Переменные и постоянные величины — справочник студента

  • Указанные ниже свойства практически очевидны, хотя их можно и строго доказать.
  • 1) Если (переменная X неизменна и равна постоянной A), то естественно считать, что и . То есть предел постоянной равен ей самой:
  • (1.5)
  • 2) Если , и A и B конечны, то Переменные и постоянные величины - Справочник студента. То есть

Переменные и постоянные величины - Справочник студента

(предел суммы или разности переменных равен сумме или разности их пределов).

3) Если , и A и B конечны, то . То есть

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Переменные и постоянные величины - Справочник студента

(предел произведения переменных равен произведению их пределов).

4) Если , , A и B конечны и , то . То есть

Переменные и постоянные величины - Справочник студента

(предел частного равен частному пределов).

Переменные и постоянные величины - Справочник студента Переменные и постоянные величины - Справочник студента

Действительно, на основании предыдущих свойств имеем:

Переменные и постоянные величины - Справочник студента

  1. 6) Если X – бесконечно малая переменная величина (), то – бесконечно большая переменная величина ().
  2. 7) Если X – бесконечно большая переменная величина (), то – бесконечно малая переменная величина ().
  3. 8) Если переменная X ограничена (это значит, что все ее значения Xn расположены в некотором конечном числовом промежутке ), а переменная Y бесконечно малая (), то переменная – тоже бесконечно малая ().
  4. 9) Если переменная X ограничена, а переменная Y бесконечно большая (), то переменная – бесконечно малая ().
  5. 10) Теорема Вейерштрасса.

А) Пусть значения Xn переменной X монотонно возрастают и при этом все они меньше некоторой постоянной величины C. Такая переменная X называется Монотонно возрастающей и ограниченной сверху (числом C). Она заведомо имеет конечный предел A, причем . Наглядную иллюстрацию этой ситуации дает рис. 3.2.

Переменные и постоянные величины - Справочник студента б) Пусть значения Xn переменной XМонотонно убывают и при этом все они больше некоторой постоянной величины C. Такая переменная X называется Монотонно убывающей и ограниченной снизу (числом C). Она заведомо имеет конечный предел A, причем . Наглядную иллюстрацию этой ситуации дает рис. 3.3.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Типы стратегий бизнеса - справочник студента

Оценим за полчаса!

Переменные и постоянные величины - Справочник студента

Упражнения

1. Переменные и постоянные величины - Справочник студента (N = 1, 2, 3,…). Развернуть эту последовательность значений переменной X и найти ее предел.

Ответ: ; .

2. . Найти .

Ответ: .

3. (N = 1, 2, 3,…). Найти .

Ответ: .

Источник: http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/konspekt-lektcii-po-vysshei-matematike-komogortcev-v-f/3-2-osnovnye-svoistva-peremennykh-velichin-i-ikh-predelov

Появление переменных величи

XVII — XVIII века — третий период развития математической науки. Начало века было ознаменовано выдающимися математическими исследованиями Рене Декарта. В своих трудах Декарт исправляет ошибочные представления античных математиков и вновь возвращает числу алгебраическое понимание взамен геометрического.

К тому же Декарт показывает новый способ перевода геометрических предложений на алгебраический язык. Это осуществлялось с помощью системы координат, которая впоследствии стала носить имя своего создателя. Благодаря декартовой системе координат эффективность математических исследований становится на порядок выше.

Таким образом, появилась аналитическая геометрия.

Переменные и постоянные величины - Справочник студента

Рене Декарт

Кроме того, именно Рене Декарту принадлежит заслуга введения нового математического понятия переменной величины. По словам Ф. Энгельса, это стало поворотным моментом в математике, кардинально изменившим направление математических исследований. Теперь в математику вошло понятие движение, доселе не изучавшееся.

Изменение направления математических исследований от постоянных величин к переменным был обусловлен прежде всего новыми запросами практики XVII в.

Переход от изучения постоянных величин к исследованию зависимостей между переменными величинами, позволили вступить на новую ступень науки — к математическому описанию движения и других сложных абстрактных процессов.

поэтому третий период развития математики стали называть периодом математики переменных величин.

Выдающимся достижением рассматриваемого периода в становлении математической науки явилось введение нового обобщенного понятия функции. Введенное в конце XVII в. немецким математиком и философом Г. В. Лейбницем, понятие функции воплотило в себе общефилософскую идею о всеобщей взаимосвязи явлений материального мира.

Переменные и постоянные величины - Справочник студента

Готфрид Лейбниц

Понятия переменной и функции есть не что иное, как абстракции конкретных переменных величин таких, как координата, скорость, ускорение и тому подобные, и конкретных зависимостей между ними, к примеру, закон свободного падения.

Результатом углубленного изучения общих свойств зависимостей между переменными величинами стало создание математического анализа. XVIII век по праву называют веком анализа в математике. Став главным средством развития естественных наук, математический анализ прогрессировал и сам, за счет возникновения все более сложных задач.

Благодаря обмену идеями, происходившему в процессе взаимодействия, была сформирована математическая физика.

В области геометрии и механики конца XVII в. было также сделано немало важных открытий. Выдающийся английский физик и математик Исаак Ньютон создал основу дифференциального и интегрального исчисления. Это открытие Ньютон совершил одновременно с Г.В. Лейбницем.

Вместе они значительно расширили и углубили аппарат математического анализа, который к этому моменту стал главным средством решения задач механики и гидродинамики, астрономии и оптики. Анализ и механика развивались в тесном взаимодействии, однако впервые эти две области научного знания объединил Эйлер.

Именно он убрал из ньютоновской механики старые конструкции и положил в основу динамики аналитический фундамент (1736 г.). Теперь механика стала прикладным разделом анализа.

Интересно узнать! Ярким доказательством эффективности методов математического анализа стало предсказание возвращение кометы Галлея в 1759 г. Это было поистине триумфом математического анализа.

Значительные успехи в этой области были достигнуты в XVIII-XIX столетиях. К этому времени математики научились составлять и решать дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных, в которых соединялись многие вопросы математической физики.

Так было создано вариационное исчисление, которое помогало решать невозможные для первоначальных методов математического анализа задачи. Таким образом, это стало главным методом познания природы.

Ценный вклад в развитие этой области внесли работы члена Петербургской Академии наук Л. Эйлера.

На рубеже XVIII — XIXвв в свет выходят многочисленные специализированные математические журналы. Это прежде всего обусловлено все возрастающим интересом к истории математической науки. Издается двухтомная «История математики» Монтюкла (посмертно переизданная и дополненная до 4 томов). Значительно увеличивается количество научно-популярной литературы.

Надо сказать, что в это же время возникает и развивается теория вероятностей. Первый работы в этом направлении появились в XVII в. В развитие этой идеи внесли неоценимый вклад русские математики XIX в. П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М. Ляпунов и др.

Поделиться ссылкой

Источник: https://SiteKid.ru/matematika/poyavlenie_peremennih_velichi.html

Постоянные и переменные величины

Постоянная величина

Постоянная величина обозначается начальными буквами латинского алфавита – .

Переменная величина

Рассмотрим переменную величину на примере: в процессе движения точки переменными есть пройденный точкой путь, её координаты, относительно заданной системы координат и т. п.

Если переменная величина приобретает все значения с некоторого промежутка, тогда считают, что она меняется непрерывно. Например,  длина столбика термометра при перемене температуры принимает все значения с некоторого отрезка. Посмотрите ниже, как это выглядит на примере.

Пусть и – действительные числа, , им отвечают точки на числовой оси.

Отрезком называется множество чисел (точек) что удовлетворяют условия , при этом пишут ещё .

Интервалом называется множества чисел , что удовлетворяют условия . Множество всех действительных чисел (точек числовой прямой) будем обозначать интервалом , это означает, что для переменной выполняется неравность . Интервал  – это множество чисел, которые больше , или множество чисел, что удовлетворяют неравности Аналогично интервал означает множеству точек таких, что .

Полуинтервалами или называется множество точек, для которых соответственно или .

Отрезок, интервал или полуинтервал мы будем называть ещё промежутком. Промежутки перемены переменной могут появляться, например, при решении неравенств, которые в свою очередь появляются при исследовании функции.

Примеры решений по теме : “Постоянные и переменные величины”

Пример 1

  • Задача
  • Определить промежутки перемены переменной , которые заданы неравенством: ;
  • Решение

Переменные и постоянные величины - Справочник студента

Ответ

Пример 2

  1. Задача
  2. Определить промежутки перемены переменной , которые заданы неравенством:  
  3. Решение
  4. .
  5. Неравенство решается методом интервалов, определяя знак выражения в “пробных” точках каждого из интервалов.
  6. Ответ
  7. Область решений – отрезок или .

Пример 3

  • Задача
  • Определить промежутки перемены переменной , которые заданы неравностью: 
  • Решение
  • Для решения двойного неравенства  отнимем из всех её частей по 5 и разделим на (-2) (при делении знаки неравенств меняются с отрицательного числа на противоположное).
  • или , или же .
  • Ответ

 или , или же . Из них любой ответ считается верным.

Источник: https://NauchnieStati.ru/spravka/postojannye-i-peremennye-velichiny/

Переменные и постоянные величины — Математика

  • Переменные и постоянные величины
  • Переменные величины — это такие величины, которые в условиях данного вопроса могут принимать различные значения
  • Переменные величины, как правило, обозначаются последними буквами латинского алфавита x, y, z.
  • Постоянные величины — это такие величины, которые в условиях данного вопроса сохраняют неизменные значения.
  • Постоянные — первыми a, b, c.
  • Например в различных функциях используют переменные и постоянные величины:
  • В квадратном уравнении

Переменные и постоянные величины - Справочник студента

X является переменной величиной, а 9,20 и 0 постоянными величинами.

Понятие окрестности точки. Точки прикосновения, предельные , граничные и внутренние точки множества.

  1. Окрестность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней.
  2. Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.
  3. Точка x топологического пространства X называется точкой прикосновения множества S если любая окрестность x содержит хотя бы одну точку множества S.
  4. Точка Р называется предельной точкой множества М, если в любой окрестности точки Р имеется, по крайней мере, ещё одна точка множества М, кроме точки Р.
  5. Внутренняя точка множества в топологии есть точка, входящая в данное множество вместе с некоторой своей окрестностью.
  6. Граничная точка множества – точка пространства, любая (открытая) окрестность которой содержит как точки, принадлежащие рассматриваемому множеству, так и не принадлежащие ему точки (точки его дополнения).
  7. Граничная точка множества может как принадлежать, так и не принадлежать этому множеству.
Читайте также:  Инерция. 1 закон ньютона. инерциальные системы отсчёта - справочник студента

Открытые и замкнутые множества. Отрезок, интервал, промежуток действительной прямой. Ограниченные множества.

Множество M на прямой называется открытым, если каждая его точка сожержится в этом множестве вместе с некоторым интервалом. Замкнутым называется множество, содержащее все свои предельные точки (т. е.

такие, что любой интервал, содержащий эту точку, пересекается со множеством еще хотя бы по одной точке).

Например, отрезок является замкнутым множеством, но не является открытым, а интервал, наоборот, является открытым множеством, но не является замкнутым.

  • Отрезок прямой — часть прямой, ограниченная двумя точками.
  • Интервал —множество всех чисел, удовлетворяющих строгому неравенству а

Источник: https://student2.ru/matematika/577794-peremennye-i-postoyannye-velichiny/

Переменные и постоянные величины

Объектом исследования в курсе математического анализа являются различные величины, исследуются возможности описания с помощью этих величин реально происходящих явлений или процессов.

Величины могут быть переменными и постоянными, то есть меняющимися, или не меняющимися в процессе исследования. Эти заключения являются условными, покажем это на примере.

Координаты нашего города, конечно, являются постоянными величинами, по их значениям легко находится местоположение города на карте. Однако, это утверждение является истинным только для находящихся на Земле.

Если наблюдать за местоположением нашего города с космической станции, его координаты будут меняться с вращением Земли. Изучая земные дела, мы уверенно можем считать эти величины постоянными.

Переменные величины могут быть независимыми и зависимыми, меняющимися в зависимости от каких-то других величин. Эти понятия также условны. К примеру, время меняется независимо от чего либо, и его следует считать переменной величиной. Однако, с позиций общей теории относительности Эйнштейна это совсем не так.

Если рассмотреть уравнение окружности , в нем участвует две переменные величины и . Одной из них можно придавать в некоторой области любые значения, другая находится из приведенного уравнения. Следовательно, одну из них можно считать независимой, другую — зависимой переменной. При этом независимой переменной может считаться любая из них, тогда вторая будет зависимой.

Для работы с величинами необходимо задать множество, то есть совокупность значений, которые могут принимать эти величины в процессе их использования. В школе вас знакомили с несколькими множествами. Рассмотрим только некоторые из них.

Пусть множество является множеством натуральных чисел, это множество содержит бесконечное количество элементов, обозначение показывает, что элемент принадлежит множеству натуральных чисел.

Обозначим — множество действительных (вещественных) чисел, тогда множество является подмножеством множества , то есть полностью расположено на множестве и является его частью. Обозначение .

Множество всех действительных чисел обычно располагается на некоторой оси, называемой вещественной (числовой) осью. Каждому числу множества соответствует точка на оси.

Для краткой записи используются следующие обозначения:

: – «имеет место».

Например, выражение

читается «для всякого x из A имеет место ».

Функция. Способы ее задания

Вернемся к независимым и зависимым переменным. Независимую переменную часто называют аргументом, зависимую – функцией.

Определение 1. Если каждому элементу некоторого множества ставится в соответствие один и только один элемент множества , говорят, что на множестве задана функция , здесь определяет закон, с помощью которого осуществляется это соответствие.

  • Примеры , .
  • Функция может быть задана в виде
  • · Таблицы,
  • · Графика,
  • · Формулы (аналитически).

Аналитически функцию можно задать

· в явном виде (явное задание функции), когда из формулы следует, что переменная зависит , то есть является функцией аргумента ;

· неявно , когда любая из переменных может считаться независимой, тогда другая переменная является функцией. Пример неявного задания функции . Нетрудно заметить, что эта формула задает фактически две непрерывные функции и . Первая функция представляет верхнюю полуокружность, вторая – нижнюю ее часть.

· параметрически (параметрическое задание функции) , когда вводится дополнительный параметр . Исторически параметр t был связан со временем. Тогда параметрическое задание функции дает возможность не только установить, на какой линии находится точка, но и в каком месте этой линии она находится в заданный момент времени.

Пример. . Нетрудно установить, что это параметрическое уравнение эллипса . При имеем правую крайнюю точку эллипса A , при находимся в точке B, то есть в верхней точке эллипса и т.д. Таким образом, параметрическое задание дает большую информацию о функции, чем другие аналитические ее представления.

Определение 2. Множество называется областью существования функции, или областью ее задания. Область существования функции может быть шире, чем область ее задания. То есть функция может существовать на всей числовой оси, а используется она при .

Определение 3. Множество называется областью значений функции.

Определение 4. Любое подмножество числовой оси называется промежутком. Открытый промежуток, не включающий граничных точек, называется интервалом и обозначается или . Замкнутый промежуток, содержащий все внутренние и граничные точки, называется отрезком и обозначается или . Имеют место также полуинтервалы и . В первом случае в полуинтервал входит только левая граничная точка, во втором – только правая.

У функции область существования вся числовая ось то есть , область значений . У функции область существования или , область значений также . У функции область существования , область значений .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/2_85665_peremennie-i-postoyannie-velichini.html

Переменные и постоянные величины

ПЕРЕМЕННЫЕ И 
ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь от их конкретного содержания.

В дальнейшем, говоря о величинах, мы будем иметь в виду их числовые значения. В различных явлениях некоторые 
величины изменяются, а другие сохраняют 
свое числовое значение.

Например, при 
равномерном движении точки время 
и расстояние меняются, а скорость остается постоянной.

Переменной величиной называется величина, которая принимает различные числовые значения. Величина, числовые значения которой не меняются, называется постоянной. Переменные величины будем обозначать буквами x, y, z,…, постоянные – a, b, c,…

Заметим, что в математике постоянная величина часто рассматривается 
как частный случай переменной, у 
которой все числовые значения одинаковы.

Областью изменения переменной величины называется совокупность всех принимаемых ею числовых значений. Область изменения может состоять как из одного или нескольких промежутков, так и из одной точки.

УПОРЯДОЧЕННАЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

Будем говорить, что переменная x есть упорядоченная переменная величина, если известна область ее изменения, и про каждые из двух любых ее значений можно сказать, какое из них предыдущее и какое последующее.

Частным случаем упорядоченной 
переменной величины является переменная величина, значения которой образуют числовую последовательность x1,x2,…,xn,… Для таких величин при i < j, i, j Î N, значение xi считается предшествующим, а xj – последующим независимо от того, какое из этих значений больше. Таким образом, числовая последовательность – это переменная величина, последовательные значения которой могут быть перенумерованы. Числовую последовательность будем обозначать  . Отдельные числа последовательности называются ее элементами.

Например, числовую последовательность образуют следующие величины:

  1. ,
  2. ,
  3. , где а, d – постоянные числа.

ФУНКЦИЯ

При изучении различных явлений 
природы и решении технических 
задач, а, следовательно, и в математике приходится рассматривать изменение 
одной величины в зависимости 
от изменения другой.

Так, например, известно, что площадь круга выражается через радиус формулой S = πr2. Если радиус r принимает различные числовые значения, то площадь S также принимает различные числовые значения, т.е.

изменение одной переменной влечет изменение другой.

Если каждому значению переменной x, принадлежащему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной y, то y называется функцией переменной х. Символически будем записывать y=f(x). При этом переменная x называется независимой переменной или аргументом.

  • Запись y=C, где C – постоянная, обозначает функцию, значение которой при любом значении x одно и то же и равно C.
  • Множество значений x, для которых можно определить значения функции y по правилу f(x), называется областью определения функции.
  • Заметим, что числовая последовательность также является функцией, область 
    определения которой совпадает 
    с множеством натуральных чисел.
  • К основным элементарным функциям относятся все функции, изучаемые 
    в школьном курсе математики:
  • Элементарной 
    функцией называется функция, которая может быть задана основными элементарными функциями и постоянными при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.
  • ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА 
    ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
  • В дальнейшем курсе математики понятие предела будет играть фундаментальную роль, так как 
    с ним непосредственно связаны 
    основные понятия математического 
    анализа – производная, интеграл и др.
  • Начнем с понятия предела 
    числовой последовательности.
  • Число a называется пределом последовательности x = {xn}, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |xn — a| N должны лежать в интервале (a – ε; a + ε).
  • Следовательно, постоянное число a есть предел числовой последовательности {xn}, если для любой малой окрестности с центром в точке a радиуса ε (ε – окрестности точки a) найдется такой элемент последовательности с номером N, что все последующие элементыс номерами n>N будут находиться внутри этой окрестности.
  • Примеры.
    1. Пусть переменная величина x последовательно принимает значения

    Докажем, что предел этой числовой последовательности равен 1. Возьмем произвольное положительное 
    число ε. Нам нужно найти такое 
    натуральное число N, что при всех n>Nвыполняется неравенство |xn — 1| < ε. Действительно, т.к. , то для выполнения соотношения |xn - a| 6 будем иметь  .

    1. Используя определение предела числовой последовательности, доказать что  .

    Возьмем произвольное ε > 0. Рассмотрим

    .
    Тогда 
    , если 
     или 
    , т.е. 
    . Поэтому выберем любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству 
    .
    Сделаем несколько замечаний.
    Замечание 1. Очевидно, что если все элементы числовой последовательности принимают одно и то же постоянное значение xn = c, то предел этой последовательности будет равен самой постоянной. Действительно, при любом ε всегда выполняется неравенство |xn — c| = |c — c| = 0 < ε. Замечание 2. Из определения предела следует, что последовательность не может иметь двух пределов. Действительно, предположим, что xn → a и одновременно xn → b. Возьмем любое   и отметим окрестности точек a и b радиуса ε (см. рис.). Тогда по определению предела, все элементы последовательности, начиная с некоторого, должны находиться как в окрестности точки а, так и в окрестности точки b, что невозможно. Замечание 3. Не следует думать, что каждая числовая последовательность имеет предел. Пусть, например, переменная величина принимает значения  . Несложно заметить, что эта последовательность не стремится ни к какому пределу.

    ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a. Предположим, что независимая переменная x неограниченно приближается к числу a. Это означает, что мы можем придавать х значения сколь угодно близкие к a, но не равные a. Будем обозначать это так x → a. Для таких xнайдем соответствующие значения функции. Может случиться, что значения f(x) также неограниченно приближаются к некоторому числу b.Тогда говорят, что число b есть предел функции f(x) при x → a. Введем строгое определение  предела функции. Функция y=f(x) стремится к пределу b при x → a, если для каждого положительного числа ε, как бы мало оно не было, можно указать такое положительное число δ, что при всех x ≠ a из области определения функции, удовлетворяющих неравенству |x — a| < δ, имеет место неравенство |f(x) - b| < ε. Если b есть предел функции f(x) при x → a, то пишут   или f(x) → b при x → a. Проиллюстрируем это определение  на графике функции. Т.к. из неравенства |x - a| < δ должно следовать неравенство |f(x) - b| < ε, т.е. при x Î (a - δ, a + δ) соответствующие значения функции f(x) Î (b - ε, b + ε), то, взяв произвольное ε > 0, мы можем подобрать такое число δ, что для всех точекx, лежащих в δ – окрестности точки a, соответствующие точки графика функции должны лежать внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми y = b – ε и y = b + ε. Несложно заметить, что  предел функции должен обладать теми же свойствами, что и предел числовой последовательности, а именно  и если при x → a функция имеет предел, то он единственный. Примеры.

    1. Найти предел функции y=2x+1 при x → 1. Используя график функции, можно увидеть, что если x → 1 с любой стороны, то соответствующие точки M(x, y) графика стремятся к точке M(1, 3), т.е. можно предположить, что  . Докажем это. Зададим произвольное число ε > 0. Нам нужно, чтобы выполнялось неравенство |(2x+1) – 3| 0 все значения переменной, начиная с некоторого, по абсолютной величине будут больше M.
    2. Переменная величина x → +∞, если при произвольном M > 0 все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют неравенству x > M.
    3. Аналогично, x → – ∞, если при любом M > 0 x < -M.
    4. Будем говорить, что функция f(x) стремится к пределу b при x → ∞, если для произвольного малого положительного числа ε можно указать такое положительное число M, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству |x|>M, выполняется неравенство |f(x) — b| < ε.
    5. Обозначают 
      .
    6. Примеры.
      1. Используя определение, доказать, что  .

      Нужно доказать, что при произвольном ε будет выполняться неравенство 
      , как только |x|>M, причем число М должно определяться выбором ε. Записанное неравенство эквивалентно следующему  , которое будет выполняться, если |x|>1/ε=M. Это и значит, что 
       (см. рис.).

      1. Несложно заметить, что  .
      2.  не существует.
      1. БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ 
        ФУНКЦИИ
      2. Ранее мы рассмотрели случаи, когда функция f(x) стремилась к некоторому конечному пределу b при x → a или x → ∞.
      3. Рассмотрим теперь случай, когда функция y=f(x) стремится к бесконечности при некотором способе изменения аргумента.

      Функция f(x) стремится к бесконечности при x → a, т.е. является бесконечно большой величиной, если для любого числа М, как бы велико оно ни было, можно найти такое δ > 0, что для всех значений х≠a, удовлетворяющих условию |x-a| < δ, имеет место неравенство |f(x)| > M.

      • Если f(x) стремится к бесконечности при x→a, то пишут 
         или f(x)→∞ при x→a.
      • Сформулируйте аналогичное 
        определение для случая, когда x→∞.
      • Если f(x) стремится к бесконечности при x→a и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, соответственно пишут 
         или 
        .
      • Примеры.
      1. .
      2. Функция   при x→0 не стремится ни к какому пределу (см. рис.).

      ОГРАНИЧЕННЫЕ 
      ФУНКЦИИ
      Пусть задана функция y=f(x), определенная на некотором множестве D значений аргумента.
      Функция y=f(x) называется ограниченной на множестве D, если существует положительное число М такое, что для всех значений x из рассматриваемого множества, выполняется неравенство |f(x)|≤M. Если же такого числа М не существует, то функция f(x) называется неограниченной на множестве D.
      Примеры.

      1. Функция y=sin x, определенная при -∞N, функция f(x) ограничена.
      2. Установим связь между 
        ограниченной функцией и функцией, имеющей предел.

      Теорема 1. Если 
      и b – конечное число, то функция f(x) ограничена при x→a.
      Доказательство. Т.к. 
      , то при любом ε>0 найдется такое число δ>0, что при вех значениях х, удовлетворяющих неравенству |x-a|

    Источник: https://www.referat911.ru/Matematika/peremennye-i-postoyannye-velichiny/167214-2234462-place1.html

    информатика

    вопрос 1.

    Что такое величина? Чем отличаются постоянные и переменные величины?

    В информатике отдельный информационный объект (число, символ, строка, таблица и др.) называется величиной.

    • Значения постоянных величин указываются в тексте алгоритма и не меняются в процессе его исполнения.
    • Значения переменных величин меняются в процессе исполнения алгоритма.
    • вопрос 2.
    • Величины каких типов используются при записи алгоритмов?
    • при составлении алгоритмов используют величины целого, вещественного, логического, символьного и литерного типов.
    • вопрос 3.

    Укажите тип величины, если ее значение равно: 2010; 14.48; 'ДА'; FALSE, '142'; 1,4 • 105;    .123Е-2;    'пять'.

    2010 — целочисленный

    14.48 – вещественный
    'Да' – символьный

    FALSE  — логический

    '142' – символьный

    1,4 • 105  — вещественный123Е-2 – может быть, как вещественным, целочисленным или символьным. Все

    'пять' — символьный

    вопрос 4.
    Определите типы следующих величин:
    а) вес человека — вещественный
    б) марка автомобиля — символьный

    в) год вашего рождения — символьный

    1. г) площадь фигуры — вещественный
      д) название месяца года — символьный
    2. е) количество мест в самолете — целый
    3. вопрос 5.
    4. Приведите по одному примеру допустимых и недопустимых значений для каждой из величин:
    5. а) температура человека: от 36 до 37 — допустимо, от 43 — недопустимо

    б) скорость автомашины: от 0 до 100 км/ч — допустимо, 265 кмч — недопустимо
    в) площадь государства: 17, 3 тыс км. кв. — допустимо, 246 тыс км. кв. — недопустимо
    г) название дня недели: пятница — допустимо, леопардовый хорек — недопустимо

    вопрос 6.Для чего предназначена команда присваивания? Каковы ее основные свойства?

    С помощью команды присваивания можно задать конкретное значение величины.

    Свойства присваивания:
    1) пока переменной не присвоено значение, она остается неопределенной;

    2) значение, присвоенное переменной. сохраняется в ней вплоть до выполнения следующего присваивания этой переменной нового значения; 

    3) если мы присваиваем некоторой переменной очередное значение, то предыдущее ее значение теряется безвозвратно.
    вопрос 7.Какие команда присваивания составлены правильно?

    • а) А : =В — правильно
    • б) А=В
    • в) А=В+1
    • г) А+1 : =А —  правильно
      вопрос 8.
    • Придумайте свой алгоритм обмена значениями числовых переменных А и В.
    • алг обмен значения  (лит А,В)
      Арг А, В
    • Рез А, В
    • С:=А
      А:=ВВ:=С

    Кон
    вопрос 11.Что называют выражением? Каковы основные правила записи выражений?

    Выражение — языковая конструкция для вычисления значения с помощью одного или нескольких операндов.
    Выражения состоят из операндов (констант, переменных, функций), объединенных знаками операций.

    Выражения записываются в виде линейных последовательностей символов (без подстрочных и надстрочных символов, обыкновенных дробей и т. д.); знаки операций пропускать нельзя.

    Порядок выполнения операций определяется скобками и приоритетом (старшинством) операций; операции одинакового приоритета выполняются слева направо.

    вопрос 15.Изобразите в декартовой прямоугольной системе координат область, в которой истинны следующие логические выражения:

    а) (x>=-1) и (x=-1) и (y=x) и (y>=-x) и (y=0) и (x=0) и (y=1 и (x2+y2)

    Источник: http://whynotfock.blogspot.com/p/1_18.html

    ПЕРЕМЕ́ННЫЕ И ПОСТОЯ́ННЫЕ ВЕЛИЧИ́НЫ

    ПЕРЕМЕ́ННЫЕ И ПОСТОЯ́ННЫЕ ВЕ­ЛИ­ЧИ́НЫ, ве­ли­чи­ны, ко­то­рые в изу­чае­мой за­да­че при­ни­ма­ют раз­лич­ные зна­че­ния ли­бо, со­от­вет­ст­вен­но, со­хра­ня­ют од­но и то же зна­че­ние. Напр.

    , при изу­че­нии па­де­ния те­ла рас­стоя­ние по­след­не­го от зем­ли и ско­рость па­де­ния – пе­ре­мен­ные ве­ли­чи­ны, ус­ко­ре­ние же (ес­ли пре­неб­речь со­про­тив­ле­ни­ем воз­ду­ха) – ве­ли­чи­на по­сто­ян­ная.

    При на­ли­чии в изу­чае­мой за­да­че бо­лее чем од­ной пе­ре­мен­ной раз­ли­ча­ют не­за­ви­си­мые и за­ви­си­мые пе­ре­мен­ные. По­след­ние рас­смат­ри­ва­ют­ся как функ­ции не­за­ви­си­мых пе­ре­мен­ных (ар­гу­мен­тов).

    В ука­зан­ном при­ме­ре, ес­ли изу­ча­ет­ся за­ви­си­мость вы­со­ты h от вре­ме­ни t (при этом счи­та­ют­ся за­дан­ны­ми на­чаль­ные ус­ло­вия – на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни и со­от­вет­ст­вую­щая ему вы­со­та и ско­рость), то не­за­ви­си­мой пе­ре­мен­ной яв­ля­ет­ся вре­мя t, а за­ви­си­мой пе­ре­мен­ной – функ­ци­ей от t – вы­со­та h; ес­ли же изу­ча­ет­ся за­ви­си­мость ско­ро­сти от вы­со­ты, то не­за­ви­си­мой пе­ре­мен­ной яв­ля­ет­ся вы­со­та, а ско­рость есть функ­ция от h. Т. о., пе­ре­мен­ные яв­ля­ют­ся за­ви­си­мы­ми или не­за­ви­си­мы­ми лишь по от­но­ше­нию друг к дру­гу, и их раз­ли­че­ние оп­ре­де­ля­ет­ся ус­ло­вия­ми за­да­чи.

    Эле­мен­тар­ная ма­те­ма­ти­ка рас­смат­ри­ва­ла все изу­чае­мые ею ве­ли­чи­ны как по­сто­ян­ные. По­ня­тие пе­ре­мен­ной ве­ли­чи­ны воз­ник­ло в ма­те­ма­ти­ке в 17 в. пер­во­на­чаль­но под влия­ни­ем во­про­сов ес­те­ст­во­зна­ния, в ко­то­ром на пер­вый план вы­дви­ну­лось изу­че­ние дви­же­ния, про­цес­сов, а не толь­ко со­стоя­ний.

    Это по­ня­тие не ук­ла­ды­ва­лось в фор­мы, вы­ра­бо­тан­ные ма­те­ма­ти­кой древ­но­сти и сред­них ве­ков, и тре­бо­ва­ло для сво­его вы­ра­же­ния но­вых форм. Та­ки­ми но­вы­ми фор­ма­ми яви­лись бу­к­вен­ная ал­геб­ра и ана­ли­ти­че­ская гео­мет­рия Р. Де­кар­та.

    В бу­к­вах де­кар­то­вой ал­геб­ры, мо­гу­щих при­ни­мать про­из­воль­ные чи­сло­вые зна­че­ния, и на­шли своё сим­во­лич. вы­ра­же­ние пе­ре­мен­ные ве­ли­чи­ны.

    Вплоть до сер. 19 в. пре­об­ла­да­ли ме­ха­нич. воз­зре­ния на пе­ре­мен­ные ве­ли­чи­ны. Наи­бо­лее яр­ко они бы­ли вы­ра­же­ны И. Нью­то­ном, на­зы­вав­шим пе­ре­мен­ные ве­ли­чи­ны флю­ен­та­ми, т. е. те­ку­щи­ми, и рас­смат­ри­вав­шим их «…

    не как со­стоя­щие из край­не ма­лых час­тей, но как опи­сы­вае­мые не­пре­рыв­ным дви­же­ни­ем». Та­кое воз­зре­ние, бу­ду­чи по­лу­ин­туи­тив­ным и в из­вест­ном смыс­ле ог­ра­ни­чен­ным, ока­за­лось, тем не ме­нее, весь­ма пло­до­твор­ным и вы­зва­ло бур­ное раз­ви­тие ма­те­ма­тич. ме­то­дов в ес­те­ст­во­зна­нии. Ме­ха­нич.

    и гео­мет­рич. на­гляд­ность по­явив­ших­ся в 17–18 вв. но­вых по­ня­тий, свя­зан­ных с пе­ре­мен­ны­ми ве­ли­чи­на­ми, та­ких как «не­пре­рыв­ность», «про­из­вод­ная», «ин­те­грал», ком­пен­си­ро­ва­ла пер­во­на­чаль­ный не­дос­та­ток ма­те­ма­тич.

    стро­го­сти на­столь­ко, что ог­ром­ное ко­ли­че­ст­во цен­ных и уди­ви­тель­но со­гла­со­ван­ных ме­ж­ду со­бой ре­зуль­та­тов бы­ло по­лу­че­но до то­го, как в 19 в. бы­ли кор­рект­но сфор­му­ли­ро­ва­ны осн. по­ня­тия и обос­но­ва­ны (за ма­лым ис­клю­че­ни­ем) все ра­нее по­лу­чен­ные ре­зуль­та­ты.

    Ис­сле­до­ва­ния ма­те­ма­ти­ков 19 в. по обос­но­ва­нию ма­те­ма­тич. ре­зуль­та­тов и фор­ма­ли­за­ции ма­те­ма­тич. ме­то­дов ес­те­ст­вен­ным об­ра­зом рас­ши­ри­ли по­ня­тие пе­ре­мен­ной ве­ли­чи­ны.

    Во 2-й пол. 19 в. и в 20 в. в ма­те­ма­ти­ке ста­ли рас­смат­ри­вать­ся всё бо­лее раз­но­об­раз­ные и ши­ро­кие клас­сы пе­ре­мен­ных объ­ек­тов, раз­ви­ва­лись тео­рия мно­жеств, то­по­ло­гия и ма­те­ма­тич. ло­ги­ка. О том, на­сколь­ко рас­ши­ри­лось в 20 в.

    по­ня­тие пе­ре­мен­ной, сви­де­тель­ст­ву­ет тот факт, что в ма­те­ма­тич. ло­ги­ке рас­смат­ри­ва­ют­ся не толь­ко пе­ре­мен­ные, про­бе­гаю­щие про­из­воль­ные мно­же­ст­ва пред­ме­тов, но и пе­ре­мен­ные, зна­че­ния­ми ко­то­рых слу­жат вы­ска­зы­ва­ния, пре­ди­ка­ты (от­но­ше­ния ме­ж­ду пред­ме­та­ми) и т. д.

    На сме­ну ста­ро­му воз­зре­нию на пе­ре­мен­ные ве­ли­чи­ны в кон. 19 в. и в 20 в. при­шли оп­ре­де­ле­ния пе­ре­мен­ных и спо­со­бов их из­ме­не­ния в по­ня­ти­ях тео­рии мно­жеств, то­по­ло­гии и ма­те­ма­тич. ло­ги­ки.

    Так, не­за­ви­си­мая пе­ре­мен­ная счи­та­ет­ся за­дан­ной, ес­ли за­да­но мно­же­ст­во всех её воз­мож­ных зна­че­ний; функ­цио­наль­ная за­ви­си­мость ме­ж­ду дву­мя пе­ре­мен­ны­ми оп­ре­де­ля­ет­ся как ото­бра­же­ние мно­же­ст­ва зна­че­ний од­ной пе­ре­мен­ной в мно­же­ст­во зна­че­ний др.

    пе­ре­мен­ной, по­ня­тие пре­де­ла функ­ции наи­бо­лее об­щим об­ра­зом оп­ре­де­ля­ет­ся с по­мо­щью ок­ре­ст­но­стей точ­ки или в к.-л. др. то­по­ло­гич. тер­ми­нах.

    Источник: https://bigenc.ru/mathematics/text/2712745

    Что представляют собой переменные затраты

    В составе затрат на производство продукции выделяют две основные категории: издержки постоянные и переменные. Изменения в составе и объемах переменных издержек ведут к изменению общего итога затрат на производство. Поговорим о том, что включается в эту категорию затрат и каково практическое значение корректного учета переменных издержек.

    Постоянные и переменные затраты

    Различие между переменными и постоянными затратами связано с объемом производства. Постоянные характерны тем, что от изменений величины произведенной продукции практически не зависят.

    Вот некоторые примеры постоянных затрат:

    • оплата труда дирекции, иных сотрудников аппарата управления фирмой;
    • расходы на связь, интернет;
    • амортизационные расходы;
    • аренда помещения.

    Понятно, что полностью неизменными не могут быть и эти расходы – время от времени повышается заработная плата управленцев, могут измениться цены по договорам аренды, оказания услуг связи. Косвенно наращивание объема производства может вылиться и в увеличение таких затрат.

    К примеру, более интенсивный производственный процесс ведет к увеличению расходов на интернет, поездки для переговоров с клиентами о заключении контрактов.

    Тем не менее в силу достаточно слабой связи фактора изменения объема производства и изменения этого вида затрат при планировании их относят к постоянным.

    Переменные, напротив, зависят от объема производства значительно. Их размер меняется пропорционально объему выпуска продукции – товаров, работ, услуг. Характерный пример – расход сырья и материалов. Для производства большего числа единиц продукции требуется большее количество этого ресурса, значит, затраты будут меняться.

    К переменным затратам относят также заработную плату производственного персонала, расходы электрической и других видов энергии на отопление, освещение производственных помещений, расход полуфабрикатов в производстве и пр.

    Переменные затраты включаются в стоимость единицы продукции в виде постоянной расчетной величины. Увеличение или уменьшение расходов достигается изменением физического объема выпуска продукции.

    Кстати говоря! Если производство прекращается, переменные издержки стремятся к нулю. Это один из важнейших признаков их.

    Состав переменных затрат

    Классификация переменных затрат зависит прежде всего от специфики работы фирмы. Вместе с тем есть и общие классификационные признаки.

    Основные виды переменных затрат такие:

    • сырье и материалы;
    • заработная плата производственных рабочих;
    • отчисления от заработной платы в фонды;
    • премии, связанные с увеличением объема производства;
    • доплата менеджерам по продажам, агентам, посредникам;
    • налоги, соответствующие системе налогообложения фирмы.

    Зарплата работников здесь учитывается как переменный фактор в части, зависящей от объема производства (сдельная оплата), и отчисления от нее учитываются по тому же принципу.

    Надбавки менеджерам и агентам включаются в переменные затраты, несмотря на то что имеют отношение к продажам, а не собственно к производству. Если имело место обращение к услугам аутсорсинговых компаний, эти расходы тоже включают в переменные.

    За редким исключением размер налоговой базы зависит от произведенной продукции и затрат на нее, поэтому сумма налога является переменной величиной.

    Кроме того, применяют и другие классификации переменных затрат. Заметим, что линейное увеличение (уменьшение) переменных затрат на производство в связи с изменением выпуска продукции не всегда имеет место, что тоже отражается в классификации.

    Зависимость от объема выпускаемой продукции может быть:

    • пропорциональной (на сколько процентов вырастает или снижается объем, на столько же и затраты);
    • дегрессивной (рост объема производства опережает рост затрат);
    • прогрессивной (рост затрат опережает рост объема производства).

    Отнесение на себестоимость продукции дает классификацию на затраты:

    Первые можно отнести на себестоимость конкретной продукции, изделий (сырье), а вторые – нельзя (заработная плата рабочих склада готовой продукции), но ясно, что они зависят от производства продукции в целом.

    Однако, как мы уже говорили, классификация находится в зависимости от специфики производства. Характерный пример – транспортные расходы. Если фирма занимается перевозками, затраты относят к прямым, если транспортный цех обслуживает производство – к косвенным.

    Затраты по отношению к производственному процессу делят на:

    • производственные;
    • непроизводственные.

    К непроизводственным можно отнести, например, надбавки менеджерам, а к производственным – расход сырья и материалов.

    Применяют так называемый статистический принцип разделения переменных затрат на общие и средние. Общие включают издержки сразу на всю номенклатуру произведенной продукции, тогда как средние – на единицу продукции или номенклатурную группу.

    Как рассчитать переменные издержки

    Очевидно, что общая сумма переменных издержек слагается из сумм издержек по категориям, определенным в управленческом учете.

    Для этого используют бухгалтерские данные на счетах учета переменных издержек. Как правило, это счет 20 и иные счета, в зависимости от принятого рабочего плана счетов.

    Следует иметь в виду, что, например, на счете 25 могут отражаться как постоянные, так и переменные издержки.

    Для разделения издержек и быстрого исчисления их переменной части нередко используют метод директ-костинга. Он позволяет списать постоянные затраты на уменьшение финансового результата единовременно.

    К примеру, на счете 26 все издержки будут носить постоянный характер, в то же время в объеме сумм на счете 25 большую часть составляют переменные величины, и с достаточной степенью достоверности можно принять весь счет 25 как носитель информации о переменных издержках.

    Если характер производства товаров, работ, услуг позволяет пренебречь такими погрешностями, то исчисление переменных издержек можно упростить.

    В общем случае формула переменных затрат будет выглядеть так: ПЗ = ∑ Зп, где ПЗ – переменные затраты, а ∑ Зп – расходы в сумме, понесенные конкретно на производство товаров, работ, услуг и учтенные в себестоимости. Общехозяйственная часть распределенных расходов сюда не входит.

    Зачем их рассчитывают

    Переменные затраты рассчитываются для целей управленческого учета, а не бухгалтерского. Расчет размера переменных затрат и их анализ в конечном итоге служит управленческим решениям, направленным на увеличение прибыли.

    В России с применением показателя переменных издержек рассчитывается валовая маржа. Под ней понимается разница между выручкой от реализации и переменными затратами. Специалисты, однако, уточняют, что речь здесь скорее идет о маржинальном доходе (маржинальной прибыли, contribution margin).

    Подсказка! Маржа — gross profit, рентабельность продаж, применяется несколько вариантов расчета этого показателя.

    Тезисно

    1. Переменные затраты, зависящие от объема выпускаемой продукции, классифицируются по нескольким показателям. Наиболее часто в практической управленческой работе используется разделение по видам.
    2. Существует зависимость классификации затрат от особенностей производства продукции.
    3. Переменные затраты представляют собой сумму соответствующих затрат по категориям за определенный период.
    4. Размер переменных затрат исчисляется для принятия качественных управленческих решений, направленных на увеличение прибыльности производства.

    Источник: https://assistentus.ru/buhuchet/chto-vklyuchayut-v-sebya-peremennye-zatraty/

Ссылка на основную публикацию