Суперпозиция многих волн с равными амплитудами — справочник студента

?

Category: Перевод http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/superposition/superposition.html автора Dan Russell, анимации оттуда же.

• Суперпозиция волн
• Суперпозиция двух волн, двигающихся в противоположных направлениях

Принцип суперпозиции применим ко всем волнам, перемещающимся в одной и той же среде в одно и то же время. Волны проходят сквозь друг друга, не меняя своего характера. Суммарное смещение частиц среды в любой точке (в любое время) рассчитывается простым суммированием смещений, вызванных отдельными волнами. Это относится к одиночным волнам с определенной длиной или к непрерывным синусовым волнам.На анимации показаны две гауссовы одиночные волны, распространяющиеся в одной среде, но в противоположных направлениях. Две волны проходят сквозь друг друга без изменения характера, суммарное колебание – это сумма двух отдельных колебаний.

Также нужно помнить, что это недиспергирующая среда (волны любой частоты распространяются с одинаковой скоростью), так что гауссова одиночная волна не меняет форму при движении. Если среда диспергирующая, форма волны меняется.

Солитоны – пример нелинейных волн, не подчиняющихся принципу сложения при их взаимодействии.

Усиливающая и ослабляющая интерференция

Две волны (с одинаковой амплитудой, частотой и длиной волны) перемещаются в одном направлении. По принципу суперпозиции движение результирующей волны можно описать уравнением:

то есть, волной, амплитуда которой будет зависеть от фазы (ϕ). Когда две волны совпадают по фазе (ϕ=0), интерференция будет усиливающей, амплитуда волны удвоится. Когда две волны противоположны по фазе (ϕ=180), интерференция будет ослабляющей, амплитуда волны будет равна нулю.

На анимации показано, как две синусоидальные волны с одинаковой амплитудой и частотой могут складываться, усиливая друг друга или ослабляя, в зависимости от фазы. (ПРИМЕЧАНИЕ: на анимации показан идеальный случай, в реальной среде картина будет несколько иной).

Разность фаз двух волн будет постепенно увеличиваться, что приведет к возрастанию амплитуды на одних участках и к уменьшению амплитуды – на других участках. Если две отдельных волны точно совпадают по фазе, амплитуда суммарной волны увеличивается.

Когда две серых волны находятся в противофазе, суммарная волна равна нулю.

Две синусовых волны, распространяющихся в противоположных направлениях, создают стоячую волну

Бегущая волна перемещается с одного места на другое, а стоячая волна кажется колеблющейся на одном месте. На этой анимации две волны (с одинаковой амплитудой, частотой и длиной волны) бегут в противоположных направлениях. По принципу суперпозиции движение результирующей волны можно описать уравнением:

Результирующая волна не будет бегущей… Амплитуда волны зависит от положения: 2ymsin(kx). Частица волны остается на месте и колеблется вверх-вниз по закону косинуса (cos (wt)). Для стоячих волн характерны места с максимальным смещением частиц (пучности) и с нулевым смещением частиц (узлы).

Видно, что стоячую волну можно создать из двух бегущих волн.

Если у синусовых волн одинаковая частота (длина волны) и одинаковая амплитуда, и они перемещаются в противоположных направлениях в одной и той же среде, то — по принципу суперпозиции — результирующая волна – это сумма двух волн.

Когда две волны в противофазе — их сумма равна нулю, когда они совпадают по фазе – они складываются. Однако частицы и волны не двигаются влево-вправо – это и есть «стоячая волна».

Одна точка на анимации располагается в пучности волны, другая – в узле. Смотрите анимацию о том, как получается стоячая волна при отражении волны от препятствия.

Две синусовых волны с разной частотой: биения

Две волны с одинаковой амплитудой бегут в одном направлении. У них разная частота и длина волны, но одна и та же скорость. По принципу суперпозиции движение результирующей волны можно описать уравнением

Движение отдельной частицы зависит от двух волн. Одна часть – это синусовая волна, средняя частота которой . Эту частоту воспринимает слушающий. Другая часть – косинусовая волна с отличающейся частотой . Она определяет амплитуду «огибающей» волны и слышится как «биения». Частота биений равна удвоенной разности частот .

Источник: https://marta-inj.livejournal.com/64782.html

Интерференция волн

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: интерференция света.

В предыдущем листке, посвящённом принципу Гюйгенса, мы говорили о том, что общая картина волнового процесса создаётся наложением вторичных волн. Но что это значит — «наложением»? В чём состоит конкретный физический смысл наложения волн? Что вообще происходит, когда в пространстве одновременно распространяются несколько волн? Этим вопросам и посвящён данный листок.

Сложение колебаний

Сейчас мы будем рассматривать взаимодействие двух волн. Природа волновых процессов роли не играет — это могут быть механические волны в упругой среде или электромагнитные волны (в частности, свет) в прозрачной среде или в вакууме.

Опыт показывает, что волны складываются друг с другом в следующем смысле.

Принцип суперпозиции. Если две волны накладываются друг на друга в определённой области пространства, то они порождают новый волновой процесс. При этом значение колеблющейся величины в любой точке данной области равно сумме соответствующих колеблющихся величин в каждой из волн по отдельности.

Например, при наложении двух механических волн перемещение частицы упругой среды равно сумме перемещений, создаваемых в отдельности каждой волной. При наложении двух электромагнитных волн напряжённость электрического поля в данной точке равна сумме напряжённостей в каждой волне (и то же самое для индукции магнитного поля).

Разумеется, принцип суперпозиции справедлив не только для двух, но и вообще для любого количества накладывающихся волн. Результирующее колебание в данной точке всегда равно сумме колебаний, создаваемых каждой волной по отдельности.

Оказывается, на амплитуду результирующего колебания сильно влияет разность фаз складывающихся колебаний. В зависимости от разности фаз в данной точке пространства две волны могут как усиливать друг друга, так и полностью гасить!

Предположим, например, что в некоторой точке фазы колебаний в накладывающихся волнах совпадают (рис. 1).

Рис. 1. Волны в фазе: усиление колебаний

Мы видим, что максимумы красной волны приходятся в точности на максимумы синей волны, минимумы красной волны — на минимумы синей (левая часть рис. 1). Складываясь в фазе, красная и синяя волны усиливают друг друга, порождая колебания удвоенной амплитуды (справа на рис. 1).

Теперь сдвинем синюю синусоиду относительно красной на половину длины волны. Тогда максимумы синей волны будут совпадать с минимумами красной и наоборот — минимумы синей волны совпадут с максимумами красной (рис. 2, слева).

Рис. 2. Волны в противофазе: гашение колебаний

Колебания, создаваемые этими волнами, будут происходить, как говорят, в противофазе — разность фаз колебаний станет равна . Результирующее колебание окажется равным нулю, т. е. красная и синяя волны попросту уничтожат друг друга (рис. 2, справа).

Когерентные источники

Пусть имеются два точечных источника, создающие волны в окружающем пространстве. Мы полагаем, что эти источники согласованы друг с другом в следующем смысле.

Когерентность. Два источника называются когерентными, если они имеют одинаковую частоту и постоянную, не зависящую от времени разность фаз. Волны, возбуждаемые такими источниками, также называются когерентными.

Итак, рассматриваем два когерентных источника и . Для простоты считаем, что источники излучают волны одинаковой амплитуды, а разность фаз между источниками равна нулю. В общем, эти источники являются «точными копиями» друг друга (в оптике, например, источник служит изображением источника в какой-либо оптической системе).

Наложение волн, излучённых данными источниками, наблюдается в некоторой точке . Вообще говоря, амплитуды этих волн в точке не будут равны друг другу — ведь, как мы помним, амплитуда сферической волны обратно пропорциональна расстоянию до источника, и при разных расстояниях и амплитуды пришедших волн окажутся различными. Но во многих случаях точка расположена достаточно далеко от источников — на расстоянии гораздо большем, чем расстояние между самими источниками. В такой ситуации различие в расстояниях и не приводит к существенному отличию в амплитудах приходящих волн. Следовательно, мы можем считать, что амплитуды волн в точке также совпадают.

Условие максимума и минимума

Однако величина , называемая разностью хода, имеет важнейшее значение. От неё самым решительным образом зависит то, какой результат сложения приходящих волн мы увидим в точке .

Рис. 3. Усиление колебаний в точке P

В ситуации на рис. 3 разность хода равна длине волны .

Действительно, на отрезке укладываются три полных волны, а на отрезке — четыре (это, конечно, лишь иллюстрация; в оптике, например, длина таких отрезков составляет порядка миллиона длин волн).

Легко видеть, что волны в точке складываются в фазе и создают колебания удвоенной амплитуды — наблюдается, как говорят, интерференционный максимум.

• Ясно, что аналогичная ситуация возникнет при разности хода, равной не только длине волны, но и любому целому числу длин волн.
• Условие максимума. При наложении когерентных волн колебания в данной точке будут иметь максимальную амплитуду, если разность хода равна целому числу длин волн:
• (1)

Теперь посмотрим на рис. 4. На отрезке укладываются две с половиной волны, а на отрезке -три волны. Разность хода составляет половину длины волны (d=lambda /2[/math]).

Рис. 4. Гашение колебаний в точке P

Теперь нетрудно видеть, что волны в точке складываются в противофазе и гасят друг друга — наблюдается интерференционный минимум. То же самое будет, если разность хода окажется равна половине длины волны плюс любое целое число длин волн.

1. Условие минимума.
   Когерентные волны, складываясь, гасят друг друга, если разность хода равна полуцелому числу длин волн:
2. (2)
3. Равенство (2) можно переписать следующим образом:
4. .
5. Поэтому условие минимума формулируют ещё так: разность хода должна быть равна нечётному числу длин полуволн.

Интерференционная картина

А что, если разность хода принимает какое-то иное значение, не равное целому или полуцелому числу длин волн? Тогда волны, приходящие в данную точку, создают в ней колебания с некоторой промежуточной амплитудой, расположенной между нулём и удвоенным значением 2A амплитуды одной волны. Эта промежуточная амплитуда может принимать все значения от 0 до 2A по мере того, как разность хода меняется от полуцелого до целого числа длин волн.

Таким образом, в той области пространства, где происходит наложение волн когерентных источников и , наблюдается устойчивая интерференционная картина — фиксированное не зависящее от времени распределение амплитуд колебаний. А именно, в каждой точке данной области амплитуда колебаний принимает своё значение, определяемое разностью хода приходящих сюда волн, и это значение амплитуды не меняется со временем.

Такая стационарность интерференционной картины обеспечивается когерентностью источников. Если, например, разность фаз источников будет постоянно меняться, то никакой устойчивой интерференционной картины уже не возникнет.

Теперь, наконец, мы можем сказать, что такое интерференция.

Интерференция — это взаимодействие волн, в результате которого возникает устойчивая интерференционная картина, то есть не зависящее от времени распределение амплитуд результирующих колебаний в точках области, где волны накладываются друг на друга.

Если волны, перекрываясь, образуют устойчивую интерференционную картину, то говорят попросту, что волны интерферируют. Как мы выяснили выше, интерферировать могут только когерентные волны. Когда, например, разговаривают два человека, то мы не замечаем вокруг них чередований максимумов и минимумов громкости; интерференции нет, поскольку в данном случае источники некогерентны.

На первый взгляд может показаться, явление интерференции противоречит закону сохранения энергии — например, куда девается энергия, когда волны полностью гасят друг друга? Но никакого нарушения закона сохранения энергии, конечно же, нет: энергия просто перераспределяется между различными участками интерференционной картины. Наибольшее количество энергии концентрируется в интерференционных максимумах, а в точки интерференционных минимумов энергия не поступает совсем.

На рис. 5 показана интерференционная картина, созданная наложением волн двух точечных источников и . Картина построена в предположении, что область наблюдения интерференции находится достаточно далеко от источников. Пунктиром отмечена ось симметрии интерференционной картины.

Рис. 5. Интерференция волн двух точечных источников

Цвета точек интерференционной картины на этом рисунке меняются от чёрного до белого через промежуточные оттенки серого. Чёрный цвет — интерференционные минимумы, белый цвет — интерференционные максимумы; серый цвет — промежуточное значение амплитуды, и чем больше амплитуда в данной точке, тем светлее сама точка.

Обратите внимание на прямую белую полосу, которая идёт вдоль оси симметрии картины. Здесь расположены так называемые центральные максимумы. Действительно, любая точка данной оси равноудалена от источников (разность хода равна нулю), так что в этой точке будет наблюдаться является интерференционный максимум.

Остальные белые полосы и все чёрные полосы слегка искривлены; можно показать, что они являются ветвями гипербол. Однако в области, расположенной на большом расстоянии от источников, кривизна белых и чёрных полос мало заметна, и выглядят эти полосы почти прямыми.

Интерференционный опыт, изображённый на рис. 5, вместе с соответствующим методом расчёта интерференционной картины называется схемой Юнга. Эта схема лежит в основе знаменитного
опыта Юнга (речь о котором пойдёт в теме Дифракция света). Многие эксперименты по интерференции света так или иначе сводятся к схеме Юнга.

В оптике интерференционную картину обычно наблюдают на экране. Давайте ещё раз посмотрим на рис. 5 и представим себе экран, поставленный перпендикулярно пунктирной оси.
На этом экране мы увидим чередование светлых и тёмных интерференционных полос.

На рис. 6 синусоида показывает распределение освещённости вдоль экрана. В точке O, расположенной на оси симметрии, находится центральный максимум. Первый максимум в верхней части экрана, соседний с центральным, находится в точке A. Выше идут второй, третий (и такдалее) максимумы.

Рис. 6. Интерференционная картина на экране

Расстояние , равное расстоянию между любыми двумя соседними максимумами или минимумами, называется шириной интерференционной полосы. Сейчас мы займёмся нахождением этой величины.

Пусть источники находятся на расстоянии друг от друга, а экран расположен на расстоянии от источников (рис. 7 ). Экран заменён осью ; начало отсчёта , как и выше, отвечает центральному максимуму.

Рис. 7. Вычисление координат максимумов

Точки и служат проекциями точек и на ось и расположены симметрично относительно точки . Имеем: .

Точка наблюдения может находиться на оси (на экране) где угодно. Координату точки
мы обозначим . Нас интересует, при каких значениях в точке будет наблюдаться интерференционный максимум.

Волна, излучённая источником , проходит расстояние:

. (3)

Теперь вспомним, что расстояние между источниками много меньше расстояния от источников до экрана: . Кроме того, в подобных интерференционных опытах координата точки наблюдения также гораздо меньше . Это означает, что второе слагаемое под корнем в выражении (3) много меньше единицы:

• .
• Раз так, можно использовать приближённую формулу:
• (4)
• Применяя её к выражению (4), получим:
• (5)
• Точно так же вычисляем расстояние, которое проходит волна от источника до точки наблюдения:
• . (6)
• Применяя к выражению (6) приближённую формулу (4), получаем:
• . (7)
• Вычитая выражения (7) и (5), находим разность хода:
• . (8)
• Пусть — длина волны, излучаемой источниками. Согласно условию (1), в точке будет наблюдаться интерференционный максимум, если разность хода равна целому числу длин волн:
• Отсюда получаем координаты максимумов в верхней части экрана (в нижней части максимумы идут симметрично):

При получаем, разумеется, (центральный максимум). Первый максимум рядом с центральным соответствует значению и имеет координату .Такой же будет и ширина интерференционной полосы:

.

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/fizika/interferenciya-voln/

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Cтраница 1

Амплитуда результирующей волны РІ точке наблюдения Р“0 определяется расстоянием РѕС‚ фокуса Рђ спирали РљРѕСЂРЅСЋ РґРѕ начала отсчета 0 ( СЂРёСЃ. V.  [1]

Амплитуда результирующей волны РІ любой точке линии есть результат суперпозиции РІ этой точке всех пространственных волн, фазы которых различны.  [2]

Амплитуда результирующей волны напряжения в конце линии будет равна нулю.

Р’ то же время падающая Рё отраженная волны тока Р±СѓРґСѓС‚ иметь равные амплитуды, что приведет Рє увеличению тока РІ конце короткозамкнутой линии.  [3]

Выяснение связи между амплитудой результирующей волны и координатами атомов требует решения двух самостоятельных задач.

РћРґРЅРѕР№ РёР· РЅРёС… является нахождение формулы, выражающей амплитуду результирующей волны Ем через амплитуды Рё начальные фазы налагающихся волн, Р° РґСЂСѓРіРѕР№ — нахождение зависимости между начальными фазами волн, рассеиваемых атомами, Рё координатами этих атомов.  [4]

Явление увеличения или уменьшения амплитуды результирующей волны РїСЂРё сложении РґРІСѓС… или нескольких волн СЃ одинаковыми периодами колебаний называется интерференцией волн.  [5]

Сложение РґРІСѓС… синусоидальных воль.  [6]

Р�Р· СЂРёСЃ, 33 РІРёРґРЅРѕ, лто амплитуда результирующей волны зависит РѕС‚ того, какие пути прошли волны РґРѕ момента РёС… встречи Рё сложения.  [7]

При наложении некогерентных волн средняя величина квадрата амплитуды результирующей волны равна сумме квадратов амплитуд накладывающихся волн.

Энергия результирующих колебаний каждой точки среды равна сумме энергий ее колебаний, обусловленных всеми некогерентными волнами в отдельности.

 [8]

Р’ точках, лежащих между этими гиперболами, амплитуда результирующей волны будет иметь — промежуточные значения.

РўРѕРіРґР° максимальная амплитуда результирующей волны будет равна удвоенной амплитуде каждой РёР· волн, Р° минимальная амплитуда будет равна нулю.  [9]

• Таким образом, РїСЂРё наложении некогерентных волн среднее значение квадрата амплитуды результирующей волны равно СЃСѓРјРјРµ квадратов амплитуд исходных волн.  [10]
• Таким образом, РїСЂРё наложении некогерентных волн средняя величина квадрата амплитуды результирующей волны равна СЃСѓРјРјРµ квадратов амплитуд исходных волн.  [11]
• Таким образом, РїСЂРё наложении некогерентных синусоидальных ноли среднее значение квадрата амплитуды результирующей волны равно СЃСѓРјРјРµ квадратов амплитуд исходных волн.  [12]
• Таким образом, РїСЂРё наложении некогерентных синусоидальных волн среднее значение квадрата амплитуды результирующей волны равно СЃСѓРјРјРµ квадратов амплитуд исходных волн.  [13]

Тогда при сложении амплитуд первичной и всех вторичных волн будет резко возрастать амплитуда результирующей волны.

Если выполнено условие (40.

5), то волны, которые при каждом отражении выходят из генератора через зеркало 3 ( см. рис. 40.3), когерентны между собой.

Это обеспечивает наибольшую результирующую амплитуду и интенсивность света, полученного в лазере.

Тогда при сложении амплитуд первичной и всех вторичных волн будет резко возрастать амплитуда результирующей волны.

Если выполнено условие (15.19), то волны, которые при каждом отражении выходят из генератора через зеркало 3 ( см. рис. 15.

15), когерентны между СЃРѕР±РѕР№.  [15]

Страницы:      1    2    3    4

Источник: https://www.ngpedia.ru/id17262p1.html

Читать

М. Файер. Абсолютный минимум. Как квантовая теория объясняет наш мир

Предисловие

Если вы читаете эту книгу, то, вероятно, относитесь к одной из двух категорий людей. Либо вы из числа моих коллег, посвящённых в тайны квантовой теории, и хотите посмотреть, как же кто-то смог написать серьёзную книгу по квантовой механике без математики.

Либо вы принадлежите к тому большинству людей, кто смотрит на окружающий мир без ясного понимания того, почему многие повседневные вещи устроены именно так, а не иначе. При этом речь идёт далеко не о тех малозначительных аспектах нашей среды обитания, на которые можно было бы просто не обращать внимания.

Напротив, это важные особенности нашего мира, которые никогда внятно не объясняются, поскольку кажется, что они лежат за пределами нашего понимания.

Что придаёт предметам их цвет, почему медный провод проводит электричество, а стекло нет, что же всё-таки такое транс-жиры и почему углекислота является парниковым газом, а кислород и азот — нет? Эти «белые пятна» в картине устройства вещей возникают вследствие кажущегося непреодолимым барьера, отделяющего нас от их понимания. Обычно этот барьер связан с математикой. Чтобы ответить на поставленные выше вопросы, а также на многие другие, необходимо понимание квантовой теории, но в действительности для этого не требуется математика.

Эта книга разовьёт вашу квантовую интуицию — и тем самым радикально изменит ваш способ восприятия окружающей действительности. Механику вы понимаете интуитивно, но знакомую вам механику мы называем классической.

Когда в бейсболе делается длинный удар, вы знаете, что мяч сначала полетит вверх, а затем его траектория изогнётся и он упадёт на землю. Вы знаете, что если ударить по мячу сильнее, то он полетит быстрее и пролетит дальше, прежде чем упадёт. Почему мяч ведёт себя таким образом? Потому что на него действует гравитационное притяжение Земли.

Вы смотрите на Луну и знаете, что она обращается вокруг Земли. Почему? Потому что гравитация притягивает Луну к Земле. Вам не надо садиться и решать ньютоновские уравнения движения, чтобы рассчитать, что произойдёт.

Повседневный опыт не готовит нас к пониманию природы тех окружающих вещей, которые зависят от квантовых явлений. Как уже упоминалось здесь и подробно описывается в этой книге, понимание таких повседневных вещей, как цвет и электричество, требует квантовомеханического взгляда на природу.

Почему без математики? Представьте, что в этой книге изложение начиналось бы на вашем родном языке, потом переходило бы на латынь, а затем вновь возвращалось к исходному языку. Теперь представьте, что это переключение происходило бы всякий раз, когда начинаются подробные объяснения.

Такие переходы с языка на язык, происходящие в книгах по квантовой механике, отличаются лишь тем, что они выполняются не между вашим языком и латынью, а между вашим языком и математикой. В серьёзных квантовомеханических книгах, например в моём собственном учебнике «Элементы квантовой механики» (Elements of Quantum Mechanics.

Oxford University Press, 2001), вы будет постоянно встречать фразы такого рода: «данные взаимодействия описываются следующим набором спаренных дифференциальных уравнений». После уравнений в тексте будет сказано: «решения этих уравнений таковы», и далее последуют новые формулы. В этой книге, напротив, всё изложение является описательным.

Диаграммы заменяют множество уравнений; исключение составляют лишь некоторые простые алгебраические формулы, которые детально объясняются. Однако и без обычного переизбытка математики фундаментальные философские и концептуальные основы приложений квантовой механики объясняются достаточно полно.

Таким образом, каждый может достичь определённого уровня проникновения в квантовую теорию и углубить своё понимание окружающего мира. Если вы хорошо знаете математику, эта книга всё равно будет для вас полезной. Вы приобретёте концептуальное понимание, необходимое для перехода к математическому изложению квантовой теории.

Если вы хотите получить некоторый объём умственной нагрузки, не связанной с математикой, эта книга познакомит вас с основами квантовой теории и с её приложениями к физике атомов и молекул.

1. Кот Шрёдингера

Разве мы не знаем, что такое размер? Одни вещи большие, другие маленькие.

Но развитие квантовой теории показало, что эти два вопроса тесно взаимосвязаны и что до двадцатых годов прошлого века мы опирались на совершенно неверное понимание размера.

Наше представление о размере, когда мы вообще об этом задумываемся, отлично работает в повседневной жизни. Однако начиная примерно с 1900 года та физика, которая описывает все происходящие в природе процессы, и та, что прекрасно подходит для обеспечения посадки космических аппаратов на Марс, стали расходиться между собой.

В итоге принципиально новое понимание размера понадобилось не только для объяснения того, почему вишня красная, а черника синяя, но и для понимания устройства молекул, составляющих наши тела, и микроэлектроники, обеспечивающей работу наших компьютеров, для объяснения, почему углекислый газ является парниковым и как электричество течёт по металлам.

Повседневный опыт учит нас мыслить в понятиях классической физики, которая была значительно развита и формализована Исааком Ньютоном (1642–1727). Всё, что мы узнаём с раннего детства, подготавливает нас к принятию фундаментально ошибочного представления о природе.

Эта книга посвящена понятию абсолютного размера и вытекающей из него квантовой теории, которая требует кардинально изменить способ мышления о природе.

В первой половине книги описываются основные понятия квантовой теории, а во второй эта теория применяется для объяснения многих особенностей мироустройства через анализ свойств атомов и молекул, а также их роли в повседневной жизни.

Начало работе над этой книгой положил простой вопрос: можно ли понять квантовую механику с позиций здравого смысла? Мне задали его на фестивале науки «Вондерфест-2005», проводимом при поддержке физического факультета Калифорнийского университета в Беркли и химического факультета Стэнфордского университета.

«Вондерфест» — это ежегодное мероприятие, на котором читаются лекции для широкой публики о последних достижениях в самых разных дисциплинах.

Причём на то, чтобы представить свой утвердительный ответ на данный вопрос, у меня было всего полчаса. Задача оказалась чрезвычайно трудной, так что я в течение нескольких месяцев размышлял на эту тему и потратил уйму времени на подготовку к лекции.

Несмотря на это, я считал, что моё выступление провалилось, — не потому, что такие важные вопросы невозможно разъяснить неспециалистам, но из-за жёстких ограничений по времени. Чтобы добраться до сути дела, необходимо ввести некоторые понятия, позволяющие чётко обозначить различия между классической и квантовой механикой.

Эта книга — моя попытка уделить квантовому описанию природы достаточно времени, чтобы вынести о нём предметное суждение. Используемая в книге математика очень проста — не сложнее элементарных формул. Идея состоит в том, чтобы сделать квантовую теорию полностью доступной для неспециалиста.

Тем не менее тот факт, что книга практически не требует знания математики, не означает, что её материал прост. Читать Кьеркегора{1} совсем непросто, хотя для этого и не требуется математических знаний.

Однако, в отличие от работ Кьеркегора, смысл представленного здесь материала должен быть ясен всякому читателю, готовому приложить небольшое мыслительное усилие.

Источник: https://www.litmir.me/br/?b=274516&p=16

Принцип суперпозиции. Групповая скорость

Введем в рассмотрение линейную среду — среду, в которой при одновременном распространении нескольких волн ее свойства не изменяются под действием возмущений, создаваемых волной.

В линейной среде выполняется принцип суперпозиции (наложения) волн: при распространении нескольких волн результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из независимых волновых процессов. Например, если волны распространяются от двух источников, то они, доходя до какой-то точки, вызывают ее колебания независимо друг от друга.

Суперпозиция большого числа волн с близкими частотами представляет собой группу волн, или волновой пакет. Волновой пакет — суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте и занимающих в каждый момент времени ограниченную область пространства.

• Воспользуемся способом сложения двух распространяющихся вдоль положительного направления оси х гармонических волн с одинаковыми амплитудами, близкими частотами и волновыми числами, причем dco dk к (начальные фазы приняты равными нулю). Тогда
• И
• (во втором множителе пренебрегли do) по сравнению с ш и dk по сравнению с к).
• Амплитуда полученной результирующей негармонической волны [формула (4.1)]

есть медленно изменяющаяся функция координаты л- и времени t.

За скорость распространения этой негармонической волны принимают скорость перемещения какой-то точки, в которой амплитуда имеет фиксированное значение, в частности максимальное. Тогда из условия /do — xdk = const получим

где и — групповая скорость. Отметим, что общее доказательство (суперпозиция многих волн) приводит для и к тому же результату.

Групповая скорость — скорость движения максимума огибающей группы волн, образующих в каждый момент времени локализованный в пространстве волновой пакет. Она определяет скорость переноса волновым пакетом энергии.

Связь между групповой и = ^ и фазовой

v = — [см. (3.9)] скоростями: к

(учли, что к = или

В недиспергирующей среде групповая скорость волн совпадает с их фазовой скоростью (в недиспергирующей среде ~ = 0).

ал

Источник: https://bstudy.net/735130/spravochnik/printsip_superpozitsii_gruppovaya_skorost