	0.834	0.837	0.839
0.841	0.844	0.846	0.849	0.851	0.853	0.855	0.858	0.860	0.862
0.864	0.867	0.869	0.871	0.873	0.875	0.877	0.879	0.881	0.883
0.885	0.887	0.889	0.891	0.892	0.894	0.896	0.898	0.900	0.901
0.903	0.905	0.907	0.908	0.910	0.911	0.913	0.915	0.916	0.918
0.919	0.921	0.922	0.924	0.925	0.926	0.928	0.929	0.931	0.932
0.933	0.934	0.936	0.937	0.938	0.939	0.941	0.942	0.943	0.944
0.945	0.946	0.947	0.948	0.950	0.951	0.952	0.953	0.954	0.955
0.955	0.956	0.957	0.958	0.959	0.960	0.961	0.962	0.963	0.963
0.964	0.965	0.966	0.966	0.967	0.968	0.969	0.969	0.970	0.971
0.971	0.972	0.973	0.973	0.974	0.974	0.975	0.976	0.976	0.977
0.977	0.978	0.978	0.979	0.979	0.980	0.980	0.981	0.981	0.982
0.982	0.983	0.983	0.983	0.984	0.984	0.985	0.985	0.985	0.986
0.986	0.986	0.987	0.987	0.988	0.988	0.988	0.988	0.989	0.989
0.989	0.990	0.990	0.990	0.990	0.991	0.991	0.991	0.991	0.992
0.992	0.992	0.992	0.993	0.993	0.993	0.993	0.993	0.993	0.994
0.994	0.994	0.994	0.994	0.995	0.995	0.995	0.995	0.995	0.995
0.995	0.996	0.996	0.996	0.996	0.996	0.996	0.996	0.996	0.996
0.997	0.997	0.997	0.997	0.997	0.997	0.997	0.997	0.997	0.997
0.997	0.998	0.998	0.998	0.998	0.998	0.998	0.998	0.998	0.998
0.998	0.998	0.998	0.998	0.998	0.998	0.999	0.999	0.999	0.999
0.999	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999
0.999	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999
0.999	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999	1.000
Таблица 1. Таблица нормального распределения. Красным выделены часто используемые значения при выборе критической области

Нормальное распределение — среднее 0 и отклонение 1?

Не только. График нормального распределения построен для среднего значения ноль и стандартного отклонения единица, т.е. 0±1. Но если Ваши среднее и отклонение отличаются от нуля и единицы, то к Вашим услугам следующая формула:

Z = (X — μ) / σ

Где μ и σ — среднее значение и стандартное отклонение для Вашего распределения соответственно, а X — величина, для которой Вы хотите узнать вероятность. Возвращаясь к примеру с батоном хлеба — для того, что бы узнать, какова вероятность, что батон будет весить меньше 396 грамм — необходимо подставить в формулу значения X=396, μ = 400, σ = 16:

Z = (396 — 400) / 16 = -0.25

Далее, по таблице необходимо найти значение для Z. Как для Z = -0.25, так и для Z = 0.25 это будет 0,5987 (нормальное распределение симметрично, поэтому значение вероятности определяется для абсолютного значения Z: график симметричен относительно оси Y, поэтому значение вероятности не зависит от знака X)

Свойства функции распределения

• Симметрична относительно центра (среднее значение — математическое ожидание μ)
• Мода и медиана равны математическому ожиданию μ

Функция распределения

Функция распределения предназначена для того, что бы определить, какова вероятность, что величина X меньше или равна некоторого числа x.

На примере батона из первого абзаца: если мы хотим узнать, какова вероятность, что батон будет весить меньше 410 грамм, то, воспользовавшись формулой приведения, получим Z=0.63 и значение P(X

Источник: https://k-tree.ru/tools/statistics/normal.php