Производная и ее геометрический смысл — справочник студента

Производная функции.

1. Определение производной, её геометрический смысл.

2.Производная сложной функции.

3. Производная обратной функции.

4. Производные высших порядков.

5. Параметрически заданные функции и неявно.

6. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.

• Введение.
• Источником дифференциального исчисления были два вопроса, выдвинутые запросами науки и техники в 17 веке.
• 1) Вопрос о вычислении скорости при произвольно заданном законе движения.
• 2) Вопрос о нахождении ( с помощью вычислений) касательной к кривой произвольно заданной.

Задачу проведения касательной к некоторым кривым решил ещё древнегреческий учёный Архимед (287-212 г.г. до н.э.), пользуясь методом вычерчивания.

Но только в 17 и 18 веках в связи с прогрессом естествознания и техники эти вопросы получили должное развитие.

Одним из важных вопросов при изучении любого физического явления обычно является вопрос о скорости, быстроте происходящего явления.

Первоначальная идея скорости ясна каждому. Однако для решения большинства практических задач этой общей идеи недостаточно. Необходимо иметь такое количественное определение этой величины, которую мы называем скоростью.

Потребность в таком точном количественном определении исторически послужила одним из основных побудителей к созданию математического анализаю. Целый раздел математического анализа посвящен решению этой основной задачи и выводам из этого решения.

К изучению этого раздела мы и переходим.

1. Определение производной, её геометрический смысл.
2. Пусть дана функция определённая в некотором интервале (а,в) и непрерывная в нём.
3. 1. Дадим аргументу х приращение , тогда функция получит

= —

3. Переходя к пределу в при и, предполагая, что предел

производной функции по аргументу х.

Определение.Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда →0.

Значение производной очевидно зависит от точки х, в которой оно найдено, поэтому производная функции есть в свою очередь некоторая функция от х. Обозначается .

По определению имеем

или (3)

Пример.Найти производную функции .

1. ;

4. . Итак .

Механический смысл производной:

скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t0 есть производная пути по времени

Геометрический смысл производной:

тангенс угла наклона касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x0 равен производной функции f(x) в точке x0

Нормаль к кривой в точке М0 – прямая проходящая через точку М0, перпендикулярно касательной к кривой в этой точке.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/19_312085_opredelenie-proizvodnoy-ee-geometricheskiy-smisl.html

Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной. Видеоурок. Алгебра 10 Класс

На уроке изучается тема «Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной». На этом занятии вы узнаете, что представляет собой производная и какое место она занимает в геометрии и физике. На  примерах разбирается алгоритм нахождения производной.

Тема: Производная

Урок: Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной

Рис. 1. График функции .

Рассмотрим функцию , ее график и дадим физическую интерпретацию.

Построим систему координат и кривую  (см. рис.1), где

•  независимая переменная или аргумент (время),
•  – зависимая переменная или функция (расстояние),
•  – закон или правило, по которому каждому значению  ставится в соответствие только одно значение .

Зафиксируем момент времени  (см. рис.2). В этот момент времени можно вычислить по заданному закону  , т.е. имеем точку . Эта точка показывает, что в данный момент времени , расстояние —  . Дадим аргументу приращение , т.е. прошло некоторое время . Момент времени, который будет рассматриваться  — это  .

Рис. 2. Секущая к графику функции .

 – приращение аргумента – это разность между новым значением аргумента и старым.

 – секущая,  – ее угол наклона. Этот угол, во – первых, в верхней полуплоскости и, во – вторых, с положительным направлением оси .

Рассмотрим треугольник  (см. рис.3). Он прямоугольный. В этом треугольнике острый угол – это угол —  угол  наклона секущей. Один из катетов — это приращение аргумента, а второй катет – это разность между значением функции в новой точке и значением функции в старой точке.

Рис. 3. Приращение функции и приращение аргумента.

Величина  называется  – приращение функции и вычисляется как разность значений функции в новый момент времени минус значение функции в старый момент времени

.

Рассмотрим отношение  , где  – приращение функции,  – приращение аргумента (см. рис.4).

Из физических соображений ясно, что отношение расстояния ко времени – это средняя скорость . В этом заключается физический смысл отношения  .

Рис. 4. Физический и геометрический смысл отношения   .

С другой стороны отношение катета  к катету  – это тангенс угла  – тангенс угла наклона секущей, т.е. геометрический смысл отношения   – это тангенс угла наклона секущей  .

Пусть . Понятно, что и . Точка  будет стремиться к точке , а положение секущей  будет стремиться занять положение касательной в точке  к кривой   (см. рис.4). Имеем

Зафиксируем эту касательную,  – угол наклона этой касательной. Если зафиксировать точку , то отношение   зависит только от величины .

Определение производной с помощью пределов.

Предел при  разностного отношения  , если он существует, называется производной функции в точке  и обозначается .

, где  – мгновенная скорость в момент . В этом заключается физический смысл производной. Производная – это также тангенс угла наклона касательной , где  — угол наклона касательной к кривой  в точке с абсциссой .

1. Для того чтобы найти  нужно:
2. 1) Задать приращение  – это приращение аргумента и вычислить соответствующее приращение функции  или .
3. 2) Найти разностное соотношение  , упростить его и сократить на  .
4. 3) Если отношение   при  стремится к какому-то числу, то это число будет .

Итак, на уроке было рассмотрено понятие производной. Для этого ввели два новых понятия: приращение аргумента и приращение функции.

Также были рассмотрены события, когда приращение аргумента и приращение функции конкретные числа, тогда соотношение   имеет смысл физический – это средняя скорость за время  и геометрический смысл – это тангенс угла наклона секущей. Далее было рассмотрено, какие процессы происходят, когда .

Если , тогда и  , и секущая стремится занять положение касательной. Если разностное отношение    при  стремится к некоторому числу, то это число называется производной функции  в точке .

Физический смысл производной в момент  – это мгновенная скорость в момент , а геометрический  – это тангенс угла наклона касательной, которая проведена к кривой в точке с абсциссой . Рассмотрен алгоритм нахождения производной: нужно дать приращение аргументу и получить новую точку .

Получили значение функции в новой точке и нашли приращение функции. Надо разделить   на  и упростить это отношение так, чтобы сократился , и то, что получится при стремлении к нулю будет называться производной функции в конкретной точке . Дальнейшее изложение зависит от вида функции, что и будет рассматриваться на следующем уроке.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).  

Сделай дома

№ 39.40 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/10-klass/proizvodnaya/opredelenie-proizvodnoy-eyo-fizicheskiy-i-geometricheskiy-smysl-algoritm-nahozhdeniya-proizvodnoy

Производная, часть II: геометрический смысл

Неопубликованная запись

• Продолжение задач на производные для первой части ЕГЭ.
• Геометрический смысл производной и ее применения для исследования функций.
• Первая часть о производных.

Геометрический смысл производной

1. Про геометрический смысл написано много теории. Не буду вдаваться в вывод приращения функции, напомню основное для выполнения заданий:
2. Производная в точке x равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке, то есть это тангенс угла наклона к оси Х.

3. Возьмем сразу задание из ЕГЭ и начнем в нем разбираться:

Задание №1. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.Кто очень торопится и не хочет разбираться в объяснениях: стройте до любого такого треугольника (как показано ниже) и делите стоячую сторону (вертикальную) на лежащую (горизонтальную) и будет вам счастье, если про знак не забудите (если прямая убывает(→↓), то ответ должен быть с минусом, если прямая возрастает(→↑), то ответ должен быть положительный!)

Найти нужно угол между касательной и осью Х, назовем его α: проведем параллельную оси Х прямую в любом месте через касательную к графику, получим тот же угол.

Лучше не брать точку х0, т.к. понадобится большая лупа для определения точных координат.

Взяв любой прямоугольный треугольник (на рисунке предложено 3 варианта), найдем tgα (углы, то равны, как соответственные), т.е. получим производную функции f(x) в точке x0. Почему же так?

Если мы проведем касательные в других точках x2, x1 и т.д. касательные будут другие.

• Вернемся к 7 классу, чтобы построить прямую!Уравнение прямой задается уравнением y = kx + b, где
• k — наклон относительно оси Х.
• b — расстояние между точкой пересечения с осью Y и началом координат.

Производная прямой, всегда одна и та же: y' = k.

В какой бы точке на прямой мы не взяли производную, она будет неизменна.

Поэтому, осталось только найти tgα (как было сказано выше: делим стоячую сторону на лежачую). Делим противолежащий катет на прилежащий, получаем, что k = 0,5. Однако, если график убывает, коэффициент отрицательный: k = −0,5. 

Советую себя проверять вторым способом: По двум точкам можно задать прямую. Найдем координаты двух любых точек. Например, (-2;-2) и (2;-4):

1.  Подставим в уравнение y = kx + b вместо y и х координаты точек:
2. −2 = −2k + b
3. −4 = 2k + b
4. Решив эту систему, получим b = −3, k = −0,5
5. Вывод: Второй способ дольше, но в нем вы не забудете про знак.
6. Ответ: −0,5

Задание №2. На рисунке изображён график производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, …, x8. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x) ?

• 
• Если график функции убывает — производная отрицательна (верно и наоборот).
• Если график функции возрастает — производная положительна (верно и наоборот).
• Эти две фразы помогут вам решить большую часть задач.
• Внимательно смотрите, рисунок производной вам дан или функции, а дальше выбирайте одну из двух фраз.

Построим схематично график функции. Т.к. нам дан график производной, то там, где она отрицательна, график функции убывает, где положительна — возрастает!

Получается, что 3 точки лежат на участках возрастания: x4; x5; x6.

Ответ: 3

Задание №3. Функция f(x) определена на промежутке (-6; 4).  На рисунке изображен график ее производной. Найдите абсциссу точки, в которой функция принимает наибольшее значение.

Советую всегда строить, как идет график функции, такими стрелочками или схематично со знаками (как в №4 и №5):

Очевидно, если график возрастает до −2, то максимальная точка и есть −2.

Ответ: −2

Задача №4. На рисунке изображён график функции f(x) и двенадцать точек на оси абсцисс: x1, x2, …, x12. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

1. Задача обратная, дан график функции, нужно схематично построить, как будет выглядеть график производной функции, и посчитать, сколько точек будет лежать в отрицательном диапазоне.
2. Положительные:  x1, x6, x7, x12.
3. Отрицательные: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.
4. Ноль: x8.

Ответ: 7

Еще один вид заданий, когда спрашивается про какие-то страшные «экстремумы»? Что это такое вам найти не составит труда, я же поясню для графиков.

Задача №5. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-16; 6). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [-11; 5].

• Отметим промежуток от -11 до 5!
• Обратим свои светлые очи на табличку: дан график производной функции => тогда экстремумы это точки пересечения с осью X.
• Ответ: 3

Задача №6. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-13; 9). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [-12; 5]. 

Отметим промежуток от -12 до 5!

Можно одним глазом взглянуть в табличку, точка максимума — это экстремум, такой, что до него производная положительна (функция возрастает), а после него производная отрицательна (функция убывает). Такие точки обведены в кружочек.

1. Стрелочками показано, как ведет себя график функции
2. Ответ: 3

Задача №7. На рисунке изображен график функции f(x),определенной на интервале (-7; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Можно посмотреть на выше приведенную табличку (производная равна нулю, значит это точки экстремума). А в даной задаче дан график функции, значит требуется найти количество точек перегиба!

• А можно, как обычно: строим схематический график производной. 
• Производная равна нулю, когда график функций меняет свое направление (с возрастания на убывание и наоборот)
• Ответ: 8

Задача №8. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-2; 10). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

1. Построим схематично график функции:
2. Там, где он возрастает, получаем 4 целые точки: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.
3. Ответ: 22

Задача №9. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-6; 6).  Найдите количество точек f(x), в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 2x + 13  или совпадает с ней.

Нам дан график производной! Значит, и нашу касательную нужно «перевести» в производную. 

• Производная касательной: y' = 2.
• А теперь построим обе производные:
• Касательные пересекаются в трех точках, значит, наш ответ  3.
• Ответ: 3

Задача №10. На рисунке изображен график функции f(x), и отмечены точки -2, 1, 2, 3. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

1. Задание чем-то похоже на первое: чтобы найти значение производной, нужно построить касательную к этому графику в точке и найти коэффициент k.
2. Если прямая убывает, k < 0.
3. Если прямая возрастает, k > 0.
4. Подумаем, как значение коэффициента отразится на наклоне прямой:
5. При k = 1 или k = −1 график будет посередине между осями Х и У.
6. Чем ближе прямая к оси Х, тем ближе коэффициент k нулю.
7. Чем ближе прямая к оси Y, тем ближе коэффициент k к бесконечности.
8. В точке -2 и 1 k именно там и будет наименьшее значение производной
9. Ответ: 1

Задание №11. Прямая является касательной y = 3x + 9 к графику функции y = x³ + x² + 2x + 8. Найдите абсциссу точки касания. 

Прямая будет касательной к графику, когда графики имеют общую точку, как и их производные. Приравняем уравнения графиков и их производные:

Решив второе уравнение, получаем 2 точки. Чтобы проверить, какая из них подходит, подставляем в первое уравнение каждый из иксов. Подойдет только один.

• Кубическое уравнение совсем решать не хочется, а квадратное за милую душу.
• Вот только, что записывать в ответ, если получится два «нормальных» ответа?
• При подстановке икса (х) в первоначальные графики y = 3x + 9 и y = x³ + x² + 2x + 8  должен получиться один и тот же Y
• y= 3×1+9=12
• y= 1³+1²+2×1+8=12
• Верно! Значит x=1 и будет ответом

Ответ: 1

Задание №12. Прямая y = − 5x − 6 является касательной к графику функции ax² + 5x − 5. Найдите a.

1. Аналогично приравняем функции и их проивзодные:
2. Решим эту систему относительно переменных a и x:
3. Ответ: 25
4. Задание с производными считается одним из самых сложных в первой части ЕГЭ, однако, при небольшой доли внимательности и понимания вопроса у вас все получится, и вы поднимете процент выполнения этого задания!
5. Тест для закрепления
6. Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора.
7. Большинство заданий взято с сайтов ФИПИ и РЕШУ ЕГЭ. 

Источник: https://ik-study.ru/ege_math/gieomietrichieskii_smysl_proizvodnoi_i_ieie_primienieniia_dlia_issliedovaniia_funktsii_

Производная и ее геометрический смысл

• Конспект урока
• Предмет: Алгебра и начала математического анализа
• Тема: Производная и ее геометрический смысл
• Тип урока: подготовка к контрольной работе
• Цели: учащихсяпо теме «Производная и ее геометрическийсмысл», провести коррекцию знаний, закрепить умение применять производную для решения различных задач.
• Планируемые результаты:

Предметные: Повторение основных формул и правил, геометрический и физический смысл производной; применение производной к исследованию функции, нахождению наибольшего и наименьшего значения функции и монотонность функции.Совершенствование и углубление знаний по изученной теме; подготовка к контрольной работе.

1. Метапредметные результаты:
2. Познавательные УУД:переводить информацию из словесной в символическую; объединять предметы и явления в группы по определённым признакам, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления; находить в тексте необходимую информацию; излагать полученную информацию, интерпретируя её в контексте решаемой задачи.
3. Регулятивные УУД:развивать умение ставить перед собой цель – целеполагание, как постановку учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено обучающимися и того, что еще неизвестно; развивать умение планировать свою работу — планирование – определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата; составление плана и последовательности действий; контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона.

Коммуникативные УУД:планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками; учиться умению осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной и письменной форме; учиться смыслообразованию т. е. установлению обучающимися связи между целью учебной деятельности и ее мотивом, другими словами, между результатом-продуктом учения, побуждающим деятельность, и тем, ради чего она осуществляется.

Личностные: способность к самооценке на основе критерия успешной учебной деятельности., формирование самоидентификации, адекватной позитивной самооценки, самоуважения и самопринятия.

• Основные понятия: производная, функция дифференцируемая в точке х0, дифференциирование, механический и геометрический смысл производной, уравнение касательной, наибольшее и наименьшее значение функции, монотонность функции.
• Формы работы: фронтальная, индивидуальная, парная.
• Средства обучения: учебник, презентация, раздаточный материал.
• Методы обучения (общие и специальные)
• — по характеру познавательной деятельности: эвристический (частично-поисковый);
• — по источнику знаний: словесный.
• Частные методы: наблюдение, обобщение.

Этапы урока	Задачи этапа	Задания для обучающихся, выполнение которых приведет к достижению запланированных результатов	Деятельность учителя	Деятельность обучающихся	Формируемые результаты (предметные и метапредметные)
Организация начала урока.	Подготовить учащихся к работе на уроке. Раскрыть общую цель урока и план его проведения	Проверить готовность к уроку. Определить желаемый путь действий обучающихся.	Учитель приветствует учащихся, проверяет готовность к уроку и мотивирует учащихся к уроку небольшим эпиграфом (слайд 2): — Какой путь к знанию выбираете для себя вы? — Какой из путей вы считаете самым продуктивным?	Ученики приветствуют учителя, показывают готовность к уроку, после эпиграфа (слайд 2) отвечают на вопросы. Выбирают для себя путь и обосновывают свой выбор.	Регулятивные УУД: Самоконтроль, саморегуляция, определение цели учебной деятельности. Коммуникативные УУД: Слушать и понимать речь учителя и одноклассников Личностные: Желание учиться; проявляют интерес к предмету.
Проверка домашнего задания	Установить правильность, полноту и осознанность выполнения домашнего задания всеми учащимися, выявить пробелы и выполнить их коррекцию	Проверить правильность выполнения домашнего задания с цель возможной корректировки.	Ученикам на дом предлагалось исследовательское задание: Уточняет, кто справился с данным заданием, у кого возникли вопросы Как выполняли данное исследование? Молодцы, справились и проявили фантазию в решении данного задания!!	Ученики высказывают свои предположения, кто каким способом решал данную проблему и кто смог определить что больше. Один учащийся выходит к доске и демонстрирует правильное решение (решение представлено в приложении 2 и на доске)	Личностные: способность к самооценке на основе критерия успешной учебной деятельности Предметные: соотнесение уже известной информации о наибольшем значение функции с исследовательским заданием. Познавательные: уметь ориенти­роваться в своей системе знаний (отличать новое от уже известного с помощью учителя, преобразовы­вать информацию из одной формы в другую). Коммуникативные: уметь слушать и понимать речь других, оформ­лять мысли в устной и письменной форме. Регулятивные: уметь проговари­вать последовательность действий на уроке, высказывать свое пред­положение
Подготовка учащихся к основному этапу	Актуализировать необходимые опор­ные знания и умения. Обеспечить мо­тивацию для понимания и принятия учащимися цели урока	Ученикам предлагается ответить на вопросы актуализации (слайд 3)	Учитель мотивирует учеников перед основным этапом работы, актуализирует теоретические знания по данной теме. Учитель спрашивает по очереди обучающихся. Вопросы представлены в презентации – слайд 3.	Учащиеся отвечают на каждый вопрос, представленный в презентации, на последний вопрос один из учеников выходит и записывает формулу уравнения касательной. Ответы учеников по вопросам представлены в приложении 3.	Предметные: Знать понятие производной, функции дифференцируемой в точке х0, смысл дифференциирования, механический и геометрический смысл производной, уравнение касательной. Уметь применять формулы производных к решению задач. Коммуникативные УУД:Перерабатывать, систематизировать информацию и представлять ее разными способами; выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью, аргументация своего мнения и позиции в коммуникации Регулятивные УУД: управлять своей деятельностью, планирование последовательности деятельности, фиксирование индивидуального затруднения Познавательные УУД: анализ, синтез, сравнение, обобщение, аналогия.
Обобщение и систематизация знаний и умений.	Формировать целостную систему ведущих знаний по данной главе; подготовка к контрольной работе.	1. Приложение 1, слайд 4. Ученикам предлагается первое задание, которое будет представлено на контрольной работе. 2. Следующим заданием для учеников будет направлено на геометрический смысл производной – слайд 5. 3. Следующее задание направлено на определение уровня сформированности знаний по теме механический смысл производной (Слайд 6) 4. Четвертое задание направлено на исследование функции на монотонность и экстремумы (Слайд 7) 5. Последние задание: найдите наименьшее и наибольшее значения функции. (Слайд 8)	1. Начнем с вами с нахождения производной (слайд 4 , приложение 1). Учитель объявляет, что такое задание в контрольной работе будет весить 1 балл. 2. Следующее задание направлено на определение геометрического смысла производной, как вы усвоили данную тему. Предлагается 1 пример решить у доски, остальные самостоятельно в тетрадях. Учитель проверяет выполняемость действий и объявляет, что данное задание будет весить 2 балла. 3. Учитель рассказывает задачу, уточняет, что за него так же дается 1 балл. Вызывает одного ученика к доске, остальные решают самостоятельно. 4. Учитель предлагает решить данную задачу разделяясь на пары. После чего учитель вызывает одну из пар выйти и объяснить решение. Учитель уточняет, что данное задание будет весить 1 балл. 5. Учитель озвучивает, что данное задание весит 1 балл, дает время ученикам решить ученикам его самостоятельно, но контролирует процесс решения. После чего предлагает ученикам обменяться тетрадям и проверить правильность решения.	1. Ученики выполняют устно, записывая себе только конечные ответы, после чего меняются тетрадями и проверяют выполненные действия товарища. Учащиеся в зависимости от правильности решения выставляют баллы. 2. Ученики читают задание, один из низ выходит к доске и с подробным объяснением начинает решать первый пример, отвечая на уточняющие вопросы одноклассников и учителя. После решения, ученики сверяют свои результаты и те, что представлены на доске и приступают к самостоятельному решению еще 2 примеров. У кого возникают вопросы – поднимают руку и учитель подходит и в индивидуальном порядке объясняет и помогает. 3. Ученик выходит к доске, с подробным объяснением решает задание и отвечает на дополнительные вопросы про экстремумы функций. 4. Ученики по парам решают данную задачу, после чего одна из пар выходит и устно озвучивают свои действия и остальные ученики сверяют ответы 5. Ученики самостоятельно решают задачу, задают вопросы учителю, если требуется, после решения обмениваются тетрадями с соседями по парте и проверяют решение.	Личностные: способность к самооценке на основе критерия успешной учебной деятельности Предметные: Знать основные формулы и правила, геометрический и физический смысл производной; применение производной к исследованию функции, нахождению наибольшего и наименьшего значения функции и монотонность функции Познавательные: уметь добывать информацию (находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке) Регулятивные: уметь работать по составленному плану, уметь оценивать правильность выполнения. Коммуникативные: уметь оформлять свои мысли в устной и письменной форме, слушать и понимать речь других.
Подведение итогов. Рефлексия.	Мобилизовать учащихся на рефлек­сию своей деятельности, способов деятельности. Осмысление способов саморегуляции	Подведение итогов урока. Самооценка в соответствии с целями урока.	Учитель объявляет, что за все задания можно набрать на контрольной 6 баллов. 6 баллов – оценка 5 5-4,5 баллов оценка 4 4-2,5 оценка 3 2 и менее оценка неудовлетворительная. Учитель предлагает оценить свою деятельность на уроке с возможными результатами и определить ученикам, какую тему им следует повторить более подробно. Задает вопросы: Что было на уроке тяжело? С чем были затруднения? Какое задание показалось вам наиболее легким?	Ученики проводят самооценку своих результатов перед контрольной. Определяют для себя то, что им будет необходимо повторить перед контрольной работой. Выявляют для себя легкие и сложные задания. Отвечают на вопросы учителя.	Личностные: формирование самоидентификации, адекватной позитивной самооценки, самоуважения и самопринятия. Регулятивные УУД: соотноить результат действия с планом Познавательные УУД:построение речевого высказывания в устной и письменной форме, установление причинно-следственных связей; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.
Информация о домашнем задании.	Обеспечить понимание и принятие цели, содержания и способов выпол­нения домашнего задания. Проверить соответствующие записи	Повторить главу VIII Выполнить «Проверь себя», стр. 258	Учитель озвучивает домашнее задание и отвечает на вопросы учеников	Ученики фиксируют домашнее задание в дневники и если возникают вопросы, спрашивают учителя.	Регулятивные УУД: прогнозирование, осознание того, что уже усвоено и что предстоит усвоить. Познавательные УУД: умение структурировать знания

Эскиз доски на каждом этапе урока:

1. Организация начала урока:

2. Проверка домашнего задания:

3. Подготовка учащихся к основному этапу работы

4. Обобщение и систематизация знаний и умения

• 5. Проведение рефлексии
• 6. Информация о домашнем задании
• Список используемой литературы:

1. Ш.А. Алимов Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы», Москва «Просвещение» , 2012 г.

2. М.И. Шабунин, М.В. Ткачева и др. (составлены к учебнику Ш.А. Алимова и др.) «Дидактические материалы по алгебре и началам анализа 11 класс», Москва «Просвещение», 2006 г.

3. Далингер В.А. Методика обучения учащихся элементам математического анализа: Учебное пособие. — Омск: Изд-воОмГПУ, 1997. — 149 с.

Приложения

Приложение 1

Устные упражнения Найти производную функции:

Ответы учеников:

Устные упражнения Найти производную функции:

Приложение 2

Приложение 3

что такое производная?

какая функция называется дифференцируемой в точке x0?

1. что значит продифференцировать?
2. какой смысл имеет производная с механической точки зрения?
3. какой смысл имеет производная с геометрической точки зрения?
4. какой угол образует прямая с осью абсцисс:
5. если k0
6. если k
7. если k=0
8. как определить критические точки и точки экстремума?

Источник: https://multiurok.ru/files/proizvodnaia-i-ee-geometricheskii-smysl.html

Геометрический и физический смысл

Перед прочтением информации на текущей странице советуем посмотреть видео о производной и её геометрическом смысле

Также смотрите пример вычисления производной в точке
Касательной к линии l в точке М0 называется прямая М0Т — предельное положение секущей М0М, когда точка М стремится к М0 вдоль данной линии (т. е. угол устремится к нулю) произвольным образом.
Производной функции у = f{x) в точке x0 называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Производную функции у = f{x) в точке х0 в контрольных по математике и учебниках обозначают символом f'(x0). Следовательно, по определению
Термин «производная» (а также «вторая производная») ввел Ж. Лагранж (1797), к тому же он дал обозначения y’, f’(x), f”(x) (1770,1779). Обозначение dy/dx впервые встречается у Лейбница (1675).

Геометрический смысл производной

Производная функции y = f(х) при х = xо равна угловому коэффициенту касательной к графику данной функции в точке Мо(хо, f(xо)), т. е.

где а — угол наклона касательной к оси Ох прямоугольной декартовой системы координат.
Уравнение касательной к линии у = f(x) в точке Мо(хо, уо ) принимает вид
Нормалью к кривой в некоторой ее точке называется перпендикуляр к касательной в той же точке. Если f(x0) не равно 0, то уравнение нормали к линии у = f(x) в точке Мо(хо, уо) запишется так:

Физический смысл производной

Если x = f(t) — закон прямолинейного движения точки, то x’ = f’(t) — скорость этого движения в момент времени t. Быстрота протекания физических, химических и других процессов выражается с помощью производной.

Если отношение dy/dх при х->х0 имеет предел справа (или слева), то он называется производной справа (соответственно производной слева). Такие пределы называются односторонними производными.

Очевидно, функция f{x) определенная в некоторой окрестности точки х0, имеет производную f’{x) тогда и только тогда, когда односторонние производные существуют и равны между собой.

• Геометрическое истолкование производной как углового коэффициента касательной к графику распространяется и на этот случай: касательная в данном случае параллельна оси Оу.

Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке данного промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке. Если промежуток является замкнутым, то на концах его имеются односторонние производные.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Источник: http://univer-nn.ru/matematika/geometricheskij-i-fizicheskij-smysl/

Производная функции

Елена Репина 2013-08-06 2014-01-11

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , если этот предел существует.

Пример: 

Но нет необходимости каждый раз пользоваться этим определением для нахождения производной…

Работу нам упростит таблица производных и правила дифференцирования.

Геометрический смысл производной

• 
• Если мы рассмотрим прямоугольный треугольник , то заметим, что есть .
• А при стремлении к нулю, точка будет приближаться к точке и секущая «превратится» в касательную к графику функции в точке .
• Поэтому геометрический смысл производной таков:
• Производная  в точке  () равна тангенсу угла   наклона   касательной к графику функции в этой точке:
• ,
• где – угол наклона касательной (проведенной  к в т. )

Физический смысл производной

1. Если точка движется вдоль оси и ее координаты изменяются по закону , то мгновенная скорость точки:
2. ,
3. а ускорение:

Пример:

Материальная точка движется прямолинейно по закону , где  — расстояние от точки отсчета в метрах,  — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени .

• Решение:
• м/с
• Ответ: 60.

Уравнение касательной

Уравнение касательной к графику в точке :

Пример:

1. Составить уравнение касательной к графику функции  в точке .
2. Решение:
3. 1.
4. 2.
5. 3.
6. Ответ:
7. Смотрите также  «Производная функции в точке. Знак производной и монотонность функции»

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Печать страницы

Источник: https://egemaximum.ru/proizvodnaya-funkcii/

4.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной

Видеоурок: Производная и ее геометрический смысл

Лекция: Понятие о производной функции, геометрический смысл производной

Понятие о производной функции

Рассмотрим некоторую функцию f(x), которая будет непрерывной на всем промежутке рассмотрения. На рассматриваемом промежутке выберем точку х0, а также величину функции в данной точке.

Итак, давайте рассмотрим график, на котором отметим нашу точку х0, а также точку (х0 + ∆х). Напомним, что ∆х – это расстояние (разница) между двумя выбранными точками.

Так же стоит понимать, что каждому х соответствует собственное значение функции у. 

Разница значений функции в точке х0 и (х0 + ∆х) называется приращением данной функции: ∆у = f(х0 + ∆х) — f(х0).

Давайте обратим внимание на дополнительную информацию, которая имеется на графике – это секущая, которая названа КL, а также треугольник, который она образует с интервалами KN и LN.

Угол, под которым находится секущая, называется её углом наклона и обозначается α. Легко можно определить, что градусная мера угла LKN так же равна α.

• А теперь давайте вспомним соотношения в прямоугольном треугольнике tgα = LN / KN = ∆у / ∆х.
• То есть тангенс угла наклона секущей равен отношению приращения функции к приращению аргумента.
• В свое время, производная – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента на бесконечно малых интервалах.

Производная определяет скорость, с которой происходит изменение функции на некотором участке.

Геометрический смысл производной

Если найти производную любой функции в некоторой точке, то можно определить угол, под которым будет находится касательная к графику в данной токе, относительно оси ОХ. Обратите внимание на график – угол наклона касательно обозначается буквой φ и определяется коэффициентом k в уравнении прямой: y = kx + b.

То есть можно сделать вывод, что геометрическим смыслом производной является тангенс угла наклона касательной в некоторой точке функции.

Для нахождения производных необходимо пользоваться основными формулами, которые можно найти в таблице производных:

Предыдущий урок

Следующий урок

Источник: https://cknow.ru/knowbase/699-411-ponyatie-o-proizvodnoy-funkcii-geometricheskiy-smysl-proizvodnoy.html