Тетраэдр и параллелепипед — справочник студента

На этом уроке мы дадим определение параллелепипеда, обсудим его строение и его элементы (диагонали параллелепипеда, стороны параллелепипеда и их свойства). А также рассмотрим свойства граней и диагоналей параллелограмма. Далее решим типовую задачу на построение сечения в параллелепипеде.

  • Тема: Параллельность прямых и плоскостей
  • Урок: Параллелепипед. Свойства граней и диагоналей параллелепипеда
  • На этом уроке мы дадим определение параллелепипеда, обсудим его строение, свойства и его элементы (стороны, диагонали).

Параллелепипед образован с помощью двух равных параллелограммов АВСD и А1B1C1D1, которые находятся в параллельных плоскостях. Обозначение: АВСDА1B1C1D1 или АD1 (рис. 1.).

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Тетраэдр и параллелепипед - Справочник студента

Рис. 1. Параллелепипед

1) Все грани параллелепипеда – параллелограммы.

Так как плоскости АВС и А1B1C1 параллельны, а плоскость АА1В1 пересекает их соответственно по прямым АВ и А1В1, то из свойств параллельных плоскостей следует, что прямые АВ и А1B1 параллельны. А так как и прямые АА1 и ВВ1 параллельны по условию, то АВВ1А1 параллелограмм. Аналогично, можно рассмотреть и другие грани.

Читайте также:  Движение тела, брошенного вертикально вверх - справочник студента

2) Ребра АА1, ВВ1, СС1, DD1 равны.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. Значит, отрезки параллельных прямых АА1, ВВ1, СС1, DD1, которые заключены между параллельными плоскостями АВС и А1B1C1, равны.

3) Имеются три четверки равных и параллельных ребер: 1 – АВ, А1В1, D1C1, DC, 2 — AD, A1D1, B1C1, BC, 3 — АА1, ВВ1, СС1, DD1.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

4) Имеются равные углы (с сонаправленными сторонами). Например, углы А­1АВ и D1DC.

Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Например, плоскости параллелограммов АА1В1В и DD1C1C параллельны, так как пересекающиеся прямые АВ и АА1 плоскости АА1В1 соответственно параллельны двум пересекающимся прямым DC и DD1 плоскости DD1C1. Параллелограммы АА1В1В и DD1C1C равны (т. е. их можно совместить наложением), так как равны стороны АВ и DС, АА1 и DD1, и равны углы А­1АВ и D1DC.

Читайте также:  Эстетическое воспитание на уроках и во внеурочной деятельности - справочник студента

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Тетраэдр и параллелепипед - Справочник студента

Рис. 2. Диагонали параллелепипеда

Рассмотрим диагонали параллелепипеда А1C и D1B (рис. 2). Они также являются диагоналями четырехугольника A1D1CB. В этом четырехугольнике стороны A1D1 и BC параллельны и равны, а значит, A1D1CB – параллелограмм (по признаку параллелограмма). А в параллелограмме диагонали А1C и D1B пересекаются в одной точке О и делятся этой точкой пополам.

Тетраэдр и параллелепипед - Справочник студента

Рис. 3.

Рассмотрим теперь четырехугольник АВС1D1 (рис. 3). В этом четырехугольнике стороны С1D1 и АВ параллельны и равны, а значит, АВС1D1 – параллелограмм (по признаку параллелограмма).

А в параллелограмме диагонали С1А и D1В пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Эти диагонали также пересекаются в точке О, так как мы уже выяснили, что середина диагонали D1В – это точка О.

Следовательно, все диагонали параллелепипеда А1C, С1А и D1В, DВ1 пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

В параллелепипеде АВСDА1B1C1D1 постройте сечение плоскостью AD1M, где М – середина ребра ВС. Определите вид полученного сечения.

Тетраэдр и параллелепипед - Справочник студента

Рис. 4.

Решение: (рис. 4)

Соединим точки А и D1. Точки А и D1 лежат и в плоскости сечения и в плоскости АА1D1. Значит, АD1– линия пересечения этих плоскостей.

Проведем прямую МN параллельно прямой АD1. Плоскости АА1D1 и ВСС1 параллельны, значит, плоскость АМN рассекает их по параллельным прямым МN и АD1. Итак, АМND1 – искомое сечение.

Четырехугольник АМND1 —  трапеция с основаниями АD1 и МN, так как АD1 и МN лежат на параллельных прямых.

Заметим, что средняя линия М1N1  в треугольнике АDD1 равна отрезку МN. Этот факт понадобится нам дальше для решения задач на нахождения периметра.

Итак, мы рассмотрели параллелепипед и его свойства. На следующих уроках мы продолжим рассмотрение тетраэдра и параллелепипеда.

Список рекомендованной литературы по теме «Параллелепипед», «Диагонали параллелепипеда», «Стороны параллелепипеда»

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

  1. Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет
  2. 1. КакПросто (Источник)
  3. 2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник)
  4. 3. MyShared (Источник)
  5. Рекомендованное домашнее задание по теме «Параллелепипед и его свойства», «Диагонали, стороны параллелепипеда»

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

  • Задания 10, 11, 12 стр. 50
  • 2. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда АВСDА1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки:
  • а) А, С, В1
  • б) В1, D1 и середину ребра АА1.

3. Ребро куба равно а. Постройте сечение куба плоскостью проходящей через середины трех ребер, выходящих из одной вершины, и вычислите его периметр и площадь.

4. Какие фигуры могут получиться в результате пересечения плоскостью параллелепипеда?

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/10-klass/parallelnost-pryamyh-i-ploskostej/parallelepiped-svoystva-graney-i-diagonaley-parallelepipeda?trainers

Конспект урока на тему "Тетраэдр. Параллелепипед"

Урок по математике

«ТЕТРАЭДР. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД».

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цель: Ознакомление с многогранниками: тетраэдром и параллелепипедом. Формирование познавательных, регулятивных, коммуникативных УУД.

Воспитание внимания, наблюдательности, умения слушать, интереса к предмету, самостоятельности, ответственности, развитие способностей к исследовательской деятельности.

Задачи: 1. Повторить и обобщить теоретический материал по теме «Параллельность прямых и плоскостей»

2. Ввести понятие многогранника, тетраэдра, параллелепипеда, рассмотреть их элементы, свойства.

3. Изображать рассматриваемые объекты на плоскости. Решить задачи на применение полученных знаний.

Раздаточный материал: карточки-задания.

Применяемые формы и методы: фронтальный опрос, самоконтроль, иллюстративно-наглядный, самостоятельная работа, метод сравнения, обобщения, исследовательская работа.

Оборудование: Учебник Геометрия. 10-11 класс. Л.С. Атанасян. – М.: Просвещение, 2014.Компьютер, мультимедийный проектор, презентация, модели многогранников.

  • Междисциплинарные связи: Химия (кристаллические решетки) Физика (твердые тела и их форма)
  • Внутридисциплинарные связи: Аксиомы стереометрии, параллельность прямых, прямой и плоскости, параллельность плоскостей.
  • План урока.
  1. Организационный момент. 3 мин.

  2. Актуализация знаний. 18 мин.

  3. Изучение нового материала. 40 мин.

  4. Решение задач. 25 мин.

  5. Подведение итогов, задание домашнего задания. 4 мин.

Ход занятия.

  1. Организационный момент. 3 мин.

Приветствие преподавателя Проверка готовности студентов к занятию. Организация внимания. Сегодня мы начинаем изучение новой темы, название которой вы скажете сами, отгадав ребус, представленный на слайде.

Какое слово зашифровано в этом ребусе?

Многогранник. Параллелепипед. Тетраэдр. Сообщение темы урока.

  1. Актуализация ранее приобретенных знаний.

1).3 студента работают у доски по пройденному материалу. Доказательство признака параллельности прямой и плоскости, свойства параллельных плоскостей и решение задачи 63 (б). Остальные работают по карточкам.

Установить соответствие

  1. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они
  2. Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и
  3. Две прямые называются скрещивающимися, если они
  4. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости
  5. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она
  6. Прямая и плоскость называются параллельными, если они
  7. Две плоскости называются параллельными, если они 
  8. Если прямая и плоскость имеют бесконечное множество общих точек, то прямая
  1. а) не лежит в одной плоскости
  2. б) не имеют общих точек
  3. в) лежит в плоскости
  4. г) не пересекаются 
  5. д) лежат в одной плоскости и не пересекаются
  6. е) параллельны
  7. ж) параллельна данной плоскости 
  8. з) другая прямая пересекает эту плоскость 

Самопроверка (ответы на слайде презентации) , выставление в листок самооценки баллов за проделанную работу.

Оцениваются студенты, работавшие у доски..

  • 2) Студентам раздается задание.
  • I ВАРИАНТ.
  • Найти ошибку, переставить прямоугольники:
  • Две прямые
  • Не лежат в одной плоскости
  • Лежат в одной плоскости.
  • Пересекаются.
  • Скрещиваются
  • II ВАРИИАНТ.
  • Найти ошибку, переставить прямоугольники.
  • Две плоскости.
  • Не имеют общих точек.
  • Имеют множество общих точек
  • Имеют одну общую точку.
  1. Плоскости параллельны
  2. Плоскости совпадают
  3. Плоскости пересекаются
  4. Проверка, выставление оценок в листок самооценки.
  1. Изучение нового материала.

1) Преподаватель знакомит студентов с понятием многогранник. Слайды презентации.

2)Презентацию «Тетраэдр. Параллелепипед» подготовили 2 студента (им заранее было дано творческое задание). Студенты слушают.

3).Работа по изучению и конспектированию теоретического материала: чтение текста и заполнение таблицы по вариантам.

Вариант 1

А)Прочитайте п.12, абзац 3, стр.24

  • Б) Запишите определение тетраэдра и выпишите его элементыПротивоположные рёбра тетраэдра — ?
  • В)Как изобразить тетраэдр на плоскости?
  • Г)Заполните таблицу. 
Многогранник Количество рёбер Количество вершин
  1. Количество
  2. граней
Вид грани
Тетраэдр (tetra – четыре, hedra – грань)
  • Вариант 2

А)Прочитайте п.13, абзац 1 – 3 до слов: Две грани параллелепипеда…., стр.25.

  1. Б)Запишите определение параллелепипеда и выпишите его элементы
  2. В)Как изобразить параллелепипед на плоскости?
  3. Г)Заполните таблицу. 
Многогранник Количество рёбер Количество вершин
  • Количество
  • граней
Вид грани
Параллелепипед от греч. parallelos — параллельный и epipedon — плоскость)

Проверка фронтально. На доске заполнить таблицу и вывести формулу Эйлера.

4).Работа с учебником стр.25Задание 1. Запишите определения (учебник, п.13, абзац 3 и 4, стр.25):а) смежные грани — б) противоположные грани — в) боковые грани-г) противоположные вершины -д) диагональ параллелепипеда — Задание 2. Начертите параллелепипед и проведите в нём диагонали.Задание 3. Выпишите свойства параллелепипеда: Противоположные грани параллелепипеда… ?Диагонали параллелепипеда…? IV. Решение задач. Открываем учебник на странице 29. № 68 выполняем устно по готовому чертежу. № 67 письменно. Читаем задачу. Один студент выходит к доске, остальные работают в тетрадях

Дано: DABC – тетраэдр, ADB=54, BDC=72, CDA=90, DA=20 см, BD=18 см, CD=21 см. Найти: а) ребра основания АВС; б) S всех бок. сторон.

  1. Решение: а)
  2. б) SADC=1/2 *AD*DС= ½*20*21=210;
  3. SВDC= ½*18*21*sin72=179.95;
  4. SВDА=1/2 *BD* AD= ½*18*20* sin54=145,62.
  5. Ответ: а) АС=29, АВ=17,7, ВС=23,36.

б) SADC=210; SВDC =179.95; SВDА=145,62.

№70. С комментированием решаем.

  • ДАНО: DABC тетраэдр.
  • AM=MB , AK=KC, AN=ND
  • Доказать, что (MNK)║(BCD)
  • Решение.
  • MK║BC ( свойство средней линии треугольника)
  • MN║BD ( свойство средней линии треугольника)
  • MK∩MN
  • BC∩BD отсюда следует, что (MNK) ║ (BCD) по признаку параллельности двух плоскостей.
Страница 30, выполняем №76: Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что АС||A1C1 и BD=B1D1.

  1. Дано: ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед.
  2. Док-ть: АС||A1C1 и BD||B1D1.
  3. Док-во:1) Рассмотрим четырехугольник АА1С1С:

Т.к. АА1D1D — параллелограмм (по определению),= АА1|| D1 D. Т. к. DD1С1С — параллелограмм (по определению),= D1 D || С1С.

  • Таким образом, АА1||С1С.
  • 2) В силу свойств параллелепипеда АА1С1С — параллелограмм, отсюда А1С1 || AC.
  • 3) Аналогично B1D1BD — параллелограмм, поэтому B1D1 || BD.

V. Подведение итогов.

  1. Сегодня на уроке мы познакомились с понятием тетраэдр, параллелепипед .
  2. Что же называется тетраэдром, параллелепипедом? Назовите свойства
  3. параллелепипеда.

Домашнее задание. Выучить пункт 12,13.

Доказать свойства параллелепипеда. Выполнить презентацию

«Тетраэдр и параллелепипед».

Количество рёбер

Количество вершин

Количество граней

Вид грани

Источник: https://kopilkaurokov.ru/matematika/uroki/konspekt_uroka_na_temu_tetraedr_parallelepiped

Контрольная работа по теме «Тетраэдр и параллелепипед», 10 класс, геометрия

Подготовка к КР № 2 по теме

«Тетраэдр и параллелепипед» 10 класс

  1. На ребрах DM, DN и DF тетраэдра DMNF отмечены точки А, В, С так, что DА:АМ= DС:СF= DB:BN.

Докажите, что плоскость AВC параллельна плоскости MNF, и найдите площадь Δ MNF, если площадь Δ AВC равна 23 см² и DА:АМ= 1:3.

  1. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

Отметьте на ребре A1D1 точку К. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку К параллельно плоскости A1B1C.

  1. Изобразите тетраэдр РКEМ.

Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через середину ребра КР и параллельной грани РЕМ.

  1. Смежные стороны ромба параллельны плоскости α.

  • Параллельны ли плоскость α и плоскость ромба?
  • Подготовка к КР № 2 по теме
  • «Тетраэдр и параллелепипед» 10 класс
  1. На ребрах DM, DN и DF тетраэдра DMNF отмечены точки А, В, С так, что DА:АМ= DС:СF= DB:BN.

Докажите, что плоскость AВC параллельна плоскости MNF, и найдите площадь Δ MNF, если площадь Δ AВC равна 23 см² и DА:АМ= 1:3.

  1. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

Отметьте на ребре A1D1 точку К. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку К параллельно плоскости A1B1C.

  1. Изобразите тетраэдр РКEМ.

Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через середину ребра КР и параллельной грани РЕМ.

  1. Смежные стороны ромба параллельны плоскости α.

  1. Параллельны ли плоскость α и плоскость ромба?
  2. Домашнее задание по теме
  3. «Тетраэдр и параллелепипед» 10 класс
  1. На ребрах DM, DN и DF тетраэдра DMNF отмечены точки А, В, С так, что DА:АМ= DС:СF= DB:BN.

Докажите, что плоскость AВC параллельна плоскости MNF, и найдите площадь Δ AВC, если площадь Δ MNF равна 125 см² и DА:АМ= 1:4.

  1. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

Отметьте на ребре С1D1 точку М. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости AB1C1.

  1. Изобразите тетраэдр РКEМ.

Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через середину ребра ЕР и параллельной грани РКМ.

  1. Противоположные стороны ромба параллельны плоскости β.

  • Параллельны ли плоскость β и плоскость ромба?
  • Домашнее задание по теме
  • «Тетраэдр и параллелепипед» 10 класс
  1. На ребрах DM, DN и DF тетраэдра DMNF отмечены точки А, В, С так, что DА:АМ= DС:СF= DB:BN.

Докажите, что плоскость AВC параллельна плоскости MNF, и найдите площадь Δ AВC, если площадь Δ MNF равна 125 см² и DА:АМ= 1:4.

  1. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

Отметьте на ребре С1D1 точку М. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости AB1C1.

  1. Изобразите тетраэдр РКEМ.

Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через середину ребра ЕР и параллельной грани РКМ.

  1. Противоположные стороны ромба параллельны плоскости β.

  1. Параллельны ли плоскость β и плоскость ромба?
  2. Подготовка к КР № 2 по теме
  3. «Тетраэдр и параллелепипед» 10 класс
  1. На ребрах DM, DN и DF тетраэдра DMNF отмечены точки А, В, С так, что DА:АМ= DС:СF= DB:BN.

Докажите, что плоскость AВC параллельна плоскости MNF, и найдите площадь Δ MNF, если площадь Δ AВC равна 23 см² и DА:АМ= 1:3.

  1. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

Отметьте на ребре A1D1 точку К. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку К параллельно плоскости A1B1C.

  1. Изобразите тетраэдр РКEМ.

Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через середину ребра КР и параллельной грани РЕМ.

  1. Смежные стороны ромба параллельны плоскости α.

  • Параллельны ли плоскость α и плоскость ромба?
  • Подготовка к КР № 2 по теме
  • «Тетраэдр и параллелепипед» 10 класс
  1. На ребрах DM, DN и DF тетраэдра DMNF отмечены точки А, В, С так, что DА:АМ= DС:СF= DB:BN.

Докажите, что плоскость AВC параллельна плоскости MNF, и найдите площадь Δ MNF, если площадь Δ AВC равна 23 см² и DА:АМ= 1:3.

  1. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

Отметьте на ребре A1D1 точку К. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку К параллельно плоскости A1B1C.

  1. Изобразите тетраэдр РКEМ.

Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через середину ребра КР и параллельной грани РЕМ.

  1. Смежные стороны ромба параллельны плоскости α.

  1. Параллельны ли плоскость α и плоскость ромба?
  2. Домашнее задание по теме
  3. «Тетраэдр и параллелепипед» 10 класс
  1. На ребрах DM, DN и DF тетраэдра DMNF отмечены точки А, В, С так, что DА:АМ= DС:СF= DB:BN.

Докажите, что плоскость AВC параллельна плоскости MNF, и найдите площадь Δ AВC, если площадь Δ MNF равна 125 см² и DА:АМ= 1:4.

  1. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

Отметьте на ребре С1D1 точку М. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости AB1C1.

  1. Изобразите тетраэдр РКEМ.

Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через середину ребра ЕР и параллельной грани РКМ.

  1. Противоположные стороны ромба параллельны плоскости β.

  • Параллельны ли плоскость β и плоскость ромба?
  • Домашнее задание по теме
  • «Тетраэдр и параллелепипед» 10 класс
  1. На ребрах DM, DN и DF тетраэдра DMNF отмечены точки А, В, С так, что DА:АМ= DС:СF= DB:BN.

Докажите, что плоскость AВC параллельна плоскости MNF, и найдите площадь Δ AВC, если площадь Δ MNF равна 125 см² и DА:АМ= 1:4.

  1. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

Отметьте на ребре С1D1 точку М. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости AB1C1.

  1. Изобразите тетраэдр РКEМ.

Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через середину ребра ЕР и параллельной грани РКМ.

  1. Противоположные стороны ромба параллельны плоскости β.

Параллельны ли плоскость β и плоскость ромба?

Источник: https://videouroki.net/razrabotki/kontrol-naia-rabota-po-tiemie-tietraedr-i-parallieliepipied-10-klass-ghieomietri.html

Тетраэдр и параллелепипед. Выполнила: Рябкова Ю.И. — презентация

1 Тетраэдр и параллелепипед. Выполнила: Рябкова Ю.И

2 Многоугольник – часть плоскости, ограниченная линией, включая её саму. Что такое многоугольник?

3 Тетраэдр. Рассмотрим произвольный треугольник АBC и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. A B C D

4 Соединим точку D отрезками с вершинами треугольника. A B C D Поверхность, составленная из четырёх треугольников: ABC, DAB, DBC и DCA, Называется тетраэдром. Обозначается DABC

5 Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями, их стороны – рёбрами, а вершины – вершинами тетраэдра. У тетраэдра: 4 грани, 6 рёбер и 4 вершины. Иногда выделяют одну из граней тетраэдра и называют её основанием, а три другие – боковыми гранями.

6 D B C A 1) Назовите грани тетраэдра ABC, ADC, CDB, ADB 2) Назовите основание и Боковые грани ABC – ADC,CDB,ADB ADC – ABC, CDB, ADB CDB – ABC, ADC, ADB ADB – ABC, ADC, CDB 3) Назовите ребра тетраэдра AD, DC, DB, AB,AC, CB

7 Задачи на построение сечения в тетраэдре. Секущей плоскостью тетраэдра называется любая плоскость по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра. Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра. Сечением тетраэдра может быть треугольник и четырёхугольник.

8 Обязательные условия для задач на построение сечений. 1.Отрезок соединяющий две точки сечения, лежит в одной плоскости (принадлежит одной грани). 2.Все дополнительные точки лежат на линии пересечения плоскостей. 3.Если строим плоскость параллельную данной, то секущая плоскость пересекает плоскость по прямым параллельным данной плоскости.

9 Задача: На рёбрах AB, BD и CD тетраэдра ABCD отмечены точки M, N и P. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.

10 D C A B M N P Дано: ABCD – тетраэдр MєAB, NєBD, PєCD Найти: сечение плоскостью MNP

11 D C A B M N P Решение: 1)Построим прямую, по которой (MNP) пересекается с Плоскостью (ABC).

Точка M общая точка этих плоскостей Чтобы построить ещё одну точку пересечения этих плоскостей Продолжим отрезки NP и BC. NP пересекает BC в точке E E 2)E вторая общая точка (ABC) и (MNP).

3)Плоскости пересекаются По прямой ME. 4)ME пересекает Ребро AC в Некоторой точке Q. Q 5)Четырёхугольник MNPQ – искомое Сечение.

12 Параллелепипед. Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A1B1C1D1 Расположенных в параллельных плоскостях, так что отрезки AA1, BB1, CC1, DD1 параллельны. Четырёхугольники ABB1A1, BCC1B1, CDD1C1, DAA1D1 – параллелограммы, т.к. каждый из них имеет попарно параллельные противоположные стороны.

13 Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 и четырёх параллелограммов ABB1A1, BCC1B1, CDD1C1, DAA1D1 называется параллелепипедом. Обозначается: ABCDA1B1C1D1. A D C B A1 D1 C1 B1

14 Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями, их стороны – рёбрами, а вершины параллелограммов – вершинами параллелепипеда. Параллелепипед имеет 6 граней, 12 рёбер, 8 вершин.

15 Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих рёбер – противоположными. Две вершины, не принадлежащие одной грани называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Две противоположные грани называют основаниями, а остальные грани – боковыми гранями параллелепипеда.

16 Свойства параллелепипеда. 1.Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны. 1.1 Две грани параллелепипеда называются параллельными, если их плоскости параллельны. 2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

17 1.Назовите грани параллелепипеда 2.Назовите рёбра 3.Назовите смежные и противоположные грани 4.Назовите основание и боковые грани параллелепипеда A D C B A1 D1 C1 B1

18 Задачи на построение сечения в параллелепипеде. Секущей плоскостью параллелепипеда называется любая плоскость по обе стороны от которой имеются точки данного параллелепипеда.

Секущая плоскость пересекает грани параллелепипеда по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением параллелепипеда.

Сечением параллелепипеда могут быть треугольники, четырёхугольники, пятиугольники и шестиугольники.

19 Задача: На рёбрах параллелепипеда даны три точки A, B и C. Построить сечение параллелепипеда плоскостью ABC.

20 A B C Дано: параллелепипед, точки A, B и C принадлежат рёбрам. Найти: сечение (ABC)

21 A B C Решение: 1)Построим прямую, по которой секущая плоскость Пересекается с плоскостью нижнего основания. Для Этого проведём прямую AB и продолжим нижнее ребро, Лежащее в той же грани, что и прямая AB, до пересечения С этой прямой в точке M. 2) Через точку M проведём Прямую параллельную BC.

Это и есть прямая, по которой Секущая плоскость Пересекается с плоскостью Нижнего основания. Эта Прямая пересекается с Рёбрами нижнего основания В точках E и F. M F E 3) Через точку E проведём Прямую, параллельную Прямой AB, и получим Точку D. D 4) Проводим отрезки AF и CD.

5) Шестиугольник ABCDEF – искомое сечение.

Источник: http://www.myshared.ru/slide/351366/

Ссылка на основную публикацию