Волновое уравнение. электромагнитные волны — справочник студента

Любой колебательный контур излучает энергию. Изменяющееся электрическое поле возбуждает в окружающем пространстве переменное магнитное поле, и наоборот.

Математические уравнения, описывающие связь магнитного и электрического полей, были выведены Максвеллом и носят его имя.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме для случая, когда отсутствуют электрические заряды () и токи (j = 0):

Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента (2.92)
  • где
  • Величины  и  — электрическая и магнитная постоянные, соответственно, которые связаны со скоростью света в вакууме соотношением
  • Постоянные  и  характеризуют электрические и магнитные свойства среды, которую мы будем считать однородной и изотропной.

В отсутствие зарядов и токов невозможно существование статических электрического и магнитного полей. Однако переменное электрическое поле возбуждает магнитное поле, и наоборот, переменное магнитное поле создает электрическое поле.

Поэтому имеются решения уравнений Максвелла в вакууме, в отсутствие зарядов и токов, где электрические и магнитные поля оказываются неразрывно связанными друг с другом. В теории Максвелла впервые были объединены два фундаментальных взаимодействия, ранее считавшихся независимыми.

Поэтому мы говорим теперь об электромагнитном поле.

Колебательный процесс в контуре сопровождается изменением окружающего его поля. Изменения, происходящие в окружающем пространстве, распространяются от точки к точке с определенной скоростью, то есть колебательный контур излучает в окружающее его пространство энергию электромагнитного поля.

Электромагнитная волна — это распространяющееся в пространстве электромагнитное поле, в котором напряженность электрического и индукция магнитного полей изменяются по периодическому закону.
  1. При строго гармоническом изменении во времени векторов  и  электромагнитная волна называется монохроматической.
  2. Получим из уравнений Максвелла волновые уравнения для векторов  и .
  3. Волновое уравнение для электромагнитных волн

Как уже отмечалось в предыдущей части курса, ротор (rot) и дивергенция (div) — это некоторые операции дифференцирования, производимые по определенным правилам над векторами. Ниже мы познакомимся с ними поближе.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Развитие эмоций и их значение в жизни человека - справочник студента

Оценим за полчаса!

Возьмем ротор от обеих частей уравнения

Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента

При этом воспользуемся доказываемой в курсе математики формулой:

Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента

  • где   — введенный выше лапласиан. Первое слагаемое в правой части равно нулю в силу другого уравнения Максвелла:
  • Получаем в итоге:
Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента (2.93)

Выразим rotB через электрическое поле с помощью уравнения Максвелла:

Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента (2.94)

и используем это выражение в правой части (2.93). В результате приходим к уравнению:

Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента (2.95)
  1. Учитывая связь
  2. и вводя показатель преломления среды
  3. запишем уравнение для вектора напряженности электрического поля в виде:
Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента (2.96)

Сравнивая с (2.69), убеждаемся, что мы получили волновое уравнение, где v — фазовая скорость света в среде:

Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента (2.97)
  • Взяв ротор от обеих частей уравнения Максвелла
  • и действуя аналогичным образом, придем к волновому уравнению для магнитного поля:
Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента (2.98)

Полученные волновые уравнения для  и  означают, что электромагнитное поле может существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых равна

Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента

  1. Видео 2.7 Измерение скорости света
  2. В отсутствие среды (при ) скорость электромагнитных волн совпадает со скоростью света в вакууме.
  3. Основные свойства электромагнитных волн
  4. Рассмотрим плоскую монохроматическую электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси х:
(2.99)

Возможность существования таких решений следует из полученных волновых уравнений. Однако напряженности электрического и магнитного полей не являются независимыми друг от друга. Связь между ними можно установить, подставляя решения (2.99) в уравнения Максвелла. Дифференциальную операцию rot, применяемую к некоторому векторному полю А можно символически записать как детерминант:

(2.100)

Подставляя сюда выражения (2.99), зависящие только от координаты x, находим:

(2.101)

Дифференцирование плоских волн по времени дает:

(2.102)

Тогда из уравнений Максвелла следует:

(2.103)
  • Отсюда следует, во-первых, что электрическое и магнитное поля колеблются в фазе:
  • Далее, ни у , ни у  нет компонент параллельных оси х:
  • Иными словами и в изотропной среде,
электромагнитные волны поперечны: колебания векторов электрического и магнитного полей происходят в плоскости, ортогональной направлению распространения волны.

Видео 2.8 Поперечность электромагнитной волны.

Видео 2.9 Поляризация электромагнитной волны. Длина волны 3 см.

Видео 2.10 Поляризатор и анализатор для дециметровой волны.

Тогда можно выбрать координатные оси так, чтобы вектор  был направлен вдоль оси у (рис. 2.27):

Рис. 2.27. Колебания электрического и магнитного полей в плоской электромагнитной волне

В этом случае уравнения (2.103) приобретают вид:

(2.104)

Отсюда следует, что вектор  направлен вдоль оси z:

Иначе говоря, векторы электрического и магнитного поля ортогональны друг другу и оба — направлению распространения волны. С учетом этого факта уравнения (2.104) еще более упрощаются:

(2.105)

Отсюда вытекает обычная связь волнового вектора, частоты и скорости:

(2.106)

а также связь амплитуд колебаний полей:

(2.107)

Отметим, что связь (2.107) имеет место не только для максимальных значений (амплитуд) модулей векторов напряженности электрического и магнитного поля волны, но и для текущих — в любой момент времени.

Итак, из уравнений Максвелла следует, что электромагнитные волны распространяются в вакууме со скоростью света. В свое время этот вывод произвел огромное впечатление.

Стало ясно, что не только электричество и магнетизм являются разными проявлениями одного и того же взаимодействия. Все световые явления, оптика, также стали предметом теории электромагнетизма.

Различия в восприятии человеком электромагнитных волн связаны с их частотой или длиной волны.

Шкала электромагнитных волн представляет собой непрерывную последовательность частот (и длин волн) электромагнитного излучения.

Теория электромагнитных волн Максвелла позволяет установить, что в природе существуют электромагнитные волны различных длин, образованные различными вибраторами (источниками).

В зависимости от способов получения электромагнитных волн их разделяют на несколько диапазонов частот (или длин волн).

Видео 2.11 Перенос энергии и импульса электромагнитной волной

На рис. 2.28 представлена шкала электромагнитных волн.

Рис. 2.28. Шкала электромагнитных волн

Видно, что диапазоны волн различных типов перекрывают друг друга. Следовательно, волны таких длин можно получить различными способами. Принципиальных различий между ними нет, поскольку все они являются электромагнитными волнами, порожденными колеблющимися заряженными частицами.

Уравнения Максвелла приводят также к выводу о поперечности электромагнитных волн в вакууме (и в изотропной среде): векторы напряженности электрического и магнитного полей ортогональны друг другу и направлению распространения волны.

Дополнительная информация

http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0560.html – Волновое уравнение. Материал из Физической Энциклопедии.

http://fvl.fizteh.ru/courses/ovchinkin3/ovchinkin3-10.html – Уравнения Максвелла. Видеолекции.

http://elementy.ru/trefil/24 – Уравнения Максвелла. Материал из «Элементов».

http://nuclphys.sinp.msu.ru/enc/e092.htm – Очень кратко об уравнениях Максвелла.

http://telecomclub.org/?q=node/1750 – Уравнения Максвелла и их физический смысл.

Читайте также:  Классическая электронная теория дисперсии - справочник студента

http://principact.ru/content/view/188/115/ – Кратко об уравнениях максвелла для электромагнитного поля.

Эффект Доплера для электромагнитных волн

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета К распространяется плоская электромагнитная волна. Фаза волны имеет вид:

(2.108)

Наблюдатель в другой инерциальной системе отсчета К', движущейся относительно первой со скоростью V вдоль оси x, также наблюдает эту волну, но пользуется другими координатами и временем: t', r'. Связь между системами отсчета дается преобразованиями Лоренца:

(2.109)

Подставим эти выражения в выражение для фазы , чтобы получить фазу волны в движущейся системе отсчета:

(2.110)

Это выражение можно записать как

(2.111)

где и  — циклическая частота и волновой вектор относительно движущейся системы отсчета. Сравнивая с (2.110), находим преобразования Лоренца для частоты и волнового вектора:

(2.112)
  1. Для электромагнитной волны в вакууме
  2. Пусть направление распространения волны составляет в первой системе отсчета угол с осью х:
  3. Тогда выражение для частоты волны в движущейся системе отсчета принимает вид:
(2.113)

Это и есть формула Доплера для электромагнитных волн.

Если , то наблюдатель удаляется от источника излучения и воспринимаемая им частота волны уменьшается:

(2.114)

Если  , то наблюдатель приближается к источнику и частота излучения для него увеличивается:

(2.115)

При скоростях V

Источник: https://online.mephi.ru/courses/physics/optics/data/course/2/2.6.html

Электромагнитная волна. Уравнение электромагнитной волны. Интерферометры и их применение. Понятие об интерференционном микроскопе

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА.

          Распространяющееся
электромагнитное поле, в котором напряженности электрического и магнитного
полей изменяются по какому-нибудь периодическому закону, называют электромагнитной
волной
.

Очевидно, источником электромагнитной волны может быть любой
электрический колебательный контур или даже любой проводник, по которому течет
переменный ток.

Скорость распространения электромагнитных волн постоянна для данной
(однородной и изотопной) среды и равна скорости света (в вакууме с = 3 × 108 м/сек).

          Электромагнитное
поле графически изображается совокупностью электрических и магнитных силовых
линий.

Уравнение электромагнитной волны.

          Составим
уравнение для наиболее простого случая — плоской электромагнитной волны,
распространяющейся вдоль некоторого направления ОХ, в которой векторы
напряженностей электрического Е и магнитного Н поля сохраняют
постоянные направления в пространстве (такая волна называется плоскополяризованной).
Направим эти векторы вдоль координатных осей: Е вдоль ОZ ; Н
вдоль ОУ.

Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента

 

Предположим,
что в начальный момент времени (t = 0) в исходной точке пространства (х
= 0) создано переменное электрическое поле Е, которое индуктирует
магнитное поле Н.

Через промежуток времени dt в соседней точке на
расстоянии dx напряженности полей будут Е+dE и H+dH
соответственно.

При этом приращение электрического поля dE обусловлено
скоростью изменения магнитного поля, а приращение магнитного поля dH
скоростью изменения электрического поля (эти скорости зависят от свойств среды,
что в СИ учитывается с помощью абсолютных проницаемостей  и ).

          Опуская
подробности, такая связь между скоростями изменения напряженностей Е и Н
по времени и расстоянию может быть выражена, путем приравнивания частных
производных от напряженностей Е и Н по расстоянию  х  и
времени  t:

Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента

Эти
уравнения называются уравнениями Максвелла для плоской электромагнитной
волны.
Решение этих уравнений и составит искомое уравнение волны. Мы с
вами рассматривали аналогичные уравнения в курсе механики. Поэтому подробное
решение приводить не будем. Получим:

Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента или   Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента 

Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента

Решениями
этих уравнений являются гармонические (синусоидальные) функции.

Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента

где
Е  и  Н — мгновенные, а  Еm  и  Hm  — максимальные значения напряжен-ностей, w — круговая частота колебаний векторов Е и Н, V
скорость распространения  волны в направлении ОХ:

Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента

где 
Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента = 3 × 10 м/сек —
скорость электромагнитной волны в вакууме.

          Из
уравнений следует, что в электромагнитной волне (в вакууме и изотопной среде)
векторы Е и Н взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости,
перпендикулярной направлению распространения волны (то есть электромагнитная
волна — поперечная), колебания этих векторов происходят в фазе и их величины
связаны соотношением:

Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента

  • Привести 
    графики.
  •              
    Объемная плотность энергии электромагнитного поля.
  •           Энергия
    электромагнитного поля складывается их энергии электрического поля и энергии
    магнитного поля. Мгновенное значение объемной плотности энергии
    электромагнитного поля равно
  • wЭМ = wЕ + wН = Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента
  • Учитывая,
    что  , 
    получим
  •                 
    wЭМ
  • В
    системе СГС
  • wЭМ
    =
  • где
    Е и Н — мгновенные значения напряженностей полей.
  •           Плотность
    потока энергии волны  I  можно получить, умножим объемную плотность
    энергии поля на скорость волны :
  •                        
    I = wЭМ u =
  • В
    системе СГС   

          Плотность
потока энергии — это вектор, совпадающий с направлением распространения волны.
В данном случае он называется вектором Умова-Пойнтинга

  1.                             
     Шкала электромагнитных волн.
  2.           По
    современным представлениям, свет имеет двойственные корпускулярно-волновые
    свойства.

          Волновые
свойства света проявляются преимущественно в явлениях, связанных с его
распространением (интерференция, дифракция, отражение, преломление и др.).
Поэтому при изучении этих явлений используется главным образом волновая теория,
хотя она и не учитывает прерывности световой волны.

          Корпускулярные
свойства проявляются преимущественно при взаимодействии света с веществом
(фотоэффект и др.), которое и рассматривается главным образом с точки зрения
фотонной теории.

Основной
характеристикой световых волн является частота колебаний n (частота
колебаний векторов напряженности Е и Н электромагнитного поля). В
волновой теории чаще используется связанная с ней длина волны в вакууме:   , где
 с  — скорость света в вакууме.

Частота колебаний (длина волны в
вакууме) влияет на свойства излучения и в определенных интервалах частот
излучение приобретает особые качества.

Например, электромагнитное излучение в
определенном диапазоне частот действует на глаз, а в другом диапазоне
(рентгеновские лучи) проникает в глубь веществ, непроницаемых для остального
электромагнитного излучения и т.п.

          В
соответствии с условиями возбуждения и свойствами излучения электромагнитные
волны делятся по частоте (или длине волны) на 6 диапазонов: радиоволны
(длинные, средние, короткие), инфракрасные, видимые, ультрафиолетовые,
рентгеновские волны и  g — лучи, шкала приведена по мере возрастания частот,
то есть убывания длин волн.

          Излучение
радиоволн обусловлено переменным токами в проводниках и электронными потоками
(макроизлучатели). Излучение инфракрасных, видимых и ультрафиолетовых волн
исходит из атомов, молекул и быстро заряженных частиц (микроизлучатели).
Рентгеновское излучение возникает при внутриатомных процессах,  g  -лучи имеют ядерное происхождение.

Источник: https://vunivere.ru/work5377

Лекция 4 электромагнитные волны 4 1 векторное уравнение

Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента

Взаимная перпендикулярность векторов E, H и K Второе свойство электромагнитных волн: в электромагнитной волне электрическая E и магнитная H составляющие перпендикулярны друг к другу и к волновому вектору K, причем векторы E, H и K образую правовинтовую систему: Таким образом, если ЭМВ распространяется вдоль оси X, то

Соотношения между модулями векторов E и H Третье свойство электромагнитных волн: фазы колебаний их составляющих E и H одинаковы, т. е: а их мгновенные значения (значения E и H в один и тот же момент времени и в одной и той же точке пространства) связаны соотношением

Профиль электромагнитной волны На рисунке показан «профиль» электромагнитной волны, распространяющейся в положительном направлении оси X.

ЛЕКЦИЯ 4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ 4. 2 Энергия и импульс электромагнитных волн

Объемная плотность энергии электромагнитной волны Пусть электромагнитная волна (далее – ЭМВ) распространяется в вакууме ( = = 1).

Энергия ЭМВ складывается из энергии электрического и магнитного полей, при этом объемная плотность энергии w складывается из двух слагаемых – объемных плотностей энергии электрического we и магнитного wm полей: Учтем третье свойство ЭМВ – соотношение между амплитудами электрической и магнитной составляющих (в вакууме):

Объемная плотность энергии электромагнитной волны Имеем: Таким образом, объемная плотность энергии ЭМВ равна Здесь E и H – модели векторов напряженностей электрического и магнитного полей соответственно, c – скорость ЭМВ в вакууме.

Вектор Умова — Пойнтинга Вектор плотности потока энергии, переносимой ЭМВ, или иначе вектор Умова – Пойнтинга, как и соответствующий вектор для упругой волны, равен произведению объемной плотности энергии w ЭМВ на скорость c ее распространения: Здесь вектор n – нормаль к волновой поверхности. Учитывая четвертое свойство ЭМВ, S || K , т. е. S E и H. Тогда

Интенсивность электромагнитной волны В соответствии с определением, интенсивность I ЭМВ равна модулю среднего по временем значения вектора плотности потока энергии (вектора Умова — Пойнтинга): Если направление ЭМВ в пространстве не изменяется, то n = const и

Интенсивность электромагнитной волны С учетом третьего свойства ЭМВ, Таким образом, интенсивность ЭМВ пропорциональна квадрату амплитуды Em колебаний вектора напряженности магнитного поля.

Давление электромагнитного поля на вещество Падая на поверхность вещества, ЭМВ производит давление, передавая поверхности импульс, равный импульсу единица объема вещества: Электрическая компонента E ЭМВ, согласно закону Ома, вызывает в веществе ток плотностью j = (1/ уд)E При этом заряды будут двигаться по вектору j (или E). Магнитная составляющая H ЭМВ действует на них с силой Ампера FА = [j 0 H]d. V, направленной внутрь вещества, вызывая давление на поверхность.

Давление электромагнитной волны на вещество Величина давления p, оказываемого ЭМВ на поверхность вещества: Давление ЭМВ в рассматриваемом случае полного поглощения ЭМВ поверхностью тела равно объемной плотности энергии w волны.

Шкала электромагнитных волн Переменный электрический ток Радиоволны ИКизлучение Видимое излучение УФизлучение Рентгеновское излучение Гаммаизлучение 50 Гц – 2 к.

Гц – 3 1011 Гц 3 1011 – 4 1014 Гц 4 1014 – 8 1014 Гц 8 1014 – 3 1016 Гц 3 1016 – 3 1020 Гц и более 100 км – 1 мм – 750 нм 750 – 360 нм 360 — 10 нм – 1 пм менее 1 пм волновые свойства волновые и корпускулярные свойства Естественные источники: Природные электрические разряды (молнии и т. д.

) Звезды, вещество космического пространства; природные электрические разряды Звезды; планеты; полярные сияния; свечение ночного неба Звезды; полярные сияния; природные электрические разряды; метеорные следы Звезды; полярные сияния; электрические разряды Звезды; вещество космического пространства Звезды; радиоактивные вещества Рентгеновские трубки; высокотемпературна я плазма Ядерные реакции в ускорителях частиц Искусственные источники: Генераторы электрических токов Генераторы радиоволн Любое нагретое тело; специальные лампы; лазеры Источники освещения; лазеры; электрическая дуга Специальные лампы; лазеры; высокотемперату рная плазма

Источник: https://present5.com/lekciya-4-elektromagnitnye-volny-4-1-vektornoe-uravnenie/

3.4.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ

Одним из важнейших следствий уравнений Максвелла является существование электромагнитных волн. Для однородной и изотропной среды вдали от зарядов и токов, создающих электромагнитное поле, из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженностей  и  переменного электромагнитного поля удовлетворяют волновому уравнению типа (3.14):

Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента
Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента

где Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента – оператор Лапласа, v – фазовая скорость волны.

Фазовая скорость электромагнитных волн определяется выражением:

Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента

где ,  и  – соответственно электрическая и магнитная постоянные,  и  – соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды.

Следствием теории Максвелла является поперечность электромагнитных волн: векторы  и взаимно перпендикулярны и колеблются в одинаковой фазе. Соотношение между ними дается выражением

Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента

От уравнений (3.17) и (3.18), в случае плоской волны, можно перейти к уравнениям:

Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента
Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента

где соответственно индексы y и z при  и  подчеркивают лишь то, что векторы  и  направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей y и z.

Решением уравнений (3.21) и (3.22) являются уравнения:

Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента
Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента

где Е0 и Н0 – соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей волны; wкруговая частота волны;  – волновое число; j – начальная фаза колебаний в точках с координатой х = 0. В уравнениях (3.23) и (3.24) j одинаково, так как колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят в одинаковых фазах.

Источник: http://libraryno.ru/3-4-1-differencial-noe-uravnenie-elektromagnitnoy-volny-2013_fiz_electro/

Волновое уравнение. Электромагнитные волны

Определение 1

Допустим, что физическая величина $s$ распространяется в направлении $X$ со скоростью $v$. Данная величина ($s$) может быть смещением, скоростью кусочков резинового шнура, когда в шнуре проходит механическая волна.

Если мы имеем дело с электромагнитной волной, то под $s$ можно понимать напряженность электрического поля или индукцию магнитного поля и т.д.

Общая форма записи волнового процесса представляется как:

[s=fleft(t-frac{x}{v}
ight)left(1
ight),]

где $t$ — время, $x$ — координата точки, которую рассматривают, $f$ — символ функции.

Любая произвольная функция, имеющая исключительно аргумент $left(t-frac{x}{v}
ight)$, отражает волновой процесс.

  • Положим, что наблюдатель перемещается по $оси X$ со скоростью $v$. Его координата может быть определена как:
  • Подставим правую часть выражения (2) в формулу (1) вместо переменной $x$, получим:
  • Из выражения (3) следует, что функция $fleft(-frac{x_0}{v}
    ight)$ не зависит от времени, что означает $s$ распространяется со скоростью $v$.

Волновое уравнение. Электромагнитные волны - Справочник студента

Ничего непонятно?

Читайте также:  Континуум лидерского поведения танненбаума — шмидта - справочник студента

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Аналогично можно получить, что если процесс записан как:

то $s$ распространяется против избранной $оси X$. Если положить, что $t=0$, то из выражений (1) и (4) имеем:

Выражение (5) определяет распределение $s$ в начальный момент времени. В том случае, если $s$ напряженность магнитного поля в электромагнитной волне, то формула (5) — задает распределение магнитного поля в пространстве при $t=0$. Получается, что вид функции $f$ зависит от начальных условий процесса.

Итак, выражения (1) и (4) являются общим выражением для волны, которая распространяется вдоль $оси X$.

Волновое уравнение

Определение 2

  1. Функция $s$ удовлетворяет простому дифференциальному уравнению. Для его нахождения продифференцируем выражения (1) и (4), объединив их, используя знак $mp $, дважды по координате $x$:
  2. Вторая частная производная по времени будет иметь вид:
  3. Используя выражения (6) и (7) запишем:
  4. Уравнение (8) называют волновым. В том случае, если волна распространяется не в одном, во всех направлениях пространства, то волновое уравнение примет вид:

[frac{{partial }^2s}{partial x^2}=frac{1}{v^2}f^{''}left(6
ight).]
[frac{{partial }^2s}{partial t^2}=f^{''}left(7
ight).]
[frac{{partial }^2s}{partial t^2}=v^2frac{partial^2s}{partial x^2}left(8
ight).]
[frac{{partial }^2s}{partial t^2}=v^2left(frac{{partial }^2s}{partial x^2}+frac{{partial }^2s}{partial y^2}+frac{{partial }^2s}{partial z^2}
ight)left(9
ight).]

Замечание

В том случае, если физическая величина распространяется в виде волны, то она должна удовлетворять волновому уравнению. Справедливо обратное утверждение: Если какая — либо величина подчиняется волновому уравнению, то она распространяется как волна. Скорость распространения волны будет равна квадратному корню из коэффициента, который стоит при сумме пространственных производных.

Электромагнитные волны

Рассмотрим электромагнитное поле в однородном диэлектрике ($j_x=j_y=j_z=0$). Причем будем считать задачу одномерной, то есть предположим, что векторы $overrightarrow{E} и overrightarrow{H}$ зависят только от одной координаты $x$ и времени $t$.

Такая ситуация означает, что все пространство мы можем разделить на тонике слои (толщина слоя стремится к нулю), плоские слои, внутри них $overrightarrow{E} и overrightarrow{H}$ принимают одно и тоже значение во всех точках. Данная задача соответствует плоской электромагнитной волне.

Для описания электромагнитного поля используем систему уравнений Максвелла:

  • Для одномерного случая система уравнений Максвелла существенно упрощается, так как все производные по $y$ и $z$ равны нулю. Записав уравнение (10) в скалярном представлении:
  • Становится очевидным, что в однородной среде для одномерного случая:
  • Аналогично из уравнения (11) получаем, что:

Выражения (15) и (16) означают, что данные составляющие электромагнитного поля не зависят от времени. А из уравнений (12) и (13) следует, что $D_x$и $B_x$ — не зависят от координаты. В результате мы имеем, что $D_x=const, B_x=const$.

  1. Остальные уравнения из группы (14) примут вид:
  2. От группы уравнений в скалярной форме, которые представляют выражение (11), остаются:
  3. Уравнения (17) и (18) сгруппируем как две независимые части. Первая — связывающая $y$-составляющую электрического поля и $z$-составляющую магнитного поля:
  4. Вторая часть связывает $z$-компоненту электрического поля и $y$-компоненту магнитного поля:

Получается, что переменное (во времени) электрическое поле ($D_y$) порождает одну $z$-составляющую магнитного поля ($H_z$), переменное магнитное поле $B_z$ вызывает появление электрического поля направленного по $оси Y$ ($E_y$) (уравнения 19). То есть в электромагнитном поле электрическое и магнитные поля перпендикулярны друг другу. Аналогичный вывод можно сделать из пары (20).

  • Для одномерного случая систему уравнений Максвелла можно записать в виде:
  • Электрическое и магнитные поля могут существовать как волны, так как из уравнения Максвелла следует существование этих волн. Так как для напряженности электрического поля выполняется уравнение вида:
  • Следовательно, решение этого уравнения можно представить как:
  • Так как для напряженности магнитного поля выполняется уравнение вида:
  • следовательно, решение этого уравнения можно представить как:

Пример 1

  1. Задание: Покажите, на примере одномерного случая электромагнитного поля, что из уравнений Максвелла следует волновой характер электромагнитного поля.
  2. Решение:
  3. В качестве основы для решения задачи используем уравнения Максвелла для одномерного случая:

[frac{partial D}{partial t}=-frac{partial H}{partial x}, frac{partial B}{partial t}=-frac{partial E}{partial x}left(1.1
ight).]

Исключим из уравнений (1.1) магнитное поле $H$. С этой целью умножим первое уравнение на $mu {mu }_0$ и возьмем частную производную по времени от обеих частей равенства и, используя выражение: $D=varepsilon_0varepsilon E$, заменим электрическую индукцию на напряженность соответствующего поля, получим:

[{mu {mu }_0varepsilon }_0varepsilon frac{{partial }^2E}{partial t^2}=-mu {mu }_0frac{{partial }^2H}{partial xpartial t}left(1.2
ight).]

Второе уравнение в группе (1.1) продифференцируем по $x$, заменим индукцию магнитного поля на его напряженность, используя выражение: $B=mu {mu }_0H$, при этом имеем:

[frac{{partial }^2E}{partial x^2}=-mu {mu }_0frac{{partial }^2H}{partial xpartial t}left(1.3
ight).]

Как мы видим, правые части выражений (1.2) и (1.3) одинаковы, следовательно, можно считать, что:

[frac{{partial }^2E}{partial x^2}={mu {mu }_0varepsilon }_0varepsilon frac{{partial }^2E}{partial t^2} o frac{{partial }^2E}{partial t^2}=frac{1}{{mu {mu }_0varepsilon }_0varepsilon }frac{{partial }^2E}{partial x^2}left(1.4
ight).]

Аналогичное уравнение легко получить для напряженности магнитного поля, если исключить напряженность электрического поля. Уравнение (1.4) — есть волновое уравнение.

Ответ: Волновое уравнение для напряженности электрической составляющей электромагнитного поля получено непосредственно из уравнений Максвелла для одномерной задачи.

Пример 2

  • Задание: Чему равна скорость ($v$) распространения электромагнитной волны?
  • Решение:
  • За основу решения примем волновое уравнение для напряженности электрического поля в плоской электромагнитной волне:
  • Скоростью распространения волны является корень квадратный из коэффициента, который находится перед $frac{{partial }^2E}{partial x^2}$ в волновом уравнении, следовательно:
  • где $c$ — скорость распространения света в вакууме.
  • Ответ: $v=frac{c}{sqrt{mu varepsilon}}.$

[frac{{partial }^2E}{partial t^2}=frac{1}{{mu {mu }_0varepsilon }_0varepsilon }frac{{partial }^2E}{partial x^2}left(2.1
ight).]
[v=sqrt{frac{1}{{mu mu_0 varepsilon}_0 varepsilon}}=sqrt{frac{1}{{mu_0 varepsilon}_0}}sqrt{frac{1}{mu varepsilon}}=frac{c}{sqrt{mu varepsilon}},]

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/uravneniya_maksvella/volnovoe_uravnenie_elektromagnitnye_volny/

Электромагнитные волны

Покажем, что электромагнитные волны (переменное электромагнитное поле, распространяющееся в пространстве с конечной скоростью) в однородной и изотропной среде, не поглощающей энергию, описываются дифференциальным уравнением в частных производных, называемым волновым уравнением [см. (3.10)].

Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме [см. (81.1), кн. 3] для области электромагнитного поля, не содержащей электрических зарядов и макроскопических токов:

В случае однородной и изотропной среды, не обладающей сегнетоэлектрическими и ферромагнитными свойствами,

  • 29
  • Тогда для рассматриваемого случая уравнения
  • (9.1) запишутся в виде

Распишем уравнения (9.3) в проекциях на оси декартовых координат:

где ?, Е, ?,, //, //, //. — проекции векторов ?

и Н на оси декартовых координат.

Из уравнений (9.4) подучаем

Таким образом, Я действительно удовлетворяет волновому уравнению

Аналогично можно показать, что волновому уравнению удовлетворяют также Я, Ez, Я, Ну, Я.. Таким образом, можем записать волновые

уравнения для векторов Я и Я:

  1. где д = ~ + ~ — оператор Лапласа; е. и
  2. Эдг ду- Эг
  3. р0 — соответственно электрическая и магнитная постоянные; е и р — соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды.

Известно, что всякая функция, удовлетворяющая волновому уравнению, описывает некоторую волну. Следовательно, переменное электромагнитное поле действительно распространяется в пространстве в виде электромагнитных волн. Коэффициент при производной по времени волнового уравнения

3! где v — фазовая скорость [см. (3.10)|, откуда

где

скорость электромагнитных волн в вакууме. Оказалось, что с = 3 • 10s м/с совпадает со скоростью распространения света в вакууме.

Учитывая выражение (9.7), волновые уравнения для электромагнитного поля могут быть записаны в виде

Свойства электромагнитных волн

Следствием теории Максвелла, подтвержденным опытом, является поперечность электромагнитных волн, в электромагнитной волне колебания векторов напряженностей Н переменного электрического поля (?) и переменного магнитного поля // взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору V скорости распространения волны. Векторы Е, Н и v образуют правовинтовую систему: направление распространения электромагнитной волны совпадает с поступательным движением острия винта, головка которого вращается по направлению кратчайшего поворота от вектора Е к вектору Н (рис. 15).

  • Рис. 15
  • На рис. 16 показаны векторы Е
  • и Н поля плоской монохроматической волны (волны одной строго определенной
  • частоты) и линейно-поляризованной (вектор Е во всех точках колеблется, оставаясь параллельным некоторому определенному направлению) электромагнитной волны.
  • Из уравнений Максвелла следует также, что в

электромагнитной волне векторы Е и Н всегда колеблются в одинаковых фазах (см. также рис. 16), причем мгновенные значения ? и Я в любой точке связаны соотношением

Рис. 16

Следовательно, Ей //одновременно достигают максимума, одновременно обращаются в нуль и т. д.

От волновых уравнений (9.10) можно перейти к уравнениям вида

где соответственно индексы у и z при ? и //

подчеркивают лишь то, что векторы ? и Я направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей у и z (см. рис. 16).

Уравнениям (10.2) удовлетворяют линейно- поляризованные плоские монохроматические волны

  1. где ?0 и //0 — соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей
  2. волны; ш — циклическая частота; к = — — волно-
  3. v
  4. вое число; ф — начальные фазы колебаний в точках с координатой х = 0 (в обоих уравнениях ф одинаково, так как колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят в одинаковой фазе — они одновременно обращаются в нуль и одновременно достигают максимальных значений).

Источник: https://bstudy.net/735135/spravochnik/elektromagnitnye_volny

Вопрос 2. Плоская электромагнитная волна. Волновое уравнение для электромагнитного поля

На
расстоянии r
>> λ
от электрического диполя или вибратора
(волновая зона) электрическое и магнитное
поля изменяются в фазе по гармоническому
закону и представляют собой сферическую
электромагнитную волну, распространяющуюся
с фазовой скоростью

,

где

скорость света в вакууме, ε и μ –
диэлектрическая и магнитная проницаемость
среды. Так какεμ
>1, то скорость распространения
электромагнитных волн в веществе всегда
меньше, чем в вакууме.

При наличии
дисперсии среды (зависимости скорости
распространения электромагнитных волн
от их частоты) скорость переноса энергии,
характеризуемая групповой скоростью Vгр,
может отличаться от V.

В анизотропных средах V
зависит также от направления распространения
волны.

С
дальнейшим увеличением расстояния от
вибратора радиус кривизны фронта
сферической волны увеличивается, и ее
можно считать плоской.

Можно показать,
что для однородной незаряженной
непроводящей (плотность токаj=0)
несегнетоэлектрической (ε
= const)
и неферромагнитной среды (μ
= const
) из
уравнений Максвелла следует, что векторы
напряженности

png» width=»20″>ипеременного электромагнитного поля
удовлетворяют волновому уравнению:

Следствием
теории Максвелла является поперечность
электромагнитных волн
:векторы и

png» width=»23″>напряженностей
электрического и магнитного полей волны
взаимно перпендикулярны и лежат в
плоскости, перпендикулярной вектору скорости распространения волны, причем
векторы,

r5Rw/img-fG6ZNm.png» width=»23″>иобразуют правовинтовую систему (рис
4.2).

Рис
4.2

Уравнениям
(4.1) и (4.2) удовлетворяют плоские монохроматические электромагнитные
волны, описываемые уравнениями

  • Еy
    = Ecos(ωt
    – kx + φ
    ), (4.3)
  • Hz
    = H0cos(ωt
    – kx + φ
    ), (4.4)
  • где
    k
    = ω/V
    – волновое число.

Векторы
ивсегда колеблются в одинаковых фазах,
поэтому в уравнениях (4.3) и (4.4) начальные
фазыφ
колебаний в точках с координатой х = 0
одинаковы.

Между
амплитудными Е
и Н
и мгновенными значениями Е
и Н в
плоской электромагнитной волне существует взаимосвязь:

; . (4.5)

Вопрос 3. Энергия электромагнитных волн

Электромагнитные
волны переносят энергию. В изотропной
среде, не обладающей ферромагнитными
и сегнетоэлектрическими свойствами,
объемная
плотность энергии

электромагнитного поля w
складывается из объемных плотностей wэл иwм
электрического и магнитных полей:

w
= wэл
+wм
= εεE2/2 + μμH2/2. (4.6)

Усредненные
по времени плотности энергии электрического
и магнитного полей одинаковы, т.е. wэл
=wм.
Поэтому можно написать, что

w0= wэл
+wм
= εεE2 = . (4.7)

Полную
энергию электромагнитного поля Wможно
определить, вычислив интеграл по объему
Vоб,
в котором характеристики электрического
и магнитного полей отличны от нуля

Умножив
плотность энергии w
на скорость V
распространения волны в среде, получим
модуль
вектора плотности потока энергии

S,
равный энергии, переносимой электромагнитной
волной в единицу времени через единичную
площадку, перпендикулярную направлению
переноса:

S
= wV
= EH. (4.8)

Так
как векторы и

png» width=»23″>взаимно перпендикулярны и образуют с
направлением распространения волны
правовинтовую систему, то направление
вектора

png» width=»50″>совпадает
с направлением переноса энергии, а
модуль этого вектора равен ЕН.
Следовательно, вектор плотности потока
электромагнитной энергии

png» width=»18″>(вектор Умова-Пойтинга) можно представить
как векторное произведение векторови:

Поток
Ф
энергии, переносимой электромагнитной
волной через некоторую поверхность F,
можно найти с помощью интегрирования:

.(4.9)

При
распространении электромагнитной волны
в средах с диссипацией энергии волна
затухает, а ее энергия поглощается или
рассеивается средой.

Источник: https://studfile.net/preview/5240907/page:12/

Ссылка на основную публикацию