Максимум и минимум функции — справочник студента

Напомним, что под окрестностью точки плоскости понимается внутренность любого прямоугольника, окружающего эту точку, исключая саму точку (проколотая окрестность).        

В пространстве это будет произвольный параллелепипед, содержащий эту точку за вычетом самой точки.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Определение: Максимумом (строгим) функции f (x,y) называется такое значение f(x1,y1) этой функции, которое больше всех ее значений f(x,y), принимаемых данной функцией в точках некоторой окрестности точки О(х1, у1). (Окрестность может быть весьма малой по своим линейным размерам).

Определение: Минимумом (строгим) функции f (x,y) называется такое значение f (x2,y2), которое меньше всех ее значений f (x,y), принимаемых данной функцией в точках некоторой окрестности О (х2, у2).

Максимум или минимум функции f (x,y) называется экстремумом этой функции. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума (точка минимума, точка максимума).

Аналогично определяется экстремум функции f (x,y,z) и т.д.

Теорема: (Необходимый признак экстремума функции нескольких переменных). В точке экстремума функции нескольких переменных каждая ее частная производная первого порядка либо равна нулю, либо не существует.

Доказательство. Пусть u = f (x,y) и f (xo,yo) — ее максимум (для минимума рассуждения аналогичны). Зафиксируем одну из переменных, например, у, полагая у = уо, тогда получим функцию одной переменной U1 = f (x, yo), которая, очевидно, будет иметь максимум при х = хо.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Электрическое напряжение - справочник студента

Оценим за полчаса!

Отсюда, на основании теории экстремума одной переменной,                             получаем, что Максимум и минимум функции - Справочник студента         или      не существует.

Пусть теперь у=уо, а хо- фиксируем, тогда     или не существует.

Следствие: В точке экстремума Мо (хо, уо) дифференцируемой функции f (x, y) выполнены равенства Максимум и минимум функции - Справочник студента  

Максимум и минимум функции - Справочник студента

Замечание: Точку, в которой частные производные первого порядка либо не существуют, либо равны нулю, называют критической.

Т.е. экстремумы функции нескольких переменных могут достигаться лишь в критических точках.

Абсолютный экстремум

Определение: Наименьшее или наибольшее значение функции в данной области называется абсолютным экстремумом функции. (Соответственно, абсолютный минимум, абсолютный максимум).

Теорема: (Вайерштрасс) Функция, непрерывная в ограниченной и замкнутой области, достигает в этой области своего наименьшего и своего наибольшего значения.

Теорема: Абсолютный экстремум функции в данной области достигается либо в критической точке функции, принадлежащей этой области, либо в граничной точке области.

Билет 31:

Вопрос 1: Преобразование графиков функции:

Преобразования графиков функций — термин, используемый в школьной программе для обозначения линейных преобразований функции или её аргумента вида y = αfx + δ) + β. Применяется также для обозначений операций с использованием модуля.

Общий вид функции Преобразования
y = f(xa) Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на | a | единиц · вправо, если a > 0; · влево, если a < 0.
y = f(x) + a Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на | a | единиц · вверх, если a > 0, · вниз, если a < 0.
y = f( − x) Симметричное отражение графика относительно оси ординат.
y = − f(x) Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.
y = f(kx) · При k > 1 — сжатие графика к оси ординат в k раз, · при 0 < k < 1 — растяжение графика от оси ординат в k раз.
y = kf(x) · При k > 1 — растяжение графика от оси абсцисс в k раз, · при 0 < k < 1 — сжатие графика к оси абсцисс в k раз.
y = | f(x) | · При y > 0 — график остаётся без изменений, · при y < 0 — график симметрично отражается относительно оси абсцисс.
y = f( | x | ) · При — график остаётся без изменений, · при x < 0 — график симметрично отражается относительно оси ординат.
Читайте также:  Генетико-моделирующий метод - справочник студента

Вопрос 2: Метод наименьших квадратов:

  • В различных исследованиях по данным результатов исследований, часто возникает необходимость построения эмпирических формул, составленных по этим наблюдениям.
  • Одним из наилучших способов получения таких формул является метод наименьших квадратов.
  • Пусть по результатам опыта нам нужно установить зависимость между двумя величинами х и у, где, например,
  •        х — стоимость строительства объекта;
  •        у — накладные расходы.
  • По результатам наблюдения составим таблицу:
Xi x1 x2 x3 xn
Уi y1 y2 y3 yn

Нужно теперь установить функциональную зависимость у = f(x).

Нанесем результаты наблюдений на координатную плоскость.

В данном случае естественно предположить, что зависимость линейная (т.е. все точки расположены около прямой).

Т.е. у = ах + b (*)

  1. где а и b — некоторые постоянные коэффициенты, подлежащие определению.
  2. Представим (*) в виде ах + b — y = 0 (**)
  3. Так как точки лежат приблизительно на этой прямой, то эта зависимость приближенная. И, если подставить точки наблюдений в (**), то получим равенства:

Максимум и минимум функции - Справочник студента

 где числа ei (i=1¸n) называются погрешностями и, вообще говоря, не равные нулю.

       Способ наименьших квадратов состоит в том, что нужно подобрать а и b таким образом, чтобы ei были бы по возможности малыми по абсолютной величине, а лучше сказать, чтобы сумма квадратов погрешностей была бы минимальной. Т.е. потребуем, чтобы

Максимум и минимум функции - Справочник студента

тогда S(a,в) можно рассматривать как функцию двух переменных по а и b и можно ее исследовать на экстремум ( определить минимум), т.е.

Максимум и минимум функции - Справочник студента Максимум и минимум функции - Справочник студента

Приравняем эти частные производные к нулю, получаем линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными а и b :

Максимум и минимум функции - Справочник студента

Система (15.5) называется нормальной системой способа наименьших квадратов.

  • Решая эту систему относительно а и b, находим числа а и b и затем подставляем их в (*).
  • Пример:
  •        Пусть имеем результаты наблюдений:
Xi -2 0 1 2 4
Уi 0.5 1 1.5 2 3

Определим а и b в уравнении у = ах +b

Максимум и минимум функции - Справочник студента

Нормальная система

Максимум и минимум функции - Справочник студента

Тогда у = 0,425х + 1,175.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/21_42678_maksimum-i-minimum-funktsii-neskolkih-peremennih.html

Урок алгебры в 11 классе Максимум и минимум функции

Урок №33. Алгебра и НМА в 11 классе. Дата 06.11.18 г.

Учитель математики Абкелямова З.Н.

Тема урока: Анализ контрольной работы.Максимум и минимум функции.

  • Цели: изучить понятие максимума и минимума функции;
  • Составить алгоритм нахождения максимального и минимального значения функции.
  • Мотивация: на успешность подготовки к ЕГЭ по математике.
  • Ход урока.
  • Русский математик XIX века Чебышев говорил , что « особенную важность имеют методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды.»
  1. Подготовка к изучению новой темы.

  1. При исследовании поведения функции вблизи точки удобно пользоваться понятием окрестности.

Окрестностью точки а называется любой интервал , содержащий эту точку.

Определение. Точка х0 называется точкой максимума функции f(х), если существует такая окрестность точки х, что для всех х≠х0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x) f(x0).

Пусть график некоторой функции имеет вот такой вид.

 а) Если рассмотреть значение функции в точкехна этом графике то оно будет наибольшим (максимальным), чем в любой другой точке из близлежащей окрестности. В этом случае говорят, чтох0 точка максимума (max).

Точках из области определения функции называется точкой максимума, если длялюбого  из окрестноститочки хвыполняется неравенство f(x).

 Максимум и минимум функции объединяют словом экстремум( с латинского — крайний), а точки максимума и минимума называют точками экстремума (экстремальными точками)Изучая график можно прийти к выводу, что наиболее «заметными» точками области определения являются какие точки Х, в которых возрастание функции сменяется убыванием (х=-6; х=2; х=7), или, наоборот убывание сменяется возрастанием (х=-7,5; х=-1,5; х=4). Эти точки называются соответственно точками максимума хmax=-6 хmax=2 хmax=7 и минимума хmin=-7,5; хmin=2; хmin=7.

  1. Точку отрезка [а;в], в которой функция достигает наибольшего значения на отрезке называют точкой максимума на отрезке.
  2. Значение функции в этой точке и есть максимум функции на отрезке.
  3. Точку отрезка [а;в], в которой функция достигает наименьшего значения на отрезке называют точкой минимума на отрезке.
  4. Значение функции в этой точке и есть минимум функции на отрезке.
  5. Названия и обозначения максимума и минимума происходит от латинских слов maximum ( наибольшее) minimum ( наименьшее).
  1. На рисунке изображён график непрерывной функции на отрезке [а;в]

  2. Максимум и минимум функции - Справочник студента

2,5 – точка максимума на отрезке [-3;5] .

0– точка минимума на отрезке [-3;5] .

Для точек максимума и минимума принято общее название . Их называют точками экстремума: хmax и хmin.

Значения функции в этих точках называют соответственно максимума и минимума функции уmax, ymin.

  1. Пусть надо найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [а;в] и имеющей производную на интервале (а,в). Важную роль при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции , при построении графика играют критические точки.

Определение. Внутренние точки области определения , в которых производная равна нулю или не существуют называются критическими точками.

  1. Найти критические точки функции

№5.6 а), в), №5.7 а),в).

№5.6 а) у= 2х3-3х2 [-3;3] .

  • у ʹ=6х2-6х у ʹ=0 х= 0, х=1- критические точки
  • в) у=3х4+х3+7 [-3;2]
  • у ʹ=12х3+3х2 у ʹ=0 х=0, х=-1 –критические точки
  • №5.7 а) у= [-1;1]
  • у ʹ= у ʹ=0 х=0 производная не существует, следовательно
  • х=0 критическая точка
  • 6) В ЕГЭ В11 нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.
  • Алгоритм нахождения точек экстремума
  1. Найти производную функции.

  2. Решить уравнение f ´(х)=0, и найти тем самым стационарные точки или критические точки

  3. Найти критические точки функции на интервале (а,в);

  4. Вычислить значения функции в найденных точках, принадлежащих интервалу (а,в);

  5. Вычислить значения функции на концах отрезка, т.е. в точках х=а, х=в;

  6. Среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечания.

  • Если функция у=f(x) на [а;в], имеет точку максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее или наименьшее значение.
  • Если функция у=f(x) на [а;в] не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее на другом.
  1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=3х2+4х3+1 на отрезке [-2;1] . (Решает учитель)

  1. fʹʹ(x)=(3х2+4х3+1) ʹ=6х+12х2. Для любого хЄR найдем производную f(x)
  2. fʹʹ(x)=0
  3. 6х+12х2=0
  4. Х( 6+12х)=0
  5. Х=0 или 6+12х=0
  6. Х= —
  7. Х=0 и х= — критические точки, принадлежат заданному отрезку.
  8. 0Є[-2;1], — Є[-2;1],
  9. Найдем значения функции в заданных точках.
  10. f(0)=1
  11. f(- =1,25
  12. f(-2)=-11
  13. f(1)=8 сравнив значения функций, выбираем наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
  14. max f(x)= f(1) =8
  15. min f(x)= f(-2)=-11
  16. Ответ : 8,11.
  17. Г) № 5.10 а) в) ( для тех кто работает быстро, за каждый верно выполненный пример ученик получает +, три + «5» в журнал)
  18. №5.11 а)в)

Домашнее задание №5.10 (в,г) 5.14 стр 120.

дополнительное задание.Найти наибольшее значение функции у= 12 cosх+6х-2+6 на отрезке [0;].

  • Тема урока: Максимум и минимум функции.
  • Цели: закрепить навык нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке путем решения разнообразных задач.
  • Ход урока.
  1. Проверка домашнего задания.

  1. №5.6 б) f(х) =5х3-15х на отрезке [-2;2]

  1. f' (х) =15х2 -15 f(х) =0 х=1 х=-1 критические точки
  2. г) у=х4-4х2 на отрезке [-4;4]
  3. у'=4х3 -8х у'=0 х1=0 х2= х=- критические точки
  4. № 5.7 б) у= на отрезке
  5. У'= у'=0 х=0 производная не существует, следовательно, х=0 критическая точка
  6. г) у= 2 -х на промежутке (0; 2]
  7. У'= у'=0 х=0 производная не существует, следовательно
  8. Х=0 критическая точка.
  9. № 5.8 б) у=ех-хе на отрезке [-2;2]
  10. У'= ех-х у'=0 ех-е=0
  11. Х=1
  12. г) у= cos2х +х на отрезке [- π; π]
  13. у'= -2sin 2х+1 у'=0 -2sin 2х+1=0
  14. х= (-1)к +к, кЄZ
  15. х= ; π ; Є [- π; π]
  16. № 5.10 б) у= х3+ 3х на отрезке [-1;2]
  17. У'= 3х2+3 у=0 3х2+3=0
  18. Критических точек нет , значит функция достигает свое наибольшее и наименьшее значение на концах отрезка.
  19. У(-1)=-4
  20. У(2)=14 Г) у= х3- 3х на отрезке [-1;2]
  21. У'=3х2-3 у=0 3х2-3=0
  22. Х=-1 х=1 -1;1 Є [-1;2]
  23. У(-1)=0 у(3)=18 у(1)=-2 у(-2)=-2
  24. Наибольшее значение 18, наименьшее значение -2.

№ 5.11 б) наибольшее значение 3, наименьшее значение -3.

  1. (Два ученика на обратной стороне доски)

  • Взять производные функций
  • Cos3х, ех, (х-14)ех-13, ln(2х+3), tg2х
  • Класс делает в тетрадях и потом проверяем.
  • Верно ли , что если функция у= f(x) непрерывна на отрезке[а;в] , то существуют точки этого отрезка, в которых функция принимает свое наибольшее и наименьшее значение. (да)
  • Какую точку отрезка [а;в] называют точкой максимума и минимума функции у= f(x); точкой минимума функции у= f(x).
  • Как называются значения функции в этих точках?
  • Какие точки отрезка [а;в] называются критическими точками функции? Как найти эти точки?
  • Как найти максимум и минимум функции на отрезке?
  1. Работа по графику .
  2. Указать точки максимума и минимума функции.
  3. Назвать максимум и минимум функции на отрезке.

Максимум и минимум функции - Справочник студента

Работа с классом.

  1. Найдите наибольшее значение функции у=-х2 +10х на отрезке [0;7].

( У(0)=0, у(7)=21, у(15)=25)

  1. Найдите наименьшее значение функции у=(х-21)ех-20 на отрезке

Читайте также:  Условия эффективности семейного воспитания - справочник студента

[19;21].

У(19)= у(20)=-1 у(21)=0

  1. Найдите наибольшее значение функции у= 7 cosх+7х-на отрезке [0;].

  1. У() =16 у(0)= 7- +9 у(=

  1. Аналогично определяется максимум и минимум функции на интервале и полуинтервале.

-14-

Максимум и минимум функции - Справочник студента

Хmax=-5,5 ymin=4

Хmin- нет, т.к. х=3 не входит в (-5,5;3)

  • Работа с классом. ( у доски работает ученик)
  • Найти наибольшее значение функции у= -2х2 на промежутке (-2;2).
  • Решение.
  • У`= х3-4х у=0 х=0 х=2 х=-2 критические точки , но х=2 и х=-2 не входят в данный промежуток.

Найдем значение функции у(0)=0, а у= (х2-8) 0 при каждом х, таком , что 0х|, то на интервале (-2;2) функция имеет максимум в точке х=0.

На интервале (-2;2) функция не имеет минимума, так как у= -2х2 -4при каждом х, таком, что |х|Максимум и минимум функции - Справочник студента2 и -2 не принадлежат (-2;2), следовательно у=0 максимум функции.

Обучающая самостоятельная работа.

  1. найдите наибольшее значение функции у=(х-8)ех-7 на отрезке [6;8].

  2. найдите наибольшее значение функции у=7х-6sinх+8 на отрезке [].

3) найти наименьшее значение функции у=х2-3х+lnх+3 на отрезке [;]

На задания даётся 15 минут. С помощью проектора ученики проверяют решение.

Решение.

  1. у=(х-8)ех-7 на отрезке[6;8].

  1. у'=ех-7(х-7) у'=0 х=7 критическая точка
  2. у(6)= у(7)=-1 у(8)=0
  3. наибольшее значение функции равно 0
  1. у=7х-6sinх+8 на отрезке [].

  • у'=7- 6cosх у'=0 6cosх=7 х= критических точек нет
  • у(-=14 у(0)=8
  • наибольшее значение функции равно 8
  • 3) у=х2-3х+lnх+3 на отрезке [;] ОДЗ: х
  • у'=2х-3+ у'=0 2х2-3х+1=0
  • х=1 х= не принадлежит [;]
  • у(1)=1 у()= ln+3 у()= ln +3
  • наименьшее значение функции равно1.
  • Домашнее задание: рассмотреть из открытого банка заданий — 5 функций.

Источник: https://infourok.ru/urok-algebri-v-klasse-maksimum-i-minimum-funkcii-3350394.html

53. Максимум, минимум и экстремумы функции. Необходимое условие существования экстремума

Главная » Общенаучные дисциплины » Математика (1 семестр) » 53. Максимум, минимум и экстремумы функции. Необходимое условие существования экстремума. Максимум и минимум функции.

Приведем точные определения точек экстремума. 

Определение. Точка x0 называется точкой минимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x0 выполняется неравенство f(x) ≥ f(x0

Это наглядно показано на рисунке 1: 

Максимум и минимум функции - Справочник студента 

рисунок 1 

Определение. Точка x0 называется точкой максимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x0 выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0

Это наглядно показано на рисунке 2: 

Максимум и минимум функции - Справочник студента 

рисунок 2 

По определению значение функции f в точке x0 является наибольшим среди значений функции в окрестности этой точки, поэтому график функции в окрестности x0 имеет обычно либо вид гладкого холма, либо вид острого пика (рис. 1 а) и б) соответственно). 

В окрестности точки минимума графики изображаются в виде загругленной или острой впадины (рис. 2 а) и б) соответственно). 

  • Другие примеры поведения графиков функций в точках максимума и минимума приведены на рисунке ниже: 
  • Максимум и минимум функции - Справочник студента 
  • Слева направо: a — точка максимума; a — точка минимума; каждая точка из промежутка [-1; 0] является как точкой максимума, так и точкой минимума. 

Для точек минимума и максимума функции есть общее определение — точки экстремума. Значение функции в этих точках соответственно назывется максимумом или минимумом этой функции. Общее название — экстремум функции. Точки максимума обычно обозначают xmax, а точки минимума — xmin.

  • Лемма Ферма. Пусть функция  дифференцируема в точке экстремума x0. Тогда:

f'(x0) = 0.

  • Если в точке экстремума существует первая частная производная (по какому-либо аргументу), то она равна нулю.

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Copyright © IT-IATU 2011-2020

Источник: https://it-iatu.ru/ond/matematika-1-semestr/maksimum_minimum_i_ekstremumy_funkcii_neobhodimoe_uslovie_suschestvovaniya_ekstremuma

Найти экстремумы функции

Данный калькулятор предназначен для нахождения экстремумов функции.
Следует различать понятия точек экстремума и экстремумов функции. Точки экстремума – точки максимума и минимума функции, это значения на оси Ox. Точка x0 является точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности выполняется неравенство f(x0)≥f(x).

Точка x0 является точкой минимума функции y=f(x), если из ее окрестности для всех x выполняется неравенство f(x0)≤f(x). Значения функции, которые соответствуют точкам экстремума, называются экстремумами функции, это значения на оси Oy.

Для того чтобы найти экстремумы функции можно использовать любой из трех условий экстремума, если функция удовлетворяет эти условиям.

Первым достаточным условием экстремума являются следующие утверждения: если в точке x0 функция непрерывна, и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то точка x0 является точкой максимума, а если в данной точке производная меняет знак с минуса на плюс, то x0 – точка минимума.

Вторым признаком экстремума является следующее утверждение: если производная второго порядка от x0 больше нуля, то x0 – точка минимума; если меньше нуля, то x0 – точка максимума. Третье достаточное условие экстремума функции заключается в следующем.

Пусть функция y=f(x) имеет производные до n-ого порядка в окрестности точки x0 и производные до n+1-ого порядка в самой точке x0; пусть f’(x0)= f’’(x0)= f’’’(x0)=…=f(n)( x0)=0 и f(n+1)( x0)≠0. Тогда, если n – нечетное, то x0 – точка экстремума. Если f(n+1)( x0)>0, то x0 – точка минимума, а, если f(n+1)( x0)0 – точка максимума.

Для того чтобы найти экстремумы функции, введите эту функцию в ячейку. Основные примеры ввода функций для данного калькулятора указаны ниже. Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

Основные функции

  • : x^a

модуль x: abs(x)

  • : Sqrt[x]
  • : x^(1/n)
  • : a^x
  • : Log[a, x]
  • : Log[x]
  • : cos[x] или Cos[x]
  • : sin[x] или Sin[x]
  • : tan[x] или Tan[x]
  • : cot[x] или Cot[x]
  • : sec[x] или Sec[x]
  • : csc[x] или Csc[x]
  • : ArcCos[x]
  • : ArcSin[x]
  • : ArcTan[x]
  • : ArcCot[x]
  • : ArcSec[x]
  • : ArcCsc[x]
  • : cosh[x] или Cosh[x]
  • : sinh[x] или Sinh[x]
  • : tanh[x] или Tanh[x]
  • : coth[x] или Coth[x]
  • : sech[x] или Sech[x]
  • : csch[x] или Csch[е]
  • : ArcCosh[x]
  • : ArcSinh[x]
  • : ArcTanh[x]
  • : ArcCoth[x]
  • : ArcSech[x]
  • : ArcCsch[x]
  • [19.67] =19: integral part of (19.67) — выделяет целую часть числа (integerPart)
  • Источник: https://allcalc.ru/node/678

    ПОИСК

        МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ [c.21]

        Максимум и минимум функции……….. [c.814]

        Максимумы и минимумы функций. [c.86]

        По определению максимумов и минимумов функции они могут достигаться лишь внутри области определения, концы сегментов области определения не могут служить точками, в которых функция принимает экстремум. [c.87]

        Явный вид функций фг предполагается известным. Наличие ограничений вида (П.П. 4.1) означает, что из N исходных аргументов. .., х независимыми являются лишь К — п аргументов при этом все прочие переменные можно выразить через независимые аргументы. В связи с этим при решении таких, например, задач, как отыскание максимумов и минимумов функции Х, . ..

    , Хц), необходимо, вообще говоря, выразить функцию / через ее независимые аргументы. Однако последняя задача часто оказывается весьма трудоемкой, а получаемые из (П.П. 4.1) соотнощения для тех аргументов, которые не являются независимыми, очень громоздки.

    Поэтому при отыскании экстремума функций, значения аргументов которых связаны между собой некоторыми соотношениями (т. е. при отыскании условного, или относительного, экстремума), обычно используют другие методы, в рамках которых указанные выше трудности, как правило, не возникают.

    Здесь, следуя [35], кратко изложим один из наиболее распространенных методов отыскания условного экстремума, называемый обычно способом множителей Лагранжа. [c.374]

        Очевидно, A, В a Н одинаковы, когда А одинаковы, т. е. когда L занимает положения через интервалы, равные р. Таким образом, когда х принимает значения х + кр, соответствующие точки f x ) попадают на синусоиду с частотой N и амплитудой В/А, которая зависит только от Jf. Среди этих точек две соответствуют максимуму и минимуму функции f (x ) (рис. 2), а конт- [c.135]

        Контраст, определяемый по уравнению (14), изменяется в зависимости от того, для каких точек синусоиды будут приняты максимумы и минимумы функции, при наиболее благоприятных условиях одна точка синусоиды совпадает с максимумом, а другая с минимумом j тогда равно амплитуде В/А этой синусоиды.

    В наихудших условиях две последовательные точки займут симметричные положения относительно максимума или минимума синусоиды и i будет равно произведению В/А и os (nNp), который чрезвычайно мал, когда р принимает свое наибольшее значение т. е. когда ось I световода вертикальна.

    Таким образом, верхний предел контраста i в изображении есть qK N , а нижний — q/ (ЛГ) оз (nNR Кривые К Щ, К (Щ os nNR ]/ 3 ) и /С (iV) os (nA / /3) приведены на рис., 4. [c.136]

        Дифференцирование применяется для определения максимумов и минимумов функций, так как в этих точках первая производная функции равна. нулю. В точке перегиба вторая производная равна нулю. [c.752]

        Пока выполнено немного работ, посвященных изучению сложномолекулярных систем методом молекулярной динамики, Радиальная функция распределения жидкого хжорофор-ма (273°К) бшга вычислена в работе Г43У Основной образец содержал 256 частиц.

    Было показано, что максимумы и минимумы функции U(r) выражены в случае хлороформа значительно слабее, чем в случае аргона. Б этой же работе рассчитана диэлектрическая постоянная хлороформа.

    Согласие расчетного значения (4,34) с экспериментальным (5,19) можно считать вполне удовлетворительным, поскольку электронная составлящая не учитывалась. [c.235]

        На рис. 1.3 приведены также кривые T (a), Tj(a), на которых достигаются максимумы и минимумы функции g(r a,Г).

    Кривая D , обозначенная через I, представляет собой часть нулевой изоклины определяющего уравнения, которая ответственна за описание воспламе-неуия.

    Кривая AF, обозначенная через II, соответствует нижнему стационарному тепловому состоянию частицы Кривая D AF есть [c.34]

        Может казаться странным, что в только что приведенных рассуждениях начальная точка для измерения угла х выбирается произвольно, так как это означает, что максимум и минимум функции вероятности ф появляются в пространстве в произвольных положениях, которые, в противоположность случак> частицы в ящике, не определяются действительными физическими условиями. Это объясняется тем, что выражение для ф, данное в уравнении (10), в действительности не является полным. Физический смысл этой проблемы лучше уяснить при допущении, что ф представляет комплексную величину тогда вместо (10) пишем  [c.56] Смотреть страницы где упоминается термин Максимум и минимум функции: [c.136]    [c.147]    [c.291]    [c.205]    [c.217]    Смотреть главы в:

    Математические методы в химической технике Изд.4 -> Максимум и минимум функции

    Математические методы в химической технике -> Максимум и минимум функции

    Максимум функции

    Минимум

    © 2019 chem21.info Реклама на сайте

    Источник: https://www.chem21.info/info/1545106/

    Ссылка на основную публикацию