Возрастание и убывание функций, экстремумы — справочник студента

Теорема 6 Условие выпуклости вверх и выпуклости вниз Если функция f(x) во всех точках интервала (a; b) имеет отрицательную вторую производную, то есть , то график функции на этом интервале выпуклый вверх. Если , то график функции на этом интервале выпуклый вниз. Теорема 7 (достаточное условие существования точек перегиба) Если вторая производная при переходе через точку х0 , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой х0 есть точка перегиба. Точка в которой или не существует называется критической точкой второго рода. 11

Алгоритм исследования функции на выпуклость и точки перегиба.

1 Найти производную функции f(x); 2 Найти вторую производную функции f(x); 3 Найти критические точки второго рода функции f(x); 4 Выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции; 5 Исследовать знак второй производной слева и справа от каждой критической точки второго рода; 6 Выписать точки перегиба и найти значения функции в них. 12

Пример. Исследовать функцию на выпуклость и найти точки перегиба. Область определения: Критические точки второго рода: — + 0 — функция выпукла — функция вогнута Точка перегиба — точка перегиба 13

Асимптоты графика функции Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

y М М d d 0 Асимптоты могут быть наклонными, горизонтальными и вертикальными.

М d Наклонная асимптота Если существуют конечные пределы: х то кривая y = f(x) с имеет наклонную асимптоту с уравнением: 14

Если хотя бы один из пределов для нахождения k или b не существует или равен бесконечности, то кривая y = f(x) наклонной асимптоты не имеет. В частности, если k = 0, то асимптота.

, и y = b – горизонтальная Таким образом, горизонтальная асимптота это частный случай наклонной асимптоты. Асимптоты графика функции при могут быть разными.

Пример. Найти наклонные асимптоты графика функции график функции не имеет наклонной асимптоты при Следовательно, при горизонтальную асимптоту график функции имеет 16

Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) , если: или Из рисунка видно, что расстояние от точки M(x; y) до прямой x = a равно Если , то. Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те значения х, вблизи которых функция неограниченно возрастает по модулю. y М d 0 а х Обычно это точки разрыва второго рода и может быть граница области определения функции. 17

Пример. Найти асимптоты графика функции Область определения функции: — вертикальная асимптота Найдем наклонные асимптоты: — наклонная асимптота 18

Источник: https://present5.com/lekciya-7-issledovanie-funkcii-vozrastanie-i-ubyvanie-funkcij/

Алгебра – 10 класс. Точки экстремумов функций

Что будем изучать:

1. Введение.
2. Точки минимума и максимума.
3. Экстремум функции.
4. Как вычислять экстремумы?
5. Примеры.

Введение в экстремумы функций

Ребята, давайте посмотрим на график некоторой функции:

Заметит, что поведение нашей функции y=f (x) во многом определяется двумя точками x1 и x2. Давайте внимательно посмотрим на график функции в этих точках и около них.

До точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и сразу после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1
функция опять перегибается, и после этого — опять возрастает.

Точки x1 и x2 пока так и будем называть точками перегиба. Давайте проведем касательные в этих точках:

Касательные в наших точках параллельны оси абсцисс, а значит, угловой коэффициент касательной равен нулю. Это значит, что и производная нашей функции в этих точках равна нулю.

Посмотрим на график вот такой функции:

Касательные в точках x2 и x1 провести невозможно. Значит, производной в этих точках не существует. Теперь посмотрим опять на наши точки на двух графиках. Точка x2 — это точка, в которой функция достигает наибольшего значения в некоторой области (рядом с точкой x2). Точка x1 — это точка, в
которой функция достигает своего наименьшего значения в некоторой области (рядом с точкой x1).

Точки минимума и максимума

• Определение: Точку x= x0 называют точкой минимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≥ f(x0).
• Определение: Точку x=x0 называют точкой максимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≤ f(x0).
• Ребята, а что такое окрестность?
• Определение: Окрестность точки — множество точек, содержащее нашу точку, и близкие к ней.

Окрестность мы можем задавать сами. Например, для точки x=2, мы можем определить окрестность в виде точек 1 и 3.

Вернемся к нашим графикам, посмотрим на точку x2, она больше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению — это точка максимума. Теперь посмотрим на точку x1, она меньше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению — это точка минимума.

Ребята, давайте введем обозначения:

ymin — точка минимума,
ymax — точка максимума.

Важно! Ребята, не путайте точки максимума и минимума с наименьшим и наибольшим значение функции. Наименьшее и наибольшее значения ищутся на всей области определения заданной функции, а точки минимума и максимума в некоторой окрестности.

Экстремумы функции

Для точек минимума и максимума есть общей термин – точки экстремума.

Экстремум (лат. extremum – крайний) – максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.

Соответственно, если достигается минимум – точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум – точкой максимума.

Как же искать экстремумы функции?

Давайте вернемся к нашим графикам. В наших точках производная либо обращается в нуль (на первом графике), либо не существует (на втором графике).

1. Тогда можно сделать важное утверждение: Если функция y= f(x) имеет экстремум в точке x=x0, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.
2. Точки, в которых производная равна нулю называются стационарными.
3. Точки, в которых производной функции не существует, называются критическими.

Как вычислять экстремумы?

Ребята, давайте опять вернемся к первому графику функции:

Анализируя этот график, мы говорили: до точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1 у функции опять перегибается, и после этого
функция опять возрастает.

На основании таких рассуждений, можно сделать вывод, что функция в точках экстремума меняет характер монотонности, а значит и производная функция меняет знак. Вспомним: если функция убывает, то производная меньше либо равно нулю, а если функция возрастает, то производная больше либо равна нулю.

Обобщим полученные знания утверждением:

Теорема: Достаточное условие экстремума: пусть функция y=f(x) непрерывна на некотором промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x= x0. Тогда:

• Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x < x0 выполняется f’(x) < 0, а при x > x0 выполняется f’(x)>0, то точка x0 – точка минимума функции y= f(x).
• Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x < x0 выполняется f ’(x)>0, а при x> x0 выполняется f’(x)Если у этой точки существует такая окрестность, в которой и слева и справа от точки x0 знаки производной одинаковы, то в точке x0 экстремума нет.

Для решении задач запомните такие правила: Если знаки производных определены то:

Алгоритм исследования непрерывной функции y= f(x) на монотонность и экстремумы:

• Найти производную y’.
• Найти стационарные(производная равна нулю) и критические точки (производная не существует).
• Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
• По указанным выше утверждениям сделать вывод о характере точек экстремума.

Примеры нахождения точки экстремумов

1) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 7+ 12*x — x3

Решение: Наша функция непрерывна, тогда воспользуемся нашим алгоритмом:
а) y'= 12 — 3×2,
б) y'= 0, при x= ±2,
г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов. Точка x= -2 — точка минимума функции, точка x= 2 — точка максимума функции.
Ответ: x= -2 — точка минимума функции, x= 2 — точка максимума функции.

2) Найти точки экстремума функции и определить их характер.

Решение: Наша функция непрерывна. Воспользуемся нашим алгоритмом:
а)
б) в точке x= 2 производная не существует, т.к. на нуль делить нельзя,

Область определения функции: [2; +∞], в этой точки экстремума нет, т.к. окрестность точки не определена. Найдем значения, в которой производная равна нулю:

в) Отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:

г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов. Точка x= 3 — точка минимума функции.
Ответ: x= 3 — точка минимума функции.

• 3) Найти точки экстремума функции y= x — 2cos(x) и определить их характер, при -π ≤ x ≤ π.
• в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:

  г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.

• 4) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

Решение: Наша функция непрерывна, воспользуемся нашим алгоритмом:
а) y'= 1 + 2sin(x),
б) найдем значения в которой производная равна нулю: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2, т.к. -π ≤ x ≤ π, то: x= -π/6, -5π/6,
Точка x= -5π/6 — точка максимума функции.
Точка x= -π/6 — точка минимума функции.
Ответ: x= -5π/6 — точка максимума функции, x= -π/6 — точка минимума функции.

Решение: Наша функция имеет разрыв только в одной точке x= 0. Воспользуемся алгоритмом:
а)
б) найдем значения в которой производная равна нулю: y'= 0 при x= ±2,
в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:
г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= -2 точка минимума функции.
Точка x= 2 — точка минимума функции. В точке x= 0 функция не существует.
Ответ: x= ±2 — точки минимума функции.

Задачи для самостоятельного решения

а) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 5×3 — 15x — 5.
б) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

в) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 2sin(x) — x при π ≤ x ≤ 3π.

г) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

Источник: https://mathematics-tests.com/algebra-10-klass-urok-ekstremumy-funktsii

Возрастание и убывание функций. Экстремумы

16.10

Возрастание и убывание функций. Экстремумы.

Спирина Ирина Марксовна, учитель математики, I категории.

МКОУ «Яланская СОШ»

График функции, определенной на отрезке [-1;10]. Эта функция возрастает на отрезках [-1;3] и [4;5], и убывает на отрезках [3;4] и [5,10].

• у
• у=х 2
• х

x 1 , выполнено неравенство f(x 2 ) f(x 1 ). » width=»640″

1. Определение. Функция f возрастает
2. на множестве P, если для любых x 1 и x 2
3. из множества P, таких, что x 2 x 1 ,
4. выполнено неравенство f(x 2 ) f(x 1 ).

x 1 , выполнено неравенство f(x 2 ) 1 ). » width=»640″

• Определение. Функция f убывает
• на множестве P, если для любых x 1 и x 2
• из множества P, таких, что х 2 x 1 ,
• выполнено неравенство f(x 2 ) 1 ).

1. Иначе говоря, функция f называется
2. возрастающей на множестве P,
3. если большему значению аргумента
4. из этого множества соответствует
5. большее значение функции.
6. Функция f называется убывающей
7. на множестве P, если большему
8. значению аргумента соответствует
9. меньшее значение функции.

• Для четных функций задача нахождения
• промежутков возрастания и убывания сильно
• упрощается. Достаточно всего лишь найти
• промежутки возрастания и убывания при x ≥

Возрастание и убывание функции синус

y = sin x

1. y
2. y = sinx
3. 1
4. 0
5. x
6. -1
7. y
8. y=cosx
9. 1
11. x
12. -1

• y
• y = sinx
• Возрастание и убывание функции косинус
• 1
• x
• -1
• y = cos x
• y
• y=cosx
• 1
• x
• -1

Возрастание и убывание функций тангенса и котангенса

1. Экстремумы.
2. Окрестность
3. Окрестность точки
4. а

Точки минимума, точки максимума

• Точка х называется точкой минимума функции f ,
• если для всех х из некоторой окрестности х
• выполняется неравенство f(x) ≥ f(x )
• x min = x

1. Точка х называется точкой максимума функции f ,
2. если для всех х из некоторой окрестности х
3. выполняется неравенство f(x) ≤ f(x )
4. x max = x

Спасибо за урок! Всем удачи!

Источник: https://videouroki.net/razrabotki/vozrastanie-i-ubyvanie-funktsiy-ekstremumy.html

Максимумы, минимумы и экстремумы функций

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).

         

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

— Производная положительна там, где функция возрастает. — Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.

(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.

• (- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.
• (-7): минимум.
• (3): максимум.
• Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус. — Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

1. Найдите производную функции (f'(x)). 
2. Найдите корни уравнения (f'(x)=0). 
3. Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов). 
5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью). 
6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2: — если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума; — если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;

   — если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54). Решение: 1. Найдем производную функции: (y'=15x^4-60x^2).

1. 2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:
2. (15x^4-60x^2=0)      (|:15) (x^4-4x^2=0) (x^2 (x^2-4)=0) (x=0)       (x^2-4=0)
3.                (x=±2)

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).

Ответ. (-2).

Источник: http://cos-cos.ru/math/327/

Урок 16. экстремумы функции — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс — Российская электронная школа

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок № 16. Экстремумы функции.

• Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
• 1) Определение точек максимума и минимума функции
• 2) Определение точки экстремума функции
• 3) Условия достаточные для нахождения точек экстремума функции
• Глоссарий по теме

Возрастание функции. Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых х1 и х2, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

1. Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции 
2. Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции 
3. Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

Точка максимума функции. Точку  х0 называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  .

Точка минимума функции. Точку  х0 называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  .

Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.

Убывание функции. Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых х1 и х2, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

• Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы:
• 1) Найти область определения функции D(f)
• 2) Найти f' (x).
• 3) Найти стационарные (f'(x) = 0) и критические (f'(x) не
• существует) точки функции y = f(x).
• 4) Отметить стационарные и критические точки на числовой
• прямой и определить знаки производной на получившихся
• промежутках.
• 5) Сделать выводы о монотонности функции и точках ее
• экстремума.
• Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Точки, в которых происходит изменение характера монотонности функции – это ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА.

• Точку х = х0 называют точкой минимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≥ f(x0).
• Точку х = х0 называют точкой максимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0).

1. Точки максимума и минимума – точки экстремума.
2. Функция может иметь неограниченное количество экстремумов.
3. Критическая точка – это точка, производная в которой равна  или не существует.
4. Важно помнить, что любая точка экстремума является критической точкой, но не всякая критическая является экстремальной.
5. Алгоритм нахождения максимума/минимума функции на отрезке:

1. найти экстремальные точки функции, принадлежащие отрезку,
2. найти значение функции в экстремальных точках из пункта 1 и в концах отрезка,
3. выбрать из полученных значений максимальное и минимальное.

• Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
• №1. Определите промежуток монотонности функции у=х2 -8х +5
• Решение: Найдем производную заданной функции: у’=2x-8
• 2x-8=0

1. х=4
2. Определяем знак производной функции и изобразим на рисунке, следовательно, функция возрастает при хϵ (4;+∞); убывает при хϵ (-∞;4)
3. Ответ: возрастает при хϵ (4;+∞); убывает при хϵ (-∞;4)
4. №2. Найдите точку минимума функции у= 2х-ln(х+3)+9

х=-2,5

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Ответ: -2,5 точка min

№3. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 10t2 − 48t + 15, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3с.

Решение: Если нас интересует движение автомобиля, то, принимая в качестве функции зависимость пройденного расстояния от времени, с помощью производной мы получим зависимость скорости от времени. 

V=х'(t)= 20t – 48. Подставляем вместо t 3c и получаем ответ. V=12 мc

Ответ: V=12 мc

№4. На рисунке изображен график функции. На оси абсцисс отмечены семь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Решение: Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает. В данном случае это точки х3,х5,х7. Следовательно, таких точек 3

Ответ: 3

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/3987/conspect/

Исследование функции с помощью производной /qualihelpy

Теоремы о дифференцируемых функциях

Рассмотрим функции  и , которые непрерывны на отрезке  и дифференцируемы на интервале .
Теорема Ферма
: если функция  в точке  имеет локальный экстремум, то  . Геометрический смысл теоремы: касательная к графику функции в точке  параллельна оси абсцисс. 

• Теорема Лагранжа:  , где .
• Геометрический смысл теоремы: касательная к графику функции в точке   параллельна секущей, соединяющей концы графика этой функции.
• Теорема Ролля: если  и  , то .
• Геометрический смысл теоремы: у графика функции существует точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс.
• Теорема Коши: если  , то .
• Исследование функции с помощью первой производной
• С помощью производной функции можно определить характер монотонности функции, точки экстремума, а также ее наибольшее и наименьшее значение на заданном промежутке.
• Достаточное условие возрастания (убывания) функции:
• а) если на заданном промежутке   , то функция возрастает на этом промежутке;
• б) если   , то функция убывает на этом промежутке.
• Экстремум
  функции
• Максимумом (минимумом)
  функции   называют такое ее значение, которое больше (меньше) всех ее других значений в окрестности рассматриваемой точки.

Максимум и минимум функции имеют локальный характер, поскольку отдельные минимумы некоторой функции могут оказаться больше максимумов той же функции (рис. 6.4).

Максимум и минимум функции называются 
экстремумом функции
.

Значение аргумента, при котором достигается экстремум, называется
точкой экстремума
. На рисунке 6.

4 значения , , ,  и  являются точками экстремума рассматриваемой функции.

Критическими точками
функции называют те значения аргумента, при которых производная функции равна нулю или не существует. Критические точки функции находят, решая уравнение: .

1. Алгоритм нахождения точек экстремума функции:
2. 1) находим область определения функции  ;2) находим ;
3. 3) находим критические точки функции, решая уравнение ;
4. 4) наносим критические точки на область определения функции;
5. 5) определяем знак производной функции на полученных промежутках;
6. 6) определяем точки экстремума функции по правилу: если при переходе через критическую точку производная меняет знак c «+» на «–», то имеем точку максимума, а если с «–» на «+», то имеем точку минимума.

Рассмотрим функцию   на отрезке . Свое наибольшее и наименьшее значение она может принимать либо на концах отрезка, либо в точках экстремума.

• Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего
  значений
  функции на заданном отрезке:  
• 1) находим ;
• 2) находим критические точки функции, решая уравнение ;
• 3) находим значение функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих данному отрезку;
• 4) определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных.
• Исследование
  функции с помощью второй производной
• Критическими точками второго рода
  функции  называют те значения аргумента, при которых вторая производная этой функции равна нулю или не существует.
• Критические точки второго рода функции находят, решая уравнение .
• Если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная функции меняет знак, то имеем точку перегиба
   графика функции.
• Если на некотором промежутке выполняется неравенство , то функция  вогнута
  на этом промежутке, а если , то функция
  выпукла
  на этом промежутке.

Источник: http://helpy.quali.me/theme/university/78

Экстремумы функций. Возрастание и убывание функций

Экстремумы функций. Возрастание и убывание функций.

Экстре́мум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x1< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f (x2) (f(x1) > f(x2)). Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f '(x) > 0 (f ' (x) < 0).

Выпуклость, точки перегиба, асимптоты графика функций.

Непрерывная на отрезке [a; b] функция f (x) называется выпуклой вверх на этом отрезке, если для любых точек x1 и x2 из этого отрезка

Другими словами, если для любых точек x1 и x2 отрезка [a; b] секущая AB проходит под графиком функции f (x), то функция f выпукла вверх.

Аналогично определяется функция, выпуклая вниз.

Пусть функция f (x) непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда точка называется точкой перегиба функции f, если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.

Необходимое условие наличия точки перегиба. Если – точка перегиба функции f (x), и функция f (x) имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то

Достаточные условия наличия точки перегиба.

Пусть функция f (x) непрерывна и имеет конечную или бесконечную производную в точке Если меняет знак при переходе через точку то – точка перегиба функции f (x).

асимптоты прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

Первообразная функции и неопределенный интеграл. Таблица неопределенных интегралов.

Первообра́зной функции f называют такую F, производная которой равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием. Так, например, функция является первообразной .

• Неопределённый интегра́л для функции — это совокупность всех первообразных данной функции.
• Если функция определена и непрерывна на промежутке и — её первообразная, то есть при , то
• ;

Замена переменной в неопределенном интеграле. Метод интегрирования по частям.

Вычислить интеграл .

Решение.

Сделаем замену переменной tg x = t, тогда . Получим табличный интеграл , где C — произвольная постоянная. Производя обратную замену переменной, получим:

Пусть функции и(х), v(x) имеют непрерывные производные, тогда — формула интегрирования по частям. Она применяется, если более прост для интегрирования, чем . для неопределённого интеграла:

1. для определённого:
2. Пример:
3. Определенный интеграл и его геометрический смысл.
4. Определенный интеграл — это аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых — интегрируемая функция или функционал, а вторая — область во множестве задания этой функции.

Проще говоря, это интеграл, численно равный площади части графика функции в пределах от a до b, т. е. площади криволинейной трапеции.

• Геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл
• представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x).
• Основные свойства определенного интеграла.

I. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. , где х, t – любые буквы.

II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.

III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

IV. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

1. V.
2. Формула Ньютона-Лейбница
3. Пусть функция f (x) непрерывна на [a; b], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда

• Экстремум функции многих переменных
• Безусловный экстремум
• Точка x0, y0 наз-ся точкой локального min(max), если сущ. Такая окрестность U(x0,y0) этой точки, что f(x,y) f(x0,y0),

Теорема. Если u=f(x,y) имеет в x0,y0 локальный экстремум и диф-ма в этой же точке, то .

Теорема. Пусть u=f(x0,y0) диф-ма в окрестности точки x0,y0 и дважды диф-ма x0,y0. Обозначим

1. D=a11a22- 12
2. Тогда если: 1) D>0,то ф-ция имеет локальный экстремум
3. 2) D A= C = C S= S
4. 2)определители и ранги подобных матриц равны
5. Свойства
6. · Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
7. · Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
8. · Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используется метод Лагранжа
9. Из коэффициентов квадратичной формы составим симметричную матрицу
10. А=
11. которую назовем матрицей квадратичной формы.
12. 36. Метод Лагранжа — метод приведения квадратичной формы к каноническому виду

Метод Лагранжа — это просто метод выделения полных квадратов. Например: (собираем все слагаемые с ) (обозначаем ) . Если на каком-то шаге нет квадрата очередной переменной, но есть смешанное произведение, то надо сделать замену типа , , чтобы квадрат появился.

Экстремумы функций. Возрастание и убывание функций.

Экстре́мум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x1< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f (x2) (f(x1) > f(x2)). Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f '(x) > 0 (f ' (x) < 0).

Рекомендуемые страницы:

Источник: https://lektsia.com/7×4090.html

Экстремумы функции (Лекция №9)

y=|x|.

Функция не имеет производной в точке x=0 (в этой точке график функции не имеет определенной касательной), но в этой точке функция имеет минимум, так как y(0)=0, а при всех x≠ 0y > 0.

 

Функция не имеет производной при x=0, так как обращается в бесконечность приx=0. Но в этой точке функция имеет максимум.

 

Функция не имеет производной при x=0, так как при x→0. В этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, f(x)=0 и при x0.

Таким образом, из приведенных примеров и сформулированной теоремы видно, что функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: 1) в точках, где производная существует и равна нулю; 2) в точке, где производная не существует.

Однако, если в некоторой точке x0 мы знаем, что f '(x)=0, то отсюда нельзя делать вывод, что в точке x0 функция имеет экстремум.

Например. .

Но точка x=0 не является точкой экстремума, поскольку слева от этой точки значения функции расположены ниже оси Ox, а справа выше.

Значения аргумента из области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками.

Из всего вышесказанного следует, что точки экстремума функции находятся среди критических точек, и, однако, не всякая критическая точка является точкой экстремума. Поэтому, чтобы найти экстремум функции, нужно найти все критические точки функции, а затем каждую из этих точек исследовать отдельно на максимум и минимум. Для этого служит следующая теорема.

Теорема 2. (Достаточное условие существования экстремума.) Пусть функция непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку x0, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x0).

Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке x = x0 функция имеет максимум.

Если же при переходе через x0 слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

Таким образом, если

1. f '(x)>0 при x x0, то x0 – точка минимума.

Доказательство. Предположим сначала, что при переходе через x0 производная меняет знак с плюса на минус, т.е. при всех x, близких к точке x0 f '(x)>0 для x< x0, f '(x) x0. Применим теорему Лагранжа к разности f(x) — f(x) = f '(c)(x- x0), где c лежит между x и x0.

1. Пусть x < x0. Тогда c< x0 и f '(c)>. Поэтомуf '(c)(x- x0) x0 и f '(c)

Источник: https://toehelp.ru/theory/math/lecture09/lecture09.html

Найти экстремумы функции

Данный калькулятор предназначен для нахождения экстремумов функции.
Следует различать понятия точек экстремума и экстремумов функции. Точки экстремума – точки максимума и минимума функции, это значения на оси Ox. Точка x0 является точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности выполняется неравенство f(x0)≥f(x).

Точка x0 является точкой минимума функции y=f(x), если из ее окрестности для всех x выполняется неравенство f(x0)≤f(x). Значения функции, которые соответствуют точкам экстремума, называются экстремумами функции, это значения на оси Oy.

Для того чтобы найти экстремумы функции можно использовать любой из трех условий экстремума, если функция удовлетворяет эти условиям.

Первым достаточным условием экстремума являются следующие утверждения: если в точке x0 функция непрерывна, и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то точка x0 является точкой максимума, а если в данной точке производная меняет знак с минуса на плюс, то x0 – точка минимума.

Вторым признаком экстремума является следующее утверждение: если производная второго порядка от x0 больше нуля, то x0 – точка минимума; если меньше нуля, то x0 – точка максимума. Третье достаточное условие экстремума функции заключается в следующем.

Пусть функция y=f(x) имеет производные до n-ого порядка в окрестности точки x0 и производные до n+1-ого порядка в самой точке x0; пусть f’(x0)= f’’(x0)= f’’’(x0)=…=f(n)( x0)=0 и f(n+1)( x0)≠0. Тогда, если n – нечетное, то x0 – точка экстремума. Если f(n+1)( x0)>0, то x0 – точка минимума, а, если f(n+1)( x0)0 – точка максимума.

Для того чтобы найти экстремумы функции, введите эту функцию в ячейку. Основные примеры ввода функций для данного калькулятора указаны ниже. Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

Основные функции : x^a модуль x: abs(x) : Sqrt[x] : x^(1/n) : a^x : Log[a, x] : Log[x] : cos[x] или Cos[x]

: sin[x] или Sin[x] : tan[x] или Tan[x] : cot[x] или Cot[x] : sec[x] или Sec[x] : csc[x] или Csc[x] : ArcCos[x] : ArcSin[x] : ArcTan[x] : ArcCot[x] : ArcSec[x] : ArcCsc[x] : cosh[x] или Cosh[x]

: sinh[x] или Sinh[x] : tanh[x] или Tanh[x] : coth[x] или Coth[x] : sech[x] или Sech[x] : csch[x] или Csch[е] : ArcCosh[x] : ArcSinh[x] : ArcTanh[x] : ArcCoth[x] : ArcSech[x] : ArcCsch[x] [19.67] =19: integral part of (19.67) — выделяет целую часть числа (integerPart)

Источник: https://allcalc.ru/node/678