Простейший поток событий — справочник студента

Определение. Потоком событий называется последовательность событий, происходящих один за другим в какие — то моменты времени.

• Характер событий, образующих поток может быть различным, а если события отличаются друг от друга только моментом времени, в который они происходят, то такой поток событий называется Однородным.
• Однородный поток можно изобразить последовательностью точек на оси, соответствующей времени:
• T1 t2 tn
• t

Определение. Поток событий называется Регулярным, если события следует одно за другим через строго определенные промежутки времени.

Определение. Поток событий называется Стационарным, если вероятность попадания того ли иного числа событий на участок времени t зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси расположен этот участок.

Стационарность потока событий означает, что плотность потока постоянна, отсутствуют промежутки времени, в течение которых событий больше чем обычно. Классический пример – “час пик” на транспорте.

Определение. Поток событий называется Потоком без последействий, если для любых неперекрещивающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, опадающих на другие.

Отсутствие последействий означает, что заявки в систему поступают независимо друг от друга. Поток выходных событий систем массового обслуживания обычно имеет последействие, даже если входной поток его не имеет.

Пример – вход пассажиров на станцию метро – поток без последействия, т. к. причины прихода отдельного пассажира не связаны с причинами прихода всех остальных, а выход пассажиров со станции – поток с последействием, т. к.

он обусловлен прибытием поезда.

Определение. Поток событий называется Ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок DT двух или более событий достаточно мало по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Условие ординарности означает, что заявки на систему приходят по одному, а не парами, тройками и т. д. Однако, если заявки поступают Только парами, Только тройками и т. д., то такой поток легко свести к ординарному.

Определение. Если поток событий стационарен, ординарен и без последействий, то такой поток называется Простейшим (пуассоновским) Потоком.

1. Это название связано с тем, что в этом случае число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени, распределено по распределению Пуассона.
2. В соответствии с этим законом распределения математическое ожидание числа точек, попавших попадающих на участок времени t, имеет вид:
3. L — плотность потока – среднее число событий в единицу времени.
4. Вероятность того, что за время t произойдет ровно Т событий, равна

• Вероятность того, что в течение данного времени не произойдет ни одного события, равна:
• Пусть Т – промежуток времени между двумя произвольными соседними событиями в простейшем потоке. Найдем функцию распределения

В соответствии с законом распределения Пуассона, получаем:

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны:

Таким образом, для величины Т получили показательный закон распределения.

Пример. В бюро обслуживания в среднем поступает 12 заявок в час. Считая поток заказов простейшим, определить вероятность того, что: а) за 1 минуту не поступит ни одного заказа, б) за 10 минут поступит не более трех заказов.

Сначала найдем плотность (интенсивность) потока, выразив ее в количестве заявок в минуту. Очевидно, эта величина равна .

Далее находим вероятность того, что за время t = 1 мин не поступит ни одной заявки по формуле:

Вероятность того, что за 10 минут поступит не более трех заказов будет складываться из вероятностей того, что не поступит ни одного заказа, поступит один, два или ровно три заказа.

Пример. В ресторан прибывает в среднем 20 посетителей в час. Считая поток посетителей простейшим, и зная, что ресторан открывается в 11.00, определите:

а) вероятность того, что в 11.12 в ресторан придет 20 посетителей при условии, что в 11.07 их было 18

б) вероятность того, что между 11.28 и 11.30 в ресторане окажется новый посетитель, если известно, что предшествующий посетитель прибыл в 11.25.

Для ответ на первый вопрос фактически надо найти вероятность того, что в промежуток от 11.07 до 11.12 (t = 5 минут) придет ровно 2 посетителя. При этом мы знаем интенсивность потока посетителей — l = 20/60 = 1/3 посетителей в минуту. Конечно, данная величина носит условный характер, т. к. посетители не могут приходить по частям.

Искомая вероятность равна:

Теперь перейдем ко второму вопросу. Нам не сказано, сколько именно новых посетителей будет в промежутке от 11.28 до 11.30, главное чтобы был хоть один. Эта вероятность равна . Здесь Р0 (2) – вероятность того, что в этом промежутке не будет ни одного посетителя.

Если поток событий нестационарен, то его плотность l уже не является постоянной величиной, а зависит от времени.

Определение. Мгновенной плотностью Потока событий называется предел отношения среднего числа событий, приходящегося на элементарный отрезок времени (T, T + DT), к длине этого участка, которая стремиться к нулю.

Как видно из приведенного определения, с учетом того, что среднее число событий на участке времени равно математическому ожиданию, то можно сказать, что Мгновенная плотность потока равна производной по времени от математического ожидания числа событий на участке (0, T).

Определение. Нестационарным пуассоновским потоком Называется ординарный поток однородных событий без последействий с переменной плотностью l(t).

Для такого потока число событий, попадающих на участок длины t, начинающийся в точке T, подчиняется закону Пуассона:

Здесь А – математическое ожидание числа событий на участке от TДоT + T . Оно вычисляется по формуле:

Величина А на только от длины участка t, но и от его положения во времени. Закон распределения промежутка Т между двумя соседними событиями также будет зависеть от того, где на временной оси расположено первое из событий, а также от функции l(t) .

1. Вероятность того, что на участке времени от TДо T + T не появится ни одного события, равна
2. Тогда, соответственно, вероятность появления хотя бы одного события на этом интервале времени будет равна:
3. Плотность распределения можно найти дифференцированием:

Эта плотность распределения уже не будет показательной. Она зависит от параметра T и вида функции l(T). Однако, условие отсутствия последействия в этом виде потока сохраняется.

Источник: http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/kurs-vysshei-matematiki-4/36-potok-sobytii

Случайный процесс. Случайный поток событий. Простейший поток событий. Суперпозиция нескольких простейших потоков. Прореживание простейшего потока, страница 2

Простейшие потоки
играют в ТВ и ТМО особую роль. Во-первых, указанными свойствами обладает
большая часть реальных потоков событий в жизни. Во-вторых, сумма большого числа
ординарных, стационарных потоков с любым последействием образует поток, сколь
угодно близкий к простейшему.

НАПРИМЕР: поток
отказов ЭВМ складывается из потока отказов CPU, MEMORY, SystemBoard,
Контроллеров, накопителей и прочее. Тогда можно говорить о простейшем потоке
отказов ЭВМ.

В третьих,
исследование простейших потоков очень не сложно, и уже практически полностью
создана теоретическая база исследования простейших потоков.

Распределение
количества событий простейшего потока, на некотором временном интервале

Интенсивностью l простейшего потока называют среднее число событий потока, происходящих
в единицу времени. В силу стационарности ППС l=const.

Выделим на оси
времени отрезок длины T и рассмотрим ДСВ h – число
событий ППC, попавших в этот отрезок. Очевидно, что x=0,1,2… Вычислим вероятность того, что на отрезок T  придется
ровно k событий.

Для этого разобьём
отрезок T на n®¥ элементарных участков длины dt®0.

В силу стационарности
простейшего потока l=const.

Распределение количества событий простейшего
потока
событий, на некотором временном интервале

Пусть h – случайная величина числа событий ППС на
некотором временном интервале T;  h=0,1,2…
Вычислим вероятность того, что на этот отрезок попадёт k событий.
Разобьём отрезок T на  n®¥  элементарных участков длины dt®0.

• В силу ординарности ППС
  вероятностью попадания на один элементарный участок  dt  сразу
  нескольких событий потока пренебрежём.
• В силу стационарности и
  отсутствия последействия ППС, вероятность попадания одного события потока на
  элементарный участок dt  не изменяется и не зависит от того, как события
  потока наступали в прошлом.
• Следовательно,
  наступление событий в каждом из n элементарных участков можно
  рассматривать как схему  n®¥  испытаний Бернулли, где «успех» –
  попадание события ППС в некоторый элементарный участок dt, вероятность
  «успеха» p®0.
• Тогда по предельной
  теореме Пуассона количество событий ППС с интенсивностью l на некотором временном интервале T,
  имеет распределение Пуассона с параметром lT: 
  

Рисунок – Суперпозиция и прореживание простейшего потока событий

Суперпозиция
независимых простейших потоков

Пусть на некоторый
объект воздействует n независимых простейших потоков. Например, поток
отказов ЭВМ складывается из потока отказов CPU, MEMORY, SystemBoard,
Контроллеров, накопителей и прочего оборудования, а также программного
обеспечения.

Требуется определить
характеристики суммарного потока событий.

Рассмотрим эту задачу
для случая двух исходных простейших потоков событий: первый поток (рисунок _а)
имеет интенсивность l1, а
второй (рисунок _б) – интенсивность l2. Пусть xij – время между (j–1) и j-тым событиями i-того
потока событий (см. рисунок _а и _б).

Рисунок _

Время xS1 до
первого события потока, образованного суперпозицией двух потоков событий,
очевидно из рисунка _, равно минимальному из значений x11 и x21, т.е. xS1=min{x11 , x21}.

Поскольку простейший поток событий является потоком без последействия (не
важно, сколько и каким образом наступали события простейшего потока к моменту
времени To, время до наступления очередного события имеет показательный
закон распределения с параметром l), то время до
очередного события результирующего потока определяется соотношением:

xS=min{x1 , x2},

где xS – случайная величина времени между событиями
результирующего потока событий; x1 – случайная величина времени между событиями первого
простейшего потока событий; x2 – случайная величина времени между событиями второго
простейшего потока событий. Здесь следует вспомнить, что ППС является
рекуррентным потоком без запаздывания.

Известно, что x1~E(l1), а x2~E(l2),
следовательно Fx1(x)=P(x1

Источник: https://vunivere.ru/work37072/page2

Потоки событий. Простейший поток

События, образующие поток, в общем случае могут быть различными, но мы будем рассматривать лишь поток однородных событий, различающихся только моментами появления. Такойпоток можно изобразить как последовательность точек t1, t2 , …, tк нa числовой оси (оси времени).

0 t1 t2 t3 t

События, образующие поток, сами по себе вероятностью не обладают: вероятностью обладают другие, производные от них события, например, такое: «на участок времени t попадают ровно два события».

Интенсивность потока — среднее число событий, приходящихся на единицу времени. Обозначение : λ.

Интенсивность потока может быть как постоянной (λ=const), так и переменной, зависящей от времени t.

Поток событий называется стационарным, если вероятность появления того или иного числа событий за некоторое время t зависит только от величины t и не зависит от того; где на оси ot расположен этот отрезок времени. Вероятностные характеристики таких потоков не зависят от времени, в частности, интенсивность λ = const.

• Поток событий называется потоком без последствия, если вероятность появления какого-либо числа событий в данный отрезок времени не зависит от того, сколько событий появилось в другие отрезки времени, не пересекающиеся с данным.
• Поток событий называется ординарным, если вероятность появления двух или нескольких событий в малый отрезок времени мала по сравнению с вероятностью появления одного события, то есть события в потоке появляются практически по одному.
• Потоки, являющиеся одновременно потоками стационарными, без последствий и ординарными, называются простейшими или стационарными пуассоновскими [9].
• Если поток событий простейший, то вероятность Рт(t) того, что на любой интервал времени t попадёт т событий, определяется формулой:

Пример 28. Поток донесений, поступающих вштаб, внекоторых условиях практически является простейшим с интенсивностью λ=0,8 донесение в час. Найти вероятность того, что в течение 5 часов:

1. 1) не поступит ни одного донесения;
2. 2) поступит два донесения;
3. 3) поступят, по крайней мере, два донесений.
4. Решение.

Исходные данные: λ=0,8; t =5. Требуется определить:P0, P2 и Рт ≥2.

По формуле (1) найдём :

Рт≥2=1-(Р0+Р1)=1-(0,018+0,058)=0,924.

В подавляющем большинстве случаев, особенно в задачах прикладного характера, в теории массового обслуживания рассматриваются простейшие потоки. В дальнейшем, говоря о потоке событий, мы будем подразумевать простейший поток.

Граф состоянии. Размеченный граф состояний

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой — так называемым графом состояний: состояние системы изображается прямоугольником, в котором записаны обозначения состояний S1, S2, S3, ,…, а возможные переходы из состояния в состояние — стрелками.

Построим, например, граф состояний системы S, описанной в примере 27 пункта 3.1.2 (рисунок 16).

• Рисунок 16
• Стрелка, направленная из S1 в S2, означает переход в момент отказа первого узла.
• Стрелка, направленная обратно из S2 в S1 — переход в момент окончания ремонта первого узла.
• Остальные стрелки объясняются аналогично.

Предполагается, что узлы выходит из строя независимо друг oт друга, т.е. вероятность одновременного выхода двух узлов мала и ею пренебрегают. (Стрелка, ведущая из S1 в S4, отсутствует).

Пусть имеется некоторая система S с состояниями Sk (к =I,2,3,…, п), и переход системы из состояния Si в состояние Sj происходит под действием простейших потоков событий (поток вызовов, поток отказов и т.д.). Итак, в системе происходит марковский процесс.

Обозначим λij — интенсивности потока событий, переводящих систему S из состояния Si в состояние Sj.

Проставим интенсивности потоков событий на графе состоянии. Получим так называемый размеченный граф состояний.

Рисунок 17

На рисунке 17 показан размеченный граф состояний для системы S с тремя состояниями S1, S2, S3.

Из состояния S1 в состояние S2система переходит под действием простейшего потока событий интенсивностью λ12из S2 в S1 под действием потока событий интенсивностью λ21 и т .д.

Пример 29. Построим размеченный граф состояний для системы S примера 27 (пункт 3.1.2)

1. Напомним состояние системы:
2. S1 — оба узла исправны;
3. S 2- первый узелремонтируется, второй исправный;
4. S 3- второй узел ремонтируется, первый исправный;
5. S4- оба узла ремонтируются.

Граф состояний этой системы мы уже построили (см. рис. 17)

• Пусть t1 и t2 — среднее время безотказной работы первого и второго узлов соответственно.
• T1 и Т2 — среднее время ремонта первого и второго узлов.
• Интенсивность потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние, будем вычислять, предполагая, что среднее время ремонта не зависит от того, ремонтируется ли один узел или оба сразу (это будет именно так, если ремонтом каждого узла будет занят отдельный специалист).

• Найдем интенсивность всех потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние.

• S1- S2 — Этот переход совершается под действием потока отказов первого узла

• S2 — S1 — Этот период совершается под действием потока окончания ремонта первого узла

• S1 — S3 — поток отказов второго узла

• S3 — S1 — поток окончания ремонта второго узла

• S 2- S4- поток отказов второго узла ,
• S4 — S2 — поток окончания ремонта второго узла
• S 3- S4- поток отказов второго узла ,
• S4 — S3 — поток окончания ремонта первого узла
• На рисунке 18 получили размеченный граф состояний системы S.
• Имея в своём распоряжении размеченный граф состояний системы, легко построить математическую модель системы.
• Уравнения Колмогорова длявероятностей состояния

Пусть рассматривается система S, имеющая п возможных состояний S1, S2, S3,…Sп.

1. Вероятностью i — го состояния называется вероятность того, чтов момент t система будет находится в состоянии Si.
2. Обозначим: Pi(t).
3. Для любого момента времени .

Имея в своём распоряжении размеченный граф состояний, можно найти все вероятности Pi (t) как функции от времени. Для этого составляются и решаются уравнения Колмогорова — особого вида дифференциальные уравнения, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний [5].

• Составим, например, уравнение Колмогорова для системы, размеченный граф состояний которой приведён на рисунке 19.
• Рисунок 19
• (24)
• Сформулируем общее правило составления уравнений Колмогорова.
• Производная вероятности каждого i-го состояния системы равна сумме произведений вероятностей всех состояний, из которых идут стрелки в данное (i-е) состояние, на интенсивности соответствующих потоков минус произведение вероятности i-го состояния на суммарную интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния.

Составим уравнение Колмогорова для системы S, размеченный граф состояний которой приведён на рисунке 18, (система; состоящая из двух узлов, см. пункт 3.1.2.)

. (25)

Чтобы решить уравнения Колмогорова и найти вероятности состояний, надо задать начальные условия.

Например, уравнения (25) естественно решить при начальных условиях Р1(0)=1, Р2 (0)=Р3 (0 )=Р4(0)=0 (т.е. считаем, что в начальный момент оба узла исправны).

Как решать уравнения Колмогорова?

Если число уравнений невелико (не более трёх), то их можно решать аналитически, как нормальную систему дифференциальных уравнений; при большем количестве уравнений систему решают с помощью ЭВМ. Решение этих уравнений даёт возможность найти вероятности состояний системы как функции от времени.

Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:

Источник: https://megalektsii.ru/s50359t6.html

Простейший поток и его свойства



• Обратная связь
• ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ
• Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение
• Как определить диапазон голоса — ваш вокал
• Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими
• Целительная привычка
• Как самому избавиться от обидчивости
• Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам
• Тренинг уверенности в себе
• Вкуснейший «Салат из свеклы с чесноком»
• Натюрморт и его изобразительные возможности

Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.

1. Как научиться брать на себя ответственность
2. Зачем нужны границы в отношениях с детьми?
3. Световозвращающие элементы на детской одежде
4. Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия
5. Как слышать голос Бога
6. Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)
7. Глава 3. Завет мужчины с женщиной
8. 

Оси и плоскости тела человека — Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

• 
  Отёска стен и прирубка косяков — Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.
• 
  Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) — В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.
• При рассмотрении случайных процессов, протекающих в системах с дискретными состояниями и непрерывным временем, часто приходится встречаться с так называемыми «потоками событий».
• Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени.
• Примерами могут быть:
• — поток вызовов на телефонной станции;
• — поток включений приборов в бытовой электросети;
• — поток грузовых составов, поступающих на железнодорожную станцию;
• — поток неисправностей (сбоев) вычислительной машины;

— поток выстрелов, направляемых на цель, и т. д.

При рассмотрении процессов, протекающих в системе с дискретными состояниями и непрерывным временем, часто бывает удобно представлять процесс так, как будто переходы системы из состояния в состояние происходят под действием каких-то потоков событий (поток вызовов, поток неисправностей, поток заявок на обслуживание, поток посетителей и т. д.). Поэтому имеет смысл рассмотреть подробнее потоки событий и их свойства.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времена. Такой поток сравнительно редко встречается на практике, но представляет определенный интерес как предельный случай.

При исследовании операций чаще приходится встречаться с потоками событий, для которых и моменты наступления событий и промежутки времени между ними случайны.

Рассмотрим потоки событий, обладающие некоторыми особо простыми свойствами. Для этого введем ряд определений:

1. Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени длиной t зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси времени расположен этот участок.

2. Поток событий называется потоком без последствия, если для любых непересекающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой (или другие, если рассматривается больше двух участков).

3. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Стационарность потока означает его однородность по времени: вероятностные характеристики такого потока не должны меняться в зависимости от времени. В частности, так называемая интенсивность (или «плотность») потока событий — среднее число событий в единицу времени — для стационарного потока должна оставаться постоянной.

Это, разумеется, не значит, что фактическое число событий, появляющихся в единицу времени, постоянно — нет, поток может иметь местные сгущения и разрежения.

Важно, что для стационарного потока эти сгущения и разрежения не носят закономерного характера, а среднее чисто событий, попадающих на единичный участок времени, остается постоянным для всего рассматриваемого периода.

На практике часто встречаются потоки событий, которые (по крайней мере, на ограниченном участке времени) могут рассматриваться как стационарные. Например, поток вызовов, поступающих на телефонную станцию, скажем, на интервале от 12 до 13 часов может считаться стационарным.

Тот же поток в течение целых суток уже не будет стационарным (ночью интенсивность потока вызовов гораздо меньше, чем днем).

Заметим, что так же обстоит дело и с большинством физических процессов, которые мы называем «стационарными» — в действительности они стационарны только на ограниченном участке времени, а распространение этого участка до бесконечности — лишь удобный прием, применяемый в целях упрощения.

Отсутствие последействия в потоке означает, что события, образующие поток, появляются в последовательные моменты времени независимо друг от друга.

Рассмотрим, например, поток грузовых поездов, идущих по железнодорожной ветке.

Если, по условиям безопасности, они не могут следовать один за другим чаще, чем через интервал времени t0, то между событиями в потоке имеется зависимость, и условие отсутствия последействия нарушается.

Если интервал t0 мал по сравнению со средним интервалом между поездами tср, такое нарушение несущественно, но если интервал t0 сравним с tср, его приходится учитывать.

Ординарность потока означает, что события в потоке приходят поодиночке, а не парами, тройками и т. д.

Например, поток клиентов, направляющихся в парикмахерскую, практически можно считать ординарным, чего нельзя сказать о потоке клиентов, направляющихся в ЗАГС для регистрации брака.

Поток атак истребителей по бомбардировщику, находящемуся над вражеской территорией, ординарен, если они атакуют цель поодиночке, и не ординарен, если они идут в атаку парами или тройками.

Если в неординарном потоке события происходят только парами, только тройками и т. д., то можно его рассматривать как ординарный «поток пар», «поток троек» и т. д. Несколько сложнее обстоит дело, если число событий, образующих «пакет» (группу одновременно приходящих событий) случайно.

Тогда приходится наряду с потоком пакетов рассматривать случайную величину X — число событий в пакете, и математическая модель потока становится более сложной. Он представляет собой не только последовательность моментов появления пакетов, но и последовательность случайных величин — числа событий в каждом пакете.

Рассмотрим поток событий, обладающий всеми тремя свойствами: стационарный, без последействия, ординарный. Такой поток называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком.

Название «простейший» связано с тем, что математическое описание событий, связанных с простейшими потоками, оказывается наиболее простым.

Отметим, между прочим, что «самый простой», на первый взгляд, регулярный поток со строго постоянными интервалами между событиями отнюдь не является «простейшим» в вышеназванном смысле слова: он обладает ярко выраженным последствием, так как моменты появления событий связаны между собой жесткой функциональной зависимостью. Именно из-за этого последействия анализ процессов, связанных с регулярными потоками, оказывается, как правило, труднее, а не легче по сравнению с простейшими.

Простейший поток играет среди других потоков особую роль. А именно, можно доказать, что при суперпозиции (взаимном наложении) достаточно большого числа потоков, обладающих последействием (лишь бы они были стационарны и ординарны), образуется суммарный поток, который можно считать простейшим, и тем точнее, чем большее число потоков складывается.

Если поток событий не имеет последействия, ординарен, но не стационарен, он называется нестационарным пуассоновским потоком. В таком потоке интенсивность λ (среднее число событий в единицу времени) зависит от времени: λ = λ(t), тогда как для простейшего потока λ = const.

Исследования показали, что промежуток времени t между соседними событиями простейшего потока распределен по показательному закону, а его среднее значение и среднее квадратичное отклонение равны λ-1, где λ — интенсивность потока.

Источник: https://megapredmet.ru/1-23967.html

Простейший поток событий

Простейший поток событий

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.   калькулятор для вычисления простейшего потока событий. Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает следующими тремя свойствами:стационарностью, «отсутст­вием последействия» и ординарностью. Свойство стационарности состоит в том, что вероятность появле­ния k событий в любом промежутке времени зависит только от числа k  и от длительности t  промежутка времени и не зависит от начала его отсчета. Другими словами, вероятность появления k событий за промежуток времени длительностью t есть функция, за­ висящая только от k и t. Свойство «отсутствия последействия» состоит в том, что вероят­ность появления k событий в любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Другими словами, предыстория потока не влияет на вероятности появле­ния событий в ближайшем будущем.Свойство ординарности состоит в том, что появление двух или более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Другими словами, вероятность появления более одного со­ бытия за малый промежуток времени пренебрежимо мала по срав­нению с вероятностью появления только одного события.Интенсивностью потока X называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени. Если постоянная интенсивность потока % известна, то вероят­ность появления k событий простейшего потока за время  t  опреде­ляется формулой Пуассона  Замечание . Поток, обладающий свойством стационарности, называют стационарным-, в противном случае—нестационарным. Задача 184. Показать, что формулу Пуассона, определяющую вероятность появления k событий за время длительностью t  можно рассматривать как математическую модель про­стейшего потока событий; другими словами, показать, что формула Пуассона отражает все свойства простей­шего потока. Итак, формула Пуассона отражает все три свойства простейшего потока, поэтому ее можно рассматривать как математическую модель этого потока. Среднее число заказов такси, поступающих на диспетчерский пункт в одну минуту, равно трем. Найти вероятность того, что за 2 мин поступит: а) четыре вызова; б) менее четырех вызовов; в) не менее четырех вызовов. Задача 186. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за 4 мин поступит: а) три вызова; б) менее трех вызовов; в) не менее трех вызовов. Поток вызовов пред­полагается простейшим.Вычислить вероятность появления k событий за время t, можно с помощью калькулятора для работы с простейшим потоком событий, скачать калькулятор.

Источник: http://www.reshim.su/blog/prostejshij_potok_sobytij/2013-03-20-284

Простейший поток событий

• Рассмотрим события, которые наступают в случайные моменты времени.
• Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.
• Примерами потоков служат: поступление вызовов на АТС, на пункт неотложной медицинской помощи, прибытие самолетов в аэропорт, клиентов на предприятие бытового обслуживания, последовательность отказов элементов и многие другие.
• Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка и не зависит от начала его отсчета; при этом различные промежутки времени предполагаются непересекающимися. Например, вероятности появления k событий на промежутках времени (1;7), (10;16), (T; T+ 6) одинаковой длительности t = 6 ед. времени равны между собой.

Итак, если поток обладает свойством стационарности, то вероятность появления k событий за промежуток времени длительности t есть функция, зависящая только от k и t.

Свойство отсутствия последействия характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка.

Другими словами, условная вероятность появления k событий на любом промежутке времени, вычисленная при любых предположениях о том, что происходило до начала рассматриваемого промежутка (сколько событий появилось, в какой последовательности), равна безусловной вероятности.

Таким образом, предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий в ближайшем будущем.

Итак, если поток обладает свойством отсутствия последействия, то имеет место взаимная независимость появлений того или иного числа событий в непересекающиеся промежутки времени.

Свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Другими словами, вероятность появления более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления только одного события.

1. Итак, если поток обладает свойством ординарности, то за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события.
2. Интенсивностью потока ???? называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.
3. Если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время длительностью t определяется формулой Пуассона

• Эта формула отражает все свойства простейшего потока:
• — вероятность появления k событий за время t, при заданной интенсивности является функцией k и t, что характеризует свойство стационарности;
• — формула не использует информации о появлении событий до начала рассматриваемого промежутка, что характеризует свойство отсутствия последействия;
• — при малых значениях t вероятность появления более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления одного события, что характеризует свойство ординарности.
• Итак, формулу Пуассона можно считать математической моделью простейшего потока событий.

Пример. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятности того, что за 5 мин поступит: а) 2 вызова; б) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов. Поток вызовов предполагается простейшим.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/9_40362_prosteyshiy-potok-sobitiy.html

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Cтраница 1

Простейший поток событий обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности. Простейший поток играет особую роль среди потоков событий.

Суммирование ( взаимное наложение) большого числа независимых стационарных, ординарных потоков практически СЃ любым последействием дает поток, сколь СѓРіРѕРґРЅРѕ близкий Рє простейшему.  [1]

Недаром простейший поток событий называют также пуассоновским потоком.  [2]

Рассмотрим простейшие потоки событий, обладающие свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Подробно об этих свойствах уже говорилось при выводе распределения Пуассона.

Естественно полагать, что поток с указанными здесь свойствами является некоторой приближенной моделью фактически наблюдающихся потоков случайных событий.

Простейший поток имеет РѕСЃРѕР±Рѕ важное значение, так как ( Рё это можно показать) РїСЂРё суммировании большого числа ординарных стационарных потоков СЃ практически любым последействием получается поток, как СѓРіРѕРґРЅРѕ близкий Рє простейшему.  [4]

Для простейшего потока событий вероятность того, что РЅР° участке времени длины С‚ наступит СЂРѕРІРЅРѕ k событий, определяется РїРѕ формуле (2.1.7), РіРґРµ Р° РҐС‚, X — интенсивность потока.  [5]

Примерами простейшего потока событий являются телефонные Р·РІРѕРЅРєРё РІ какое-РЅРёР±СѓРґСЊ учреждение, дорожно-транспортные происшествия, прибытие автобусов определенного маршрута РЅР° остановку Рё С‚.Рї. Важной характеристикой простейшего потока является его интенсивность Рђ — среднее число событий Р·Р° единицу времени.  [6]

Математическая модель простейшего потока событий должна отражать РІСЃРµ три его свойства: стационарности, отсутствия последействия Рё ординарности.  [7]

Рассмотрим РЅР° РѕСЃРё Ot простейший поток событий ( СЂРёСЃ. 13.5) как неограниченную последовательность случайных точек.  [9]

Рассмотрим РЅР° РѕСЃРё времени Ot ( СЂРёСЃ. 7.5) простейший поток событий как неограниченную последовательность случайных точек.  [10]

Распределение Пуассона часто встречается РІ задачах, связанных СЃ простейшим потоком событий.  [11]

Определение 12.6. Ординарный поток без последействия называется пуассоновским потоком событий. Если пуассоновский поток является также Рё однородным, то РѕРЅ называется простейшим потоком событий.  [12]

Это Рё естественно: отсутствие последействия РІ простейшем потоке РіРѕРІРѕСЂРёС‚ Рѕ том, что распределение времени, оставшегося РґРѕ ближайшего события потока, такое же, как Рё распределение времени между событиями потока; наличие очередного события РІ начале отсчета промежутка никак РЅРµ влияет РЅР° оставшуюся его длину. РџРѕ этой же причине ( отсутствие последействия) случайные величины Q Рё Рљ для простейшего потока независимы. Это — основная причина того, что различные инженерные задачи, связанные СЃРѕ случайными процессами, проще всего решаются, РєРѕРіРґР° изменения состояния физической системы S, РІ которой протекает случайный процесс, РїСЂРѕРёСЃС…РѕРґСЏС‚ РїРѕРґ действием простейших потоков событий. Несколько сложнее, РЅРѕ РІСЃРµ же сравнительно просто решаются задачи исследования случайных процессов РІ том случае, РєРѕРіРґР° фигурирующие РІ РЅРёС… потоки событий являются нестационарными пуассоновскими ( СЃ переменной интенсивностью РњРћ); самое важное свойство — отсутствие последействия — РїСЂРё этом сохраняется.  [13]

Страницы:      1

Источник: https://www.ngpedia.ru/id299153p1.html

Простейший поток — это… что такое простейший поток?

• простейший поток телефонных вызовов — простейший поток Поток телефонных вызовов, который одновременно является, стационарным, ординарным, и без последействия. [ГОСТ 19472 88] Тематики телефонные сети Синонимы простейший поток EN simplest telephone call flow …   Справочник технического переводчика
• Простейший поток телефонных вызовов — 187 . Простейший поток телефонных вызовов Простейший поток Simplest telephone call flow Поток телефонных вызовов, который одновременно является стационарным, ординарным, и без последействия Источник: ГОСТ 19472 88: Система автоматизированной… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
• Простейший поток телефонных вызовов — 1. Поток телефонных вызовов, который одновременно является, стационарным, ординарным, и без последействия Употребляется в документе: ГОСТ 19472 88 Система автоматизированной телефонной связи общегосударственная. Термины и определения …   Телекоммуникационный словарь
• Поток событий — Поток событий  последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Свойства Свойство стационарности: вероятность появления k событий на любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка… …   Википедия
• Поток выполнения — Для термина «Поток» см. другие значения. Процесс с двумя потоками выполнения на одном процессоре Поток выполнения (анг …   Википедия
• Пальма поток — стационарный ординарный поток однородных событий, характеризующийся следующим свойством:[1] если t1, t2, … последовательные моменты наступления событий, отсчитываемые от произвольного момента времени, то t1, t2 t1, …, tn tn 1, … независимые …   Википедия
• ОРИЦИКЛИЧЕСКИЙ ПОТОК — поток в пространстве биэдров такого re мерного риманова многообразия М п (обычно замкнутого), для к рого определено понятие орицикла; О. н. описывает движение биэдров вдоль определяемых ими орициклов. Основные случаи, когда определено понятие… …   Математическая энциклопедия
• ГОСТ 19472-88: Система автоматизированной телефонной связи общегосударственная. Термины и определения — Терминология ГОСТ 19472 88: Система автоматизированной телефонной связи общегосударственная. Термины и определения оригинал документа: Circuit group telephone network traffic capacity 68 Определения термина из разных документов: Circuit group… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
• Теория массового обслуживания — (теория очередей) раздел теории вероятностей, целью исследований которого является рациональный выбор структуры системы обслуживания и процесса обслуживания на основе изучения потоков требований на обслуживание, поступающих в систему и выходящие… …   Википедия
• МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ СИСТЕМА — входящий поток вызовов случайный процесс, заданный тем или иным образом и описывающий поступление вызовов в систему обслуживания. Входящий поток определяется обычно случайной последовательностью где указывают интервалы между поступлениями в… …   Математическая энциклопедия

Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/4442