Равенство средних кинетических энергий для молекул — справочник студента

Равенство средних кинетических энергий для молекул - Справочник студента Равенство средних кинетических энергий для молекул - Справочник студента Равенство средних кинетических энергий для молекул - Справочник студента Равенство средних кинетических энергий для молекул - Справочник студента Равенство средних кинетических энергий для молекул - Справочник студента Равенство средних кинетических энергий для молекул - Справочник студента Равенство средних кинетических энергий для молекул - Справочник студента Равенство средних кинетических энергий для молекул - Справочник студента Равенство средних кинетических энергий для молекул - Справочник студента Равенство средних кинетических энергий для молекул - Справочник студента

Средняя кинетическая энергия частицы. Распределение тепловой энергии по степеням свободы Среднюю кинетическую энергию движения молекул идеального газа можно определить по формуле: Число степеней свободы i определяется числом независимых переменных, однозначно определяющих положение и движение частицы в пространстве. На каждую степень свободы статистической системы приходится одна и та же энергия, равная В этом состоит суть теоремы о равнораспределении тепловой энергии по степеням свободы. Для сложных молекул, состоящих из нескольких атомов, число степеней свободы увеличивается за счёт вращательных и колебательных мод. Если пренебречь изменением потенциальной энергии взаимодействия частиц, то молекулы можно рассматривать как «жёсткие» . Для жестких двухатомных молекул число степеней свободы i равно 5 , из них 3 – поступательные (три независимые координаты х, y, z, описывающие положение частицы в пространстве) и 2 вращательные (две независимых оси вращения). Для жёстких трёхатомных и многоатомных молекул число степеней свободы 11 равно 6, из них 3 поступательных и 3 вращательных. Для жёстких одноатомных молекул число степеней свободы равно 3, и все они поступательные.

Энергия – величина аддитивная. Поэтому среднюю кинетическую энергию одного моля молекул можно определить, усреднив энергии всех частиц одного моля: Внутренняя энергия идеального газа Под внутренней энергией системы понимают суммарную энергию всех её структурных элементов.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Внутренняя энергия идеального газа складывается только из кинетических энергий молекул, так как потенциальной энергией их взаимодействия можно пренебречь. Внутренняя энергия идеального газа U для любого количества молей может быть определена через среднюю кинетическую энергию.

Так как средняя кинетическая энергия идеального газа зависит только от температуры и числа степеней свободы молекул, то и внутренняя энергия идеального газа также зависит от температуры и числа степеней свободы.

Изменение внутренней энергии идеального газа определяется только изменением температуры и не зависит ни от давления, ни от объёма: 12

13

Статистическое описание свойств идеального газа. Основные понятия теории вероятностей Случайным событием называют такое событие, которое при некоторых условиях может произойти или не произойти.

Относительной частотой реализации случайного события называют отношение числа n появления данного события к общему числу N проведённых испытаний, в каждом из которых могло проявиться или не проявиться данное событие.

Если число испытаний невелико, то относительные частоты появления события в каждой серии могут существенно отличаться одна от другой. Если же число опытов в сериях велико, то относительные частоты отличаются мало.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Взаимно обратные функции - справочник студента

Оценим за полчаса!

Опыт показывает, что можно говорить о существовании такой величины w , называемой вероятностью случайного события, что относительные частоты данного события при большом числе испытаний мало отличаются от этого числа w. 14

Пример. Пусть в некотором сосуде находится газ. При различных актах наблюдения молекула оказывается в различных точках сосуда. В этом случае всё пространство делят на небольшие объёмы Vi (i = 1, 2, 3, . . ), число таких объёмов стремится к бесконечности.

Пусть число актов наблюдений N. При каждом акте наблюдения молекула будет обнаруженной в одном из объёмов Vi. Пусть при N актах наблюдений (N→∞) молекула обнаружена Ni раз в объёме Vi.

Тогда вероятность обнаружения молекулы в объёме Vi равна Внутри сосуда эта вероятность даже при равных объёмах различна (не постоянна), она зависит от объёма Vi.

Поэтому для определения вероятности нахождения молекулы в объёме Vi используют понятие плотности вероятности, определяя её как предел отношения вероятности нахождения частицы в объёме Vi к величине этого объёма, при стремлении последнего к нулю: 15

Таким образом, плотность вероятности – это вероятность нахождения молекулы в бесконечно малом объёме вблизи некоторой точки, отнесённая к величине этого объёма, т. е. она определяется так же, как и другие «плотности» .

Для одномерного случая: Вблизи разных координат плотность вероятности может быть различной.

Если изобразить графически распределение плотностей вероятностей, то кривая зависимости будет называться кривой распределения плотностей вероятностей или дифференциальным законом распределения. Если произвести N наблюдений, то в бесконечно малом объёме d.

V в окрестностях точки (x, y, z) молекула будет обнаружена в d. N случаях: Для одномерного случая Поскольку число молекул очень велико, то величина имеет смысл вероятности нахождения молекулы вблизи точки с координатой x в интервале dx. 16

На рисунке изображено дифференциальное распределение случайной одномерной величины Х, при этом вероятность частицы быть обнаруженной в интервале x вблизи некоторого значения x численно равна площади заштрихованной криволинейной трапеции. Знание плотности вероятности позволяет найти вероятность для любой области. Для непрерывной случайной величины x, которая может принимать любые значения в интервале от (0, a) , среднее значение можно определить по формуле: 17

Подобные усреднения можно проводить как по ансамблю частиц, так и по времени. Возьмём очень большое число Na совершенно одинаковых сосудов с одинаковым числом молекул N в каждом из них. Совокупность таких статистических систем называется статистическим ансамблем (Дж. У.

Гиббс, конец XIX века). Вычисление среднего по ансамблю значения некоторой случайной величины x, связанной со свойствами молекул, производится по формуле: где Na – число систем в ансамбле, xi – значение случайной величины, характеризующей молекулу в i-ой системе ансамбля.

При большом Na , как это можно показать, среднее по ансамблю равно математическому ожиданию случайной величины х.

Вычислить среднее по времени значение случайной величины х в одной из систем ансамбля возможно, проследив за ней в течение очень большого промежутка времени: 18

Закон распределения по скоростям молекул газа, находящегося в термодинамическом равновесии (распределение Максвелла) 1. Распределение по компонентам скоростей φ(vi) Закон распределения по скоростям молекул газа, находящегося в термодинамическом равновесии, был найден Дж. К. Максвеллом в 1859 г. на основе представлений теории вероятностей. 19

2. Распределение по модулю скорости V 20

21

4. Распределение по кинетическим энергиям молекул Имеется в виду функция распределения по кинетическим энергиям поступательного движения молекул. Обозначив эту функцию через Ф(ε), где ε = mv 2 /2, воспользуемся равенством Здесь энергии ε соответствует скорость v, а интервалу dε – интервал dv. 22

Распределение Больцмана 23

24

25

26

Статистический смысл энтропии Ключевыми понятиями в статистической теории макроскопических систем являются понятия микроскопического и макроскопического состояния (или термодинамического состояния) системы. Микроскопическое состояние системы задается положением N молекул в пространстве (их радиус-векторами) и векторами скоростей.

Очевидно, что микроскопическое состояние хаотически изменяется со временем даже в случае термодинамически равновесных систем. При этом одному и тому же макроскопическому состоянию соответствует очень большое число различных микроскопических состояний, в которых может оказаться система.

Например, если задана внутренняя энергия системы U, то ей соответствует огромное число микроскопических состояний с различными наборами координат и скоростей молекул. 27

Назовем статистическим весом макроскопического состояния системы Ω число различных микроскопических состояний, которые соответствуют (доступны) данному макроскопическому состоянию. Предположим, что два макроскопических состояния системы 1 и 2 имеют статистические веса Ω(1) и Ω(2).

Тогда макроскопическое состояние, у которого статистический вес больше, является более хаотическим или менее упорядоченным. Таким образом, статистический вес может служить количественной мерой хаотичности макроскопического состояния.

Представим себе изолированную систему, состоящую из двух частей (подсистем). Подсистемы разделены жесткой теплопроводящей перегородкой, через которую они могут обмениваться энергией.

Через достаточно большое время заданная внутренняя энергия U перераспределится между подсистемами так, что установится тепловое равновесие, характеризуемое статистическим весом Ω(U 1, U 2). 28

29

Можно показать, что с точки зрения статистической механики равновесное состояние макроскопической системы при фиксированных внешних условиях (в данном случае задана полная энергия системы U) – это наиболее вероятное состояние, или состояние с максимально возможным статистическим весом.

Другие возможные (неравновесные) состояния имеют существенно меньший статистический вес, вероятность их появления очень мала. Таким образом, при заданных внешних условиях состояние термодинамического равновесия является наиболее неупорядоченным, наиболее хаотичным из всех возможных состояний.

Впервые этот вывод сделал австрийский физик Л. Больцман.

Он предположил также, что статистический вес макросостояния системы должен быть как-то связан с энтропией системы в этом состоянии, так как согласно второму началу термодинамики энтропия изолированной системы в равновесном состоянии максимальна. 30

Статистический вес не может быть просто пропорционален энтропии, так как энтропия – величина аддитивная, и энтропия полной системы S=S 1+S 2, а для статистического веса мы имеем Ω=Ω 1 • Ω 2.

Это означает, что нужно взять логарифм статистического весу в силу известных математических свойств логарифма и постараться уравнять размерности термодинамической и статистической энтропии. Л.

Читайте также:  Сверхпроводимость - справочник студента

Больцман предложил определить статистическую энтропию произвольного макроскопического состояния изолированной системы следующим образом: S=klogΩ, где k – постоянная Больцмана [Дж/К].

Данное соотношение между энтропией и статистическим весом (вероятностью) макроскопического состояния является фундаментальным соотношением статистической физики и называется формулой Больцмана. Вышеизложенное отнюдь не является выводом формулы Больцмана! Вывести формулу Больцмана вообще нельзя, в статистической физике она является определением статистической энтропии. 31

32

Источник: https://present5.com/lekciya-2-12-10-16-elementy-kineticheskoj/

Абсолютная температура. Температура — мера средней кинетической энергии молекул — Класс!ная физика

  • «Физика — 10 класс»
  • Абсолютная температура.
  • Вместо температуры Θ, выражаемой в энергетических единицах, введём температуру, выражаемую в привычных для нас градусах.
  • Будем считать величину Θ прямо пропорциональной температуре Т, измеряемой в градусах:
  • Θ = kТ,           (9.12)
  • где k — коэффициент пропорциональности.

>Определяемая равенством (9.

12) температура называется абсолютной.

Такое название, как мы сейчас увидим, имеет достаточные основания. Учитывая определение (9.12), получим

Равенство средних кинетических энергий для молекул - Справочник студента

По этой формуле вводится температурная шкала (в градусах), не зависящая от вещества, используемого для измерения температуры.

Температура, определяемая формулой (9.13), очевидно, не может быть отрицательной, так как все величины, стоящие в левой части этой формулы, заведомо положительны. Следовательно, наименьшим возможным значением температуры Т является значение Т = 0, если давление р или объём V равны нулю.

Предельную температуру, при которой давление идеального газа обращается в нуль при фиксированном объёме или при которой объём идеального газа стремится к нулю при неизменном давлении, называют абсолютным нулём температуры.

Это самая низкая температура в природе, та «наибольшая или последняя степень холода», существование которой предсказывал Ломоносов.

Английский учёный У. Томсон (лорд Кельвин) (1824—1907) ввёл абсолютную шкалу температур. Нулевая температура по абсолютной шкале (её называют также шкалой Кельвина) соответствует абсолютному нулю, а каждая единица температуры по этой шкале равна градусу по шкале Цельсия.

Единица абсолютной температуры в СИ называется кельвином (обозначается буквой К).

Постоянная Больцмана.

Определим коэффициент k в формуле (9.13) так, чтобы изменение температуры на один кельвин (1 К) было равно изменению температуры на один градус по шкале Цельсия (1 °С).

Мы знаем значения величины Θ при 0 °С и 100 °С (см. формулы (9.9) и (9.11)). Обозначим абсолютную температуру при 0 °С через Т1, а при 100 °С через Т2. Тогда согласно формуле (9.12)

  1. Θ100 — Θ0 = k(T2 -T1),
  2. Θ100 — Θ0 = k • 100 K = (5,14 — 3,76) • 10-21 Дж.
  3. Отсюда

Равенство средних кинетических энергий для молекул - Справочник студента

Коэффициент

k = 1,38 • 10-23 Дж/К         (9.14)

называется постоянной Больцмана в честь Л. Больцмана, одного из основателей молекулярно-кинетической теории газов.

Постоянная Больцмана связывает температуру Θ в энергетических единицах с температурой Т в кельвинах.

Равенство средних кинетических энергий для молекул - Справочник студента

Это одна из наиболее важных постоянных в молекулярно-кинетической теории.

Зная постоянную Больцмана, можно найти значение абсолютного нуля по шкале Цельсия. Для этого найдём сначала значение абсолютной температуры, соответствующее 0 °С. Так как при 0 °С kT1 = 3,76 • 10-21 Дж, то

Равенство средних кинетических энергий для молекул - Справочник студента

Один кельвин и один градус шкалы Цельсия совпадают. Поэтому любое значение абсолютной температуры Т будет на 273 градуса выше соответствующей температуры t по Цельсию:

Т (К) = (f + 273) (°С).         (9.15)

Изменение абсолютной температуры ΔТ равно изменению температуры по шкале Цельсия Δt: ΔТ(К) = Δt (°С).

На рисунке 9.5 для сравнения изображены абсолютная шкала и шкала Цельсия. Абсолютному нулю соответствует температура t = -273 °С.

В США используется шкала Фаренгейта. Точка замерзания воды по этой шкале 32 °F, а точка кипения 212 °Е Пересчёт температуры из шкалы Фаренгейта в шкалу Цельсия производится по формуле t(°C) = 5/9 (t(°F) — 32).

Отметим важнейший факт: абсолютный нуль температуры недостижим!

Температура — мера средней кинетической энергии молекул.

Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории (9.8) и определения температуры (9.13) вытекает важнейшее следствие: абсолютная температура есть мера средней кинетической энергии движения молекул.

Докажем это.