Взаимно обратные функции — справочник студента

• План урока:
• Взаимно обратные функции
• Кубический корень
• Корни n-ой степени
• Арифметические корни n-ой степени
• Свойства корня n-ой степени
• Сравнение корней

Взаимно обратные функции

Напомним, что любая функция у = у(х) представляет собой некоторое правило, которое устанавливает соответствие между значениями х и значениями у. В частности, функция у = х2 ставит в соответствие каждому действительному числу его квадрат. Приведем таблицу, содержащую значения этой функции для целых аргументов от – 2 до 2:

Но если есть соответствие между х и у, то должно существовать и обратное соответствие между у и х. Действительно, строки таблички можно «перевернуть» и она примет следующий вид:

Мы получили два взаимно обратных соответствия. Однако второе из них функцией не является, ведь функция должна ставить в соответствие своему аргументу только одно значение функции. Однако, судя по второй таблице, числу у = 1 соответствует сразу два х: х = – 1 и х = 1. В таком случае математики говорят, что исходная функция у = х2 является необратимой.

Теперь изучим зависимость у = х3. Построим табличку и для неё:

Теперь «перевернем таблицу» и получим следующее:

Мы видим, что как каждому значению х соответствует единственное значение у, так и наоборот, каждому у соответствует единственное значение х. В математике для подобных соответствий используют понятие взаимно-однозначное соответствие.

Для лучшего понимания этого определения отвлечемся от чисел. Пусть в футбольном чемпионате играет несколько команд. Они образуют множество Х команд-участниц соревнования.

За множество У примем отдельных футболистов, выступающих на турнире. Каждому игроку соответствует единственная команда, за которую он выступает, но обратное неверно – каждой команде соответствует несколько игроков.

Значит, это пример соответствия, не являющегося взаимно-однозначным.

Пусть тренеры команд образуют множество Z. Каждый тренер тренирует лишь одну команду, и наоборот, каждую команду тренирует единственный тренер. Значит, между множествами X и Z есть взаимно-однозначное соответствие.

Вернемся к функциям. Если соответствие, которое задает функция у = у(х), является взаимно-однозначным, то каждому значению у будет соответствовать единственное значение х. Значит, существует некоторая функция х = х(у). Пары функций у = у(х) и х = х(у) называются взаимно обратными функциями.

Ещё раз скажем, что не для любой функции существует обратная функция, ведь не все они определяют взаимно-однозначное соответствие. Если всё же для у = у(х) есть обратная функция х = х(у), то у = у(х) называют обратимой функцией.

1. Покажем, какие функции являются обратными, на примере пары у = 4х + 12 и у = 0,25х – 3. Возьмем, например, значение х = 5 и подставим его в у = 4х + 12:
2. у = 4х + 12 = 4•5 + 12 = 32
3. Получили 32. Подставим это число в обратную функцию:
4. у = 0,25х – 3 = 0,25•32 – 3 = 8 – 3 = 5
5. Получили именно то число, которое первоначально подставили в первую функцию! Возьмем другое произвольное число, например, 10, и подставим его в у = 4х + 12:
6. у = 4•10 + 12 = 40 + 12 = 52
7. Полученный результат подставляем в у = 0,25х – 3:
8. у = 0,25•52 – 3 = 13 – 3 = 10

Снова получили исходное число! Выберете сами ещё несколько произвольных чисел и убедитесь, что и с ними будет происходить то же самое.

• Посмотрим, как получить обратную функцию. Пусть дана зависимость
• у = 5х + 20
• Это, по сути, выражение для вычисления у. Выразим из него х:
• у = 5х + 20
• у – 20 = 5х
• (у – 20)/5 = х
• х = у/5 – 20/5
• х = 0,2у – 4
• Получили зависимость х от у. Чтобы мы получили из нее обратную функцию, необходимо просто поменять местами буквы х и у:
• у = 0,2х – 4
• Убедитесь самостоятельно на нескольких примерах, что полученная функция обратна функции у = 5х + 20.

Пример. Найдите функцию, обратную зависимости у = 1/(х + 7).

1. Решение. Умножим обе части равенства у = 1/(х + 7) на (х + 7):
2. у(х + 7) = 1
3. Далее поделим обе части нау:
4. х + 7 = 1/у
5. Перенесем семерку вправо и получим формулу для вычисления х:
6. х = 1/у – 7
7. Для получения обратной функции просто меняем х и у местами:
8. у = 1/х – 7
9. Ответ: у = 1/х – 7.

Предположим, у нас есть у= у(х), чей график нам известен, и необходимо построить график взаимно обратной функции. Как это сделать? Если одна точка на координатной прямой имеет координаты (a; b) и принадлежит функции у = у(х), то, обратной функции должна принадлежать точка (b; a):

Эти точки симметричны относительно прямой у = х:

Поэтому для построения графика обратной функции достаточно симметрично отобразить его относительно прямой у = х.

С помощью этого правила построим график функции, обратной у = х3:

Практика показывает, что не все школьники (да и взрослые тоже) понимают, что означает симметричность относительно прямой у = х, ведь эта прямая наклонена.

Здесь требуется довольно высокий уровень пространственного мышления. Куда проще понять симметрию относительно вертикальной или горизонтальной линии.

Поэтому мы покажем ещё один способ построения обратных функций, который состоит из двух этапов.

• Он заключается в том, что сначала график отображают симметрично относительно вертикальной оси Оу:
• На втором этапе полученное отображение поворачивают по часовой стрелке относительно начала координат:

Заметим важное правило. При построении обратной функции области определения и области значений меняются местами. Действительно, если какое-то число входит в область значения функции, то это значит, что его можно подставить в обратную функцию. Но это в свою очередь означает, что она входит в область определения обратной функции. Проиллюстрируем это правило картинкой:

1. До сих пор мы рассматривали способы построения обратных функций, но ведь в самом начале урока говорилось о том, что обратная функция существует не всегда. Действительно, попытаемся построить обратную функцию для у = х2:

Получилась та же парабола, но «лежащая на боку». Является ли она графиком функции? Нет. На рисунке проведена вертикальная линия, которая пересевает график в двух точках. Это значит, что одному значению х (в данном случае х = 5) соответствует сразу два значения у. Но подобное соответствие не является функцией. Это значит, что у = х2 – необратимая функция.

Есть ли какой-то признак, позволяющий быстро сказать, является ли функция обратимой? Оказывается, есть. Если функция строго монотонна (то есть либо только возрастает, либо только убывает), то это гарантирует, что она ещё и обратима.

С точки зрения геометрии это означает, что любая горизонтальная линия пересекает монотонную функцию не более чем в одной точке:

• К слову, это свойство мы использовали для решения некоторых уравнений. Теперь отобразим график симметрично прямой у = х, причем также отобразим и горизонтальные линии:

Горизонтальные линии превратились в вертикальные, при этом они всё также пересекают график не более чем в одной точке. Но это как раз и означает, что график задает функцию, а не какое-то другое соответствие. Отсюда делаем вывод – любая строго монотонная функция обратима.

Снова вернемся к функции у = х2. Мы уже показали, что она необратима. Но теперь наложим на нее дополнительное ограничение: х⩾0. Тогда от графика параболы останется только одна ветвь. Для нее уже можно построить обратную функцию:

Можно сделать вывод – обратимость функции зависит не только от самого вида функции, но и от того, на какой области определения ее рассматривают.

Кубический корень

Ранее мы изучили понятие квадратного корня. Напомним, что извлечение квадратного корня – это операция, обратная возведению в квадрат. Другими словами, функция

является обратной для у = х2.

Встает вопрос – а можно ли придумать функцию, обратную возведению в куб? Конечно же да, ведь мы убедились в том, что функция у = х3 обратима. Называют же функцию, обратную у = х3, кубическим корнем.

1. Можно дать и другое определение, не использующее понятие функции:
2. Например, мы знаем, что число 5 в кубе равно 125:
3. 53 = 125
4. Это значит, что кубический корень из 125 равен 5.
5. Для обозначения кубического корня используют тот же знак радикала, что и для квадратного корня. Чтобы их отличать друг от друга, в случае с кубическим корнем перед знаком радикала ставят тройку:

Заметим важное отличие кубического и квадратного корня. Мы привыкли, что под знаком радикала не должно стоять отрицательное число. Но кубический корень из отрицательного числа извлечь можно. Например, мы знаем, что (– 6)3 = – 216. Отсюда следует, что

• График кубического корня можно получить, просто построив функцию, обратную у = х3:

Корни n-ой степени

Аналогично кубическому корню можно ввести понятие и корня произвольной n-ой степени.

Для обозначения корня n-ой степени используется знак радикала, перед которым стоит число n. Приведем пример. Мы знаем, что 25 = 32. Это значит, что корень 5-ой степени из 32 равен 2:

1. Мы помним, что все степенные функции вида у = хn схожи друг с другом и при этом могут быть разбиты на два класса, в зависимости от четности или нечетности показателя степени n. Если n– четное число (2, 4, 6…), то график будет похож на параболу у = х2, просто он будет чуть сильнее «прижат» к оси Ох вблизи точки О (0;0), но вместе с тем он будет и быстрее возрастать:
2. Если же показателем n является нечетное число, то график у = хn будет схож с графиком у = х3:

Мы видим, что при нечетном показателе получается строго монотонная (возрастающая) функция. Следовательно, она обратима. Функция, обратная функции у = хn, и будет корнем степени n.

Если n нечетно, то корень можно извлечь и из отрицательного числа. Так, известно, что (– 3)7 = – 2187. Это значит, что корень седьмой степени из (– 2187) равен (– 3):

Очевидно, что корень получится отрицательным, если под ним стоит отрицательное число. Если же подкоренное выражение положительно, то и сам корень положителен. Более того, можно заметить, что корень из отрицательного числа равен корню из противоположенного ему положительного числа, взятого со знаком минус:

• В общем случае графики всех корней нечетных степеней будут похожи на график кубического корня:

Несколько сложнее дело обстоит в том случае, если показатель n является четным. Мы уже выяснили, что у = х2 – это необратимая функция. Аналогично и любая другая степенная функция у = хn необратима.

Однако у = х2 обратима, если наложить дополнительное ограничение: х ≥ 0. Аналогично, при использовании такого же ограничения, обратимой будет и любая функция у = хn, где n – четное число.

График такой функции будет похож на квадратный корень:

1. При четном значении n корень n-ой степени нельзя извлечь из отрицательного числа. Действительно, попробуем возвести в четную степень положительное число:
2. 54 = 5•5•5•5 = 625
3. Получили другое положительное число. Теперь попробуем возвести в четную степень отрицательное число:
4. (– 5)4 = (– 5)•(– 5)•(– 5)•(– 5) = 625

Результат снова положительный! Минусы у отрицательных чисел «сократились» друг с другом, и получилось положительное произведение. Но раз при возведении в четную степень всегда получается неотрицательное число, значит, и под четным корнем должно также стоять неотрицательное число. Поэтому подкоренное выражение не может быть отрицательным.

Арифметические корни n-ой степени

Мы видим, что складывается не очень удобная для математиков ситуация: корни n-ой степени из отрицательного числа можно извлечь, если n – нечетное число, но при четном n такая операция уже недопустима.

Это порождает много проблем при работе с корнями. Для устранения этих проблем вводится понятие арифметического корня степени n.

Его особенность в том, что он всегда извлекается из неотрицательного числа и сам принимает значения, не меньшие нуля.

• Заметим, что корень нечетной степени из отрицательного числа всегда можно выразить с помощью арифметического корня, просто вынеся знак минус из-под корня:
• Поэтому арифметических корней вполне хватает для работы в любых ситуациях.
• Определение корня можно записать в более формализованном виде:
• Это значит, что
• Проиллюстрируем использование этой формулы:

Свойства корня n-ой степени

Далее рассмотрим некоторые свойства корней степени n, помогающие вычислять их значения. Сразу скажем, что они во многом идентичны свойствам квадратного корня.

1. Для доказательства этого свойства правую часть в n-ую степень:
2. Приведем примеры использования этого свойства:
3. Отсюда следует, что множители можно вносить и выносить из-под знака корня:
4. Следующее свойство помогает извлекать корни из дробей.
5. Доказывается это свойство так же, как и первое. Возведем в n-ую степень правую часть формулы:
6. Продемонстрируем применение доказанного тождества:
7. Заметим, что если под корнем находится степень какого-то числа, то ее вынести из-под радикала:
8. Доказать это можно, разложив число am в произведение:
9. am =a•a•a…•a
10. Всего справа стоит m множителей. Теперь извлечем корень степени n:
11. Cправа всё те же m множителей, а потому
12. Таким образом, получаем, что
13. Покажем несколько примеров использования этого правила:
14. Далее посмотрим, как извлекать корень из другого корня.
15. Для доказательства возведем корень в левой части формулы в степень mn:
16. По определению корня получаем, что
17. Проиллюстрируем использование данного правила:
18. Последнее свойство, которое нам осталось изучить, называют основным свойством корня.
19. Доказательство записывается всего в одну строчку:
20. Степени в корне и под ним можно «сокращать»:

Сравнение корней

Естественно, что большинство корней – это не целые, а иррациональные числа, которые довольно сложно вычислять. Тем не менее есть несколько правил, которые помогают оценивать их значение.

Из графиков корней видно, что все они являются возрастающими функциями. Поэтому, если необходимо сравнить два корня одной степени, достаточно сравнить их подкоренные выражения.

Тот корень, у которого под корнем стоит большее число, и будет больше

• В частности, справедливы неравенства:
• В случае, если у корней различаются степени, следует постараться преобразовать их так, чтобы степени всё же совпали.
• Пример. Сравните числа
• Решение. Преобразуем первое число, чтобы у нас получился корень шестой степени:
• Так как 121 > 119, то и
• Пример. Сравните числа
• Решение. Сначала избавимся от вложенных корней:
• Получили два кубических корня. Меньше тот из них, у которого под радикалом меньшее число:
• Пример. Сравните корни

Решение. Имеем корни 7-ой и 4-ой степени. К какой одинаковой степени можно привести оба корня? Это число 28, ведь оно представляет собой произведение 7•4:

1. Так как 16384 > 14641, то и

Источник: https://100urokov.ru/predmety/urok-9-obratnye-funkcii

Обратные функции – определение и свойства

Определение обратной функции и ее свойства: лемма о взаимной монотонности прямой и обратной функций; симметрия графиков прямой и обратной функций; теоремы о существовании и непрерывности обратной функции для функции, строго монотонной на отрезке, интервале и полуинтервале. Примеры обратных функций. Пример решения задачи. Доказательства свойств и теорем.

Определение обратной функции Пусть функция имеет область определения X и множество значений Y. И пусть она обладает свойством: для всех . Тогда для любого элемента из множества Y можно поставить в соответствие только один элемент множества X, для которого . Такое соответствие определяет функцию, которая называется обратной функцией к . Обратная функция обозначается так: .

• Из определения следует, что ;   для всех  ;   для всех  .
• Лемма о взаимной монотонности прямой и обратной функций Если функция строго возрастает (убывает), то существует обратная функция , которая также строго возрастает (убывает). Доказательство ⇓
• Свойство о симметрии графиков прямой и обратной функций Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой . Доказательство ⇓

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на отрезке Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке . Тогда на отрезке определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (убывает). Доказательство ⇓

Для возрастающей функции . Для убывающей – .

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на интервале Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на открытом конечном или бесконечном интервале . Тогда на интервале определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (убывает). Доказательство ⇓

Для возрастающей функции . Для убывающей: .

Аналогичным образом можно сформулировать теорему о существовании и непрерывности обратной функции на полуинтервале.

Если функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на полуинтервале или , то на полуинтервале или определена обратная функция , которая строго возрастает (убывает). Здесь .

Если строго возрастает, то интервалам и соответствуют интервалы и . Если строго убывает, то интервалам и соответствуют интервалы и . Эта теорема доказывается тем же способом, что и теорема о существовании и непрерывности обратной функции на интервале.

Примеры обратных функций

Арксинус

Графики y = sin x и обратной функции y = arcsin x.

Рассмотрим тригонометрическую функцию синус: . Она определена и непрерывна для всех значений аргумента , но не является монотонной. Однако, если сузить область определения, то можно выделить монотонные участки.

Так, на отрезке , функция определена, непрерывна, строго возрастает и принимает значения от –1 до +1. Поэтому имеет на нем обратную функцию, которую называют арксинусом.

Арксинус имеет область определения и множество значений .

Логарифм

Графики y = 2x и обратной функции y = log2 x.

Показательная функция определена, непрерывна и строго возрастает при всех значений аргумента . Множеством ее значений является открытый интервал . Обратной функцией является логарифм по основанию два. Он имеет область определения и множество значений .

Квадратный корень

Графики y = x2 и обратной функции .

Степенная функция определена и непрерывна для всех . Множеством ее значений является полуинтервал . Но она не является монотонной при всех значений аргумента.

Однако, на полуинтервале она непрерывна и строго монотонно возрастает. Поэтому если, в качестве области определения, взять множество , то существует обратная функция, которая называется квадратным корнем.

Обратная функция имеет область определения и множество значений .

Пример. Доказательство существования и единственности корня степени n

Докажите, что уравнение , где n – натуральное, – действительное неотрицательное число, имеет единственное решение на множестве действительных чисел, . Это решение называется корнем степени n из числа a. То есть нужно показать, что любое неотрицательное число имеет единственный корень степени n.

Решение

Рассмотрим функцию от переменной x: (П1)   .

Докажем, что она непрерывна. Используя определение непрерывности, покажем, что . Применяем формулу бинома Ньютона:

(П2)  

. Применим арифметические свойства пределов функции. Поскольку , то отлично от нуля только первое слагаемое: . Непрерывность доказана.

Докажем, что функция (П1) строго возрастает при . Возьмем произвольные числа , связанные неравенствами: , , . Нам нужно показать, что . Введем переменные . Тогда . Поскольку , то из (П2) видно, что . Или . Строгое возрастание доказано.

Согласно теореме об обратной функции, на интервале определена и непрерывна обратная функция . То есть для любого существует единственное , удовлетворяющее уравнению . Поскольку у нас , то это означает, что для любого , уравнение имеет единственное решение, которое называют корнем степени n из числа x: .

Доказательства свойств и теорем

Доказательство леммы о взаимной монотонности прямой и обратной функций

Формулировка ⇑

Пусть функция имеет область определения X и множество значений Y. Докажем, что она имеет обратную функцию. Исходя из определения ⇑, нам нужно доказать, что для всех .

Допустим противное. Пусть существуют числа , так что . Пусть при этом . Иначе, поменяем обозначения, чтобы было . Тогда, в силу строгой монотонности  f, должно выполняться одно из неравенств: если  f  строго возрастает; если  f  строго убывает. То есть . Возникло противоречие. Следовательно, имеет обратную функцию .

Пусть функция строго возрастает. Докажем, что и обратная функция также строго возрастает. Введем обозначения: . То есть нам нужно доказать, что если , то .

Допустим противное. Пусть , но .

Если , то . Этот случай отпадает.

Пусть . Тогда, в силу строгого возрастания функции , , или . Возникло противоречие. Поэтому возможен только случай .

Для строго возрастающей функции лемма доказана. Аналогичным образом можно доказать эту лемму и для строго убывающей функции.

Доказательство свойства о симметрии графиков прямой и обратной функций

Формулировка ⇑

Пусть – произвольная точка графика прямой функции : (2.1)   . Покажем, что точка , симметричная точке A относительно прямой , принадлежит графику обратной функции : . Из определения обратной функции следует, что

(2.2)   .

Таким образом, нам нужно показать (2.2).

График обратной функции y = f  –1(x) симметричен графику прямой функции y = f(x) относительно прямой y = x.

Из точек A и S опустим перпендикуляры на оси координат. Тогда ,   .

Через точку A проводим прямую, перпендикулярную прямой . Пусть прямые пересекаются в точке C. На прямой строим точку S так, чтобы . Тогда точка S будет симметрична точке A относительно прямой .

Рассмотрим треугольники и . Они имеют две равные по длине стороны: и , и равные углы между ними: . Поэтому они конгруэнтны. Тогда .

Рассмотрим треугольник . Поскольку , то . Тоже самое относится к треугольнику : . Тогда

1. .
2. Теперь находим и : ; .

Итак, уравнение (2.2): (2.2)   выполняется, поскольку , и выполняется (2.1): (2.1)   .

Так как мы выбрали точку A произвольно, то это относится ко всем точкам графика : все точки графика функции , симметрично отраженные относительно прямой , принадлежат графику обратной функции .

Далее мы можем поменять и местами. В результате получим, что все точки графика функции , симметрично отраженные относительно прямой , принадлежат графику функции .

Отсюда следует, что графики функций и симметричны относительно прямой .

Свойство доказано.

Доказательство теоремы о существовании и непрерывности обратной функции на отрезке

Формулировка ⇑

Пусть обозначает область определения функции – отрезок .

1. Покажем, что множеством значений функции является отрезок : , где .

Действительно, поскольку функция непрерывна на отрезке , то по теореме Вейерштрасса она достигает на нем минимума и максимума . Тогда по теореме Больцано – Коши функция принимает все значения из отрезка . То есть для любого существует , для которого . Поскольку и есть минимум и максимум, то функция принимает на отрезке только значения из множества .

2. Поскольку функция строго монотонна, то согласно вышеприведенной лемме ⇑, существует обратная функция , которая также строго монотонна (возрастает, если возрастает ; и убывает, если убывает ). Областью определения обратной функции является множество , а множеством значений – множество .

3. Теперь докажем, что обратная функция непрерывна.

3.1. Пусть есть произвольная внутренняя точка отрезка : . Докажем, что обратная функция непрерывна в этой точке.

Заметим, что мы можем взять сколь угодно малым. Действительно, если мы нашли такую функцию , при которой неравенства (3.1) выполняются при достаточно малых значениях , то они будут автоматически выполняться и при любых больших значениях , если положить при .

Возьмем настолько малым, чтобы точки и принадлежали отрезку : . Введем и упорядочим обозначения: .

Преобразуем первое неравенство (3.1): (3.1)   для всех . ; ; ; (3.2)   . Поскольку строго монотонна, то отсюда следует, что (3.3.1)   , если возрастает; (3.3.2)   , если убывает. Поскольку обратная функция также строго монотонна, то из неравенств (3.3) следуют неравенства (3.2).

Для любого ε > 0 существует δ, так что |f  -1(y) – f  -1(y0)| < ε для всех |y – y0| < δ.

Неравенства (3.3) определяют открытый интервал, концы которого удалены от точки на расстояния и . Пусть есть наименьшее из этих расстояний: . В силу строгой монотонности , , . Поэтому и . Тогда интервал будет лежать в интервале, определяемом неравенствами (3.3). И для всех значений , принадлежащих ему будут выполняться неравенства (3.2).

Итак, мы нашли, что для достаточно малого , существует , так что при . Теперь изменим обозначения.

Для достаточно малого , существует такое , так что

при . Это означает, что обратная функция непрерывна во внутренних точках .

3.2. Теперь рассмотрим концы области определения. Здесь все рассуждения остаются теми же самыми. Только нужно рассматривать односторонние окрестности этих точек. Вместо точки будет или , а вместо точки – или .

Так, для возрастающей функции , . Обратная функция непрерывна в точке , поскольку для любого достаточно малого имеется , так что при . Обратная функция непрерывна в точке , поскольку для любого достаточно малого имеется , так что при .

Для убывающей функции , . Обратная функция непрерывна в точке , поскольку для любого достаточно малого имеется , так что при . Обратная функция непрерывна в точке , поскольку для любого достаточно малого имеется , так что при .

Теорема доказана.

Доказательство теоремы о существовании и непрерывности обратной функции на интервале

Формулировка ⇑

Пусть обозначает область определения функции – открытый интервал . Пусть – множество ее значений.

Согласно приведенной выше лемме ⇑, существует обратная функция , которая имеет область определения , множество значений и является строго монотонной (возрастает если возрастает и убывает если убывает ).

Нам осталось доказать, что 1) множеством является открытый интервал , и что 2) обратная функция непрерывна на нем. Здесь .

1. Покажем, что множеством значений функции является открытый интервал : .

Как и всякое непустое множество, элементы которого имеют операцию сравнения, множество значений функции имеет нижнюю и верхнюю грани: . Здесь и могут быть конечными числами или символами и .

1.1. Покажем, что точки и не принадлежат множеству значений функции. То есть множество значений не может быть отрезком .

Если или является бесконечно удаленной точкой: или , то такая точка не является элементом множества. Поэтому она не может принадлежать множеству значений.

Пусть (или ) является конечным числом. Допустим противное. Пусть точка (или ) принадлежит множеству значений функции . То есть существует такое , для которого (или ). Возьмем точки и , удовлетворяющие неравенствам: .

Поэтому точки и не могут принадлежать множеству значений функции .

1.2. Теперь покажем, что множество значений является интервалом , а не объединением интервалов и точек. То есть для любой точки существует , для которого .

Согласно определениям нижней и верхней граней, в любой окрестности точек и содержится хотя бы один элемент множества . Пусть – произвольное число, принадлежащее интервалу : . Тогда для окрестности существует , для которого . Для окрестности существует , для которого .

Поскольку и , то . Тогда (4.1.1)   если возрастает; (4.1.2)   если убывает. Неравенства (4.1) легко доказать от противного. Но можно воспользоваться леммой ⇑, согласно которой на множестве существует обратная функция , которая строго возрастает, если возрастает и строго убывает, если убывает . Тогда сразу получаем неравенства (4.1).

Итак, мы имеем отрезок , где если возрастает; если убывает. На концах отрезка функция принимает значения и . Поскольку , то по теореме Больцано – Коши, существует точка , для которой .

Поскольку , то тем самым мы показали, что для любого существует , для которого . Это означает, что множеством значений функции является открытый интервал .

2. Теперь покажем, что обратная функция непрерывна в произвольной точке интервала :  . Для этого применим предыдущую теорему ⇑ к отрезку . Поскольку , то обратная функция непрерывна на отрезке , в том числе и в точке .

Теорема доказана.

Использованная литература: О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.

С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Источник: https://1cov-edu.ru/mat-analiz/nepreryvnost-funktsii/obratnye-funktsii/

Взаимно обратные функции, основные определения, свойства, графики

Допустим, что у нас есть некая функция y=f(x), которая является строго монотонной (убывающей или возрастающей) и непрерывной на области определения x∈a; b; область ее значений y∈c; d, а на интервале c; d при этом у нас будет определена функция x=g(y) с областью значений a; b. Вторая функция также будет непрерывной и строго монотонной. По отношению к y=f(x) она будет обратной функцией. То есть мы можем говорить об обратной функции x=g(y) тогда, когда y=f(x) на заданном интервале будет либо убывать, либо возрастать.

• Две этих функции, f и g, будут взаимно обратными.
• Для чего вообще нам нужно понятие обратных функций?
• Это нужно нам для решения уравнений y=f(x), которые записываются как раз с помощью этих выражений.

Нахождение взаимно обратных функций

1. Допустим, нам нужно найти решение уравнения cos(x)=13. Его решениями будут все точки: x=±arсcos13+2π·k, k∈Z 
2. Обратными по отношению друг к другу будут, например, функции арккосинуса и косинуса.
3. Разберем несколько задач на нахождение функций, обратных заданным.

Пример 1

Условие: какая функция будет обратной для y=3x+2?

Решение

Область определений и область значений функции, заданной в условии, – это множество всех действительных чисел. Попробуем решить данное уравнение через x, то есть выразив  x через y.

Мы получим x=13y-23. Это и есть нужная нам обратная функция, но y здесь будет аргументом, а x — функцией. Переставим их, чтобы получить более привычную форму записи:

y=13x-23 

Ответ: функция y=13x-23 будет обратной для y=3x+2.

Обе взаимно обратные функции можно отобразить на графике следующим образом:

Мы видим симметричность обоих графиков относительно y=x. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего квадрантов. Получилось доказательство одного из свойств взаимно обратных функций, о котором мы поговорим далее.

Возьмем пример, в котором нужно найти логарифмическую функцию, обратную заданной показательной.

Пример 2

Условие: определите, какая функция будет обратной для y=2x.

Решение

Для заданной функции областью определения являются все действительные числа. Область значений лежит в интервале 0; +∞. Теперь нам нужно выразить x через y, то есть решить указанное уравнение через x. Мы получаем x=log2y. Переставим переменные и получим y=log2x.

В итоге у нас вышли показательная и логарифмическая функции, которые будут взаимно обратными друг другу на всей области определения.

Ответ: y=log2x.

На графике обе функции будут выглядеть так:

Основные свойства взаимно обратных функций

В этом пункте мы перечислим основные свойства функций y=f(x) и x=g(y), являющихся взаимно обратными.

Определение 1

1. Первое свойство мы уже вывели ранее: y=f(g(y)) и x=g(f(x)).
2. Второе свойство вытекает из первого: область определения y=f(x) будет совпадать с областью значений обратной функции x=g(y), и наоборот.
3. Графики функций, являющихся обратными, будут симметричными относительно y=x.
4. Если y=f(x) является возрастающей, то и x=g(y) будет возрастать, а если y=f(x) убывает, то убывает и x=g(y).

Советуем внимательно отнестись к понятиям области определения и области значения функций и никогда их не путать. Допустим, что у нас есть две взаимно обратные функции y=f(x)=ax и x=g(y)=logay. Согласно первому свойству, y=f(g(y))=alogay.

Данное равенство будет верным только в случае положительных значений y, а для отрицательных логарифм не определен, поэтому не спешите записывать, что alogay=y. Обязательно проверьте и добавьте, что это верно только при положительном y.

А вот равенство x=f(g(x))=logaax=x будет верным при любых действительных значениях x.

arcsinsin7π3=arcsinsin2π+π3==по формулепривидения=arcsinsinπ3=π3

А вот sinarcsin13=13 – верное равенство, т.е. sin(arcsin x)=x при x∈-1; 1 и arcsin(sin x)=x при x∈-π2; π2. Всегда будьте внимательны с областью значений и областью определений обратных функций!

Графики взаимно обратных функций

• Основные взаимно обратные функции: степенные

Если у нас есть степенная функция y=xa, то при x>0 степенная функция x=y1a также будет обратной ей. Заменим буквы и получим соответственно y=xa и x=y1a.

На графике они будут выглядеть следующим образом (случаи с положительным и отрицательным коэффициентом a):

• Основные взаимно обратные функции: показательные и логарифмические

Возьмем a,которое будет положительным числом, не равным 1.

Графики для функций с a>1 и a

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/funktsii/vzaimno-obratnye-funktsii-osnovnye-opredelenija-sv/

Взаимно обратные функции

Пусть множества $X$ и $Y$ включены в множество действительных чисел. Введем понятие обратимой функции.

Определение 1

Функция $f:X o Y$ отображающая множество $X$ в множество $Y$ называется обратимой, если для любых элементов $x_1,x_2in X$ из того что $x_1
e x_2$ следует, что $f(x_1)
e f(x_2)$.

Теперь мы можем ввести понятие обратной функции.

Определение 2

Пусть функция $f:X o Y$ отображающая множество $X$ в множество $Y$ обратима. Тогда функция $f^{-1}:Y o X$ отображающая множество $Y$ в множество $X$ определяемая условием $f^{-1}left(y
ight)=x$ называется обратной для $f(x)$.

Сформулируем теорему:

Теорема 1

Пусть функция $y=f(x)$ определена, монотонно возрастает (убывает) и непрерывна в некотором промежутке $X$. Тогда в соответствующем промежутке $Y$ значений этой функции у нее существует обратная функция, которая также монотонно возрастает (убывает) и непрерывна на промежутке $Y$.

Введем теперь, непосредственно, понятие взаимно обратных функций.

Определение 3

В рамках определения 2, функции $f(x)$ и $f^{-1}left(y
ight)$ называются взаимно обратными функциями.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Свойства взаимно обратных функций

Пусть функции $y=f(x)$ и $x=g(y)$ взаимно обратные, тогда

1. $y=f(gleft(y
   ight))$ и $x=g(f(x))$

2. Область определения функции $y=f(x)$ равна области значения функции$ x=g(y)$. А область определения функции $x=g(y)$ равна области значения функции$ y=f(x)$.

3. Графики функций $y=f(x)$ и $x=g(y)$ симметричны относительно прямой $y=x$.

4. Если одна из функций возрастает (убывает), то и другая функция возрастает (убывает).

Нахождение обратной функции

1. Решается уравнение $y=f(x)$ относительно переменной $x$.

2. Из полученных корней находят те, которые принадлежат промежутку $X$.

3. Найденные $x$ ставят в соответствия числу $y$.

Пример 1

• Найти обратную функцию, для функции $y=x^2$ на промежутке $X=[-1,0]$
• Так как эта функция убывает и непрерывна на промежутке $X$, то на промежутке $Y=[0,1]$, которая также убывает и непрерывна на этом промежутке (теорема 1).
• Вычислим $x$:
• Выбираем подходящие $x$:
• Ответ: обратная функция $y=-sqrt{x}$.

[y=x^2] [x=pm sqrt{y}]
[x=-sqrt{y}]

Задачи на нахождение обратных функций

В этой части рассмотрим обратные функции для некоторых элементарных функций. Задачи будем решать по схеме, данной выше.

Пример 2

1. Найти обратную функцию для функции $y=x+4$
2. Решение.
3. Так как функция возрастает и непрерывна на всей области определения, то, по теореме 1, она имеет на ней обратную непрерывную и возрастающую функцию.

1. Найдем $x$ из уравнения $y=x+4$:

   [y=x+4] [x=y-4]

2. Находим подходящие значения $x$

   Значение в нашем случае подходит (так как область определения — все числа)

3. Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид

   [y=x-4]

Пример 3

• Найти обратную функцию для функции $y=x^3$
• Решение.
• Так как функция возрастает и непрерывна на всей области определения, то, по теореме 1, она имеет на ней обратную непрерывную и возрастающую функцию.

1. Найдем $x$ из уравнения $y=x^3$:

   [y=x^3] [x=sqrt[3]{y}]

2. Находим подходящие значения $x$

   Значение в нашем случае подходит (так как область определения — все числа)

3. Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид

   [y=sqrt[3]{x}]

Пример 4

Найти обратную функцию для функции $y=cosx$ на промежутке $[0,pi ]$

Решение.

Рассмотрим на множестве $X=left[0,pi
ight]$ функцию $y=cosx$.

Она непрерывна и убывает на множестве $X$ и отображает множество $X=left[0,pi
ight]$ на множество $Y=[-1,1]$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=cosx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=[-1,1]$ и отображает множество $[-1,1]$ на множество $left[0,pi
ight]$.

1. Найдем $x$ из уравнения $y=cosx$:

   [y=cosx] [x=pm arccosy+2pi n,nin Z]

2. Находим подходящие значения $x$

   [x=arccosy]

3. Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид

   [y=arccosx]

Пример 5

1. Найти обратную функцию для функции $y=tgx$ на промежутке $left(-frac{pi }{2},frac{pi }{2}
   ight)$.
2. Решение.
3. Рассмотрим на множестве $X=left(-frac{pi }{2},frac{pi }{2}
   ight)$ функцию $y=tgx$. Она непрерывна и возрастает на множестве $X$ и отображает множество $X=left(-frac{pi }{2},frac{pi }{2}
   ight)$ на множество $Y=R$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=tgx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=R$ и отображает множество $R$ на множество $left(-frac{pi }{2},frac{pi }{2}
   ight)$

1. Найдем $x$ из уравнения $y=tgx$:

   [y=tgx] [x=arctgy+pi n,nin Z]

2. Находим подходящие значения $x$

   [x=arctgy]

3. Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид

   [y=arctgx]

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/stepennaya_funkciya/vzaimno_obratnye_funkcii/

Обратная функция

Функция — это действие над переменной. Но что будет, если сделать действие — и обратное действие? Открыть дверь и закрыть дверь. Включить свет и выключить свет. Будет то же, что и было раньше, верно? Так и с функциями.

Функции f(x) и g(x) называются взаимно-обратными, если f(g(x)) = x.

Например, при

Сделали действие (возвели в квадрат). Сделали обратное действие (извлекли квадратный корень). И получили то, что и было раньше, то есть переменную .

А вот . Подумайте, почему это так.

Другой пример взаимно-обратных функций: показательная и логарифмическая. Помните основное логарифмическое тождество: для . Для положительных х функции и являются взаимно-обратными.

Еще один пример взаимно-обратных функций:

Пусть соответствие f является взаимно-однозначным:

Тогда существует функция g, которая действует в обратную сторону: каждому числу y ∈ B она ставит в соответствие одно-единственное число x ∈ A, такое, что f(x) = y:

Функция g называется обратной к функции f. Точно так же и функция f будет обратной к функции g.

Если мы возьмём какое-либо число x ∈ A и подействуем на него функцией f, то получим число y = f(x) ∈ B. Теперь на полученное число y подействуем функцией g. Куда попадём? Правильно, вернёмся к исходному числу x. Это можно записать так:

(1)

 
Последовательное применение двух взаимно-обратных действий возвращает нас в исходную точку. Как и в жизни: сначала открыли дверь, а потом совершили обратное действие — закрыли дверь; в итоге вернулись к начальной ситуации.

• Так, если возвести число 3 в степень x, а затем совершить обратное действие — взять от полученного числа 3x логарифм по основанию 3 — мы вернёмся к исходному числу x:
• Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой у = x.
• То, что для функции является областью определения, для обратной функции будет областью значений.
• Как вывести формулу обратной функции?
• Если вы учитесь в математическом классе или на первом курсе вуза, вам может встретиться такое задание.
• Например, у вас есть линейная функция Какая же функция будет к ней обратной?
• Действуем следующим образом:
• 1) Выражаем из формулы функции x через у.
• Получаем:
• 2) В формуле меняем x и у местами. Получаем формулу обратной функции:

Другой пример. Найдем обратную функцию для функции .

1) Выражаем из формулы функции x через у. Получаем:

2) В формуле меняем x и у местами. Получаем формулу обратной функции:

Источник: https://ege-study.ru/obratnaya-funkciya/

Взаимно обратные функции

1. Характеристика взаимно обратных функций
2. Как найти обратную функцию?

Допустим, что множества X и Y являются частью множества действительных чисел. В таком случае требуется введение такого термина как обратимая функция.

Определение

Отображающую множество X во множестве Y функцию ( f : X
ightarrow Y ) называют обратимой, если для каких-либо элементов ( x_{1}, x_{2} in X ) из того что ( x_{1}
eq x_{2} ), а отсюда в свою очередь следует то, что ( fleft(x_{1}
ight)
eq fleft(x_{2}
ight) )

С учетом этого вводится термин обратная функция.

Определение

Предположим, что отображающая множество X во множестве Y функция ( f : X
ightarrow Y ) является обратимой. Вследствие этого функция ( f^{-1} : Y
ightarrow X ), которая отображает множество Y во множество X, а также определяемая условием ( f^{-1}(y)=x ), именуется обратной для ( f(x) )

Теорема

Допусти функция ( y=f(x) ) является определенной, монотонно возрастающей (убывающей) и непрерывной в том или ином промежутке X. Следовательно, в промежутке значений Y этой функции у нее имеется обратная функция, которая монотонно убывает или возрастает, а также является непрерывной (промежуток Y).

Теперь стоит ввести такой термин как взаимно обратные функции.

Определение

В рамках второго определения, функции ( f(x) n f^{-1}(y) ) именуют взаимно обратные.

Характеристика взаимно обратных функций

• Предположим, что функции ( y=f(x)_quad{и}quad x=g(y) )являются взаимно обратными, а значит:
• ( y=f(g(y)) n x=g(f(x)) )
• Область определения функции ( y=f(x) )соответствуют области значения ( x=g(y) ), в то время как область определения последней соответствует области значения первой.
• Графики обратной функции ( y=f(x)_quad{и} quad x=g(y) )по отношению к прямой y=x являются симметричными
• Если наблюдается возрастание или убывание одной из этих функций, вторая будет аналогично возрастать, либо убывать.

Как найти обратную функцию?

1. Относительно переменной х нужно решить уравнение ( y=f(x) )
2. Из найденных корней нужно получить корни, принадлежащие промежутку Х.
3. Полученные х необходимо поставить соответственно значению y.

Пример

• Найдите функцию обратную данной ( y=x^{2} ) на промежутке ( X=[-1,0] )
• Поскольку функция является убывающей и непрерывной (промежуток Х), тогда на промежутке Y будет равен [0,1], причем согласно первой теореме, он тоже является непрерывной и убывающей на данном промежутке.
• Вычисление х:
• ( y=x^{2} )
• ( x=pm sqrt{y} )
• Подбираем необходимые значения:
• ( x=-sqrt{y} )
• Ответ: обратная функция ( y=-sqrt{x} )

Пример

1. Найти обратную функцию для ( y=x+4 )
2. Поскольку функция является возрастающей и непрерывной на всей области, тогда согласно первой теореме, то здесь имеют место быть возрастающая и непрерывная функции.
3. Отыщем х из уравнения ( y=x+4 )
4. ( y=x+4 )
5. ( x=y-4 )

Ищем необходимые значения х. Поскольку в области определения все числа, то в нашем случае значение подходит.

Переопределив переменные, получим такой вид обратной функции

( x=y-4 )

Пример

Отыскать функцию обратного типа для ( y=x^{3} ). Нахождение аналогично второму примеру.

• Отыщем х из уравнения ( y=x^{3} )
• ( y=x^{3} )
• ( x=sqrt[3]{y} )

Ищем необходимые значения х. Поскольку в области определения все числа, то в нашем случае значение подходит.

Переопределив переменные, получим следующий вид обратной функции

( y=sqrt[3]{x} )

Пример

Отыскать обратную функцию для ( y=cos x )на промежутке ( [0, pi] )

Рассмотрим функцию ( y=cos x ) на множестве ( X=[0, pi] ). Она непрерывна и убывает на множестве X и отображает множество ( X=[0, pi] )на множество ( X=[0, pi] ) потому согласно первой теореме у функции ( y=cos x )в множестве Y имеется непрерывная обратная функция, возрастающая на ( Y=[-1 ; 1] ) и отображающая множество [-1;1] на множество ( [0, pi] ).

1. Найдем х из ( y=cos x ):
2. ( y=cos x )
3. ( x=pm arccos y+2 pi n, n in Z )
4. Ищем подходящие значения
5. ( x=arccos y )
6. Переопределяя переменные, получаем:
7. ( y = arccos x )
8. Пример
9. На промежутке ( left(-frac{pi}{2}, frac{pi}{2}
   ight) ) функции ( y=operatorname{tg} x )отыскать обратную функцию.
10. Функция ( y=operatorname{tg} x )на множестве ( X=left(-frac{pi}{2}, frac{pi}{2}
    ight) ) является непрерывной и возрастающей (множество Х) и указывает на множество ( X=left(-frac{pi}{2}, frac{pi}{2}
    ight) ), а она соответственно на множество Y=R. Отсюда, согласно первой теореме, функция ( y=operatorname{tg} x )обладает обратной непрерывной функцией (множество Y) возрастающей на Y=R и отображающей множество R на множество ( left(-frac{pi}{2}, frac{pi}{2}
    ight) )
11. Ищем х из ( y=operatorname{tg} x : ):
12. ( y=operatorname{tg} x )
13. ( x=operatorname{arctg} y+pi n, n in Z )
14. Ищем подходящие значения
15. ( x=operatorname{arctg} y )
16. Переопределяя переменные, получаем:
17. ( y=operatorname{arctg} x )

Источник: https://sciterm.ru/spravochnik/vzaimno-obratnie-funkcii/