Правило лопиталя — справочник студента

Швейцарский математик Иоганн I Бернулли (1667-1748) после успешного окончания Базельского университета, путешествуя по Европе, в 1690 году приезжает в Париж. В литературном салоне философа Никола Мальбранша (1638-1715) Иоганн знакомится с французским математиком маркизом Гийомом Франсуа Антуаном де Лопиталем (1661-1704).

В ходе оживленной беседы Лопиталь удивился, как легко, “как бы играя”, юнец Бернулли решал трудные задачи по новому исчислению. Поэтому Лопиталь попросил прочитать ему несколько лекций. Устные беседы понравились Лопиталю, и он за приличный гонорар стал получать материалы в письменном виде.

Заметим, что общеизвестное теперь “правило Лопиталя” для раскрытия неопределенностей также было передано ему Иоганном. Уже в 1696 году появился знаменитый трактат Лопиталя “Введение в анализ бесконечно малых для понимания кривых линий”.

В 1921 году были обнаружены рукописные копии лекций, написанные рукой Иоганна I Бернулли, оригиналы которых были переданы Лопиталю в 1691–1692 гг. Из них ученые неожиданно обнаружили, что Лопталь в своем “Анализе” почти не отступал от лекций своего молодого учителя.

Теорема (Коши). Пусть функции и непрерывны на , дифференцируемы на и . Тогда :

•    
• Доказательство. Рассмотрим функцию
•    

выберем так, чтобы выполнялись все условия теоремы Ролля, т.е. .

1.    
2. По теореме Ролля существует :
3.    
4. Первое правило Лопиталя

Определение. Пусть функции , непрерывны на , дифференцируемы в , причем . Пусть . Тогда говорят, что отношение при представляет собой неопределенность вида .

• Теорема. Если при указанных условиях существует
•    
• то и
•    
• Пусть конечно. По выберем : в интервале выполняется неравенство
• Применим теорему Коши к отрезку , где . Существует :
• и, значит,
• Это и означает, что .

В случае, когда бесконечно, неравенство (1) заменяется на
или
в зависимости от знака . В остальном доказательство не меняется.

Второе правило Лопиталя

Определение. Пусть функции , непрерывны и дифференцируемы в , причем . Пусть . Тогда говорят, что отношение при представляет собой неопределенность вида .

1. Теорема. Если при указанных условиях существует
2. то и

Доказательство. Пусть конечно. По выберем : в интервале выполняется неравенство

• Определим функцию из условия
• Имеем

при . Применим к отрезку теорему Коши. Получим, что существует :

1. Для тех , для которых
2. Так как произвольно мало, то
3. В случае, когда , неравенство (2) заменяется на
4. а неравенство (4) — на неравенство
5. имеющим место при , достаточно близких к в силу (3).
6. Аналогично рассматривается случай .

Источник: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-11-klass/15-pravila-lopitalya/

Вычислить предел, используя правило Лопиталя

Первое правило Лопиталя

Рассмотрим функции , которые бесконечно малЫв некоторой точке . Если существует предел их отношений , то в целях устранения неопределённости можно взять две производные – от числителя и от знаменателя. При этом: , то есть при дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется.

• Примечание: предел тоже должен существовать, в противном случае правило не применимо.
• Что следует из вышесказанного?
• Во-первых, необходимо уметь находить производные функций, и чем лучше – тем лучше =)

Вернёмся к Примеру 5 первой статьи о пределах, в котором был получен следующий результат:

1. Как видите, дифференцирование числителя и знаменателя привело нас к ответу с пол оборота: нашли две простые производные, подставили в них «двойку», и оказалось, что неопределённость бесследно исчезла!
2. Не редкость, когда правила Лопиталя приходится применять последовательно два или бОльшее количество раз (это относится и ко второму правилу). Вытащим на ретро-вечер Пример 2 урока о замечательных пределах:
3. На двухъярусной кровати снова прохлаждаются два бублика. Применим правило Лопиталя:

Обратите внимание, что на первом шаге в знаменателе берётся производная сложной функции. После этого проводим ряд промежуточных упрощений, в частности, избавляемся от косинуса, указывая, что он стремится к единице. Неопределённость не устранена, поэтому применяем правило Лопиталя ещё раз (вторая строчка).

Я специально подобрал не самый простой пример, чтобы вы провели небольшое самотестирование.

Если не совсем понятно, как найдены производные, следует усилить свою технику дифференцирования, если не понятен фокус с косинусом, пожалуйста, вернитесь к замечательным пределам.

Не вижу особого смысла в пошаговых х, так как о производных и пределах я уже рассказал достаточно подробно. Новизна статьи состоит в самих правилах и некоторых технических приёмах решения.

Как уже отмечалось, в большинстве случаев правила Лопиталя использовать не нужно, но их зачастую целесообразно применять для черновой проверки решения. Зачастую, но далеко не всегда. Так, например, только что рассмотренный пример значительно выгоднее проверить через замечательные эквивалентности.

Второе правило Лопиталя

Брат-2 борется с двумя спящими восьмёрками . Аналогично:

Если существует предел отношения бесконечно большихв точке функций: , то в целях устранения неопределённости можно взять две производные – ОТДЕЛЬНО от числителя и ОТДЕЛЬНО от знаменателя. При этом: , то есть при дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется.

Примечание: предел должен существовать

Опять же, в различных практических примерах значение может быть разным, в том числе, бесконечным. Важно, чтобы была неопределённость .

Однако для Примера №2 той же статьи проверка данным способом будет весьма муторна. Тут придётся использовать правило Лопиталя три раза подряд (экспериментаторы могут попробовать). На самом деле ответ лежит на поверхности и почти мгновенно определяется устно (см. статью Методы решения пределов).

• Коль скоро речь зашла о великанах, разберём два каноничных предела:
• Пример 1
• Вычислить предел
• Получить ответ «обычными» методами непросто, поэтому для раскрытия неопределённости «бесконечность на бесконечность» используем правило Лопиталя:

Таким образом, линейная функцияболее высокого порядка роста, чем логарифм с основанием бОльшим единицы( и т.д.). Разумеется, «иксы» в старших степенях тоже будут «перетягивать» такие логарифмы. Действительно, функция растёт достаточно медленно и её график является более пологим относительно того же «икса».

1. Пример 2
2. Вычислить предел
3. Ещё один примелькавшийся кадр. В целях устранения неопределённости , используем правило Лопиталя, причём, два раза подряд:

Показательная функция, с основанием, бОльшим единицы( и т.д.)более высокого порядка роста, чем степенная функция с положительной степенью.

Похожие пределы встречаются в ходе полного исследования функции, а именно, при нахождении асимптот графиков. Также замечаются они и в некоторых задачах по теории вероятностей. Советую взять на заметку два рассмотренных примера, это один из немногих случаев, когда лучше дифференцирования числителя и знаменателя ничего нет.

Далее по тексту я не буду разграничивать первое и второе правило Лопиталя, это было сделано только в целях структурирования статьи.

Вообще, с моей точки зрения, несколько вредно излишне нумеровать математические аксиомы, теоремы, правила, свойства, поскольку фразы вроде «согласно следствию 3 по теореме 19…» информативны только в рамках того или иного учебника. В другом источнике информации то же самое будет «следствием 2 и теоремой 3».

Такие высказывания формальны и удобны разве что самим авторам. В идеале лучше ссылаться на суть математического факта. Исключение – исторически устоявшиеся термины, например, первый замечательный предел или второй замечательный предел.

• Продолжаем разрабатывать тему, которую нам подкинул член Парижской академии наук маркиз Гийом Франсуа де Лопиталь. Статья приобретает ярко выраженную практическую окраску и в достаточно распространённом задании требуется:
• Вычислить предел, используя правило Лопиталя
• Пример 3
• Вычислить предел по правилу Лопиталя
• Предел можно предварительно упростить, избавившись от косинуса, однако проявим уважение к условию и сразу продифференцируем числитель и знаменатель:
• В самом процессе нахождения производных нет чего-то нестандартного, так, в знаменателе использовано обычное правило дифференцирования произведения .
• Пример 4
• Вычислить предел по правилу Лопиталя
• Пример 4
• Пример 5
• Вычислить предел, используя правило Лопиталя

Напрашивается применение замечательной эквивалентности, но путь жёстко предопределён по условию: После дифференцирования настоятельно рекомендуюизбавляться от многоэтажности дробии проводить максимальные упрощения. Конечно, более подготовленные студенты могут пропустить последний шаг и сразу записать: , но в некоторых пределах запутаются даже отличники.

1. Пример 6
2. Вычислить предел, используя правило Лопиталя
3. Пример 6
4. Пример 7
5. Вычислить предел, используя правило Лопиталя
6. Пример 7
7. Пример 8
8. Вычислить предел, используя правило Лопиталя
9. Поехали:

Интересно, что первоначальная неопределённость после первого дифференцирования превратилась в неопределённость , и правило Лопиталя невозмутимо применяется дальше. Также заметьте, как после каждого «подхода» устраняется четырёхэтажная дробь, а константы выносятся за знак предела.

В более простых примерах константы удобнее не выносить, но когда предел сложный, упрощаем всё-всё-всё. Коварство решённого примера состоит ещё и в том, что при , а , поэтому в ходе ликвидации синусов немудрено запутаться в знаках.

В предпоследней строчке синусы можно было и не убивать, но пример довольно тяжелый, простительно.

• На днях мне попалось любопытное задание:
• Пример 9
• Вычислить предел функции, используя правило Лопиталя

Если честно, немного засомневался, чему будет равен данный предел. Как демонстрировалось выше, «икс» более высокого порядка роста, чем логарифм, но «перетянет» ли он логарифм в кубе? Постарайтесь выяснить самостоятельно, за кем будет победа.

1. Да, правила Лопиталя – это не только пальба по воробьям из пушки, но ещё и кропотливая работа….
2. В целях применения правил Лопиталя к бубликам или уставшим восьмёркам сводятся неопределённости вида .
3. Расправа с неопределённостью подробно разобрана в Примерах №№9-13 урока Методы решения пределов. Давайте для проформы ещё один:
4. Пример 10
5. Вычислить предел функции, используя правило Лопиталя
6. На первом шаге приводим выражение к общему знаменателю, трансформируя тем самым неопределённость в неопределённость . А затем заряжаем правило Лопиталя:
7. Здесь, к слову, тот случай, когда четырёхэтажное выражение трогать бессмысленно.
8. Неопределённость тоже не сопротивляется превращению в или :
9. Пример 11
10. Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя

Предел здесь односторонний, и о таких пределах уже шла речь в методичке Графики и свойства функций. Как вы помните, графика «классического» логарифма не существует слева от оси , таким образом, мы можем приближаться к нулю только справа.

Правила Лопиталя для односторонних пределов работают, но сначала необходимо разобраться с неопределённостью . На первом шаге делаем дробь трёхэтажной, получая неопределённость , далее решение идёт по шаблонной схеме:

После дифференцирования числителя и знаменателя избавляемся от четырёхэтажной дроби, чтобы провести упрощения. В результате нарисовалась неопределённость . Повторяем трюк: снова делаем дробь трёхэтажной и к полученной неопределённости применяем правило Лопиталя ещё раз: Готово.

• Исходный предел можно было попытаться свести к двум бубликам: Но, во-первых, производная в знаменателе труднее, а во-вторых, ничего хорошего из этого не выйдет.
• Таким образом, перед решением похожих примеров нужно проанализировать (устно либо на черновике), К КАКОЙ неопределённости выгоднее свести – к «нулю на ноль» или к «бесконечности на бесконечность».
• В свою очередь на огонёк подтягиваются собутыльники и более экзотические товарищи . Метод трансформации прост и стандартен:
• Пример 12
• Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя
• Для устранения неопределённости используем основное логарифмическое тождество: . В данном случае :

На предпоследнем шаге, согласно известному школьному свойству, «сносим» синус из степени за пределы логарифма, получая произведение . На последнем шаге перемещаем значок предела в показатель (поскольку экспоненциальная функция непрерывна, да и предел относится, прежде всего, к верхнему этажу).

Чтобы не мельчить, вычислим предел показателя отдельно:

С неопределённостью разбираемся уже знакомым способом – делаем дробь трёхэтажной, получая долгожданную неопределённость , к которой применимо правило Лопиталя:

Метаморфозы продолжаются, теперь вылезла неопределённость «ноль на ноль». В принципе, можно избавиться от косинуса, указав, что он стремится к единице. Но мудрая стратегия заключается в том, чтобы никто ни до чего не докопался. Поэтому сразу применим правило Лопиталя, как этого требует условие задачи:

Не торопитесь, предел не равен нулю! Мы вычислили только предел показателя. В конце решения главное не забыть про экспоненту, я сейчас сам чуть про неё не забыл =) Окончательно:

1. В ряде случаев после использование основного логарифмического тождества удаётся миновать неопределённость :
2. Пример 13
3. Вычислить предел по правилу Лопиталя
4. Очередной папуас тоже сдаётся перед формулой . В данном случае :
5. В результате сразу получена неопределённость , что облегчает задачу. Предел показателя для удобства вычислим отдельно:
6. В итоге:
7. Аналогичное задание для самостоятельного решения:
8. Пример 14
9. Вычислить предел по правилу Лопиталя
10. Полное решение и ответ в конце урока.
11. Предел с неопределённостью по правилу Лопиталя, если честно, у себя не нашёл, но для полноты картины решим многострадальный шестой пример урока Замечательные пределы:
12. Пример 15
13. Вычислить с помощью правила Лопиталя

Рекомендуемые страницы:

Источник: https://poisk-ru.ru/s6578t6.html

Решение пределов функций, используя правило Лопиталя

Изложен метод решения пределов, используя правило Лопиталя. Приводятся формулировки соответствующих теорем. Подробно разобраны примеры решения пределов, содержащих неопределенности ∞/∞, 0/0, 0 в степени 0 и ∞ – ∞, с помощью правила Лопиталя.

Одним из самых мощных методов раскрытия неопределенностей и вычисления пределов функций является использование правила Лопиталя. Оно позволяет раскрывать неопределенности вида 0/0 или ∞/∞ в конечной или бесконечно удаленной точке, которую мы обозначим как x0.

Правило Лопиталя заключается в том, что мы находим производные числителя и знаменателя дроби. Если существует предел , то существует равный ему предел . Если после дифференцирования мы опять получаем неопределенность, то процесс можно повторить, то есть применить правило Лопиталя уже к пределу .

И так далее, до раскрытия неопределенности.

Для применения этого правила, должна существовать такая проколотая окрестность точки x0, на которой функции в числителе и знаменателе являются дифференцируемыми и функция в знаменателе и ее производная не обращается в нуль.

Применение правила Лопиталя состоит из следующих шагов. 1) Приводим неопределенность к виду 0/0 или ∞/∞. Для этого, если требуется, выполняем преобразования и делаем замену переменной. В результате получаем предел вида .

2) Убеждаемся, что существует такая проколотая окрестность точки x0, на которой функции в числителе и знаменателе являются дифференцируемыми и знаменатель и его производная не обращаются в нуль. 3) Находим производные числителя и знаменателя.

6) Если в пределе вновь возникает неопределенность, то к нему также можно применить правило Лопиталя, начиная с пункта 2).

Как указывалось выше, применение правила Лопиталя может привести к функции, предела которой не существует. Однако это не означает, что не существует исходного предела. Рассмотрим следующий пример. . Применяем правило Лопиталя. , . Однако предела не существует. Не смотря на это, исходная функция имеет предел: .

Правило Лопиталя. Формулировки теорем

Здесь мы приводим формулировки теорем, на которых основывается раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.

Теорема о раскрытии неопределенности 0/0 Пусть функции f и g имеют производные в проколотой (двусторонней или односторонней) окрестности конечной или бесконечно удаленной () точки , причем и не равны нулю в этой окрестности. И пусть . Тогда, если существует конечный или бесконечный предел

,

то существует равный ему предел

.

Здесь для двусторонней окрестности. Для односторонней окрестности, , или .

Теорема о раскрытии неопределенности ∞/∞ Пусть функции f и g имеют производные в проколотой (двусторонней или односторонней) окрестности конечной или бесконечно удаленной () точки , причем не равна нулю в этой окрестности. И пусть . Тогда, если существует конечный или бесконечный предел

,

то существует равный ему предел

.

Здесь для двусторонней окрестности. Для односторонней окрестности, , или .

Примеры

Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих пределов с помощью правила Лопиталя. ⇓,   ⇓,   ⇓, ⇓,   ⇓,   ⇓.

Пример 1

Все примеры ⇑ Показать, что экспонента растет быстрее любой степенной функции, а логарифм – медленнее. То есть показать, что А)  ; Б)  , где .

Решение

Рассмотрим предел А). При . Это неопределенность вида . Для ее раскрытия применим правило Лопиталя. Пусть . Находим производные. . Тогда . Если , то неопределенность исчезает, поскольку при . По правилу Лопиталя, .

Если , то применяем правило Лопиталя n раз, где – целая часть числа b. ; . Поскольку , то . Хотя мы привыкли читать слева направо, но эту серию равенств следует читать справа налево следующим образом. Поскольку существует предел , то существует равный ему предел . Поскольку существует предел , то существует равный ему предел . И так далее, пока не дойдем до предела .

Теперь рассмотрим предел Б): . Сделаем замену переменной . Тогда ; при ; .

Пример 2

Все примеры ⇑ Найти предел с помощью правила Лопиталя: .

Решение

Это неопределенность вида 0/0. Находим по правилу Лопиталя. .

Здесь, после первого применения правила мы снова получили неопределенность. Поэтому применили правило Лопиталя второй раз. Эту серию равенств нужно читать справа налево следующим образом. Поскольку существует предел , то существует равный ему предел . Поскольку существует предел , то существует равный ему исходный предел .

Ответ

Пример 3

Все примеры ⇑ Вычислить предел, используя правило Лопиталя. .

Решение

Найдем значения числителя и знаменателя при : ; . Числитель и знаменатель равны нулю. Мы имеем неопределенность вида 0/0. Для ее раскрытия, применим правило Лопиталя.

.

Ответ

Пример 4

Все примеры ⇑ Решить предел с помощью правила Лопиталя. .

Решение

Здесь мы имеем неопределенность вида (+0)+0. Преобразуем ее к виду +∞/+∞. Для этого выполняем преобразования. .

Находим предел в показателе степени, применяя правило Лопиталя. .

• Поскольку экспонента – непрерывная функция для всех значений аргумента, то .
• Ответ
• .

Пример 5

Все примеры ⇑ Найти предел используя правило Лопиталя: .

Решение

Здесь мы имеем неопределенность вида ∞ – ∞. Приводя дроби к общему знаменателю, приведем ее к неопределенности вида 0/0: .

Применяем правило Лопиталя. ; ; .

Здесь у нас снова неопределенность вида 0/0. Применяем правило Лопиталя еще раз. ; ; .

Окончательно имеем: . Как и во всех пределах, вычисляемых с помощью правила Лопиталя, читать нужно с конца. Поскольку существует предел , то существует равный ему предел . Поскольку существует предел , то существует равный ему исходный предел .

Можно упростить вычисления, если воспользоваться теоремой о замене функций эквивалентными в пределе частного. Согласно этой теореме, если функция является дробью или произведением множителей, то множители можно заменить на эквивалентные функции. Поскольку при , то .

Ответ

Использованная литература: Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.

Источник: https://1cov-edu.ru/mat-analiz/reshenie-predelov/pravilo-lopitalya/

Практика. Математика. Пределы (lim). Правило Лопиталя

Сегодняшняя практика будет связана с пределами, как вы уже поняли из названия. Будет она связана с правилом Лопиталя. Нет таких студентов, кто сталкивался хоть раз с «вышматом» и не слышал про него. Это правило спасло десятки тысяч студентов по всему миру, во время экзаменов, контрольных, самостоятельных… Стоит и нам с ним познакомиться и крепко подружиться.

Не будем растягивать вступление, поскорее перейдём к небольшой теории, а чуть позже к самой практике.

Первым делом нужно дать определение: Правило Лопиталя гласит — предел отношения двух функций, равен пределу отношения производных этих функций при «x» стремящемся к «x0 (икс нулевое)», при неопределённости вида: «ноль делённый на ноль» и «бесконечность делённая на бесконечность».

Вторым делом запишем математическую запись этого правила:

Да-да, придётся вспомнить производные.

С теорией достаточно, всё что нам нужно мы выписали. Пора попрактиковаться. И первый пример у нас на сегодня будет:

Посмотрели на пример, подставили вместо «х» бесконечность, выявили вид неопределённости, у нас «бесконечность делённая на бесконечность», значит можно использовать правило Лопиталя, берём производную от числителя и от знаменателя, вычислили, записали в виде предела, далее подставляем бесконечность, опять получилась неопределённость, значит второй раз берём производные, после второго раза у нас осталась под пределом константа, следовательно это и будет ответом, так как «иксов» у нас больше нет.

Надеюсь после первого примера никто не испугался. На самом деле такое часто бывает, что после применения нашего правила один раз, мы не избавляемся от неопределённости и приходится несколько раз брать эти изнуряющие производные. Посмотрим на второй пример, только промежуточными выкладками ограничимся на этот раз:

Первое что тут заметно, так это «синус квадрат» который можно расписать через «косинус двойного угла», мы это и сделали. Подставляем «x=0», определяем вид неопределённости, выяснили, взяли производную числителя и знаменателя, подставили ещё раз, опять неопределённость, берём второй раз производную, подставляем ноль, вот теперь неопределённости нет, подсчитываем всё и записываем ответ.

Слишком похожие примеры решаем, нужно что-нибудь более интересное. Рассмотрим пример такого характера:

Этот вид неопределённости нельзя раскрыть с помощью правила Лопиталя. Как же быть? Нужно преобразовать нашу функцию таким образом, чтобы получилась неопределённость нужного нам вида.

Приступим…

Мы просто отправили один из натуральных логарифмов в знаменатель знаменателя, таким образом получили нужную нам неопределённость, дальше вычислили производную, преобразовали четырёхэтажную дробь, подставили четвёрку, получили неопределённость, опять преобразовали дробь, теперь уже бесконечность на бесконечность неопределённость, опять берём производную числителя и знаменателя…

Вы наверно заметили что решение может получиться неожиданно большим, на деле же можно пользоваться различными методами устранения неопределённости, мы использовали лишь свойства дробей и ничего более, чтобы убедиться в том, что метод действительно работает (бывает не всегда).

Иногда не просто осваивать что-то новое, за-то после получения нового знания, мы можем попытаться применить его в нужном русле, именно так мы сегодня и поработали, связали теорию с практикой. На практике оказалось сложней чем обычно, но мы справились, с чем всех и поздравляю. Оставляйте в х свои примеры и не только. Спасибо за внимание.

Другие темы:

• Метод неопределённых коэффициентов.
• Формула Эйлера и её следствия.
• Интегрирование подведением под знак дифференциала.

Источник: https://zen.yandex.ru/media/id/5c764fc306dc8700b30ed31a/5c9ee6eb4432a200b307a4c1

2.10. Правило Лопиталя

В главе 1 мы познакомились с приемами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, т.е. раскрытия неопределенностей типа  и . В этом разделе мы рассмотрим новый способ вычисления таких пределов, так называемое правило Лопиталя.

• Теорема Лопиталя. (Раскрытие неопределенностей типа )
• Пусть функции f(x), g(x) определены, непрерывны и дифференцируемы в точке x0 и некоторой ее окрестности, причем g’(x) ¹ 0 для любого x из этой окрестности, и пусть
• f(x0) = 0, g(x0) = 0 (следовательно, f(x), g(x) – бесконечно малые при). Если  существует, то существует и

=.                                           (2.18)

Доказательство. Равенство (2.18) называют правилом Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа .

Дадим значению аргумента x0 приращение Dx, такое, чтобы точка x = x0 + Dx принадлежала рассматриваемой окрестности точки x0.

Случай 1. Dx > 0, тогда x > x0.

Функции f(x), g(x), рассматриваемые на отрезке [x0, x], удовлетворяют теореме Коши, поэтому найдется  такое   c Î (x0, x), что выполняется равенство: =.

Так как f(x0) = g(x0) = 0, то получим: =. Заметим, что число c зависит от x, но если , то , так как x0 < c < x. Переходя к пределу в последнем равенстве, получаем:

===.

Случай 2. Dx < 0, тогда x < x0. Функции f(x), g(x), рассматриваемые на отрезке [x, x0], удовлетворяют условиям теоремы Коши, и потому доказательство аналогично, как в случае 1. Итак, теорема Лопиталя доказана.

Пример 1. Найти .

Решение. Поскольку функции f(x) =1 – cos3x, g(x) = 2x удовлетворяют условию теоремы Лопиталя, то  = = = 0.

Замечание 1. Теорема Лопиталя справедлива и в том случае, когда функции f(x), g(x) не определены в точке x0, но f(x) = 0 и g(x) = 0.

Замечание 2. Правило Лопиталя применимо и в том случае, когда

f(x) = 0, g(x) = 0.

Действительно, введя новую переменную  y =, видим, что y ® 0 при x ® ¥. Тогда                  =  =  = .

Теорема Лопиталя. (Раскрытие неопределенностей типа )

Пусть функции f(x), g(x) дифференцируемы в окрестности точке x0, за исключением самой точки x0, причем g’(x) ¹ 0, и пусть f(x) = ¥, g(x) = ¥. Если существует , то существует   и =.

Доказательство этой теоремы мы не приводим, его можно найти в учебниках.

Отметим, что эта теорема верна для случая, когда x®¥, в этом можно убедиться, повторяя рассуждения замечания 2.

Замечание 3. Предел отношения двух функций может существовать, в то время как предел отношения их производных не существует.

1. Например, = 1, а = (1 + cosx) – не существует, так как cosx не существует.
2. Замечание 4. Если  при x ® x0 (x ® ¥) является неопределенностью типа  или , и (x), g’(x) удовлетворяют условиям теоремы Лопиталя, то
3. ==.
4. Таким образом, для раскрытия неопределенностей типа  или  иногда приходится применять правило Лопиталя несколько раз.

Пример 2. Найти .

Решение. При x ® 0 и x > 0 lnx = ¥, ctgx = ¥, следовательно, имеем отношение двух бесконечно больших при x ® 0 и неопределенность типа . Вычислим:

 =  = –= –= 0.

Замечание 5. Теорема Лопиталя остается верной и тогда, когда = ¥.

Пример 3. Найти .

Решение. Имеем неопределенность типа . Применяя теорему Лопиталя два раза, получим:  =  =  = ¥.

Можно показать, что для любого nÎN   = ¥. Это означает, что показательная функция ex растет быстрее любой степенной функции xn.

• Рассмотрим неопределенности других видов.
• Если a(x) = 0, F(x) = ¥, то a(x)×F(x) называют неопределенностью типа 0×¥, а [F(x)]a(x) – неопределенностью типа ¥0.
• Если F1(x) = +¥, F2(x) = +¥, то (F1(x) – F2(x)) – неопределенность типа ¥ – ¥.

Аналогично понимаются и другие неопределенности. При раскрытии таких неопределенностей зачастую помогает способ сведения их к неопределенностям типа  или  с последующим применением правила Лопиталя.

Пример 4. Найти x2lnx.

Решение. Так как lnx = ¥, то имеем неопределенность типа 0×¥. Преобразуем ее к виду :  x2lnx = , затем применим правило Лопиталя,

 =  =  =  = 0.  Итак, x2lnx = 0.

Источник: http://libraryno.ru/2-10-pravilo-lopitalya-matan/

Правило Лопиталя для вычисления пределов, примеры с подробным решением, доказательство — Помощник для школьников Спринт-Олимпиады

Одной из основных теорем в математическом анализе является правило Лопиталя. Этот закон, предложенный французским учёным, используется для вычисления пределов функций, когда формулы Тейлора применить невозможно. Идейно он достаточно простой, однако его доказательство содержит технические тонкости, на которые следует обратить пристальное внимание.

Общие сведения

Важным понятием в высшей математике является определение бесконечности. Эта неопределённость обозначается символом ∞. Когда её упоминают, то имеют в виду как бесконечно малое число, так и большое.

Для записи предела функций используется знак лимита, например, lim 0k (y). В нижней части указывается аргумент со стрелочкой, обозначающей, к чему именно стремится неопределённость.

Если предел известный, то он называется конечным, в ином случае — бесконечным.

Когда нельзя установить, является ограничение бесконечным или конечным, то говорят, что предела для рассматриваемой функции не существует. Это возможно, например, когда ограничение тригонометрической функции стремится к бесконечности.

Существует несколько способов вычисления пределов: правило Лопиталя, формулы Тейлера, графический метод, подставление неизвестного в функцию.

Указанные способы можно применять для нахождения того или иного предела, но для неопределённости вида 0/0 или ∞/∞, а также вычисления отношений бесконечно малых или больших выражений лучше всего использовать закон Лопиталя. Состоит он из двух правил:

• Для бесконечно малых величин. Когда функции k (y) и d (y) можно дифференцировать в некоторой области точки, исключая саму её, при этом в этой окрестности производная выражения неравна нулю, а пределы этих функций равны нулю, то отношение ограничения этих функций будет равно пределу отношения их производных.
• Для бесконечно больших значений. Если две функции k (y) и d (y) можно дифференцировать по окрестности взятой точки, но при этом её саму исключить, учитывая, что в рассматриваемой окрестности производная d (y) не равняется нулю, то когда функции в этой точке равны бесконечности, предел отношения этих выражений тождественен отношению их производных.

Другими словами, смысл теоремы Лопиталя заключается в том, что когда нужно найти ограничение для двух функций, отношение которых даёт неопределённость 0/0 или ∞/∞, то можно взять производные этих выражений и найти их отношение.

Это действие приведёт к получению искомого ответа. Метод позволяет упростить вычисление сложных показательных степенных функций. Его можно применять и при умножении неопределённостей или их вычитании. Например, 0 * ∞, ∞ – ∞.

Доказательство правила

Лопиталь после знакомства с Бернулли смог систематизировать метод Иоганна и издать в 1696 году книгу «Анализ бесконечно малых», где подробно изложил способы решения задач с неопределённостями. Математически его описание состоит из четырёх пунктов:

• lim k (y) = lim d (y) = 0 (∞).
• Графики k (y) и d (y) приближаются к линейному виду.
• d (y)' ≠ 0.
• lim k (y)' / d (y)' = lim k (y) / d (y).

Пусть имеется два дифференцируемых выражения, при этом d (y) во всех точках имеет не нулевую производную. При y, стремящемся к a, d стремится к бесконечности.

Если предел отношения производных конечного предела или бесконечного равняется числу L, тогда ограничение отношений производных этих функций также будет тождественно этому числу. То есть lim k (y) / d (y) = L, при y → a.

Исходя из определения Гейне и Коши, рассматривать можно только монотонные последовательности, которые стремятся к a.

Рассмотрим теорему Штольца, а именно отношение: (k (yn+1) — k (yn)) / (d (yn+1) — d (yn)) = k'(Cn) / d'(Cn) = L. Из неё следует, что k (y) / d (y) → L.

То есть всегда найдётся такая точка Cn, которая будет принадлежать множеству (Yn+1,Yn). Так как множество стремится к L, то и точка, принадлежащая ему, тоже будет приближаться к L.

Поэтому можно утверждать, что и выражение lim k (y) / d (y) → L.

Аналогичным образом первому доказывается и второй случай, когда lim k (y) = lim d (y) = 0. Если предел отношения производных будет L, то ограничения отношений функций будет также равняться этому числу. Из теоремы Дарбу и монотонности получим, что d (Yn) → 0, кроме того k (Yn) → 0. Используя правило Штольце, можно будет утверждать, что k (y) / d (y) → L.

Но на практике часто для решения примеров правило Лопиталя оказывается недостаточным. Это справедливо для заданий, в которых y стремится не к конечному числу, а к бесконечному.

Поэтому для таких задач используется следствие из теоремы. Согласно ему, при k → 0 и d → 0, а y → + ∞. Тогда существует предел lim k'(y) / d'(y) = AЄR и предел отношений lim k (y) / d (y) = A.

Этот вспомогательный закон очень важен и то же может быть доказан.

Следствие из утверждения

Перед доказательством следствия нужно условиться, что в выражении a будет всегда больше либо равно единице. Это возможно исходя из того, что если a будет меньше единицы, то доказывать нужно будет правило только от единицы до плюс бесконечности. Кроме этого, необходимо ввести замену вида t = 1/y. Она необходима, так как во многом облегчает сведение доказательства к теореме Лопиталя.

Пусть имеется функция K (t), равная k, и D (t), равная d. При этом аргумент последней будет 1/t.

Так как по условию правила функции k и d определены на интервале от a до плюс бесконечности, то можно сказать, что функции K и D известны на интервале от нуля до единицы, делённом на a.

Так как a больше либо равняется единице, то интервал от нуля до единицы, делённой на a, будет определён корректно.

Чтобы воспользоваться теоремой Лопиталя, нужно доказать, что предел lim K'(t) / D'(t) при t, стремящемся к нулю, равняется A.

В силу того, что K (t) = k (1/t) и D (t) = d (1/t), можно написать: lim K'(t) / D'(t) = lim k'(1/t)' / d'(1/t)' .

Теперь нужно воспользоваться теоремой о производной композиции, условия которой выполнены. Вначале нужно взять производную внутренней функции, а затем внешней. Должно получиться следующее выражение: lim -1/ t 2 k ‘(1/ t) / (-1/ t 2) * d ‘ (1/ t) = lim K ‘(t) / D ‘(t) = lim k ‘(y)/ d (y) = A.

Отсюда можно утверждать, что предел отношений K'(t) / D'(t) будет равняться A. Все условия теоремы Лопиталя выполнены. А это значит, что существует предел отношения функций при t, стремящемся к нулю, равный A. Теперь можно снова применить теорему о пределе композиций и от переменной t перейти обратно к иксу: lim K (t)/D (t) = lim k (y)/(d (y) = A.

Таким образом можно сделать вывод, что требуемое утверждение верно. Использование правила и следствия позволяет выполнить быстрый расчёт неопределённости 0/0 или ∞/∞. При этом другого вида выражение можно свести к этой неопределённости. Это намного упрощает работу, особенно если необходимо логарифмировать или возводить в степень.

Решение примеров

Закрепить правило лучше всего на соответствующих примерах. Существуют типовые задания, чаще всего встречающиеся на контрольных работах.

Например, требуется найти предел отношения натурального логарифма от тангенса икс к котангенсу два икс, когда неизвестное стремится к p /4.

Помощь в решении окажет правило Лопиталя, которое при сравнении с альтернативными методами окажется на порядок проще.

Искомый предел: A = lim (lntdy ‘) / (ctd 2 y)' = lim (ctdy * 1/ cos 2 y) / 2 (-1/ sin 2 2 y) = lim (-sin 2 y)(2 * siny * cosy) = (-½) * lim (sin 2 2 y / siny * cosy) = – ½ * 1/½ = -1. Таким образом, решение будет равняться минус единице.

Пусть есть выражение вида: lim y½ (p — 2 arctd √ y) = A. Нужно определить предел при иксе, стремящемся к плюс бесконечности. Чтобы воспользоваться правилом, исходное выражение нужно привести к дробному виду.

Для этого выражение можно переписать как lim (p — 2 arctd √ y) / y½. В этом случае имеет место неопределённость 0/0.

Поэтому можно рассматривать отношение производной делимого на делитель: A = lim (2 *(1/1+ y) * ½ * y -½ ) / ½ * y -3/2 = lim 2y/(1+y) = 2 lin 1 /(1+ 1/ y) = 2.

Замечательным случаем является неопределённость вида ∞/∞. Например, требуется найти предел lim k (y) при иксе, стремящемся к бесконечности, где функция k (y) = y /ey. По теореме Лопиталя A = lim (y)' / (ey)', а это выражение есть не что иное, как lim 1/ey, равняющийся нулю. Теперь можно рассмотреть пример сложнее.

Пусть дано выражение нормальной функции со степенью: lim yy = A, где A = lim k (y). Проэкспоненцируя эту функцию, выражение можно привести к виду: yy = ey *lny. Если найти, к чему стремится показатель экспоненты, то это и будет решением рассматриваемого примера.

Можно записать: lim y * lny = lim lny /1/ y = lim (1/ y)/(-1/ y 2 ) = 0. Если предел в показателе экспоненты стремится к нулю, то можно написать, что он будет равняться e0, то есть единице.

Закон Лопиталя является хорошим помощником при вычислении особо экзотических пределов. При этом можно попробовать составить выражение, отвечающее условиям правила и из неявного вида функции. Для этого можно использовать раскрытие скобок, дополнительно умножить или разделить функцию на однородный многочлен.

Использование онлайн-калькулятора

Не всегда задания, попадающиеся на практике, довольно легко привести к условию, отвечающему правилу.

Да и нередко сама функция настолько умудрённая, что для определения производной понадобится не только проявить внимание и усидчивость, но и затратить довольно много времени.

Поэтому в таких случаях есть резон решать задания на онлайн-калькуляторе с подробным решением. Правило Лопиталя отлично поддаётся автоматизированному вычислению.

Такую услугу предлагают более десятка специализированных на математических расчётах сайтов. Доступ к вычислениям предоставляется полностью бесплатно.

От пользователя даже не требуется регистрации и указания персональных данных. Работают они на основе алгоритмов, заложенных в программный код используемого онлайн-приложения.

Пользователю нужно лишь только подключение к интернету и любой веб-обозреватель.

Все его действия сводятся к введению в предложенную форму условия примера и нажатия кнопки «Рассчитать». После этого программа автоматически вычислит ответ и выведет его на дисплей. При этом в большинстве случаев вместе с ответом приложение отобразит пошаговый расчёт с ми. Это позволит потребителю не просто получить готовый ответ, но и разобраться в решении.

Из наиболее популярных сайтов можно выделить следующую пятёрку:

• Math.semestr.
• Kontrolnaya-rabota
• Planetcalc.
• Math24.
• Webmath.

Все эти сайты имеют интуитивно понятный интерфейс на русском языке. Кроме предоставления услуги онлайн-калькулятора, на их страницах содержится вся необходимая теория, помогающая понять, как происходит нахождение ответа. А также приведены несколько типовых примеров с подробным решением.

Пользоваться такими сайтами сможет даже пользователь, ничего не понимающий в математическом анализе. Но решая различные примеры, со временем он поймёт суть идеи правила и сможет самостоятельно вычислять пределы функций. При этом такие сайты являются отличным подспорьем как инженерам, проводящим сложные вычисления, так и студентам, проверяющим свои навыки.

ПредыдущаяСледующая

Источник: https://Sprint-Olympic.ru/uroki/algebra/78064-pravilo-lopitalia-dlia-vychisleniia-predelov-primery-s-podrobnym-resheniem-dokazatelstvo.html