Определение подобных треугольников — справочник студента

Урок геометрии в 8 классе

Тема. Определение подобных треугольников.

Учитель математики МБОУ СОШ №49 г.Шахты

Гладкая Н.В.

Цель:

• Ввести новые понятия: отношение отрезков, пропорциональные отрезки, сходственные стороны, подобные треугольники, коэффициент подобия.
• Учить использовать новые понятия, а также известные определения и теоремы для решения задач.
• Развивать логическое мышление.

Ход урока.

①Повторение ранее изученных понятий.

1. Что называют отношением чисел? (Это частное от деления двух чисел, которое показывает, во сколько раз одно число больше другого, или, какую часть одно число составляет от другого)

2. Что называют пропорцией? (Равенство двух отношений)

3. В чем заключается основное свойство пропорции? (Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов)

• ② Проверка решения задач, подготавливающих введение новых понятий. (Домашнее задание)
• Задача №1.
• Длина прямой тропинки на дачном участке, ведущей от дома к сараю, составляет 12 м, а тропинки, ведущей к колодцу, составляет 15 м.

1. Найти отношение первой длины ко второй. . Что показывает данная величина? ( Показывает, какую часть составляет первая величина от второй).

2. Найти отношение второй длины к первой.. Что показывает данная величина? ( Показывает, во сколько раз вторая величина больше первой).

3. Выразить величины в сантиметрах и снова найти отношения. (.

4. Выразить величины в километрах и найти отношения. .

5. Сделать вывод о том, зависит ли отношение длин отрезков от того, в каких единицах они выражены. (Не зависит).

Задача №2.

Найти отношение отрезков:

Выбрать равные отношения и записать их равенство.

Решение:

③ Самостоятельная работа с текстом и закрепление новых знаний.

1. Работа с текстом пункта 56 «Пропорциональные отрезки» из §1 ( учебник Л. С. Атанасяна). Прочесть текст, выбрать, сформулировать и записать определения следующих понятий.

1. Отношение отрезков. (Отношением отрезков АВ и СD называется отношение их длин, то есть.

2. Пропорциональные отрезки. (Отрезки АВ и СD пропорциональны отрезкам , если . Отрезки , если справедливо равенство .

1. Закрепление новых знаний.

1. №533 (устно). Найти отношение отрезков ABи CD, если их длины равны соответственно 15 см и 20 см. Изменится ли это отношение, если длины отрезков выразить в миллиметрах? (Отношение равно ; при изменении единиц длины оно не меняется)

2. №534 (устно, использовать результаты решения домашней задачи №2). Пропорциональны ли изображенные на рисунке отрезки: а); б); в)? (рисунок к домашней задаче №2, раздел ②) – в случаях (а) и (б) пропорциональны, в случае (в) – нет.

1. ④ Определение подобных треугольников.
2. Демонстрация двух треугольников, у которых углы соответственно равны.
3. Первоначально на рисунке изображены два треугольника.
4. Выделить цветным мелом пару равных углов: , а за тем пару сторон, лежащих против этих углов: ; вводится их название – сходственные стороны.
5. Для закрепления понимания предлагается назвать еще две пары сходственных сторон, после чего появляется соответствующая запись: .
6. Демонстрация двух треугольников: , у которых отмечены соответственно равные углы, а рядом – запись «Треугольники называются подобными, если…»
7. «.»
8. «Отношения сходственных сторон…»
9. Задание ученикам: Назвать отношения сходственных сторон.
10. Сделать запись на доске, выражающая отношения сходственных сторон: .
11. -Какой знак можно поставить между этими отношениями?
12. -Что означает равенство отношений для отрезков ?
13. Вывод: «Сходственные стороны пропорциональны»
14. Затем вводится число k для обозначения равных отношений, его название – коэффициент подобия, появляются соответствующие записи на слайде.
15. Последним шагом вводится обозначение подобных треугольников: .
16. ⑤Решение задач.

№541.Подобны ли треугольники , если ?

Дано:

• ΔABC
• ΔDEF
• ∠A=106ᵒ
• ∠B=34ᵒ
• ∠E=106ᵒ
• ∠F=40ᵒ
• AC=4,4 см
• AB=5,2 см
• BC=7,6 см
• DE=15,6 см
• DF=22,8 см
• EF=13,2 см
• Найти
• ΔABC∾ΔDEF?
• Решение:

1. ΔABC: ∠A=106ᵒ; ∠B=34ᵒ; ∠C=180ᵒ — (106ᵒ+34ᵒ)=40ᵒ (из теоремы Пифагора)

2. ΔDEF: ∠E=106ᵒ; ∠F=40ᵒ; ∠D=180ᵒ — (106ᵒ+40ᵒ)=34ᵒ (из теоремы Пифагора)

3. Получили: ∠A=∠E; ∠B=∠D; ∠C=∠F

4. Сходственные стороны (лежат против равных углов): ABи ED; ACи EF; BCи DF.

5. Так как ∠A=∠E; ∠B=∠D; ∠C=∠F;

1. , то ΔABC∾ΔEDF (по определению)
2. Вывод: ΔABC∾ΔEDF.
3. ⑥Домашнее задание.

§1(п. 56, п. 57) – знать смысл понятий

1. Отношение отрезков.

2. Пропорциональные отрезки.

3. Сходственные стороны у треугольников.

4. Подобные треугольники.

5. Коэффициент подобия.

• №542 (решить)
• №535 (разобрать и записать доказательство, разбив его на пункты)
• Решение задач.
• №542.

Дано:

1. ΔABC∾ΔKMN;
2. ABи KM– сходственные;
3. BCи MN – сходственные;
4. АВ=4 см;
5. ВС=5 см;
6. СА=7 см;
7. Найти:
8. KM; MN; KN.
9. Решение:

1. Сходственные стороны в подобных треугольниках лежат против равных углов.

• АВ и КМ – сходственные, значит ∠С=∠N.
• ВС и МN – сходственные, значит∠А=∠К.
• 2)Получаем следующий чертеж
• 3) (так как ΔMNK∾ΔBCA) и . Тогда
• .
• Ответ:KN=14,7 см; KM=8,4 см; MN=10,5 см.
• №535.

Дано:

1. ΔАВС;
2. AD – биссектриса
3. Доказать:
4. Чертеж:
5. Доказательство:

1. ; .

2. Так как∠BAD=∠DAC, то по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих соответственно равные углы .

3. Учитывая пункты 1 и 2, получаем

Вывод. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Источник: https://infourok.ru/urok-opredelenie-podobnih-treugolnikov-2206395.html

Подобные треугольники

• Два треугольника подобны, если об этом сказано в условии либо если это можно доказать по одному из признаков подобия треугольников.
• Определение
• Подобные треугольники — это треугольники, у которых углы равны, а стороны пропорциональны.
• (или:
• Два треугольника подобны, если между их точками можно установить взаимно-однозначное соответствие, при котором отношение расстояний между любыми парами соответствующих точек равно одной и той же постоянной k, k — коэффициент подобия).
• Как и в случае равных треугольников, важно правильно называть подобные треугольники: равные углы должны находиться на соответствующих позициях.

   

   

Определение подобных треугольников предполагает выполнение шести пар равенств (равенство трёх пар углов и пропорциональность трёх пар сторон). Признаки подобия позволяют сократить число равенств до 2-3 (для прямоугольных треугольников — до 1-2).

1. Свойства подобных треугольников
2. 1) Периметры подобных треугольников относятся как их соответствующие стороны:
3.    

2) Соответствующие линейные элементы подобных треугольников (медианы, высоты, биссектрисы и т.д.) относятся как их соответствующие стороны.

3) Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров:

   

Источник: http://www.treugolniki.ru/podobnye-treugolniki/

Определение подобных треугольников

Рассмотрим два прямоугольных треугольника с острыми углами в 60° и 30° (рис. 364).

• Стороны второго треугольника по сравнению с первым уменьшены в два раза:
• (frac{AB}{A’B’}) = 2; (frac{AC}{A’C’}) = 2; (frac{BC}{B’C’}) = 2.
• У этих треугольников углы попарно равны. Стороны, лежащие против равных углов, пропорциональны:
• (frac{AB}{A’B’}) = (frac{AC}{A’C’} = frac{BC}{B’C’}) = 2.

Такие треугольники называют подобными. Стороны, лежащие против равных углов, называются сходственными.

1. Таким образом, подобными называются треугольники, у которых yглы попарно равны, а сходственные стороны пропорциональны.
2. Подобие треугольников записывается так: (Delta)ABС (sim) (Delta)А’В’С’.

Отношение сходственных сторон подобных фигур называется коэффициентом подобия. В данном случае коэффициентом подобия треугольников АBС и А’В’С’ будет число 2.

Если же взять отношения A’B’/AB = A’C’/AC = B’C’/BC , то коэффициент подобия будет равен 1/2.

Проведём в треугольнике АBС прямую DЕ параллельно стороне АС (рис. 365).

Получим треугольник DВЕ. Докажем, что (Delta)ABС (sim) (Delta)DВЕ. Вследствие параллельности сторон DЕ и АС ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4.

Угол В является общим для этих треугольников. Следовательно, углы этих треугольников попарно равны.

Так как DЕ || АС, то (frac{AB}{DB} = frac{BC}{BE}).

Проведём через точку Е прямую, параллельную стороне AB (рис. 366).

• Получим: (frac{BC}{BE} = frac{AC}{AK}), но АК = DЕ.
• Поэтому
• (frac{BC}{BE} = frac{AC}{DE})
• Сопоставляя полученную пропорцию с пропорцией (frac{AB}{DB} = frac{BC}{BE}) получим:

(frac{AB}{DB} = frac{BC}{BE} = frac{AC}{DE}), т.е.

сходственные стороны треугольников AВС и DВЕ пропорциональны. Раньше было доказано, что углы этих треугольников попарно равны.

1. Значит, (Delta)ABС (sim) (Delta)DВЕ.
2. Следовательно, прямая, проведённая параллельно какой-либо стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Пусть ( riangle AВС sim riangle A’В’С’)(черт. 380). Из подобия треугольников следует, что

∠A = ∠A’, ∠B = ∠B’ и ∠С = ∠С’. Кроме того, AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’.

В этих треугольниках из вершин В и В’ проведём высоты и обозначим их через h и h’. Площадь первого треугольника будет равна AC•h/2, а площадь второго треугольника A’C’•h’/2.

• Обозначив площадь первого треугольника через S, а площадь второго — через S’ получим: S/S’ = AC•h/A’C’•h’ или S/S’ = AC/A’C’ • h/h’
• Из подобия треугольников АВО и А’В’О’ (они подобны, потому что прямоугольные, и, кроме того, имеют по равному острому углу, а именно ∠A = ∠A’) следует:
• h

/h’ = AB/A’B’ . Но AB/A’B’= AC/A’C’ . Следовательно, h/h’ = AC/A’C’. Заменив в формуле S/S’ = AC/A’C’ • h/h’ отношение h/h’ равным ему отношением AC/A’C’ , получим:

1. S/S’ = AC/A’C’ • AC/A’C’ , или
2. Итак, площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон.
3. Полученную формулу можно преобразовать так: S/S’ = (AC/A’C’)2.
4. Значит, можно сказать, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения их сходственных сторон.

$$ frac{S}{S’} = frac{(AC)^2}{(A’C’)^2} $$

Мы уже знаем, что для построения треугольника, подобного данному, достаточно из какой-нибудь точки, взятой на стороне треугольника, провести прямую, параллельную стороне треугольника. Получим треугольник, подобный данному (черт. 382):

Источник: http://razdupli.ru/teor/26_opredelenie-podobnyh-treugolnikov.php

Пропорциональные отрезки. Определение подобных треугольников

При сравнении двух значений какой-то величины часто возникает вопрос:

во сколько раз одно значение больше другого? или какую часть по отношению к другому оно составляет?

Например, во сколько раз заяц пробежит быстрее некоторое расстояние, чем это же расстояние проползёт улитка? Или какую часть всех деревьев леса составляют берёзы?

Вы знаете, что ответ в таких случаях дается в виде частного двух чисел, которое называют отношением. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго, или какую часть первое число составляет от второго.

Отношением отрезков  и  называется отношение их длин, т. е.  (или ).

• Отрезки  и  пропорциональны отрезкам и , если .
• Например, отрезки AB и A1B1 равны соответственно 3 сантиметра и 5 сантиметров; а отрезки CD и C1D1 – соответственно сантиметра и 7,5  сантиметра.
• ;  
• .
• Отрезки  и  пропорциональны отрезкам и .

Следует отметить, что понятие пропорциональности справедливо и для большего количества отрезков. Например, отрезки AB, CD и EF пропорциональны отрезкам A1B1; C1D1 и E1F1, если справедливо равенство: .

А теперь давайте посмотрим на рисунок.

 Так, матрёшки имеют одинаковую форму, но разные размеры. То же самое можем сказать про футбольный и теннисный мячи, про одинаковые фотографии разных размеров.

В геометрии фигуры одинаковой формы называют подобными. Любые два квадрата и любые два круга являются подобными.

Тогда стороны AB и A1B1, BC и B1C1, AC и A1C1 называются сходственными. И если эти сходственные стороны пропорциональны , то треугольники ABC и A1B1C1 являются подобными. Подобие треугольников обозначается следующим образом

Сформулируем определение: подобными называются треугольники, у которых углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Отношение сходственных сторон называют коэффициентом подобия. Если стороны треугольника ABC в два раза больше сторон треугольника A1B1C1, то отношение сходственных сторон равно 2, то есть коэффициент подобия равен 2.

Подобие треугольников можно установить, проверив только некоторые из равенств:

, т. е.

И позднее мы с вами познакомимся с тремя признаками подобия треугольников.

Решим несколько задач.

Задача. Найдите отношение отрезков  и , если их длины соответственно равны  см и  см. Изменится ли это отношение, если длины отрезков выразить в миллиметрах?

1. Решение.
2.  см мм,
3.  см мм.
4. .
5. Ответ: ; не изменится.

Задача. Пропорциональны ли отрезки  и , соответственно равные  см и  см, отрезкам  и , соответственно равным  см и  см?

• Решение.
• ;
• ;
• .
• Ответ: пропорциональны.

Задача. В подобных треугольниках  и  стороны  и ,  и  являются сходственными. Найдите стороны треугольника  , если  см,  см,  см, а отношение сторон  .

1. Решение.
2.     то есть    (см).
3.      (см).
4.    (см).
5. Ответ:  см,  см,  см.

Итак, на уроке мы узнали, что отношением отрезков  и  называется отношение их длин, т. е.  (или ); что отрезки  и  пропорциональны отрезкам и , если .

Также мы выяснили, что подобными называются треугольники, у которых углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Источник: https://videouroki.net/video/16-proportsional-nyie-otriezki-opriedielieniie-podobnykh-trieughol-nikov.html

Урок 16. определение подобных треугольников. отношение площадей подобных фигур — Геометрия — 8 класс — Российская электронная школа

Урок Конспект Дополнительные материалы Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин.

Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1, если их отношения равны.

AB/(A1B1) = CD/(C1D1)Выясним, пропорциональны ли отрезки на рисунке.Составим отношения отрезков, учитывая их длины:

AB/AC = 4/12 = 1/3,

AD/DE = 3/9 = 1/3, DB/BE = 1/5,Получим, что отрезки AB и AC пропорциональны отрезкам AD и DE. А отрезки AB и AC не пропорциональны отрезкам DB и BE.Интересное и важное свойство биссектрисы угла треугольника связано с пропорциональностью отрезков.

Пусть дан треугольник АВС, в нем проведена биссектриса АD, докажем, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Дано: ∆ ABC, AD – биссектриса

Доказать: BD/AB = DC/ACДля доказательства воспользуемся следствиями из формулы площади треугольника:Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

У треугольников ADC и ABD общая высота AH, поэтому

SABD/SADC = BD/DC2) У треугольников ADC и ABD∠CAD = ∠BAD, поэтомуSABD/SADC = (AB ∙ AD)/(AC ∙ AD) = AB/AC3) BD/DC = AB/ACИли

BD/AB = DC/AC

В геометрии фигуры одинаковой формы называют подобными.Рассмотрим два треугольника, углы которых равны.

∆ ABC и ∆A1B1C1

∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, ∠C = ∠C1Тогда стороны AB и A1B1, BC и B1C1, CA и C1A1 называются сходственными.Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. Число k, равное отношению сходственных сторон треугольников, называется коэффициентом подобия.

∆ ABC ~ ∆A1B1C1

∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, ∠C = ∠C1и AB/(A1B1) = BC/B1C1 = AC/(A1C1) = kВыясним, как относятся периметры и площади подобных треугольников.Рассмотрим два подобных треугольника.

∆ ABC ~ ∆A1B1C1

AB/(A1B1) = BC/B1C1 = AC/(A1C1) = k, тогдаAB = kA1B1BC = kB1C1AC = kA1C1Составим отношение периметров этих треугольников и упростим его

PABC/PA1B1C1 = (AB + BC + AC)/(A1B1 + B1C1 + A1C1) = (kA1B1 + k B1C1 + kA1C1)/(A1B1 + B1C1 + A1C1) = k

Вывод: отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Теперь рассмотрим отношение площадей подобных треугольников АВС и А1В1С1. ∆ ABC ~ ∆A1B1C1, тогда ∠A = ∠A1, следовательно, по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, получим

SABC/SA1B1C1 = (AB ∙ AC)/(A1B1 ∙ A1C1) = AB/(A1B1) ∙ AC/(A1C1)= k ∙ k = k2Вывод: отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Сообщить об ошибке в уроке

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/2014/main/

Теоретические материалы: Соизмеримые и несоизмеримые отрезки. Отношение отрезков. Пропорциональные отрезки

Планиметрия

6. Подобие фигур

6.1. Соизмеримые и несоизмеримые отрезки. Отношение отрезков. Пропорциональные отрезки

Пусть некоторый отрезок содержится в отрезке ровно и в отрезке ровно раза: , . Отрезок в таком случае называют общей мерой отрезков и . Ясно, что если взять любую долю отрезка , то она также будет содержаться в каждом из данных отрезков и целое число раз. Например, если , то , ; если , то , и т. д.

Определение 1

Общей мерой двух отрезков будет называться такой третий отрезок, который содержится целое число раз в каждом из двух данных отрезков.

Определение 2

Два отрезка ( и ) называются соизмеримыми, если они имеют общую меру (): и , где и — натуральные числа.

Соизмеримые отрезки существуют, например, м и дм. Для нахождения их наибольшей общей меры отложим на ( раза) и получим в остатке отрезок ( дм), меньший отрезка . Остаток отложится на меньшем отрезке ровно раза, т. е. и в большем отрезке раз, т. е.

, поэтому и есть наибольшая общая мера отрезков и . Если бы, откладывая остаток на меньшем данном отрезке , опять получили бы остаток (), то откладывали бы на и т.д., пока не получилось бы, что отложится в целое число раз без остатка.

Тогда и будет наибольшей общей мерой отрезков и .

Определение 3

Два отрезка называются несоизмеримыми, если они не имеют общей меры.

Примером несоизмеримых отрезков могут служить сторона и диагональ квадрата (доказательство этого факта опускаем) . Это значит, что процесс откладывания стороны квадрата на диагонали, остатка на стороне, второго остатка на первом и т. д. был бы бесконечен, так как всегда получался бы остаток.

Измерить отрезок единичным отрезком значит найти число, показывающее, сколько раз отложится на отрезке отрезок или его доли. Это число называют длиной отрезка. Если отрезок соизмерим с единичным отрезком , то длина отрезка есть число рациональное (натуральное или рациональная дробь). Например, дм при дм или м при м.

Если отрезок несоизмерим с единичным отрезком , то длина отрезка есть число иррациональное. Например, если дм сделать стороной квадрата, то его диагональ дм (по теореме Пифагора ).

Поскольку иррациональное число есть бесконечная непериодическая десятичная дробь, то его приближенное значение можно выразить с любой степенью точности с помощью конечной (рациональной) дроби. Так, точная длина есть дм, а приближенная дм или дм и т. д.

Определение 4

Отношением двух отрезков называется отношение их длин, выраженных в одинаковых единицах измерения.

Определение 5

Четыре отрезка , , , называются пропорциональными, если из их длин можно составить пропорцию .

Этому определению не противоречит следующее более общее определение. Отрезки называются пропорциональными отрезкам , если .

Источник: https://dl.bsu.by/mod/book/view.php?id=10185&chapterid=1320