Основные теоремы о пределах — справочник студента

ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ    IX

§ 212. Основные теоремы о  пределах  функций

Прежде всего заметим, что не для всякой функции у = f (х) существует предел   f (х).

Так, например, при   x —>  π/2  значения функции у = tg х (рис.

303) или неограниченно растут (при х < π/2), или   неограниченно   убывают (при х > π/2).   

Поэтому нельзя указать никакого числа b, к которому стремились бы значения этой функции.

Другой пример. Пусть

График этой функции представлен на рисунке 304.

Когда значений аргумента х приближаются к 0, оставаясь отрицательными, соответствующие значения функции стремятся к 1. Когда значения аргумента х приближаются к 0, оставаясь положительными, соответствующие значения функции стремятся к —2.

В самой же точке х = 0 функция обращается в 0. Очевидно, что указать одно какое-нибудь число, к которому стремились бы все значения у при приближении х к 0, нельзя. Поэтому данная функция не имеет предела при х —> 0.

Говоря в дальнейшем о пределе функции, мы всегда будем предполагать, что этот предел существует.

Предположение о существовании предела   f (х)  еще  не  означает, что этот предел совпадает со значением функции f (х)  в точке х = а. Для примера рассмотрим  функцию, график которой представлен на рисунке 305.

Очевидно,   что   предел  f (х)   существует и равен 1. Но в самой точке х = 0 функция принимает значение, равное 2. Поэтому в данном случае

•  f (х)  =/=  f (0).
• Если функция у = f (х) удовлетвoряет условию
•   f (х)  = f (a),

то она называется непрерывной в точке х = а. Если же   указанное   условие не выполняется, то функция  f (х) называется разрывной в точке х = а.'

Все элементарные функции (например, у = хп, у = sin х,  у =  tg х , у =  tg2 х + tg х и т. д.) непрерывны в каждой точке, в которой они определены.

Функция у = f (х) называется непрерывной в интервале [а, b], если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Приведем без доказательства основные теоремы о пределах функций. Эти теоремы вполне аналогичны тем, которые мы рассматривали (также без доказательства) ранее при изучении пределов числовых последовательностей.

1. 1.  Предел константы равен самой этой константе:
2. с = с.
3. 2.  Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
4. [ k •  f (х)] = k •   f (х).
5. 3.  Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций:
6. [ f (х) ± g (х)] =   f (х) ±  g (x).
7. 4.  Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций:
8. [ f (х) • g (х)] =   f (х) •  g (x).
9. 5.  Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен нулю:

Рассмотрим несколько типичных примеров нахождения пределов функций.

Пример   1.   Найти

При х —> 3 числитель и знаменатель данной дроби стремятся к нулю. Поэтому непосредственное применение теоремы о пределе частного здесь невозможно. Однако данную дробь можно сократить:

(Обратите внимание на следующую важную особенность, характерную для рассмотренного примера. Когда мы говорим о пределе   f (х), то обычно предполагаем, что функция f (х) определена во в с е х   точках, достаточно близких к точке х = а.

Однако функция определена лишь для положительных значений х. Поэтому, рассматривая предел этой функции, мы фактически предполагаем, что х —> 0, оставаясь все время положительным. В подобных случаях говорят не просто о пределе, а об одностороннем пределе.

С аналогичными примерами мы еще встретимся при выполнении упражнений к этому параграфу.)

Пример   4.    Найти

Предел знаменателя дроби при х —> 0 равен 0. Поэтому непосредственное использование теоремы о пределе частного здесь невозможно. Кроме того, данную дробь нельзя сократить, как мы делали это в примерах 2 и 3. В данном случае числитель и знаменатель дроби следует умножить на выражение √1 + х + 1, сопряженное знаменателю дроби. В результате получим:

Пример 5. Найти

При х —> 4 числитель и знаменатель данной дроби стремятся к нулю. Поэтому применить теорему о пределе дроби нельзя. Преобразуем дробь, представив знаменатель в виде произведения:

• Упражнения
• Найти пределы (№ 1660—1675):
• ОТВЕТЫ

Источник: http://oldskola1.narod.ru/Kochetkov2/Kochetkov212.htm

Предел функции – определения, теоремы и свойства

Приводятся формулировки основных теорем и свойств предела функции. Даны определения конечных и бесконечных пределов в конечных точках и на бесконечности (двусторонних и односторонних) по Коши и Гейне. Рассмотрены арифметические свойства; теоремы, связанные с неравенствами; критерий сходимости Коши; предел сложной функции; свойства бесконечно малых, бесконечно больших и монотонных функций. Дано определение функции.

Предел функции (по Гейне) при ее аргументе x, стремящемся к x0 – это такое конечное число или бесконечно удаленная точка a, для которой выполняются следующие условия: 1) существует такая проколотая окрестность точки x0, на которой функция f(x) определена; 2) для любой последовательности , сходящейся к : , элементы которой принадлежат окрестности , последовательность сходится к a: . Предел функции обозначают так: . Или     при   . Здесь a и x0 могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками: . Для бесконечно удаленных точек приняты следующие обозначения: . Проколотая окрестность конечной точки может быть как двусторонней, так и односторонней. В последнем случае, для левой окрестности пишут: . Для правой окрестности:

.

С помощью логических символов существования и всеобщности это определение можно записать следующим образом: . См. «Универсальное определение предела функции по Гейне и по Коши».

Второе определение по Коши

Предел функции (по Коши) при ее аргументе x, стремящемся к x0 – это такое конечное число или бесконечно удаленная точка a, для которой выполняются следующие условия: 1) существует такая проколотая окрестность точки x0, на которой функция f(x) определена; 2) для любой окрестности точки a, принадлежащей , существует такая проколотая окрестность точки x0, на которой значения функции принадлежат выбранной окрестности точки a:   при  .

Здесь a и x0 также могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. С помощью логических символов существования и всеобщности это определение можно записать следующим образом: .

• Если в качестве множества взять левую или правую окрестность конечной точки, то получим определение предела по Коши слева или справа.
• Теорема Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
• Доказательство

Применяемые окрестности точек

В приведенном выше определении применяются произвольные окрестности точек. Например, проколотой окрестностью конечной точки является множество , где – два положительных числа, которые определяют размер окрестности. Более подробно, см. «Окрестность точки».

Тогда, фактически, определение по Коши означает следующее. Для любых положительных чисел , существуют числа , так что для всех x, принадлежащих проколотой окрестности точки : , значения функции принадлежат окрестности точки a: , где , .

С таким определением не совсем удобно работать, поскольку окрестности определяются с помощью четырех чисел . Но его можно упростить, если ввести окрестности с равноудаленными концами. То есть можно положить , .

Тогда мы получим определение, которое проще использовать при доказательстве теорем. При этом оно является эквивалентным определению, в котором используются произвольные окрестности.

Доказательство этого факта приводится в разделе «Эквивалентность определений предела функции по Коши».

Тогда можно дать единое определение предела функции в конечных и бесконечно удаленных точках: . Здесь для конечных точек

;   ;

. Любые окрестности бесконечно удаленных точек являются проколотыми:

1. ;   ;   .
2. См. «Окрестность точки»
3. Далее мы приводим формулировки определений предела функции по Коши для разных случаев, используя определения окрестностей с равноудаленными концами.

Конечные пределы функции в конечных точках

Число a называется пределом функции f(x) в точке x0, если 1) функция определена на некоторой проколотой окрестности конечной точки ; 2) для любого существует такое , зависящее от , что для всех x, для которых , выполняется неравенство .

С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела функции можно записать следующим образом: .

Односторонние пределы. Левый предел в точке (левосторонний предел): . Правый предел в точке (правосторонний предел): . Пределы слева и справа часто обозначают так:

• ;   .
• См. «Определение предела функции в конечной точке»

Конечные пределы функции в бесконечно удаленных точках

Аналогичным образом определяются пределы в бесконечно удаленных точках. . . .

См. «Определение предела функции на бесконечности»

Бесконечные пределы функции

.

Также можно ввести определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и : . .

Свойства и теоремы предела функции

Далее мы считаем, что рассматриваемые функции определены в соответствующей проколотой окрестности точки , которая является конечным числом или одним из символов: . Также может быть точкой одностороннего предела, то есть иметь вид или . Окрестность является двусторонней для двустороннего предела и односторонней для одностороннего.

Основные свойства

Если значения функции f(x) изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x1, x2, x3, … xn, то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x0.

Если существует конечный предел , то существует такая проколотая окрестность точки x0, на которой функция f(x) ограничена: .

Пусть функция имеет в точке x0 конечный предел, отличный от нуля: . Тогда, для любого числа c из интервала , существует такая проколотая окрестность точки x0, что для , ,   если ; ,   если .

Если, на некоторой проколотой окрестности точки ,   – постоянная, то .

Если , и на некоторой окрестности точки , то . В частности, если на некоторой окрестности точки , то если , то и ; если , то и .

Если на некоторой проколотой окрестности точки x0: , и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:

, то

.

Доказательства основных свойств приведены на странице «Основные свойства предела функции».

Арифметические свойства предела функции

Пусть функции и определены в некоторой проколотой окрестности точки . И пусть существуют конечные пределы:   и  . И пусть C – постоянная, то есть заданное число. Тогда ; ; ; ,   если .

Если , то .

Доказательства арифметических свойств приведены на странице «Арифметические свойства предела функции».

Критерий Коши существования предела функции

Теорема Для того, чтобы функция , определенная на некоторой проколотой окрестности конечной или бесконечно удаленной точки x0, имела в этой точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовала такая проколотая окрестность точки x0, что для любых точек   и   из этой окрестности, выполнялось неравенство: .

«Доказательство критерия Коши».

Предел сложной функции

Теорема о пределе сложной функции Пусть функция имеет предел и отображает проколотую окрестность точки на проколотую окрестность точки .

Пусть функция определена на этой окрестности и имеет на ней предел . Здесь – конечные или бесконечно удаленные точки: .

Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние. Тогда существует предел сложной функции и он равен : .

Теорема о пределе сложной функции применяется в том случае, когда функция не определена в точке или имеет значение, отличное от предельного . Для применения этой теоремы, должна существовать проколотая окрестность точки , на которой множество значений функции не содержит точку : .

Если функция непрерывна в точке , то знак предела можно применять к аргументу непрерывной функции: . Далее приводится теорема, соответствующая этому случаю.

Теорема о пределе непрерывной функции от функции Пусть существует предел функции g(x) при x → x0, и он равен t0: . Здесь точка x0 может быть конечной или бесконечно удаленной: . И пусть функция f(t)  непрерывна в точке t0. Тогда существует предел сложной функции f(g(x)), и он равен f(t0): .

Доказательства теорем приведены на странице «Предел и непрерывность сложной функции».

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Бесконечно малые функции

1. Определение Функция называется бесконечно малой при , если .
2. Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при является бесконечно малой функцией при .

3. Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки , на бесконечно малую при является бесконечно малой функцией при .
4. Для того, чтобы функция имела конечный предел , необходимо и достаточно, чтобы , где – бесконечно малая функция при .

5. Доказательства свойств изложены в разделе «Свойства бесконечно малых функций».

Бесконечно большие функции

Определение Функция называется бесконечно большой при , если .

Свойства бесконечно больших функций

• Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки , и бесконечно большой функции при является бесконечно большой функцией при .
• Если функция является бесконечно большой при , а функция – ограничена, на некоторой проколотой окрестности точки , то .
• Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , удовлетворяет неравенству: , а функция является бесконечно малой при : , и   (на некоторой проколотой окрестности точки ), то .

Cм. также: Свойства неравенств с бесконечно большими функциями ⇑.

Доказательства свойств изложены в разделе «Свойства бесконечно больших функций».

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями

1. Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.
2. Если функция являются бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .
3. Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .

4. Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом: ,   .

Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при , то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки , то этот факт можно выразить так: .

Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при , то пишут: .

Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями: ,   , ,   .

Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице «Бесконечно удаленные точки и их свойства».

Пределы монотонных функций

Определение Функция , определенная на некотором множестве действительных чисел X называется строго возрастающей, если для всех таких что выполняется неравенство: . Соответственно, для строго убывающей функции выполняется неравенство: . Для неубывающей: . Для невозрастающей: .

Отсюда следует, что строго возрастающая функция также является неубывающей. Строго убывающая функция также является невозрастающей.

Функция называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая.

Теорема Пусть функция не убывает на интервале , где . Если она ограничена сверху числом M: , то существует конечный предел . Если не ограничена сверху, то . Если ограничена снизу числом m: , то существует конечный предел . Если не ограничена снизу, то .

Пусть функция не убывает на интервале , где . Тогда существуют односторонние пределы в точках a и b: ; .

Аналогичная теорема для невозрастающей функции.

Пусть функция не возрастает на интервале , где . Тогда существуют односторонние пределы: ; .

Доказательство теоремы изложено на странице «Пределы монотонных функций».

Определение функции

Функцией y = f(x) называется закон (правило), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y.

Элемент x ∈ X называют аргументом функции или независимой переменной. Элемент y ∈ Y называют значением функции или зависимой переменной.

Множество X называется областью определения функции. Множество элементов y ∈ Y, которые имеют прообразы в множестве X, называется областью или множеством значений функции.

Более подробно, см. страницы: «Определение функции»; «Способы задания функций».

Далее, если это особо не оговорено, мы рассматриваем функции, области определения и множества значений которых принадлежат множеству действительных чисел.

Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M, что для всех выполняется неравенство: . Числовая функция называется ограниченной, если существует такое число M, что для всех : .

Верхней гранью или точной верхней границей действительной функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s, для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого превосходит s′: . Верхняя грань функции может обозначаться так: .

Соответственно нижней гранью или точной нижней границей действительной функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i, для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого меньше чем i′: . Нижняя грань функции может обозначаться так: .

Использованная литература: Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Источник: https://1cov-edu.ru/mat-analiz/predel-funktsii/

Алгебра и теория пределов. Элективный курс. Епихин В.Е. 2006

• Книги и учебники →
• Книги по математике

СкачатьЕще скачатьСмотреть Купить бумажную книгуКупить электронную книгуНайти похожие материалы на других сайтахКак открыть файлКак скачатьПравообладателям (Abuse, DMСA)Название: Алгебра и теория пределов. Элективный курс. Епихин В. Е.

2006   Элективный курс предназначен для углубленного изучения математики. Излагаются основы теории множеств и математической логики, элементы аксиоматики действительных чисел, начала тригонометрии, теория приближений действительных чисел, комплексные числа, теория пределов, свойства функций, многочлены.

Книга завершается доказательством основной теоремы алгебры. Изложение сопровождается примерами и упражнениями. В основу учебного пособия положен общий курс математики, который читается учащимся старших классов физико-математического лицея № 1580 при МГТУ им. Н. Э. Баумана.

Для старшеклассников и учителей математики общеобразовательных школ, лицеев, гимназий, колледжей. Книга будет полезна преподавателям и слушателям подготовительных курсов, а также студентам младших курсов ВУЗов. 1. Математика возникла в глубокой древности из практических потребностей счета и простейших измерений- Как любой пласт культуры, математика была вызвана к жизни духовными потребностями человека, его стремлением к познанию и красоте.Хотя числа и не управляют миром, они показывают, по каким законам управляется мир. На вопрос: «Для чего изучают математику?» английский философ Роджер Бэкон ответил: «Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества».2. Эта книга не столько отражает многолетний опыт работы автора на кафедре «Основы математики и информатики» Специализированного учебно-научного центра при МГТУ им. Н. Э. Баумана, сколько представляет собой изложение понимания задач школьного математического образования с целью разработки ясного, компактного курса, позволяющего вести преподавание математики с единых позиций старшеклассникам с подготовкой разного уровня.Понимание необходимости объективно складывающегося в перспективе сближения математики, изучаемой в старшей школе, и математики высшей школы позволит планомерно преодолеть известный разрыв между требованиями школьной программы и требованиями университетских программ по высшей математике.Базисные понятия: число, множество, соответствие, отношение, функция, последовательность, предел, непрерывность, производная, интеграл, уравнение, а также приемы доказательств и методы решения типовых задач, являются общими как для школьной, так и для ВУЗовской математики.

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ I. Аксиоматика натурального ряда чисел II. Отношение порядка в натуральном ряде чисел III. Основные понятия и формулы теории множеств IV. Основные понятия и теоремы арифметики IV.1. Делимость целых чисел IV.2.

Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 25 IV.3. Деление с остатком V. Декартово произведение множеств VI. Соответствие, или бинарное отношение между двумя множествами VII. Виды соответствий; Функциональное соответствиеVIII. Суперпозиция отображений IX.

Примеры числовых отображений X. Арифметическая прогрессия XI. Геометрическая прогрессия XII. О математическом доказательстве ХII.1. Основные понятия логики XII.2. Виды математических теорем ХII.З.

Схемы доказательства методом «от противного»Коллоквиум по теме:

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ

ЧАСТЬ 1ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВГЛАВА 1

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

1.1. Множество рациональных чисел 1.2. Сечение на множестве рациональных чисел. Множество действительных чисел 1.3. Леммы о рациональных приближениях действительных чисел 1.4. Теория десятичных дробей 1.5. Непрерывность множества действительных чисел 1.6. Границы числовых множеств 1.7. Арифметические действия с действительными числами1.8. Типизация числовых систем 1.9. Сравнение числовых множеств 1.10. Обобщение понятия угла. Числовая окружность

• ГЛАВА 2СТЕПЕНЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА
• ГЛАВА 3НАЧАЛА ТРИГОНОМЕТРИИ
• ГЛАВА 4КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА (РАСШИРЕНИЕ МНОЖЕСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ)
• ГЛАВА 5ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
• ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

2.1. Свойства степени числа с целым показателем 2.2. Существование и единственность арифметического корня 2.3. Свойства арифметического корня 2.4. Свойства степени числа с рациональным показателем 2.5. Неравенство Бернулли 2.6. Степень числа с действительным показателем 2.7. Свойства степени числа с действительным показателем2.8. Логарифм числа 2.9. Свойства логарифмов 2.10. Доказательство классических неравенств 3.1. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа 3.2. Формулы приведения к острому углу 3.3. Условные тригонометрические неравенства 3.4. Вывод основных тригонометрических формул Дополнение. Аппроксимация действительных чисел Д1. Приближение иррациональных чисел рациональными Д2. Приближенные вычисления на числовой окружности4.1. Изображение комплексных чисел на координатной плоскости 4.2. Формула Муавра 4.3. Извлечение квадратного корня из комплексных чисел 4.4. Извлечение корней из комплексных чисел4.5. Стереографическая проекция на комплексную плоскость 4.6. Уравнение прямой и окружности в комплексной плоскости 4.7. Преобразование инверсии 4.8. Конформные отображения комплексной плоскости 5.1. Определение предела последовательности 5.2. Теоремы о пределах последовательностей 5.3. Арифметические теоремы о пределах последовательностей 5.4. Признаки сходимости последовательностей 5.5. Применение теорем о пределах 5.5.1. Основание натуральных логарифмов 5.5.2. Пределы некоторых последовательностей 5.5.3. Вычисление корня из числа 5.5.4. Применение комплексных чисел при вычислении пределов 5.6. Принцип вложенных отрезков. Метод Больцано 5.7. Теорема Больцано—Вейерштрасса 5.8. Фундаментальные последовательности 5.9. Типизация множеств точек на числовой прямой и на координатной плоскости 5.10. Типизация множеств точек на комплексной плоскости 5.11. Теорема Больцано- Вейерштрасса на комплексной плоскости Коллоквиум по теме:ЧАСТЬ 2 СВОЙСТВА ФУНКЦИЙГЛАВА 6

ОБЩИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

6.1. Основные определения 6.2. Линейные преобразования графиков функций 6.3. Свойство периодичности функции 6.4. Четные и нечетные функции. Построение графиков функций и соответствий 6.5. Максимум и минимум функции 6.6. Наибольшее и наименьшее значения функции 6.7. Монотонные функции 6.8. Асимптоты графика функции6.9. Свойство обратимости функции 6.10. Свойства взаимно обратных функций 6.11. Классификация элементарных функций 6.12. Функции, заданные неявно 6.12.1. Преобразование графиков соответствий

1. ГЛАВА 7ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
2. ГЛАВА 8СВОЙСТВО НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ
3. ГЛАВА 9СВОЙСТВО ВЫПУКЛОСТИ ФУНКЦИИ
4. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

7.1. Определение предела функции по Коши 7.2. Замечательные пределы 7.3. Бесконечно малые функции различных порядков 7.4. Вывод формул Эйлера на множестве комплексных чисел7.5. Вывод формулы Виета 7.6. Предел монотонной функции 7.7. Определение предела функции по Гейне 8.1. Теоремы о непрерывных функциях 8.2. Признак непрерывности функции 8.3. Теоремы о промежуточных значениях функции 8.4. Теоремы о наименьшем и наибольшем значениях непрерывной функции 9.1. Основные определения 9.2. Признаки выпуклости функции 9.3. Неравенство Йенсена Коллоквиум по теме:ЧАСТЬ 3 МНОГОЧЛЕНЫ. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫГЛАВА 10

ОБЩИЕ СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ

10.1. Действия с многочленами 10.2. Теорема Безу. Схема Горнера 10.3. Алгоритм Евклида отыскания наибольшего общего делителя многочленов 10.4. Свойства и график целой рациональной функции

• ГЛАВА 11ТЕОРЕМЫ О КОРНЯХ МНОГОЧЛЕНА
• ГЛАВА 12ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ
• ГЛАВА 13ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ АЛГЕБРЫ

11.1. Теорема Виета 11.2- Корни многочлена с целыми коэффициентами 11.3. Различные приемы исследования корней многочлена11.4. Возвратные уравнения 11.4.1. Симметрические уравнения 11.4.2. Кососимметрические уравнения 12.1. Комплексные функции комплексной переменной 12.2. Неограниченность модуля многочлена 12.3. Непрерывность модуля многочлена 12.4. Доказательства основной теоремы алгебры 12.4.1. Доказательство К. Ф. Гаусса 12.4.2. Доказательство А. Н. Колмогорова 12.4.3. Аналитическое доказательство Ж. Р. Аргана 13.1. Следствия из основной теоремы алгебры 13.2. Решение неполных кубических уравнений с действительными коэффициентами 13.2.1. Случай трех действительных корней 13.2.2. Случай одного действительного и пары комплексно сопряженных корней 13.3. Локализация корней многочлена 13.4. Установление верхней границы положительных корней многочлена 13.5. Теорема Декарта о действительных корнях многочленаКоллоквиум по теме:МНОГОЧЛЕНЫ. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать: Скачать книгу Алгебра и теория пределов. Элективный курс. Епихин В.Е. 2006 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf

Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу
Скачать книгу Алгебра и теория пределов. Элективный курс. Епихин В.Е. 2006 — depositfile

Скачать книгу Алгебра и теория пределов. Элективный курс. Епихин В.Е. 2006 — letitbit

28.10.2011 09:40 UTC

Источник: https://obuchalka.org/2011102861275/algebra-i-teoriya-predelov-elektivnii-kurs-epihin-v-e-2006.html