Уравнение клеро — справочник студента

Уравнением Клеро называется дифференциальное уравнение вида

Формально оно является частным случаем уравнения Лагранжа (4.4) при . Полагая , получим

. (4.8)

• Дифференцируя это равенство по переменной , имеем:
• , ,
• То есть

Отсюда следует, что либо , либо .

В первом случае имеем . Тогда подстановка в равенство (4.8) дает

Это общее решение. Итак, общее решение уравнения Клеро (4.7) сразу получается из этого уравнения, если заменить в нем на . Геометрически решение (4.9) представляет собой однопараметрическое семейство прямых.

Во втором случае, подставляя равенство в уравнение (4.8), получим

Убедимся, что система равенств

Также дает решение уравнения Клеро (4.7) в параметрическом виде.

Имеем из (4.10):

Следовательно,

1. То есть .
2. Подставляя , и в исходное уравнение (4.7), получим тождество
3. .

Решение, которое дается равенствами (4.10), не может быть получено из общего решения (4.9), поэтому оно является особым решением.

В то время, как общее решение представляет собой семейство прямых, то особое решение (4.10) представляет собой огибающую этого семейства. Действительно, если семейство прямых (4.

9) имеет огибающую, то она находится путем решения системы (3.4), то есть исключения из системы уравнений:

А эта система равносильна системе (4.10).

Пример 4.5. Решить дифференциальное уравнение

• .
• Решение. Общее решение данного уравнения Клеро
• .
• Найдем огибающую этого семейства:
• Отсюда
• .
• Итак, особое решение существует и имеет уравнение параболы
• .
• Эта парабола является огибающей для семейства прямых, соответствующего общему решению исходного уравнения.

Примечание. Выражение (4.11) теряет смысл при . В этом случае , значит . Здесь и – любые числа. В этом случае формулы (4.10) дают:

В этом случае особого решения нет, а вместо него имеем единственную точку . Полагая в (4.9) , будем иметь , то есть

.

Итак, если функция линейная, то общее решение уравнения Клеро определяет пучок прямых, а особое решение вырождается в одну единственную особую точку.

Источник: http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/differentcialnye-uravneniia-pervogo-poriadka/4-3-uravnenie-klero

math4school.ru

1713–1765

• Результаты и методы Клеро следует рассматривать среди наиболее важных
• и глубоких открытий, которые когда-либо были сделаны в математике.
• Леонард Эйлер
• Алекси Клод Клеро (7 мая 1713 – 17 мая 1765) – французский математик и астроном, иностранный почётный член Петербургской Академии Наук (1754), член Парижской Академии (1731).

Клеро родился в семье парижского преподавателя математики.

Его отец Жан Батист Клеро был профессором математики и корреспондентом Академии Наук в Берлине. В 10 лет Клеро читал труды Лопиталя.

Уже в возрасте двенадцати лет он поразил парижских академиков своей работой о некоторых кривых четвёртого порядка, и они устроили Клеро целый экзамен, чтобы убедиться в его авторстве. Экзамен Клеро выдержал.

В 1729 году 16-летний Клеро представил той же академии новый трактат – «Исследования о кривых двоякой кривизны». Если на прямоугольном листе бумаги провести диагональ и затем этот лист свернуть в цилиндр, то упомянутая диагональ превратится в так называемую «винтовую линию». Винтовая линия является примером линии двоякой кривизны, т. е.

Эта книга положила начало сразу трём геометрическим дисциплинам: аналитической геометрии в пространстве (Декарт занимался плоскими кривыми), дифференциальной геометрии и начертательной геометрии.

Шефство над юным дарованием взял Пьер Луи де Мопертюи, который отвёз Клеро в Базель слушать лекции Иоганна Бернулли. По возвращении (1731) восемнадцатилетний Клеро был избран членом (адъюнктом) Парижской академии – беспрецедентный случай в истории Академии.

Интересно заметить, что у Алексиса Клода Клеро был младший брат, который, как и он, рано обнаружил математическое дарование.

В возрасте 14 лет он написал исследование по некоторым вопросам геометрии, которое было одобрено Парижской академией наук и напечатано в ее трудах.

Он, как и его старший брат, несомненно, был бы крупным математиком, если бы не преждевременная смерть, скосившая его в 17 лет.

Спустя несколько лет Академия решила положить конец долгим спорам о том, сплющена ли наша планета (как доказывал Ньютон) или, наоборот, вытянута у полюсов наподобие лимона.

Для проведения измерений длины градуса меридиана были организованы экспедиции (1735 – 1737 годы) в Перу и Лапландию. Клеро принял участие в лапландской экспедиции (1736), вместе с Мопертюи.

В 1741 году была организована ещё одна экспедиция с той же целью, и тоже с участием Клеро.

По возвращении Клеро написал классическую монографию «Теория фигуры Земли, извлечённая из принципов гидростатики» (1743).

Эйлер писал об этой работе: «Книга Клеро есть произведение несравненное как в отношении глубоких и трудных вопросов, которые в ней рассматриваются, так и в отношении того удобного и лёгкого способа, посредством которого ему удаётся совершенно ясно и отчётливо изложить предметы самые возвышенные».

Ряд фундаментальных трудов Клеро относится к математическому анализу. Он первый, например, ввел понятия криволинейного интеграла (1743), общего и особого решения дифференциального уравнения первого порядка (1736), полного дифференциала функции нескольких независимых переменных.

Исследуя возмущения Солнца (1757), Клеро пришел к выводу, что любую четную функцию можно разложить в ряд. Но этот фундаментальный результат Клеро остался незамеченным.

Клеро впервые предложил формулу тригонометрической интерполяции.

Многие результаты Клеро по математическому анализу являются классическими и вошли в учебную литературу на правах обязательного материала для изучения в высших учебных заведениях. 

Нельзя не отметить также, что Клеро подготовил блестящие учебники «Начала геометрии» и «Начала алгебры».

Основные трудности модель Ньютона встречала в теории движения Луны.

Расхождения («неравенства») между видимым движением лунного апогея и вычисленным по закону всемирного тяготения оказывались столь значительными, что многие ученые, даже такие, как Эйлер, Даламбер и сам Клеро, высказывали сомнения в точности этого закона. По предложению Эйлера Петербургская академия наук объявила в 1749 году свой первый научный конкурс на следующую тему:

«Согласуются или же нет, все неравенства, наблюдаемые в движении Луны, с теорией Ньютона? И какова истинная теория всех этих неравенств, которая позволила бы точно определить местоположение Луны для любого времени?»

Как раз в это время Клеро нашёл остроумный способ приближённого решения «задачи трёх тел». Он уточнил свои прежние вычисления, и они с высокой точностью совпали с последними результатами наблюдений. На основании отзыва Эйлера, книга Клеро «Теория Луны, выведенная из единственного начала притяжения, обратно пропорционального квадратам расстояний», была заслуженно удостоена премии (1751).

Вскоре небесную механику ожидал новый триумф. Уже Галлей понял, что кометы, наблюдавшиеся в 1607-м и 1682-м годах – это одна и та же комета, получившая имя Галлея. Следующее появление этой кометы ожидалось в начале 1758 года.

Однако Клеро, проведя точные вычисления с учётом влияния Юпитера и Сатурна, предсказал (14 ноября 1758 года на заседании Парижской академии наук), что комета появится позднее и пройдёт ближайшую к Солнцу точку в середине апреля 1759 года. Он ошибся всего на 31 день. Такая ошибка может показаться огромной.

Не следует забывать, однако, что кометы обычно доступны наблюдениям лишь в течение нескольких дней, а комета Галлея не наблюдалась 77 лет.

Клеро доказал ряд фундаментальных для высшей геодезии теорем.

Кроме упомянутого личного участия в градусном измерении в Лапландии (1736–1737), Клеро определил соотношение между силой тяжести и сжатием Земли, известного под названием «теоремы Клеро» и давшего возможность определять сжатие Земли независимо от градусных измерений, из наблюдений над качаниями маятника в разных местах земной поверхности. Тем самым были заложены основы нового направления науки – гравиметрии.

1. В механике он создал динамическую теорию относительного движения.
2. Клеро неожиданно скончался в возрасте 52 лет в Париже, 17 мая 1765 года.
3. Имя Клеро носят следующие математические объекты:

По материалам Википедии и сайта mudra.org.ua.

Источник: http://math4school.ru/klero.html

Клеро Уравнение — Математическая энциклопедия — Что значит, описание, фото, толкование, определение

— обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка, не разрешенное относительно производной. где f(t)- нелинейная функция. Уравнение (1) называется по имени А. Клеро [1], к-рый впервые указал на различие общего и особого решений уравнения такого вида. К. У. Является частным случаем уравнения Лагранжа.

Если и при то множество интегральных кривых уравнения (1) включает в себя. Параметрически заданную кривую однопараметрич. Семейство прямых касательных к кривой (2). Кривые, составленные из произвольного участка кривой (2) и двух прямых семейства (3), касающихся кривой (2) в концах этого участка.

Семейство прямых (3) представляет собой общее решение, а кривая (2), являющаяся огибающей семейства (3),- особое решение (см.

[2]). Семейство касательных к гладкой нелинейной кривой удовлетворяет К. У. Поэтому к К. У. Приводят геометрич. Задачи, в к-рых требуется определить кривую по заданному свойству ее касательных (общему для всех точек кривой). Уравнением Клеро наз.

Также уравнение с частными производными 1-го порядка оно имеет интеграл где (a, b) — произвольная точка области определения функции f(p, q )(см. [3]). Лит.:[1] Clairaut А., в кн. Histoire de l'Academie Royal des sciences. Annee 1734, P., 1736, p. 196-215. [2] Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959. [3] Камке Э.

, Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка, пер. С нем., М., 1966. Н. X. Розов..

Значения в других словарях

Дополнительный поиск Клеро Уравнение

Кударь, Петр Сергеевич / Работа / Обворожить / Мимо яблоньки яблочко не падает. / Привередливый / Ай, Моська! знать она сильна, Что лает на слона / Сесть на шею / Ехало болело / Хуеплёт / Ехал прямо, да попал в яму. / Хмырь / Воробью по колено / Потерять голову / Мелко плавать — дно задевать. / Где цветок, там и медок. / Да будет стыдно тому, кто об этом дурно думает / Молодец! Возьми с полки пирожок с гвоздями (с котятами) / Сибагатуллин, Айрат Миннемуллович / Уме недозрелый, плод недолгой науки! / Сам смекай, где берег, где край! / Без четырех углов изба не рубится. / Пень не околица, глупая речь не пословица. / Фитуни, Леонид Леонидович / Чёрта в ступе / Гатауллин, Забир Сабирович / Попутать берега / Свой своему поневоле брат / Ириней Лионский / Чувырла / Всякая лиса свой хвост хвалит.

Первая буква «К». Общая длина 15 символа

Источник: https://my-dict.ru/dic/matematicheskaya-enciklopediya/1927163-klero-uravnenie/

ПОИСК

Клеро уравнение 209 Клин сферический 111 Клинья регулировочные направляющих 427 Код 342
 [c.573]

Клеро уравнение 209 Клинья регулировочные направляющих 410
 [c.552]

В частном случае, когда ф (у ) = у, уравнение (12) переходит в уравнение Клеро. Уравнения Лагранжа всегда интегрируются в квадратурах. Действительно, вводя параметр р = у, уравнение (12) запишем в параметрической форме
 [c.45]

Легко видеть, что это уравнение представляет собою уравнение поверхностей, к которым перпендикулярна равнодействующая сил X,Y, Z и которые Клеро называет поверхностями уровня. Отсюда следует, что в каждом слое, образованном двумя бесконечно близкими поверхностями уровня, плотность должна быть повсюду одинаковой.
 [c.262]

Получены даже условия, при которых такое уравнение оказывается возможным или невозможным. Клеро и Даламбер доказали, что уравнение вида
 [c.61]

В случае уравнения Клеро тот же метод диференцирования приводит к уравнению
 [c.224]

Уравнение Клеро у — рх< 1 (р) тем же методом дифференцирования приводится к уравнению  [c.209]

В 1829 г. Пуассон отметил, что результаты Лежандра и Лапласа также оставляют желать много лучшего, поскольку не был исследован вопрос, будут ли сходящимися ряды, к которым приводят их методы. Создавшаяся ситуация и побудила Ляпунова продолжить исследования.

Ляпунов в отличие от Лежандра, Лапласа и Пуассона не пользовался разложением в ряд, а рассмотрел уравнения задачи (из которых первое является уравнением Клеро) при весьма общих предположениях о законе распределения плотности вращающейся жидкой массы.
 [c.

265]

Ф (р)+х = 0 исключая р из ij) (р)+ -1-х —О, у = рх + р р), получае.м особый интеграл уравнения Клеро. Геометрически особый интеграл означает огибающую семейства прямых, представляющего общее решение.
 [c.47]

Принцип, с помощью которого Даламбер решал все задачи динамики, состоял в уравновешивании так называемых потерянных сил или в сведении решения задач динамики формально к уравнениям статики.

В гидростатике Даламбер использовал уравнения равновесия идеальной жидкости в частных производных, введенных Клеро.

Так были получены первые дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости, о которых Лагранж
 [c.186]

При принятой точности вычисления поверхность нормального сфероида Клеро совпадает с поверхностью эллипсоида Клеро, определяемой уравнением (20).
 [c.210]

Луны для любого заданного времени, однако в этих элементах может заключаться погрешность, достигающая одной минуты. Но эти определения могли бы быть без большого труда выполнены, если бы имелось достаточное число точнейших наблюдений Луны.

На самом же деле, как мне сообщено, обыкновенно производимые астрономические наблюдения доставляют результаты, которые могут отличаться от истинных на целую минуту это главным образом относится до результатов, выводимых из наблюдений кульминаций Луны, при которых определяется сперва высота верхнего нли нижнего края, затем прохождение через меридиан левого или правого края лунного диска. В высоте же, как наблюденной, так и исправленной рефракцией, едва ли можно избежать погрешности, достигающей до 10″, затем в моменте прохождения через меридиан может, наверное, быть погрешность до одной секунды времени, отчего в месте Луны происходит погрешность в 15″. Кроме того, надо точнейшим образом знать видимый диаметр Луны, в котором также едва ли возможно избежать погрешностей, затем для определения геоцентрического места Луны, требуется точное значение ее параллакса, зависящего от самой теории, и в величине которого наверное может заключаться погрешность в несколько секунд. Сопоставив все эти погрешности, едва ли можно ожидать, чтобы наблюденные места Луны согласовались с истинными до одной минуты. Отсюда понятно, что эти погрешности переходят в упомянутые выше элементы, определяемые непосредственно или по уравнениям, если только не взять весьма большое число наблюдений. Поэтому те определения этих элементов, которые произведены на основании различных наблюдений и которыми мы в атом сочинении пользуемся, мы отнюдь же считаем вполне точными, и не сомневаемся, что они требуют значительных исправлений, ибо мы не слишком доверяем даже тем точным наблюдениям, которыми мы пользовались. Может оказаться, что наши таблицы несколько отличаются от других, что, однако, не должно быть относимо к недостаткам теории, тем более, что места апогея и узлов мы брали те, которые показаны в таблицах Майера, требующих значительных исправлений. Тем не менее прилагаемые к этому сочинению таблицы в редких случаях дают результаты, отличающиеся от наблюдений более чем на одну минуту, так что астрономы могут ими пользоваться вместо таблиц Майера или Клеро, тем более, что вычисление по нашим таблицам значительно проще, ибо все величины определяются по четырем углам, пропорциональным времени, и даже самая широта Луны находится непосредственно по этим же углам, тогда как иначе нужно производить довольно утомительное вычисление поправок для узлов и места Луны на ее орбите. Но я добавляю, что нетрудно видеть, что если бы кто пожелал сопоставить эти таблицы с многочисленными наблюдениями, то добавив к этим таблицам некоторые малые поправки, он довел бы эти таблицы до гораздо большего совершенства и тем принес бы весьма большую пользу астрономии.
 [c.222]

Диференциальное уравнение Клеро.з лгу +f y ). Общий интеграл j 4-/(С) представляет систему прямых линий. Особый интеграл выражает огибающую этой системы прямых линий  [c.109]

Уравнения Клеро. Общее решение уравнения Клеро
 [c.167]

Положив, у» = р, получаем уравнение Клеро р = хр — (р У,
 [c.168]

Отождествим плоскость движения с С. Запишем д = ге и пойдем путем Клеро. Обозначим < в) = /(е ). Имеем /(5) = г С в) и уравнение (3.2) превраш,ается в  [c.25]

Легко усмотреть, что это — теория уравнения Клеро .
 [c.60]

Рассмотрим еще одно специальное преобразование уравнений движения, использованное вначале Клеро в одной частной задаче (в теории движения Луны), а затем Лапласом в более общем случае.
 [c.369]

Очень простой вид принимают уравнения невозмущенного движения в переменных Клеро — Лапласа. Эти уравнения можно вывести из общих уравнений Клеро — Лапласа (7.46) гл. VII либо получить непосредственно из уравнений (9.9), полагая
 [c.419]

Рассмотрим теперь диф( )еренциальные уравнения невозмущенного кеплеровского движения в форме Клеро —Лапласа
 [c.458]

Уравнения Лагранжа и Клеро. Уравнения Лагранжа в каиоиическом виде
 [c.45]

В области небесной механики много великолепных работ дали два француза — Алексис Клеро (1713—1765) и Жан ле Рои Д Аламбер (1717—1783), издавший в 1743 г, свой знаменитый Трактат по динамике . В этом трактате Д Аламбер показал, между прочим, как привести уравнение движения точек, связанных между собой, к задаче динамического равновесия. В течение XVIII в.

были решены многие вопросы теоретической механики и перед механикой встала задача — дать общий метод, при помощи которого возможно было бы решение всех механических проблем чисто аналитически. Такой метод нашел Луи Лагранж (1736—1813). Его знаменитая Аналитическая механика изложена без единого чертежа, на основе общего метода.
 [c.

15]

В самом деле, если давление рассматривать как силу, которая действует на каждую частицу и которая может быть выражена с помощью функции координат, определяющих место частицы в жидкости, то разность сил давлений, испытываемых частицей с двух противоположных и параллельных сторон, дает силу, которая стремится двигать частицу перпендикулярно к этим сторонам и которая должна быть уничтожена ускоряющими силами, приложенными к этой частице. Таким образом, если все эти силы отнести к трем взаимно перпендикулярным координатам и представить себе, что жидкая масса разделена на маленькие прямоугольные параллелепипеды, имеющие своими сторонами элементы этих координат, то мы тотчас же получим три уравнения в частных производных между давлением и заданными ускоряющими силами эти уравнения и служат для определения самого давления, а также отношения, которое должно существовать между этими силами. Этот простой способ нахождения общих законов гидростатики ведет свое начало от Эйлера (Мё-moires de Berlin за 1755) в настоящее время этот способ принят почти во всех руководствах по этой отрасли науки.
 [c.241]

Так как форма канала должна быть неопределенной, то приведенное уравнение должно быть независимым от этой формы отсюда можно тотчас же притти к выводу, как это сделал Клеро в своей Theorie de la figure de la Terre , что величина dpQ dq- -R dr +. ..

должна быть полным дифференциалом. Но к этому заключению можно притти и с помощью анализа, причем одновременно можно установить отношения, какие должны существовать между величинами Р, Q, R,. .. С этой целью достаточно только варьировать интеграл
 [c.

247]

Приравнивая нулю первый множитель dpjdx = Q, получим интеграл р = С и, исключая параметр р из этого соотношения и исходного диференциального уравнения, найдём общий интеграл уравнения Клеро у = Сх -г -)-ф(С), который представляет семейство прямых.

Приравнивая нулю второй множитель У(р) + х = О н исключая параметр р из этого соотношения и исходного диференциального уравнения, получим особый интеграл уравнения Клеро, представляющий с геометрической точки зрения огибающую семейства прямых, представленного общим интегралом.

 [c.224]

Изданием в 1736 г. Механики Лагранж заложил основы аналитической механики, которой затем много занимались он сам, Клеро, Даламбер, Д. Бернулли и другие ученые XVIII в.

Но у Эйлера задачи механики, хотя и решаются средствами анализа бесконечно малых, однако каждая сводится к решению уравнений по-своему. Кроме того, сочинение Эйлера 1736 г.— это механика материальной точки.

Но ясно, что при этом ему приходилось исходить из каких-то физических, эксиериментальных положений. Каковы эти положения И насколько общими являются методы Лагранжа, действительно ли они охватывают все задачи механики  [c.202]

Подводя итоги, мы приходим к выводу, что развитие теории упругости к концу XVJII в. продолжало значительно отставать от уровня развития гидромеханики.

Если в гидромеханике трудами Клеро, Даламбера, Эйлера и Лагранжа уже был создан единый аналитический аппарат дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих движение идеальной жидкости, то в теории упругости в этот период решаются лишь отдельные частные задачи статики и динамики твердых тел, в которых учитываются упругие свойства материала.

Однако до создания обобщающих теорий не дошли. Аналитический аппарат дифференциальных уравнений был применен только к рассмотрению одномерных задач теории упругости и не дал удовлетворительных результатов при рассмотрении двумерных задач, Б теории упругости важные результаты были получены при изучении внутренних сил.

Было установлено, что внутренние силы могут действовать не только по нормали к сечению, по и под любьш углом к нему, в том числе и по касательной. Все это очень близко подводило к общему понятию напряжения (в работах Кулона),
 [c.189]

После Эйлера в течение XVIII в. теория устойчивости развивается в русле динамики в двух направлениях. Одним из них является изучение малых коле- 119 баний механической системы около положения равновесия. Этим вопросом занимались А. Клеро, Д. Бернулли, Ж. Даламбер, Ж. Лагранж.

В Аналитической механике Лагранжа (1788) теория малых колебаний системы с конечным числом степеней свободы изложена в ее классической форме.

(При этом, как известно, Лагранж высказал ошибочное утверждение, что при наличии кратных корней уравнения частот должны появляться вековые члены и устойчивости не будет.)
 [c.119]

С того момента, как были созданы основы общей механики и дифференциального исчисления, к концу XVII в., созрели все возможности для развития гидростатика и гидродинамики идеальной жидкости. Общие уравнения равновесия жидкости с учётом действия массовых сил, содержащие частные производные от неизвестной функции давления, были даны в 1743 г. в работе Клеро Теория
 [c.12]

С другой стороны, усилия Клеро, Лагранжа, Пуассона, Лапласа, Гаусса, направленные на приближенное решение прикладных задач небесной механики, привели в конце концов к созданию теории возмущений.

Решения уравнений движения предлагается искать в виде рядов по степеням малого параметра (например, в Солнечной системе таким параметром является отношение массы Юпитера к массе Солнца).

Впоследствии Делоне, Гильден, Линд-штедт модифицировали теорию возмущений с помощью метода
 [c.14]

Здесь введена функция Клеро = = г sin ф, которая при ус.товии g = = onst выражает известное уравнение геодезической линии на поверхности вращения. С другой стороны, равновесная форма баллона давления должна удовлетворять уравнению (3.6), которое может быть записано в форме
 [c.362]

Впервые плотность пара теллура была измерена в 1880 г. Сент-Клер Девиллем и Троостом [47 ] при двух температурах.

Из современных данных наибольшего внимания заслуживают работы Нивы и Шибаты [48] и Устюгова и Вигдоровича [49].

Ле Клер в своем обзоре приводит уравнение Шуттлевортса для коэффициента самодиффузии (Ва), полученное на основе термодинамики необратимых процессов  [c.584]

Источник: https://mash-xxl.info/info/83708/

Общий метод введения параметра

Уравнение

можно рассматривать как некоторую поверхность вШг'. Пусть задано параметрическое представление этой поверхности:

В силу этих равенств соотношение dy = y'dx принимает вид

• Из данного уравнения в полных дифференциалах нетрудно получить
• уравнение, разрешенное относительно производной
• „ dv
• ди

Замечание 1.42. Если равнения (1.175) разрешимо относительно переменной у, то сеть

то в качестве параметров и и г целесообразно выбрать х и у' = р. Действительно, имеем

Пусть р = я{х,С)~ решение уравнения (1.183), тогда решением уравнения (1.181) будет

Замечание 1.43. Метод интегрирования в случае уравнения

разрешенного относительно переменной х полностью аналогичен вышерассмотренному. Здесь в качестве параметров // и v выбирают у и

у' = р. Проделав аналогичные выкладки, получаем

Пусть р = л(у,С)- решение уравнения (1.187), тогда

будет решением уравнения (1.185).

Метод введения параметра в общем случае нс приводит к уравнениям, интегрируемым в квадратурах. В данном пункте мы рассмотрим типы уравнений, нс разрешенных относительно производной, которые можно проинтегрировать в квадратурах.

Определение 1.35. Уравнение вида

где а{у') и Р(у’) — непрерывно дифференцируемые функции, называется уравнением Лагранжа.

Вводя параметр p-у и дифференцируя уравнение (1.189), получаем

Если — ^ 0, то из (1.190) получаем dx

Уравнение (1.191) является линейным относительно х и интегрируется в квадратурах.

Если — = 0 (то есть р = const), то из (1.190) следует dx

Таким образом, уравнения (1.190) может также иметь и решения вида где корни уравнения (1.192).

Остается исследовать случай, когда а(р) = р, то есть, когда уравнение (1.189), имеет вид

Определение 1.36. Уравнение (1.194) называется уравнением

К.черо.

Если — = 0, то /; = С, и, следовательно.

дх

с Ф г, Если — ^ 0, то

дх

Соотношения (1.197) вместе с (1.195) определяют еще одно решение уравнения Клсро, заданное в параметрической форме. Покажем, что кривая, определяемая этими уравнениями, является огибающей семейства (1.196), а значит, является особым решением.

В нашем случае Ф(.г,у,С) = Сх + /}(С)-у, следовательно,

Уравнения системы (1.199) с точностью до обозначения параметра совпадают с уравнениями (1.195), (1.197).

Таким образом, общее решение (1.196) уравнения Клсро представляет собой семейство прямых, а особое решение (1.195), (1.197) — огибающую этого семейства (см. рис. 1.4).

Пр и мер 1.35. Решить уравнение

уравнениями

Рис. 1.4

Напомним, что огибающая семейства Ф(х, у. С) = 0 задаётся

Решение. Данное уравнение является уравнением Лагранжа. Введём параметр у' = р, имеем

Дифференцирование полученного уравнения по х приводит нас к соотношениям:

Если — * 0, то после деления на — получаем dx dx

Интегрируя это линейное уравнение, находим

Уравнения (1.203), (1.201) задают параметрическое решение исходного уравнения.

Если — = 0, то из (1.202) следует, что р = 0, а это в силу (1.201) со-

дх

ответствует решению уравнения (1.200) у — 0.

Пр и мер 1.36. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение является уравнением Клеро. Из (1.196) следует, что его общим решением будет

Кроме того у данного уравнения имеется особое решение Или

Исключая из (1.206) параметр р, получаем уравнение огибающей семейства (1.205)

Источник: https://bstudy.net/718731/ekonomika/obschiy_metod_vvedeniya_parametra