Основные теоремы дифференциального исчисления — справочник студента

Основные теоремы дифференциального исчисления лежат в основе исследования функций с помощью производных.

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на отрезке [а,b] функция y=f(x) достигает своего наибольшего или наименьшего значения внутри отрезка в некоторой точке х=c, то производная в этой точке равна нулю: f /(c) = 0.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Геометрический смысл теоремы Ферма заключается в том, что если дифференцируемая на отрезке [а,b] функция y=f(x) внутри отрезка в точке х=c имеет наибольшее или наименьшее значение, то касательная к графику функции в этой точке параллельна оси Ох, т.к. угловой коэффициент касательной, который определяется значением производной в этой точке равен нулю: кк=f /(c)=0.

у у/= 0     f(a)=f(b)   О a с b х

Теорема Ролля. Если дифференцируемая на отрезке [а,b] функция y=f(x) принимает на концах отрезка равные значения f(a)=f(b), то внутри отрезка [а,b]существует точка х=с, в которой производная равна нулю: f /(c) = 0.

  • Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в том, что у графика дифференцируемой на отрезке [а,b] функция y=f(x), принимающей на концах этого отрезка равные значения f(a)=f(b), существует такая точка х=с внутри отрезка, в которой касательная к графику функции в этой точке параллельна оси Ох.
  • Теорема Лагранжа. Если функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [а,b], то внутри этого отрезка существует такая точка х=с, в которой производная равна
  • f /(c) = Основные теоремы дифференциального исчисления - Справочник студента .
  • Геометрический смысл теоремы Лагранжа заключается в том, что у графика дифференцируемой на отрезке [а,b] функция y=f(x), существует такая точка х=с внутри отрезка [а,b], в которой касательная к графику функции в этой точке параллельна секущей, соединяющей график на концах отрезка.
  • Функция f(x) называется монотонной на интервале, если она на нем или только возрастает, или только убывает.
Читайте также:  Роль познавательного интереса в учебной деятельности - справочник студента
у у./=0 возр. убыв. у¢>0 у¢x1, соответствует большее значение функции: f(x2)>f(x1). Если функция монотонно убывает на интервале, то большему значению аргумента х2>x1, соответствует меньшее значение функции: f(x2)0. Для убывающей функции приращения аргумента и функции имеют противоположные знаки, а следовательно, отношение < 0. Так как первая производная функции равна Основные теоремы дифференциального исчисления - Справочник студента , то по знаку производной можно определять участки возрастания и убывания функции. Теорема 1. Если функция у=f(x) дифференцируема на интервале и ее производная положительна у¢>0, то функция на этом интервале монотонно возрастает, а если производная отрицательна у¢0 у¢0 у¢0, то график функции вогнутый, а если вторая производная отрицательна у//

Источник: https://poisk-ru.ru/s30964t8.html

[Зачет 91] Определение локального экстремума функции. Основные теоремы дифференциального исчисления

Определение локального экстремума функции.

Основные теоремы дифференциального исчисления - Справочник студента

Основные теоремы дифференциального исчисления. 

Теорема

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Влияние национально-исторических факторов - справочник студента

Оценим за полчаса!

Теорема Ферма. (О равенстве нулю производной)

Пусть функция  удовлетворяет следующим условиям:

  1. она дифференцируема на интервале ;
  1. достигает наибольшего или наименьшего значения в точке .

Тогда производная в этой точке равна нулю, то есть .

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ферма)

В точке наибольшего и наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

Теорема

Теорема Ролля. (О нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения)

Пусть функция 

  1. непрерывна на отрезке ;
  2. дифференцируема на интервале ;
  1. на концах отрезка  принимает равные значения .

Тогда на интервале  найдется, по крайней мере, одна точка  , в которой .

  • Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ролля)
  • Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс.
  • Следствие.

Если , то теорему Ролля можно сформулировать следующим образом: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется, хотя бы один, нуль производной.

Теорема

Теорема Лагранжа. (О конечных приращениях)

Пусть функция 

  1. непрерывна на отрезке ;
  1. дифференцируема на интервале .

Тогда на интервале  найдется по крайней мере одна точка  , такая, что

Замечание

Теорема Ролля есть частный случай теоремы Лагранжа, когда .

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Лагранжа)

На кривой  между точками  и  найдется точка , такая, что через эту точку можно провести касательную, параллельную хорде  (рис. 1).

Доказанная формула называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Она может быть переписана в виде:

Теорема

Теорема Коши. (Об отношении конечных приращений двух функций)

Если функции  и :

  1. непрерывны на отрезке ;
  1. дифференцируемы на интервале ;
  1. производная  на интервале ,

тогда на этом интервале найдется по крайней мере одна точка  , такая, что

Теорема

Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция является постоянной на этом промежутке.

Теорема

Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они на этом промежутке отличаются друг от друга на некоторое слагаемое.

Источник: http://fizmatinf.blogspot.com/2013/05/91.html

Основные теоремы дифференциального исчисления — Математика

Знание производной некоторой функции позволяет делать заключение о поведении самой функции. В основе различных приложений понятия производной лежат несколько теорем, называемых основными теоремами дифференциального исчисления.

Теорема(теорема Ферма*).

Пусть функция определена на интервале и в некоторой точке этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке существует производная, то она равна нулю, т.е. .

Основные теоремы дифференциального исчисления - Справочник студента

Рис. 4.2

Геометрически это означает, что в точке с абсциссой ( ) касательная к графику функции параллельна оси Ох (рис. 4.2).

Теорема(теорема Ролля*).

1) определена и непрерывна на отрезке ;

2) имеет производную на интервале ;

3) на концах отрезка принимает равные значения, т.е. , то в интервале существует, по крайней мере, одна точка с, в которой производная данной функции равна нулю, т.е. .

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что на графике функции найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох (рис.4.3).

Рис. 4.3

  • Теорема(теорема Лагранжа*).
  • Если функция
  • 1) непрерывна на отрезке ;
  • 2) имеет производную на интервале ,
  • то в интервале существует, по крайней мере, одна точка с такая, что справедлива формула
  • или
  • .
  • Последнее равенство читается так: приращение функции на интервале равно произведению производной в некоторой внутренней точке интервала на приращение независимой переменной.
  • Эту формулу называют формулой конечных приращений.
  • Теорема(теорема Коши*).
  • Если функции и
  • 1) непрерывны на отрезке ;
  • 2) имеют производные и на интервале ;
  • 3) производная на интервале ,
  • то в интервале существует, по крайней мере, одна точка с такая, что справедлива формула
  • .
  • Теорема Коши устанавливает связь между приращениями функций на некотором отрезке и значениями их производных в некоторой точке, лежащей внутри этого отрезка.

4.18. Правило Лопиталя*для раскрытия неопределенностей

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей при помощи производных. Этот способ обычно называют «Правилом Лопиталя».

Напомним, что под неопределенностями понимают неопределенные выражения вида: , встречающиеся при вычислении пределов функций. Некоторые элементарные приемы раскрытия неопределенностей были даны (п.2.13).

  1. Теперь, опираясь на теорему Коши, введем правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа и , которые являются основными видами неопределенностей.
  2. Неопределенность вида
  3. Теорема(правило Лопиталя).

Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Пусть и в указанной окрестности точки . Тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел

  • ,
  • то существует и предел , причем справедлива формула
  • = .
  • Теорема дает правило, сводящее вычисление предела отношения двух функций к вычислению предела отношения их производных.
  • Замечания.

1. Если производные и удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции и , то правило Лопиталя можно применять повторно.

Получим при этом

= .

2. При вычислении предела отношения производных допустимы различные упрощения полученных выражений, сокращение общих множителей, использование уже известных пределов.

3. Теорема справедлива и в случае, когда ( или ).

Пусть требуется найти , если .

Сделаем подстановку . Тогда, если , то . Имеем

  1. .
  2. Примеры
  3. Найти пределы функций:

1. .

2. .

3. .

4. .

Неопределенность вида

Теорема(правило Лопиталя).

Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки ,кроме, быть может, самой точки . Пусть и в указанной окрестности точки . Тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел

  • ,
  • то существует и предел , причем справедлива формула
  • = .
  • Замечания, сделанные для первой теоремы справедливы и для второй теоремы.
  • Примеры
  • Найти пределы функций:
  • 1.
  • .

2. .

  1. 3.
  2. .
  3. Чтобы раскрыть неопределенности видов , их путем алгебраических преобразований сводят к неопределенностям типа или , после чего применяют правило Лопиталя.
  4. Неопределенность вида

Пусть и . Требуется найти .

  • Перепишем искомое выражение в виде
  • или
  • и применим правило Лопиталя.
  • Примеры
  • Найти пределы функций:

1. .

  1. 2.
  2. .
  3. Неопределенность вида
  4. Пусть , .
  5. Тогда .
  6. Сводим данное выражение к неопределенности :
  7. Примеры
  8. Найти пределы функций:
  9. 1.
  10. .
  11. 2.
  12. .
  13. Неопределенности видов
  14. Такие неопределенные выражения возникают при вычислении пределов показательно-степенной функции
  15. ,
  16. когда имеет место один из трех случаев:
  17. а) , ;
  18. ;
  19. б) , ;
  20. ;
  21. в) , ;
  22. .
  23. В этих случаях поступают следующим образом:

1) логарифмируют функцию, стоящую под знаком предела, т.е., если

  • ,
  • то
  • ;
  • 2) вычисляют предел
  • .

Предел представляет собой неопределенность уже изученного типа . Ее раскрываем сведением к неопределенностям вида или и применяем правило Лопиталя.

  1. Следует заметить, что вычисляется предел не от заданной функции, а от ее логарифма.
  2. 3) Находят предел функции у.
  3. Пусть или (в силу непрерывности логарифмической функции).
  4. Тогда
  5. ,

т.е.

  • .
  • Примеры
  • Найти пределы функций:
  • 1.
  • ; ;
  • .
  • ;
  • ; .

2. .

  1. ; ;
  2. ;
  3. ;
  4. .

3. .

  • ; ;
  • ;
  • ;
  • .
  • Упражнения
  • Пользуясь основными правилами дифференцирования, найти производные функций:
1. ; 2. ;
3. ; 4. ;
5. ; 6. ;
7. ; 8. ;
9. ; 10. ;
11. 12. .

Применив правило дифференцирования сложной функции, найти производные функций:

13. ; 14. ;
15. ; 16. ;
17. ; 18. ;
19. ; 20. ;
21. ; 22. ;
23. ; 24. .

Найти производные для функций, заданных параметрически:

25. ; 26. ;
; 28. .

Найти производные указанных порядков для функций:

29. ? 30. ?
31. ? 32. ?

Найти дифференциалы функций:

33. ; 34. ;
35. ; 36. .

Найти пределы функций, используя правило Лопиталя:

37. ; Ответ: 1;
38. ; Ответ: ;
39. ; Ответ: ;
40. ; Ответ: 0;
41. ; Ответ: ;
42. ; Ответ: 0;
43. ; Ответ: ;
44. ; Ответ: ;
45. ; Ответ: 1;
46. ; Ответ: 1;
47. ; Ответ: 1.

* П.Ферма (1601−1665) – французский математик.

* М.Ролль (1652−1719) – французский математик.

* Ж.Лагранж (1736−1813) – французский математик.

* О.Коши (1789−1859) – французский математик.

* Г.Лопиталь (1661−1704) – французский математик.

Источник: https://student2.ru/matematika/427403-osnovnye-teoremy-differencialnogo-ischisleniya/

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма.Если дифференцируемая на промежутке Х функция достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю.

Это означает, что в точке наибольшего или наименьшего значения, достигаемого внутри данного промежутка, касательная к графику функции параллельна оси оХ.

Теорема Ролля.Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

2) дифференцируема на интервале ;

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка , в которой производная функции равна нулю: .

Теорема Лагранжа.Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

2) дифференцируема на интервале ;

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка , в которой выполняется равенство: .

Теорема (правило) Лопиталя.Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле: .

  • Правило Лопиталя используется для раскрытия неопределенностей вида или .
  • Правило Лопиталя можно применять также и для раскрытия неопределенностей вида . Для этого произведение следует представить в виде
  • или и получить неопределенность или .
  • Пример.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/14_75574_osnovnie-teoremi-differentsialnogo-ischisleniya.html

ПОИСК

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[c.141]

Следующая формула представляет собой очевидное тождество (основная теорема дифференциального и интегрального исчисления )  [c.170]

До последнего времени для решения уравнений теплопроводности и диффузии обычно использовались метод разделения переменных, метод мгновенных источников, методы, основанные на применении функций Грина, Дирака и др.

Эти классические методы предполагают отыскание в первую очередь общего решения и его последующее приспособление к частным условиям конкретной задачи. Детальное освещение классических методов решения уравнений переноса можно найти в фундаментальной работе А. Н. Тихонова и А. А. Самарского (Л. 7].

Получаемые классическими методами решения, однако, не всегда оказываются удобными для практического использования. Так, иногда требуется получить приближенные соотношения, в которых режимные параметры процесса должны быть отделены от физических характеристик тела или системы тел, взаимодействующих с окружающей средой.

Эти важные для практики соотношения бывает затруднительно получить из классических решений. Еще большие осложнения возникают при решении систем дифференциальных уравнений тепло- и массопереноса классическими методами.

Читайте также:  Развитие эмоций и их значение в жизни человека - справочник студента

Под влиянием запросов техники за последние десятилетия инженерами и физиками стали широко применяться операционные методы решения. Основные правила и теоремы операционного исчисления получены киевским профессором М. Ващенко-Захарченко [Л. 8]. Наибольшее распространение они нашли в электротехнике благодаря работам Хевисайда.

Этот метод оказался настолько эффективным, ЧТО позволил решить многие проблемы, считавшиеся до его появления почти неразрешимыми, и получить решения некоторых уже рассмотренных задач в форме, значительно более приспособленной для численных расчетов.
[c.79]

Основное уравнение (А) было выведено методами дифференциального исчисления вне связи с теоремами механики. Если положить L = T-j- U, то это уравнение будет утверждать, что сумма элементарных работ эффективных и приложенных сил на возможном перемещении 60 имеет одну и ту же величину независимо от того, с помощью каких координат выражены эти силы.
[c.458]

Это одна из замечательнейших теорем всего интегрального исчисления, и, в частном случае, когда иоложено Н Т— U, это есть основная теорема аналитической механики.

Именно она иоказывает, что если имеет место теорема живой силы, то из двух интегра.юв дифференциальных уравнений движения простым дифференцированием вообще можно вывести третий интеграл, отсюда четвертый и т. д.

, так что либо получатся все интегралы, либо по крайней мере некоторое число их.
[c.241]

Леви-Чивита (Ьеи1 СгиНа) Туллио (1873-1941) — известный итальянский математик и механик. Окончил Падуанский университет, профессор рациональной механики этого университета 1898-1938 гг.).

Основные направления исследований теория чисел, тензорный анализ, риманова геометрия, аналитическая и небесная механика, гидромеханика, теория упругости. Основополагающие работы в области абсолютного дифференциального исчисления. Совместная с Г.

Риччи-Курбастро монография Методы абсолютного дифференциального исчисления и их приложения сделала, по словам А. Эйнштейна, возможной математическую формализацию общей теории относительности.

Ему принадлежит идея параллельного переноса векторов, идея искривленного пространства, теорема об аналитических функциях комплексного переменного, фундаментальные работы по теории потенциала, по теории поверхностных волн от движения твердого тела, по теории трехмерного пограничного слоя.
[c.56]

Приведём теперь некоторые основные факты из дифференциального исчисления, которые потребуются в дальнейшем.

Вначале сформулируем обобщение теоремы о среднем значении для вещественнозначной функции /, непрерывной на компактном интервале [а,Ь]с1 R и дифференцируемой на открытом интервале ]а, й[.

Согласно этой теореме, существует точка ]a, Ь[, такая что f(o)—f(a)=f ) b — а). Данную формулу нельзя распространить на случай вектор-функций. Действительно, отображение f t [О, 2я] = ( osi, sin i) удо-
[c.46]

Смотреть страницы где упоминается термин Основные теоремы дифференциального исчисления
: [c.70]    [c.203]    Смотреть главы в:

Справочник машиностроителя Том 1 Изд.3
 -> Основные теоремы дифференциального исчисления

Справочник машиностроителя Том 1 Изд.2
 -> Основные теоремы дифференциального исчисления

  • Дифференциальное исчисление
  • Исчисление — ш (ш-исчисление)
  • Основные теоремы

© 2019 Mash-xxl.info Реклама на сайте

Источник: https://mash-xxl.info/info/512234/

Лектор Белов В.М. 2010 г. Математический анализ Раздел

1 Лектор Белов В.М г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное исчисление Тема: Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя

2 §8. Основные теоремы дифференциального исчисления ТЕОРЕМА 1 (Ролля). Пусть функция y = f(x) непрерывна на [a; b] и дифференци- руема на (a; b). Если f(a) = f(b), то существует хотя бы одна точка (a; b) такая, что f ( ) = 0. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ теоремы Ролля.

3 Если функция y = f(x) удовлетворяет указанным в теореме 1 условиям, то на интервале (a; b) существует хотя бы одна точка такая, что в соответствующей ей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ox. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно ТЕОРЕМА 2 (Лагранжа). Пусть функция y = f(x) непрерывна на [a; b] и дифференци- руема на (a; b). Тогда существует хотя бы одна точка (a; b) такая, что

4 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ теоремы Лагранжа. Следовательно, если функция y = f(x) удовлетворяет указанным в теореме 2 условиям, то на интервале (a; b) существует хотя бы одна точка такая, что в соответствующей ей точке кривой y = f(x) касательная параллельна секущей AB. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

5 Замечание. Формулу (2) можно переписать в виде f(b) – f(a) = f ( ) (b – a).(3) Формулу (3) называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. СЛЕДСТВИЕ теоремы Лагранжа. Пусть функция y = f(x) непрерывна на [a; b] и дифференци- руема на (a; b). Функция f(x) принимает на [a; b] постоянное значение C f (x) = 0, x (a; b). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

6 ТЕОРЕМА 3 (Коши). Пусть функции f(x) и (x) непрерывны на [a; b] и дифференцируемы на (a; b), причем (x) 0, x (a; b). Тогда существует хотя бы одна точка (a; b) такая, что ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

7 §9. Использование производной при вычислении пределов ТЕОРЕМА 1 (Правило Лопиталя).

Пусть x 0 ̄ и выполняются следующие условия: 1)функции f(x) и (x) определены и непрерывны в некоторой -окрестности x 0, за исключением возможно самой x 0 ; 2) 3) функции f(x) и (x) дифференцируемы в U*(x 0, ), причем (x) 0, x U*(x 0, ). Тогда, если (конечный или бесконечный), топричем эти два предела будут равны. Т.е.

8 Замечания. 1) Если f (x) и (x) тоже являются б.м. (б.б.) при x x 0, то правило Лопиталя можно применить повторно. 2) Если не существует, то правило Лопиталя непри- менимо. При этом может существовать. ПРИМЕР. Найти

9 §10. Исследование функций и построение графиков 1. Возрастание и убывание функции (самостоятельно) ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f(x) называется возрастающей (неубывающей) на интервале (a;b) если x 1,x 2 (a;b) таких, что x 1 < x 2 выполняется неравенство f(x 1 ) < f(x 2 ) ( f(x 1 ) f(x 2 ) ).

Иначе говоря, функция y = f(x) называется возрастающей на (a;b), если большему значению аргумента из (a;b) соответ- ствует большее значение функции. Функция y = f(x) называется убывающей (невозрастающей) на интервале (a;b) если x 1,x 2 (a;b) таких, что x 1 < x 2 выполняется неравенство f(x 1 ) > f(x 2 ) ( f(x 1 ) f(x 2 ) ).

Иначе говоря, функция y = f(x) называется убывающей на (a;b), если большему значению аргумента из (a;b) соответ- ствует меньшее значение функции.

10 Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности функции. Замечание. Из определения если f(x) возрастает (убывает) на (a;b), то на этом интервале x и соответствующее ему f(x) будут иметь одинаковый (разный) знак.

ТЕОРЕМА 1(необходимое и достаточное условия возрастания (убывания) функции). Пусть y = f(x) дифференцируема на интервале (a;b). Тогда 1)если y = f(x) возрастает (убывает) на (a;b), то на этом интервале ее производная неотрицательна (неположи- тельна), т.е.

f (x) 0, x (a;b) ( f (x) 0, x (a;b) ); (необходимое условие возрастания (убывания) функции) 2)если f (x) > 0, x (a;b) ( f (x) < 0, x (a;b) ), то функция y = f(x) на (a;b) возрастает (убывает).

(достаточное условие возрастания (убывания) функции) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно (Пискунов Н.С. Т.1, стр. 145.)

11 2. Экстремумы функции (самостоятельно) Пусть x 0 D(f), x 0 – внутренняя точка D(f) (т.е. существует не- которая окрестность точки x 0, целиком лежащая во мно- жестве D(f)). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка x 0 называется точкой максимума функции f(x) если существует такая -окрестность U(x 0, ) точки x 0, что f(x) < f(x 0 ), x U*(x 0, ).

Значение функции точке максимума называется максимумом функции. Точка x 0 называется точкой минимума функции f(x) если существует такая -окрестность U(x 0, ) точки x 0, что f(x) > f(x 0 ), x U*(x 0, ). Значение функции точке минимума называется минимумом функции. Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума.

Минимумы и максимумы функции называются ее экстре- мумами.

12 Замечания: 1) Понятия минимум и максимум функции близки к понятиям наименьшее и наибольшее значения функции. Они показывают, в каком отношении находятся значение функции в точке x 0 и в других точках. Различие – в области действия понятий.

Наибольшее и наименьшее значения – понятия глобального характера, максимум и минимум – понятия локального характера.

Поэтому в некоторой литературе употребляют термины «глобальный максимум (минимум)» вместо наибольшего (наименьшего) значения функции и «локальный максимум (минимум)» – вместо максимум (минимум) функции.

13 2)Функция может иметь в своей области определения несколько точек максимума и минимума. Причем, некоторые минимумы функции могут быть больше ее максимумов.

14 ТЕОРЕМА 2 (необходимое условие экстремума, теорема Ферма). Пусть x 0 – точка экстремума функции f(x) и f(x) – диф- ференцируема в точке x 0. Тогда f (x 0 ) = 0. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ТЕОРЕМЫ 2.

Если x 0 – точка экстремума функции f(x) и кривая y = f(x) имеет невертикальную касательную в точке M 0 (x 0,f(x 0 )), то эта касательная – горизонтальная. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно (Пискунов Н.С.

Дифференциальное и интегральное исчисле- ние. Т.1, стр. 148.)

15 Точки, в которых производная функции f(x) равна нулю, называются стационарными точками функции f(x). ТЕОРЕМА 3 (первое достаточное условие экстремума). Пусть x 0 – внутренняя точка D(f), f(x) непрерывна в U(x 0, ) f(x) дифференцируема в U(x 0, ) или U*(x 0, ).

Если при переходе через точку x 0 производная функции f(x) меняет знак, то x 0 является точкой экстремума. При этом, если производная меняет знак с плюса на минус, то x 0 – точка максимума, если с минуса на плюс – то x 0 – точка минимума. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно (Пискунов Н.С.

Дифференциальное и интегральное исчисле- ние. Т.1, стр )

16 Замечание. Из теоремы 3 точками экстремума могут быть не только стационарные точки, но и точки, в которых функция не имеет производной (точки разрыва производной). Стационарные точки функции f(x) и точки, в которых f (x) не существует, называются критическими точками I рода (критическими точками по первой производной).

17 ТЕОРЕМА 4 (второе достаточное условие экстремума). Пусть x 0 – внутренняя точка D(f) и f(x) n раз дифференцируема в точке x 0, причем f (x 0 ) = f (x 0 ) = … = f (n – 1) (x 0 ) = 0, f (n) (x 0 ) 0.

Тогда: 1)если n – четное и f (n) (x 0 ) > 0, то x 0 является точкой минимума функции f(x) ; 2)если n – четное и f (n) (x 0 ) < 0, то x 0 является точкой максимума функции f(x) ; 3)если n – нечетное, то x 0 не является точкой экстремума функции f(x). Замечание. На практике пользоваться 2-м достаточным усло- вием экстремума менее удобно, чем 1-м.

Действительно, 1) сложно вычислить f (n) (x 0 ); 2) определяются не все промежутки монотонности функции. Но иногда, все же лучше применить 2-е достаточное условие. Например, если критических точек бесконечно много.

Источник: http://www.myshared.ru/slide/400702/

Ссылка на основную публикацию