Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость — справочник студента

Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.

Теорема. Если сходится числовой ряд, составленный из модулей членов знакопеременного ряда то сходится и сам знакопеременный ряд ..

Рассмотрим вспомогательный ряд, составленный из членов ряда и :

Поскольку для всех , а ряд сходится в силу условия теоремы и свойства числовых рядов, то на основании первой теоремы сравнения сходится и ряд . Поскольку исходный знакопеременный ряд представляет собой разность двух сходящихся рядов , то на основании свойства числовых рядов он сходится.

• Следует заметить, что из сходимости числового ряда не следует сходимость ряда .
• Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов , сходится.
• Знакопеременный ряд называется условно сходящимся,если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов , расходится.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда .

Решение: Для данного знакочередующегося ряда выполняются условия признака сходимости Лейбница: члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине , предел общего члена ряда стремится к нулю. Поэтому, указанный ряд сходится. Однако ряд, составленный из модулей членов данного ряда , расходится как гармонический ряд.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/18_65985_znakoperemennie-ryadi-absolyutnaya-i-uslovnaya-shodimost-chislovih-ryadov.html

Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Действия с рядами. Свойства абсолютно сходящихся рядов, страница 3

2)  предел общего члена ряда (1) равен нулю, т.е. .

Тогда ряд (1) сходится.

Доказательство. Так как , то при возрастании последовательность {S2n} не убывает. Так как . Тогда последовательность  {S2n} сходится, т.е. .  Так как S2n+1 = S2n + a2n+1, то  . Тогда .

6.  Знакопеременные ряды, ряды с комплексными членами. Ряд, который содержит бесконечно много как положительных членов так и отрицательных членов называется знакопеременным.

Мы также рассматриваем ряды с комплексными членами

Теорема 1 . Ряд с комплексными членами (1) сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды (2) и (3), составленные из действительных и мнимых частей ряда (1). При этом сумма ряда (1) равна S = S1 + iS2, где S1, S2 — соответственно суммы рядов (2) и (3).

Теорема 2 . Если сходится ряд

составленный из модулей членов ряда (1), то сходится и ряд (1).

Доказательство. Следует из критерия Коши и неравенства .

с комплексными членами (1)  сходится, еи (3), составленные из действительных и мнимых частей ряда (1). При этом сумма ряда (1) равна S = S1 + iS2, где S1, S2 — соответственно суммы рядов (2) и (3).

Следствие 2 . Если сходится ряд, составленный из модулей членов знакопеременного ряда, то сходится и сам ряд.

7.  Абсолютная и условная сходимости ряда. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

Определение 1. Ряд с действительными или комплексными членами называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей членов данного ряда.

Определение 2. Ряд с действительными или комплексными членами называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а  ряд, составленный из модулей членов данного ряда расходится.

В силу теоремы (2) предыдущего параграфа, если ряд сходится абсолютно, то он сходится и условно. Обратное неверно. Например, ряд  сходится условно, но не сходится абсолютно.

Свойства абсолютно сходящихся рядов.

Теорема 1 (теорема Дирихле). Если ряд абсолютно сходится к сумме S, то к этой же сумме S сходится ряд, полученный из данного ряда любой перестановкой членов.

Теорема 2 . Сумма, разность, произведение двух абсолютно сходящихся рядов есть абсолютно сходящиеся ряды.

При этом сумма абсолютно сходящихся рядов равна  S1+ S2(разность абсолютно сходящихся рядов равна  S1— S2, произведение абсолютно сходящихся рядов равно  S1 S2), где S1 , S2 соответственно суммы первого и второго рядов.

Замечание. Члены условно сходящегося ряда нельзя переставлять, так как по теореме Римана в этом случае можно получить условно сходящийся ряд с заранее заданной суммой или расходящийся ряд.

Действия над рядами можно производить, если ряды абсолютно сходятся.

Источник: https://vunivere.ru/work90139/page3

Исследование знакопеременных рядов на абсолютную сходимость

Проще всего исследовать знакопеременный числовой ряд на абсолютную сходимость. В этом случае берем знакоположительный ряд , составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, и применяем к нему подходящий достаточный признак сходимости из рассмотренных выше. Если ряд сходится, то исходный ряд является абсолютно сходящимся.

Пример.

Решение.

Соответствующих знакоположительный ряд будет иметь вид . Для него выполняется необходимое условие сходимости ряда, так как . Возьмем сходящийся знакоположительный ряд и воспользуемся вторым признаком сравнения: . Следовательно, ряд сходящийся, поэтому, исходный ряд сходится абсолютно.

К началу страницы

Расходимость знакопеременных рядов.

Только признак Даламбера и радикальный признак Коши позволяют сделать вывод о расходимости знакопеременного ряда по расходимости ряда из модулей . Ряд также расходится, если не выполняется необходимое условие сходимости, то есть, если .

• Пример.
• Проверьте расходимость знакопеременного числового ряда .
• Решение.

Модуль k-ого члена имеет вид . Исследуем ряд на сходимость по признаку Даламбера: . Следовательно, ряд расходится и можно утверждать, что исходный знакопеременный числовой ряд тоже расходится.

1. Пример.
2. Сходится ли знакочередующийся числовой ряд .
3. Решение.
4. Проверим выполнение необходимого условия сходимости числового ряда: .

Условие не выполняется, следовательно, ряд расходится. Предел был вычислен по правилу Лопиталя.

• Осталось разобраться с условной сходимостью знакочередующихся рядов.
• К началу страницы
• Достаточные признаки условной сходимости числового ряда.
• Признак Лейбница.
• Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда монотонно убывают и предел модуля общего члена ряда равен нулю при , то ряд сходится.
• Пример.
• Определите характер сходимости знакочередующегося числового ряда .
• Решение.

Ряд из абсолютных величин членов имеет вид . Для него выполняется необходимое условие сходимости . Возьмем гармонический ряд и воспользуемся вторым признаком сравнения:

1. Таким образом, ряд из модулей — расходящийся.
2. В свою очередь, знакочередующийся ряд сходится, так как выполняются условия признака Лейбница: последовательность монотонно убывает и .
3. Следовательно, исходный ряд условно сходящийся.

• К началу страницы
• Признак Абеля-Дирихле.
• Числовой ряд сходится условно, если последовательность является невозрастающей и бесконечно малой, а последовательность частичных сумм числового ряда ограничена.
• Пример.
• Исследуйте числовой ряд на сходимость.
• Решение.

Представим числовой ряд в виде где — невозрастающая и бесконечно малая, а последовательность имеет ограниченную последовательность частичных сумм . Следовательно, условия признака Абеля-Дирихле выполнены и ряд условно сходится.

Признак Лейбница является частным случаем признака Абеля-Дирихле при или .

Рекомендуемые страницы:

Источник: https://poisk-ru.ru/s927t4.html

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

Знакочередующиеся ряды – частный случай знакопеременного ряда.

Теорема 1.

Если знакопеременный ряд  (1)

таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов

 (2)

сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится.

Данная теорема позволяет судить о сходимости некоторых знакопеременных рядов. Исследование в данном случае сводится к исследованию ряда с положительными членами.

Данная теорема  является достаточным признаком сходимости знакочередующегося ряда, но не необходимым: существуют такие знакопеременные ряды, которые сами сходятся, но ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.

Определение:

Знакопеременный ряд (1)

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов: (2)

Если же знакопеременный ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то данный знакопеременный ряд  (1) называется условно или неабсолютно сходящимся рядом.

Теорема 2:

Теорема 3:

Если ряд сходится условно, то какое бы мы ни задали число А, можно так переставить члены этого ряда, чтобы его сумма оказалась в точности равной А. Более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что ряд, полученный после перестановки, окажется расходящимся.

Пример:

Исследовать числовой ряд  на абсолютную и условную сходимость.

Решение:

Исследуем данный числовой знакочередующийся ряд на абсолютную и условную сходимость, для чего составим ряд из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда:

Исследуем полученный числовой ряд с положительными членами на сходимость, воспользовавшись предельным признаком сравнения. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом  . Так как , то ряд сходится.

Следовательно, оба ряда вместе сходятся.

Так как числовой ряд из абсолютных величин членов нашего знакочередующегося ряда сходится, то знакочередующийся числовой ряд сходится абсолютно.

Ответ: Ряд сходится абсолютно.

Пример.

Исследовать числовой ряд  на абсолютную и условную сходимость.

Решение:

 -знакочередующийся числовой ряд.

Воспользуемся признаком Лейбница:

, то есть члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине.

Следовательно, знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница.

Составим ряд из модулей членов нашего знакочередующегося ряда:

Исследуем полученный числовой ряд с положительными членами на сходимость, воспользовавшись предельным признаком сравнения. Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом  .

Следовательно, оба ряда вместе расходятся.

Таким образом, сам знакочередующийся ряд сходится, а ряд из его модулей расходится. Следовательно, наш знакочередующийся числовой ряд сходится условно.

Ответ: Ряд сходится условно.

Источник: http://primer.by/student/vysshaja-matematika/rjady/znakoperemennye-rjady-absoljutnaja-i-uslovnaja/

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Я планировал выложить данную тему полностью лишь по мере её окончательной готовности, однако ввиду слишком большого количества вопросов по ней, изложу некоторые моменты сейчас. Впоследствии материал будет дополнен и расширен. Начнём с определений.

Ряд вида $sumlimits_{n=1}^{infty}(-1)^{n+1}u_n$, где $u_n>0$, называется знакочередующимся.

Знаки членов знакочередующегося ряда строго чередуются:

$$ sumlimits_{n=1}^{infty}(-1)^{n+1}u_n=u_1-u_2+u_3-u_4+u_5-u_6+u_7-u_8+ldots $$

Например, $1-frac{1}{2}+frac{1}{3}-frac{1}{4}+ldots$ – знакочередующийся ряд. Бывает, что строгое чередование знаков начинается не с первого элемента, однако для исследования на сходимость это несущественно.

Дело в том, что среди свойств числовых рядов есть утверждение, которое позволяет нам отбрасывать «лишние» члены ряда, мешающие строгому чередованию знаков. Вот это свойство:

Ряд $sumlimits_{n=1}^{infty}u_n$ сходится тогда и только тогда, когда сходится любой из его остатков $r_n=sumlimits_{k=n+1}^{infty}u_k$. Отсюда следует, что отбрасывание или добавление к некоторому ряду конечного количества членов не изменяет сходимости ряда.

Для примера расмотрим ряд $sumlimits_{n=1}^{infty}(-1)^{n+1}frac{2n-5}{3n+1}$. Этот ряд по форме записи похож на знакочередующийся ряд $sumlimits_{n=1}^{infty}(-1)^{n+1}u_n$. Если обозначить $u_n=frac{2n-5}{3n+1}$, то сходство станет совсем очевидным. Однако является ли рассматриваемый ряд знакочередующимся на самом деле? Запишем несколько первых элементов этого ряда:

$$ sumlimits_{n=1}^{infty}(-1)^{n+1}frac{2n-5}{3n+1} =-frac{3}{4}+frac{1}{7}+frac{1}{10}-frac{3}{13}+frac{5}{16}-frac{7}{19}+frac{9}{22}-frac{11}{25}+ldots $$

Как видите, ряд не является знакочередующимся, так как строгое чередование знаков для первых членов ряда не соблюдено. Почему так получилось?

Давайте рассмотрим дробь $frac{2n-5}{3n+1}$. Мы знаем, что $n≥1$, откуда следует, что знаменатель $3n+1>0$. Знаменатель положителен при всех $nin{N}$, однако числитель $2n-5$ будет положительным лишь при условии $n>frac{5}{2}$, т.е.

$n≥3$ (не забываем, что $n$ – натуральное число). Если же $n0$ и $n^2+3n≥4>0$, т.е. при всех $nin{N}$ имеем $frac{4n-1}{n^2+3n}>0$. Таким образом, заданный ряд имеет вид $sumlimits_{n=1}^{infty}(-1)^{n+1}u_n$, где $u_n=frac{4n-1}{n^2+3n}>0$, т.е.

рассматриваемый ряд – знакочередующийся.

Обычно такая проверка делается устно, однако пропускать её крайне нежелательно: ошибки в типовых расчётах нередки. Часто бывает, что знаки членов заданного ряда начинают чередоваться не с первого члена ряда. В этом случае можно отбросить «мешающие» члены ряда и исследовать сходимость остатка (см. примечание в начале этой страницы).

Итак, нам задан знакочередующийся ряд. Будем следовать вышеприведённой схеме. Для начала составим ряд из модулей членов данного ряда:

$$ sumlimits_{n=1}^{infty}left|(-1)^{n+1}frac{4n-1}{n^2+3n}
ight| =sumlimits_{n=1}^{infty}frac{4n-1}{n^2+3n} $$

$$ frac{4n-1}{n^2+3n}≥ frac{3n}{4n^2}=frac{3}{4}cdotfrac{1}{n} $$

Гармонический ряд $sumlimits_{n=1}^{infty}frac{1}{n}$ расходится, поэтому будет расходиться и ряд $sumlimits_{n=1}^{infty}left(frac{3}{4}cdotfrac{1}{n}
ight)$.

Следовательно, согласно признаку сравнения ряд $sumlimits_{n=1}^{infty}frac{4n-1}{n^2+3n}$ расходится.

Обозначим $u_n=frac{4n-1}{n^2+3n}$ и проверим, выполнены ли условия признака Лейбница для исходного знакочередующегося ряда. Найдём $lim_{n o{infty}}u_n$:

$$ lim_{n o{infty}}u_n =lim_{n o{infty}}frac{4n-1}{n^2+3n} =lim_{n o{infty}}frac{frac{4}{n}-frac{1}{n^2}}{1+frac{3}{n}} =0. $$

Первое условие признака Лейбница выполнено. Теперь нужно выяснить, выполнено ли неравенство $u_n≥u_{n+1}$. Немалое количество авторов предпочитает записать несколько первых членов ряда, а затем сделать вывод, что неравенство $u_n≥u_{n+1}$ выполнено.

Иными словами, это «доказательство» для данного ряда имело бы такой вид: $frac{2}{3}≤frac{5}{8}≤frac{8}{15}≤ldots$. После сравнения нескольких первых членов делается вывод: для остальных членов неравенство сохранится, каждый последующий будет не более предыдущего. Откуда взялся этот «метод доказательства» я не знаю, но он ошибочен.

Например, для последовательности $v_n=frac{10^n}{n!}$ получим такие первые члены: $v_1=10$, $v_2=50$, $v_3=frac{500}{3}$, $v_4=frac{1250}{3}$. Как видите, они возрастают, т.е., если ограничиться сравнением нескольких первых членов, то можно сделать вывод, что $v_{n+1}>v_n$ для всех $nin{N}$.

Однако такой вывод будет категорически неверным, так как начиная с $n=10$ элементы последовательности будут убывать.

$$ u_n-u_{n+1} =frac{4n-1}{n^2+3n}-frac{4(n+1)-1}{(n+1)^2+3(n+1)} =frac{4n-1}{n^2+3n}-frac{4n+3}{n^2+5n+4}=\ =frac{(4n-1)cdotleft(n^2+5n+4
ight)-left(n^2+3n
ight)cdot(4n+3)}{left(n^2+3n
ight)cdotleft(n^2+5n+4
ight)} =frac{4n^2+2n-4}{left(n^2+3n
ight)cdotleft(n^2+5n+4
ight)}. $$

Так как $n≥1$, то $4n^2-4≥0$, откуда имеем $4n^2+2n-4>0$, т.е. $u_n-u_{n+1}>0$, $u_n>u_{n+1}$. Бывает, конечно, что неравенство $u_n≥u_{n+1}$ выполняется не с первого члена ряда, однако это несущественно (см. примечание в начале страницы).

Таким образом, оба условия признака Лейбница выполнены. Так как при этом ряд $sumlimits_{n=1}^{infty}left|(-1)^{n+1}frac{4n-1}{n^2+3n}
ight|$ расходится, то ряд $sumlimits_{n=1}^{infty}(-1)^{n+1}frac{4n-1}{n^2+3n}$ сходится условно.

1. Ответ: ряд сходится условно.
2. Пример №2
3. Исследовать ряд $sumlimits_{n=1}^{infty}(-1)^{n+1}frac{5n-4}{sqrt{2n^3-1}}$ на сходимость.
4. Решение

Для начала рассмотрим выражение $frac{5n-4}{sqrt{2n^3-1}}$. Стоит произвести небольшую проверку корректности условия. Дело в том, что очень часто в условиях стандартных типовых расчётов можно встретить ошибки, когда подкоренное выражение является отрицательным, или же в знаменателе при некоторых значениях $n$ появляется ноль.

Дабы избежать таких неприятностей, произведём простенькое предварительное исследование. Так как при $n≥1$ имеем $2n^3≥2$, то $2n^3-1≥1$, т.е. выражение под корнем не может быть отрицательным или равняться нулю. Следовательно, условие вполне корректно. Выражение $frac{5n-4}{sqrt{2n^3-1}}$ определено при всех $n≥1$.

Добавлю, что при $n≥1$ верно неравенство $frac{5n-4}{sqrt{2n^3-1}}>0$, т.е. нам задан знакочередующийся ряд. Будем исследовать его согласно вышеприведённой схеме. Для начала составим ряд из модулей членов данного ряда:

$$ sumlimits_{n=1}^{infty}left|(-1)^{n+1}frac{5n-4}{sqrt{2n^3-1}}
ight| =sumlimits_{n=1}^{infty}frac{5n-4}{sqrt{2n^3-1}} $$

Проверим, сходится ли ряд, составленный из модулей членов заданного ряда. Применим признак сравнения. В решении предыдущего примера мы применяли первый признак сравнения.

Здесь же, сугубо для разнообразия, применим второй признак сравнения (признак сравнения в предельной форме).

Сравним ряд $sumlimits_{n=1}^{infty}frac{5n-4}{sqrt{2n^3-1}}$ с расходящимся рядом $sumlimits_{n=1}^{infty}frac{1}{sqrt{n}}$:

$$ lim_{n oinfty}frac{frac{5n-4}{sqrt{2n^3-1}}}{frac{1}{sqrt{n}}} =lim_{n oinfty}frac{5nsqrt{n}-4sqrt{n}}{sqrt{2n^3-1}} =lim_{n oinfty}frac{frac{5nsqrt{n}}{nsqrt{n}}-frac{4sqrt{n}}{nsqrt{n}}}{sqrt{frac{2n^3-1}{n^3}}} lim_{n oinfty}frac{5-frac{4}{n}}{sqrt{2-frac{1}{n^3}}} =frac{5}{sqrt{2}}. $$

Так как $frac{5}{sqrt{2}}
eq{0}$ и $frac{5}{sqrt{2}}
eqinfty$, то одновременно с рядом $sumlimits_{n=1}^{infty}frac{1}{sqrt{n}}$ будет расходиться и ряд $sumlimits_{n=1}^{infty}frac{5n-4}{sqrt{2n^3-1}}$.

$$ lim_{n o{infty}}u_n =lim_{n o{infty}}frac{5n-4}{sqrt{2n^3-1}} =lim_{n o{infty}}frac{frac{5n}{n^{frac{3}{2}}}-frac{4}{n^{frac{3}{2}}}}{sqrt{frac{2n^3-1}{n^3}}} =lim_{n o{infty}}frac{frac{5}{sqrt{n}}-frac{4}{n^{frac{3}{2}}}}{sqrt{2-frac{1}{n^3}}} =0. $$

Первое условие признака Лейбница выполнено. Теперь нужно выяснить, выполнено ли неравенство $u_n≥u_{n+1}$. В прошлом примере мы рассмотрели один из способов доказательства этого неравенства: посредством выяснения знака разности $u_n-u_{n+1}$.

В этот раз обратимся к иному способу: вместо $u_n=frac{5n-4}{sqrt{2n^3-1}}$ рассмотрим функцию $y(x)=frac{5x-4}{sqrt{2x^3-1}}$ при условии $x≥1$. Отмечу, что поведение данной функции при условии $xx_1$ будем иметь $y(x_1)≥y(x_2)$.

Полагая $x_1=n$ и $x_2=n+1$ получим, что из неравенства $n+1>n$ последует истинность неравенства $y(n)≥y(n+1)$. Так как $y(n)=u_n$, то неравенство $y(n)≥y(n+1)$ есть то же самое, что и $u_{n}≥u_{n+1}$.

Если же мы покажем, что $y(x)$ – убывающая функция, то из неравенства $n+1>n$ последует истинность неравенства $y(n)>y(n+1)$, т.е. $u_{n}>u_{n+1}$.

Найдём производную $y'(x)$ и выясним её знак для соответствующих значений $x$.

$$ y'(x)=frac{(5x-4)'cdotsqrt{2x^3-1}-(5x-4)cdotleft(sqrt{2x^3-1}
ight)'}{left(sqrt{2x^3-1}
ight)^2} =frac{5cdotsqrt{2x^3-1}-(5x-4)cdotfrac{1}{2sqrt{2x^3-1}}cdot{6x^2}}{2x^3-1}=\ =frac{5cdotleft(2x^3-1
ight)-(5x-4)cdot{3x^2}}{left(2x^3-1
ight)^{frac{3}{2}}} =frac{-5x^3+12x^2-5}{left(2x^3-1
ight)^{frac{3}{2}}} $$

Полагаю, очевидно, что при достаточно больших положительных значениях $x≥1$ многочлен в знаменателе будет меньше нуля, т.е. $-5x^3+12x^2-5

Источник: https://math1.ru/education/num_series/alt_series1.html

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Теорема об абсолютно сходящемся ряде(док)

Знакопеременные ряды — это ряды, которые содержат бесконечно много положительных и бесконечно много отрицательных членов. На ряду со знакопеременным рядом рассматривается ряд из абсолютных значений членов знакопеременного ряда.

• Теорема (критерий сходимости знакопеременного ряда).
• Если ряд (2) сходится, то и ряд (1)- сходится.
• Доказательство:

1. Обозначив через — сумму положительных членов ряда (1), — сумму отрицательных членов ряда(1).Тогда = — ; = —
2. Так как ряд (2) сходится, то существует конечный предел его частичных сумм = -ограничены.
3. Так как ряд (2) знакоположительный, то — будут возрастающие, следовательно по теореме Вейерштрасса существует конечный предел этих последовательностей ( )

Рассмотрим — число конечное, следовательно (1)- сходится. Ч.Т.Д.

• При исследовании знакопеременного ряда на сходимость нужно всегда рассматривать ряд из абсолютных величин членов этого ряда.
• Определение:
• Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится знакоположительный ряд ,составленный из абсолютных значений его членов.
• Теорема (об абсолютно сходящемся ряде).
• Если ряд сходится, то знакопеременный ряд тоже сходится.
• Доказательство:

для ряда ; для ряда состав. из модулей.

1. сходится по признаку сравнения.
2. Признак этой теоремы является достаточным, но не является необходимым.
3. Ряд -сходится; ряд — расходится.
4. Определение:
5. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится по признаку Лейбница, но ряд из абсолютных величин его членов расходится.

55. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница (док.).

• Знакочередующиеся ряды — это ряды, члены которых поочерёдно то положительны, то отрицательны.
• Теорема Лейбница.
• Если =0 (1) и un un+1>0, n=1,2,…,(2) то знакочередующийся ряд
• (3) сходится.
• Доказательство:
• Рассмотрим частичные суммы четного порядка ряда (3):
• S2k= . Их можно записать в виде S2k=(u1-u2)+(u3-u4)+…+(u2k-1-u2k), k=1,2,…

В силу условия (2) выражения в круглых скобках неотрицательны и потому S2k S2(k+1), т.е. последовательность частичных сумм четного порядка ряда (3) монотонно возрастает.

Замечая, что частичные суммы S2k можно записать также и в виде S2k=u1-(u2-u3)-…-(u2k-2-u2k-1)-u2k, k=1,2,… , и что выражения в круглых скобках в силу условия (2) неотрицательны, а u2k>0, получаем, что S2k0 найдётся такое целое положительное число N( ), что при n>N выполняется неравенство = < для всех x из области X.

При этом сумма S(x) равномерно сходящегося функционального ряда есть непрерывная функция.

Достаточным признаком равномерности сходимости является

Признак Вейерштрасса.

Если члены функционального ряда U1(x)+U2(x)+…+Un(x)+… по абсолютной величине не превышают в некоторой области соответствующих членов сходящегося знакоположительного ряда a1+ a2+…+an+…, (an>0) т.е.

• |U1(x)| a1, |U2(x)| a2, |U3(x)| a3, … |Un(x)| an, …
• То функциональный ряд в области сходиться абсолютно и равномерно (правильно).
• Знакоположительный числовой ряд называется мажорирующим рядом или мажорантой для данного функционального ряда.

Т. Вейерштрасса. Если существует такая числовая последовательность {an}, что =0, аn (1), (2) для всех n=1,2… и всех х , то последовательность { } равномерно на E сходится к функции .

Доказательство. В силу условия (1) для любого существует такой номер , что an< для всех . Но тогда в силу условия (2) для всех и всех х , а это и означает равномерную сходимость последовательности { } к функции на множестве Е.

57. Свойство равномерно сходящихся функциональных рядов (без док.)

1. 1) Сумма правильно сходящегося ряда есть функция непрерывная в области сходимости.
2. Свойства почленного дифференцирования и интегрирования правильно сходящихся рядов.
3. 2) Если ряд сходится равномерно к некоторой непрерывной функции S(x), и ряд из производных так же равномерно сходится, то его сумма S*(x) равна производной от суммы исходного ряда S*(x) = =( )'= S'(x)
4. 3) Если ряд сходится равномерно к некоторой непрерывной функции S(x), то ряд полученый из данного путем почленного интерирования равномерно сходится и имеет сумму S**(x), равную интегралу от суммы исходного ряда
5. S**(x)= = =

58.Степенные ряды. Теорема Абеля (док.) (×)

Функциональные ряды вида называются степенным рядом по степеням(z-z0), где a1 a2… an R -коэффициенты степенного ряда , называются степенными рядами.

При z0=0 получим .Степенной ряд при z=0 всегда сходится, если x не равен 0 то ряд может как сходиться так и расходиться.

Поскольку замена (z-z0)=t может свести к виду то мы будем рассматривать ряд такого вида.

Т. Абеля. Если степенной ряд (1) сходится в точке z1≠0, то он сходится и при том абсолютно в точке z, у которого , если степенной ряд расходится в т. z2≠0, то он расходится в т z, .

Доказательство.

ограничена то существует M>0 | а n=0,1,2… Если , то и следовательно , являясь геометрической прогрессией со знаменателем для любого z | . Предположим противное, те сходится.

По доказательству в 1 части теоремы из сходимости ч.р. => абсолютная сходимость ,для любого , а значит этот ряд должен сходиться абсолютно, что противоречит условию => он расходится.

59. Свойства степенных рядов(без док.). Ряды Тейлора и Маклорена(×)

• Свойства степенных рядов:
• 1) Сумма степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости.
• 2)Степенные ряды и имеют один и тот же радиус сходимости.
• 3)Степенные ряды можно почленно дифференцировать в интервале сходимости любое число раз и для S(x).
• 4)Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому промежутку, принадлежащему интервалу сходимости.
• Понятие о ряде Тейлора:
• Всякая функция при соблюдении определённых условий в интервале, содержащем точку ,может быть представлена в нём в виде степенного ряда, и этот ряд будет её рядом Тейлора.
• Опр-е: Рядом Тейлора функции f(x) называется степенной ряд вида:
• Рядом Маклорена функции f(x) называется ряд:
• Ряды Тейлора и Маклорена есть разложение функции в ряд по степеням ( ) и соответственно ,или представление функции в окрестности точек или степенным рядом.

Коэффициенты рядов Тейлора и Маклорена вычисляются через значения производных функции всех порядков в точках = и = 0 соответственно.Но существование производных любого порядка не является достаточным условием разложимости функции в ряд Тейлора.

1. Достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора:
2. Всякая функция ,бесконечно дифференцируемая в интервале < r,может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд, называемый рядом Тейлора,если в этом интервале остаток ряда стремится к нулю .
3. Остаток ряда Тейлора можно записать в форме Лагранжа
4. где С некоторая произвольная точка рассматриваемого интервала.
5. Условие выполняется,если производные всех порядков функции ограничены некоторым числом
6. Если записать ряд Тейлора вместе с остаточным членом,то получим формулу Тейлора:

60. Признак сходимости ряда Тейлора к порождающей его функции (док).

Теорема: Если степенной ряд по степеням сходящийся к функции в окружности т. , то он является рядом Тейлора функции в окружности т. .

Док-во: Пусть в окружности т. степенной ряд по степеням сходящийся к ∞-ой дифференцируемой функции т.е

• продифференцируем степенной ряд:
• при получаем:

Ч.т.д.

Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:

Источник: https://megalektsii.ru/s29117t7.html