Задача двух тел — справочник студента

Категория: Планиметрия (16 (C4))

Задача 1. В параллелограмм вписана окружность.

а) Докажите, что этот параллелограмм – ромб.

б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит ее на отрезки, равные 3 и 2. Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.

Решение:

а) Центр окружности O лежит на биссектрисе угла . Аналогично, поскольку окружность вписана и в угол , то ее центр О лежит также на биссектрисе этого угла.

Окружность в параллелограмме

б) Найдем площадь EFGH. Этот четырехугольник является прямоугольником, докажем это. По свойству касательных  и следовательно,  , . Также , . Так как диагонали ромба перпендикулярны, то и EFGH – прямоугольник.

Ход решения

Найдем его стороны и . Рассмотрим треугольник .

• Тогда по теореме Пифагора
• Найдем :
• Площадь треугольника BFO равна:
• Откуда
• найдем по теореме Пифагора:
• Теперь, зная стороны прямоугольника EFGH, найдем и его площадь:
• Ответ:

Задача 2. На катетах AB и BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC.Точка M – середина гипотенузы AB, H – точка пересечения прямых CM и DK.

а) Докажите, что .

б) Найдите MH, если известно, что катеты треугольника ABC равны 130 и 312.

Квадраты на сторонах треугольника

Решение:

а) Обозначим острые углы треугольника ABC и . Треугольник DCK равен треугольнику ABC по первому признаку, а значит, их углы равны.

Так как точка М – середина гипотенузы, а значит, центр описанной окружности треугольника ABC, то как радиусы описанной окружности. Поэтому угол – треугольник CMB равнобедренный. Угол как вертикальный.

1. б)
2. Треугольник подобен треугольнику . Из их подобия запишем:
3. Тогда
4. Ответ: 289

Задача 3. На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC.Точка M – середина стороны AB.

а) Докажите, что .

б) Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если AC=14, BC=16,  .

Квадраты на сторонах треугольника

Решение:

а) Обозначим угол . В треугольнике угол , потому что углы обоих квадратов равны , и если из вычесть эти , то .  Тогда по теореме косинусов для треугольника можем записать:

• , поэтому
• – медиана треугольника по условию. Длину медианы треугольника можно найти через длины его сторон по формуле:
• В свою очередь длина стороны по теореме косинусов равна:
• Тогда
• Так как  , то
• Таким образом, квадрат в четыре раза меньше квадрата , а значит, .

б) Определим сначала расстояние . Треугольник – прямоугольный по построению. Если удастся определить его катеты, то это позволит нам найти и гипотенузу также. Рассмотрим треугольник .  . – высота треугольника MAC, ее можно найти, зная площадь этого треугольника. Рассчитаем для этого площадь треугольника ABC по известной формуле:

1. Так как  .

Площади треугольников MAC и MCB равны, так как МС – медиана. Следовательно, площадь треугольника MAC равна 28. Отсюда легко найдем его высоту:

• Тогда первый искомый катет треугольника   .
• Второй катет , а – средняя линия треугольника ABC по построению, и равна 8. Тогда из прямоугольного треугольника находим:
• Таким образом, расстояние от точки M до центра первого квадрата X равно:
• Теперь найдем расстояние до центра второго квадрата MY.

Рассуждения все те же самые. Площадь треугольника MCB равна 28, основание – 16, отсюда его высота равна 3,5. , первый катет прямоугольного треугольника MLY .

1. Второй катет найдем из прямоугольного треугольника , в котором гипотенуза , так как является средней линией треугольника ABC по построению.
2. Тогда искомый катет равен:
3. По теореме Пифагора для треугольника MLY:
4. Ответ: 13

Задача 4. Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре, проходит через точку пересечения диагоналей.

а) Докажите, что ABCD – ромб.

б) Эта окружность пересекает сторону AB в точке M, причем AM:MB=3:1. Найдите диагональ AC, если известно, что .

Окружность на стороне параллелограмма

• Решение:
• а) Так как мы знаем, вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым, то треугольник AOD является прямоугольным, а следовательно, диагонали параллелограмма перпендикулярны друг другу, что означает, что он – ромб.
• б) Зная, что ABCD – ромб и все его стороны одинаковы, найдем AM и MB.
• Треугольник AMD – прямоугольный, поэтому
• Тогда в  треугольнике MBD, также прямоугольном, найдем BD:
• Половина диагонали:
• Половинка АС равна (из треугольника AOD):
• Ответ:

Задача 5. Точки и лежат на сторонах соответственно AC и AB треугольника ABC, причем . Прямые и пересекаются в точке О.

а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону BC.

б) Найдите отношение площади четырехугольника к площади треугольника ABC, если известно, что .

Отношение площадей

Решение:

а) Так как точки и делят стороны треугольника в одинаковых отношениях, то, каким бы ни было это отношение, прямая всегда будет параллельна BC, так как она отсекает от треугольника ABC подобные ему треугольники .

Таким образом, – трапеция. По теореме о четырех точках трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения боковых сторон – а  у нас это точка – лежат на одной прямой.

Таким образом, прямая поделит ровно пополам.

Равные треугольники

б) Треугольник подобен треугольнику с коэффициентом подобия , следовательно, его площадь будет составлять . Тогда площадь трапеции .  Поскольку в пять раз меньше, чем , то площадь треугольника в пять раз меньше, чем площадь треугольника : . Обозначим , тогда , .  Значит, , 

Рассмотрим треугольники и . Так как у них одинаковое основание – , и одинаковая высота (так как ), то их площади равны. В состав каждого из них входит треугольник , поэтому , . Площадь треугольника , подобного , можно найти из отношения:

Подобные треугольники

1. Тогда площадь трапеции
2. Площадь четырехугольника :
3. Ответ:

Задача 6. Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки – середины отрезков MA, MB, MC соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника вдвое меньше площади треугольника  ABC.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB=4, BC=7, AC=8.

Пересечение медиан и многоугольник

а)  Медианы точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины. Так как по условию по условию – середины отрезков MA, MB иMC, то , ,. Тогда площадь треугольников с такими основаниями равны:  , , , и так далее. Таким образом, площадь шестиугольника вдвое меньше площади треугольника  ABC.

Известно, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон: . Именно это свойство мы и применим. Но перед этим найдем  длины медиан треугольника ABC.

Известна формула длины медианы треугольника через длины его сторон:

Пересечение медиан и многоугольник, параллелограммы

• Тогда для нашего треугольника:

Диагонали указанных параллелограммов равны либо средним линиям треугольника ABC, либо медиан. Параллелограмм : , .

1. Параллелограмм : ,  .
2. Параллелограмм : ,  .
3. Определим теперь сумму квадратов сторон каждого из параллелограммов:
4. Сумма квадратов сторон шестиугольника равна:
5. Ответ: 24,5

Источник: https://easy-physic.ru/zadacha-16-profilnogo-ege/

Задача двух тел: Учебное пособие

Холшевников К.В., Титов В.Б. В книге дается современная трактовка задачи двух тел (двух притягивающихся по закону всемирного тяготения материальных точек), являющейся фундаментом небесной механики и теории космического полета.

В различных системах отсчета выводятся дифференциальные уравнения движения, определяется фазовое пространство, строится полная система интегралов и общее решение. Все вырожденные случаи описаны вместе с их окрестностями.

В частности, дается единое описание окрестности параболического движения, а также окрестности прямолинейного движения любого типа. Подробно излагается представление решения как явной функции времени в виде рядов трех типов: по степеням времени, по степеням эксцентриситета, рядов Фурье.

Должное внимание уделяется вопросам сходимости. Вводятся метрические пространства кеплеровских орбит и исследуются их свойства, полезные при решении задач отождествления космических объектов и исследовании столкновений или близких прохождений небесных тел. Решаются основные задачи определения невозмущенных орбит.

Часть результатов получена на кафедре небесной механики С.-Петербургского университета. Изложение сопровождается многочисленными примерами и задачами. Последние снабжены ответами, так что книга может служить справочником.

Для студентов и аспирантов астрономических и астрономогеодезических отделений и кафедр университетов, а также специалистов в области небесной механики, космической геодезии, гравиметрии, теории космического полета.

Электронная версия издания размещена на сайте ''Астрономия в СПбГУ'' (http://www.astro.spbu.ru)

Скачать книгу бесплатно (pdf, 892 Kb)   |  Читать «Задача двух тел: Учебное пособие»

EPUB | FB2 | MOBI | TXT | RTF

* Конвертация файла может нарушить форматирование оригинала. По-возможности скачивайте файл в оригинальном формате.

#1

Категория: Пособия самодельщикам

#2

Категория: Энциклопедии, справочники, учебники

#3

Северин Е.С Категория: Медицина, Химия, Биохимия

#4

Синельников Р. Д. Категория: people, people, health

#6

Синельников Р. Д. Категория: people, people, health

Источник: https://booksee.org/book/800707

Задача двух тел. Приведенная масса

Рассмотрим задачу о движении двух взаимодействующих толь­ко между собой материальных точек. Вследствие однородности и изотропности пространства потенциальная энергия взаимодей­ствия может зависеть только от расстояния между точками. Функ­ция Лагранжа для данной задачи запишется в форме

(4.1)

Рассматриваемая система материальных точек замкнута. Поэтому ее импульс сохраняется, и система отсчета центра инерции являет­ся инерциальной системой отсчета. Задачу будем решать в систе­ме отсчета центра инерции. Начало координат поместим в центр инерции, что дает

С помощью формул (4.2) и (4.3) выразим векторы и через вектор :

; (4.4)

Потенциальная энергия теперь зависит только от величины век­тора . Выражая с помощью формул (4.4) скорости и через вектор , кинетическую энергию системы двух материальных точек можно записать как кинетическую энергию одной матери­альной точки массой

• (4.5)
• Выраженная через радиус-вектор функция Лагранжа (4.1) запи­шется в форме
• (4.6)

Функция Лагранжа (4.6) — это функция Лагранжа одной мате­риальной точки массы , движущейся в потенциальном поле, за­висящем только от расстояния до начала координат. Такое потен­циальное поле называется центральным полем. Сила, действую­щая в центральном поле на материальную точку, направлена по прямой, соединяющей материальную точку с центром поля:

(4.7)

Масса , определенная согласно (4.5), называется приведенной массой. Следовательно, решение задачи двух тел эквивалентно решению задачи о движении в центральном поле материальной точки с массой, равной приведенной массе. После решения задачи о движении материальной точки в центральном поле координаты двух тел можно получить при помощи формул (4.4).

Если масса одной материальной точки, например , много больше массы другой материальной точки, то из формул (4.4) и (4.

В этом случае задача двух тел сводится к задаче о движении одного тела в потенциальном поле, создаваемом другим телом.

Поскольку масса Солнца намного больше массы каждой из пла­нет Солнечной системы, то в первом приближении можно прене­бречь взаимодействием планет между собой и движением Солнца вокруг центра инерции Солнечной системы.

В этом приближении движение отдельной планеты рассматривается как движение ма­териальной точки в поле тяготения Солнца. Учет взаимодействия планет между собой приводит к задаче многих тел, взаимодейству­ющих между собой.

Эта задача не может быть сведена к квадра­турам и решается приближенными методами.

Движение в центральном поле

Вследствие сферической симметрии поля сохраняется вектор момента импульса , определенный относительно центра поля. Так как , то векторы и перпендикулярны посто­янному вектору и, следовательно, всегда лежат в плоскости, перпендикулярной ему.

Поэтому вся траектория лежит в этой плоскости и является плоской кривой. Направим ось OZ по век­тору . Тогда траектория будет лежать в плоскости XOY.

Выберем в этой плоскости полярную систему координат и функцию Лагранжа запишем в форме :

1. (4.8)
2. Координата является циклической. Сопряженный ей обобщен­ный импульс сохраняется:
3. (4.9)
4. Согласно формуле (3.34) обобщенный импульс для одной материальной точки
5. , (3.34)

Этот обобщенный импульс равен проек­ции момента импульса материальной точки на ось OZ. Будем счи­тать, что постоянная М положительна, что соответствует выбору положительного направления оси OZ по положительному напра­влению вектора момента импульса. В этом случае всегда и, следовательно, материальная точка в центральном поле движется так, что угол монотонно растет.

Закон сохранения (4.9) часто формулируется как закон площа­дей. Рассмотрим два положения материальной точки на траекто­рии в два бесконечно близких момента времени, как показано на рис. 4.1. Из рисунка видно, что площадь бесконечно малого секто­ра, ограниченного двумя положениями радиуса-вектора и участ­ком траектории, равна

. (4.10)

Из формул (4.9) и (4.10) находим скорость изменения площади с течением времени. Эта величина называется секторной скоростью и в центральном поле

(4.11)

За равные промежутки времени радиус-вектор материальной точ­ки заметает одинаковые площади. Это утверждение, известное как закон площадей, является другой формулировкой закона сохране­ния момента импульса. Закон площадей выполняется для любого центрального поля.

Так как функция Лагранжа материальной точки в центральном поле не зависит явно от времени, то сохраняется энергия матери­альной точки. В полярных координатах выражение для энергии записывается в форме

Из выражения (4.9) найдем производную и подставим ее в фор­мулу (4.12). В результате получим

• (4.13)
• где введено понятие эффективной потенциальной энергии , равной
• (4.14)

Формула (4.13) для энергии совпадает с формулой для энергии материальной точки, движущейся по радиусу и находящейся в по­тенциальном поле с эффективной потенциальной энергией . Из соотношения (4.13) находим, что

1. (4.15)
2. Разделяя в выражении (4.15) переменные и интегрируя его, полу­чим неявную зависимость :
3. (4.16)

Выражение (4.15) и интеграл (4.16) имеют смысл только тогда, когда подкоренное выражение не отрицательно, то есть когда выполняется неравенство ). Исследование этого неравен­ства позволяет, не вычисляя интеграла, определить области про­странства, в которых возможно движение материальной точки при заданных энергии и моменте импульса .

Качественно такое исследование можно провести графическим путем, если построить график зависимости и на том же графике провести прямую . Пример такого построения приведен на рис.. На этом графике условия неравенства выполняются для значений радиуса в пределах .

Следовательно, при обра­щении вокруг центра поля материальная точка будет то прибли­жаться к центру на расстояние , то удаляться от него на рассто­яние .

Найдем теперь уравнение траектории. Так как производные и известны, то исключим время путем деления одной производной на другую. В результате получим

• (4.17)
• Интегрируя выражение (4.17), находим уравнение траектории в полярных координатах:
• ( 4.18)

Интеграл можно вычислить только после задания потенциаль­ной энергии . Если положить , то изменение знака происходит одновременно с измене­нием знака . Знак меняется в точке, где и где, следова­тельно, материальная точка находится на минимальном или максимальном удалении от центра поля.

Точки минимального или максимального удаления материальной точки от центра поля на­зываются точками поворота. Таким образом при начало отсчета угла выбрано от прямой, проведенной от центра поля в точку поворота.

Поскольку в этом случае одинаковым значени­ям , лежащим по разные стороны от точки поворота, отвечают одинаковые абсолютные значения угла , то траектория матери­альной точки симметрична относительно направления на точку поворота.

Если при движении материальная точка уходит на бес­конечность, то траектория состоит из двух симметричных ветвей. При движении без ухода на бесконечность траектория получается многократным отражением участка кривой, расположенного ме­жду положениями и .

Рис. 4.3 Рис. 4.4

Примеры возможных траекторий приведены на рис. 4.3 и рис. 4.4. Угол между положениями и на рис. 4.4 дается формулой

1. (4.19)
2. Если при сложении нескольких получится угол, кратный , то материальная точка возвратится на уже пройденный участок траектории и сама траектория будет замкнутой кривой. Условие замкнутости траектории записывается в форме
3. (4.20)

где — целые числа. Если это условие не выполняется, то траектория будет незамкнутой кривой, расположенной в кольце между окружностями с радиусами и .

Задача Кеплера

Рассмотрим важный случай центрального поля, когда потен­циальная энергия равна (4.21) Силу, действующую на материальную точку, найдем по формуле (4,22), где — единичный вектор, направленный по радиусу.

Знак плюс относится к полю отталкивания, когда сила направлена от центра. Знак минус — полю при­тяжения. Для рассматриваемого потенциального поля сила обрат­но пропорциональна квадрату радиуса.

Ур-ие траектории получим, вычисляя интеграл (4.18). За­пишем его для поля притяжения, выбирая знак минус в (4.21). Положим также постоянную =0 и выберем знак плюс перед интегралом. Такой выбор постоянной и знака перед инте­гралом соответствует выбору оси ОХ в направлении на положение минимального удаления материальной точки от центра. Тогда ин­теграл имеет вид

(4.23) Интеграл (4.23) приводится к табличному интегралу путем заме­ны и выделением полного квадрата под знаком корня. Результат интегрирования можно записать в форме(4.24)

где введены две новые постоянные: параметр и эксцентриситет . Они равны:

; (4.25) Уравнение (4.24) задает в полярных координатах одно из кони­ческих сечений: гиперболу, параболу или эллипс. Начало поляр­ной системы координат совпадает с одним из фокусов гиперболы или эллипса или с фокусом параболы. Вид конического сечения зависит от величины эксцентриситета . При уравнение зада­ет гиперболу. В этом случае положительна энергия материальной точки:(4.26)

Материальная точка, движущаяся по гиперболе, может уйти на бесконечность и будет иметь там ненулевую скорость. При второе слагаемое в (4.26) обращается в 0 и энергия материаль­ной точки равна ее кинетической энергии . Если , то эксцентриситет и уравнение (4.

24) задает пара­болу. Материальная точка по-прежнему может уйти на бесконеч­ность, но скорость ее на бесконечности =0. И наконец, при отрицательной энергии материальной точки ее эксцентри­ситет . Тогда уравнение (4.24) описывает эллипс.

Движение материальной точки ограничено областью вблизи центра поля.

Если пренебречь взаимодействием планет между собой, то по­лученные для поля притяжения с результаты можно применить к описанию движения планет Солнечной системы.

Так как масса Солнца >> массы планет Солнечной системы, то центр поля можно считать совпадающим с центром Солнца, а приведенную массу считать = массе планеты. Из з-на всемирного тяготения имеем .

Выразим измеряе­мые астрономами величины — большую полуось орбиты и период обращения планеты — через энергию и момент импульса планеты. Из рис. 4.5 траектории планеты видно, что

; (4.27)

Размер большой полуоси эллипса не зависит от момента импульса материальной точки и определяется только ее энергией. Период обращения материальной точки вокруг центра найдем путем инте­грирования соотношения (4.

11) закона площадей. За период обра­щения вокруг центра площадь, заметаемая радиусом-вектором ма­териальной точки, равна площади эллипса. Используя значения для и из (4.27), формулу для площади эллипса и закон площадей (4.

11), получим

(4.28) Подставляя в (4.28) значения и из формул (4.27), найдем период обращения: (4.29)

Закон 1. Планета движется по эллипсу, в одном из фокусов ко­торого находится Солнце.

Закон 2. Площади, заметаемые радиусом-вектором планеты за одинаковые промежутки времени, равны.

Закон 3. Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы их больших полуосей. Уравнение траектории для поля оттал­кивания, когда . : (4.30) и даются формулой (4.25). Единственно возможной траекторией в этом случае является гипербола, для которой и .



Источник: https://infopedia.su/1x58f4.html

Услуги помощи с решением задач

• Оформляете заказ

1. Мы выполняем задания

• Получаете решение

сколько стоит решение задач?

1. Низкие цены:
   от 50 руб/задача

• Сроки выполнения:
  от 1 дня

1. Опытные специалисты

сопровождение
до проверки

полная
конфиденциальность

Помощь с решением задач

Интересует компетентная помощь для студентов по решению задач? Мы оказываем такие услуги на должном качественном уровне и готовы помочь ученикам упростить процесс сдачи сессии, модулей и лабораторных.

Как правило, по окончании семестра или курса в один момент наваливается так много заданий, что порой справиться с ними самостоятельно физически нереально. Если вы столкнулись с такой проблемой или имеете другую более важную занятость (по работе или личным делам), то заручитесь нашей поддержкой.

Мы согласуем оптимальные для вас сроки выполнения работы, а сотрудники компании гарантированно правильно и точно проведут все расчеты. Кроме того, проект сопровождается до проверки. Это значит, что если будут какие-либо замечания, то мы без дополнительной платы внесем коррективы.

Просто, недорого и без лишних волнений закрывайте все текущие дела в учебном заведении и наслаждайтесь жизнью.

Если нужно решить задание со сложными расчетами, то спешите заказать помощь у нас

Мы на заказ решаем задачи по математике, физике, химии, экономике, экологии и другим предметам. Заявки принимаются на решение заданий уровня любой университетской программы.

Вы сразу же можете указать нужные сроки – если они нам посильны, то мы примемся за работу и точно вовремя представим вам результат, а может – и раньше. Стоимость решения задачи зависит от предмета и сложности.

Подав запрос на сайте и указав детали работы, вы сразу же получите компетентный ответ со всеми объяснениями.

Мы знаем толк в написании студенческих работ, имеем в арсенале уже тысячи успешных проектов и сами заинтересованы в качестве результата, а также успешной защите студента. Доработки и правки вносятся бесплатно.

Нужно дешево решить задание? Мы делаем качественно и по умеренным тарифам

Цены на решение задач – средние на рынке. Мы считаем, что хорошая работа должна соответствующе оплачиваться, но не признаем необоснованные комиссии и наценки. Подавайте запрос для уточнения всех деталей и оформления вашего заказа. Упростите себе некоторые студенческие процессы с нашей помощью. Ждем вас!

• Сколько стоит работа по решению задач?
  Цена складывается из множества факторов, основной из которых это сложность работы.
• Есть ли скидка при заказа большого количества задач?
  Да. Цена каждой задачи будет уменьшаться прямо пропорционально увеличению их количества.
• В какие сроки будет готово?
  Работа будет выполняться в указанные при заказе сроки. По возможности будет сделано раньше.
• Если что-то не правильно, вы переделаете?
  Да, конечно. Срок доработки у нас не ограничен.
• Как вы отправите мне готовую работу?
  Готовая работа будет загружена в Личном Кабинете.
• Могу я просто сдать ваше решение преподавателю?
  Мы категорически против этого.

Способы оплаты

Источник: https://Reshatel.org/reshenie-zadach/

Решу егэ

Задание 19 № 517465

Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно.

По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё).

Среднее арифметическое названных баллов равно S.

• а) Приведите пример, когда S < 15.
• б) Могло ли оказаться, что только два студента написали обе контрольные работы, если S = 13?
• в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если S = 13?

Решение.

в) Пусть k — количество студентов, писавших обе контрольные работы, a — сумма баллов студентов, которые писали только одну контрольную работу, b — сумма наибольших баллов студентов, которые писали обе контрольные работы, c — сумма наименьших баллов студентов, которые писали обе контрольные работы.

Тогда сумма всех набранных баллов: сумма наивысших баллов Тогда С другой стороны, , поэтому откуда

Приведём пример, когда то есть если Например, 11 студентов написали обе контрольные работы на 20 баллов, один студент написал обе контрольные, получив за первую 20 баллов, а за вторую 16 баллов, 8 студентов писали только первую контрольную, причем 3 из них написали ее на 20 баллов, а 5 из них — на 0 баллов, и 8 студентов писали только вторую контрольную, каждый на 8 баллов. Тогда обе контрольные писали по 20 студентов, набрав за первую 3 · 20 + 12 · 20 = 300 баллов и за вторую 8 · 8 + 11 · 20 + 16 = 300 баллов.

Ответ: а) Например, если 20 студентов написали обе контрольные работы и получили по 18 баллов, а по 4 студента написали только одну из двух контрольных работ и получили по 0 баллов; б) нет; в) 12.

Аналоги к заданию № 517465: 517519 517472 Все

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Ос­нов­ная волна 02.06.2017. Вариант 401 (C часть).

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки

Источник: https://ege.sdamgia.ru/test?pid=517465

14.2. Неупругие столкновения

1.14.
Задача двух тел.

В предыдущем
параграфе рассматривалось движение
частицы в поле с неподвижным центром.
Ниже мы рассмотрим различные случаи
столкновения двух частиц, представляющие
большой практический интерес, и покажем,
что такие задачи можно формально свести
к рассмотрению движения одной частицы
в поле центральных сил.

Иное название
рассматриваемой проблемы – задача
двух тел.
Отметим, что только для двух взаимодействующих
тел поставленная задача имеет аналитическое
решение в общем виде.

1. Взаимодействие двух частиц. Приведенная масса.

Рассмотрим
взаимодействие двух частиц, которые
образуют замкнутую систему. Задачу о
движении этих частиц удобнее решать в
системе центра инерции (СЦИ). Центр
инерции замкнутой системы частиц, как
это следует из закона сохранения
импульса либо находится в покое, либо
движется равномерно и прямолинейно.
Поэтому СЦИ является инерциальной
системой отсчета.

Радиус-вектор
(координаты) центра инерции определяется
как (см. рисунок):

Тогда,
используя уравнения (14.2) и (14.3) можем
записать

Согласно
третьему закону Ньютона силы взаимодействия
между частицами:

Перенеся
массы частиц в уравнениях (14.6) в правую
часть, вычтем первое уравнение из
второго. Получаем

Итак,
получаем уравнение движения в виде:

где

— приведенная
масса системы
частиц.

Формально мы
перешли к задаче о движения одной частицы
массой
в поле сил .

Т.о., любая задача о движении двух
взаимодействующих тел сводится
к задаче о движении одного
тела с массой, равной приведенной массе
системы частиц, в центральном поле сил.
Поэтому все результаты, полученные в
предыдущем параграфе, могут быть
использованы при решении этой задачи.

Определяя
или ,
и находя далее
и

png»>,
получаем те же плоские траектории:
эллипсы, параболы и гиперболы.

• Примеры
• двойные
  системы звезд, позитроний, рассеяние
  заряженных частиц.
• Столкновения
  частиц

Столкновения
частиц подразделяют на упругие,
при которых не происходит изменения
внутренней энергии частиц, и неупругие,
в результате которых внутренняя энергия
взаимодействующих частиц изменяется.

Существует большое число неупругих
столкновений, в которых внутренняя
энергия частиц может изменяться только
на вполне определенную величину,
зависящую от свойств самих частиц
(например, столкновения атомов). Говорят,
что такие взаимодействия обладают
порогом.

Порогом
называют минимальную кинетическую
энергию налетающей частицы, начиная
которой проводимый процесс становится
энергетически возможным.

Итак, неупругими
называются столкновения частиц, при
которых часть кинетической энергии
переходит во внутреннюю. Например, пуля,
пробивая доску, теряет часть энергии,
которая идет на изменение внутренней
структуры и теплоту. Абсолютно
неупругим называется
удар, в результате которого
тела «слипаются» и движутся далее как
единое целое (см. рисунок).

1. Распад частиц.
2. Рассмотрим обратный
   абсолютно неупругому столкновению
   процесс, называемый распадом частицы,
   и опишем его в лабораторной системе
   отсчета (
   система) и в системе центра инерции
   (cистема).
3. Лабораторная система
   отсчета Система центра инерции

Очевидно, что
наиболее простое описание получает
этот процесс в системе центра инерции.
В

png»>системе
частицы, образовавшиеся в результате
распада, уносят одинаковое количество
движения, двигаясь в противоположные
стороны. Тогда в

png»>системе
закон сохранения импульса можно записать
как

и пусть .

Учитывая
(14.8), получаем

Т.е.
в системе
энергию распада частицы можно представить
как кинетическую энергию частицы с
приведенной массой :

Если

известно, то находим
и скорости частиц в СЦИ:

Примечание:
уравнения (14.10)-(14.11) справедливы для
абсолютно неупругого удара, если процесс
рассматривать в СЦИ.

Пусть
— скорость в системе
исходной частицы,
— скорость в

NwYZ/img-ON1Fsk.png»>системе
одной из образовавшихся частиц,
— ее скорость в системе.

Тогда, следуя преобразованиям Галилея
для скорости первого “осколка”, имеем
следующее соотношение:

возводя
в квадрат, получаем

Здесь
и есть угол вылета частицы по отношению
к скорости первоначальной частицы.
Поэтому уравнение (14.

13) определяет
зависимость скорости образовавшейся
в результате распада частицы от
направления ее вылета в системе.

Эту зависимость можно проанализировать
эти графически с помощью диаграмм.

Построим окружность
радиусом .
Затем к центру окружности проводим
вектор .
Тогда, исходя из (14.

12), скорость
образовавшейся частицы определяется
вектором, проведенным из точки

png»>
в какую-либо точку окружности (точнее
– сферы, диаметральным сечением которой
является изображенная окружность).

(,
рис. слева) или больше (,
рис. справа) скорости образующейся
частицы в системе.

При
,
как следует из изображенной слева
диаграммы, частица может вылететь под
любым углом .

В случае же
(правая диаграмма) частица может вылететь
только вперед, под углом .

Предельное значение угла вылета частицы
задается равенством:

Связь между углами
вылета
и
в
и системах
определяется из тех же диаграмм и дается
выражением:

При
связь между углами
и ,
как это видно из левого рисунка,
однозначна.

В этом случае в выражении
(14.16) перед вторым слагаемым надо выбрать
знак ,
чтобы при
было

NwYZ/img-btjOHc.png»>.

png»>
отвечают два значения ,
соответствующие векторам ,
проведенным из центра окружности в
точки
и

png»>,
и, соответственно, два знака перед вторым
слагаемым в выражении (14.16).

Источник: https://studfile.net/preview/3156991/