Алгебра логики. логика как наука — справочник студента

Здравствуйте, сегодня мы изучим раздел информатики 8 класса элементы алгебры логики. Логика наука методологическая в школе она изучается в рамках предмета информатики. Компьютер управляется арифметика логическим устройством по законам алгебры логики.

Разобраться в алгебре логике поможет программа «Осваиваем основы алгебры логики» скачивайте её по ссылке ниже.

Компьютерная программа «Осваиваем основы алгебры логики»

Эта программа позволяет интерактивно закрепить материал по основам алгебры логики. Будет удобна для 7-11 классов.

• тренировка с кругами Эйлера
• задания на круги Эйлера
• задания на поисковые запросы (значения множеств)

Основоположником логики считается Аристотель, живший до нашей эры (384-322 до н. э.).

С наукой логикой также связаны имена Джордж Буль, который создал алгебру высказывания или Булеву алгебру. Так же Клод Шеннон, который применил алгебру логику в вычислительной технике.

Логика оперирует высказыванием. Высказывание — это повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать истинно оно или ложно.

• Пример.
• Земля вращается вокруг солнца — это высказывание истинно.
• Ни одна птица не летает — это высказывание ложно.

Не всякое повествовательное предложение является высказыванием. Побудительные и вопросительные предложения определенно высказываниями не являются.

1. Без стука не входить!
2. Откройте учебники!
3. Ты выучил стихотворение?
4. Алгебра логики определяет правила записи, вычисления значений, упрощения и преобразования высказываний.
5. В алгебре логики высказывания обозначаются буквами и называются логическими переменными или логическими величинами.
6. Если высказывание истинно, то значение логической переменной равно единицы, а если высказывание ложно его обозначают нулем.
7. 0 и 1 это логические значения.
8. Высказывания бывают простые и сложные.
9. Высказывание простое если никакая его часть сама не является высказыванием.
10. Сложное высказывание строятся из простых с помощью логических операций.
11. Логические операции.

1. Они имеют свой приоритет и первой, старшей логической операцией является инверсия или по другому её называют логическое отрицание.

Если буквой А мы обозначаем логическую переменную, то в алгебре логике существуют вот такие обозначения.

Обозначения: НЕ А, ¬ А, Ā, not

Вы вправе выбирать любое обозначение какое вас устраивает. В языке программирования инверсия обозначается not. На естественном языке логическое отрицание формулируется с помощью слов связок.

• «НЕ»; «НЕВЕРНО, ЧТО»
• Значение логических операций отражается в таблице истинности.

Если высказывание А следующее. Вы ученики 10 класса. Оно ложное А = 0, тогда его инверсия будет истина Ā = 1.

Пусть высказывание А истинно. Вы живете в Самаре. Если А истина, то НЕ А ложно. Если А ложно, то НЕ А истина.

2. Следующая логическая операция конъюнкция — логическое умножение.

1. Обозначается следующим образом: ^, •, &, И, and
2. На языке программирования and.
3. На естественном языке «И»; «А»; «НО»; «ХОТЯ».
4. Рассмотрим таблицу истинности.

Конъюнкция истинна тогда, когда оба простых высказывания будет истинно. Например, вы ученики восьмого класса А = 1 и живете в Самаре B = 1. В случае если одно из простых высказываний ложно тогда и конъюнкция будет ложной.

3. Логическая операция дизъюнкция — логическое сложение.

• Обозначение: V, |, ИЛИ, +, or
• На языке программирования or
• На естественном языке «ИЛИ», «ЛИБО»
• Из таблицы истинности видим, что дизъюнкция истинно, в том случае, когда хотя бы одно простое высказывание, входящее в состав дизъюнкции истинно.

1. Вы ученики пятого класса А = 1 или живете в Самаре B = 1.
2. Дизъюнкция ложна в случае, когда все простые высказывания ложны.
3. Подведем итог.

• Инверсия истина в случае, когда простое высказывание ложно и если простое высказывание А истинно, то его инверсия будет ложной.
• Конъюнкция истина только в том случае, когда оба простых высказывания истинны.
• Дизъюнкция истина, когда хотя бы одно простое высказывание истинно.

Источник: https://murnik.ru/elementyi-algebryi-logiki.html

Алгебра логики

Алгебра
логики

Введение

Целью
данной работы было выяснение сути
алгебры логики, основных методов работы
с логическими операторами, роли логики
в вычислительной технике и информатике.
Для выполнения этой работы потребовалось
найти методические материалы по теме,
решить некоторые опытные задачи и
сделать выводы. Предмет исследования
– операции над логическими функциями.

• В
  реферате будут рассмотрены следующие
  вопросы:
• 1)
  Возникновение логики.
• Здесь
  приводится краткая историческая справка
  возникновения логики как науки.
• 2)
  Булевы функции.
• Здесь
  будут рассмотрены особые математические
  функции от логических аргументов.
• 3)
  Преобразование выражений, состоящих
  из булевых функций.

Особое
значение имеет упрощение логических
выражений, т.к. это соответствует сути
экономики – хозяйственной деятельности
человека.

1. 4)
   Нахождение исходного выражения по его
   значениям.
2. Благодаря
   особым свойствам логических функций,
   возможно их восстановление, зная только
   значения функции при определённых
   аргументах.
3. 5)
   Применение в вычислительной технике и
   информатике.
4. 1.
   Возникновение логики
5. логика
   математический булевой алгебра

Понятие
логики как науки появилось ещё в XIX в.,
т.е. задолго до появления науки информатики
и компьютеров. Элементы математической
логики можно найти уже в работах
древнегреческих философов. В XVII в.
Г.В.

 Лейбниц высказал идею о том, что
рассуждения могут быть сведены к
механическому выполнению определенных
действий по установленным правилам.

Однако как самостоятельный раздел
математики логика начала формироваться
только с середины XIX в.

Этот анализ
привёл к тому, что выяснилось существование
формулировок, которые невозможно
разделить на истинные и ложные, но, тем
не менее, выглядят осмысленным образом.
Это приводило к возникновению парадоксов,
в том числе в одной из фундаментальных
наук математики.

Тогда было решено
создать искусственные формальные языки,
лишённого «вольностей» языка естественного.

2.
Булевы функции

Пусть
имеется некоторый набор высказываний,
о которых можно говорить определённо,
что они истинные или ложные. Обозначим
их латинскими буквами A, B, C, D ….

• Если
  у нас есть два простых предложения, то
  из них образовать новое, сложносочинённое
  предложение с помощью союзов «или» либо
  «и». В математической логике для этой
  цели используются специальные символы:
• – знак
  дизъюнкции v
• – знак
  конъюнкции & (иногда используется
  ^)
• Таким
  образом, из утверждений A, B с помощью
  знаков дизъюнкции и конъюнкции получим
  новые утверждения:
• – A
  v B («A или
  B»)
• – A &
  B («A и
  B»)
• Утверждение
  A v
  B
  считается истинным тогда и только тогда,
  когда истинно хотя бы одно из исходных
  утверждений; утверждение A & B –
  когда истинны оба утверждения.

Дизъюнкцию
и конъюнкцию можно рассматривать как
особые операции, определённые не на
числах, а на логических значениях ИСТИНА
и ЛОЖЬ. Для этих операций существуют
таблицы, подобные таблице умножения.

A	B	A v B
ИСТИНА ИСТИНА ЛОЖЬ ЛОЖЬ	ИСТИНА ЛОЖЬ ИСТИНА ЛОЖЬ	ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА ЛОЖЬ
A	B	A & B
ИСТИНА ИСТИНА ЛОЖЬ ЛОЖЬ	ИСТИНА ЛОЖЬ ИСТИНА ЛОЖЬ	ИСТИНА ЛОЖЬ ЛОЖЬ ЛОЖЬ

Логические
значения ИСТИНА и ЛОЖЬ называют также
булевыми значениями – в честь английского
математика Джорджа Буля, который в
XIX в. заложил основы современной
математической логики.

Функции с булевыми
аргументами называют булевыми функциями.
Всего булевых функций от 2 переменных
– 16. Для всех булевых функций от двух
переменных имеются соответствующие
конструкции на русском языке.

В информатике
в основном используются следующие
булевы функции:

1. – логическое
   ИЛИ (дизъюнкция)
2. – логическое
   И (конъюнкция)
3. – логическое
   отрицание («НЕ», обозначается ~ и
   противоположно своему аргументу)
4. – исключающее
   ИЛИ

Из
этих основных складываются комбинированные
функции: ИЛИ-НЕ, И-НЕ. Именно они получили
наибольшее распространение в логической
электронике, в компьютерах.

3.
Преобразование выражений, состоящих
из булевых функций

В
математической логике преобразование
выше указанных выражений проводится
для различных целей – от упрощения
исходного до доказательства утверждений.

В информатике же оно используется в
основном для упрощения, ведь при
производстве цифровой электроники, как
и любого другого товара, требуются
наименьшие затраты. Для упрощения
булевых выражений используются те же
методы, что и при упрощении алгебраических.

Для начала была проведена аналогия
между алгебраическими операторами от
двух аргументов (сложение, вычитание,
умножение и т.д.) и булевыми. Было выяснено,
что умножение и логическое «И» обладают
сходными свойствами:

• – от
  перестановки мест аргументов результат
  не изменяется
• A &
  B = B & A
• – существует
  следующий закон
• A &
  (B & C) = (A & B) & C
• Также
  существуют некоторые тождества,
  опирающиеся на особые свойства функции,
  например:
• 1)
  A & (~A) = ЛОЖЬ
• 2)
  (~A) & (~B) = ~ (A v B)
• Аналогично,
  сложение и логическое «ИЛИ»:
• – от
  перестановки мест аргументов результат
  не изменяется
• A
  v B = B v A
• – существует
  следующий закон
• (A
  v B) v С
  = A v (B v C)
• – можно
  выносить общий множитель за скобки
• (A &
  B) v (С &
  B) = B & (A v C)
• И также
  некоторые собственные законы:
• 1) A v
  (~A) = ИСТИНА
• 2)
  (~A) v (~B) = ~ (A & B)

Когда
вычисляется значение булевого выражения,
то выполняется определённая очерёдность
действий: на очерёдность влияют скобки,
сначала считаются «И», затем «ИЛИ».
Благодаря этой очерёдности возможно
создание электронных цифровых схем.

4.
Нахождение исходного выражения по его
значениям

В
отличие от алгебраических выражений,
булевы можно восстановить, зная их
аргументы и соответственные им значения.
Пусть нам дана булева функция от 3
переменных:

X1	X2	X3	F
1 1 1 1	1 1 1 1	1 1 1 1	1 1 1

1. Составим
   для неё таблицу и условимся обозначать
   ИСТИНУ – 1, а ЛОЖЬ – 0.
2. Для
   начала выпишем все аргументы функции,
   при которых функция равна 1.
3. Это:
4. F
   (1, 1, 0) = 1
5. F
   (1, 0, 1) = 1
6. F
   (1, 1, 1) = 1
7. Теперь
   запишем 3 таких выражения (функция
   принимает значение 1 три раза), что они
   принимают значение 1 только при
   вышеуказанных значениях.
8. X1 &
   X2 & (~X3)
9. X1 &
   (~X2) & X3
10. X1 &
    X2 & X3
11. И
    запишем их логическую сумму:
12. (X1 &
    X2 &
    (~X3))
    v
    (X1 &
    (~X2) &
    X3)
    v
    (X1 &
    X2 &
    X3)

– это
выражение принимает значение 1 при тех
же значениях, что и исходная функция.
Полученное выражение можно упростить.

• (X1 &
  X2 & (~X3)) v (X1 & (~X2) & X3) v (X1 &
  X2 & X3) =
• =
  X1 & ((X2 & (~X3)) v ((~X2) & X3) v (X2 &
  X3)) =
• =
  X1 & ((X2 & (~X3)) v X3 & ((~X2) v X2)) =
• = X1 &
  ((X2 &
  (~X3))
  v
  X3)

– эта
формула несколько длиннее исходной, но
намного проще полученной в первый раз.
Дальнейшие пути упрощения более сложны
и представляют большой интерес для
проектировщиков интегральных микросхем,
т.к. меньшее число операций требует
меньшее число элементов, их которых
состоит ИС.

5.
Применение в вычислительной технике и
информатике

После
изготовления первого компьютера стало
ясно, что при его производстве возможно
использование только цифровых технологий
– ограничение сигналов связи единицей
и нулём для большей надёжности и простоты
архитектуры ПК.

Благодаря своей бинарной
природе, математическая логика получила
широкое распространение в ВТ и информатике.
Были созданы электронные эквиваленты
логических функций, что позволило
применять методы упрощения булевых
выражений к упрощению электрической
схемы.

Кроме того, благодаря возможности
нахождения исходной функции по таблице
позволило сократить время поиска
необходимой логической схемы.

Заключение

Итак,
логика возникла задолго до появления
компьютеров и возникла она в результате
необходимости в строгом формальном
языке. Были построены функции – удобное
средство для построения сложных
утверждений и проверки их истинности.

Оказалось, что такие функции обладают
аналогичными свойствами с алгебраическими
операторами. Это дало возможность
упрощать исходные выражения. Особое
свойство логических выражений –
возможность их нахождения по значениям.

Это получило широкое распространение
в цифровой электронике, где используются
логические элементы, и программировании.

Список
литературы

1.
«Компьютер» Ю.Л. Кетков, изд. «Дрофа»
1997 г.

2.
«Математика» Ю. Владимиров, изд.
«Аванта+» 1998 г.

Источник: https://studfile.net/preview/8121234/

Алгебра логики и логические основы компьютера

☰

Алгебра логики (булева алгебра) – это раздел математики, возникший в XIX веке благодаря усилиям английского математика Дж. Буля. Поначалу булева алгебра не имела никакого практического значения.

Однако уже в XX веке ее положения нашли применение в описании функционирования и разработке различных электронных схем. Законы и аппарат алгебры логики стал использоваться при проектировании различных частей компьютеров (память, процессор).

Хотя это не единственная сфера применения данной науки.

Что же собой представляет алгебра логики? Во-первых, она изучает методы установления истинности или ложности сложных логических высказываний с помощью алгебраических методов.

Во-вторых, булева алгебра делает это таким образом, что сложное логическое высказывание описывается функцией, результатом вычисления которой может быть либо истина, либо ложь (1, либо 0).

При этом аргументы функции (простые высказывания) также могут иметь только два значения: 0, либо 1.

Что такое простое логическое высказывание? Это фразы типа «два больше одного», «5.8 является целым числом». В первом случае мы имеем истину, а во втором ложь. Алгебра логики не касается сути этих высказываний.

Если кто-то решит, что высказывание «Земля квадратная» истинно, то алгебра логики это примет как факт.

Дело в том, что булева алгебра занимается вычислениями результата сложных логических высказываний на основе заранее известных значений простых высказываний.

Логические операции. Дизъюнкция, конъюнкция и отрицание

Так как же связываются между собой простые логические высказывания, образуя сложные? В естественном языке мы используем различные союзы и другие части речи. Например, «и», «или», «либо», «не», «если», «то», «тогда».

Пример сложных высказываний: «у него есть знания и навыки», «она приедет во вторник, либо в среду», «я буду играть тогда, когда сделаю уроки», «5 не равно 6».

Как мы решаем, что нам сказали правду или нет? Как-то логически, даже где-то неосознанно, исходя из предыдущего жизненного опыта, мы понимает, что правда при союзе «и» наступает в случае правдивости обоих простых высказываний.

Булева алгебра переложила этот жизненный опыт на аппарат математики, формализовала его, ввела жесткие правила получения однозначного результата. Союзы стали называться здесь логическими операторами.

Алгебра логики предусматривает множество логических операций. Однако три из них заслуживают особого внимания, т.к. с их помощью можно описать все остальные, и, следовательно, использовать меньше разнообразных устройств при конструировании схем.

Такими операциями являются конъюнкция (И), дизъюнкция (ИЛИ) и отрицание (НЕ).

Часто конъюнкцию обозначают &, дизъюнкцию — ||, а отрицание — чертой над переменной, обозначающей высказывание.

При конъюнкции истина сложного выражения возникает лишь в случае истинности всех простых выражений, из которых состоит сложное. Во всех остальных случаях сложное выражение будет ложно.

При дизъюнкции истина сложного выражения наступает при истинности хотя бы одного входящего в него простого выражения или двух сразу. Бывает, что сложное выражение состоит более, чем из двух простых. В этом случае достаточно, чтобы одно простое было истинным и тогда все высказывание будет истинным.

Отрицание – это унарная операция, т.к выполняется по отношению к одному простому выражению или по отношению к результату сложного. В результате отрицания получается новое высказывание, противоположное исходному.

Таблицы истинности

Логические операции удобно описывать так называемыми таблицами истинности, в которых отражают результаты вычислений сложных высказываний при различных значениях исходных простых высказываний. Простые высказывания обозначаются переменными (например, A и B).

В ЭВМ используются различные устройства, работу которых прекрасно описывает алгебра логики. К таким устройствам относятся группы переключателей, триггеры, сумматоры.

Кроме того, связь между булевой алгеброй и компьютерами лежит и в используемой в ЭВМ системе счисления. Как известно она двоичная. Поэтому в устройствах компьютера можно хранить и преобразовывать как числа, так и значения логических переменных.

Переключательные схемы

В ЭВМ применяются электрические схемы, состоящие из множества переключателей. Переключатель может находиться только в двух состояниях: замкнутом и разомкнутом. В первом случае – ток проходит, во втором – нет. Описывать работу таких схем очень удобно с помощью алгебры логики. В зависимости от положения переключателей можно получить или не получить сигналы на выходах.

Вентили, триггеры и сумматоры

Вентиль представляет собой логический элемент, который принимает одни двоичные значения и выдает другие в зависимости от своей реализации. Так, например, есть вентили, реализующие логическое умножение (конъюнкцию), сложение (дизъюнкцию) и отрицание.

Триггеры и сумматоры – это относительно сложные устройства, состоящие из более простых элементов – вентилей.

Триггер способен хранить один двоичный разряд, за счет того, что может находиться в двух устойчивых состояниях. В основном триггеры используется в регистрах процессора.

Источник: https://inf1.info/logic

Алгебра логики

• Реферат выполнили ученики 10 класса «В» Криницин Валерий, Урбанович Дмитрий
• Министерство науки УР
• Средняя школа № 12
• Сарапул, 2004 г.
• 1. Введение

Целью данной работы было выяснение сути алгебры логики, основных методов работы с логическими операторами, роли логики в вычислительной технике и информатике.

Для выполнения этой работы потребовалось найти методические материалы по теме, решить некоторые опытные задачи и сделать выводы. Предмет исследования — операции над логическими функциями.

1. В реферате будут рассмотрены следующие вопросы:
2. 1) Возникновение логики.
3. Здесь приводится краткая историческая справка возникновения логики как науки.
4. 2) Булевы функции.
5. Здесь будут рассмотрены особые математические функции от логических аргументов.
6. 3) Преобразование выражений, состоящих из булевых функций.

Особое значение имеет упрощение логических выражений, т.к. это соответствует сути экономики – хозяйственной деятельности человека.

• 4) Нахождение исходного выражения по его значениям.
• Благодаря особым свойствам логических функций, возможно их восстановление, зная только значения функции при определённых аргументах.
• 5) Применение в вычислительной технике и информатике.

2. Алгебра логики.

Возникновение логики.

Понятие логики как науки появилось ещё в XIX в., т.е. задолго до появления науки информатики и компьютеров. Элементы математической логики можно найти уже в работах древнегреческих философов. В XVII в. Г. В.

Лейбниц высказал идею о том, что рассуждения могут быть сведены к механическому выполнению определенных действий по установленным правилам.

Однако как самостоятельный раздел математики логика начала формироваться только с середины XIX в..

Для того чтобы рассуждать, человеку необходим какой-либо язык. Не удивительно, что математическая логика начиналась с анализа того, как говорят и пишут люди на естественных языках.

Этот анализ привёл к тому, что выяснилось существование формулировок, которые невозможно разделить на истинные и ложные, но, тем не менее, выглядят осмысленным образом. Это приводило к возникновению парадоксов, в том числе в одной из фундаментальных наук математики.

Тогда было решено создать искусственные формальные языки, лишённого «вольностей» языка естественного.

Булевы функции.

Пусть имеется некоторый набор высказываний, о которых можно говорить определённо, что они истинные или ложные. Обозначим их латинскими буквами A, B, C, D … .

1. Если у нас есть два простых предложения, то из них образовать новое, сложносочинённое предложение с помощью союзов «или» либо «и». В математической логике для этой цели используются специальные символы:
2. — знак дизъюнкции v
3. — знак конъюнкции & (иногда используется ^)
4. Таким образом, из утверждений A, B с помощью знаков дизъюнкции и конъюнкции получим новые утверждения:
5. — A v B («A или B»)
6. — A & B («A и B»)
7. Утверждение A vB считается истинным тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных утверждений; утверждение A & B – когда истинны оба утверждения.

Дизъюнкцию и конъюнкцию можно рассматривать как особые операции, определённые не на числах, а на логических значениях ИСТИНА и ЛОЖЬ. Для этих операций существуют таблицы, подобные таблице умножения.

Логические значения ИСТИНА и ЛОЖЬ называют также булевыми значениями – в честь английского математика Джорджа Буля, который в XIX в. заложил основы современной математической логики.

Функции с булевыми аргументами называют булевыми функциями. Всего булевых функций от 2 переменных – 16. Для всех булевых функций от двух переменных имеются соответствующие конструкции на русском языке.

В информатике в основном используются следующие булевы функции:

• — логическое ИЛИ (дизъюнкция)
• — логическое И (конъюнкция)
• — логическое отрицание («НЕ», обозначается ~ и противоположно своему аргументу)
• — исключающее ИЛИ

Из этих основных складываются комбинированные функции: ИЛИ-НЕ, И-НЕ. Именно они получили наибольшее распространение в логической электронике, в компьютерах.

Преобразование выражений, состоящих из булевых функций.

В математической логике преобразование выше указанных выражений проводится для различных целей – от упрощения исходного до доказательства утверждений. В информатике же оно используется в основном для упрощения, ведь при производстве цифровой электроники, как и любого другого товара, требуются наименьшие затраты.

Для упрощения булевых выражений используются те же методы, что и при упрощении алгебраических. Для начала была проведена аналогия между алгебраическими операторами от двух аргументов (сложение, вычитание, умножение и т.д.) и булевыми.

Было выяснено, что умножение и логическое «И» обладают сходными свойствами:

1. — от перестановки мест аргументов результат не изменяется
2. A & B = B & A
3. — существует следующий закон
4. A & (B & C) = (A & B) & C
5. Также существуют некоторые тождества, опирающиеся на особые свойства функции, например:
6. 1) A & (~A) = ЛОЖЬ
7. 2) (~A) & (~B) = ~ (A v B)
8. Аналогично, сложение и логическое «ИЛИ»:
9. — от перестановки мест аргументов результат не изменяется
10. A v B = B v A
11. — существует следующий закон
12. (A v B) v С = A v (B v C)
13. — можно выносить общий множитель за скобки
14. (A & B) v (С & B) = B & (A v C)
15. И также некоторые собственные законы:
16. 1) A v (~A) = ИСТИНА
17. 2) (~A) v (~B) = ~ (A & B)

Когда вычисляется значение булевого выражения, то выполняется определённая очерёдность действий: на очерёдность влияют скобки, сначала считаются «И», затем «ИЛИ». Благодаря этой очерёдности возможно создание электронных цифровых схем.

• Нахождение исходного выражения по его значениям.
• В отличие от алгебраических выражений, булевы можно восстановить, зная их аргументы и соответственные им значения. Пусть нам дана булева функция от 3 переменных:
• Составим для неё таблицу и условимся обозначать ИСТИНУ — 1, а ЛОЖЬ – 0.
• Для начала выпишем все аргументы функции, при которых функция равна 1.
• Это:
• F (1, 1, 0) = 1
• F (1, 0, 1) = 1
• F (1, 1, 1) = 1
• Теперь запишем 3 таких выражения (функция принимает значение 1 три раза), что они принимают значение 1 только при вышеуказанных значениях.
• X1 & X2 & (~X3)
• X1 & (~X2) & X3
• X1 & X2 & X3
• И запишем их логическую сумму:

(X1 & X2 & (~X3)) v (X1 & (~X2) & X3) v (X1 & X2 & X3) – это выражение принимает значение 1 при тех же значениях, что и исходная функция. Полученное выражение можно упростить.

1. (X1 & X2 & (~X3)) v (X1 & (~X2) & X3) v (X1 & X2 & X3) =
2. = X1 & ((X2 & (~X3)) v ((~X2) & X3) v (X2 & X3)) =
3. = X1 & ((X2 & (~X3)) v X3 & ((~X2) v X2)) =

= X1 & ((X2 & (~X3)) vX3) – эта формула несколько длиннее исходной, но намного проще полученной в первый раз. Дальнейшие пути упрощения более сложны и представляют большой интерес для проектировщиков интегральных микросхем, т.к. меньшее число операций требует меньшее число элементов, их которых состоит ИС.

Применение в вычислительной технике и информатике.

После изготовления первого компьютера стало ясно, что при его производстве возможно использование только цифровых технологий – ограничение сигналов связи единицей и нулём для большей надёжности и простоты архитектуры ПК.

Благодаря своей бинарной природе, математическая логика получила широкое распространение в ВТ и информатике. Были созданы электронные эквиваленты логических функций, что позволило применять методы упрощения булевых выражений к упрощению электрической схемы.

Кроме того, благодаря возможности нахождения исходной функции по таблице позволило сократить время поиска необходимой логической схемы.

3. Заключение.

Итак, логика возникла задолго до появления компьютеров и возникла она в результате необходимости в строгом формальном языке. Были построены функции – удобное средство для построения сложных утверждений и проверки их истинности.

Оказалось, что такие функции обладают аналогичными свойствами с алгебраическими операторами. Это дало возможность упрощать исходные выражения. Особое свойство логических выражений – возможность их нахождения по значениям.

Это получило широкое распространение в цифровой электронике, где используются логические элементы, и программировании.

Список литературы

1. «Компьютер» Ю. Л. Кетков, изд. «Дрофа» 1997 г.

2. «Математика» Ю. Владимиров, изд. «Аванта+» 1998 г.

Источник: https://mirznanii.com/a/312188/algebra-logiki

Алгебра логики

• Общие теоретические сведения
• Основные понятия алгебры логики
• Логической основой компьютера является алгебра логики, которая рассматривает логические операции над высказываниями.
• Алгебра логики – это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.
• Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Пример. «3 – простое число» является высказыванием, поскольку оно истинно.

Не всякое предложение является логическим высказыванием.

Пример. предложение «Давайте пойдем в кино» не является высказыванием. Вопросительные и побудительные предложения высказываниями не являются.

Высказывательная форма – это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

Пример. «x+2>5» — высказывательная форма, которая при x>3 является истинной, иначе ложной.

Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения – является ли оно истинным или ложным. Слова и словосочетания «не», «и», «или», «если…, то», «тогда и только тогда» и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными (сложными). Высказывания, которые не являются составными, называются элементарными (простыми).

Пример. высказывание «Число 6 делится на 2» — простое высказывание. Высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3» — составное высказывание, образованное из двух простых с помощью логической связки «и».

Истинность или ложность составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний, из которых они состоят.

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена.

Пример. Обозначим через А простое высказывание «число 6 делится на 2», а через В простое высказывание «число 6 делится на 3».

Тогда составное высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3» можно записать как «А и В».

Здесь «и» – логическая связка, А, В – логические переменные, которые могут принимать только два значения – «истина» или «ложь», обозначаемые, соответственно, «1» и «0».

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение (табл. 1).

Таблица 1. Основные логические операции

Обозначение операции	Читается	Название операции	Альтернативные обозначения
⌐	НЕ	Отрицание (инверсия)	Черта сверху
˄	И	Конъюнкция (логическое умножение)	∙ &
ν	ИЛИ	Дизъюнкция (логическое сложение)	+
→	Если … то	Импликация
↔	Тогда и только тогда	Эквиваленция	~
XOR	Либо …либо	Исключающее ИЛИ (сложение по модулю 2)

НЕ Операция, выражаемая словом «не», называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком ). Высказывание А истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно.

Пример. Пусть А=«Сегодня пасмурно», тогда А=«Сегодня не пасмурно».

И Операция, выражаемая связкой «и», называется конъюнкцией (лат. conjunctio – соединение) или логическим умножением и обозначается точкой « • » (может также обозначаться знаками  или &). Высказывание А • В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.

Пример. Высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3» — истинно, а высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 больше 10» — ложно.

ИЛИ Операция, выражаемая связкой «или» (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio – разделение) или логическим сложением.

Пример: Высказывание «Число 6 делится на 2 или число 6 больше 10» — истинно, а высказывание «Число 6 делится на 5 или число 6 больше 10» — ложно.

ЕСЛИ … ТО Операция, выражаемая связками «если …, то», «из … следует», «… влечет …», называется импликацией (лат. implico – тесно связаны) и обозначается знаком → . Высказывание А→В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

Пример. Высказывание «если студент сдал все экзамены на «отлично», то он получит стипендию». Очевидно, эту импликацию следует признать ложной лишь в том случае, когда студент сдал на «отлично» все экзамены, но стипендии не получил.

В остальных случаях, когда не все экзамены сданы на «отлично» и стипендия получена (например, в силу того, что студент проживает в малообеспеченной семье) либо когда экзамены вообще не сданы и о стипендии не может быть и речи, импликацию можно признать истинной.

РАВНОСИЛЬНО Операция, выражаемая связками «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно», «… равносильно …», называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком ↔ или ~ . Высказывание А↔В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.

Пример: Высказывание «Число является четным тогда и только тогда, когда оно делится без остатка на 2» является истинным, а высказывание «Число является нечетным тогда и только тогда, когда оно делится без остатка на 2» — ложно.

ЛИБО … ЛИБО Операция, выражаемая связками «Либо … либо», называется исключающее ИЛИ или сложением по модулю 2 и обозначается .

Пример. Высказывание «Число 6 либо нечетно либо делится без остатка на 2» является истинным, а высказывание «Либо число 6 четно либо число 6 делится на 3» – ложно, так как истинны оба высказывания входящие в него.

Вывод. Операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.

Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания («не»), затем конъюнкция («и»), после конъюнкции – дизъюнкция («или») и исключающего или и в последнюю очередь – импликация и эквиваленция.

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой (логическим выражением).

Логическая формула — это символическая запись высказывания, состоящая из логических величин (констант или переменных), объединенных логическими операциями (связками).

Логическая функция — это функция логических переменных, которая может принимать только два значения: 0 или 1. В свою очередь, сама логическая переменная (аргумент логической функции) тоже может принимать только два значения: 0 или 1.

Алгоритм построения таблиц истинности для сложных выражений:

1. Определить количество строк:

• количество строк = 2n+ строка для заголовка,
• n — количество простых высказываний.

1. Определить количество столбцов:

• количество столбцов = количество переменных + количество логических операций;
• определить количество переменных (простых выражений);
• определить количество логических операций и последовательность их выполнения.

Примечание: И–НЕ называют также «штрих Шеффера» (обозначают | ) или «антиконъюнкция»; ИЛИ–НЕ называют также «стрелка Пирса» (обозначают ↓) или «антидизъюнкция».

Существует три базовых логических элемента, которые реализуют три основные логические операции:

• логический элемент «И» – логическое умножение – конъюнктор;
• логический элемент «ИЛИ» – логическое сложение – дизъюнктор;
• логический элемент «НЕ» – инверсию – инвертор.

Поскольку любая логическая операция может быть представлена в виде комбинации трех основных, любые устройства компьютера, производящие обработку или хранение информации, могут быть собраны из базовых логических элементов, как из “кирпичиков”.

Логические элементы компьютера оперируют с сигналами, представляющими собой электрические импульсы. Есть импульс – логический смысл сигнала – 1, нет импульса – 0. На входы логического элемента поступают сигналы-значения аргументов, на выходе появляется сигнал-значение функции.

Преобразование сигнала логическим элементом задается таблицей состояний, которая фактически является таблицей истинности, соответствующей логической функции, только представлена в форме логических схем. В такой форме удобно изображать цепочки логических операций и производить их вычисления.

Источник: https://ya-znau.ru/znaniya/zn/132

Понятие логики и её задачи

Понятие «логика» имеет несколько значений. Оно употребляется в различных ситуациях и чаще всего не в смысле логика как наука. Обычно в разговоре не задумываясь, произносим, например, логика вещей, или поступков. Подразумевая под этим последовательность действий или взаимозависимость событий.

Замечание 

Г. К. Честертон писал: «Быть может он безумец, но в его безумии есть логика. Почти всегда в безумии есть логика, именно это и сводит человека с ума».

Понятие «логика» имеет много значений, следовательно его употребление в различных жизненных ситуациях не редкость. Ещё один пример логичное или наоборот нелогичное мышление.

В первую очередь, подразумевая доказательность высказывания. Кроме того, логика – это наука о мышлении. Первое упоминание о логике как науке датируется IV в. до н.э.

Спустя некоторое время, получила название формальной логики.

Предмет логики как науки

Говоря о понятии логики как науки подразумевается, что это наука о законах правильного и последовательного мышления. Однако не стоит забывать о том, что человеческое мышление самое многогранное и сложное явление во Вселенной.

Неспроста ведь оно изучается многими науками. Логикой в том числе. Всякое движение человеческой мысли, которое постигает истину, принципы добра и красоты, опирается на логические законы, даже не осознавая это.

Но человеческое подсознание всегда им следует.

Рассуждение – это особая форма принуждения. Размышляя, человек ощущает несвободу и прессинг. От воли человека зависит, на чём остановить свою мысль. В любой момент можно прервать размышление и отойти к совершенно иной мысли.

И вне зависимости нравятся они его подсознанию или нет, человеческое подсознание и мысли должны их принять.

Например, допустив одно, человек автоматически лишает себя возможности утверждать иное, несовместимое с допущенным.

Представьте ситуацию, вы убеждены, что все металлы проводят электрический ток, следовательно, если вещество не проводит ток, оно не металл.

Или ещё ситуация, утверждая, что все птицы умеют летать, мы автоматически исключаем курицу, страуса и пингвина из разряда птиц. Это и есть логическое мышление под давлением, когда из одного утверждения следует несколько вытекающих.

• Понять, как это работает, можно только ответив на несколько вопросов:
• Где источник непрекращающегося принуждения?
• Какова природа этого источника?
• Что именно приходится считать несовместимым с уже принятыми утверждениями и как это работает в связке?
• В чём заключаются принципы работы человеческого мышления?

В поисках ответов на эти вопросы и родилась наука логика. Наука о мышлении и его функционировании. Наука о том, как срабатывает человеческое мышление под давлением его же мыслей и размышлений.

Обратившись к истории, то можно проследить за этапами развития логики как науки. На протяжении многих веков сфера конкретных интересов постоянно менялась. Неизменным оставалось лишь фундаментальное исследование того, как из одних утверждений можно выводить другие. Иными словами «что из чего следует».

Поскольку наука эта изучает ещё и различные процессы и операции, например, операции определения и деления или классификации, операции доказательства и опровержения, занимается проблемами языка и правдоподобных рассуждений и т.п.

Задачи логического исследования

Основной задачей логического исследования является поиск и классификация установленных образцов правильного рассуждения. Эти образы представляют собой логические законы, на которых основывается правильное логическое мышление.

Рассуждать логично – значит рассуждать в соответствии с законами логики, соответственно рассуждать правильно. Из этого следует, что чётко сформулированные законы логики важны для науки. Становится понятным, что эти законы рождаются в сознании человека и не зависят от его воли.

Их принудительный характер для человека объясняется тем, что в конечном итоге они отображают общие принципы миропонимания и мировоззрения для человека.

И только потому, что человек практически всё время находится в процессе мышления, законы логики нам кажутся иногда такими очевидными  и изначально присущими человеческой способности к рассуждению.

Древнегреческий философ Платон рассуждал о логике так: «Бог создал зрение и вручил его нам, чтобы мы видели на небе движение Разума мира и использовали его для руководства нашего собственного разума». Он уверял, что человеческий разум – это лишь часть той разумности, которая правит на земле, а способность к размышлению – невольное воспроизведение той разумности, которую нам подарил бог.

Ученик Платона Аристотель первым дал обоснованное определение о природе и принципах человеческого мышления.

Из всего выше сказанного, можно сделать вывод, что изучению логики как науки посвящено около двух с половиной тысячелетий. Раньше логики начали развиваться как науки только математика и философия.

Виды логики: традиционная и современная

Как уже говорилось, история логики насчитывает около двух с половиной тысяч лет, и немудрено, что эти периоды были поделены исследователями на определённые периоды в соответствии с предназначением и общим восприятием. Этих периода два, которые и поделили логику как науку на два вида:

• Традиционный.
• Современный.

Традиционная логика начинается с самых истоков в древней Греции и заканчивается появлением на рубеже XIX и XX вв. абсолютно новой современной логики. Последняя, в свою очередь, относится к нынешнему времени.

Её принято называть еще математической логикой или символической. Несложно догадаться, что традиционная является предшественницей современной логики.

А её содержание практически полностью вошло в состав математической, но не заняла какое-то основное место, а напротив, ей отвели совершенно незначительную часть.

Говоря о логике традиционной, то она в корне была философской наукой. Базировалась на законах философии. Исследователи толковали причинно-следственные связи, опираясь на понятия философии. В ней не использовались как-либо специальные символы или обозначения. Традиционная логика как наука описывалась естественным языком и не содержала в себе никаких дополнительных истолкований.

Касательно современной логики, то она являет собой синтез двух наук: математики и философии.

Если углубляться в процессы, то станет ясно, что это произошло потому, что в философские исследования стали внедрять математические методы.

Новые своеобразные методы представляют собой использование искусственных языков при исследовании различных процессов. Этого не делали ранее, поэтому математическая логика в корне отличается от традиционной.

Второе название «символическая логика» родилось в процессе становления и перемены способа изучения. Использование множества математических символов позволило называть современную науку еще и символической.

Однако все эти имена имеют один и тот же смысл  – современная логика. По роду занятия она не чем не отличается от традиционной. Задачи остались те же: поиск и изучение правильных методов мышления.

Различия заключаются только в применяемых для исследования методах.

Пример

«Изобретателем» современной логики по праву считается немецкий философ Г. В. Лейбниц. Именно он первый высказал предположение о том, что доказательство можно представить в виде вычисления, подобно тому, как это делается в точных науках, например, в математике.

Принципы правильного рассуждения

Главная задача логики как науки заключается в изолировании правильных способов умозаключения от неправильных. Правильное рассуждение строится следующим образом: из правильного или истинного рассуждения вытекает обоснованное следствие. Если посылки обоснованные, то можно утверждать, что правильное умозаключение даёт из них обоснованные заключение.

Пример, который использовали ещё во времена Древней Греции: «Все люди смертны. Все греки люди. Следовательно, все греки смертны». В этом варианте первые два предложения – это посылки умозаключения, а третье – заключение.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/filosofija/filosofija-nauki/zadachi-logiki/