Применение производной к построению графиков функций — справочник студента

#10 класс #Математика #Урок-игра #Методические разработки #Урок

Применение производной Применение производной к исследованию функций и построению их графиков

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АУКЦИОН 2 8 5 74 100 3

Имение графини Функции «Высокие горы, глубокие каньоны»

Справка Надо отгадать, что продается. Тот, кто отгадает, получает акцию. Надо назвать свою цену, то есть найти ответ.

Решивший назвать цену (давший правильный ответ), получает одну акцию, причем одна акция красного цвета равна трем акциям синего цвета. На обдумывание цены отводится определенное время (1–5 мин).

Набравший наибольшее количество акций красного цвета становится председателем акционерного общества. =

Сертификат На получение отметки «4» Выставляется в журнал при предъявлении начальнику счетной комиссии. Администрация проведения аукциона Сертификат На получение отметки «5» Выставляется в журнал при предъявлении начальнику счетной комиссии. Администрация проведения аукциона

Лот 1. Место нахождения Что продается? Дамы и господа! Ваши ответы.

Визитная карточка поместья Найдите область определения функции

Трудно найти черную кошку в тёмной комнате, Трудно найти черную кошку в тёмной комнате, особенно, если ее там нет.

Лот 2. Музыкальная гостиная Что продается? Дамы и господа! Ваши ответы.

Визитная карточка музыкальной гостиной Найдите наименьший положительный период функции

Лот 3. Картинная галерея

Что продается?
Дамы и господа! Ваши ответы.

• Найдите график нечетной функции Визитная карточка картинной галереи
• Найдите график четной функции
• В данной ниже таблице установите соответствие между функциями и названиями их видов, поставив знак “+” в нужной клетке. x6 x3-27 cosx x7 Четная Нечетная Ни четная, ни нечетная
• x6 x3-27 cos x x7 Четная + + Нечетная + Ни четная, ни нечетная + +

Найдите точки пересечения функции с осями координат Лот 4. «Чем дальше в лес, …» Что продается? Дамы и господа! Ваши ответы.

Что продается?
Дамы и господа! Ваши ответы. Лот 5. Глобус

Что продается?
Дамы и господа! Ваши ответы. Лот 6. Горная долина

Визитная карточка поместья «Экстремального» Найдите точки экстремума функции y=f(x)

Лот 7. Загадка Конь – лошадь – жеребёнок;
Кот – кошка – …;
Бык – корова – …;
Баран – овца – …;
Король – королева – принц;
Граф – графиня – … Что продается? Дамы и господа! Ваши ответы.

x 0 y 1 -1 2 По характеру изменения графика функции укажите, на каких промежутках производная положительна, на каких отрицательна. Функция определена на R. Ответ: на 1

x 0 y 1 -1 2 По характеру изменения графика функции укажите, на каких промежутках производная положительна, на каких отрицательна. Функция определена на R. Ответ: на 1

x 0 y 1 -1 2 На рисунке изображен график дифференцируемой функции y = h(x). Определите знак производной функции на промежутках: -2 3 -5 5 1

Дан график производной одной из перечисленных функций. Определите какой? x 0 y 1 -1 2 1 2 3 4 5 Верно Подумай Подумай Подумай Подумай 1

Дан график производной одной из перечисленных функций. Определите какой? x 0 y 1 -1 2 1 2 3 4 5 Верно Подумай Подумай Подумай Подумай 1

Дан график производной одной из перечисленных функций. Определите какой? x 0 y 1 -1 2 1 2 3 4 5 Подумай Подумай Подумай Верно Подумай 1

указать пары “функция – график производной этой функции” График производной Функция у = 2х – х3 у = 2х – 7 у = 2х + х4

указать пары “функция – график производной этой функции” График производной Функция у = 2х – х3 + + + + у = 2х – 7 + у = 2х + х4 +

Что продается?
Дамы и господа! Ваши ответы. Лот 8. Эверест

Что продается?
Дамы и господа! Ваши ответы. Лот 9. Шахматы

х (-; -1] -1 [-1; 0] 0 [0; 1] 1 [1; +) у(x) — 0 + 0 — 0 + у(x) -4 -3 4 min max min

1. Печора. 2. Урал. 3. Амур. 4. Нил. 5. Амазонка. 1. Печора. 2. Урал. 3. Амур. 4. Нил. 5. Амазонка.

1. Автопортрет графини Функции 1 2 3 4 1 2 3 4 Точность – вежливость королей!
2. производная равна нулю (стационарные точки) критические точки производная не существует максимума «+» на «-» минимума «-» на «+» перегиба знак не меняется максимума «+» на «-» минимума «-» на «+» излома знак не меняется плавные линии угловатые линии точка точка точка точка точка точка
3. Если в конце исследования не видно следующего, Если в конце исследования не видно следующего, значит исследование не доведено до конца.
4. Выпуклость графика на интервале График обращен на отрезке [а;в] выпуклостью вверх График обращен на отрезке [а;в] выпуклостью вниз
5. Исследование графика на выпуклость График обращен на отрезке [а;в] выпуклостью вверх f”(x)0

Домашнее задание 1 . Практическое а) Исследовать функцию и построить ее график. б) Построить график функции по ее «анкете». 2. Аналитическое (творческое) Отыскать функцию среди предложенных, исходя из ее «автобиографии».

Математическими портретами закономерностей природы служат функции

Знания способны весь мир перевернуть. Там, где есть желание, всегда найдется путь!

Научись встречать беду не плача: Горький миг – не зрелище для всех. Знай: душа растет при неудачах И слабеет, если скор успех. Мудрость обретают в трудном споре. Предначертан путь нелегкий твой Синусоидою радости и горя, А не вверх взмывающей кривой. Е. Долматовский

Источник: https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/presentation/89.html

Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Задания ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Открытый банк заданий по теме применение производной к исследованию функций и построению графиков. Задания B7 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-4; 10). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Показать решение

Как известно, функция f(x) убывает на тех промежутках, в каждой точке которых производная f'(x) меньше нуля. Учитывая, что надо находить длину наибольшего из них естественно по рисунку выделяются три таких промежутка: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).

Длина наибольшего из них — (5; 9) равна 4.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих промежутку [-6; -2].

Показать решение

Из графика видно, что производная f'(x) функции f(x) меняет знак с плюса на минус (именно в таких точках будет максимум) ровно в одной точке (между -5 и -4) из промежутка [-6; -2]. Поэтому на промежутке [-6; -2] ровно одна точка максимума.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-2; 8). Определите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Показать решение

Равенство нулю производной в точке означает, что касательная к графику функции, проведённая в этой точке, параллельна оси Ox. Поэтому находим такие точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На данном графике такими точками являются точки экстремума (точки максимума или минимума). Как видим, точек экстремума 5.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки -6, -1, 1, 4 на оси абсцисс. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Показать решение

Проводим касательные к графику функции в точках с указанными абсциссами. Определяем, под каким углом они наклонены к положительному направлению оси Ox. Как известно, значение тангенса указанного угла это и есть значение производной в указанных точках.

В точках -1 и 4 касательные наклонены под острым углом, поэтому в этих точках значение производной отрицательно. Учитывая, что в точке x=-6 касательная наклонена под меньшим тупым углом (ближе к вертикальной прямой), значение производной в этой точке наименьшее.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-9; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Показать решение

Как известно, функция f(x) возрастает на тех промежутках, в каждой точке которых производная f'(x) больше нуля. Учитывая, что надо находить длину наибольшего из них естественно по рисунку выделяются три таких промежутка: (-9; -8); (-5; -1); (1; 4).

Длина наибольшего из них (-5; -1), равна 4.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих промежутку [-4; 3].

Показать решение

Из графика видно, что производная f'(x) функции f(x) меняет знак с минуса на плюс (именно в таких точках будет минимум) ровно в одной точке x=2 из промежутка [-4; 3]. Поэтому на промежутке [-4; 3] ровно одна точка минимума.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки -5, -4, -1, 1 на оси абсцисс. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Показать решение

Проводим касательные к графику функции в точках с указанными абсциссами. Определяем, под каким углом они наклонены к положительному направлению оси Ox. Как известно, значение тангенса указанного угла это и есть значение производной в указанных точках.

В точках -4 и -1 касательные наклонены под тупым углом, поэтому в этих точках значение производной отрицательно. В точках -5 и 1 касательные наклонены под острым углом, поэтому в этих точках значение производной положительно.

Учитывая, что касательная, проведённая к графику функции в точке x=1, образует больший угол с положительным направлением оси Ox, то значение производной в этой точке наибольшее.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-7; 5). В какой точке отрезка [-6; -2] функция f(x) принимает наименьшее значение?

Показать решение

Из графика видно, что производная f'(x) функции f(x) больше нуля во всех точках промежутка [-6; -2]. Значит, на этом промежутке функция f(x) возрастает. Поэтому наименьшее значение функции будет на левом конце промежутка, то есть в точке -6.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-5; 7). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Показать решение

Производная отрицательна в тех точках промежутков, на которых функция убывает. Рассматривая график, находим шесть таких точек с целочисленными абсциссами: -3; -2; 1; 2; 5; 6.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

На рисунке изображён график функции y=f(x) и семь точек на оси абсцисс: x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

Показать решение

Производная отрицательна в тех точках, которые принадлежат промежуткам убывания функции, если только касательные в них не горизонтальны.

Точками, удовлетворяющими сказанному, будут: x_1, x_4, x_5, x_6. Их оказалось 4.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Источник: https://academyege.ru/theme/primenenie-proizvodnoj-k-issledovaniyu-funkcij-i-postroeniyu-grafikov.html

Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Данная презентация подготовлена к уроку математики для студентов 1 курса СПО в пределах освоения ОПОП СПО ППССЗ по специальностям технического и социально-экономических профилей

• Применение производной при построении графиков
• ГАПОУ КО
• «Калужский колледж экономики и технологий»
• Преподаватель Рыбалко Ирина Антоновна

1. Применение производной
2. Физика и техника
3. Уравнение касательной
4. геометрия
5. Построение графиков

• Физика и техника
• a = ?
• V=?
• V(t)= x / (t)
• a=v / (t)
• S= х 2 -8х+12
• V(t)=?
• a=?
• задача

Физика и техника

• I(t)= q ´ (t)
• P=A ' (t)
• C(t)=Q ' (t)

Уравнение касательной

• У= f(x 0 ) + f ´ (x 0 )(x-x 0 )
• f / (x 0 )= tg α

1. у
2. α
3. α
4. х
5. х 0
6. х 0

• S'=?
• R
• S‘=C=2 π R
• Длина окружности

Схема исследования функции

• Производная
• Область определения
• Критические точки
• Значения функции в критических точках
• Возрастание и убывание функции
• Экстремумы
• График

1. Построение графика
2. у
3. А(-1;2)
4. В(1;-2)
5. 2
6. А
7. 1
8. -1
9. 0(0;0)
10. 0
11. х
12. В
13. -2

• Построение графиков
• у
• У=3х 5 -5х 3
• 2
• 1
• 0
• х
• -1
• -2

Асимптоты

• Прямые, к которым ветви графика неограниченно приближаются при удалении в бесконечность

у

х

1. f‘(x)=0
2. X=0 x=2
3. f‘(x)=3x 2 -6x
4. D(f)=R
5. у
6. '
7. f
8. х
9. f
10. 0
11. 2
12. х
13. -4

• Темпы производительности труда – это
• Производная производительности труда
• По времени

Источник: https://videouroki.net/razrabotki/primienieniie-proizvodnoi-k-issliedovaniiu-funktsii-i-postroieniiu-ghrafikov.html

Разработка урока на тему: "Применение производной к исследованию функций и построению графиков"

• КГБОУ СПО (ССУЗ) «Минусинский сельскохозяйственный колледж»
• Преподаватель дисциплины математика: Корнилова Надежда Леонидовна
• Дисциплина Математика
• План урока № 83 Группа_____ Дата « ____»_____20____г.
• Вид занятия: урок
• Тип урока: изучение нового материала
• Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков
• Цели:
• Образовательные:

• систематизировать пройденный материал по производным и функциям;
• научить учащихся исследовать функцию с помощью производной и строить её график;
• развивать вычислительные навыки.

Развивающие:

• умение применять полученные знания при изучении нового материала;
• развитие элементов творческой деятельности;
• развитие целеустремлённости в достижении поставленной цели.

Воспитательные:

• воспитывать самостоятельность и ответственное отношение к своему делу;
• воспитывать умение выстраивать отношения в диалоге с товарищами и учителем, чувства взаимопомощи;
• воспитание интереса к математике.

Методы проведения урока:

1. Словесные: объяснение.

2. Наглядные: демонстрация компьютерной презентации.

3. Практические: упражнения (устные с дидактическим материалом).

4. Самостоятельная работа на уроке.

Оборудование:

• компьютер, проектор, экран

урока (ход урока)

1. Организационный момент. (3 минут)

2. Повторение ранее изученного материала (письменная работа). (7 минут)

3. Изучение нового материала. (60 минут)

4. Закрепление изученного материала.(4 минуты)

5. Работа в группах.

6. Подведение итогов. (5 минут)

Ход урока

Девиз к уроку:“Решай, ищи, твори и мысли”

1. Организационный момент.

Здравствуйте (проводим перекличку и повторяем ранее изученный материал). Тема сегодняшнего занятия Применение производной к исследованию функций и построению графиков(запустили электронную презентацию). Цель нашего урока: научиться исследовать функцию с помощью производной и строить её график.

1. 2. Повторение ранее изученного материала
2. а) письменная работа индивидуальная дифференцированная
3. На «3»:
4. Найти область определения.
5. Определить четность или нечётность.
6. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
7. На «4-5»
8. Найти критические точки.
9. Найти промежутки возрастания и убывания.
10. Найти точки экстремума и экстремум функции

б) устная работа.Назвать графики известных функций.

у = -2х+5

• у = х2 + 4х — 3
• у = х2+1
• у = х2
• у = 0,5х
• у = 8
• у =
• у = х2- 2
• х = 3
• у = 3х — х3
• у = х4 -2х2 -3

3. Изучение нового материала.

Достаточное условие возрастания функции

Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)0, то функция  f(x) возрастает на этом интервале.

Достаточное условие убывания функции.

• Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)
• Определение:
• x0 называется критической точкой функции  f(x), если
• 1) x0 – внутренняя точка области определения  f(x) ;
• 2) f'(x0)=0 или f'(x0) не существует.
• Необходимое условие экстремума:
• Если x0– точка экстремума функции  f(x), то эта точка является критической точкой данной функции.
• Достаточное условие экстремума:
• Если при переходе через точку x0 производная функции меняет знак, то x0 – точка экстремума функции  f(x).

Примеры экстремумов:

Схема исследования функции.

1. Найти область определения функции.

2. Проверить, не является ли функция четной или нечетной; проверить также, не является ли она периодической.

3. Найти, если это возможно, точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства функции. Иногда для уточнения построения графика следует найти две три дополнительные точки.

4. Найти производную функции и ее критические точки.

5. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.

6. Построить график функции, используя полученные результаты исследования.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b].

1. Найти значения функции в концах отрезка, т.е. f(a) и f(b) ;

2. Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (a,b) ;

3. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

1. Закрепление изученного материала.

Вопрос: Какие свойства необходимы знать для построения графика функции? (ответы учащихся, перечисляют)

Вопрос: Найти ответы для нахождения критических точек, промежутков возрастания, убывания поможет… (учащиеся должны ответить что — производная)

Студенты объединяют цель (в начале) урока и понятие производной, и формулируют тему урока.

 Работают в группах и обсуждают до первого победителя, кто построит правильно график. Проверка.

• Чему научился на уроке.
• Смог ли понять новый материал.
• Самооценка своей деятельности.

1. 1) Усвоил хорошо.
2. 2) Усвоил, но есть проблемы.
3. 3) Усвоил плохо.

Источник: https://kopilkaurokov.ru/matematika/uroki/razrabotka-uroka-na-tiemu-primienieniie-proizvodnoi-k-issliedovaniiu-funktsii-i-postroieniiu-ghrafikov

Урок-лекция «Применение производной к исследованию и построению графиков функций»

• Слайд 0
• Урок-лекция «Применение производной к исследованию и построению графиков функций»
• Слайд 1
• Цель урока:
  научиться применять таблицу производных при исследовании функций и построении графиков
• Слайд 2

Математический диктант
Вариант 1.
(Cu)’=…
…=(u’v-v’u)/v?
(cos x)’=…
…=1/cos? x
(ex)’=…
Вариант 2.
C’=…
…=(u’v+v’u)
(sin x)’=…
…=-1/sin? x
(xn)’=… Вариант 1.
(Cu)’=Cu’
(u/v)=(u’v-v’u)/v?
(cos x)’=-sin x
tg x=1/cos? x
(ex)’=ex
Вариант 2.
C’=0
(uv)’=(u’v+v’u)
(sin x)’=cos x
ctg x=-1/sin? x
(xn)’=n*xn-1

Слайд 3

Классная работа
Одной из основных задач, возникающих при исследовании функции, является нахождение промежутков монотонности функции (промежутков возрастания и убывания). Такой анализ легко сделать с помощью производной.

1. Слайд 4
2. Функция y=f(x) называется возрастающей в некотором интервале, если в точках этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
3. Слайд 5
4. возрастающая
   убывающая
   убывающая
   убывающая
   возрастающая
   возрастающая и убывающая на интервалах
   возрастающая и убывающая на интервалах
   возрастающая и убывающая на интервалах
5. Слайд 6

Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает (убывает) в данном интервале, то производная этой функции не отрицательна (не положительна) в этом интервале.
Теорема 1.

Слайд 7

Если производная функции y=f(x) положительна (отрицательна) на некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает).
Теорема 2.

Слайд 8

Находим область определения функции f(x).
Вычисляем производную f’(x) данной функции.
Находим точки, в которых f’(x)=0 или не существует. Эти точки называются критическими для функции f(x).

Делим область определения функции этими точками на интервалы. Они являются интервалами монотонности.
Исследуем знак f’(x) на каждом интервале.

Если f’(x)›0, то на этом интервале f(x) возрастает; если f’(x)‹0, то на таком интервале функция f(x) убывает.
Правило нахождения интервалов монотонности

Слайд 9

Область определения: R. Функция непрерывна.
Вычисляем производную : y’=6x?-6x-36.
Находим критические точки: y’=0. x?-x-6=0
Д=1-4*(-6)*1=1+24=25 Делим область определения на интервалы: Функция возрастает при x?(-?;-2]?[3;+?), функция убывает при x?[-2;3].
Пример №1. Найти промежутки монотонности функции y=2x?-3x?-36x+5

Слайд 10

Область определения: R. Функция непрерывна.
Вычисляем производную : y’=3x?-6x.
Находим критические точки: y’=0. x?-2x=0
x(x-2)=0
x1=0 и x2=2
Делим область определения на интервалы: Функция возрастает при x?(-?;0]?[2;+?), функция убывает при x?[0;2].
Пример №2. Найти промежутки монотонности функции y=x?-3x?

Слайд 11

Слайд 12

Если функция y=f(x) имеет экстремум в точке x=x0, то в этой точке производная функции или равна нулю, или не существует.
Теорема 3.

Слайд 13

Если производная f’(x) при переходе через точку x0 меняет знак, то точка x0 является точкой экстремума функции f(x).
Если производная меняет знак с + на –, то точка будет являться точкой максимума, если с – на +, то точка будет точкой минимума
Теорема 4.

Слайд 14

Область определения: R. Функция непрерывна.
Вычисляем производную : y’=-6x?-6x+12.
Находим критические точки: y’=0. -x?-x+2=0
Д=1-4*(-1)*2=1+8=9
x1=1; x2=-2
Делим область определения на интервалы: x=-2 – точка минимума. Найдём минимум функции ymin=-24. x=1 – точка максимума. Найдём максимум функции: ymax=3.
Пример №3. Найти экстремумы функции y=-2x?-3x?+12x-4

Слайд 15

Работа на уроке:
Исследовать на экстремум функцию y=x2+2.
Решение:
Находим область определения функции: D(y)=R.
Находим производную: y’=(x2+2)’=2x.
Приравниваем её к нулю: 2x=0, откуда x=0 – критическая точка.
Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: x=0 – точка минимума. Найдём минимум функции ymin=2.

Слайд 16

Исследовать на экстремум функцию y=1/3×3-2×2+3x+1.
Решение:
Находим область определения функции: D(y)=R.
Находим производную: y’=(1/3×3-2×2+3x+1)’=x2-4x+3.

Приравниваем её к нулю: x2-4x+3=0, откуда x1=1, x2=3 – критические точки.
Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: x=1 – точка максимума.

Найдём максимум функции ymax=7/3. x=3 – точка минимума. Найдём минимум функции: ymin=1.

Слайд 17

Слайд 18

Исследовать на экстремум функцию y=x2-x-6.
Решение:
Находим область определения функции: D(y)=R.
Находим производную: y’=(x2-x-6)’=2x-1.
Приравниваем её к нулю: 2x-1=0, откуда x=1/2 – критическая точка.
Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: x=1/2 – точка минимума. Найдём минимум функции: ymin=-6,25.

Источник: https://officemagazine.ru/no_category/218070

Лавренова Татьяна Петровна, учитель математики высшей категории «Применение производной к построению графиков функций» Урок алгебры в 11 классе. 2 часа. — презентация

1 Лавренова Татьяна Петровна, учитель математики высшей категории «Применение производной к построению графиков функций» Урок алгебры в 11 классе. 2 часа МОУ СОШ 98, г. Красноярск

2 «Применение производной к построению графиков функций» практическое применение знаний и умений

3 Цель работы на зачетном уроке обобщить знания связанные с производной; закрепить решение задач с помощью производной; оценить свои знания по теме; развивать умение работать в группе; развивать логическое мышление; формировать навыки контроля и самоконтроля.

4 План урока 1. Повторение основных понятий и определений; 2. Физический смысл производной; 3. Работа с графиками функции и производной; 4. Составление линейной схемы связи производной и функции; 5. Применение полной схемы исследования функции, построение графиков функций; 6. Практическое применение умения строить графики функций с помощью f '(x)

5 Инструкция для работы в группе Распределите обязанности в группе: Внимательно прочитайте задание, предложенное группе, Наметьте алгоритм выполнения задания, Выполните каждый свою часть задания, Помните, от действий каждого зависит общий результат, Обсудите результат работы группы, проверьте Представьте своё решение классу, Будьте внимательны, корректны и доброжелательны в общении с товарищами. Следите за временем, номер задания совпадает с номером вашей группы.

6 Словарь терминов 1. Область определения функции: D (x) ; 2. Множество значений функции: E (y); 3. Нули функции; 4. Критические и стационарные точки функции; 5.

Точки экстремумов, экстремумы функции (графическая иллюстрация) 6. Вид, положение критических точек (проиллюстрировать) на графике функции, на графике производной, 7.

7 НАЙТИ D (x); и E (x), нули 1. y=x²+Зx-5 2. y= lg(x+1) 3. y= 1/ х-3 4. y=COS X+2 5. y=Зª+6 Задание 1 Обсуждение 1 мин, пояснить ответ группы

8 Найти производную функции в точке (задание 2) Гр 1 f '(-1) = Гр 2 f '(2) = Гр 3 f '(1) = Гр 4 f '(0) = Гр 5 f '(1/2) = f (x) =1/4 x4 – 1/3 x3 +18

9 Проверь себя Гр 1 f '(-1) =-2 Гр 2 f '(2) = 4 Гр 3 f '(1) = 0 Гр 4 f '(0) = 0 Гр 5 f '(1/2) = -1/8 Выясните, в чем особенность выделенных точек?

10 Определите по вид критической точки на рисунках указаны знаки производной функции (задание 3) + — Х°Х° Х°Х° Х°Х° Х°Х° Х°Х° Обсуждение-1мин. Найти ваш схему и пояснить!

11 Найти ошибку в ответе (задание 4) Ученик, определяя по графику точки экстремума, допустил некоторые ошибки. Зная определение критических точек и точек экстремума, проанализируйте ответ и найдите ошибки! Итог подведет Группа 5

12 Найти ошибку в ответе (задание 4) f '(x) X = — 7 это точка минимума 2.X =- 2 это точка максимума 3.X = 5 критическая точка, 4.X = 6 нуль функции

14 МОНОТОННОСТЬ ФУНКЦИИ «Однозвучно звучит колокольчик ….» — строчка из стихотворения Что же такое МОНОТОННОСТЬ? ОДНООБРАЗИЕ!? ( так ли однообразна монотонная функция ?) В чем проявляется монотонность функции? Как она связана с производной функции? Можно ли по графику функции определить монотонность функции?

• 15 Математики шутят Подберите к графикам функций пословицы и поговорки в русском языке, так или иначе, отражающие их свойства, в том числе и монотонность
• 16 Математики шутят Как аукнется, так и откликнется; (четность) Тише едешь, дальше будешь; (уб) Повторенье – мать ученья; (периодичн) Чем дальше в лес, тем больше дров ;( возр) Любишь кататься, люби и саночки возить; (уб-возр, четн)
• 17 Алгоритм исследования функции на монотонность Гр 1 f (x)= (x-2)(x+2) Найдите промежутки монотонности, составьте линейную схему х f f -2 2 Задание 5

18 Задан график y=f '(x) укажите: (по группам) х у y=f '(x) Критические точки; 3.Промежутки знакопостоянства производной; 4.Точки экстремумов; 5.Промежутки монотонности функции ЕГЭ

19 Задан график y=f '(x) проверьте! х у y=f '(x) Критические точки: x=З;0;3 2.Промежутки знакопостоянства производной; 3.Точки экстремумов; X max=- 3;3; X min=0; 4.Промежутки монотонности функции

20 Опишите функцию по графику производной 0 y=f '(x) Задания ЕГЭ

21 y=f '(x) Проверь себя!

22 Схема исследования функции Алгоритм исследования функции с помощью производной и построение графика функции 1. Область определения функции, 2. Множество значений функции, 3. Четность, 4.

Периодичность, 5. Критические и стационарные точки, 6. Монотонность функции, 7. Экстремумы функции, 8. Таблица исследования функции, 9.

Таблица дополнительных точек для построения графика (Итог)

23 Производная в физике Применение производной при решении задач (сообщение ученика)

24 Производная в физике (задание 6) Решите в группе задачи, решение представьте на кодопленке 1.Точка движется по закону X (t) = 4t+t²-1/6t³. Найдите скорость в момент времени t= 2 с. 2.Найдите ускорение движения материальной точки, опишите вид движения, если S (t)=3t² — 6t. 3.

Найдите силу, действующую на тело массой 4 кг, которое движется прямолинейно по закону X (t) = 4t+t²-1/6t³. 4.Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t= 1 с на угол φ = 2t- 0,04t².Найдите угловую скорость вращения маховика в момент t=2c. 5.

25 Применение схемы исследования функции работа в группах задание 7 Описать функцию и изобразить схему графика по заданной таблице; (1-2группы) Исследовать функцию и построить график данной функции; (3группа) Задача на применение производной в физике (4-5группа) Отчет группы 2-3 мин (15-20 мин)

26 «Футбольные болельщики » Группа 4 После удара по мячу нападающим Богатырём, футбольный мяч движется прямолинейно по закону: S (t) = 2 t ³+ t ² – 4. 1.Сумеет ли полузащитник Клещенко перехватить мяч на 4-ой секунде после удара, если его скорость – 15 км /час? 2. Каково ускорение движения мяча? 3. Постройте график (траекторию) движения мяча.

27 Группа :«Баллисты — трассологи» Помните рассказ о Бароне Мюнхгаузене? Пушка стреляет под углом к горизонту. На ядре сидит Барон Мюнхгаузен, решивший на ядре перелететь через стены крепости.

Определите характер движения ядра: вид баллистической траектории, если V 0 = 15 м/c, g 10 м/ c², y 0 = 0. Запишите формулу пройденного пути ( траектории ), постройте график ( траекторию ) движения Мюнхгаузена на ядре.

Группа 5

28 ИТОГ урока: М.В. Ломоносов сказал: «Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит…» Мы постарались привести в порядок все знания о производной функции… Мы оценили свои умения, выработанные при её изучении, Мы ещё раз убедились в важности изученной темы… И доказали, что терпенье и труд….

Источник: http://www.myshared.ru/slide/576425/

Применение производной к построению графика функции | Открытый класс

Данные об авторе Осипцова Галина Петровна

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №12» города Выборга, учитель математики.

Ленинградская область

Характеристики урока (занятия) среднее (полное) общее образование

Учитель (преподаватель)

1. Сформировать умение применять производную к исследованию функций и построению графиков.

2. Развивать  логическое мышление, умение анализировать, умение ставить проблему, решать ее.

3. Воспитывать желание высказывать свое мнение.

Урок изучения и первичного закрепления новых знаний
Используемые учебники и учебные пособия: 

УМК:  С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин

Используемая методическая литература: 

М.К. Потапов, А.В.Шевкин «Алгебра и начала математического анализа, 10». Книга для учителя. М: «Просвещение» 2010.

Используемое оборудование: 

Компьютер, документ камера, таблица с алгоритмом исследования функции, карточки с заданиями.

1. Системно-деятельностный подход при построении урока алгебры и начал анализа в 11 классе.

Урок алгебры и начал анализа в 11 классе

(УМК:  С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин)

Тема урока: «Применение производной к построению графиков функций»

Основные цели урока:

1. сформировать умение применять производную к исследованию функций и построению графиков;

2. развивать умение ставить проблему, решать ее, логическое мышление, умение анализировать;

3. воспитывать желание высказывать свое мнение.

Оборудование и раздаточный материал:  компьютер, документ камера, таблица с алгоритмом исследования функции, карточки с заданиями.

Ход урока

1. Мотивация учебной деятельности.

   — Здравствуйте,  ребята.

    — Что нового вы узнали на предыдущих уроках? (как с помощью производной найти  критические точки, промежутки возрастания, убывания функции, ее экстремумы, наибольшее ( наименьшее) значение).

   — На этом уроке мы продолжим исследовать функции с помощью производной.

2. Актуализация знаний.

   На экране вы видите график  функции  y = f (x):

    — Какие свойства функции можно определить по графику? Назовите их.

   • Ответ: 1) D(f) = R;
   •             2) функция непрерывна
   •              3) Функция возрастает  на отрезке [-2; 0,5] и на промежутке  [3; +∞), а значит,  f '(x) > 0  на  (-2; 0,5) и на (3; +∞).

1.                 Убывает на (-∞; -2] и на  [0,5; 3], а,  значит, f '(x) < 0   на (-∞; -2) и на  (0,5; 3).
2.                     точки максимума функции:x         точки минимума:  x = -2    x = 3;
3.                   4)наибольшее значение функции не существует, наименьшее равно-2 при = 3;
4. E(f) = [-2; +∞).
5.  — Как найти точки экстремумов функции? (Если производная при переходе через критическую точку меняет знак с «+» на «-», то данная точка является точкой максимума, если же производная при переходе через критическую точку меняет знак с
6.  «-»на «+», то данная точка является точкой минимума, если производная при переходе через критическую точку знак не меняет, то данная критическая точка не является точкой экстремума.
7. − Сформулируйте алгоритм нахождения промежутков возрастания, убывания и экстремумов функции у = f(x), заданной аналитически.
8. Учащиеся формулируют, на экране последовательно открываются шаги алгоритма.
9. Алгоритм.

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную функции.

3. Найти критические точки.

4. Отметить на числовой прямой область определения и критические точки. Пользуясь обобщенным методом интервалов, определить знаки производной на полученных промежутках.

5. Пользуясь достаточными признаками, найти промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.

 — А теперь исследуйте функцию f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Учитель записывает на доске под диктовку учащихся. Учащиеся работают в тетрадях.

1. D(f) = R,  f(x) непрерывна на D(f).

   Функция ни четная, ни нечетная, непериодическая.

2. Точки пересечения

   с осью х:  (0; 0) и (-3; 0), т. к.

             f(x) = 0, т. е. ⅓x³ + 2x² + 3x = 0

   •                                   ⅓x (x² + 6 x + 9) = 0
   •                                     ⅓x (х + 3)² = 0
   •                                    х = 0; х = -3
   •             с осью у: (0; 0).
3. 1. Производная функции: f '(x) = x² + 4х + 3,  D(f '(x)) =R
   2. критические точки: f '(x) = 0 при х = -3, х = -1.
   3. Отмечаем на числовой прямой критические точки и определяем знаки производной на полученных промежутках:
   4.   f '(x) > 0   на (-∞; -3) и на (-1; +∞); f '(x) < 0 на  (-3; -1), значит, f(x)  возрастает  на (-∞; -3] и на  [-1; +∞), убывает на  [-3; -1].

• fmax = 0 при х = -3, fmin = -4 при х = -1
•            4) Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
•            5) E(f) = R
•               — Что вы повторили?
•          .
•  — Как вы думаете, какое следующее задание я вам предложу?

 — Итак, вы провели исследование функции. А теперь вам надо, используя результаты исследования, построить график функции f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

1. Возникнут ли у вас затруднения?
2. 3. Выявление затруднений, проблемы
3. Учитель предлагает нескольким учащимся озвучить затруднения.

 — Какое задание вы должны были выполнить?  (Используя данные исследования, построить график функции).

 — Почему у вас возникли затруднения? (Не знаем способа построения графиков по данным исследования функции).

 — Что вы используете для исследования функции? (Производную).

          4. Построение проекта выхода из затруднения.

 — Сформулируйте цель вашей деятельности. (Узнать способ построения графика, используя исследование функций с помощью производной).

 — Сформулируйте тему урока. ( Применение производной для построения графиков функций).

Тема урока открывается на доске.

 — Итак, у вас возникло затруднение при построении графика функции. Что вы раньше использовали для построения графиков функций? ( таблицы с некоторыми точками, принадлежащими графику).

 —  Но часто точки не дают объективной картинки графика. И теперь, зная алгоритм исследования функции, какие данные будете вносить в таблицу? (нужно внести в таблицу результаты исследования функции, затем по таблице построить график).

•           5. Реализация построенного проекта
• На доске открывается пустая таблица:
•  — Вы исследовали функцию f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.
•  Перечислите шаги, которые вы выполняли при исследовании функции.( По ходу заполняется таблица)

х	(-∞; -3)	— 3	(-3; -1)	-1	(-1; + ∞)
f '(x)	+	0	_	0	+
f(x)		0		-4
max	min

 — Результаты, полученные в таблице, переносим на координатную плоскость.

Что еще можно сделать, чтобы более точно построить график? (Можно найти несколько дополнительных точек, принадлежащих графику функции).

На доске появляется график функции f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Как вы это сделали? (Мы создали алгоритм построения графика). (Еще раз проговариваем этапы исследования функции и построения ее графика).

Алгоритм построения графика с помощью производной..

1. D (f), непрерывность f(x);
2. f '(x);
3. f '(x) =0,  f '(x) не существует;

4. таблица

5. дополнительные точки;

6. график.

           6. Первичное закрепление приобретенных знаний.

 — Что теперь необходимо сделать? ( надо научиться использовать алгоритм для построения графиков).

      — Постройте теперь график функции  . f(x) = х + .

        Один ученик работает у доски, комментируя свои действия, остальные работают в тетрадях.  

1. D (f) = (-∞; 0) U (0; + ∞),  f(x) непрерывна на D (f).
2. Производная функции:f '(x) = 1 – 4/ x².

   D(f ') = (-∞; 0) U (0; + ∞).

3. Критические точки: = 0 при х = 2 и х = -2, точек, в которых f'() не существует – нет.

4. Таблица:

x	(-∞; -2)	-2	(-2; 0)	0	(0; 2)	2	(2; + ∞)
f '(x)	+	0	—	нет	—	0	+
f(x)		-4		нет		4
max	нет	min

1.  5. Дополнительные точки:
2.        6.  График функции:
3. —  Попытайтесь изобразить график самостоятельно.
4. На экране появляется график для проверки.
5.       7. Самостоятельная работа с самопроверкой по образцу
6. – А теперь давайте проверим, как каждый из вас понял, как применять построенный алгоритм.

Вариант 1. Исследовать функцию и построить ее график Вариант 2. По частично  проведенному исследованию построить график функции

1. Учащиеся выполняют задание самостоятельно, после выполнения работы учащиеся сопоставляют свои работы с подробным образцом:
2. Вариант 1.
3. 1) D (f) = R, функция непрерывна.
4. 2) y| = 3×2 – 6x
5. 3) 3×2 – 6x = 0; D (f|) = R
6. х1 = 0; х2 = 2
7. 4)

х	(− ¥; 0)	0	(0; 2)	2	(2; +¥)
¦/(х)	+	0	−	0	+
¦(х)	¦(0) = 4	¦(2) = 0
max	min

• 6) график
• Вариант 2.
• 1) D (f) = R, функция непрерывна.
• 2) y¢ = 6×2 – 6
• 3) 6×2 – 6 = 0; D (f|) = R
• х1 = − 1; х2 = 1
•           +           −           +
•             − 1               1
• 4)

x	-1	1
f’(x)	+	0	0	+
f(x)	2	-6
max	min

1. − У кого задание вызвало затруднение?
2. − На каком шаге алгоритма?
3. − В чем причина возникшего затруднения?
4. − У кого задание выполнено правильно?

   8. Включение в систему знаний и повторение.

– Давайте теперь посмотрим, в каких заданиях ЕГЭ можно применить полученные знания.

Решите задачи:

1. Найдите множество значений функции .

2. При  каких значениях параметра р уравнение  = p имеет 2 корня, 1 корень, не имеет корней?

1) Ответ : (− ¥; − 4] U [4; + ¥).

2) Ответ: 2 корня при р4; 1 корень при р = − 4 и р = 4; не имеет корней при − 4< p

Источник: http://www.openclass.ru/node/455843