Логические операции и их свойства — справочник студента

Логические операции и их свойства - Справочник студентаЛогические операции и их свойства - Справочник студента

Логические операции и их свойства - Справочник студента

Методы вычисления

Логика выражений необходима для строения составных высказываний. Они состоят из простых выражений за счет соединения их друг с другом при помощи операций логики «не», «и», «или». Для определения ложности либо истинности рассматриваются составные символы.

Логические операции и их свойства - Справочник студента

При передачи данных через онлайн-сервисы и с помощью ЭВМ операторы используют специализированные термины. Под высказываниями подразумеваются повествовательные предложения, которые могут быть истинными (1) либо ложными (0). Операция — мыслительное действие, в результате которого изменяется объём либо содержание, образуется новое понятие.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Элементы выражения, утверждения либо записи:

  • постоянные величины;
  • объекты.

С учётом значений переменных выражение может иметь одно из следующих значений: истина либо ложь.

Составные выражения строятся из простых при помощи логических действий, которые соответствуют связкам, употребляемым в естественном языке.

Пример: значение инверсии — «неверно, что», а конъюнкции — «и», «но», «хотя». Существует определённый порядок выполнения логических операций в информатике:

Логические операции и их свойства - Справочник студента

  1. отрицание (инверсия);
  2. умножение (конъюнкция);
  3. сложное и простое сложение (дизъюнкция);
  4. следствие (импликация);
  5. тождество (эквивалентность).

Для изменения последовательности, указанной в схеме, применяются скобки. К сложным функциям относится конъюнкция.

Согласно формуле, истинно в том и только в том случае, если 2 простых высказывания являются истинными. Подобное значение возможно в одном случае, а во всех других оно ложное. Обозначение конъюнкции: &, ∧.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Виды образовательных учреждений - справочник студента

Оценим за полчаса!

Описание операций:

  • = «основателем высшей математики является Буль»;
  • = «графические исследования Шеннона используются в алгебре».

Выражение считается истинным, когда одновременно истинны два высказывания. Базовые значения исходных данных указываются в специальной таблице истинности логических операций.

Двоичные числа, которые соответствуют высказываниям, располагаются в схеме в возрастающем порядке.

В последнем столбике записывается результат выполненных операций для конкретных операндов (аргумент). Свойства логического умножения:

  • если один элемент ложный, тогда вся конъюнкция ложная для конкретного набора значений;
  • если выражения истинны, тогда всё уравнение будет истинной;
  • результат всей конъюнкции сложного высказывания не зависит от порядка следования элементов.

Логическое сложение

В информатике часто используется такой вид операции, как дизъюнкция. Случай, когда нужно исключать истинное сложение — все подвыражения ложны. Символы, которые используются для обозначения операции: +, ∨. Базис свойств сложного сложения:

  • любое подвыражение истинно, значит, вся дизъюнкция будет истинной;
  • если все определения из списка ложны, тогда вся дизъюнкция ложна.

Результат не зависит от порядка расположения знаков логической операции. Для решения дизъюнкции используются 2 выражения. Первое: = «Лейбниц применил в информатике математические символы», второе: = «Лейбниц основал бинарную арифметику».

Логические операции и их свойства - Справочник студента

В результате преобразования описанных выражений получается следующий результат: «Идея использования в информатике математических символов принадлежит Лейбницу, или он основал бинарную арифметику».

Сложное высказывание считается ложным, если одновременно неверны два первоначальных понятия. В основе записи дизъюнкции находятся нули и единицы.

Использование частиц

Инверсия — ещё одна операция, которую применяют ежедневно операторы ЭВМ для обработки и передачи данных. Принцип преобразования отрицания: каждому тезису ставится новое высказывание, противоположное первоначальному. Инверсия либо отрицание означает, что к исходному выражению приставляется частица «не» либо слово «неверно», «что». Расшифровка логической операции:

  • если первоначальное выражение является истиной, тогда его отрицание будет ложным;
  • если исходное высказывание ложное, тогда его отрицание будет истинным.

Логические операции и их свойства - Справочник студента

Чтобы править запись инверсии, применяются специальные знаки логической операции: «НЕ», «А», «¬А». Для логического отрицания характерны некоторые свойства. Считается, что «двойное отрицание» (обозначается «¬ ¬A») — следствие суждения А. Оно указывает на тавтологию логического формата и равняется значению в булевой логистике.

Высказывание «Я имею компьютер» имеет отрицание «Неверно, что я имею компьютер» либо «У меня нет компьютера». Выражение «Я не знаю японский язык» имеет отрицание «Неверно, что я не знаю японский язык» либо «Я знаю японский язык». Другой пример инверсии: «Все ученицы 8 класса — отличницы». Отрицание можно составить следующим образом:

  • «неверно, что все ученицы 8 класса — отличницы»;
  • «не все ученицы 8 класса — отличницы».

Когда строится отрицание к простому высказыванию, либо применяется оборот из русского языка «неверно, что…», либо отрицание формируется для сказуемого, тогда к глаголу рекомендуется добавить частицу «не». Логическое умножение с символом «и» должно выполняться раньше сложения с «или».

Сложную операцию можно записать в виде выражения, в состав которого входят переменные, знаки и скобки. При этом необходимо соблюдать некоторую последовательность действий:

  • инверсия;
  • конъюнкция;
  • дизъюнкция.

Логические операции и их свойства - Справочник студента

Для изменения порядка выполнения действия расставляются скобки. В конце выполненных операций проводится импликация. Это сложное выражение считается истинным в любом случае, исключение — из истины следует ложь. Операция позволяет связать 2 простых высказывания, из которых первое считается условием, а второе — следствием.

Для вычисления результата составного высказывания достаточно выяснить только значение 1 составного элемента. Если в схеме с «и» используется ложное простое высказывание, то результат составного будет ложным. Когда в составном предложении с «или» значения одного простого символа истинное, тогда результат всего выражения будет истинным.

Закон Пирса

В информатике используется булевая функция, названная в честь Пирса. Впервые стрелку Пирса ввели ученые в алгебру в 1880 г. г. Она обозначается следующим образом: ↓, «или-не». Свойства функции:

  • формирование базиса для булевых функций 2-х неизвестных;
  • построение других операций (отрицание: X↓X=¬X).

Логические операции и их свойства - Справочник студента

В информатике выражение представлено в виде элемента, который называется «операция 2ИЛИ-НЕ». Другая функция, которая часто применяется в электронике, называется штрихом Шеффера. Операция состоит из 2-х неизвестных либо бинарного элемента. Штрих используется с 1913 года. Он обозначается как |, что эквивалентно «и-не».

Его главные свойства:

  • основа функции, состоящей из 2-х переменных;
  • возможность построения иных высказываний (X ∣ X=¬X — отрицание).

В информатике операция используется с целью реализации схем путём применения типового, но дорогостоящего элемента. Из всех существующих логических операций приоритет отдаётся инверсии.

Чтобы выразить логические сущности, операторы применяют разные символы. Специалисты решают задачи в уме, передавая через сервисы только конечный результат. Для обработки данных они используют схемы всех высказываний.

Вычисления производятся быстрее на ЭВМ, компьютерах с мощным жёстким диском.

Источник: https://nauka.club/informatika/vidy-logicheskikh-operatsiy.html

Базовые логические операции

 Логика – наука о формах и способах мышления. Логические операции — такие, как определение, классификация, доказательство, опровержение и т.п. — применяются каждым человеком в его мыслительной деятельности.
Основными формами мышления являются понятие, суждение и умозаключение.

Понятие – фиксирует основные, существенные признаки объекта (обычно понятие объединяет некоторое множество — класс объектов). Высказывание (суждение) – утверждает или отрицает что-либо о свойствах объектов и отношениях между ними; высказывания – это повествовательные предложения, которые могут быть истинными или ложными, простыми(элементарными) и сложными( составными).

Умозаключение – из одного или нескольких исходных суждений (посылок) получается новое суждение (заключение).

В логике логическими операциями называют действия, вследствие которых порождаются новые понятия, возможно с использованием уже существующих. В более узком, формализованном смысле, понятие логической операции используется в математической логике и программировании.

 Сложные( составные) высказывания могут быть образованы из простых (элементарных) с помощью  логических связок ИЛИ, И, НЕ, ЛИБО…ЛИБО, ЕСЛИ…ТО и др.

Истинность сложного высказывания зависит  от истинности входящих простых высказываний и от логических связок.

Алгебра логики — это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания.

В алгебре логики рассматривается только истинность или ложность высказывания, а не его смысл. Высказывания обозначаются именами логических переменных (а, b, c, x1, x2 и т.д.), которые могут принимать лишь два значения логических констант: «истина» ( 1 ) и «ложь» ( 0 ).  Связки НЕ, И, ИЛИ заменены логическими операциями. На их основе можно записать любую логическую функцию.

Существует три основные логические операции: отрицание (операция, выражаемая словом «не»), дизъюнкция (операция, выражаемая связкой «или») и конъюнкция (операция, выражаемая связкой «и»).

Отрицание (инверсия). Инверсия истинна тогда, когда само высказывание ложно, и ложно, когда высказывание истинно.  Инверсию в алгебре логики обозначают знаком ¬ или надчеркиванием. Обозначение  ¬x читается НЕ Х .

Логические операции и их свойства - Справочник студента

Дизъюнкция (логическое сложение) двух или более высказываний ложно тогда и только тогда, когда все простые высказывания, входящие в неё ложны. Дизъюнкция (логическое сложение) соответствует логической связке ИЛИ.  Обозначают эту операцию знаком V.

 Таблица истинности

Логические операции и их свойства - Справочник студента

Конъюнкция (логическое умножение) двух и более высказываний истинно тогда и только тогда, когда все простые высказывания, входящие в неё истинны.
Конъюнкция (логическое умножение) соответствует логической связке И. Обозначают эту операцию знаком & (иногда ^)

Таблица истинности

Логические операции и их свойства - Справочник студента

Источник: http://ucheba-vmeste.blogspot.com/p/blog-page_324.html

Логические операции и выражения

Логика
Логические операции и выражения
Таблица истинности
Логический элемент

В нашей жизни бывают случаи когда нет необходимости вникать в глубину того, или иного вопроса, — достаточно и его поверхностного понимания. Так и сейчас, изучая логические операции, часть вопросов мы рассмотрим поверхностно, а часть, которая связана с программированием микроконтроллеров, подробно.

Логические операции и их свойства - Справочник студента

Логика это не просто древнегреческое слово, а целая наука, изучение которой позволяет нам правильно и здраво рассуждать, и, соответственно, делать правильные выводы из наших рассуждений, чего, однако, очень не хватает в нашем современном мире (поэтому и говорят «нелогичный человек», «нелогичный поступок»).
Рассуждая о чем-либо, мы, на основе логических заключений, делаем соответствующие выводы. К примеру, думая о своем товарище, на основе каких-то фактах, характеризующих его, мы можем сделать вывод – друг он нам, или нет (или: «и не друг, и не враг, – а так»).

В конце 19 века, группа лиц, под названием «математики», решила перевести весь наш мыслительный процесс в более понятную для них форму – математическую. И из простой, человеческой логики, появилась математическая, или – символическая логика.  В чем суть этого метода.

Любая высказанная нами мысль основывается на каких то фактах – кирпичиках, составляющих ее основу. Так вот, в математической логике эти «кирпичики» имеют только два состояния – «ложь» или «истина».
1+1 равно 2 – истинна, 1+1 не равно 2 – ложь. Все просто и понятно.

Читайте также:  Типы семейных отношений - справочник студента

А из таких «кирпичиков», а у математиков они называются – «простые выражения», которые могут быть только или «истинной», или «ложью», складываются «сложные выражения», которые тоже могут быть только или «истинными», или «ложными».

А весь этот процесс получения сложного выражения из простых можно описать «логической формулой» или, как еще говорят, – «логическим выражением».

Логические операции и их свойства - Справочник студента

Все современные цифровые технологии основываются на логических операциях, без них никуда не деться.

Все цифровые микросхемы в своей работе используют логические схемы (выполняют логические операции, в том числе и микроконтроллер).

Создавая программу, мы прописываем все действия микроконтроллера основываясь на своей логике с применением логических операций, иногда даже и не подозревая об этом, которые применяем к логическим выражениям.

Пример – «если в ходе выполнения программы получен такой результат, то дальше программа пойдет вот таким путем, а если мы получили другой результат, то программа дальше пойдет вот этим путем» – типичное выполнение логической операции.

В программировании логическая операция применяется не только к логическому выражению, но и для операций с двоичными числами, так называемые «логические побитовые (битовые) операции», которые очень сильно облегчают тяжелую жизнь программиста.

Источник: https://microkontroller.ru/programmirovanie-mikrokontrollerov-avr/logicheskie-operatsii/

Основы логики. Логические операции и таблицы истинности — Сайт-портфолио Уварова А.А

Основы логики. Логические операции и таблицы истинности

На данной странице будут рассмотрены 6 логических операций: конъюнкция, дизъюнкция, инверсия, импликация, эквивалентность и исключающие или, которых вам будет достаточно для решения сложных логических выражений. Также мы рассмотрим порядок выполнения данных логических операций в сложных логических выражениях и представим таблицы истинности для каждой логической операции. 

  • Глоссарий, определения логики
  • Высказывание — это повествовательное предложение, про которое можно определенно сказать истинно оно или ложно (истина (логическая 1), ложь (логический 0)).
  • Логические операции — мыслительные действия, результатом которых является изменение содержания или объема понятий, а также образование новых понятий.

Логическое выражение — устное утверждение или запись, в которое, наряду с постоянными величинами, обязательно входят переменные величины (объекты). В зависимости от значений этих переменных величин (объектов) логическое выражение может принимать одно из двух возможных значений: истина (логическая 1) или ложь (логический 0).

  1. Сложное логическое выражение — логическое выражение, состоящее из одного или нескольких простых логических выражений (или сложных логических выражений), соединенных с помощью логических операций.
  2. Логические операции и таблицы истинности
  3. 1) Логическое умножение или конъюнкция:
  4. Конъюнкция — это сложное логическое выражение, которое считается истинным в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными, во всех остальных случаях данное сложенное выражение ложно.
  5. Обозначение: F = A & B.
  6. Таблица истинности для конъюнкции

2) Логическое сложение или дизъюнкция:

Дизъюнкция — это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно тогда и только тогда, когда оба простых логических выраженbя ложны.Обозначение: F = A v B.

Таблица истинности для дизъюнкции

3) Логическое отрицание или инверсия:

Инверсия — это сложное логическое выражение, если исходное логическое выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное логическое выражение ложно, то результат отрицания будет истинным. Другими простыми слова, данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО.

Обозначение: F = ¬A.

Таблица истинности для инверсии

4) Логическое следование или импликация:

Импликация — это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. То есть данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В) является следствием.

  • «A → B» истинно, если из А может следовать B.
  • Обозначение: F = A → B.
  • Таблица истинности для импликации

5) Логическая равнозначность или эквивалентность:

Эквивалентность — это сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность.

«A ↔ B» истинно тогда и только тогда, когда А и B равны. Обозначение: F = A ↔ B.Таблица истинности для эквивалентности

6) Операция XOR (исключающие или)

«A ⊕ B» истинно тогда, когда истинно А или B, но не оба одновременно.Эту операцию также называют «сложение по модулю два».

1. Инверсия;2. Конъюнкция;3. Дизъюнкция;4. Импликация;

5. Эквивалентность.

Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются скобки.

Таблицы истинности можно составить и для произвольной логической функции F(a, b, c…).

В общем случае таблицы истинности имеют размер

2N  строк комбинаций для N  независимых логических переменных.

Поскольку таблица истинности выражения состоит из строк со всеми возможными комбинациями значений переменных, она полностью определяет значение выражения.

Законы алгебры логикиТе, кому лень учить эти законы, должны вспомнить алгебру, где знание нескольких способов преобразования позволяет решать очень сложные уравнения.Строго говоря, это не законы, а теоремы. Но их доказательство не входит в программу изучения. Впрочем, доказательство обычно основывается на построении полной таблицы истинности.

Замечание. Знаки алгебры логики намеренно заменены на сложение и умножение.

 Для ИЛИ, /  Для И, &  Примечание
1 A / 0 = A A & 1 = A Ничего не меняется при действии, константы удаляются
2 A / 1 = 1 A & 0 = 0 Удаляются переменные, так как их оценивание не имеет смысла
3 A / B = B / A AB = BA Переместительный (коммутативности)
4 A / ¬A = 1 Один из операторов всегда 1(закон исключения третьего)
5 A & ¬= 0 Один из операторов всегда 0
6 A / A = A A & A = A Идемпотентности (NB! Вместо A можно подставить составное выражение!)
7 ¬¬А = A Двойное отрицание
8 (B) / C = / (C) (B) / C = / (C) Ассоциативный
9 (B)&C=(A&C)/(B&C) (A&B) / C = (C)&(C) Дистрибутивный
10 (B)&(¬B) = B (A&B) / (¬A&B) = B Склеивания
11 ¬(B) = ¬B ¬(A&B) = ¬/ ¬B Правило де Моргана
12 / (A&C) = A A&(C) = A Поглощение
13 AB = ¬B и AB = ¬B→¬A Снятие (замена) импликации
14 1) AB = (A&B) / (¬AB)2) AB = (/ ¬B)&(¬B) Снятие (замена) эквивалентности

Замена операций импликации и эквивалентностиОпераций импликации и эквивалентности иногда нет среди логических операций конкретного компьютера или транслятора с языка программирования. Однако для решения многих задач эти операции необходимы. Существуют правила замены данных операций на последовательности операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции.Так, заменить операцию импликации можно в соответствии со следующим правилом:

→  B = ¬A / BДля замены операции эквивалентности существует два правила:

Логические операции и их свойства - Справочник студента

В справедливости данных формул легко убедиться, построив таблицы истинности для правой и левой частей обоих тождеств.

Логические выражения и множестваНа числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 10] и Q = [6, 14]. Выберите такой отрезок A, что формула ( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) / (x ∈ Q) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

  1. [0, 3]
  2. [3, 11]
  3. [11, 15]
  4. [15, 17]

Решим уравнение: ( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) / (x ∈ Q)=1 методом подстановки. В уравнение вместо P, Q впишем сами отрезки: [2, 10] и [6, 14].

(x ∈ А)=1 для всех вариантов.

Вариант ответаИнтервал AЗначения x для проверки(границы интервала)((x ∈ А) → (x ∈ [2, 10]) ) / (x ∈ [6, 14])
1 [0, 3] 0,3 (1→0)/0=0(1→1)/0=1
2 [3, 11] 3,11 (1→1)/0=1(1→0)/1=1
3 [11, 15] 11,15 (1→0)/1=1(1→0)/0=0
4 [15, 17] 15,17 (1→0)/0=0(1→0)/0=0

Ответ 2 вариант [3,11] 

Источник: https://www.sites.google.com/site/uvarovaap/family-map/11-klass/osnovy-logiki-logiceskie-operacii-i-tablicy-istinnosti

Информатика

  • Понятие — форма мышления, в которой отражаются существенные отличительные признаки предметов.
  • Понятие имеет две основные логические характеристики: содержание и объем.
  • м понятия называется совокупность существенных признаков, отраженных в этом понятии.
  • Объем понятия — это множество предметов, каждому из которых принадлежат признаки, относящиеся к содержанию понятия.
  • Совместимые и несовместимые понятия

По объему понятия могут быть совместимыми или несовместимыми. Объемы совместимых понятий совпадают полностью или частично (т.е. существуют объекты, имеющие признаки обоих понятий).

Объемы несовместимых понятий не включают ни одного общего элемента.

Отношения совместимых понятий:

  1. l  пересечение (часть элементов объема каждого понятия входит в объем другого понятия); например, «мальчик»–«болельщик»;
  2. l  тождество (полное совпадение объемов понятий);
  3. l  подчинение (объем одного понятия полностью входит в объем другого); например, «акула»–«рыба».

Отношения несовместимых понятий:

  • l  соподчинение; например, «рыба»–«птица» (соподчинены понятию «животное»);
  • l  противоположность (объект, не попадающий под одно понятие, может не попадать и под другое); например, «черный»–«белый»;
  • l  противоречие (объект принадлеит объему либо одного, либо другого понятия); например, «светящийся объект»–«несветящийся объект».

Высказывание

Высказывание (суждение) — форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах, или отношениях.

Высказывание характеризуется своим содержанием и формой.

Умозаключение

Умозаключение — форма мышления, посредством которой из одного или нескольких высказываний, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем заключение.

С точки зрения содержания мышление может давать истинное или ложное отражение мира, формально же оно может быть логически правильным или неправильным.

Логические операции

Высказывание, включающее другие высказывания, называют сложным. Для образования сложных высказываний используют логические операции (связки). Рассмотрим некоторые из них (в порядке приоритета при вычислении логических выражений).

Инверсия (отрицание)

  1. Инверсия — это логическая операция, образующая сложное высказывание, истинное тогда и только тогда, когда исходное высказывание ложно.
  2. В выражениях обозначается ¬A или Ā.
  3. Читается «НЕ» (например, «не А»).

Конъюнкция (логическое умножение)

  • Конъюнкция — это логическая операция, образующая сложное высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба исходных высказывания.
  • В выражениях обозначается AÙ B или A&B (знак может не указываться — AB).
  • Читается «И» (например, «А и Б»)

Дизъюнкция (логическое сложение)

  1. Дизъюнкция — это логическая операция, образующая сложное высказывание, истинное тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных высказываний.
  2. В выражениях обозначается AÚ B, иногда A+B.
  3. Читается «ИЛИ» (например, «А или Б»)

Импликация (следование)

Импликация — это логическая операция, образующая сложное высказывание, ложное тогда и только тогда, когда первое исходное высказывание истинно, а второе — ложно.

В выражениях обозначается A Þ B или A ® B.

Читается «ЕСЛИ…ТО» (например, «если А, то Б»)

Эквивалентность (равнозначность)

  • Эквивалентность — это логическая операция, образующая сложное высказывание, истинное тогда и только тогда, когда значения исходных высказываний совпадают.
  • В выражениях обозначается A Û B или A º B.
  • Читается «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА» (например, «А тогда и только тогда, когда Б»)

Таблицы истинности логических операций

Таблица истинности — таблица, в которой указаны значения логической функции для всех возможных комбинаций значений ее аргументов.

Число комбинаций (строк таблицы) определяется как 2N, где N — количество аргументов (т. е. при двух аргументах число строк — 4, при 3 — 8 и так далее).

A B AB
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
A B AB
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
A B AÞB
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
A B AÛB
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Законы логики

Наиболее общие связи между мыслями выражаются в формально-логических законах. При решении логических задач эти законы позволяют нам упрощать формулы, проводить умозаключения, выполнять доказательства.

Закон исключенного третьего

Высказывание может быть либо ложным, либо истинным. Третьего не дано.

A ∨ ¬A = 1

Закон непротиворечия

Высказывание не может противоречить самому себе.

A ∧ ¬A = 0

Закон двойного отрицания

Если дважды отрицать высказывание, то получится исходное.

¬¬A = A

Законы повторения (идемпотентности)

Сколько ни повторяй, значение не изменится.

A ∨ A = A                   A ∧ A = A

Законы коммутативности (переместительные)

От перестановки высказываний значение не изменится.

A ∨ B = B ∨ A             A ∧ B = B ∧ A

Законы ассоциативности (сочетательные)

От порядка выполнения операций конъюнкции (дизъюнкции) значение не изменится.

(A ∨ B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C)                               (A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C)

Законы дистрибутивности (распределительные)

A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B)∧(A ∨ C)


A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B)∨(A ∧ C)

Законы поглощения

A ∧ (A ∨ B) = A                      A ∨ (A ∧ B) = A

Законы де Моргана

¬(A∧B) = ¬A ∨ ¬B                 ¬(A∨B) = ¬A ∧ ¬B

Свойства констант

  1. A ∧ 0 = 0         A ∨ 0 = A
  2. 
A ∧ 1 = A    A ∨ 1 = 1
  3. Доказательства законов логики производятся:
  4. l  с помощью тождественных преобразований выражений;
  5. l  с помощью построения таблиц истинности;
  6. l  с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Источник: https://moodle.kstu.ru/mod/book/view.php?id=21621

Операции: арифметические, логические, отношения, сдвига

 

Над объектами в языке Си могут выполняться различные операции:

  • операции присваивания;
  • операции отношения;
  • арифметические;
  • логические;
  • сдвиговые операции.

Результатом выполнения операции является число. Операции могут быть бинарными или унарными.

Бинарные операции выполняются над двумя объектами, унарные — над одним.

Операция присваивания

Операция присваивания обозначается символом = и выполняется в 2 этапа:

  • вычисляется выражение в правой части;
  • результат присваивается операнду, стоящему в левой части:

объект = выражение;

Пример:

int a = 4; // переменной a присваивается значение 4int b;b = a + 2;   // переменной b присваивается значение 6, вычисленное в правой части

В случае если объекты в левой и правой части операции присваивания имеют разные типы используется операция явного приведения типа.

объект = (тип)выражение;

Пример:

float a = 241.5;// Перед вычислением остатка от деления a приводится к целому типуint b = (int)a % 2;  // b = 1

Операции отношения

Основные операции отношения:

  • == эквивалентно — проверка на равенство;
  • != не равно — проверка на неравенство;
  • больше;
  • = больше или равно.

Операции отношения используются при организации условий и ветвлений. Результатом этих операций является 1 бит, значение которого равно 1, если результат выполнения операции — истина, и равно 0, если результат выполнения операции — ложь.

Арифметические операции

Основные бинарные операции, расположенные в порядке уменьшения приоритета:

  • * — умножение;
  • / — деление;
  • + — сложение;
  • — вычитание;
  • % — остаток от целочисленного деления.

Основные унарные операции:

  • ++ — инкрементирование (увеличение на 1);
  • –– — декрементирование (уменьшение на 1);
  • — изменение знака.

Результат вычисления выражения, содержащего операции инкрементирования или декрементирования, зависит от того, где расположен знак операции (до объекта или после него).

Читайте также:  Функциональное состояние организма - справочник студента

Если операция расположена до объекта, то сначала происходит изменение значения переменной на 1, а потом это значение используется для выполнения следующих операций.

Если операция ++ или расположена после переменной, то сначала выполняется операция, а потом значение переменной изменяется на 1.

Пример:

int a=2;int b=3;int c;c = a*++b;// c=8, поскольку в операции умножения//уже b=4 int a=2;int b=3;int d;d = a*b++;// d=6, поскольку в операции умножения b=3,// следующим действием будет b=4

Бинарные арифметические операции могут быть объединены с операцией присваивания:

  • объект *= выражение; // объект = объект * выражение
  • объект /= выражение; // объект = объект / выражение
  • объект += выражение; // объект = объект + выражение
  • объект -= выражение; // объект = объект — выражение
  • объект %= выражение; // объект = объект % выражение

Логические операции

Логические операции делятся на две группы:

Условные логические операции чаще всего используются в операциях проверки условия if и могут выполняться над любыми объектами. Результат условной логической операции:

  • 1 если выражение истинно;
  • 0 если выражение ложно.
  • Вообще, все значения, отличные от нуля, интерпретируются условными логическими операциями как истинные.
  • Основные условные логические операции:
  • && — И (бинарная) — требуется одновременное выполнение всех операций отношения;
  • || — ИЛИ (бинарная) — требуется выполнение хотя бы одной операции отношения;
  • ! — НЕ (унарная) — требуется невыполнение операции отношения.
  1.  
    Побитовые логические операции оперируют с битами, каждый из которых может принимать только два значения: 0 или 1.
  2. Основные побитовые логические операции в языке Си:
  • & конъюнкция (логическое И) — бинарная операция, результат которой равен 1 только когда оба операнда единичны (в общем случае — когда все операнды единичны);
  • | дизъюнкция (логическое ИЛИ) — бинарная операция, результат которой равен 1 когда хотя бы один из операндов равен 1;
  • ~ инверсия (логическое НЕ) — унарная операция, результат которой равен 0 если операнд единичный, и равен 1, если операнд нулевой;
  • ^ исключающее ИЛИ — бинарная операция, результат которой равен 1, если только один из двух операндов равен 1 (в общем случае если во входном наборе операндов нечетное число единиц).

 
Для каждого бита результат выполнения операции будет получен в соответствии с таблицей.

a b a & b a | b ~a a ^ b
1
1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1

Пример:

unsigned char a = 14;    // a = 0000 1110unsigned char b = 9;     // b = 0000 1001unsigned char c, d, e, f;c = a & b;               // c = 8 = 0000 1000d = a | b;               // d = 15 = 0000 1111e = ~a;                  // e = 241 = 1111 0001f = a ^ b;               // f = 7 = 0000 0111

Побитовые операции позволяют осуществлять установку и сброс отдельных битов числа. С этой целью используется маскирование битов. Маски, соответствующие установке каждого бита в байте, представлены в таблице

Бит Маска
0x01
1 0x02
2 0x04
3 0x08
4 0x10
5 0x20
6 0x40
7 0x80

Для установки определенного бита необходимо соответствующий бит маски установить в 1 и произвести операцию побитового логического ИЛИ с константой, представляющей собой маску:

12

unsigned char a = 3;a = a | 0x04;  // a = 7, бит 2 установлен

Для сброса определенного бита необходимо соответствующий бит маски сбросить в 0 и произвести операцию побитового логического И с константой, представляющей собой инверсную маску:

12

unsigned char a = 3;a = a & (~0x02);  // a = 1, бит 1 сброшен

Бинарные побитовые логические операции могут быть объединены с операцией присваивания:

  • объект &= выражение; // объект = объект & выражение
  • объект |= выражение; // объект = объект | выражение
  • объект ^= выражение; // объект = объект ^ выражение

Сдвиговые операции

Операции арифметического сдвига применяются в целочисленной арифметике и обозначаются как:

  • >> — сдвиг вправо;
  •  1; // b = 0000 0110 >> 1 = 0000 0011 = 3

    Арифметический сдвиг целого числа вправо >> на 1 разряд соответствует делению числа на 2.
    Арифметический сдвиг целого числа влево

Источник: https://prog-cpp.ru/c-operation/

Конспект на тему "Свойства логических операций"

   С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой.

логической формулы:

  1. Всякая логическая переменная и символы «истина» («1») и «ложь» («0») — формулы.

  2. Если А и В — формулы, то , (А•В), (А v В), (А=>B), (АВ) — формулы.

  3. Никаких других формул в алгебре логики нет.

   В п. 1 определены элементарные формулы; в п. 2 даны правила образования из любых данных формул новых формул.

   В качестве примера рассмотрим высказывание «если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог«. Это высказывание формализуется в виде (A v B)=>C; такая же формула соответствует высказыванию «если Игорь знает английский или японский язык, то он получит место переводчика».

   Как показывает анализ формулы (A v B)=>C , при определённых сочетаниях значений переменных A, B и C она принимает значение «истина», а при некоторых других сочетаниях — значение «ложь» (разберите самостоятельно эти случаи). Такие формулы называются выполнимыми.

   Некоторые формулы принимают значение «истина» при любых значениях истинности входящих в них переменных. Таковой будет, например, формула А v, соответствующая высказыванию «Этот треугольник прямоугольный или косоугольный«.

Эта формула истинна и тогда, когда треугольник прямоугольный, и тогда, когда треугольник не прямоугольный. Такие формулы называются тождественно истинными формулами или тавтологиями.

Высказывания, которые формализуются тавтологиями, называются логически истинными высказываниями.

   В качестве другого примера рассмотрим формулу А•, которой соответствует, например, высказывание «Катя самая высокая девочка в классе, и в классе есть девочки выше Кати«.

Очевидно, что эта формула ложна, так как либо А, либо обязательно ложно. Такие формулы называются тождественно ложными формулами или противоречиями.

Высказывания, которые формализуются противоречиями, называются логически ложными высказываниями.

   Если две формулы А и В «одновременно», то есть при одинаковых наборах значений входящих в них переменных, принимают одинаковые значения, то они называются равносильными.

   Равносильность двух формул алгебры логики обозначается символом «=». Замена формулы другой, ей равносильной, называется равносильным преобразованием данной формулы.

Как упростить логическую формулу?

   Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения формул или приведения их к определённому виду путем использования основных законов алгебры логики.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), тогда как другие преобразования основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).

  •    Покажем на примерах некоторые приемы и способы, применяемые при упрощении логических формул:
  • 1)   (законы алгебры логики применяются в следующей последовательности: правило де Моргана, сочетательный закон, правило операций переменной с её инверсией и правило операций с константами);
  • 2)   (применяется правило де Моргана, выносится за скобки общий множитель, используется правило операций переменной с её инверсией);
  • 3)   (повторяется второй сомножитель, что разрешено законом идемпотенции; затем комбинируются два первых и два последних сомножителя и используется закон склеивания);
  • 4)   (вводится вспомогательный логический сомножитель (); затем комбинируются два крайних и два средних логических слагаемых и используется закон поглощения);
  • 5)   (сначаладобиваемся, чтобы знак отрицания стоял только перед отдельными переменными, а не перед их комбинациями, для этого дважды применяем правило де Моргана; затем используем закон двойного отрицания);
  • 6)   (выносятся за скобки общие множители; применяется правило операций с константами);
  • 7)   (к отрицаниям неэлементарных формул применяется правило де Моргана; используются законы двойного отрицания и склеивания);
  • 8)   (общий множитель x выносится за скобки, комбинируются слагаемые в скобках — первое с третьим и второе с четвертым, к дизъюнкции применяется правило операции переменной с её инверсией);
  • 9)   (используются правило де Моргана, закон двойного отрицания и закон поглощения).

   Из этих примеров видно, что при упрощении логических формул не всегда очевидно, какой из законов алгебры логики следует применить на том или ином шаге. Навыки приходят с опытом.

Источник: https://infourok.ru/konspekt-na-temu-svoystva-logicheskih-operaciy-2915526.html

Логические операции и их свойства

Умножение в логических процессах — сложная и трудоемкая операция, не всегда являющаяся истиной. Обязательное и единственное условие для такого результата — истина пары простых выражений и ложность всех остальных ситуаций умножения.

Конъюнкция как логическая операция и истина для процесса конъюнкции отражена в таблице номер 1:

Логическое умножение и основные качества конъюнкции:

  • Конъюнкция не будет являться истиной в данной выборке, при условии в котором, хотя бы один её подпункт не является истиной среди нескольких данных переменных.
  • Весь процесс умножения не является ложным, при условии истинности этого процесса умножения на определенном отрезке переменных.
  • Вне зависимости от последовательности представления подпунктов весь процесс умножения будет неизменным.

Процесс сложения в логических операциях (понятие о дизъюнкции и объединениях)

Объемный логический процесс, обладающий практически постоянным свойством истинности (кроме ситуаций, когда все варианты являются ложью) — это дизъюнкция.

Процесс истинности в процессе сложения представлен в таблице:

Дизъюнкция и свойства для нее:

  • Весь процесс сложения в логических операциях становится истинным для имеющийся выборки, при условии, что хотя бы единственная её составляющая имеет дизъюнкцию — истину.
  • Дизъюнкция будет носить ложный характер, в ситуации при которой все выборки на некотором отрезке данных — ложь.
  • Вне зависимости от последовательности представления подпунктов — значение результатов процесса сложения будет оставаться неизменным.

Процесс отрицания в логических операциях (понятие о логических отрицаниях)

Логическое отрицание позволяет изменить исходник первичного утверждения путем добавления терминов «не», «неверно» и в исходе приводи к следующим выводам: при истине первичного утверждения — ложь, при лжи первичного утверждения — правда.

Логическое отрицание и/или инверсия в таблице истинности:

!!!

Свойства процесса отрицания:

1. Понятие «двойное отрицание» !!! — итог первичного утверждения, своеобразная тавтология по своей логической структуре (эквивалентность в логике) и само первичное утверждение в булевом ответвлении логики.

Процесс следования в логических операциях (понятие об импликации)

Импликация в логике это обширная последовательность, являющаяся истиной практически всегда; единственное исключение в данной ситуации – это вытекание непосредственной лжи из первоначальной истины.

Таким образом логическое следование образует взаимосвязь между парой простейших логических выводов, со следующим видом представления: первый компонент – условие, второй компонент – вывод из этого условия.

Обозначается: !!!

Импликация. Логическое выражение представлено в таблице истинности:

!!!

Процесс следования обладает следующими свойствами:

  • !!!
  • Импликация !!! будет соответствовать лжи, при условии если !!! !!!
  • Следование !!! будет являться истинным при любой выборке значения !!!, при данных, что !!! (Таким образом становится возможной последовательность «истинность рождается из лжи»)

Процесс равнозначности в логических операциях (понятие об логических равнозначностях и эквивалентности)

Эквивалентность в логике – сложная структура логического характера, являющееся истиной в одинаковых данных переменных !!!

Обозначается следующим образом: !!!

Процесс равнозначности можно представить в таблице истинности:

!!!

Равнозначность/эквивалентность имеет ряд особенностей:

  • Процесс равнозначности является истинным на наборе переменных !!! одинакового отрезка
  • КНФ !!!
  • ДНФ !!!

Логические операции и процесс сложения по модулям (понятие о строгой дизъюнкции и об совокупностях пары множеств в отсутствии пересечений, логическое сложение)

  • Строгий процесс сложения по модулям не будет являться ложью лишь при наличии неравнозначных аргументов.
  • Если имеется выборка, которая содержит более двух переменных, итог выполненного исчисления будет истинным лишь при наличии числа аугментов строго равным единице, а количество таких выборок обязательно – нечетное число.
  • Обозначение происходит следующим образом:
  • !!! – если используется любой язык программирования
  • !!! – если используется любой язык программирования

Процесс истинности при операциях дизъюнкции представлен в следующей таблице:

!!!

Свойства, характерные для процесса сложения по модулям:

  • !!! – процесс идемпотентности
  • !!! – процесс отрицания
  • !!! – процесс получения нуля
  • !!! – процесс ассоциотивности
  • !!! – процесс коммутативности
  • !!! – процесс поглощения
  • !!! – процесс сравнения по модулю

Стрелка Пирса

Стрелка Пирса это особая функция логики, носящая название «бинарная» или по другому «булева», подразумевающая под собой деятельность с парой переменных одновременно. Подобное название функция получила в честь своего создателя Чарльза Пирса. Применяется в науки логической алгебры с восьмидесятых годов девятнадцатого века.

Приянтое обозначение: !!!

Истинность для функции стрелки Пирса представлена следующей таблице:

!!!

Основные свойства стрелки Пирса:

  1. 1. Данное понятие, наряду с понятиями о конъюнкции, дизъюнкции, отрицании, является краеугольным для понимания бинарного функционала пары переменных.
  2. 2. Стрелка Пирса является начальным проводником и основой для создания любого другого логического оператора. К примеру: !!! – отрицание, !!! – дизъюнкция, !!! – конъюнкция, !!! – импликация.

Стрелка Пирса – частый представитель электронных носителей, где имеет собственное обозначение !!!

Штрих Шеффера

Бинарный функционал при паре переменных значений или, так называемая «булевая операция логики». Впервые данный термин предложен в начале двадцатого века, ученым Генри Шеффером.

Применяемое обозначение: !!!

Функционал истины для данного понятия представлен в таблице:

!!!

Основные свойства штриха Шеффера:

  • 1. Данное понятие – краеугольное основание для создания всего бинарного функционала для пары переменных.
  • 2. Штрих Шеффера используется как старт для создания других операционных действий. К примеру: !!! – процесс отрицания, !!! – процесс конъюнкции, !!! – процесс дизъюнкции, !!! – создание константы.

В электронных носителях, применение штриха Шеффера характеризует возможность создание единого привычного элемента. Однако, стоит учитывать высокую материальную затрату при создании подобного варианта.

Последовательность реализации логических действий в операциях сложного логического представления

  • 1 этап: Процесс отрицания (процесс инверсии)
  • 2 этап: Процесс логического умножения (процесс конъюнкции)
  • 3 этап: Процесс логического сложения (процесс строгой дизъюнкции)
  • 4 этап: процесс следствия (процесс импликации)
  • 5 этап: Процесс тождества (процесс эквивалентности)

Использование такого свойства, как применение скобок может позволить скорректировать представленную последовательность.

Логические операции в информатике: основные функции, признаки. Свойства логических операций

Если представить определенную выборку из !!! переменных логики можно обнаружить количество разнообразных значений, равных !!!.

Истинность, если представить её в таблице для логического оператора, будет выглядеть как совокупность !!! столбцов и !!! строк.

Источник: https://sciterm.ru/spravochnik/logicheskie-operacii-i-ih-svojstva/

Ссылка на основную публикацию