Закон распределения молекул по скоростям — справочник студента

Закон Максвелла о распределении молекул по скоростям

Если газ находится в равновесии, молекулы движутся хаотически, и все направления их движения равновероятны. Скорости молекул могут быть самыми различными по модулю и при каждом соударении с другими молекулами изменяются случайным образом.

В газе, находящемся в состоянии равновесия, устанавливается стационарное распределение молекул по скоростям, подчиняющееся определенному статистическому закону. Этот закон был выведен теоретически Дж. Максвеллом.

Максвелл предполагал, что вещество состоит из очень большого числа тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при одинаковой температуре.

Также предполагалось, что силовые поля на газ не действуют.

Закон Максвелла описывается некоторой функцией f(v), называемой функцией распределения молекул по модулям скоростей. Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы, равные dv, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул dN(v), скорости которых заключены в этом интервале.

  • Функция f(v) определяет относительное число молекул dN(v)/N, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv, то есть:
  • dN(v)/N=f(v)dv, откуда f(v)=dN(v)/Ndv (28)
  • Применяя методы теории вероятностей, Дж. Максвелл нашел вид функции распределения молекул идеального газа по модулям скоростей хаотического движения:

Закон распределения молекул по скоростям - Справочник студента (29)

Из (29) следует, что конкретное распределение зависит от рода газа (от массы молекулы ) и от его термодинамической температуры. Очевидно, что функция распределения не зависит ни от давления, ни от объема газа. График функции распределения имеет вид, показанный на рис. 5.

Закон распределения молекул по скоростям - Справочник студента Рис. 5. График функции распределения молекул по скоростям

Выражение dN(v)/N=f(v)dv представляет собой вероятность встретить молекулу со скоростью, принадлежащей интервалу (v;v+dv). Эта вероятность равна площади заштрихованной полоски с основанием dv (рис. 5). Относительная доля молекул, имеющих определенную скорость, равна нулю.

Площадь под кривой f(v) равна вероятности достоверного события – встретить молекулу со скоростью, принадлежащей интервалу (0;∞), то есть равна единице. Это означает, что функция удовлетворяет условию нормировки:

f(v)dv=1 (30)

  1. Наиболее вероятная vв, средняя арифметическая и среднеквадратичная скорости молекул.
  2. Наиболее вероятная скорость соответствует максимуму функции распределения, ведь именно этой скоростью будет обладать наибольшее число молекул. Ее значение найдется из условия экстремума функции f(v):

Закон распределения молекул по скоростям - Справочник студента

vв=√(2kT/m0)=√(2kNAT/m0NA)=√(2RT/M) (31)

Отсюда видно, что при увеличении температуры T максимум кривой распределения сместится вправо, так как при увеличении T увеличивается vв, которая определяет положение максимума.

Но площадь под кривой должна оставаться постоянной. Поэтому величина максимума будет уменьшаться. Влияние же массы молекулы m0 будет обратным.

Влияние температуры и массы молекулы на вид функции распределения показано на рис. 6.

Закон распределения молекул по скоростям - Справочник студента Рис. 6. Влияние параметров газа на вид функции распределения

  • Выражение для средней скорости определяется по формуле:

=vf(v)dv=√(8kT/πm0)=√(8kNAT/πm0NA)=√(8RT/πM) (32)

  1. Аналогично найдем выражение для среднеквадратичной скорости:

=v2f(v)dv.

  • Произведя интегрирование, получим:
  • =√(3RT/M) (33)
  • Из сравнения найденных скоростей вытекает:
  • =√(3RT/M) > =√(8RT/πM) > vв=√(2RT/M).
  • Соотношения между скоростями:
  • vв : : = √2 : √(8/π) : √3 = 1 : 1,13 : 1,22
  • При комнатной температуре T=300K средняя арифметическая скорость молекул кислорода будет равна:
  • =√(8RT/πM)=√(8·8,31·300/π·0,032)≈500 м/с

Первое экспериментальное определение скоростей молекул было осуществлено Штерном в 1920 г: подтвердилась правильность оценки средней скорости молекул, вытекающей из распределения Максвелла; о характере распределения этот опыт дал лишь приближенные сведения. Более точно закон Максвелла был проверен в опыте Ламмерта (1929 г.).

Из функции распределения молекул по модулям скоростей можно получить функцию распределения молекул по кинетическим энергиям теплового движения:

Закон распределения молекул по скоростям - Справочник студента (34)

  1. Найдем среднюю кинетическую энергию молекулы идеального газа:

Закон распределения молекул по скоростям - Справочник студента (35)

Источник: http://testent.ru/publ/studenty/fizika/zakon_maksvella_o_raspredelenii_molekul_po_skorostjam/37-1-0-1639

Распределение молекул газа по скоростям. Закон Максвелла

Часть 2 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

Раздел 4 ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ

4.7. Распределение молекул газа по скоростям. Закон Максвелла

В равновесном состоянии параметры газа
остаются неизменными, однако мікростани — взаимное расположение молекул, их
скорости непрерывно меняются.

Поскольку все направления движения
равновероятны, распределение молекул по направлениям будет равномерным. Скорости молекул
составляют от нуля до бесконечности. Эти значения не являются равно вероятными.

Очень большие и очень малые по сравнению с
средним значением скорости маловероятны, к тому же вероятность определенного
значение и стремится к нулю как при υ —> 0, так и при
υ —> ∞. Из указанного следует, что скорости молекул
группируются в основном около некоторого наиболее вероятного значения.

Следовательно, распределение молекул по
скоростями не произвольный и должно подлежать определенному закону. Этот закон касается
не каждой данной молекулы, а всей совокупности молекул, то есть он является статистическим.

Закон распределения молекул по скоростям
установил Дж. Максвелл
в 1869 г. Обоснованию
и установлению границ его применения посвящены научные труды российского
физика Г. М. Пирогова.

Распределение молекул по
скоростями показано на рис. 4.2.

Закон распределения молекул по скоростям - Справочник студента

Рис. 4.2

По оси абсцисс отложено значение
скорости отдельных молекул
газа.

Если υ и υ + dυ — достаточно близкие значения
скорости, а — соответствующее среднее значение ординаты, то =dN (площадь элементарной полосы под
кривой) есть число молекул, скорость которых лежит в пределах от υ до υ + dυ.

Тогда площадь под кривой будет равна
общему числу молекул исследуемого газа N. Считают также, что все молекулы
этого газа одинаковы и температура во всех частях газа и сама.

Рассматривая кривые распределения
скоростей молекул, можно отметить следующие особенности:

1. Кривая распределения скоростей
молекул газа проходит через начало координат. Следовательно, нет молекул, которые бы не
двигались.

2. Кривая имеет максимум, после которого
асимптотически приближается к оси абсцисс. Следовательно, очень большие скорости
маловероятны. Это возможно только при условии, что молекула при многих столкновениях с
другими молекулами будет получать энергию, а не отдавать ее, что является невероятным.

3. Кривая распределения скоростей
несимметричная — с одной стороны, спад кривой круче, чем по второму.

  • Закон распределения Максвелла можно записать так:
  • Закон распределения молекул по скоростям - Справочник студента
  • где
    N — общее число молекул в данной массе газа; dN — число молекул, скорости которых лежат в пределах от υ до υ + dυ; υи — наиболее вероятная скорость.

На рис. 4.2 кривая, изображенная
штриховой линией, соответствует распределению молекул по скоростям при более высокой
температуре, чем температура, которой соответствует кривая, изображенная сплошной
линией. Сопоставление этих двух кривых наглядно выявляет особенности распределения
Максвелла.

Кривая Максвелла с повышением температуры становится более пологой: это
означает, что распределение молекул по скоростям становится рівномірнішим. Чем выше
температура, тем выше поднимается правая часть кривой и тем ниже опускается
ее левая часть.

Это означает, что с повышением температуры увеличивается часть
молекул, скорости которых превышают наиболее вероятный скорость, и уменьшается
часть молекул с малыми скоростями.

Скорость υi, которая соответствует максимуму кривой
распределения скоростей молекул (см. рис. 4.2), называется наиболее вероятной
скоростью. Согласно теории Максвелла наиболее вероятный скорость можно определить
по формуле

  1. Закон распределения молекул по скоростям - Справочник студента
  2. где
    R — универсальная газовая постоянная; Т —
    абсолютная температура; μ — молярная масса.
  3. Средняя квадратичная скорость
    определяется так:
  4. Закон распределения молекул по скоростям - Справочник студента
  5. Среднюю арифметическую скорость,
    согласно теории, можно вычислить по формуле
  6. Закон распределения молекул по скоростям - Справочник студента

Исходя из соотношений
(4.31)—(4.33), можем записать такое неравенство:

Закон распределения молекул по скоростям - Справочник студента

Любому явлению, что происходит в
среде с большим количеством частиц, присущий статистический характер. Такие
явления подчиняются законам больших чисел. Закон распределения молекул по скоростям
является типичным примером статистического закона. Выводы из него имеют вероятностный
характер.

Следует отметить, что установленный Максвеллом закон распределения молекул по
скоростями и все выводы из него исполняются только для газа, находящегося в
равновесном состоянии.

Источник: http://schooled.ru/physics/cholpan/44.html

Функция распределения молекул по скоростям (Максвелл) — "ЭРГОСФЕРА"

Пусть имеется n тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при определенной температуре.

После каждого акта столкновения между молекулами, их скорости меняются случайным образом.

В результате невообразимо большого числа столкновений устанавливается стационарное равновесное состояние, когда число молекул в заданном интервале скоростей сохраняется постоянным.

       В результате каждого столкновения проекции скорости молекулы испытывают случайное изменение на Δυx, Δυy, Δυz, причем изменения каждой проекции скорости независимы друг от друга. Будем предполагать, что силовые поля на частицы не действуют.

Найдем в этих условиях, каково число частиц dn из общего числа n имеет скорость в интервале от υ до υ+Δυ.

При этом мы не можем ничего определенного сказать о точном значении скорости той или иной частицы υi, поскольку за столкновениями и движениями каждой из молекул невозможно проследить ни в опыте, ни в теории. Такая детальная информация вряд ли имела бы практическую ценность.  

Распределение молекул идеального газа по скоростям впервые было получено знаменитым английским ученым Дж. Максвеллом в 1860 году с помощью методов теории вероятностей.

Закон распределения молекул по скоростям - Справочник студента Максвелл Джеймс Клерк (1831 – 1879) – английский физик. Работы посвящены электродинамике, молекулярной физике, общей статике, оптике, механике, теории упругости. Установил статистический закон, описывающий распределение молекул газа по скоростям. Самым большим достижением Максвелла является теория электромагнитного поля, которую он сформулировал в виде системы нескольких уравнений, выражающих все основные закономерности электромагнитных явлений.

     

       Вывод формулы функции распределения молекул по скоростям есть в учебнике Ю.И Тюрина и др. (ч. 1) или И.В. Савельева (т. 1). Мы воспользуемся результатами этого вывода.

       Скорость – векторная величина. Для проекции скорости на ось х (x-й составляющей скорости) из (2.2.1) имеем

Закон распределения молекул по скоростям - Справочник студента

тогда

Закон распределения молекул по скоростям - Справочник студента (2.3.1)

где А1 – постоянная, равная 

       Графическое изображение функции показано на рисунке 2.2. Видно, что доля молекул со скоростью  не равна нулю. При ,  (в этом физический смысл постоянной А1).

Закон распределения молекул по скоростям - Справочник студента Рис. 2.2       Приведённое выражение и график справедливы для распределения молекул газа по x-компонентам скорости. Очевидно, что и по y— и z-компонентам скорости также можно получить:

Закон распределения молекул по скоростям - Справочник студента

       Вероятность того, что скорость молекулы одновременно удовлетворяет трём условиям: x-компонента скорости лежит в интервале от υх до υх+dυх; y-компонента, в интервале от υy до υy+dυy; z-компонента, в интервале от υz до υz+dυz будет равна произведению вероятностей каждого из условий (событий) в отдельности:где , или

(2.3.2)

       Формуле (2.3.2) можно дать геометрическое истолкование: dnxyz – это число молекул в параллелепипеде со сторонами dυx, dυy, dυz, то есть в объёме dV=dυxdυydυz(рис. 2.3), находящемся на расстоянии  от начала координат в пространстве скоростей.

       Эта величина (dnxyz) не может зависеть от направления вектора скорости . Поэтому надо получить функцию распределения молекул по скоростям независимо от их направления, то есть по абсолютному значению скорости.

       Если собрать вместе все молекулы в единице объёма, скорости которых заключены в интервале от υ до υ+dυ по всем направлениям, и выпустить их, то они окажутся через одну секунду в шаровом слое толщиной dυ и радиусом υ (рис. 2.4). Этот шаровой слойскладывается из тех параллелепипедов, о которых говорилось выше.

Рис. 2.3 Рис. 2.4

       Объём этого шарового слоя       Общее число молекул в слое, как следует из (2.3.2)       Отсюда следует закон распределения молекул по абсолютным значениям скоростей Максвелла:

(2.3.3)

где – доля всех частиц в шаровом слое объема dV, скорости которых лежат в интервале от υ до υ+dυ.

       При dυ = 1 получаем плотность вероятности, или функцию распределения молекул по скоростям:

(2.3.4)

       Эта функция обозначает долю молекул единичного объёма газа, абсолютные скорости которых заключены в единичном интервале скоростей, включающем данную скорость.

Читайте также:  Отличительные особенности конституционных прав и свобод - справочник студента

       Обозначим:  тогда из (2.3.4) получим:

(2.3.5)

       График этой функции показан на рисунке 2.5. Рис. 2.5       Выводы:

  • Вид распределения молекул газа по скоростям для каждого газа зависит от рода газа (m) и от параметра состояния (Т). Давление P и объём газа V на распределение молекул не влияют.
  • В показателе степени стоит отношение , т.е. кинетической энергии, соответствующей данной скорости υ к (kТ) – средней энергии теплового движения молекул при данной температуре, значит распределение Максвелла характеризует распределение молекул по значениям кинетической энергии (то есть показывает, какова вероятность при данной температуре иметь именно такое значение кинетической энергии).

       Рассмотрим пределы применимости классического описания распределения частиц по скоростям. Для этого воспользуемся соотношением неопределенностей Гейзенберга. Согласно этому соотношению координаты и импульс частицы не могут одновременно иметь определенное значение. Классическое описание возможно, если выполнены условия: 

  •        Здесь  – постоянная Планка – фундаментальная константа, определяющая масштаб квантовых (микроскопических) процессов.
  •        Таким образом, если частица находится в объеме , то в этом случае возможно описание ее движения на основе законов классической механики.
  •        Наиболее вероятная, среднеквадратичная и средняя арифметическая скорости молекул газа
  •        Рассмотрим, как изменяется с абсолютной величиной скорости число частиц, приходящихся на единичный интервал скоростей, при единичной концентрации частиц.
  •        График функции распределения Максвелла
,

приведен на рисунке 2.6. Рис. 2.6       Из графика видно, что при «малых» υ, т.е. при , имеем ; затем достигает максимума А и далее экспоненциально спадает .

       Величину скорости, на которую приходится максимум зависимости , называют наиболее вероятной скоростью.

       Найдем эту скорость из условия равенства производной .

, (2.3.6)

– наиболее вероятная скорость одной молекулы.

       Для одного моля газа:

. (2.3.7)

       Среднюю квадратичную скорость найдем, используя соотношение :

. – для одной молекулы; (2.3.8)
. (2.3.9)

       Средняя арифметическая скорость:

.  .

где  – число молекул со скоростью от υ до υ+dυ. Если подставить сюда f(υ) и вычислить, то получим:

. – для одной молекулы; (2.3.10)
. (2.3.11)

       Все три скорости незначительно отличаются друг от друга множителем порядка единицы, причем 

  1. Формула Максвелла для относительных скоростей
  2.        Для решения многих задач удобно использовать формулу Максвелла, где скорость выражена в относительных единицах.
  3.        Относительную скорость обозначим через u:
(2.3.12)

где . Тогда из (2.3.3), получим

. (2.3.13)

Это уравнение универсальное. В таком виде функция распределения не зависит ни от рода газа, ни от температуры.

       На рисунке 2.7 показано максвелловское распределение частиц f(υ), имеющих скорости от υ до υ+dυ. За единицу скорости здесь взята наиболее вероятная скорость.

       Полезно знать, что .

 Рис. 2.7

Зависимость функции распределения Максвелла от массы молекул и температуры газа

       На рисунке 2.8 показана зависимость f(υ) при различных температурах и массах молекул газа.

 Рис. 2.8       Из рисунка 2.8 можно проследить за изменением f(υ) при изменении m и T. В данном случае  (при T = const ) или  (при m = const). Площадь под кривой величина постоянная, равная единице (), поэтому важно знать как будет изменяться положение максимума кривой:

кроме того

       Максвелловский закон распределения по скоростям и все вытекающие следствия справедливы только для газа в равновесной системе. Закон статистический, и выполняется тем лучше, чем больше число молекул.

Источник: https://www.sites.google.com/site/proektergosfera/izbrannye-voprosy-i-zadaci-fiziki/funkcia-raspredelenia-molekul-po-skorostam-maksvell

Физика Б1.Б8

Молекулярная физика — это раздел физики, который рассматривает свойства макроскопических тел и их агрегатные состояния с точки зрения их молекулярного строения, взаимодействия и движения молекул. Она изучает явления, происходящие внутри макроскопических тел.

Основы молекулярной физики были заложены трудами Ломоносова, Джоуля, Больцмана, Клаузиуса, Максвелла и других ученых. Благодаря их трудам молекулярная физика прочно утвердилась в науке. Непосредственным опытным подтверждением молекулярно-кинетической теории являются процесс диффузии, броуновского движения, распространения запаха и многие другие явления.

Движение каждой молекулы в веществе может быть описано законами классической механики. Однако число молекул в веществе чрезвычайно велико, направления и величины скоростей молекул совершенно случайны и непрерывно изменяются так, что становится невозможным охватить уравнениями движения всю совокупность молекул и сделать какие-либо выводы об их поведении.

Тем не менее, состояние вещества и его изменение определяется заданием небольшого числа определенных параметров, как температура, давление, объем, плотность и т.д., значения которых невозможно указать на основе решений уравнений классической механики.

Дело в том, что свойства огромного числа молекул подчиняется особым, статистическим закономерностям. Статистическая физика изучает статистические закономерности, описывающие поведение большой совокупности объектов.

Она основывается на теории вероятностей и позволяет вычислять средние значения величин, характеризующих движение всей совокупности молекул (средние скорости молекул, средние кинетические энергии, средние значения импульса и т. д.

) и на этой основе истолковывает свойства вещества, непосредственно наблюдаемые на опыте (давление, температура и т.д.). В этом состоит суть молекулярно-кинетического изучения вещества.

Наряду со статистическим, существует термодинамический метод изучения вещества. В отличие от статистического метода термодинамический метод не интересуется  строением вещества. Термодинамика изучают условия превращения энергии и характеризует их с количественной стороны.    

В основе термодинамики лежит небольшое число закономерностей, установленных на основе большого числа опытных фактов и получивших название начала термодинамики.

У статистической физики и термодинамики общий предмет изучения – свойства вещества и происходящие в нем процессы. Подходя к изучению этих свойств с разных точек зрения, эти методы взаимно дополняют друг друга. 

 Совокупность тел, могущих обмениваться энергией между собой и с внешними телами, не входящими в эту систему, называется термодинамической системой. Одним из основных понятий термодинамики является понятие состояния системы.

Состояние системы определяется совокупностью значений всех величин, характеризующих физические свойства системы и называемых термодинамическими параметрами (температура, давление плотность, теплоемкость, электропроводность и т. д.). Состояние системы называется стационарным, если значения всех термодинамических параметров не изменяются во времени.

Стационарное состояние называется равновесным, если его неизменность не обусловлена протеканием каких-либо процессов во внешних по отношению к данной системе телах.

Исследования показывают, что параметры состояния тел взаимно связаны и могут быть выражены друг через друга. Поэтому термодинамическое состояние задается только ограниченным числом параметров состояния. Такие параметры называются основными параметрами состояния.

  Важнейшими параметрами состояния химически однородных систем являются плотность, объем, давление, температура. И между этими параметрами существует связь, выражаемая в виде математического уравнения .

Уравнение, связывающее основные параметры состояния, называется уравнением состояния системы.

Источник: https://moodle.kstu.ru/mod/book/view.php?id=31604&chapterid=7355

ПОИСК

    Закон распределения скоростей. Можно доказать, что ни одна из молекул газа не может сохранять все время постоянную скорость. При каждом столкновении между двумя молекулами кинетическая энергия распределяется между ними самым различным образом в зависимости от условий соударения, причем только сумма этих энергий остается постоянной.

Поэтому для более подробного рассмотрения движения молекул необходимо выяснить распределение их по скоростям. Максвелл и Больцман определили, сколько молекул при данной температуре движется с какой-либо определенной скоростью. Они получили уравнение, которое характеризует распределение молекул по скоростям  [c.19]     Закон распределения скоростей Максвелла.

До сих пор мы для простоты предполагали, что все молекулы имеют одну и ту же среднюю (квадратичную) скорость и и соответствующую ей одну и ту же среднюю кинетическую энергию в = = тй — В действительности же молекулы имеют самые раз- [c.

128]

    Обозначая число молекул, скорость которых находится в интервале между 5 и + 5, через а общее число молекул через М, получаем следующий закон распределения скоростей Максвелла [c.150]

    Уравнение (548), полученное Максвеллом, выражает закон распределения скоростей газовых молекул. Применяя его, можно определить число молекул, обладающих любой заданной скоростью. [c.242]

    При рассмотрении молекулярного теплообмена в газовой среде он считал необходимым учитывать изменения молекулярной скорости в зависимости от температуры и от направления движения молекулы, полагая справедливым закон распределения скоростей по Максвеллу для данной точки газовой среды. [c.120]

    Активные молекулы первоначально рассматривали как особую, как бы таутомерную форму молекул реагирующего вещества.

Только значительно позднее представление об активных молекулах стало принимать современный вид. Д. В.

Алексеев применил (1915—1924) для объяснения природы активных молекул закон распределения молекул по скоростям ( 34), показав статистический характер зависимости. [c.478]

    Изучение свойств газов привело к кинетической теории газов. Согласно кинетической теории газ представляют как совокупность атомов или молекул, находящихся в движении. Атомы или молекулы движутся по прямым линиям, сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда, меняя свое направление по закону столкновения упругих тел, — угол падения равен углу отражения.

Молекулы движутся с различными скоростями (закон распределения скоростей Максвелла). Наибольшими средними скоростями обладают молекулы самых легких газов. Для водорода, например, средняя скорость при 0° С 1698 см сек. Скорости молекул других простых и сложных газов составляют приблизительно 400—300 см сек. Удары движущихся молекул о стенки сосуда обусловливают давление газов.

[c.125]

    Закон распределения скоростей газовых молекул [c.239]

    Максвелл (1860) вычислил распределение скоростей молекул в газе и пришел к закону распределения скоростей. В таблице 1 приведены результаты вычисления по этому закону распределения скоростей молекул кислорода при 0° С. [c.26]

    Согласно закону распределения скоростей молекул число активных молекул N. обладающих энергией выше некоторого значения Е, определяется уравнением [c.803]

    Теория столкновений. Уравнение Аррениуса получило дополнительное подтверждение в том, что его удалось вывести из закона распределения скоростей молекул Максвелла — Больцмана.

Из этого закона можно сначала получить выражение, дающее возможность вычислять отношение Ni/iV, где N — общее число молекул и JVi — число молекул, кинетическая энергия которых превышает некоторую данную величину Е.

Вместо строгого вывода уравнения для трехмерного газа можно рассмотреть значительно более простой случай газа, имеющего только два намерения. Таким путем мы [c.220]

    Число diV,J молекул, скорости которых лежат в интервале между и и и- -с1и, выражается следующим законом распределения скоростей Максвелла  [c.129]

    Определённость поверхностного натяжения чистой жидкости.

Поверхностное натяжение совокупности совершенно одинаковых молекул, различающихся только своей кинетической энергией, согласно обычному закону распределения скоростей, должно быть постоянно, так как оно представляет собой среднюю работу, необходимую для заполнения одного квадратного сантиметра свободной поверхности молекулами, выводимыми изнутри жидкости против втягивающих сил, испытываемых поверхностными молекулами. Нередко, впрочем, существует такое положение, когда обычная чистая жидкость представляет собой в действительности совокуп- [c.208]

    Распределение молекул по скоростям. Д. К. Максвелл (1860) вычислил распределение скоростей молекул в газе и открыл закон распределения скоростей. В таблице 1 приведены результаты вычисления распределения молекул кислорода. [c.20]

    В основу расчета кинетики сложных реакций положен принцип независимости различных реакций (см. гл. I, 7). Его применение сильно упрощает задачу составления уравнений скоростей протекания реакций.

Принцип независимости различных реакций не выполняется, если химические реакции в системе протекают с настолько большими скоростями, что происходит нарушение закона распределения скоростей молекул газа Максвелла или если в результате образования продуктов реакции сильно изменяются свойства среды. [c.39]

    Сущность закона распределения скоростей между молекулами можно понять из рассмотрения табл. 2-2.

В левом столбце таблицы указаны пределы относительных значений скоростей, причем значение наиболее вероятной скорости принято за единицу.

В правом столбце приведены соответствующие данным пределам относительные количества молекул (в процентах), причем все количество молекул газа принято за 100%. [c.30]

Читайте также:  Методы оценки и диагностики эмоциональных состояний - справочник студента

    Закон распределения скоростей, обусловливающий возможность оперировать с определенными значениями средних скоростей теплового движения молекул, позволяет также вычислить очень важную величину, играющую большую роль во многих вопросах вакуумной техники.

Этой величиной является количество молекул газа, ударяющихся в 1 см стенки сосуда, содержащего газ, за 1 сек. Обозначим ее через Подсчет, основанный на законе распределения скоростей, приводит к следующему простому выражению для А/,  [c.

31]

    Табл.

2-2 иллюстрирует закон распределения скоростей в том смысле, что при любой данной температуре существуют определенные доли (проценты) всего количества молекул, обладающие весьма малыми скоростями, но и доли эти очень невелики по мере того как мы будем отбирать молекулы, обладающие все большими скоростями, соответствующие доли таких молекул также возрастают наибольшая (относительно) доля молекул (16,1%) обладает скоростями, близкими к наиболее вероятной скорости (пределы скоростей равны 0,9- 1,1 а), но по мере дальнейшего отбора молекул со все большими скоростями доли становятся уже меньшими и, наконец, хотя и существует некоторая доля молекул, обладающая очень большими скоростями (>3а), она очень мала (0,3%). [c.30]

    Используя закон распределения скоростей Максвелла (см. ниже), можно вывести соотношение и) = 0,92)/w Как следует из урав-нен/1я (7), скорость молекул, а также скорость диффузии или скорость вытекания газа через узкое отверстие зависят от массы молекул (закон истечения Бунзена). Следует отметить, что этот факт используется при разделении газов и изотопов. [c.19]

    Действительное распределение скоростей молекул в газе можно определить как теоретически, так и экспериментально. Теоретический вывод закона распределения скоростей Максвелла можно найти в учебниках физической химии. Здесь будет кратко рассмотрено экспериментальное определение скоростей молекул газов (рис. 5). Оно было проведено Штерном, который использовал стро- [c.19]

    Скорости движения молекул газа неодинаковы. Каждая молекула газа, находясь в непрерывном тепловом движении, сталкивается с другими молекулами, изменяя величину и направление скорости своего движения.

В кинетической теории газов устанавливается закон распределения скоростей молекул газа при различных температурах. При элементарных рассуждениях допускается, что распределение скоростей молекул подчиняется так называемому закону Максвелла.

Функции распределения для более сложных случаев даются Д. Энскогом и С. Чепменом. [c.27]

    Максвелл вывел уравнение распределения молекул по скоростям для условий, когда имеется достаточное число молекул газа. Этот закон имеет универсальный характер и справедлив для теплового движения молекул и атомов в любых телах. Вывод закона основан на классической механике.

Поэтому его справедливость в такой же мере ограничена квантовыми явлениями, как и вообще применимость классической механики к тепловому движению. Следовательно, закон распределения скоростей по Максвеллу справедлив в области применения классической статистики. [c.

28]

    С другой стороны, согласно закону распределения скоростей между молекулами газа (Максвелл —Больцман), доля общего числа молекул, обладающих энергией, равной или большей чем , равна [c.175]

    Для объяснения природы активных молекул Д. А. Алексеев воспользовался законом распределения скоростей Максвелла. Этому закону отвечает кривая, выражающая распределение молекул ио их скоростям при данной температуре. В качестве примера па рис. 2.

14 приведены такие кривые для N20s(r), показывающие взаимосвязь скорости молекул и процентного содержания молекул, обладающих определенным интервалом скорости (в данном случае от и до -f 0>01 м/с).

Каждая из изотерм, круто поднявшись и пройдя через максимум, медленно опускается, асимптотически приближаясь к осп абсцисс. При больщих значениях и кривая практически сливается с осью абсцисс, поэтому для и > > 1000 м/с кривые на рис. 2.

14 даны в огромном увеличении по, оси ординат (правая часть чертежа). Максимумы на изотермах [c.218]

    Для объяснения природы активных молекул Д. А. Алексеев воспользовался законом распределения скоростей Максвелла. Этому закону отвечает кривая, выражающая распределение молекул по их скоростям при данной температуре. В качестве примера на рис.

32 приведены такие кривые для молекул N205. По оси абсцисс отложена скорость молекул, по оси ординат — процент молекул, обладающих определенным интервалом скорости (в данном случае от идо и+0,01 м1сек). Каждая из этих изотерм, круто подняв- [c.

109]

    Для объяснения природы активных молекул можно применить закон распределения скоростей Максвелла. Этот закон характеризует распределение молекул по их скоростям при данной температуре. В качестве примера на рис. 2.

13 приведены кривые распределения для N203(г), показывающие взаимосвязь скорости молекул и содержания их с определенным интервалом скорости (в данном случае от и до и+ 0,01 м/с). Каждая изотерма круто поднимается и, пройдя через максимум, медленно опускается, асимптотически приближаясь к оси абсцисс.

При большш значениях и кривая практически сливается с осью абсцисс (для и >1000 м/с кривые даны в огромном увеличении по оси ординат, правая часть рисунка). Максим мы на изотермах отвечают наиболее вероятной скорости молекул при данной температуре.

Площадь под кажлой кривой пропорциональна общему числу молекул заштрихованная часть площади пропорциональна числу молекул, скорость хоторьи при 300 К лежит в пределах от 1350 до 1500 м/с. [c.235]

    Крупным вкладом в развитие учения о скоростях химических реакций оказались работы Н. А. Меншуткина о скоростях образования сложных эфиров из спиртов и кислот (1877 —1884). Н. А. Меншуткин изучал влияние строения спиртов, а также и среды на скорость и предел реакций с кислотами.

Он исследовал также реакции образования амидов и анилидов из соответствующих солей при действии кислот. Н. А. Меншуткин пошел значительно дальше М. Бертло и П. Сен-Жиля, и его выводы и экспериментальные данные были использованы в развитии как химической кинетики, так и теории химического строения.

Плодотворными оказались кинетические представления. Основываясь на законе распределения скоростей молекул газа (установил К. Максвелл в 1859), Л.

Пфаундлер (1867—1874) пришел к выводу, что реакция может осуществляться лишь в результате соударений молекул, энергия которых (скорость движения) выше некоторой критической величины. Число таких активных молекул возрастает с повышением температуры. На основе этих воззрений К. Гульдберг и П. Вааге в 1879 г.

усовершенствовали закон действующих масс. С. Аррениус в 1889 г. развил теорию активных (возбужденных) молекул и предложил уравнение зависимости константы скорости реакции от энергии активации. [c.171]

    Молекулярный режим течения газа характеризуется тем, что частота столкновений между молекулами в элементарном объеме пренебрежимо мала, однако число молекул достаточно велико, чтобы можно было рассчитывать и измерять макроскопические свойства газа давление, температуру и массовую скорость.

Взаимодействие падающих и отраженных молекул газа у птаерхности твердого тела, помещенного в газ, незначительно и пограничный слой отсутствует. При таких условиях свойства течений могут быть определены в перво.м приближении из максвелловского закона распределения скоростей молекул. [c.

87]

    Особенно плодотворными оказались представления о том, что в гомогенных системах реакции протекают только в результате столкновений молекул, обладающих повышенной энергией. Закон распределения скоростей молекул был установлен Д. Максвеллом в 1859 г. Основываясь на этом законе, Л.

Пфаундлер пришел к выводу (1867—1874), что реакция может идти лишь при столкновении таких молекул, кинетическая энергия которых выше некоторой критической величины, превышающей среднюю энергию частиц.

При повьппении температуры число таких активных молекул с повышенной энергией возрастает по экспопенциально- [c.438]

    Закон распределения скоростей Максвелла. До сих пор мы считали, что все молекулы движутся с одной и той же средней скоростью, а следовательно, имеют одну и ту же кинетическук  [c.150]

    Применительно к закону распределения скоростей электронов. Для закона Максвелла 9=1, для закона Дрювейстейна любые значения, параметр же а определяется условием максимума функции (20). На рис. 1 показано, что экспериментальная кривая для уровня молекулы азота [c.22]

Источник: https://www.chem21.info/info/1117587/

1. Скорости газовых молекул. Опыт Штерна 2. Вероятность события. Понятие о распределении молекул газа по скоростям 3. Функция распределения Максвелла 4. — презентация

1 1. Скорости газовых молекул. Опыт Штерна 2. Вероятность события. Понятие о распределении молекул газа по скоростям 3. Функция распределения Максвелла 4. Барометрическая формула 5. Распределение Больцмана 6. Закон распределения Максвелла-Больцмана РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГАЗОВЫХ МОЛЕКУЛ ПО СКОРОСТЯМ И ЭНЕРГИЯМ

2 1. Скорости газовых молекул. Опыт Штерна В средине XIX века была сформулирована молекулярно-кинетическая теория, но тогда не было никаких доказательств существования самих молекул. Вся теория базировалась на предположении о движении молекул, но как измерить скорость их движения, если они невидимы.

  • 3 Теоретики первими нашли выход. Из уравнения молекулярно-кинетической теории газов известно, что Отсюда среднеквадратичная скорость равна:
  • 4 Например, при плотности азота, равной 1,25 кг/м 3, при t = 0 С и, скорости молекул азота. Для водорода:
  • 5 Опыт Штерна Схема установки О. Штерна

6 Платиновая нить А, покрытая снаружи серебром, располагается вдоль оси коаксиальных цилиндров S 1, S 3. Внутри цилиндров поддерживается низкое давление порядка Па. При пропускании тока через платиновую нить она разогревается до температуры выше точки плавления серебра (961,9 С).

Серебро испаряется, и его атомы через узкие щели в цилиндре S 1 и диафрагме S 2 летят к охлаждаемой поверхности цилиндра S 3, на которой они могут осаждаться. Если цилиндры S 1, S 3 и диафрагма не вращаются, то пучок осаждается в виде узкой полоски D на поверхности цилиндра S 3.

7 Опыт Штерна Если же вся система приводится во вращение с угловой скоростью то изображение щели смещается в точку D и становится расплывчатим.

8 Пусть l – расстояние между D и D /, измеренное вдоль поверхности цилиндра S 3, где – линейная скорость точек поверхности цилиндра S 3, радиусом R; время прохождения атомами серебра расстояния. Таким образом, имеем откуда – можно определить величину скорости теплового движения атомов серебра :

9 Температура нити в опытах Штерна равнялась 1200 С, что соответствует среднеквадратичной скорости молекул серебра В эксперименте получился разброс значений скорости от 560 до 640 м/с. Кроме того, изображение щели D всегда оказывалось размытим, что указывало на то, что атомы Ag движутся с различними скоростями.

10 Ещё в XIX веке Дж. Максвелл утверждал, что молекулы, беспорядочно сталкиваясь друг с другом, как-то «распределяются» по скоростям, причём вполне определённим образом. Таким образом, в этом опыте были не только измерены скорости газовых молекул, но и показано, что они имеют большой разброс по скоростям. Причина – в хаотичности теплового движения молекул.

11 2. Вероятность события.

Понятие о распределении молекул газа по скоростям С точки зрения атомно-молекулярного строения вещества величины, встречающиеся в макроскопической физике, имеют смысл средних значений, которые принимают некоторые функции от микроскопических переменных системы. Величины такого рода называются статистическими. Примерами таких величин являются давление, температура, плотность и др.

12 Большое число сталкивающихся атомов и молекул обуславливает важные закономерности в поведении статистических переменных, не свойственные отдельним атомам и молекулам. Такие закономерности называются вероятностними или статистическими

13 Математическое определение вероятности: вероятность какого-либо события – это предел, к которому стремится отношение числа случаев, приводящих к осуществлению события, к общему числу случаев, при бесконечном увеличении последних: Здесь n число раз, когда событие произошло, а n общее число опытов. Отсюда следует, что Р может принимать значения от нуля до единицы.

14 Молекулы движутся хаотически. Среди них есть и очень быстрые, и очень медленные. Благодаря беспорядочному движению и случайному характеру их взаимных столкновений, молекулы определённим образом распределяются по скоростям. Это распределение оказывается однозначним и единственно возможним, и не только не противоречит хаотическому движению, но именно им и обусловлено.

15 Будем искать число частиц ( n) скорости которых лежат в определённом интервале значения скорости υ ( т.е. от υ до ). Здесь n – число молекул, попавших в этот интервал. Для единицы объёма n должно быть пропорционально: интервалу скорости υ, концентрации молекул n, самой скорости молекул υ. Таким образом

16 Здесь – функция распределения молекул по скоростям, n – концентрация молекул и — интервал значений скоростей. Перейдя к пределу, получим Физический смысл f( υ ) в том, что это отношение числа молекул, скорости которых лежат в определенном интервале скоростей, к общему числу молекул в единичном интервале скоростей:

17 Таким образом, f(υ) – имеет смысл вероятности, то есть показывает, какова вероятность любой молекулы газа в единице объёма иметь скорость, заключённую в единичном интервале, включающем заданную скорость υ. В данном случае f(υ) называют плотностью вероятности.

18 3. Функция распределения Максвелла Пусть имеется n тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при определенной температуре.

После каждого столкновения между молекулами, их скорости меняются случайним образом.

В результате невообразимо большого числа столкновений устанавливается стационарное равновесное состояние, когда число молекул в заданном интервале скоростей сохраняется постоянним.

19 В результате каждого столкновения проекции скорости молекулы испытывают случайное изменение на υ x, υ y, υ z, причем изменения каждой проекции скорости независимы друг от друга. Найдем в этих условиях, каково число частиц dn из общего числа n имеет скорость в интервале от до

20 Распределение молекул идеального газа по скоростям впервые было получено знаменитим английским ученим Дж. Максвеллом в 1860 году с помощью методов теории вероятностей.

Максвелл Джеймс Клерк (1831 – 1879) – английский физик. Работы посвящены электродинамике, молекулярной физике, общей статике, оптике, механике, теории упругости.

Установил статистический закон, описывающий распределение молекул газа по скоростям.

  1. 21 Скорость – векторная величина. Для проекции скорости на ось х (x-ой составляющей скорости), имеем тогда или
  2. 22 Видно, что доля молекул со скоростью не равна нулю. При,
  3. 23 Приведённое выражение и график справедливы для распределения молекул газа по x-им компонентам скорости. Очевидно, что и по y–им и z–им компонентам скорости также можно получить:
  4. 24 Вероятность того, что скорость молекулы одновременно удовлетворяет трём условиям: x – компонента скорости лежит в интервале от υ х до ; y – компонента, в интервале от υ y до ; z – компонента, в интервале от υ z до будет равна произведению вероятностей каждого из условий (событий) в отдельности: где
  5. 25 Или Этой формуле можно дать геометрическое истолкование: dn xyz – это число молекул в параллелепипеде со сторонами dυ x, dυ y, dυ z, то есть в объёме находящемся на расстоянии от начала координат в пространстве скоростей.
  6. 26

27 Величина (dn xyz ) не может зависеть от направления вектора скорости. Поэтому надо получить функцию распределения молекул по скоростям независимо от их направления, то есть по абсолютному значению скорости.

Если собрать вместе все молекулы в единице объёма, скорости которых заключены в интервале от υ до по всем направлениям, и выпустить их, то они окажутся через одну секунду в шаровом слое толщиной d υ и радиусом υ

  • 28
  • 29 Объём этого шарового слоя: Общее число молекул в слое:
  • 30 Отсюда следует закон Максвелла – распределение молекул по абсолютним значениям скоростей: где – доля всех частиц единичного объёма, скорости которых лежат в интервале от υ до
  • 31 При получаем плотность вероятности, или функцию распределения молекул по скоростям: Эта функция обозначает долю молекул единичного объёма газа, абсолютные скорости которых заключены в единичном интервале скоростей, включающем данную скорость.
  • 32 Обозначим тогда получим:

33 Выводы: — Вид распределения молекул газа по скоростям, для каждого газа зависит от массы m и температуры Т газа и не зависит от давления P и объёма V газа.

— В показателе степени стоит отношение, кинетической энергии, соответствующей данной скорости υ к средней энергии теплового движения молекул при данной температуре: Значит распределение Максвелла характеризует распределение молекул по значениям кинетической энергии (показывает, какова вероятность при данной температуре иметь такое значение кинетической энергии).

34 Рассмотрим пределы применимости классического описания распределения частиц по скоростям. Для этого воспользуемся соотношением неопределенностей Гейзенберга. Согласно этому соотношению координаты и импульс частицы не могут одновременно иметь определенное значение. Классическое описание возможно, если выполнены условия:

35 Здесь – фундаментальная константа (постоянная Планка), определяющая масштаб квантовых (микроскопических процессов). Таким образом, если частица находится в объеме, то в этом случае возможно описание ее движения на основе законов классической механики.

36 Рассмотрим, как изменяется с абсолютной величиной скорости число частиц, приходящихся на единичный интервал скоростей, при единичной концентрации частиц. Наиболее вероятная, среднеквадратичная и средняя арифметическая скорости молекул газа

37 Из графика видно, что при «малых» υ, т.е. при, имеем ; затем достигает максимума А и далее экспоненциально спадает.

38 Величина скорости, на которую приходится максимум зависимости называют наиболее вероятной скоростью. Величину этой скорости найдем из условия равенства нулю производной — наиболее вероятная скорость одной молекулы. Для одного моля газа:

39 Среднюю квадратичную скорость найдем используя соотношение : – для одной молекулы. – для одного моля газа.

40 Средняя арифметическая скорость υ ср где – число молекул со скоростью от υ до. Если подставить сюда f(υ) и вычислить, то получим: – для одной молекулы. – для одного моля газа.

  1. 41
  2. 42 Формула Максвелла для относительных скоростей Для решения многих задач удобно использовать формулу Максвелла, где скорость выражена в относительных единицах. Относительную скорость обозначим через u : где
  3. 43 Формула Максвелла для относительных скоростей Это уравнение универсальное. В таком виде функция распределения не зависит ни от рода газа, ни от температуры
  4. 44
  5. 45 Зависимость функции распределения Максвелла от массы молекул и температуры газа

46 Площадь под кривой величина постоянная, равная единице ( ), поэтому важно знать как будет изменяться положение максимума кривой: Максвелловский закон распределения по скоростям и все вытекающие следствия справедливы только для газа в равновесной системе. Закон статистический и выполняется тем лучше, чем больше число молекул.

47 Атмосферное давление на какой-либо высоте обусловлено весом выше лежащих слоёв газа. Пусть P – давление на высоте h, а – на высоте 4.

Барометрическая формула Причём dh>0, dР < 0, так как на большей высоте давление меньше.

Разность давления равна весу газа, заключённого в объёме цилиндра с площадью основания равного единице и высотой dh, ρ плотность газа на высоте h, медленно убывает с высотой.

48 – плотность газа на высоте h С = Р 0 – давление на высоте. — барометрическая формула

49 Из барометрической формулы следует, что P убывает с высотой тем быстрее, чем тяжелее газ (чем больше μ) и чем ниже температура (например, на больших высотах концентрация легких газов Не и Н 2 гораздо больше чем у поверхности Земли). На рисунке изображены две кривые, которые можно трактовать, либо как соответствующие разним μ (при одинаковой Т), либо как отвечающие разним Т, при одинаковых μ.

50 Таким образом, чем тяжелее газ (> μ) и чем ниже температура, тем быстрее убывает давление.

51 Распределение Больцмана определяет распределение частиц в силовом поле в условиях теплового равновесия. Пусть идеальный газ находится в поле консервативных сил, в условиях теплового равновесия. При этом, концентрация газа будет различной в точках с различной потенциальной энергией, что необходимо для соблюдения условий механического равновесия. 5. Распределение Больцмана

52 Число молекул в единичном объеме n убывает с удалением от поверхности Земли, значит и давление тоже убывает. Если известно число молекул в единичном объеме, то известно и давление, и наоборот.

Давление и плотность пропорциональны друг другу, поскольку температура в нашем случае постоянна.

Давление с уменьшением высоты должно возрастать, потому что нижнему слою приходится выдерживать вес всех расположенных сверху атомов.

53 Исходя из основного уравнения молекулярно- кинетической теории:, заменим P и P 0 в барометрической формуле на n и n 0 и получим распределение Больцмана для молярной массы газа: где n 0 и n число молекул в единичном объёме на высоте h = 0 и h, соответственно.

54 Так как, то распределение Больцмана можно представить в виде:

55 С уменьшением температуры число молекул на высотах, отличных от нуля, убывает. При T=0 тепловое движение прекращается, все молекулы расположились бы на земной поверхности. При высоких температурах, наоборот, молекулы оказываются распределённими по высоте почти равномерно, а плотность молекул медленно убывает с высотой.

56 Так как –потенциальная энергия, следовательно, распределение Больцмана характеризует распределение частиц по значениям потенциальной энергии: – это закон распределения частиц по потенциальним энергиям – распределение Больцмана. Здесь n 0 – число молекул в единице объёма в там, где U=0

57 На рисунке показана зависимость концентрации различных газов от высоты. Видно, что число более тяжелых молекул с высотой убывает быстрее, чем легких.

58 Можно получить отношение концентраций молекул в точках с U 1 и U 2 Больцман доказал, что соотношение справедливо не только в потенциальном поле сил гравитации, но и в любом потенциальном поле, для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

59 Из выражения для распределения молекул по скоростям можно найти распределение молекул газа по значениям кинетической энергии K. Для этого перейдём от переменной υ к переменной К : 6. Закон распределения Максвелла-Больцмана где dn(K) – число молекул, имеющих кинетическую энергию поступательного движения, заключённую в интервале от K до К+dК

60 Отсюда получим функцию распределения молекул по энергиям теплового движения: Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа:

61 Итак, закон Максвелла даёт распределение частиц по значениям кинетической энергии а закон Больцмана – распределение частиц по значениям потенциальной энергии. Оба распределения можно объединить в единый закон Максвелла-Больцмана, согласно которому, число молекул в единице объёма, скорости которых лежат в пределах от υ до υ+dυ равно:

62 Обозначим E=U+K – полная энергия. Тогда Это закон распределения Максвелла- Больцмана. Здесь n 0 – число молекул в единице объёма в той точке, где ;.

63 Потенциальная и кинетическая энергии, а следовательно и полная энергия Е, могут принимать непрерывный ряд значений. Если же энергия частицы может принимать лишь дискретный ряд значений Е 1, Е 2… (как это имеет место, например, для внутренней энергии атома), то в этом случае распределение Больцмана имеет вид:

64 где N i – число частиц, находящихся в состоянии с энергией Е i, а А – коэффициент пропорциональности, который должен удовлетворять условию: где N – полное число частиц в рассматриваемой системе.

65 Тогда, окончательное выражение распределения Максвелла-Больцмана для случая дискретных значений будет иметь вид:

Источник: http://www.myshared.ru/slide/1025096/

Ссылка на основную публикацию