Системы показательных уравнений и неравенств — справочник студента

Контрольная работа по теме «Показательные уравнения и неравенства» Вариант 1	Контрольная работа по теме «Показательные уравнения и неравенства» Вариант 2
Решите уравнение: Решите систему уравнений:	Решите уравнение: Решите неравенство: Решите систему уравнений:
Контрольная работа по теме «Показательные уравнения и неравенства» Вариант 3	Контрольная работа по теме «Показательные уравнения и неравенства» Вариант 4
Решите уравнение: Решите неравенство: Решите систему уравнений:	Решите уравнение: Решите неравенство: Решите систему уравнений:
Контрольная работа по теме «Показательные уравнения и неравенства» Вариант 5	Контрольная работа по теме «Показательные уравнения и неравенства» Вариант 6
Решите уравнение: Решите неравенство: Решите систему уравнений:	Решите уравнение: Решите неравенство: Решите систему уравнений:
Контрольная работа по теме «Показательные уравнения и неравенства» Вариант 7	Контрольная работа по теме «Показательные уравнения и неравенства» Вариант 8
Решите уравнение: Решите неравенство: Решите систему уравнений:	Решите уравнение: Решите неравенство: Решите систему уравнений:

Источник: https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/kontrolnaya_rabota_po_temepokazatelnie_uravneniya__213817.html

Урок 2. Показательные неравенства. Системы показательных уравнений и неравенств. Практика. Видеоурок. Алгебра 11 Класс

В практической части урока мы разберём различные примеры на решение систем показательных уравнений, основных типов показательных неравенств и их систем..

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 1. Повторение. Показательная функция. Показательные уравнения

• Практика
• Конспект урока
• Пример №1. Решить неравенство:
• Правило: привести к одинаковому основанию.
• Так как основание больше 1, знак неравенства не меняется
• Ответ:
• Пример №2. Решить неравенство:
• Так как основание больше 1, знак неравенства не меняется
• Ответ:
• Пример №3. Решить неравенство:
• Так как основание меньше 1, знак неравенства меняется
• Ответ:
• Пример №4. Решить неравенство:
• Вспоминаем свойства показательной функции: , значит,  Данное неравенство не имеет решений.
• Пример №5. Решить неравенство:

Пример №1.

1. Так как основание меньше 1, знак неравенства меняется
2. Ответ:
3. Пример №2. Решите неравенство
4. Рассмотрим решение данного неравенства двумя способами.
5. 1 способ:
6. Приведем обе части неравенства к основанию 2:
7. Так как основание больше 1, знак неравенства не меняется
8. 2 способ:
9. Приведем обе части неравенства к основанию :

• Так как основание меньше 1, знак неравенства меняется
• Ответ:
• Пример №3. Решите неравенство
• Подсказка: чтобы не ошибиться, лучше приводить обе части неравенства к основанию больше 1, так как в этом случае нет риска забыть о смене знака неравенства.
• Вспомним, что:
• Поэтому:

Так как основание больше 1, знак неравенства не меняется

1. Ответ:
2. Пример №4. Решите неравенство
3. Приведем обе части неравенства к основанию 2:
4. Так как основание больше 1, знак неравенства не меняется
5. Ответ:
6. С вынесением общей степени
7. Пример №1.  Решите неравенство
8. Так как основание больше 1, знак неравенства не меняется
9. Ответ:
10. Сводящиеся к квадратным
11. Пример №1.  Решите неравенство:
12. Замена:
13. Обратная замена:
14. Ответ:
15. Пример №2. Решите неравенство:
16. Замена:
17. Обратная замена:
18. Ответ:
19. Пример №3. Решите неравенство:
20. Замена:
21. Обратная замена:
22. Левое неравенство, как мы помним, выполняется всегда.
23. Ответ:
24. Однородные
25. Пример №1. Решите неравенство:
26. Замена:
27. Обратная замена:
28. Ответ:
29. Системы показательных уравнений
30. Пример №1. Решите систему уравнений:
31. «Решаем» каждое из уравнений по отдельности, приводя к обычной линейной системе.
32. 1)     
33. 2)     
34. Получаем систему:
35. Ответ:
36. Пример №2. Решите систему уравнений:
37. 1)      Перемножим оба уравнения:
38. 2)      Поделим второе уравнение на первое:
39. Получаем систему:
40. Ответ:
41. Пример №3. Решите систему уравнений:
42. Замена:
43. —
44. Обратная замена:
45. Ответ:
46. Пример №4.
47. Замена:
48. Рассмотрим решение данной системы двумя способами:
49. 1 способ:
50. Обратная замена:
51. 2 способ:
52. Обратная замена:
53. Ответ:
54. Пример №1.
55. Правило: решаем каждое из неравенств по отдельности.
56. 1)     
57. Замена:
58. Обратная замена:
59. 2)     
60. 3)     
61. Ответ: решений нет.

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/11-klass/bzadachi-iz-egeb/urok-2-pokazatelnye-neravenstva-sistemy-pokazatelnyh-uravneniy-i-neravenstv-praktika

11.3.6. Решение систем показательных уравнений

Что является обязательным при решении системы показательных уравнений? Конечно, преобразование данной системы в систему простейших уравнений. 

• Примеры.
• Решить системы уравнений: 
• 
• Выразим у через х из (2) -го уравнения системы и подставим это значение в (1) -ое уравнение системы.
• Решаем (2) -ое уравнение полученной системы:
• 2х+2x+2=10, применяем формулу: ax+y=ax∙ay.
• 2x+2x∙22=10, вынесем общий множитель 2х за скобки:
• 2х(1+22)=10 или 2х∙5=10, отсюда 2х=2.

2х=21, отсюда х=1. Возвращаемся к системе уравнений.

1. Ответ: (1; 2).
2. 
3.  Решение.
4. Представляем левую и правую части (1) -го уравнения в виде степеней с основанием 2, а правую часть (2) -го уравнения как нулевую степень числа 5.
5. Если равны две степени с одинаковыми основаниями, то равны и показатели этих степеней — приравниваем показатели степеней с основаниями 2 и показатели степеней с основаниями 5.
6. Получившуюся систему линейных уравнений с двумя переменными решаем методом сложения.
7. Находим х=2 и это значение подставляем вместо х во второе уравнение системы.
8. Находим у.
9. Ответ: (2; 1,5).
10. 
11. Решение.

Если в предыдущих двух примерах мы переходили к более простой системе приравнивая показатели двух степеней с одинаковыми основаниями, то в 3-ем примере эта операция невыполнима.

Такие системы удобно решать вводом новых переменных.

Мы введем переменные u и v, а затем выразим переменную u через v и получим уравнение относительно переменной v.

Решаем (2) -ое уравнение системы.

v (v+63)=64;

v2+63v-64=0. Подберем корни по теореме Виета, зная, что: v1+v2=-63; v1∙v2=-64.

Получаем: v1=-64, v2=1. Возвращаемся к системе, находим u.

• 
• Так как значения показательной функции всегда положительны, то уравнения 4x=-1 и 4y=-64 решений не имеют.
• Представляем 64 и 1 в виде степеней с основанием 4.
• Приравниваем показатели степеней и находим х и у.
• Ответ: (3; 0).
• 
• Ответ: (2; 1).

Запись имеет метки: системы показательных уравнений.

Источник: https://www.mathematics-repetition.com/11-klass-algebra/11-3-6-reshenie-sistem-pokazatelynh-uravneniy.html

Презентация на тему: РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

Описание слайда:

Постановка цели урока и мотивация учебной деятельности учащихся Постановка цели урока и мотивация учебной деятельности учащихся Повторение и анализ основных фактов Обобщение и систематизация понятий, усвоение системы знаний и их применение для объяснения новых фактов и выполнения практических заданий Усвоение ведущих идей и основных теорий на основе широкой систематизации знаний Подведение итогов урока

Описание слайда:

Отобрать, теоретически обосновать и экспериментально проверить ключевые понятия темы «Показательная функция» Отобрать, теоретически обосновать и экспериментально проверить ключевые понятия темы «Показательная функция» Создать условия для закрепления полученных знаний по темам: «Показательная функция», «Показательные уравнения и неравенства», «Системы показательных уравнений». Способствовать развитию способности применять теоретические знания на практике и умения объяснить своё решение, логического мышления, математической речи. Воспитывать трудолюбие, терпение, усидчивость, умение слушать товарищей, работать в группе.

Описание слайда:

ЛОМБАРД (от названия итальянской области Ломбардии) — специализированное кредитное учреждение, выдающее ссуды под залог движимого имущества. Деятельность Л. в РФ осуществляется на основании лицензии. Договор о залоге вещей в Л. оформляется выдачей Л. залогового билета. Помимо краткосрочного кредитования Л. оказывают услуги по хранению вещей. Согласно ст.

 919 ГК РФ договор хранения в Л. вещей, принадлежащих гражданину, является публичным договором. Заключение договора хранения в Л. удостоверяется выдачей Л. поклажедателю именной сохранной квитанции. Вещь, сдаваемая на хранение в Л.

, подлежит оценке по соглашению сторон в соответствии с ценами на вещи такого рода и качества, обычно устанавливаемыми в торговле в момент и в месте их принятия на хранение. Л. обязан страховать в пользу поклажедателя за свой счет принятые на хранение вещи в полной сумме их оценки. Если вещь, сданная на хранение в Л., не востребована поклажедателем в обусловленный соглашением с Л. срок, Л.

обязан хранить ее в течение двух месяцев с взиманием за это платы, предусмотренной договором хранения. По истечении этого срока невостребованная вещь может быть продана Л. на основании исполнительной надписи нотариуса. Из суммы, вырученной от продажи невостребованной вещи, погашаются плата за ее хранение и иные причитающиеся Л. платежи. Остаток суммы возвращается Л. поклажедателю.

ЛОМБАРД (от названия итальянской области Ломбардии) — специализированное кредитное учреждение, выдающее ссуды под залог движимого имущества. Деятельность Л. в РФ осуществляется на основании лицензии. Договор о залоге вещей в Л. оформляется выдачей Л. залогового билета. Помимо краткосрочного кредитования Л. оказывают услуги по хранению вещей. Согласно ст.

 919 ГК РФ договор хранения в Л. вещей, принадлежащих гражданину, является публичным договором. Заключение договора хранения в Л. удостоверяется выдачей Л. поклажедателю именной сохранной квитанции. Вещь, сдаваемая на хранение в Л.

, подлежит оценке по соглашению сторон в соответствии с ценами на вещи такого рода и качества, обычно устанавливаемыми в торговле в момент и в месте их принятия на хранение. Л. обязан страховать в пользу поклажедателя за свой счет принятые на хранение вещи в полной сумме их оценки. Если вещь, сданная на хранение в Л., не востребована поклажедателем в обусловленный соглашением с Л. срок, Л.

обязан хранить ее в течение двух месяцев с взиманием за это платы, предусмотренной договором хранения. По истечении этого срока невостребованная вещь может быть продана Л. на основании исполнительной надписи нотариуса. Из суммы, вырученной от продажи невостребованной вещи, погашаются плата за ее хранение и иные причитающиеся Л. платежи. Остаток суммы возвращается Л. поклажедателю.

Описание слайда:

Описание слайда:

На этом этапе недоверчивый ломбардист, чтобы полностью убедиться в подлинности ценных вещей, предлагает группам провести «экспертизу». На этом этапе недоверчивый ломбардист, чтобы полностью убедиться в подлинности ценных вещей, предлагает группам провести «экспертизу». Построить график функции: Решить показательное уравнение: Решите неравенство: Решите систему показательных уравнений:

Описание слайда:

Какое заключение можно сделать относительно показателя , если: Какое заключение можно сделать относительно показателя , если:

Описание слайда:

Какая из данных функций является возрастающей: Какая из данных функций является возрастающей:

Описание слайда:

Найдите область значений функции Найдите область значений функции

Описание слайда:

Верно ли, что показательная функция Верно ли, что показательная функция

Описание слайда:

Какое уравнение называется показательным? Какое уравнение называется показательным? Какие виды показательных уравнений вы знаете?

Описание слайда:

Решите уравнение: Решите уравнение:

Описание слайда:

Решите уравнение Решите уравнение

Описание слайда:

Решите уравнение Решите уравнение

Описание слайда:

Решите уравнение Решите уравнение

Описание слайда:

Сформулируйте определение показательного неравенства. Сформулируйте определение показательного неравенства. На каком свойстве показательной функции основано решение показательных неравенств?

Описание слайда:

Решите неравенство Решите неравенство

Описание слайда:

Решите неравенство Решите неравенство

Описание слайда:

Решите графически неравенство Решите графически неравенство

Описание слайда:

Решите неравенство Решите неравенство

Описание слайда:

Что такое система уравнений? Что такое система уравнений? Какие способы решения систем уравнений вы знаете?

Описание слайда:

Что значит решить систему уравнений? Что значит решить систему уравнений? Что является решением системы уравнений?

Описание слайда:

Решите систему уравнений Решите систему уравнений

Описание слайда:

Решите систему уравнений Решите систему уравнений

Описание слайда:

Решите систему уравнений Решите систему уравнений

Источник: https://ppt4web.ru/algebra/reshenie-pokazatelnykh-uravnenijj-i-neravenstv0.html

Показательные неравенства

• Сегодня решаем показательные неравенства.
• Рассмотрим основные типы  показательных неравенств.
• При решении показательных неравенств мы будем использовать следующие переходы:

и

Поясним, первый переход возникает в силу возрастания  показательной функции , второй – в силу убывания функции  .

Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим

Задание 1

Решение:

Перепишем неравенство следующим образом:

1. А далее вот так:
2. Так как – возрастающая функция, то знак неравенства остается без изменения при переходе к новому неравенству:

Задание 2

Решение:

Перепишем неравенство следующим образом:

• В силу того, что основание степени () меньше 1, то есть мы имеем дело с убывающей функцией, переходим к следующему неравенству (не забывая поменять знак на ):
• Ответ:

 Однородные показательные неравенства 

Задание 3

1. Решить неравенство:
2. Решение:
3. Вынесем за скобку
4. Тогда  переходим к следующему неравенству (в силу того, что основание степени больше 1, знак неравенства не меняется):
5. Ответ:

Показательные неравенства, сводящиеся к квадратным

Задание 4

• Решить неравенство
• Решение:
• Разделим обе части неравенства на 3:
• Мы видим квадратное неравенство относительно которое будем решать методом интервалов.
• Имеем:
• или
• или 
• Ответ:

Задание 5

1. Решить неравенство
2. Решение:
3. Мы видим квадратное неравенство относительно , которое будем решать методом интервалов.
4. Находим при помощи дискриминанта корни квадратного трехчлена . Переходим к следующему неравенству:

Получаем: или . Заметьте, нет смысла указывать, что  , так как по определению положительно.

• Итак,
• Ответ:

Задание 6

Решить неравенство

Решение:

Разделим обе части неравенства на (можно и на , – как хотите…). Заметим, .

Заметим, что . Аналогично с .

1. Мы имеем квадратное неравенство относительно
2. которое будем решать методом интервалов.
3. Воспользуемся следующим способом превращения суммы в произведение:
4. где – корни уравнения (в случае неотрицательного дискриминанта квадратного трехчлена).
5. Заготавливаем шаблончик  и находим корни при помощи дискриминанта, тогда
6. То есть
7. Ответ:

Задание 7

• Решить неравенство
• Решение:
• Перепишем неравенство следующим образом:
• Домножим обе части неравенства на   (заметим, ):
• Ответ:

Показательные неравенства, сводящиеся к рациональным

Задание 8

1. Решить неравенство:  
2. Решение:
3. Переносим все в левую сторону неравенства и приводим к общему знаменателю:
4. Мы можем “отбросить” сумму в силу ее положительности:
5. Неравенство равносильно следующему:
6. Ответ:

Неравенства, решаемые графическим методом

Задание 9

Решить неравенство:

 Решение:

Рассмотрим функции и Обе они определены на . Первая – возрастает, вторая – убывает. Значит, уравнение имеет не более одного решения. Несложно заметить, что является корнем указанного уравнения.

• А значит, если вернуться к неравенству и посмотреть на него с графической точки зрения,  мы должны взять те значения , которые отвечают за ту часть графика , что лежит выше графика , то есть .
• Ответ:
• Для самостоятельной работы:
• Решить неравенства:
• 1.
• Ответ: + показать

1. 2.
2. Ответ: + показать

• 3.
• Ответ: + показать

1. 4.
2. Ответ: + показать
3. 5.
4. Ответ: + показать

• 6.
• Ответ: + показать

1. 7.
2. Ответ: + показать
3. 8.
4. Ответ: + показать

.

Источник: https://egemaximum.ru/pokazatelnye-neravenstva/