Уравнения максвелла в интегральной и дифференциальной форме — справочник студента

Основная идея

Если в замкнутом контуре меняется магнитный поток, то по нему течёт электрический ток. В итоге возникает электродвижущая сила магнитной индукции. Происходит это из-за изменения магнитного поля.

Предположим, имеется магнит, у которого поток с течением времени увеличивается.

Если в поле поместить замкнутый проводник кольцевого типа, то по правилу Ленца в нём возникнет индукционный ток, противоположный магнитной силе через контур.

Ток — это направленное движение заряженных частиц. Сила, заставляющая их перемещаться, называется электрическим полем. Появляется она при изменении магнитного потока.

Когда вектор магнитной силы возрастает, то увеличивается и вихревое поле, а если убывает, то, соответственно, оно уменьшается.

Джеймс Клерк Максвелл предположил, что если меняющееся магнитное поле порождает электрическое, то этот процесс может быть и обратным. Его идея заключалась в том, что если имеется проводник с током, то вокруг него существует стационарное магнитное поле. На длине этого проводника он выбрал произвольные три точки равноудалённые от него на расстояние r.

В этих точках поле будет одинаковое. Максвелл предположил, что если проводник разорвать, то для того чтобы ток продолжал движение, нужно сохранить заряды. То есть фактически использовать конденсатор.

По мнению Максвелла, тогда в точке разрыва поле будет такое же, как и вокруг проводника. Между обкладками возникнет электрическая сила, так как на них происходит сохранение (накопление) зарядов.

Учитывая это, физик пришёл к выводу, что изменяющееся электрическое поле приводит к возникновению магнитного потока.

Так как на обкладках имеется заряд, то сила тока будет равняться I = dq / dt. Заряд можно связать с напряжением на обкладках конденсатора и электроёмкостью: q = C * U. Ёмкость же в вакууме определяется как E0 * S/ d, а напряжение — как E * d.

Подставив значения в формулу, Максвелл получил выражение: dq / dt = E0 * S * dE / dt.

Так как ток между обкладками не течёт, а перенос происходит полем, физик предложил ввести понятие фиктивный ток смещения. Плотность этого тока можно найти по формуле: j = E0 * dE / dt.

Это позволило упростить вычисления магнитной силы. Ток смещения и вихревое поле стали основой для создания системы уравнений.

Физическая суть

Электромагнитное поле представляет собой материю, с помощью которой заряженные элементарные частицы взаимодействуют между собой. В вакууме явление характеризуется напряжённостью E и магнитной индукцией B.

Эти параметры определяют силы, воздействующие на подвижные и неподвижные заряды.

Кроме них, значение электромагнитного поля определяется скалярным и векторным потенциалами и двумя дополнительными величинами: индукцией D и напряжённостью магнитных линий H.

Открытие в 1831 году Фарадеем закона электромагнитной индукции, устанавливающего зависимость между зарядом и намагниченностью у токоведущих тел, помогло Максвеллу сформулировать ряд уравнений, после названных его именем. Главное его исследование заключалось в исследовании тока смещения, равного по магнитному действию электрическому току.

Сформулировав свою систему, физик смог связать электрическое и магнитное поле с зарядом и током. Физический смысл уравнений Максвелла заключается в том, что электромагнитное поле рассматривалось им как самостоятельный объект, в котором передача энергии происходит колебанием от точки к точке с конечной скоростью. При этом в вакууме она определяется скоростью света.

С точки зрения математики, для описания процессов учёный использовал векторный анализ, выраженный через инвариантную форму, использующую кватернионы Гамильтона. Написанные им уравнения неохотно принимались учёным советом Лондонского Королевского общества. Это происходило из-за того, что они не были похожи ни на одно из описаний известных ранее.

Тем не менее система Максвелла получила признание и стала фундаментальной в области электродинамики. При этом её справедливость получила подтверждение не только в микромире, ни и в области квантовой физики.

Основным следствием открытия стало понятие о скорости распространения электромагнитных волн и создании теории света. По сути, эта система теории волн в науке об электромагнетизме играет роль сопоставимую с законами Ньютона в области механики или с теоремами в электродинамике.

Дифференциальная запись

Открытие в проводящих телах тока смещения позволило Максвеллу вывести четыре уравнения, на основе которых была создана теория электромагнитных явлений. Обычно в физике математическая запись процессов не зависит от системы единиц, но в термодинамике это не так. Всё дело в том, что при записи в различных системах изменяются коэффициенты (постоянные).

Например, в системе единиц, используемой в описании квантовой теории поля, скорость света и электромагнитная константа равна единице. Поэтому уравнения не будут иметь ни одной постоянной. Для записи используют две системы: СГС — симметричная гауссова, и СИ — Международная система единиц.

В этих двух стандартах система уравнений Максвелла может быть описана словесно и математически следующим образом:

1. В качестве источника электрической индукции выступает заряженная частица. В СГС: ∇ * D = 4*p* ρ; в СИ: ∇ * D = 4* ρ.
2. В электромагнитном поле магнитных зарядов нет. В обеих системах формула выглядит одинакового: ∇ * B = 0.
3. При изменении величины магнитной индукции возникает электрическое вихревое поле. В СГС: ∇ * E = — δ B / c * δ t; в СИ: ∇ * E = — δ B / δ t.
4. Вихревое магнитное поле появляется из-за изменений электрической индукции и тока. В СГС: ∇ * H = 4 pj / c + δ D / c * δ t; в СИ: ∇ * H = j + δ D / δ t.

Это классические четыре закона описывающие природу и условия возникновения электромагнитного поля. Первая гипотеза связывает напряжённость с индукцией и является выражением теоремы электромагнитной индукции.

Вторая доказывает отсутствие объектов, генерирующих магнитное поле. Третья устанавливает зависимость между током смещения и проводимостью, создающейся в магнитном поле.

Четвёртая объясняет, что источником вектора электрической индукции служит сторонний заряд.

Указанные уравнения представляют собой запись в дифференциальной форме. При этом каждое из них эквивалентно скалярным уравнениям. В этой форме они имеют следующий вид:

1. (δEy / δx) — (δEx / δy) = — δBx / δt;
2. (δBx / δx) — (δEy / δy) + (δBz / δz) = 0;
3. (δHy / δx) — (δHx / δy) = jz + δDx / δt;
4. (δDx / δx) — (δDy / δy) + (δDz / δz) = ρ.

Для того чтобы воспользоваться этими постулатами для расчёта полей, нужно уравнения дополнить граничными правилами объединяющим электрическую индукцию (D), плотность электрического тока (j), напряжённость (E). Эти положения имеют вид: D = e0*e*E; B = m0*m*H; j = δ*E. Совокупность этих соотношений позволяет сделать вывод об основе электродинамики сред, находящихся в спокойном состоянии.

Интегральная форма

Запись уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной форме позволяет рассчитать электромагнитное поле в любой среде.

Первые два уравнения, включающие интегралы, получаются путём преобразования дифференциальных форм по произвольной поверхности и применения теоремы Стокса, ограничивающей поверхность.

Вторые же два путём интегрирования по произвольному объёму с дальнейшим их упрощением по теореме Остроградского — Гаусса, по ограниченной поверхности в замкнутом объёме.

Выглядят они следующим образом:

1. ∫ D * ds = 4 pQ. Это закон Гаусса устанавливающий, что поток электрической индукции сквозь ограниченную поверхность зависит от величины свободного заряда, существующего в объёме формирующимся этой поверхностью.
2. ∫ B * ds = 0. Теорема для магнитного поля сообщающая, что сила линий магнитной индукции через ограниченную поверхность равна нулю.
3. ∫ E * dl = — d / dt*c ∫ B * ds. Свойство Фарадея обозначающее, что поток магнитной индукции, проходя через замкнутую поверхность пропорционален вращению электрического поля в контуре ограничивающим поверхность.
4. ∫ H * dl = 4pI / c + (d / dt) ∫ D * ds. Правило циркуляции магнитного поля. Электрический ток свободных частиц и колебания электромагнитной индукции зависят от размера и движения магнитного потока, ограниченного контуром l.

В этих уравнениях буквой S обозначается замкнутое пространство двухмерной поверхности определяющей границы объёма V или контура l. При этом Q является электрическим зарядом, находящимся в замкнутом объёме площадью S и равным: Q = ∫p * dV, а I — электрическим током, протекающим сквозь S и определяющимся из уравнения: I = ∫j * ds.

Нужно отметить, что вектор потока по ограниченной поверхности считается направленным из объёма. Вращение же находится согласно правилу правого винта по незамкнутой площади. В уравнениях величины E, B, D и H являются равнозначными значениями, определяющимися в результате решения системы.

Значение уравнений

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля объясняет все электромагнитные явления. Её применяют при полном анализе полей при известных распределениях токов и заряженных частиц. Часто уравнения называют материальными, подчёркивая индивидуальные свойства занимающей пространство среды: D = e * e0 * E, B = m * m0 * H, J = E .

Формулы физика подтверждают существование электромагнитных волн. Иначе говоря, предпологают возможность электрического поля излучать энергию вне зависимости от присутствия электрических зарядов и токов. Из всего многообразия применения уравнений можно выделить основные четыре:

1. Нахождение характеристик электрического и магнитного поля по известному распределению заряженных частиц и токов. То есть это теория электромагнитного поля (ЭМП) примирительная к любой системе зарядов и токов. Она обобщает электрические и магнитные явления.
2. Изучение макроскопических полей. Уравнения Максвелла применимы к макрозарядам и макротокам. Их можно использовать в среде, где расстояния от источника излучения до зафиксированной точки намного превышает периоды внутренних явлений.
3. Теоремы Максвелла раскрывают внутренний механизм процессов в среде, описываемых тремя фундаментальными характеристиками: ε, μ и σ.
4. Используя теорию, являющуюся близкодейственной, можно описать электрические и магнитные взаимодействия, возникающие в электромагнитном поле распространяющимся с ограниченной скоростью.

Система включает в себя все основные законы электрического и магнитного поля с учётом такого важного параметра, как электромагнитная индукция.

Теоретическое исследование физика позволило утверждать, что свет представляет собой электромагнитные волны и существования токов смещения в магнитном поле.

То есть изменение ЭМП без движения электрических зарядов. Благодаря этому стало возможным находить полный ток.

Источник: https://nauka.club/fizika/uravneniya-maksvella.html

Уравнения Максвелла: дифференциальные формы закона Гаусса для электро и магнитных полей, закона Ампера и закона Фарадея

В статье мы, используя теорему Гаусса-Остроградского и теорему Стокса приведем четыре уравнения Максвелла к дифференциальной форме. В конце статьи вы сможете посмотреть видео-лекцию для закрепления информации.

Четыре фундаментальных уравнения электромагнетизма сформулированы Джеймсом Клерком Максвеллом. Они описывают свойства электрического и магнитного полей и отношения между этими полями. Из уравнений Максвелла можно вывести уравнение электромагнитной волны, распространяющейся в вакууме со скоростью света

Первое уравнение Максвелла, дифференциальной формы Фарадея

Закон Фарадея — интегральная форма:

На основании теоремы Стокса мы меняем линейный интеграл (циркуляцию) в левой части уравнения на поверхностный интеграл:

 Мы можем оставить правую сторону в законе Фарадея в виде:

Теперь мы можем сравнить оба поверхностных интеграла:

Итак, мы получаем закон Фарадея — дифференциальную форму:

Второе уравнение Максвелла, дифференциальной формы обобщенного закона Ампера

Обобщенный закон Ампера — интегральная форма:

На основании теоремы Стокса мы меняем линейный интеграл (циркуляцию) с левой части уравнения на поверхностный интеграл:

Мы можем представить правую часть в обобщенном законе Ампера как поверхностный интеграл:

С учетом того, что прямой ток I можно выразить плотностью тока j :

записываем правую сторону как один поверхностный интеграл:

Теперь мы сравним оба поверхностных интеграла друг с другом:

Чтобы это уравнение было истинным для каждой поверхности A, независимо от ее размера и формы, подфункции с обеих сторон уравнения должны быть равны.

Таким образом, мы получаем обобщенный закон Ампера — дифференциальную форму :

Третье уравнение Максвелла, дифференциальной формы закона Гаусса для электрического поля

Закон Гаусса для электрического поля — интегральная форма:

Основываясь на теореме Гаусса — Остроградского, мы меняем поверхностный интеграл в левой части уравнения на интеграл объема:

Нагрузка Q также представлена ​​как интеграл объема от плотности заряда ρ :

Из равенства обоих интегралов объема:

получаем закон Гаусса для электрического поля — дифференциальную форму:

Четвертое уравнение Максвелла,дифференциальная форма закона Гаусса для магнитного поля

Закон Гаусса для магнитного поля — интегральная форма:

Основываясь на теореме Гаусса — Остроградского, мы меняем поверхностный интеграл в левой части уравнения на интеграл объема:

Поскольку на основе закона Гаусса для магнитного поля оба этих интеграла равны нулю, то подфункции также равны нулю, поэтому мы сразу получаем закон Гаусса для магнитного поля — дифференциальную форму:

Финальный вывод уравнений Максвелла

Видео-лекция

В данном видео подробно разберем уравнения Максвелла.

Источник: https://meanders.ru/uravnenija-maksvella.shtml

Уравнение Максвелла в интегральной и дифференциальной форме. Их физический смысл, некоторые свойства уравнений Максвелла

Уравне́ния Ма́ксвелла — система уравнений в дифференциальной или интегральной форме, которые описывают электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах.

Вместе с выражением для силы Лоренца образуют полную систему уравнений классической электродинамики, называемую иногда уравнениями Максвелла — Лоренца.

Уравнения, сформулированные Джеймсом Клерком Максвеллом на основе накопленных к середине XIX века экспериментальных результатов, сыграли ключевую роль в развитии представлений теоретической физики и оказали сильное, зачастую решающее, влияние не только на все области физики, непосредственно связанные с электромагнетизмом, но и на многие возникшие впоследствии фундаментальные теории, предмет которых не сводился к электромагнетизму (одним из ярчайших примеров здесь может служить специальная теория относительности).

Дифференциальная формаУравнения Максвелла представляют собой в векторной записи систему из четырёх уравнений, сводящуюся в компонентном представлении к восьми (два векторных уравнения содержат по три компоненты каждое плюс два скалярных[28]) линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка для 12 компонент четырёх векторных функций ( ):

Название	СГС	СИ	Примерное словесное выражение
Закон Гаусса			Электрический заряд является источником электрической индукции.
Закон Гаусса для магнитного поля			Не существует магнитных зарядов.[~ 1]
Закон индукции Фарадея			Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле.[~ 1]
Теорема о циркуляции магнитного поля			Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле

Жирным шрифтом в дальнейшем обозначаются векторные величины, курсивом — скалярные. Введённые обозначения:

• — плотность стороннего электрического заряда (в единицах СИ — Кл/м³);
• — плотность электрического тока (плотность тока проводимости) (в единицах СИ — А/м²); в простейшем случае — случае тока, порождаемого одним типом носителей заряда, она выражается просто как , где — (средняя) скорость движения этих носителей в окрестности данной точки, — плотность заряда этого типа носителей (она в общем случае не совпадает с )[29]; в общем случае это выражение надо усреднить по разным типам носителей;
• — скорость света в вакууме (299 792 458 м/с);
• — напряжённость электрического поля (в единицах СИ — В/м);
• — напряжённость магнитного поля (в единицах СИ — А/м);
• — электрическая индукция (в единицах СИ — Кл/м²);
• — магнитная индукция (в единицах СИ — Тл = Вб/м² = кг•с−2•А−1);
• — дифференциальный оператор набла, при этом:

означает ротор вектора,

означает дивергенцию вектора.

Приведённые выше уравнения Максвелла не составляют ещё полной системы уравнений электромагнитного поля, поскольку они не содержат свойств среды, в которой возбуждено электромагнитное поле. Соотношения, связывающие величины , , , и и учитывающие индивидуальные свойства среды, называются материальными уравнениями.

Интегральная форма

При помощи формул Остроградского — Гаусса и Стокса дифференциальным уравнениям Максвелла можно придать форму интегральных уравнений:

Название	СГС	СИ	Примерное словесное выражение
Закон Гаусса	Поток электрической индукции через замкнутую поверхность пропорционален величине свободного заряда, находящегося в объёме , который окружает поверхность .
Закон Гаусса для магнитного поля	Поток магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю (магнитные заряды не существуют).
Закон индукции Фарадея	Изменение потока магнитной индукции, проходящего через незамкнутую поверхность , взятое с обратным знаком, пропорционально циркуляции электрического поля на замкнутом контуре , который является границей поверхности .
Теорема о циркуляции магнитного поля	Полный электрический ток свободных зарядов и изменение потока электрической индукции через незамкнутую поверхность , пропорциональны циркуляции магнитного поля на замкнутом контуре , который является границей поверхности .

• Поток электрического поля через замкнутую поверхность
• Введённые обозначения:

• — двумерная замкнутая в случае теоремы Гаусса поверхность, ограничивающая объём , и открытая поверхность в случае законов Фарадея и Ампера — Максвелла (её границей является замкнутый контур ).
• — электрический заряд, заключённый в объёме , ограниченном поверхностью (в единицах СИ — Кл);
• — электрический ток, проходящий через поверхность (в единицах СИ — А).

При интегрировании по замкнутой поверхности вектор элемента площади направлен из объёма наружу. Ориентация при интегрировании по незамкнутой поверхности определяется направлением правого винта, «вкручивающегося» при повороте в направлении обхода контурного интеграла по .

Словесное описание законов Максвелла, например, закона Фарадея, несёт отпечаток традиции, поскольку вначале при контролируемом изменении магнитного потока регистрировалось возникновение электрического поля (точнее электродвижущей силы). В общем случае в уравнениях Максвелла (как в дифференциальной, так и в интегральной форме) векторные функции являются равноправными неизвестными величинами, определяемыми в результате решения уравнений.

1. Рассмотрим физический смысл этих 4 уравнений: силовые линии электрического поля электромагнитной волны замкнуты, как и силовые линии магнитного поля.
2. Одно из уравнений гласит, что электрическое поле образуется зарядами и его силовые линии начинаются и заканчиваются на зарядах.
3. Другое уравнение описывает магнитные силовые линии — это кольцеобразные замкнутые линии.
4. Третье уравнение представляет собой общий случай закона электромагнитной индукции Фарадей: любое изменение магнитного поля генерирует в соответствии с этим уравнением вихревое электрическое поле.

Четвертое уравнение. До Максвелла была известно часть этого уравнения, которая годилась для постоянных токов — это закон Ампера, утверждающий, что текущие по проводам электрические заряды (т.е. постоянный ток) создают определяемое уравнением Ампера магнитное поле.

Связав с помощью уравнений открытые до него законы, Максвелл увидел, что система несовершенна. Чтобы система имела решение, Максвелл добавил в четвертое уравнение одно слагаемое, а именно к току движущихся зарядов (ток проводимости) добавил воображаемый им ток смещения. Так он назвал изменяющееся во времени электрическое поле.

Ток смещения подобно электрическому току зарядов порождает магнитное поле. Т.об. Максвелл ввел в уравнение Ампера слагаемое, которое убывает. Это волновое слагаемое — часть поля, которое угасает гараздо медленнее обратного квадрата расстояния.

17. Свободные колебания в колебательном контуре. Дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний и его решения.

Свободные колебания — колебания в системе под действием внутренних тел, после того как система выведена из положения равновесия. Колебания груза, подвешенного на нити, или груза, прикрепленного к пружине, — это примеры свободных колебаний.

После выведения этих систем из положения равновесия создаются условия, при которых тела колеблются без воздействия внешних сил. Система — группа тел, движение которых мы изучаем. Внутренние силы — силы, действующие между телами системы.

Внешние силы — силы, действующие на тела системы со стороны тел, не входящих в нее.

Условия возникновения свободных колебаний.

При выведении тела из положения равновесия в системе должна возникать сила, направленная к положению равновесия и, следовательно, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия. Пример: при перемещении шарика, прикрепленного к пружине, влево и при его перемещении вправо сила упругости направлена к положению равновесия.

Трение в системе должно быть достаточно мало. Иначе колебания быстро затухнут или вовсе не возникнут. Незатухающие колебания возможны лишь при отсутствии трения.

Рис. 8.4. Вынужденные колебания в колебательном контуре

U = Umcosw, тогда уравнение будет иметь вид:

, (8.15)

после замены получим

. (8.16)

Решение полученного неоднородного дифференциального уравнения находим прибавлением к его частному решению общего решения соответствующего однородного уравнения. Частное решение имеет вид

,

где .

Подставив в эти выражения значения , получим:

. (8.17)

Разделив заряд на емкость, получим напряжение на конденсаторе:

,

где . Установившийся ток в контуре . Амплитуда тока имеет вид

. (8.18)

Резонансная частота для контура

. (8.19)

Резонансные кривые для UC и тока I имеют такой вид, как показано на рис. 8.5.

Рис. 8.5. Явление резонанса напряжений и токов в колебательном контуре: кривые 1, 2, 3 соответствуют всё бóльшему активному сопротивлению контура

При резонансные кривые стремятся к Um – напряжению, возникающему на конденсаторе при подключению его к источнику постоянного напряжения. Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше , т. е.

чем меньше активное сопротивление и больше индуктивность контура. Тогда амплитуда силы тока имеет максимальное значение при . Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура .

Источник: https://cyberpedia.su/15xbdd9.html

Материальные уравнения — Джеймс Максвелл. Уравнения электромагнитного поля

Материальные уравнения устанавливают связь между  и . При этом учитываются индивидуальные свойства среды. На практике в материальных уравнениях обычно используются экспериментально определяемые коэффициенты (зависящие в общем случае от частоты электромагнитного поля), которые собраны в различных справочниках физических величин[35].

СГССИ

где введены безразмерные константы:  — диэлектрическая восприимчивость и  — магнитная восприимчивость вещества (в системе единиц СИ эти константы в  раз больше, чем в гауссовой системе СГС). Соответственно, материальные уравнения для электрической и магнитной индукций записываются в следующем виде:

СГССИ

где  — относительная диэлектрическая проницаемость,  — относительная магнитная проницаемость. Размерные величины  (в единицах СИ — Ф/м) и  (в единицах СИ — Гн/м), возникающие в системе СИ, называются абсолютная диэлектрическая проницаемость и абсолютная магнитная проницаемость соответственно.

• В проводниках существует связь между плотностью тока и напряжённостью электрического поля, в хорошем приближении выражаемая законом Ома:

где  — удельная проводимость среды (в единицах СИ — Ом−1•м−1).

• Хотя для широкого класса веществ линейное приближение для слабых полей выполняется с хорошей точностью, в общем случае зависимость между  и может быть нелинейной. В этом случае проницаемости среды не являются константами, а зависят от величины поля в данной точке. Кроме того, более сложная связь между  и  наблюдается в средах с пространственной или временной дисперсиями. В случае пространственной дисперсии токи и заряды в данной точке пространства зависят от величины поля не только в той же точке, но и в соседних точках. В случае временной дисперсии поляризация и намагниченность среды не определяются только величиной поля в данный момент времени, а зависят также от величины полей в предшествующие моменты времени. В самом общем случае нелинейных и неоднородных сред с дисперсией, материальные уравнения в системе СИ принимают интегральный вид:

Аналогичные уравнения получаются в гауссовой системе СГС (если формально положить ).

Источник: https://www.sites.google.com/site/uravneniaelektromagnitnogopola/uravnenia-maksvella-v-srede/materialnye-uravnenia

Ток смещения. Уравнение Максвелла в интегральной и дифференциальной формах и их физический смысл

Система
уравнений Максвелла есть полная система уравнений классической электродинамики,
которая описывает все электромагнитные явления как в вакууме, так и в
произвольной материальной среде. Эти уравнения были сформулированы в 60-ые годы
XIX в. Дж. К.
Максвеллом на основе обобщения опытных данных и развития идеи М.

Фарадея о
существовании электромагнитного поля, посредством которого осуществляется
взаимодействие заряженных частиц. Современная математическая форма записи
системы уравнений Максвелла создана Г. Герцем и О. Хевисайдом.

Уравнения Максвелла могут быть записаны как в дифференциальной, так и в
эквивалентной интегральной форме, где величины определяются на линиях,
поверхностях и объемах.

 

  Электромагнитное поле имеет две силовые характеристики в виде напряженности электрического поля и магнитной индукции , а также две вспомогательные величины – электрическое смещение и напряженность магнитного поля . Силовые характеристики определяют силу   

с которой электромагнитное поле действует на
точечный электрический заряд  q, движущийся со скоростью v.

Исходя из
симметрии физических процессов в природе, можно предположить, что переменное во
времени электрическое поле порождает магнитное поле. К этому же выводу пришел
Дж. К. Максвелл, применяя теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного
поля для анализа протекания квазистационарного тока через конденсатор.

Пусть квазистационарный ток I(t) протекает через
конденсатор ёмкостью C   (рис.).
Запишем теорему о циркуляции вектора , используя контур L, который охватывает проводник с током I(t), и две поверхности S1 и S2, опирающиеся на контур, как показано на рисунке,

  

      Ток проводимости не пересекает поверхность S2 (между
обкладками конденсатора нет тока проводимости), поэтому при выборе поверхности S2 циркуляция
вектора   должна
равняться нулю.

Поскольку
циркуляция вектора  по контуру L не должна
зависеть от выбора поверхности, опирающейся на этот контур, то для устранения
возникающего противоречия необходимо каким-то образом изменить выражение в
правой части теоремы о циркуляции вектора  . Выход был найден Максвеллом, который ввел понятие тока
смещения с вектором плотности

.                                                                             

Согласно Максвеллу ток смещения
необходимо учитывать в теореме о циркуляции вектора   наряду с
обычным током проводимости, создаваемым движущимися электрическими зарядами.

Обобщенная с
учетом тока смещения теорема о циркуляции вектора   записывается
следующим образом

                

Здесь при наблюдении с конца единичного вектора нормали n к поверхности S, опирающейся на контур L, обход контура должен совершаться против хода часовой
стрелки. Согласно последней формуле переменное во времени электрическое
смещение является таким же источником магнитного поля, что и ток проводимости.

Уравнения
Максвелла связывают величины , ,  и  с источниками
электромагнитного  поля в виде
пространственных распределений электрического заряда и тока проводимости. Если
эти распределения заряда и тока проводимости заданы, уравнения Максвелла
позволяют найти величины  , ,  и  в каждой точке
пространства и в любой момент времени.
Кроме того,
полная система уравнений Максвелла включает в себя так называемые материальные
уравнения, устанавливающие соотношения между парами векторных величин  и , а также  и . Эти материальные уравнения определяются физической
природой той среды, в которой описываются электромагнитные явления. На
поверхности раздела двух сред, где электрические и магнитные характеристики
меняются скачком, выполняются граничные условия, устанавливающие связь между
определенными компонентами векторов , ,  и   вблизи этой
поверхности раздела.

Дополнив  основные факты из области   электромагнетизма установлением магнитных действий токов смещения, Максвелл написал систему фундаментальных уравнений электродинамики в интегральной форме:

и дифференциальной форме:

Закон сохранения заряда не вошел в число фундаментальных, т.к. является следствием уравнений 2 и 3.

Для описания
электромагнитных явлений в среде к четырем уравнениям необходимо добавить материальные
уравнения, определяющие отклик среды на действие электромагнитного
поля. В области относительно слабых полей для большинства изотропных сред
справедливы следующие материальные уравнения

Здесь  и  — относительная диэлектрическая проницаемость
и относительная магнитная проницаемость среды соответственно,   — электропроводность среды и  — сторонняя
сила, действующая на свободные заряды среды, q – величина свободного заряда.
Если имеется
поверхность раздела двух сред, на которой скачком меняются электрические и
магнитные характеристики этих сред, то из системы уравнений Максвелла следуют граничные
условия, которые выражают непрерывность тангенциальных компонент
векторов  и 

,                                                           

а также нормальных компонент
векторов   и 
 ,                                                            

при переходе через границу
раздела двух сред. Граничные условия получаются в отсутствие на поверхности
раздела двух сред поверхностных зарядов и токов проводимости.

Уравнения Максвелла показывают, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо магнитные поля, меняющиеся во времени. Магнитные же поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (токами), либо переменными электрическими полями. Уравнения не симметричны относительно электрического и магнитного полей, т.к. в отличие от электрических зарядов пока не обнаружено магнитных зарядов — магнитных монополей, хотя такие теории есть.

физический смысл уравнений Максвелла:

В первом уравнении (.1) утверждается, что электростатическое поле может быть создано только электрическими зарядами. В этом уравнении — вектор электрического смещения, ρ — объемная плотность электрического заряда.

Поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность равен заряду, заключенному внутри этой поверхности.

Сопоставление уравнений (.2) и (.1) позволяет сделать вывод о том, что магнитные заряды в природе отсутствуют.

Огромный интерес и важность представляют уравнения (.3) и (.4). Здесь рассматриваются циркуляции векторов напряженности электрического () и магнитного () полей по замкнутому контуру.
В уравнении (.3) утверждается, что переменное магнитное поле () является источником вихревого электрического поля (). Это не что иное, как математическая запись явления электромагнитной индукции Фарадея.

В уравнении (.4) устанавливается связь магнитного поля и переменного электрического. Согласно этому уравнению магнитное поле может быть создано не только током проводимости (), но и переменным электрическим полем .

Справочно:

Источник: http://mini-fizik.blogspot.com/2016/06/blog-post_14.html

Уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной форме

Система уравнений, состоящая из уравнений Максвелла для электромагнитного поля и уравнений Ньютона для частиц, представляет собой единую систему уравнений, описывающую все явления, обусловленные электромагнитным взаимодействием (без учёта релятивистских и квантовых эффектов).

Поэтому, строго говоря, их необходимо решать совместно в задачах электродинамики. Однако в такой наиболее общей постановке решать задачи о взаимодействии электромагнитного поля с веществом чрезвычайно трудно.

Сложность проблемы заключается в том, что вещество состоит из громадного количества частиц, движение которых каждой в отдельности невозможно описать. С такой проблемой сталкиваются в классической механике при попытках описать механическое движение газов, жидкостей и твёрдых тел.

Чтобы обойти эту трудность физикам приходилось строить определённые модели механических систем: модель абсолютно твёрдого тела, модель сплошной среды и др. При изучении взаимодействия заряженных частиц с электромагнитным полем также приходится вводить некоторые модели.

Одной из таких широко употребляемых, является модель сплошной среды, состоящая из электрических диполей (диэлектрик). Эта модель электрического диполя играет очень важную роль в физике, так как атомы и молекулы представляют собой системы заряженных частиц, которые в целом нейтральны, но могут обладать отличным от нуля дипольным моментом и поэтому создавать электрическое поле.

Открытие тока смещения позволило Максвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений. Эта теория объяснила все известные в то время экспериментальные факты и предсказала ряд новых явлений, существование которых подтвердилось впоследствии. Основным следствием теории Максвелла был вывод о существовании электромагнитных волн, распространяющихся со скоростью света.

Основу теории образуют уравнения Максвелла. В учении об электромагнетизме эти уравнения играют такую же роль, как законы Ньютона в механике или основные законы (начала) в термодинамике. Ниже приведена полная система уравнений Максвелла классической электродинамики в сплошной среде.

Первую пару уравнений Максвелла образуют уравнения:

(1)

(2)

Первое из этих уравнений связывает значение с изменениями вектора во времени и является по существу выражением закона электромагнитной индукции.

Оно показывает, что источником вихревого поля вектора является меняющееся со временем вихревое магнитное поле. Второе уравнение указывает на отсутствие источников магнитного поля, т.е.

магнитных зарядов, как в вакууме, так и в намагниченном веществе.

Вторую пару уравнений Максвелла образуют уравнения:

(3)

(4)

Где — поляризованность, — объёмная плотность заряда.

Первое уравнение устанавливает связь между токами проводимости и токами смещения, и порождаемым ими магнитным полем. Второе показывает, что источниками вектора служат сторонние заряды.

• Вышеперечисленные уравнения представляют собой дифференциальную форму уравнений Максвелла. Можно отметить, что в первую пару уравнений входят только основные характеристики поля — и и
• Можно отметить, что вид уравнений (2) и (4) не зависит от наличия среды, в то время как векторы и и и следует определять, исходя из электрических и магнитных свойств вещества.
• Выводя формулу (1), Максвелл предположил, что изменяющегося со временем магнитное поле обусловливает появление в пространстве поля

Рассмотрим случай электромагнитной индукции, когда проволочный контур, в котором индуцируется ток, неподвижен, а изменения магнитного потока обусловлены изменениями магнитного поля. Возникновение индукционного тока свидетельствует о том, что изменения магнитного поля вызывают появление в контуре сторонних сил, действующих на носители тока.

Эти сторонние силы не связаны ни с химическими, ни с тепловыми процессами в проводе; они также не могут быть магнитными силами, потому что такие силы над зарядами работы не совершают. Остаётся заключить, что индукционный ток обусловлен возникающим в проводе электрическим полем.

Обозначим напряжённость этого поля (это обозначение является вспомогательным так же как и

(5)

Подстановка в формулу выражения (5) для для приводит к соотношению

(интеграл в правой части берётся по произвольной поверхности, опирающейся на контур). Поскольку контур и поверхность неподвижны, операции дифференцирования по времени и по поверхности можно поменять местами:

(6)

В связи с тем, что вектор зависит, вообще говоря, как от времени, так и от координат, то можно написать под знаком интеграла символ частной производной по времени (интеграл является функцией только времени).

Левую часть равенства (6) преобразуем по теореме Стокса. В результате получится:

Ввиду произвольности выбора поверхности интегрирования должно выполняться равенство

Ротор поля

Это поле его линии начинаются и заканчиваются на зарядах. Ротор вектора в любой точке равен нулю:

Согласно (5) ротор вектора отличен от нуля. Следовательно, поле так же, как и магнитное является вихревым. Линии напряжённости замкнуты.

(7)

Существование взаимосвязи между электрическим и магнитным полями служит причиной того, что раздельное рассмотрение электрического и магнитного полей имеет лишь относительный смысл.

Действительно, электростатическое поле создаётся системой неподвижных зарядов в одной системе координат, однако они могут двигаться относительно другой инерциальной системы отсчёта и тогда они будут во второй системе подвижными, следовательно, будут создавать магнитное поле.

Таким образом, поле, которое относительно некоторой системы отсчёта оказывается «чисто» электрическим или «чисто» магнитным, относительно других систем отсчёта будет представлять собой совокупность электрического и магнитных полей, образующих единое электромагнитное поле.

1. Выводя формулу (3), Максвелл пересмотрел уравнения для ротора вектора для случая стационарного (не изменяющегося со временем) электромагнитного поля, где ротор вектора равен в каждой точке плотности тока проводимости:
2. (8)
3. где вектор связан с плотностью заряда в той же точке уравнением непрерывности:
4. (9)

Электромагнитное поле может быть стационарным лишь при условии, что плотность заряда и плотность тока не зависят от времени. В этом случае согласно (9) дивергенция равна нулю.

Поэтому можно выяснить, является ли справедливым уравнение (9) справедливым в случае изменяющихся со временем полей. Рассмотрим магнитное поле, создаваемое током, текущим при зарядке конденсатора от источника постоянного напряжения U (рис. 1).

Возьмём круговой контур Г, охватывающий провод, по которому течёт ток к конденсатору, и проинтегрируем соотношение (8) по пересекающеё провод поверхности S1, ограниченной контуром:

Преобразовав левую часть по теореме Стокса, получим циркуляцию вектора

(10)

(I — сила тока заряжающего конденсатор). Проделав такие же вычисления для поверхности S2, придём к явно неверному соотношению:

(11)

Полученный результат указывает на то, что в случае изменяющихся со временем полей уравнение (8) перестаёт быть справедливым. Напрашивается вывод, что в этом уравнении отсутствует слагаемое, зависящее от произвольных полей во времени. Для стационарных полей это слагаемое обращается в нуль.

На неправомерность уравнения (8) в случае нестационарных полей указывает также, следующие соображения. Возьмём дивергенцию от обеих частей соотношения (8):

Дивергенция ротора должна быть обязательно равна нулю. Таки образом, можно прийти к выводу, что дивергенция вектора также должна быть всегда равной нулю. Однако этот вывод противоречит уравнению непрерывности, где отлична от нуля.

Чтобы согласовать уравнения (8) и (9), Максвелл ввел в правую часть уравнения (8) дополнительное слагаемое. Естественно, что это слагаемое должно иметь размерность плотности тока. Максвелл назвал его плотностью тока смещения. Таким образом, согласно Максвеллу уравнение (8) должно иметь вид:

(12)

• Сумму тока проводимости и тока смещения принято называть полным током. Плотность полного тока равна:
• (13)
• Если положить дивергенцию тока смещения равной дивергенции тока проводимости, взятой с обратным знаком,
• (14)

1. то дивергенция правой части уравнения (12), так же как и дивергенция левой части, всегда будет равна нулю.
2. Заменив в (14) согласно (8) через
3. (15)

Чтобы связать ток смещения с величинами, характеризующими изменение электрического поля со временем, воспользуемся соотношением:

Продифференцировав это соотношение по времени, получим:

Теперь поменяем в левой части порядок дифференцирования по времени и по координа -там. В результате придём к следующему выражения для производной по

Подстановка этого выражения в формулу (15) даёт:

Отсюда

(16)

Подставив выражение (16) в формулу (13), придём к уравнению

Каждое из векторных уравнений (1) и (3) эквивалентно трем скалярным уравнениям, связывающим компоненты векторов, стоящих в левой и правой частях равенств. Воспользовавшись правилом раскрытия дифференциальных операторов, можно записать их в следующем виде:

для первой пары уравнений, и:

для второй.

Совокупность уравнений (1) — (11) образуют основу электродинамики покоящихся сред.

Уравнения

(первая пара) и

(вторая пара) представляют собой уравнения Максвелла в интегральной форме.

Уравнение (12) получается путём интегрирования соотношения (1) по произвольной поверхности S с последующим преобразованием левой части по теореме Стокса в интеграл по контуру Г, ограничивающему поверхность S.

Уравнение (14) получается таким же способом из соотношения (3).

Уравнения (13) и (15) получаются из соотношений (2) и (4) путём интегрирования по произвольному объёму V с последующим преобразованием левой части по теореме Остроградского-Гаусса в интеграл по замкнутой поверхности S, ограничивающей объём V.

Источник: https://studwood.ru/1900930/matematika_himiya_fizika/uravneniya_maksvella_differentsialnoy_integralnoy_forme