Геометрический смысл дифференциала — справочник студента

Рассмотрим задачу о проведении касательной к произвольной плоской кривой. Пусть – дуга плоской кривой, – точка этой кривой, – секущая (рисунок 1.1). Если точка движется по кривой к точке , то секущая поворачивается вокруг точки и стремится к некоторому предельному положению .

Касательной к кривой в точке называется прямая , которая представляет собой предельное положение секущей при стремлении по кривой точки к точке (рисунок 1.1).

Рисунок 1.1 – Секущая

И касательная

Если предельного положения секущей не существует, то говорят, что в точке провести касательную нельзя. Это бывает в случае, когда точка является Точкой излома, или Заострения, кривой (рисунок 1.2, а, б, в).

Рисунок 1.2 – Точки излома графика функции

Рисунок 1.3 – Геометрический смысл касательной

Предположим, что касательная к кривой в точке существует. Угловой коэффициент секущей есть

Если , то точка движется по кривой к точке и секущая стремится к своему предельному положению . Таким образом,

Отсюда следует Геометрический Смысл производной: производная от функции при равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой .

Уравнение касательной имеет вид

Так как угловые коэффициенты касательной и нормали связаны условием перпендикулярности , то Уравнение нормали в точке имеет вид:

Углом между кривыми называют угол между касательными к кривым в точке их пересечения.

Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции в точке изображается приращением ординаты точки касательной, проведенной в к линии (рисунок 1.4).

Рисунок 1.4 – Геометрический смысл дифференциала

, (1.5)

А мгновенная скорость ее изменения:

. (1.6)

Механический смысл производной: производная – математическая модель мгновенной скорости процесса, описываемого функцией .

В зависимости от содержательной сущности функции можно получить широкий круг математических моделей скорости протекания процессов. Рассмотрим некоторые из них.

1 Пусть материальная точка движется неравномерно и – функция, устанавливающая зависимость пути от времени . Тогда мгновенная скорость движения в момент времени есть производная от пути по времени :

.

Дифференциал равен пути, который прошла бы рассматриваемая точка за промежуток времени , начиная с момента , если движение на этом участке равномерно со скоростью . Этот путь отличается от истинного пути на бесконечно малую более высокого порядка, чем : при .

• 2 Пусть – функция, описывающая процесс изменения скорости неравномерного движения в зависимости от времени . Тогда мгновенное ускорение материальной точки в фиксированный момент времени есть производная от скорости по времени :
• .
• 3 Пусть – функция, описывающая процесс изменения количества теплоты, сообщаемой телу при нагревании его до температуры . Тогда теплоемкость тела есть производная от количества теплоты по температуре :
• .

4 Пусть необходимо определить линейную плотность неоднородного тонкого стержня длиной , где – масса стержня, концы которого имеют координаты и (предполагается, что ось направлена по стержню). Ясно, что масса стержня является функцией : . Тогда линейная плотность неоднородного тонкого стержня в точке есть производная от массы по длине :

.

5 Пусть – функция, описывающая процесс изменения магнитного потока в зависимости от времени . Тогда мгновенное значение электродвижущей силы индукции равно скорости изменения магнитного потока, т. е. производной от магнитного потока по времени :

1. 6 Пусть – функция, описывающая процесс изменения заряда в колебательном контуре в зависимости от времени . Тогда сила тока в контуре в момент времени равна производной заряда по времени :
2. .

Дифференциал равен количеству электричества, которое бы протекало через поперечное сечение проводника за промежуток времени , если бы сила тока была постоянной и равной силе тока в момент времени . При этом при .

Источник: http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/differentcialnoe-ischislenie-funktcii-deistvitelnoi-peremennoi-prakticheskoe-posobie/01-3-geometricheskii-i-fizicheskii-smysl-proizvodnoi-i-differentciala

Понятие дифференциала функции одной переменной и его геометрический смысл

Понятие и геометрический смысл дифференциала

Определение. Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции.

Дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной x (аргумента).

Это записывается так: или или же

Почему дифференциал можно использовать в приближенных вычислениях?

Дифференциал, является главной, линейной относительно частью приращения функции; чем меньше , тем большую долю приращения составляет эта часть. В этом можно убедиться, мысленно передвигая перпендикуляр, опущенный из точки P (см. рисунок) к оси Ox, ближе к началу координат. Поэтому при малых значениях (и при ) приращение функции можно приближенно заменить его главной частью , т.е.

О разных формах записи дифференциала Дифференциал функции в точке x и обозначают или Следовательно, (1) или (2)

поскольку дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной. Замечание. Нужно помнить, что если x – исходное значение аргумента, а — наращенное значение, то производная в выражении дифференциала берётся в исходной точке x ; в формуле (1) этого не видно из записи.Дифференциал функции можно записать в другой форме: (3)

или (4)

30. Свойства дифференциала.

• Свойства дифференциала
• Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной:
• (С – постоянная величина) (5)
• (6) (7)
• (8) (9)
• Формулы (5) – (9) получаются из соответствующих формул для производной умножением обеих частей каждого равенства на .
• Применение дифференциала в приближенных вычислениях
• Установленное во втором параграфе приближенное равенство
• или (10)
• позволяет использовать дифференциал для приближенных вычислений значений функции.
• Запишем приближенное равенство более подробно. Так как
• а то или
• (11)
• Абсолютная и относительная погрешности приближенных вычислений

Пользуясь приближенным значением числа, нужно иметь возможность судить о степени его точности. С этой целью вычисляют его абсолютную и относительную погрешности.

Абсолютная погрешность приближенного числа равна абсолютной величине разности между точным числом и его приближенным значением: (12)

Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности этого числа к абсолютной величине соответствующего точного числа:

(13) Если точное число неизвестно, то (14)

31. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Как уже известно, приращение ∆у функции у=ƒ(х) в точке х можно представить в виде ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=dy+α•∆х. Отбрасывая бесконечно малую α•∆х более высокого порядка, чем ∆х, получаем приближенное равенство ∆у≈dy, (3)

причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆х.

Источник: https://cyberpedia.su/18x1f4f.html

Дифференциал функции и его геометрический смысл

Дифференциалом функции в называется главная, линейная относительно , часть приращения функции.

Покажем, что и эквивалентные бесконечно малые при

• Геометрический смысл дифференциала:
• Проведем к графику функции в точку касательную и рассмотрим ординату этой касательной для точки На рисунке Из прямоугольного треугольника имеем: Но, согласно геометрическому смыслу производной, Поэтому Это означает, что дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда получает приращение
• Применение дифференциала в приближённых вычислениях.

Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0' = f '(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.

Как мы уже выяснили приращение функции Δyможно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dyили Δy»f'(x0)·Δx.

Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f'(x0)·Δx.

1. Откуда
2. f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx
3. Инвариантность формы первого дифференциала

Если x — независимая переменная, то dx = x — x0 (фиксированное приращение). В этом случае имеемdf (x0) = f'(x0)dx. (3)

Если x = φ(t) — дифференцируемая функция, то dx = φ'(t0)dt. Следовательно,

т. е. первый дифференциал обладает свойством инвариантности относительно замены аргумента.

• Непрерывность дифференцируемой функции
• Если функция y = f (x) имеет производную в точке х = х0, то говорят, что при данном значении аргумента х = х0 функция дифференцируема.
• Если функция дифференцируема в каждой точке интервала (a, b), то говорят, что она дифференцируема на этом интервале.
• Если функция дифференцируема в некоторой точке х = х0, то она в этой точке непрерывна.
• Доказательство. Пусть в точке х = х0 существует производная
• Так как разность между функцией и её пределом есть бесконечно малая величина, то из определения производной следует соотношение

где γ (Δx) — является бесконечно малой величиной своего аргумента. Тогда Δy = f '(x0)·Δx + γ (Δx)·Δx и откуда следует, что Δy → 0 при Δx → 0, а это означает непрерывность функции у = f (x) в точке х0. Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Однако и непрерывность функции не гарантирует существование производной в некоторой точке.

Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя.

Теорема Ролля

Теорема 1.1. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех его внутренних точках, а на концах отрезка , обращается в ноль, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .

Следует отметить, что данная теорема справедлива и в том случае, когда на концах отрезка функция не обращается в ноль, но принимает равные значения .

Геометрический смысл данной теоремы следующий: если непрерывная кривая пересекает ось в двух точках , или принимает в них равные значения, то, по крайней мере, в одной точке между и касательная к кривой параллельна оси .

Необходимо отметить, что если не во всех точках у рассматриваемой функции существует производная, то теорема может не выполняться. Это касается, например, функции (ри Данная функция непрерывна на отрезке и обращается в ноль на его концах, но ни в одной точке внутри отрезка производная не равна нулю.

Теорема Лагранжа

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .

Согласно теореме Ролля в точке производная , то есть и ,

что и требовалось доказать.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа следующий: внутри отрезка существует, по крайней мере, одна точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей кривую на данном отрезке. В частности, при теорема переходит в теорему Ролля.

Теорема Коши

Данная функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление ее в точках и дает: . Значит, функция удовлетворяет требованиям теоремы Ролля, то есть существует хотя бы одна точка , в которой .

В случае, когда , теорема Коши переходит в формулировку теоремы Лагранжа.

Правило Лопиталя

Теорема. Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы во всех точках полуинтервала и при совместно стремятся к нулю или бесконечности. Тогда, если отношение их производных имеет предел при , то этот же предел имеет отношение и самих функций, то есть .

50ВОПРОСФормула Тейлора и различные формы её остаточного члена. Основные разложения элементарных функций по формуле Тейлора.

Теорема:

· Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки , · Пусть · Пусть — произвольное положительное число, тогда: точка при или при :

1. Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).
2. [править]Различные формы остаточного члена
3. В форме Лагранжа:
4. В форме Коши:
5. В интегральной форме:
6. Разложение основных элементарных функций
7. — Положив x0= и вычислив соответствующие производные в нуле, получим формулы Тейлора для основных элементарных функций:

• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;

51 ВОПРОСЭкстремумы функции. Теорема Ферма. Необходимые и достаточные условия экстремума.

в точке x0 функция достигает экстремума, если для любых x из некоторой окрестности точки x0 выполняется неравенство f (x) ≤ f (x0) (минимум) илиf (x) ≥ f (x0) (максимум).

Теорема Ферма. Если функция f (x) дифференцируема в точке x0 и достигает в ней экстремума, то

Необходимое условие экстремума. Во всех точках экстремума производная функции не существует или равна нулю.

Обратное, вообще говоря, неверно. Так, точка x = 0 функции y = x3 не является ни максимумом, ни минимумом.

Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками функции. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками. Таким образом, все экстремумы являются критическими точками

Источник: https://megaobuchalka.ru/11/12927.html

Геометрический смысл дифференциала (Лекция №7)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Пусть имеем функцию y=f(x), где x – независимая переменная.

Тогда дифференциал этой функции dy=f'(x)dx также зависит от переменной x, причем от x зависит только первый сомножитель f'(x) , а dx = Δx от x не зависит (приращение в данной точке x можно выбирать независимо от этой точки). Рассматривая dy как функцию x, мы можем найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала данной функции y=f(x) называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d2y: d(dy)=d2y.

Найдем выражение второго дифференциала. Т.к. dx от x не зависит, то при нахождении производной его можно считать постоянным, поэтому

d2y = d(dy) = d[f '(x)dx)] = [f '(x)dx]'dx = f ''(x)dx·dx = f ''(x)(dx)2.

Принято записывать (dx)2 = dx2. Итак, d2у= f''(x)dx2.

• Аналогично третьим дифференциалом или дифференциалом третьего порядка функции называется дифференциал от ее второго дифференциала:
• d3y=d(d2y)=[f ''(x)dx2]'dx=f '''(x)dx3.
• Вообще дифференциалом n-го порядка называется первый дифференциал от дифференциала (n – 1)-го порядка: dn(y)=d(dn-1y)
• Отсюда, пользуясь дифференциалами различных порядков, производную любого порядка можно представить как отношение дифференциалов соответствующего порядка:

1. ПРОИЗВОДНАЯ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
2. Пусть значения двух переменных x и y связаны между собой некоторым уравнением, которое символически запишем так:
3. Если на некотором множестве D каждому значению переменной x соответствует единственное значение y, которое вместе с x удовлетворяет уравнению (1), то будем говорить, что это уравнение задает неявную функцию y=f(x).
4. Из определения следует, что для любой неявной функции y=f(x), заданной уравнением (1), имеет место тождество F(x, f(x)) ≡ 0, справедливое при всех x Î D.

Например, уравнение x2 + y2 – a2 = 0 неявно определяет две элементарные функции . Действительно, после подстановки в исходное уравнение этих значений получим равенство x2+(a2–x2) – a2 = 0.

Однако, не всякую неявно заданную функцию можно представить явно, т.е. в виде y=f(x).

Например, функции, заданные уравнениями y2– y – x2=0 или , не выражаются через элементарные функции, т.е. эти уравнения нельзя разрешить относительно y.

Заметим, что каждая явная функция y=f(x) может быть представлена и как неявная y–f(x) = 0.

Таким образом, неявная функция – это определенный способ задания зависимости между переменными x и y.

Чтобы найти производную у' неявной функции F(x, y)=0, нужно обе части этого уравнения продифференцировать по x, рассматривая у как функцию от x, и из этого полученного уравнения найти искомую производную y'. Чтобы найти y'', нужно уравнение F(x, y)=0 дважды продифференцировать по x и выразить y'' и т.д.

Примеры. Найти производные функций заданных неявно.

• Итак, производная неявной функции выражается, как правило, не только через аргумент, но и через функцию.
• ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
• Пусть даны два уравнения

x=x(t),y=y(t), где t Î [T1, T2].

(1)

Каждому значению t из [T1, T2] соответствуют определенные значения x и y. Если рассматривать значения x и y как координаты точки на плоскости xOy, то каждому значению t будет соответствовать определенная точка плоскости.

Когда t изменяется от T1 до T2, эта точка на плоскости описывает некоторую кривую.

Уравнения (1) называются параметрическими уравнениями этой кривой, t называется параметром, а способ задания кривой уравнениями (1) называется параметрическим.

Предположим, что функция x=x(t) имеет обратную t=t(x). Тогда, очевидно, у является функцией от x: y=y[t(x)]. Следовательно, уравнения (1) определяют y как функцию от x, и говорят, что функция y от x задается параметрически.

При рассмотрении функций, заданных параметрически, исключение параметра не всегда возможно. Во многих случаях удобнее задавать различные значения t и затем вычислять соответствующие значения аргумента x и функции y.

Пример. Пусть кривая задана параметрическими уравнениями:

Построим эту кривую на плоскости, придавая различные значения параметру t и находя соответствующие значения х и у.

При t =0 M(R, 0).

Таким образом, получаем окружность с центром в начале координат, радиуса R. Здесь t обозначает угол, образованный радиусом, проведенным в некоторую точку окружности М(x, y), и осью Ox.

x2+ y2=R2(cos2t + sin2t) или x2+ y2=R2.

Выведем правило нахождения производных функций, заданных параметрически. Пусть x=x(t), y=y(t), причем на некотором отрезке [T1, T2] функции x(t) и y(t) дифференцируемы и x' ≠ 0.

Т.к. у – функция, зависящая от переменной x, то будем считать, что функция x=x(t) имеет обратную t=t(x).

Будем обозначать: yx' – производная функции по переменной x, yt', xt', tx' – соответственно производные по t и х.

Воспользовавшись правилом дифференцирования сложной функции, получим . Производную tx' найдем по правилу дифференцирования обратной функции .

Итак,

Используя эту формулу, можно находить и производные высших порядков функций, заданных параметрически. Найдем . По определению второй производной . Учитывая, что yx' есть функция параметра t, yx'=f(t), получаем:

Примеры.

1. , y = arcsin (t–1). Найдем .

   Следовательно, .

2. Найти угловой коэффициент касательной к циклоиде x = a·(t – sin t), y = a·(1 – cost)

   в произвольной точке (0 ≤t≤ 2·π).

   Угловой коэффициент касательной .

   x' = a·(1 – cost) ,y' = a·sin t. Поэтому .

3. Найти .

УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ К КРИВОЙ

Рассмотрим кривую, уравнение которой есть y=f(x). Возьмем на этой кривой точку M(x0, y0), и составим уравнение касательной к данной кривой в точке M, предполагая, что эта касательная не параллельна оси Oy.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом в общем виде есть у=kx + b. Поскольку для касательной k= f'(x0), то получаем уравнение y= f'(x0)·x + b.

Параметр b найдем из условия, что касательная проходит через точку M(x0, y0). Поэтому ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной: y0= f'(x0)·x0 + b.

Отсюда b=y0– f'(x0)·x0.

y = f '(x0)·(x – x0) + f(x0)

Если касательная, проходящая через точку М(x0,y0) параллельна оси ординат (т.е. производная в этой точке не существует), то ее уравнение x= x0.

1. Наряду с касательной к кривой в данной точке часто приходится рассматривать нормаль.
2. Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной в данной точке.
3. Из определения нормали следует, что ее угловой коэффициент kn связан с угловым коэффициентом касательной k равенством:
4. .
5. Учитывая, что нормаль также как и касательная проходит через точку M(x0, y0), то уравнение нормали к кривой y= f(x) в данной точке M имеет вид:

Ясно, что если касательная параллельна оси Ox, т.е.f'(x0) = 0 и ее уравнение имеет вид y= y0, то нормаль в этой же точке будет перпендикулярна оси Ox. Значит, ее уравнение имеет вид x= x0.

Примеры.

1. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции у = tg2x в точке с абсциссой x0=π/4.
   • Уравнение касательной имеет вид y =4·(x – π/4) + 1 или y = 4x – π + 1.
   • Уравнение нормали будет y = –1/4·(x – π/4) + 1 или у = –1/4·x + π/16 + 1.
2. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции у = 0.5·(x – 2)2 + 5 в точке M(2; 5).

   y'= x – 2, y'(2) = 0 . Следовательно, касательная параллельна оси Ox, а значит ее уравнение y= 5 . Тогда нормаль параллельна оси Oy и имеет уравнение x= 2 .

3. Найти уравнение касательной и нормали к эллипсу в точке M(2; 3).

   Найдем y' по правилу дифференцирования неявной функции .

   Уравнение касательной: ,т.е. .

   Уравнение нормали: , т.е. .

4. Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде x= t – sin t, y= 1 – cos tв точке М(x0; y0), которая соответствует значению параметра t = π/2.

   При t=π/2x0= π/2 – 1, y0=1.

   .

   Уравнение касательной: y = x – π/2 + 1 + 1, т.е. у = x – π/2 + 2.

   Уравнение нормали: y = – x – π/2 – 1 + 1, т.е. у = – x – π/2.

ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ

Теорема Ролля. Если функция y= f(x) непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка (т.е. на (а; b)) и на концах отрезка обращается в нуль f(a) = f(b) = 0, то на (a; b) найдется хотя бы одна точка c Î (a; b), в которой f'(c) = 0.

Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на [a; b], то по одной из теорем о непрерывных функциях она достигает на этом отрезке наибольшего значения и наименьшего. Пусть

Заметим, что если М = m, то f(x) = const = 0 (по условию теоремы f(a)=f(b)=0) и, следовательно, f'(x)=0при всех x Î [a; b] .

Предположим, что M≠m, тогда, по крайней мере, одно из этих чисел отлично от нуля. Для определенности будем считать, что М ≠0 и М > 0.

Пусть в точке x = c f(c)=М, при этом c≠a и с ≠ b, т.к. f(a)=f(b)=0. Придадим значению c приращение Δx и рассмотрим новую точку c+Δx. Поскольку f(c) – наибольшее значение функции, то f(c+Δx) – f(c)≤0 для любого Δx. Отсюда следует, что

1. Переходя в этих неравенствах к пределу при Δx→0 и учитывая, что производная при x = c существует, будем иметь:
2. Но неравенства f'(c) ≤ 0 и f'(c) ≥ 0 одновременно возможны лишь в случае, когда

f'(c)=0. Теорема доказана.

Эта теорема имеет простой геометрический смысл. Если непрерывная кривая, имеющая в каждой точке касательную, пересекает ось Ox в точках x=a и x=b, то на этой кривой найдется хотя бы одна точка с абсциссой c, a < c < b, в которой касательная параллельна оси Ox.

• Заметим, что доказанная теорема останется справедливой, если предположить, что на концах отрезка функция принимает равные значения f(a)=f(b), не обязательно равные нулю.
• Кроме того, отметим, что если внутри [a; b] найдется хотя бы одна точка, в которой производная функции f(x) не существует, то утверждение теоремы может оказаться неверным.

Пример. Функция непрерывна на [–1; 1], обращается в нуль на концах отрезка. Но производная не обращается в нуль ни в одной точке этого отрезка.

Теорема Лагранжа. Если функция y= f(x) непрерывна на [a; b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [a; b] найдется хотя бы одна точка c, a

Источник: https://toehelp.ru/theory/math/lecture07/lecture07.html