Разность квадратов, сумма и разность кубов — справочник студента

В алгебре разность кубов, как и любая другая формула сокращенного умножения, является тождеством, то есть может быть использована как для перехода из левой части к правой, так и для перехода в обратном направлении.

Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности квадратов этих выражений. Соответственно, получаем правило для разложения разности кубов на множители.

• Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.
• Формула разности кубов:
•    
• С помощью схемы разность кубов можно представить так:

1. Например,
2.    
3.    

На практике, однако, условие подробно не расписывают. Значит, прежде чем применить формулу разности кубов, надо сначала ее увидеть.

• Например, чтобы разложить по формуле разность
•    
• надо сначала увидеть, что 125 — это куб 5, а 8a — куб (2a):
•    
• и только после этого расписать выражение как разность кубов:
•    
•    
• На первых шагах работы с формулой помочь в работе может схема:

1. Таблица кубов от 1 до 10 поможет нам увидеть куб числа:
2. Свойства степеней
3.    
4. помогут нам представить степень  и произведение степеней в виде куба.
5. Рассмотрим примеры разложения многочлена на множители с помощью разности кубов.

Чтобы найти, сколько знаков нужно поставить после запятой, если известен куб числа, надо количество знаков после запятой в кубе числа разделить на 3.

У 0,008 после запятой стоит три знака, значит, у числа, которое возвели в куб, знаков после запятой в три раза меньше — один. У 0,000000001 — 9 знаков после запятой. Делим девять на 3.

У числа, которое возводят в куб, после запятой — три знака:

Источник: http://www.algebraclass.ru/raznost-kubov/

Формулы сокращённого умножения. Разность кубов и сумма кубов. Видеоурок. Алгебра 7 Класс

На данном уроке мы продолжим изучать формулы сокращенного умножения, а именно рассмотрим формулы разности и суммы кубов. Кроме того, мы решим различные типовые задачи на применение данных формул.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»

При изучении формул сокращенного умножения мы уже изучили:

Выведем формулу разности кубов.

Наша задача – доказать, что при раскрытии скобок в правой части и приведении подобных слагаемых мы придем в результате к левой части.

Выполняем умножение многочленов:

• .
• Что и требовалось доказать.
• Выражение  называется неполным квадратом суммы, так как отсутствует двойка перед произведением выражений.
• Определение
• Разность кубов двух выражений есть произведение разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.
• Выведем формулу суммы кубов.

Выполняем умножение многочленов:

1. .
2. Что и требовалось доказать.
3. Выражение  называется неполным квадратом разности, так как отсутствует двойка перед произведением выражений.
4. Определение
5. Сумма кубов двух выражений есть произведение суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.
6. Пример 1 – упростить выражение:

Пусть  и , имеем:

• Это изучаемая формула – разности кубов:
• .
• Пример 2 – упростить выражение:
• .
• Пусть  и , имеем:
• .
• Это изучаемая формула – суммы кубов:
• .
• Пример 3 – разложить на множители:
• .
• Несложно заметить формулу разности кубов:
• .
• Применяем изучаемую формулу:
• .
• Пример 4 – разложить на множители:
• .
• Несложно заметить формулу разности кубов:
• .
• Применяем изучаемую формулу: 
• .
• Пример 5 – решить уравнение:
• .
• Пусть  и , имеем:
• .
• Это изучаемая формула – разности кубов:
• .
• Пример 6 – решить уравнение:
• .
• Пусть  и , имеем:
• .
• Это изучаемая формула – суммы кубов:

z3 = -13

z = -1

1. Пример 7 – вычислить при :
2. .
3. Пусть  и , имеем:
4. .
5. Это изучаемая формула – разности кубов:
6. .
7. Подставим значение переменной:
8. .
9. Пример 8: докажите, что .
10. Доказательство.
11. Применим формулу разности кубов и разложим заданное выражение на множители:
12. .

13. Вторую скобку оставим без изменений, выполним вычисления в первой скобке:
14. .
15. Получили произведение чисел, содержащее множитель 25, очевидно, что данное выражение кратно 25.
16. Вывод: на данном уроке мы рассмотрели формулы разности и суммы кубов и их применение для различных типов задач.

17. Список литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ. 
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 – М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

1. Задание 1 – упростить выражения:а) ; б) .
2. Задание 2 – разложить на множители:a) ; б) .
3. Задание 3 – № 882, 883 – Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/7-klass/mnogochleny-arifmeticheskie-operacii-nad-nimi/formuly-sokraschyonnogo-umnozheniya-raznost-kubov-i-summa-kubov

Сумма и разность кубов

   

Выражение отличается от правой части формулы квадрата разности только коэффициентом при Поэтому это выражение называют неполным квадратом разности.

Читают: сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

• Формулу суммы кубов можно получить из формулы куба суммы:
•    
• Выразим отсюда :
•    
•    

Разность кубов

Заменив в формуле суммы кубов на получим формулу разности кубов:

   

Выражение называют неполным квадратом суммы.

Читают: разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполных квадрат их суммы.

Пример 1. Разложить на множители многочлен

Решение. Заметим, что а Поэтому по формуле разности кубов получаем

   

Источник: https://umath.ru/theory/formuly-sokrashhyonnogo-umnozheniya/summa-i-raznost-kubov/

Формулы сокращенного умножения и другие полезные алгебраические тождества

• 1) Разность квадратов
• 2) Квадрат суммы
• 3) Квадрат разности
• 4) Сумма кубов
• 5) Разность кубов

Комментарий репетитора по математике:
Перед вами базовый школьный комплект формул, изучаемый в 7 классе по всем программам. Наибольшая доля задач в учебниках приходится на применение первых трех формул.

Трехчлены и называются неполными квадратами суммы и разности соответственно

Из методики репетитора по заучиванию названий: Примите к сведению, что названия всех формул даются по самой короткой их части.

Например, в формуле разность квадратов это левая часть, а в формуле квадрат суммы — правая. В начале названия формулы указывается последнее действие в этой короткой части.

Например, в формуле разность квадратов -это разность, а в формуле квадрат суммы — это квадрат.

Дополнительные формулы, изучаемые в математических классах:

1. 6) Куб суммы
2. 7) Куб разности
3. 8) Квадрат суммы трех чисел
4. Комментарий репетитора по математике: Если в последней формуле поставить знак минус, например перед b или c (или сразу оба знака), то в правой части знак минус появится перед тем удвоенным произведением, которое эту букву содержит (или два минуса дадут снова плюс).

Другие полезные алгебраические тождества:

выражение суммы квадратов двух чисел через их сумму

выражение суммы квадратов двух чисел через их разность

Комментарий репетитора по математике: Эти тождества часто используются составителями конкурсных задач по математике (в том числе и на ЕГЭ) для того, чтобы замаскировать в уравнениях и неравенствах замену переменной. Если в вашем задании присутствует сумма квадратов двух выражений попробуйте перейти к сумме или к разности.

• Бином Ньютона
• Разность n-ных степеней
• Сумма нечетных степеней
• Колпаков Александр Николаевич, профессиональный репетитор по математике Москва, Строгино.

Источник: https://ankolpakov.ru/2011/01/03/formuly-sokrashhennogo-umnozheniya-i-drugie-poleznye-algebraicheskie-tozhdestva/

Формулы сокращённого умножения

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо «a» и «b» в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Запомните!

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

a2 − b2 = (a − b)(a + b)

Примеры:

• 152 − 22 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
• 9a2 − 4b2с2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

Квадрат суммы

Запомните!

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Найти 1122.

• Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним. 112 = 100 + 1
• Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат. 1122 = (100 + 12)2
• Воспользуемся формулой квадрата суммы: 1122 = (100 + 12)2 = 1002 + 2 · 100 · 12 + 122 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

• (8a + с)2 = 64a2 + 16ac + c2

Предостережение!

(a + b)2 не равно (a2 + b2)

Квадрат разности

Запомните!

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

(a − b)2 = (b − a)2

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a − b)2 = a2 −2ab + b2 = b2 − 2ab + a2 = (b − a)2 Запомните!

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

• Выучите, что в начале идёт «a3».
• Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3.
• Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1. (a0 = 1, b0 = 1). Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени «a» и увеличение степени «b». В этом можно убедиться: (a + b)3 = a3b0 + 3a2b1 + 3a1b2 + b3a0 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Предостережение!

(a + b)3 не равно a3 + b3

Куб разности

Запомните!

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.

(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и «−». Перед первым членом «a3 » стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять «−», затем опять «+» и т.д.

(a − b)3 = + a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

Сумма кубов

Не путать с кубом суммы!

Запомните!

Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)

Сумма кубов — это произведение двух скобок.

• Первая скобка — сумма двух чисел.
• Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение: (a2− ab + b2) Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Запомните!

Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)

Будьте внимательны при записи знаков.

Применение формул сокращенного умножения

• Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.
• Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.
• Примеры:

• a2 + 2a + 1 = (a + 1)2
• (aс − 4b)(ac + 4b) = a2c2 − 16b2

Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе «Шпаргалки».

Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages%2Ffsu%2Fshort_multiplication_formula.php

Формулы сокращенного умножения

Откровенно говоря, эти формулы должен помнить любой ученик седьмого класса. Изучать алгебру даже на школьном уровне и не знать формулу разности квадратов или, скажем, квадрата суммы, просто невозможно.

Они постоянно встречаются при упрощении алгебраических выражений, при сокращении дробей и даже могут помочь в арифметических вычислениях. Ну, например, вам нужно вычислить в уме: 3,162 — 2 • 3,16 • 1,16 + 1,162.

Если вы начнете считать это «в лоб», получится долго и скучно, а если воспользуетесь формулой квадрата разности, ответ получите за 2 секунды!

Итак, семь формул «школьной» алгебры, которые должны знать все:

Название	Формула
Квадрат суммы	(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
Квадрат разности	(A — B)2 = A2 — 2AB + B2
Разность квадратов	(A — B)(A + B) = A2 — B2
Куб суммы	(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2+ B3
Куб разности	(A — B)3 = A3 — 3A2B + 3AB2 — B3
Сумма кубов	A3 + B3 = (A + B)(A2 — AB + B2)
Разность кубов	A3 — B3 = (A — B)(A2 + AB + B2)

Обратите внимание: никакой формулы суммы квадратов не существует! Не позволяйте своей фантазии заходить слишком далеко.

Как проще всего запомнить все эти формулы? Ну, скажем, увидеть определенные аналогии. Например, формула квадрата суммы похожа на формулу квадрата разности (отличие лишь в одном знаке), а формула куба суммы — на формулу куба разности. Далее, в составе формул разности кубов и суммы кубов мы видим нечто похожее на квадрат суммы и квадрат разности (только коэффициента 2 не хватает).

Но лучше всего эти формулы (как и любые другие!) запоминаются на практике. Решайте больше примеров на упрощение алгебраических выражений, и все ф-лы запомнятся сами собой.

Да, подобная закономерность существует. Выражение вида (A + B)n называется биномом Ньютона.

Я рекомендую пытливым школьникам самим вывести формулы для (A + B)4 и (A + B)5, а далее попытаться увидеть общий закон: сравнить, например, степень соответствующего бинома и степень каждого из слагаемых, которые получаются при раскрытии скобок; сравнить степень бинома с количеством слагаемых; попытаться найти закономерности в коэффициентах. Мы не будем сейчас углубляться в эту тему (для этого нужен отдельный разговор!), а лишь запишем готовый результат:

(A + B)n = An + Cn1An-1B + Cn2An-2B2 + … + CnkAn-kBk + … + Bn.

Здесь Cnk = n!/(k! • (n-k)!).

Напоминаю, что n! — это 1 • 2 • … • n — произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Называется это выражение факториалом числа n. Например, 4! = 1 • 2 • 3 • 4 = 24. Факториал нуля считается равным единице!

А что можно сказать по поводу разности квадратов, разности кубов и т. п.? Существует ли здесь какая-либо закономерность? Можно ли привести общую формулу для An — Bn?

Да, можно. Вот эта формула:

An — Bn = (A — В)(An-1 + An-2B + An-3B2 + … + Bn-1).

Более того, для нечетных степеней n существует аналогичная ф-ла и для суммы:

An + Bn = (A + В)(An-1 — An-2B + An-3B2 — … + Bn-1).

Мы не будем сейчас выводить эти формулы (кстати, это не очень сложно), но знать об их существовании, безусловно, полезно.

Источник: http://www.repetitor2000.ru/formuli_sokr_umnozheniya.html

Урок 30. сумма кубов. разность кубов — Алгебра — 7 класс — Российская электронная школа

• Алгебра
• 7 класс
• Урок № 30
• Сумма кубов. Разность кубов
• Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Формулы сокращённого умножения.
• Сумма кубов, разность кубов.
• Разложение многочлена на множители.
• Тождественные преобразования.
• Вычисление значения числовых выражений.

1. Тезаурус:
2. Формулы сокращённого умножения.

3. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
4. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
5. (a + b)(a – b) = a2 – b2
6. a3 + b3= (a + b)(a 2– ab + b2)
7. a3 – b3= (a – b)(a2 + ab + b2)
8. Применение:

• упрощение умножения многочленов;
• разложение многочлена на множители;
• вычисление значения числового выражения;
• тождественные преобразования.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

• Теоретический материал для самостоятельного изучения.
• Формула суммы кубов.
• Рассмотрим произведение;
• (a + b)(a2 – ab + b2).
• Применив правило умножения многочленов, и приведя подобные члены, получим:
• (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + ba2 – ab2 +b3 = a3 + b3
• a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
• Равенство называют формулой суммы кубов.
• Читается так: «сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел и неполного квадрата их разности».
• Формула разности кубов.
• Аналогично докажем формулу разности кубов.
• (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 – ba2 – ab2 – b3= a3 – b3
• Читается так: «разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел и неполного квадрата их суммы».
• a3 – b3= (a – b)(a2+ ab + b2)
• Выражения (a2+ ab + b2) и (a2– ab + b2) называют неполным квадратом суммы или разности.
• Формула задаёт разложение многочленов:
• a3 + b3 и a3 – b3 на два множителя:
• (a + b)(a2 – a b+ b2) и (a – b)(a2+ ab + b2).
• Формулы суммы и разности кубов используют для упрощения вычислений.
• Разбор решения заданий тренировочного модуля.
• Задача 1.
• Выполните умножение многочленов:

1. ( x + 3)(x2 –3x +9) = x3 + 33 = x3 + 27.
2. (2x – 3y)(4×2 +6xy + 9y2) = (2x)3 – (3y)3 = 8×3 –27y3.

Задача 2.

Разложите многочлен на множители:

1. x3 – 8 y3 = x3 – (2y)3 = (x – 2y) (x2 +2xy + 4y2 )
2. 64 a3 – 27c3 = (4a)3 – (3c)3 = (4a – 3c)(16a2 +12 ac + 9c2).

1. Задача 3.
2. Упростите выражение:
3. (x +2)(x2 – 2x +4) – x(x–3)(x+3).
4. Решение:
5. x3 + 23 – x(x2 – 9) = x3 + 8 – x3 + 9x = 8 + 9x.
6. Ответ: 8 + 9x.
7. Задача 4.
8. Доказать, что выражение 1233 + 273 кратно 50.
9. Используем формулу:
10. a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2),
11. получим: (123 + 27)(1232 –123 · 27 + 272) =150 · (1232 –123 · 27 + 272).

Произведение делится на 50, так как первый множитель делится на 50: (150 : 50 = 3). Нет необходимости считать значение выражения в скобках. Утверждение доказано.

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/7248/conspect/