Распределение пуассона — справочник студента

Рассмотрим распределение Пуассона, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, моду. С помощью функции MS EXCEL ПУАССОН.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Произведем оценку параметра распределения, его математического ожидания и стандартного отклонения.

Сначала дадим сухое формальное определение распределения, затем приведем примеры ситуаций, когда распределение Пуассона (англ. Poisson distribution ) является адекватной моделью для описания случайной величины.

Если случайные события происходят в заданный период времени (или в определенном объеме вещества) со средней частотой λ( лямбда ), то число событий x , произошедших за этот период времени, будет иметь распределение Пуассона .

Плотность вероятности распределения Пуассона задается следующей формулой:

λ – единственный параметр распределения Пуассона .

СОВЕТ : подробнее о Функции распределения и Плотности вероятности см. статью Функция распределения и плотность вероятности в MS EXCEL .

Применение распределения Пуассона

Примеры, когда Распределение Пуассона является адекватной моделью:

• число вызовов, поступивших на телефонную станцию за определенный период времени;
• число частиц, подвергнувшихся радиоактивному распаду за определенный период времени;
• число дефектов в куске ткани фиксированной длины.

Распределение Пуассона является адекватной моделью, если выполняются следующие условия:

• события происходят независимо друг от друга, т.е. вероятность последующего события не зависит от предыдущего;
• средняя частота событий постоянна. Как следствие, вероятность события пропорциональна длине интервала наблюдения;
• два события не могут произойти одновременно;
• число событий должно принимать значения 0; 1; 2…

Примечание : Хорошей подсказкой, что наблюдаемая случайная величина имеет распределение Пуассона, является тот факт, что среднее значение выборки приблизительно равно дисперсии (см. ниже).

Ниже представлены примеры ситуаций, когда Распределение Пуассона не может быть применено:

• число студентов, которые выходят из университета в течение часа (т.к. средний поток студентов не постоянен: во время занятий студентов мало, а в перерыве между занятиями число студентов резко возрастает);
• число землетрясений амплитудой 5 баллов в год в Калифорнии (т.к. одно землетрясение может вызвать повторные толчки сходной амплитуды – события не независимы);
• число дней, которые пациенты проводят в отделении интенсивной терапии (т.к. число дней, которое пациенты проводят в отделении интенсивной терапии всегда больше 0).

Примечание : Распределение Пуассона является приближением более точных дискретных распределений: Гипергеометрического и Биномиального .

Примечание : О взаимосвязи распределения Пуассона и Биномиального распределения можно прочитать в статье Взаимосвязь некоторых распределений в MS EXCEL . О взаимосвязи распределения Пуассона и Экспоненциального распределения можно прочитать в статье про Экспоненциальное распределение .

Распределение Пуассона в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для Распределения Пуассона имеется функция ПУАССОН.РАСП() , английское название — POISSON.

DIST(), которая позволяет вычислить не только вероятность того, что за заданный период времени произойдет х событий (функцию плотности вероятности p(x), см.

До MS EXCEL 2010 в EXCEL была функция ПУАССОН() , которая также позволяет вычислить функцию распределения и плотность вероятности p(x). ПУАССОН() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

• В файле примера приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .
• Распределение Пуассона имеет скошенную форму (длинный хвост справа у функции вероятности), но при увеличении параметра λ становится все более симметричным.

Примечание : Для построения интегральной функции распределения идеально подходит диаграмма типа График , для плотности распределения – Гистограмма с группировкой . Подробнее о построении диаграмм читайте статью Основные типы диаграмм .

Примечание : Среднее и дисперсия (квадрат стандартного отклонения ) равны параметру распределения Пуассона – λ (см. файл примера лист Пример ).

Задача

1. Типичным применением Распределения Пуассона в контроле качества является модель количества дефектов, которые могут появиться в приборе или устройстве.
2. Например, при среднем количестве дефектов в микросхеме λ (лямбда) равном 4, вероятность, что случайно выбранная микросхема будет иметь 2 или меньше дефектов, равна: = ПУАССОН.

   РАСП(2;4;ИСТИНА)=0,2381

3. Третий параметр в функции установлен = ИСТИНА, поэтому функция вернет интегральную функцию распределения , то есть вероятность того, что число случайных событий окажется в диапазоне от 0 до 4 включительно.
4. Вычисления в этом случае производятся по формуле:

• Вероятность того, что случайно выбранная микросхема будет иметь ровно 2 дефекта, равна: = ПУАССОН.РАСП(2;4;ЛОЖЬ)=0,1465
• Третий параметр в функции установлен = ЛОЖЬ, поэтому функция вернет плотность вероятности.
• Вероятность того, что случайно выбранная микросхема будет иметь больше 2-х дефектов, равна: =1-ПУАССОН.РАСП(2;4;ИСТИНА) =0,8535

Примечание : Если x не является целым числом, то при вычислении формулы дробная часть числа отбрасывается . Формулы =ПУАССОН.РАСП( 2 ; 4; ЛОЖЬ) и =ПУАССОН.РАСП( 2,9 ; 4; ЛОЖЬ) вернут одинаковый результат.

Генерация случайных чисел и оценка λ

1. С помощью надстройки Пакет анализа можно сгенерировать случайные числа, извлеченные из распределения Пуассона .
2. Сгенерируем 3 массива по 100 чисел с параметром λ=5.

   Для этого в окне Генерация случайных чисел установим следующие параметры:

В итоге будем иметь 3 столбца чисел, на основании которых можно оценить параметр λ для каждого массива с помощью функции СРЗНАЧ() , см. файл примера лист Генерация .

Связь Распределения Пуассона с Биномиальным и Нормальным распределением

Распределение Пуассона является предельным случаем Биномиального распределения , при условии, если параметр n Биномиального распределения стремится к бесконечности, а p – к 0.

Можно сформулировать условия, когда приближение распределением Пуассона работает хорошо:

• p (чем меньше p и больше n, тем приближение точнее);
• p >0,9 (учитывая, что q =1- p , вычисления в этом случае необходимо производить через q (а х нужно заменить на n — x ). Следовательно, чем меньше q и больше n , тем приближение точнее).

Примечание : Если 0,1

Источник: https://excel2.ru/articles/raspredelenie-puassona-diskretnye-raspredeleniya-v-ms-excel

Распределение Пуассона

Если у Вашего провайдера происходят обрывы в среднем на 20 минут в неделю, то какова вероятность, что сегодня интернета не будет целый час? 22.3%! А вот на два часа мы останемся без интернета с вероятностью только 4.3%. Итак, распределение Пуассона как раз для этого, зная среднее значение, мы можем получить вероятность, что событие произойдёт за интересующий нас период.

Вероятность (в общем)

Очень важная вероятность, используется буквально ежедневно на производстве и в сфере обслуживания и других науках. Суть очень проста: если мы знаем вероятность события и если такие события происходят независимо друг от друга, то мы можем узнать:

• a. Вероятность, что произойдёт N событий
• b. Вероятность, что произойдёт меньше или больше чем N событий

Вероятность (конкретный случай)

Пример

На заводе производят 1000 метров кабеля в день, стоимостью 500 рублей за 1 м. В среднем обнаруживается один брак на 300 метров произведённого и тогда метр провода обрезается. Какова вероятность, что за три дня завод потеряет больше 7000 рублей?

Вероятность, что провод окажется бракованным равна 1/300 ~ 0.0033. Потери завода на 7000 рублей — это 14 бракованных метров. Параметр лямбда для трёх дней равен: λ 3000*0.0033 = 10.

Куммулятивное значение распределения Пуассона для λ = 10 равно F(14) = 0.9165, откуда вероятность получить больше 14 бракованных метров за три дня равна 1-0.9165 = 0.08835 = 8.3%.

Главная задача таких распределений — возможность предсказать потери, составлять планы на будущее.

Распределение Пуассона — вероятностное распределение дискретного типа, моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга. Другими словами, если событие происходит с некоторой периодичностью, то мы можем определить вероятность, что такое событие произойдёт n раз за интересующий нас период.

Параметр лямбда — λ

Распределение Пуассона зависит только от одного параметра — λ, данный параметр зависит от вероятности успешного события и общего количества событий. Успешное событие: распределение Пуассона применяется только тогда, когда есть разделение на результат «да» и «нет», например, лампочка перегорела: да — успешное событие; шина прокололась: да — успешное событие и так далее.

Успешное событие не то же самое, что желаемое

λ = n*p, где p — вероятность успешного события, а n — общее количество событий, для которых ведётся расчёт. Например, если гроза проходит раз в месяц и мы хотим посчитать вероятность грозы за 24 месяца, то вероятность равна единице, а количество событий равно 24, откуда лямбда равна 24.

Можно считать по-другому, вероятность грозы в конкретный день — 1/30, количество событий — 730 дней, лямбда равна 24.3.

В тысяче ящиков с антоновками в одном попадается голден, какова вероятность, что в 5000 ящиках будет меньше 4 ящиков с яблоком голден?

Вероятность ящика с яблоком голден — 0.1% (1 ящик на 1000 = 1/1000, если в процентах — 1/1000 * 100 = 0.1%) Общее количество событий — 5000 ящиков Из вышесказанного следует:

λ = 5000 * 0.001 = 5

Откуда вероятность равна 26.5% (калькулятор ниже).

Функция вероятности (формула Пуассона)

Вероятность, что успешное событие произойдёт k раз:

f(k) = P(k) = λk * e-λ / k!

Пример

В тысяче ящиков с антоновками в одном попадается голден, какова вероятность, что в 5000 ящиках будет 2 ящика с яблоком голден?

Из предыдущего примера мы знаем, что λ=5, теперь мы ищем вероятность, что k будет равно 2, для этого используем формулу функции вероятности:

f(4) = P(k = 4) = λk e-λ / k! = 52 * e-5 / 2! = 0.084 = 8.4%

Закон распределения

F(n) = P(k ≤ n) = Г (k+1,λ) / k!

График распределения Пуассона

λ =

Обратите внимание, что при увеличении λ, график распределения становится похож на график нормального распределения.

• n
• p
• λ
• k1
• k2
• P(k=3)
• 5000
• 0.1%
• 5
• 3
• P(k≥3)
• 0.734
• 5000
• 0.0001
• 5
• 3
• 3
• P(k=3)
• 0.14
• 5000
• 0.1%
• 5
• 3
• P(k≤3)
• 0.265

Функция для нахождения значения распределения Пуассона в эксель так и называется, «ПУАССОН». Функция принимает два обязательных параметра — число и среднее, а также необязательный параметр «Интегральное значение», так, что бы получить значение функции вероятности P(≤n), введите формулу:

=ПУАССОН(n;λ) =POISSON(n;λ)

Если необхоидмо получить точечное значение, т.е. только для n:

=ПУАССОН(n;λ;ЛОЖЬ) =POISSON(n;λ,FALSE)

Пример: для распределения с параметром λ=5 узнать вероятность происхождения трёх событий:

=ПУАССОН(3;5;ЛОЖЬ) =POISSON(3;5;FALSE)

Вам понравилась статья? Да / Нет

Источник: https://k-tree.ru/articles/statistics/poisson.php

Распределение Пуассона (стр. 1 из 4)

Введение

Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. На сегодняшний день это полноценная наука, имеющая большое практическое значение.

История теории вероятности восходит к XVII веку, когда были предприняты первые попытки систематического исследования задач, относящихся к массовым случайным явлениям, и появился соответствующий математический аппарат. С тех пор, многие основы были разработаны и углублены до нынешних понятий, были открыты другие важные законы и закономерности. Множество ученых работало и работает над проблемами теории вероятностей.

Число наступлений определённого случайного события за единицу времени, когда факт наступления этого события в данном эксперименте не зависят от того, сколько раз и в какие моменты времени оно осуществлялось в прошлом, и не влияет на будущее. А испытания производятся в стационарных условиях, то для описания распределения такой случайной величины обычно используют закон Пуассона (данное распределение впервые предложено и опубликовано этим учёным в 1837 г.).

• Этот закон можно также описывать как предельный случай биноминального распределения, когда вероятность p осуществления интересующего нас события в единичном эксперименте очень мала, но число экспериментов m, производимых в единицу времени, достаточно велико, а именно такое, что в процессе p
• Поэтому закон Пуассона часто называют также законом редких событий.
• Распределение Пуассона в теории вероятностей
• Функция и ряд распределения
• Распределение Пуассона – это частный случай биномиального распределения (при n >> 0 и при p –> 0 (редкие события)).
• Из математики известна формула, позволяющая примерно подсчитать значение любого члена биномиального распределения:

0 и m произведение mp стремится к некоторой положительной постоянной величине (т.е. mp ).

где a = n · p – параметр Пуассона (математическое ожидание), а дисперсия равна математическому ожиданию. Приведем математические выкладки, поясняющие этот переход. Биномиальный закон распределения

Pm = Cnm · pm · (1 – p)n – m

может быть написан, если положить p = a/n, в виде

или

Так как p очень мало, то следует принимать во внимание только числа m, малые по сравнению с n. Произведение

весьма близко к единице. Это же относится к величине

очень близка к e–a. Отсюда получаем формулу:

число Эйлера (2,71…). ,

Для производящей функции

величины имеем:

Интегральная функция вероятности распределения равна

Классическим примером случайной величины, распределенной по Пуассону, является количество машин, проезжающих через какой-либо участок дороги за заданный период времен.

Также можно отметить такие примеры, как количество звезд на участке неба заданной величины, количество ошибок в тексте заданной длины, количество телефонных звонков в call-центре или количество обращений к веб-серверу за заданный период времени.

Ряд распределения случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, выглядит следующим образом:

На рис. 1 представлены многоугольники распределения случайной величины Х по закону Пуассона, соответствующие различным значениям параметра а.

Для начала убедимся, что последовательность вероятностей, может представлять собой ряд распределения, т.е. что сумма всех вероятностей Рm равна единице.

1. Используем разложение функции ех в ряд Маклорена:
2. Известно, что этот ряд сходится при любом значении х, поэтому, взяв х=а, получим
3. следовательно
4. Числовые характеристики положения о распределении Пуассона
5. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
6. По определению, когда дискретная случайная величина принимает счетное множество значений:
7. Первый член суммы (соответствующий m=0) равен нулю, следовательно, суммирование можно начинать с m=1:
8. Таким образом, параметр а представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной величины Х.
9. Кроме математического ожидания, положение случайной величины характеризуется модой и медианой.
10. Модой случайной величины называется её наиболее вероятное значение.

Для непрерывной величины модой называется точкой локального максимума функции плотности распределения вероятностей. Если многоугольник или кривая распределения имеют один максимум (рис.

2 а), то распределение называется унимодальным, при наличии более одного максимума – мультимодальным (в частности, распределение, имеющее две моды, называется бимодальным).

Распределение, имеющее минимум, называется антимодальным (рис. 2 б)

• F(x) Pi
• xmod x 0 x1 x2 x3 x4 x
• Наивероятнейшим значением случайной величины называется мода, доставляющая глобальный максимум вероятности для дискретной случайной величины или плотности распределения для непрерывной случайной величины.

Медиана – это такое значение хl, которое делит площадь под графиком плотности вероятности пополам, т.е. медиана является любым корнем уравнения. Математическое ожидание может не существовать, а медиана существует всегда и может быть неоднозначно определенной.

Медианой случайной величины

называется такое её значение = x med, что P ( < x med) = Р ( > x med) = .

1. Числовые характеристики разброса
2. Дисперсией случайной величины Х называют математической ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
3. Однако, удобнее ее вычислять по формуле:
4. Поэтому найдем сначала второй начальный момент величины Х:
5. По ранее доказанному
6. кроме того,

Источник: https://mirznanii.com/a/315154/raspredelenie-puassona

ПОИСК

    Кроме экспоненциального и нормального распределений плотности вероятности отказов используются и другие распределения — биноминальное, распределение Пуассона, распределение Вейбулла и т. д. [c.59]

    Математик.

Распределение Пуассона для числа взаимодействий частиц вытекает из статистической независимости различных взаимодействий, связанных с диффузионным процессом микродвижений [Хинчин, 1963 Гнеденко, Коваленко, 1987]. [c.

117]

    Получаемый продукт также состоит из смеси олефинов с разной длиной цепи, и его состав соответствует закону распределения Пуассона. Однако средняя степень олигомеризации в данном случае зависит от соотношения скоростей реакций вытеснения и роста цепи. Так, при повышении температуры и снижении давления этилена (т. е. при уменьшении его концентрации в жидкой фазе) средняя степень олигомеризации падает, и наоборот. [c.314]

    Известно, что сумма случайных величин, подчиняющихся распределению Пуассона, также подчиняется распределению Пуассона, причем параметр распределения суммы равен сумме параметров распределения слагаемых. [c.86]

    Здесь а — так называемое математическое ожидание случайной величины I, подчиняющейся закону распределения Пуассона, и этот единственный параметр определяет распределение однозначно. [c.251]

    Для случая очень крупной насадки, когда Ф О, формулу (13.94) можно заменить формулой распределения Пуассона  [c.267]

    Распределение Пуассона описывает процессы, которые относятся к так называемым редким событиям. Функция распределения случайной величины, подчиняющаяся закону Пуассона, имеет вид [c.112]

    Демограф. Но почему именно распределению Пуассона  [c.117]

    Демограф. Ладно. Но зачем нам распределение Пуассона  [c.117]

    Так как число взаимодействий следует распределению Пуассона, то [c.120]

    Вариант «Пуассон» является наиболее общим. Он связан только с предположением, что число взаимодействий частиц следует распределению Пуассона. Отсюда его название. Два других варианта используют дополнительные упрощающие предположения, о которых мы поговорим позднее. [c.121]

    Чтобы убедиться в объективности статистических оценок НЬ-параметра по данным демографических наблюдений возрастной силы смертности FM(J) (5.2), мы рассмотрели несколько вариантов ее математических выражений.

Эги варианты основаны на общем допущении, согласно которому те процессы, что приводят к гибели живой организм, обычно начинаются с нарушения его локальной устойчивости (на уровне клетки).

Такие нарушения связаны со случайным выходом числа взаимодействий в организме при разных процессах за верхние нли нижние критические уровни. При этом число взаимодействий (за характерное время для каждого процесса) следует распределению Пуассона, а среднее шсло взаимодействий, согласно (2.

    Флуктуации концентрации по Смолуховскому характеризуются вероятностью w n) наблюдения в изучаемом микрообъеме числа частиц п, отличного от среднего v. При малых п вероятность w(n) описывается функцией распределения Пуассона  [c.89]

    Если п очень велико и и/ое очень мало, т. е. при соблюдении обоих условий, которые должны выполняться в хроматографии, уравнение (372) переходит в выражение распределения Пуассона  [c.236]

    Число всевозможных типов распределения случайных величин неограниченно, но на практике лишь немногие из них встречаются достаточно часто.

Среди наиболее распространенных можно упомянуть биномиальное распределение и распределение Пуассона (для дискретных случайных величин), а также равномерное и экспоненциальное распределение непрерывных случайных величин.

Особое место в силу своей теоретической и практической значимости занимает нормальное распределение Гаусса — Лапласа, которому подчиняется поведение многих случайных величин и процессов, протекающих в природе. [c.820]

    В результате для N к тарелки получим искомое уравнение выходной кривой распределения Пуассона  [c.287]

    Здесь N1 — функция распределения полимера по молекулярным массам — имеет свое выражение, например, для наиболее вероятного распределения или для распределения Пуассона. [c.113]

    Используя распределение Пуассона, которое достаточно часто применяется при изучении полимерных смесей и является более узким, чем наиболее вероятное распределение,, мольная доля -мера дается соотношением [5] [c.114]

    Как и ранее (для наиболее вероятного распределения), отношения (95) и (96) стремятся к единице при возрастании степени полимеризации (л — оо).

В работе [5] показано, что при использовании субстратов со средней степенью полимеризации 20 и выше и когда степени полимеризации их подчиняются распределению Пуассона, величины кинетических параметров их неотличимы от параметров для деструкции гомополимеров с определенной степенью полимеризации.

Для случая же НВР отклонения кинетических параметров для расщепления чистых гомополимеров (с определенной степенью полимеризации) и смешанных гомополимеров наблюдаются вплоть до высоких степеней полимеризации, достигающих 100 и более, но почти всегда ошибка не будет превышать 10% (при х>10). [c.114]

    Приведем здесь только один из многочисленных законов распределения случайных величин — закон распределения Пуассона случайная величина X, принимающая значения О, 1,2,…, имеет распределение Пуассона с параметром Х =пр, если [c.133]

    Распределение Пуассона касается случая редких событий. Им пользуются, когда число испытаний и велико, а вероятность р успеха мала, причем произведение пр имеет порядок нескольких единиц. [c.133]

    Пусть случайная величина подчиняется распределению Пуассона с известным параметром Я. Найти математическое ожидание [c.140]

    Выражение (V. 11) шляется фундаментальным соотношением теории флуктуаций. По М. Смолуховскому, вероятность наблюдения числа частиц Ж, отличного от среднего числа наблюдаемых ча.стиц Ж. описывается функцией распределения Пуассона - [c.180]

Кроме того, влияние оказывает также тщательность работы химика-аналитика. Более тщательная работа приводит к уменьшению случайных погрешностей, т. е. к улучшению воспроизводимости. Однако полностью избавиться от случайных погрешностей нельзя.

Их возникновение вызывается многими случайными причинами, выяснить которые невозможно. Невозможно также заранее предсказать, чему будет равна случайная погрешность результата следующего повторного определения.

Однако при выполнении в идентичных условиях большого числа повторных определений обнаруживается зависимость частоты (вероятности) появления отклонений от их величины. Обычно эта закономерность соответствует гауссовому или нормальному распределению.

Лишь в случае таких методов анализа, в которых измерения ведутся счетным методом (подсчет фотонов или импульсов, вызванных отдельными частицами), наблюдается другая закономерность, называемая распределением Пуассона. [c.137]

    Другой важный пример неравномерного дискретного распределения случайной величины — распределение Пуассона. Случайная величина х принимает любые целочисленные значения (О, 1, [c.67]

    С помощью распределения Пуассона решается ряд задач, относящихся к разряду задач на массовое обслуживание . [c.67]

    Последнее свойство справедливо только для независимых случайных величин.

Величины являются независимыми, если каждая из них принимает то или иное значение независимо от того, какое-значение приняла другая величина.

    Если допустить, что полидисперсность полимергомологов соответствует распределению Пуассона, то количество фракций отдельных полимергомологов можно вычислить по формуле [15]  [c.73]

    Аналитик в рентгеноспектральном анализе имеет дело с распределением Пуассона для малых величин счета. [c.132]

    В инженерной практике предельным случаем биноминального распределения вероятностей является так называемое распределение Пуассона. Пуассон установил, что правая часть уравнения (12-18) при р О, га- оо и рп = а = onst, стремится к предельному значению  [c.251]

    При отсутствии агентов обрыва или переноса растущей полимерной цепи под влиянием лптийалкилов образуются полиизопрены с очень узкпм молекулярно-массовым распределенпем, которое приближается к распределению Пуассона.

Такой характер ММР свидетельствует о быстром инициировании реакции полимеризации.

В тех случаях, когда скорости стадий инициирования и роста цепи сопоставимы (полимеризация литийбутилом в цикло-гексане [39]) молекулярно-массовое распределение расширяется до значений Ми,/М = 1,5 — 2,5. [c.210]

    При этом содержание алкильных групп с разной длиной цепи соответствует распределению Пуассона, которое встречалось раньше п )и синтезе неионогенных ПАВ (см. рис. 84, стр. 293).

В результате продукт со средней степенью олигомеризации 7, наиболее подходящий для синтеза а-олефинов, предназначаемых для получения ПАВ, содержит значительное число олефинов С4—Сщ и Сао.

    Согласно теории Буше—Халпина [69], разрушение эластомеров определяется ограниченной вязкоупругой растяжимостью каучукоподобных нитей. Авторы данной концепции предполагают, что большая часть волокон на вершине растущей трещины натянута до своего критического удлинения Кс,- Образец разрушается при большей деформации Хь, когда коэффициент концентрации напряжений.

Предложенная теория позволяет рассчитать удлинение при разрыве кь, если известна ползучесть. При этом не учитывается зависимость концентрации напряжения от длины растущей трещины или уменьшения долговечности одного волокна в процессе ползучести образца.

Предполагается, что все волокна придется вытянуть от практически нулевого удлинения до Кс-В первую очередь это удлинение будет влиять на численные значения д, которые можно рассчитать путем построения экспериментальных поверхностей ослабления материала.

Группа из д волокон при статистическом развитии событий, когда разрушение одного из них может повлечь за собой полное разрушение последующего, определяется средней долговечностью < ь>, равной и распределением Пуассона для (ь.  [c.91]

    Во всех физиологических хфоцессах числа взаимодействий частиц следуют распределению Пуассона, а их средние значения, согласно (2.5), пропорциональны Я-параметру [c.117]

    П0ДЧВШИ9ТСЯ распределению Пуассона,параметры которого определяют технологические характеристшсв ВДС в термодеструктивных процессах. Предложены простые способы оценки указанных параметров технологичности НДС и групповых компонентов и способ расчета интегральной интенсивности поглощения. [c.149]

    Вы.ражбние (V—20а) является фундаментальным соотношением теории флуктуаций, развитой Смолуховским. По Смолуховскому, пр.и среднем числе наблюдаемых частиц V вероятность наблюдения числа частиц, отличного от среднего, описывается функцией распределения Пуассона  [c.148]

Выяснить и устранить причины случайных отклонений невозможно. Нельзя также заранее предсказать, чему будет равно случайное отклонение каждого результата следующих определений. (Эднако при выполнении большого числа определений проявляется зависимость частоты появления отклонения от его величины.

Обычно частота появления отклонения при этом подчиняется нормальному закону распределения (распределению Гаусса). Лишь в случае таких методов анализа, когда измерения ведутся подсчетом импульсов (в радиохимии), подсчетом квантов (в рентгеноспектральном анализе) и т. п.

, она подчиняется другому закону распределения, называемому распределением Пуассона. [c.132]

    Суммирование следует проводить до тех пор, пока сумма всех вероятностей от Ро до Рк, max, не достигнет 0,99. Всем к > femax отвечают такие значения активности, вероятность реализации которых в соответствии с распределением Пуассона < 0,01, т. е. все k > max можно приписать действию постороннего а-излучателя. [c.102]

    Из фундаментальных соотношений теории случайных марковских процессов выведены стохастические интегродифференциальные (скачкообразные), разрывные (дискретно-непрерывные), диффузионные и матричные (дискретные в пространстве состояний по времени) модели кинетики механодеструкции, описывающие эволюцию дифференциальных функций числового распределения макромолекул полимеров по длинам. Проведен последовательный анализ выведенных уравнений кинетики механодеструкции. Он показал, что при некоторых упрощающих предположениях решениями этих уравнений являются известные в литературе функции распределения Пуассона, Танга, Кремера-Лансинга и др. С помощью математического аппарата теории дискретных марковских процессов построены модели кинетики структурных превращений в ферритах -шпинелях, активированных в планетарных машинах разработана обобщенная модель кинетики механорасщепления зерен на примере природного полисахарида — крахмала. Из основного кинетического уравнения Паули выведены стохастические модели ряда элементарных химических реакций, протекающих в дисперсных системах при механическом нагружении частиц твердой фазы. Проведен анализ выведенных уравнений и выявлены преимущества статистического метода описания кинетики химических реакций перед феноменологическим. [c.19]

Источник: https://www.chem21.info/info/10151/

Дополнительные характеристики распределения Пуассона

I. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины Хk:

?k =M(Xk).

В частности, начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию:

?1=M(X)=a.

II.Центральным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины [X-M(X)]k:

?k=M [X-M(X)]k.

В частности, центральный момент 1-ого порядка равен 0:

?1=М [X-M(X)]=0,

центральный момент 2-ого порядка равен дисперсии:

?2=M [X-M(X)]2=a.

III. Для случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, найдем вероятность того, чтоона примет значение не меньшее заданногоk. Эту вероятность обозначим Rk:

Очевидно, вероятность Rk может быть вычислена как сумма

Однако значительно проще определить ее из вероятности противоположного события:

В частности, вероятность того, что величина Х примет положительное значение, выражается формулой

Распределение Пуассона в математической статистике

Наилучшей точечной оценкой параметра является

Т.е. , или .

Отсюда следует, что

.

Интервальная оценка распределения Пуассона

Пусть х1, х2, … хn — независимые наблюдения, каждое из которых распределено по закону Пуассона, т.е. при > 0 вероятность

• Р,
• где х = 0,1,2, … и — неизвестный параметр (интенсивность текучести).
• Оценим параметр с помощью доверительного интервала.
• Тогда доверительный интервал для , соответствующий доверительной вероятности , при достаточно большом n будет иметь вид

1. для любого значения . Поэтому, если n достаточно велико и
2. ,
3. то

.

Пример условия, при котором возникает распределение Пуассона

Как уже говорилось, многие задачи практики приводят к распределению Пуассона. Рассмотрим одну из типичных задач такого рода.

Пусть на оси абсцисс Ох случайным образом распределяются точки (рис. 3). Допустим, что случайное распределение точек удовлетворяет следующим условиям:

Вероятность попадания того или иного числа точек на отрезок l зависит только от длины этого отрезка, но не зависит от его положения на оси абсцисс. Иными словами, точки распределены на оси абсцисс с одинаковой средней плотностью. Обозначим эту плотность, т.е. математическое ожидание числа точек, приходящихся на единицу длины, через ?.

Вероятность попадания на малый участок ?х двух или более точек пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одной точки (это условие означает практическую невозможность совпадения двух или более точек).

Выделим на оси абсцисс определенный отрезок длины l и рассмотрим дискретную случайную величину Х — число точек, попадающих на этот отрезок. Возможные значения величины будут 0,1,2,…, m,… Так как точки попадают на отрезок независимо друг от друга, то теоретически не исключено, что их там окажется сколь угодно много, т.е. данный ряд продолжается неограниченно.

Докажем, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона. Для этого надо подсчитать вероятность Рm того, что на отрезок попадет ровно m точек.

Сначала решим более простую задачу. Рассмотрим на оси Ох малый участок ?х и вычислим вероятность того, что на этот участок попадет хотя бы одна точка. Будем рассуждать следующим образом. Математическое ожидание числа точек, попадающих на этот участок, очевидно, равно ???х (т. к.

на единицу длины попадает в среднем ? точек). Согласно условию 3 для малого отрезка ?х можно пренебречь возможностью попадания на него двух или больше точек.

Поэтому математическое ожидание ???х числа точек, попадающих на участок ?х, будет приближенно равно вероятности попадания на него одной точки (или, что в данных условиях равнозначно, хотя бы одной).

Таким образом, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, при ?х>0 можно считать вероятность того, что на участок ?х попадет одна (хотя бы одна) точка, равной ???х, а вероятность того, что не попадет ни одной, равной 1-c??х.

Разделим отрезок l на n равных частей длиной Условимся называть элементарный отрезок ?х «пустым», если в него не попало ни одной точки, и «занятым», если в него попала хотя бы одна.

Согласно вышедоказанному вероятность того, что отрезок ?х окажется «занятым», приближенно равна ???х=; вероятность того, что он окажется «пустым», равна 1-.

Так как, согласно условию 2, попадания точек в неперекрывающиеся отрезки независимы, то наши n отрезков можно рассмотреть как n независимых «опытов», в каждом из которых отрезок может быть «занят» с вероятностью p=. Найдем вероятность того, что среди n отрезков будет ровно m «занятых». По теореме о повторных независимых испытаниях эта вероятность равна

,

или обозначим ?l=a:

.

При достаточно большом n эта вероятность приближенно равна вероятности попадания на отрезок l ровно m точек, т. к. попадание двух или больше точек на отрезок ?х имеет пренебрежимо малую вероятность. Для того, чтобы найти точное значение Рm, нужно перейти к пределу при n>?:

Учитывая, что

и

,

получаем, что искомая вероятность выражается формулой

где а=?l, т.е. величина Х распределена по закону Пуассона с параметром а=?l.

Надо отметить, что величина а по смыслу представляет собой среднее число точек, приходящееся на отрезок l.

Величина R1 (вероятность того, что величина Х примет положительное значение) в данном случае выражает вероятность того, что на отрезок l попадет хотя бы одна точка: R1=1-e-a.

Таким образом, мы убедились, что распределение Пуассона возникает там, где какие-то точки (или другие элементы) занимают случайное положение независимо друг от друга, и подсчитывается количество этих точек, попавших в какую-то область.

Нетрудно доказать, что если соблюдены условия:

точки распределены в поле статистически равномерно со средней плотностью ?;

точки попадают в неперекрывающиеся области независимым образом;

точки появляются поодиночке, а не парами, тройками и т.д.,

то число точек Х, попавших в любую область D (плоскую или пространственную), распределяется по закону Пуассона:

,

где а — среднее число точек, попадающих в область D.

Для пуассоновского распределения числа точек, попадающих в отрезок или область, условие постоянной плотности (?=const) несущественно.

Если выполнены два других условия, то закон Пуассона все-равно имеет место, только параметр а в нем приобретает другое выражение: он получается не простым умножением плотности ? на длину, площадь или объем, а интегрированием переменной плотности по отрезку, площади или объему.

Источник: https://studbooks.net/2261341/matematika_himiya_fizika/dopolnitelnye_harakteristiki_raspredeleniya_puassona