Непозиционные системы счисления — справочник студента



• Обратная связь
• ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ
• Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение
• Как определить диапазон голоса — ваш вокал
• Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими
• Целительная привычка
• Как самому избавиться от обидчивости
• Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам
• Тренинг уверенности в себе
• Вкуснейший «Салат из свеклы с чесноком»
• Натюрморт и его изобразительные возможности

Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.

1. Как научиться брать на себя ответственность
2. Зачем нужны границы в отношениях с детьми?
3. Световозвращающие элементы на детской одежде
4. Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия
5. Как слышать голос Бога
6. Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)
7. Глава 3. Завет мужчины с женщиной
8. 

Оси и плоскости тела человека — Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

• 
  Отёска стен и прирубка косяков — Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.
• 
  Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) — В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.
• Системой счисления называется совокупность приемов и правил представления чисел с помощью цифровых знаков.
• Непозиционной называется такая система счисления, в которой значение любой цифры не зависит от положения (позиции) в ряду цифр, изображающих это число.
• Например, в числе ХХХ, записанном в римской системе счисления, каждый разряд означает 10 единиц.

Задача 1. Записать числа в римской нумерации: а) 193; б) 564; в) 2708.

Решение: а) 193 — это сто (С) + девяносто, т.е. сто без десятка (ХС) + три (III). Следовательно, 193 запишется как СХСIII.

б) 564 — это пятьсот (D) + пятьдесят (L) + десять (Х) + четыре (IV), т.е. число 564 запишется как DLХIV.

в) 2708 — это две тысячи (ММ) + плюс пятьсот (D) + сто (С) + сто (С) + пять (V) + три (III). Следовательно, число 2708 записывается так: ММDCCVIII.

Позиционной называется такая система счисления, в которой значение любой цифры зависит от ее положения (позиции) в ряду цифр, изображающих это число.

Под основанием системы счисления понимается определенное постоянное для данной системы счисления отношение единиц соседних разрядов.

1. Основанием системы счисления может быть любое натуральное число большее 1.
2. Система счисления с основанием равным 1 называется унарной.
3. Для записи чисел в позиционной системе счисления используются цифры, количество которых соответствует основанию системы.
4. Десятичная система счисления, запись чисел в ней

Определение 4.Десятичной записью натурального числа xназывается его представление в виде:

где коэффициенты an, an-1, …, a1, a0 принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и

Так как понятие числа и его записи нетождественны, то существование и единственность десятичной записи натуральной записи надо доказывать.

Теорема 1. Любое натуральное число х можно представить в виде:

• где коэффициенты an, an-1, …, a1, a0 принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• и такая запись единственная.
• Десятичная запись числа позволяет просто решать вопрос о том, какое из них меньше.
• Теорема 2. Пусть х и у – натуральные числа, запись которых дана в десятичной системе счисления:
• .
• Тогда число х меньше числа у, если выполнено одно из условий:
• а) n

Источник: https://megapredmet.ru/1-69178.html

Непозиционные системы счисления

Непозиционные системы счисления

      Люди научились считать очень давно. В последствии появилась потребность в записи чисел. Количество предметов изображалось нанесением черточек, засечек на какой-нибудь твердой поверхности.

Чтобы два человека могли точно сохранить некоторую числовую информацию, они брали деревянную бирку, делали на ней нужное число зарубок, а потом раскалывали бирку пополам. Каждый уносил свою половинку и хранил ее. Этот прием позволял избегать спорных ситуаций. Археологами найдены такие записи при раскопках. Они относятся к 10-11 тысячелетию до н.э.

      Ученые назвали такую систему записи чисел единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу.

     Позднее эти значки стали объединять в группы по 3, 5 и 10 палочек. Поэтому возникали более удобные системы счисления.

      Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел использовались специальные значки – иероглифы. Каждый такой иероглиф мог повторяться не более 9 раз.Такая система счисления называется древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления

     Примером непозиционной системы счисления, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, применявшаяся более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. Она называется римская система счисления.

      В основе лежат знаки I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000).

      Римскими цифрами пользовались очень долго, сегодня они используются в основном для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.

      Чтобы записать число, римляне использовали не только сложение, но и вычитание.       Правила составления чисел в римской системе счисления:

1. Идущие подряд несколько одинаковых цифр складываются(группа первого вида).

2. Если слева от большей цифры стоит меньшая, то от значения большей отнимается значение меньшей цифры(группа второго вида).

3. Значения групп и цифр, не вошедших в группы первого и второго вида складываются.

      В старину на Руси широко применялись системы счисления, напоминающие римскую. Они назывались ясачные. С их помощью сборщики податей заполняли квитанции об уплате подати (ясака) и делали записи в податной тетради.            «Русская книга податей»

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

1. Существует постоянная  потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.

3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения. В частности, у всех народов наряду с системами счисления были способы пальцевого счета, а у греков была счетная доска абак – что-то наподобие наших счетов.

     

Но мы до сих пор пользуемся элементами непозиционной системысчисления в обыденной речи, в частности, мы говорим сто, а не десять десятков,

Источник: http://dpk-info.ucoz.ru/publ/16-1-0-24

Непозиционная система счисления

Набор символов для обозначения чисел и правила их использования составляют систему счисления. Системы счисления принято делить на позиционные и непозиционные. Описание и примеры непозиционных систем счисления приведены в данной статье.

В непозиционной системе счисления изменение положения символа в числе не влияет на значение самого числа.

Отличие позиционных и непозиционных систем хорошо видно при сравнении арабских и римских чисел. Числа, записанные арабскими цифрами, составляются в позиционной системе. И здесь важно учитывать понятие разрядности.

Одна и та же цифра, в зависимости от того, в каком разряде числа она записывается, обозначает разную числовую величину. Например, в числе 234 цифра 2 обозначает величину двести, а в числе 324 – соответствует двадцати.

В римской системе счисления, цифра, в какое положение ее не помещай, всегда означает одно и то же. Например, с помощью римских цифр V и I, эквивалентных арабским 5 и 1, можно составить числа VI и IV, что соответствует 6 и 4. В непозиционной системе расположение цифры никак не влияет на ее значение.

История возникновения непозиционных систем счисления уходит корнями в глубокую древность. Жители древних государств: Вавилона, Майя, Древнего Египта, Греции и Рима, пользовались непозиционным принципом в составлении чисел. Некоторые из таких систем, например, римские цифры, используются и по сей день.

В римской системе ключевые числа записываются латинскими буквами I, V, X, L, C, D, M, а все остальные числовые значения получаются путем комбинирования этих знаков с использованием принципов сложения и вычитания.

Рис. 1. Римские цифры и их десятичные арабские эквиваленты.

Римская система получила название от места своего возникновения. Она начала использоваться еще в Древнем Риме, более двух тысяч лет назад. В римской системе есть одна особенность – в ней не используется цифра ноль.

Числа в римской системе следует записывать слева направо от большего к меньшему. Если в числе перед большей цифрой стоит меньшая, то ее следует вычесть из следующей за ней цифрой, исходя из принципа вычитания. Меньшие цифры, стоящие после больших, соответственно прибавляются.

• Например, арабское число 1978 в римской системе будет записано так: MCMLXXVIII.
• Римская система, в настоящее время используется для записи дат, обозначения валентности химических элементов.
• Исторической науке известны древние системы счисления, использующие различные знаки, символы и рисунки для обозначения числовых значений. Самыми известными являются:

• Древнеегипетская система счисления
• Вавилонская система счисления
• Система счисления майя

В древнеегипетской системе счисления специальные символы заменяли числа 1, 10, 100, 1000, 1000, и так далее, кратные десяти.

Рис. 2. Символы древнеегипетской системы счисления и их десятичные эквиваленты.

Числа записывались в виде комбинации таких символов, повторяющихся в зависимости от значения конкретного разряда не более девяти раз. Например, в числе 45 символ для обозначения 10 записывается четыре раза, а символ единицы, повторяется пять раз.

Вавилонская система представления чисел использует для обозначения чисел знаки в виде вертикальных и горизонтальных насечек – клиньев. Такую систему написания знаков называют клинописью.

Вавилонскую систему записи числовых значений называют также шестидесятеричной. Принцип разделения числового пространства на группы по 60 единиц используется и в настоящее время для определения временных отрезков. Один час состоит из 60 минут, одна минута – из 60 секунд.

Вавилонская система представляет собой комбинированный вариант системы счисления, так как представление чисел от 1 до 60 подчинено непозиционному принципу, а числа свыше шестидесяти представляются с использованием позиционного подхода.

Например, число 34 в вавилонской системе записывается как последовательность из трех горизонтальных клиньев, за которыми следует четыре прямых клина. А число 84 будет начинаться с прямого клина, обозначающего 60, за которым следуют два лежащих клина и затем четыре прямых.

Для обозначения чисел в различных бытовых ситуациях Майя использовали непозиционную систему представления чисел, в которой записывались числа от 0 до 19 с помощью знаков, представляющих собой комбинации точек и горизонтально расположенных отрезков.

Рис. 3. Цифры народа цивилизации майя.

Например, цифра для обозначения числа 17 выглядит как две точки, расположенные над тремя горизонтальными черточками.

Для представления чисел используются позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционных системах расположение знаков, составляющих числа не влияет на их числовые значения.

Самой известной непозиционной системой является система римских цифр.

Известные исторической науке системы записи чисел древних народов Египта, Вавилона, цивилизации Майя применяли непозиционный принцип представления чисел, используя различные знаки для обозначения числовых эквивалентов.

Средняя оценка: 4.4. Всего получено оценок: 11.

Источник: https://obrazovaka.ru/informatika/nepozicionnaya-sistema-schisleniya-primer.html

Системы счисления

 

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел.
Каждое число изображается в виде последовательности цифр, а для изображения каждой цифры используется некоторый физический элемент, который может находиться в одном из нескольких устойчивых состояний.

• Для проведения расчетов в повседневной жизни общепринятой является десятичная система счисления. В этой системе для записи любых чисел используются только десять различных знаков (цифр):
• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Эти цифры введены для обозначения десяти последовательных целых чисел от 0 до 9. Обозначая число «ДЕСЯТЬ», мы используем уже имеющиеся цифры «10». При этом значение каждой из цифр поставлено в зависимость от того места (позиции), где она стоит в изображении числа. Такая система счисления называется позиционной. (Примером непозиционной системы счисления является римская система счисления).
 

1. В десятичной системе счисления десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего, более старшего разряда.
2. Так, число 123,45 можно записать в виде выражения
3. 123,45 = 1·102+2·101+3·100+4·10-1+5·10-2.
4. Аналогично десятичная запись произвольного числа x в виде последовательности цифр anan-1…a1a0,a-1a-2…a-m основана на представлении этого числа в виде полинома:
5. x = an·10n+an-1·10n-1+…+a1·101+a0·100+
6. +a-1·10-1+a-2·10-2+…+a-m·10-m

где ai — десятичные цифры. При этом запятая, отделяющая целую часть от дробной, является, по существу, началом отсчета.
 

Число P единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называется основанием системы счисления, а сама система счисления называется P-ичной. Так, в десятичной системе счисления основанием системы является число 10.

Для записи произвольного числа в P-ичной системе счисления достаточно иметь P различных цифр. Цифры, служащие для обозначения чисел в заданной системе счисления называются базисными.
Запись произвольного числа x в позиционной системе счисления с основанием P в виде полинома:

x = an·Pn+an-1·Pn-1+…+a1·P1+a0·P0+a-1·P-1+a-2·P-2+…+a-m·P-m

В качестве базисных чисел обычно используются числа от 0 до P-1 включительно. Для указания того, в какой системе счисления записано число, основание системы указывается в виде нижнего индекса. В десятичной записи, например 12,43810.

Назад: Представление данных и архитектура ЭВМ

Источник: https://prog-cpp.ru/numerical/

Системы счисления для "чайников"

Продолжаем разбирать темы из школьной программы в обработке для “чайников”. Сегодня поговорим о системах счисления. Что это вообще такое и кому они нужны? Вникаем вместе с доцентом кафедры «Информатика» ГГТУ Любовью Михайловой.

Малыш загибает пальчики на руке. Нечесаный, закутанный в шкуры человек рисует углем черточки на камне.

Одетый в белоснежное жрец выводит изящные круги и завитушки на листе папируса… Я нажимаю NumLock на клавиатуре и набираю 12345… Что общего между мной и тем дикарем, выводящим черточку за черточкой? Мы записываем числа. Только я делаю это быстрее.

И не только потому, что мой инструмент – компьютер – более совершенен. Я использую более удобный и совершенный принцип записи числа – другую, нежели он, систему счисления.

(с) Originof.ru

Что же такое система счисления?

Определение таково: символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков. Или: совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков.

Итак, есть некие символы, необязательно цифры, и правила, определяющие то, как надо трактовать последовательность этих символов – число.

Какими они бывают

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. В непозиционной системе счисления величина, обозначаемая символом, фиксирована и не зависит от его положения в записи числа.

Самая простая и самая древняя непозиционная система счисления – унарная.

Помните нашего дикаря? В качестве базового символа в такой системе могло использоваться все что угодно: единичная линия, камешек, отдельный узелок на веревке.

Сколько узелков (черточек, камешков) – такова величина числа. Недостаток очевиден: слишком длинная запись числа получается. Если я пишу про 10 коров – еще терпимо, а если про 100?

Чтобы сделать запись числа короче, додумались ввести отдельные обозначения еще для нескольких величин. В Древнем Египте это были числа, кратные 10:

В Древнем Риме: 1, 5, 1*10, 5*10 и т. д.

На Руси: 1, 2, … 9, 1 * 10, 2 * 10, … 9 * 10, 1 * 100 и т. д. Как и в Древнем Риме, для обозначения чисел использовались буквы со специальным символом – титло – над ними.

Недостатки, правда, у такой идеи прежние:

• слишком длинная запись, например, число 73 в римской системе записывалось как LXXIII;
• не самые простые правила трактовки записи;
• неудобно производить арифметические операции над числами.

А что с позиционной системой?

Позиционная система счисления устроена сложнее. В ней есть основание, определяющее «вес» разряда, а заодно количество цифр, которые используются для записи числа, сами цифры и разряд – место цифры в записи числа.

Значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда)! Вот она, суть.

Если в непозиционной системе все цифры – «рядовые» и имеют одинаковый вес, то в позиционной у нас шеренга – от новобранца до генерала; чем ближе к началу, тем «тяжелее» очередной боец.

(с) leop-art.ru

5 * 100 + 4 * 101 + 3 * 102 + 2 * 103 + 1 * 104?

10 – основание системы счисления; степень, в которую возводится десятка, – номер разряда – позиции цифры в записи числа. Вот эта 10n и есть вес.

Для справки: нет единого мнения насчет того, кто изобрел современную, «арабскую», систему счисления, которую мы используем.

Доподлинно известно, что в средневековую Европу ее принесли именно арабы, а широкое распространение она получила не ранее XVI века.

Это была настоящая революция в математике! Дроби, простые и десятичные, а также «любимые» школьниками логарифмы появились после введения позиционной десятичной системы счисления.

Позиционную систему счисления можно построить по любому основанию. Принцип один и тот же: основание и набор цифр. Однако наибольшее практическое значение имеют двоичная, десятичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Причем последние две используются в основном не для вычислений, а для представления двоичного кода в форме, удобной для человека.

Зная, как устроены системы счисления, можно сформулировать правила перевода из одной системы в другую. Проще всего осуществлять перевод между системами, у которых

основания – степень одного числа: двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной. Сложнее переходить от десятичной записи к двоичной и т. п. и наоборот. Впрочем, это тема для отдельного разговора.

А пока что – калькулятор Windows вам в помощь!

Любовь Михайлова

Источник: https://zen.yandex.ru/media/id/5a2cd210a815f1e7d2fcb89c/5b3da190cf892600a95fd4c0

Позиционные и непозиционные системы счисления

Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные системы счисления. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы: I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе называется позицией. Система счисления Основание Алфавит

• Десятичная 10 0123456789
• Двоичная 2 01
• Троичная 3 012
• Восьмеричная 8 01234567
• Шестнадцатеричная 16 0123456789ABCDEF

Первая известная нам система, основанная на позиционном принципе — шестидесятеричная вавилонская. Цифры в ней были двух видов, одним из которых обозначались единицы, другим — десятки. Следы вавилонской системы сохранились до наших дней в способах измерения и записи величин углов и промежутков времени.

Однако наибольшую ценность для нас имеет индо-арабская десятичная система. Индийцы первыми использовали ноль для указания позиционной значимости величины в строке цифр. Эта система получила название десятичной системы счисления, так как в ней десять цифр.

Для того чтобы лучше понять различие позиционной и непозиционной систем счисления, рассмотрим пример сравнения двух чисел. В позиционной системе счисления сравнение двух чисел происходит следующим образом: в рассматриваемых числах слева направо сравниваются цифры, стоящие в одинаковых позициях.

Большая цифра соответствует большему значению числа. Например, для чисел 123 и 234, 1 меньше 2, поэтому число 234 больше, чем число 123. В непозиционной системе счисления это правило не действует. Примером этого может служить сравнение двух чисел IX и VI.

Несмотря на то, что I меньше, чем V, число IX больше, чем число VI.

Далее мы будем рассматривать только позиционные системы счисления.

Основание системы счисления, в которой записано число, обычно обозначается нижним индексом. Например, 5557 — число, записанное в семеричной системе счисления. Если число записано в десятичной системе, то основание, как правило, не указывается.

Основание системы — это тоже число, и его мы будем указывать в обычной десятичной системе. Вообще, число x может быть представлено в системе с основанием p, как x=an*pn+an-1*pn-1+ a1*p1+a0*p0, где an…a0 — цифры в представлении данного числа.

Так, например, 103510=1*103+0*102+3*101+5*100;

10102 = 1*23+0*22+1*21+0*20 = 10.

Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16. Вообще говоря, этих систем счисления обычно хватает для полноценной работы, как человека, так и вычислительной машины. Однако иногда в силу различных обстоятельств приходится обращаться к другим системам счисления, например, к троичной, семеричной или системе счисления по основанию 32.

Почему же мы не пользуемся другими системами счисления? В основном потому, что в повседневной жизни мы привыкли пользоваться десятичной системой счисления, и нам не требуется никакая другая система счисления. В вычислительных же машинах используется двоичная система счисления, так как оперировать над числами, записанными в двоичном виде, довольно просто.

Часто в информатике используют шестнадцатеричную систему, так как запись чисел в ней значительно короче записи чисел в двоичной системе.

Может возникнуть вопрос: почему бы не использовать для записи очень больших чисел систему счисления, например по основанию 50? Для такой системы счисления необходимы 10 обычных цифр плюс 40 знаков, которые соответствовали бы числам от 10 до 49 и вряд ли кому-нибудь понравится работать с этими сорока знаками. Поэтому в реальной жизни системы счисления по основанию, большему 16, практически не используются.

Методику представления информации в двоичной форме можно пояснить, проведя следующую игру. Нужно у собеседника получить интересующую нас информацию, задавая любые вопросы, но получая в ответ только одно из двух ДА либо НЕТ. Известным способом получения во время этого диалога двоичной формы информации является перечисление всех возможных событий.

Рассмотрим простейший случай получения информации. Вы задаете только один вопрос: Идет ли дождь?. При этом условимся, что с одинаковой вероятностью ожидаете ответ: ДА или НЕТ. Легко увидеть, что любой из этих ответов несет самую малую порцию информации. Эта порция определяет единицу измерения информации, называемую битом.

Благодаря введению понятия единицы информации появилась возможность определения размера любой информации числом битов. Образно говоря, если, например, объем грунта определяют в кубометрах, то объем информации — в битах. Условимся каждый положительный ответ представлять цифрой 1, а отрицательный — цифрой 0.

Тогда запись всех ответов образует многозначную последовательность цифр, состоящую из нулей и единиц, например 0100.

1. для ее реализации используются технические элементы с двумя возможными состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — ненамагничен);
2. представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
3. возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
4. двоичная арифметика проще десятичной (двоичные таблицы сложения и умножения предельно просты).

В двоичной системе счисления всего две цифры, называемые двоичными (binary digits). Сокращение этого наименования привело к появлению термина бит, ставшего названием разряда двоичного числа. Веса разрядов в двоичной системе изменяются по степеням двойки.

Поскольку вес каждого разряда умножается либо на 0, либо на 1, то в результате значение числа определяется как сумма соответствующих значений степеней двойки. Если какой-либо разряд двоичного числа равен 1, то он называется значащим разрядом.

Запись числа в двоичном виде намного длиннее записи в десятичной системе счисления.

Арифметические действия, выполняемые в двоичной системе, подчиняются тем же правилам, что и в десятичной системе. Только в двоичной системе счисления перенос единиц в старший разряд возникает чаще, чем в десятичной. Вот как выглядит таблица сложения в двоичной системе: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1

1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 (перенос в старший разряд)

Таблица умножения для двоичных чисел еще проще: 0 * 0 = 0 1 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 1 = 1

Рассмотрим подробнее, как происходит процесс умножения двоичных чисел. Пусть надо умножить число 1101 на 101 (оба числа в двоичной системе счисления).

Машина делает это следующим образом: она берет число 1101 и, если первый элемент второго множителя равен 1, то она заносит его в сумму.

Двоичное деление основано на методе, знакомом вам по десятичному делению, т. е. сводится к выполнению операций умножения и вычитания. Выполнение основной процедуры — выбор числа, кратного делителю и предназначенного для уменьшения делимого, здесь проще, так как таким числом могут быть только либо 0, либо сам делитель.

Следует отметить, что большинство калькуляторов, реализованных на компьютере, позволяют осуществлять работу в системах счисления с основаниями 2, 8, 16 и, конечно, 10.

При наладке аппаратных средств компьютера или создании новой программы возникает необходимость заглянуть внутрь памяти машины, чтобы оценить ее текущее состояние. Но там все заполнено длинными последовательностями нулей и единиц двоичных чисел.

Эти последовательности очень неудобны для восприятия человеком, привыкшим к более короткой записи десятичных чисел.

Кроме того, естественные возможности человеческого мышления не позволяют оценить быстро и точно величину числа, представленного, например, комбинацией из 16 нулей и единиц.

Для облегчения восприятия двоичного числа решили разбивать его на группы разрядов, например, по три или четыре разряда. Эта идея оказалась очень удачной, так как последовательность из трех бит имеет 8 комбинаций, а последовательность из 4 бит — 16.

Числа 8 и 16 являются степенями двойки, поэтому легко находить соответствие с двоичными числами. Развивая эту идею, пришли к выводу, что группы разрядов можно закодировать, сократив при этом длину последовательности знаков.

Полученные системы, имеющие основания 8 и 16, назвали соответственно восьмеричной и шестнадцатеричной.

В восьмеричной (octal) системе счисления используются восемь различных цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Основание системы — 8. При записи отрицательных чисел перед последовательностью цифр ставят знак минус.

Сложение, вычитание, умножение и деление чисел, представленных в восьмеричной системе, выполняются весьма просто подобно тому, как это делают в общеизвестной десятичной системе счисления.

В различных языках программирования запись восьмеричных чисел начинается с 0, например, запись 011 означает число 9.

В шестнадцатеричной (hexadecimal) системе счисления применяется десять различных цифр и шесть первых букв латинского алфавита. При записи отрицательных чисел слева от последовательности цифр ставят знак минус.

Для того чтобы при написании компьютерных программ отличить числа, записанные в шестнадцатеричной системе, от других, перед числом ставят 0x. То есть 0x11 и 11 — это разные числа.

В других случаях можно указать основание системы счисления нижним индексом.

Шестнадцатеричная система счисления широко используется при задании различных оттенков цвета при кодировании графической информации (модель RGB). Так, в редакторе гипертекста Netscape Composer можно задавать цвета для фона или текста как в десятичной, так и шестнадцатеричной системах счисления.

Статьи к прочтению:

Источник: http://csaa.ru/pozicionnye-i-nepozicionnye-sistemy-schislenija/

Лекция "Системы счисления" — Электронные облака

• Система счисления — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.
• Символы, при помощи которых записывается число, называются цифрами.
• Система счисления:

• даёт представления множества чисел (целых или вещественных)
• даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление)
• отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.

Разные народы в разные времена использовали разные системы счисления. Следы древних систем счета встречаются и сегодня в культуре многих народов. К древнему Вавилону восходит деление часа на 60 минут и угла на 360 градусов.

К Древнему Риму — традиция записывать в римской записи числа I, II, III и т. д. К англосаксам — счет дюжинами: в году 12 месяцев, в футе 12 дюймов, сутки делятся на 2 периода по 12 часов.

По современным данным, развитые системы нумерации впервые появились в древнем Египте. Для записи чисел египтяне применяли иероглифы один, десять, сто, тысяча и т.д. Все остальные числа записывались с помощью этих иероглифов и операции сложения. Недостатки этой системы — невозможность записи больших чисел и громоздкость.

В ней всего 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 но информацию несет не только цифра, но также и место позиция, на которой она стоит. В числе 444 три одинаковых цифры обозначают количество и единиц, и десятков, и сотен.

А вот в числе 400 первая цифра обозначает число сотен, два 0 сами по себе вклад в число не дают, а нужны лишь для указания позиции цифры 4.

Классификация систем счисления

Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные.

Позиционные системы счисления

Позиционные системы счисления (СС) — это системы счисления, в которых количественный эквивалент каждой цифры (её вес) зависит от ее положения (позиции) в записи числа.

Путем долгого развития человечество пришло к созданию позиционного принципа записи чисел, который состоит в том, что каждая цифра, содержащаяся в записи числа, занимает определенное место, называемое разрядом. Отсчет разрядов производится справа налево.

Единица каждого следующего разряда всегда превосходит единицу предыдущего разряда в определенное число раз. Это отношение носит название основание системы счисления (у непозиционных систем счисления понятия «разряда» и «основания» отсутствуют). Например:

число 237 состоит из 3 цифр.

Понятно, что отдельно взятая цифра 7 больше чем цифра 2. Однако, в составе числа, двойка стоит на позиции сотен, а семёрка — на позиции единиц, поэтому количественное представление двойки — две сотни, или двести, а семёрка — всё та же семь.

Многие, кроме десятичной СС, о других позиционных системах не имеют представления, хотя и часто ими пользуются. Например:

1. шестидесятиричная (Древний Вавилон) — первая позиционная система счисления. До сих пор при измерении времени используется основание равное 60 (1 мин = 60 с, 1 ч = 60 мин);
2. двенадцатеричная система счисления (широкое распространение получила в XIX в. Число12 — «дюжина»: в сутках две дюжины часов. Счет не по пальцам. а по суставам пальцев. На каждом пальце руки, кроме большого, по 3 сустава — всего 12;

В настоящее время наиболее распространенными позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.

Общее свойство всех позиционных систем счисления: при каждом переходе влево (вправо) в записи числа на один разряд величина цифры увеличивается (уменьшается) во столько раз, чему равно основание системы счисления.

Достоинства позиционных систем счисления:

• в позиционных системах счисления устранены все недостатки непозиционных:
• в них можно записать любое число (как натуральное, таки действительное);
• запись чисел компактна и удобна;
• благодаря поразрядной организации записи чисел с ними легко проводить математические операции.

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. Например: Римская система счисления.

Из многочисленных представителей этой группы в настоящее время сохранила свое значение лишь римская система счисления, где для обозначения цифр используются латинские буквы:

I	V	X	L	С	D	М
1	5	10	50	100	500	1000

С их помощью можно записывать натуральные числа. Например, число 1995 будет представлено, как MCMXCV (М-1000,СМ-900,ХС-90 и V-5). Правила записи чисел в римской системе счисления:

• если большая цифра стоит перед меньшей, они складываются, например: VI – 6 (5+1);
• если меньшая цифра стоит перед большей, то из большей вычитается меньшая, причем в этом случае меньшая цифра уже повторяться не может, например: XL — 40 (50-10), XXL – нельзя;
• цифры М, С, Х, I могут повторяться в записи числа не более трех раз подряд;
• цифры D, L, V могут использоваться в записи числа только по одному разу.

Например, запись XXX обозначает число 30, состоящее из трех цифр X, каждая из которых, независимо от места ее положения в записи числа, равна 10.

Запись MCXX1V обозначает 1124, а самое большое число, которое можно записать в этой системе счисления, это число MMMCMXCIX (3999). Для записи еще больших чисел пришлось бы вводить все новые обозначения.

По этой причине, а также по причине отсутствия цифры ноль, римская система счисления не годится для записи действительных чисел.

Таким образом, можно констатировать следующие основные недостатки непозиционных систем счисления:

• в них нельзя записать любое число;
• запись чисел обычно громоздка и неудобна;
• математические операции над ними крайне затруднены.

Алфавит и основание системы счисления

Алфавитом системы счисления называется совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел. Например: Десятичная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Двоичная система: {0, 1}
Восьмеричная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Шестнадцатеричная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}

Количество цифр в алфавите равно основанию системы счисления. Основанием позиционной системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.

Базисом позиционной системы счисления называется последовательность чисел, каждое из которых задает количественное значение или «вес» каждого разряда. Например: Базисы некоторых позиционных систем счисления.

Десятичная система: 100, 101, 102, 103, 104,…, 10n,…
Двоичная система: 20, 21, 22, 23, 24,…, 2n,…
Восьмеричная система: 80, 81, 82, 83, 84,…, 8n,…
Пример.

Позиция цифры в числе называется разрядом: разряд возрастает справа налево, от младших к старшим, начиная с нуля.

Развёрнутая форма представления числа

1. В позиционной системе счисления любое вещественное число в развернутой форме может быть представлено в следующем виде:
   А = ± (an-1qn-1+an-2qn-2+ … +a0q0+a-1q-1+a-2q-2+ … +a-mq-m)
   Здесь:
   А — само число,
   q — основание системы счисления,
   ai — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления,
   n — число целых разрядов числа,
   m — число дробных разрядов числа.
2. Развернутая форма записи числа — сумма произведений коэффициентов на степени основания системы счисления.
3. Пример. Десятичное число А10 = 4718,63 в развернутой форме запишется так:
   А10 = 4•103 + 7•102 + 1•101 + 8•100 + 6•10-1 + 3•10-2
   Двоичное число А2 = 1001,1 = 1•23 + 0•22 + 0•21 + 1•20 + 1•2-1
   Восьмеричное число А8 = 7764,1 = 7•83 + 7•82 + 6•81 + 4•80 + 1•8-1
   Шестнадцатеричное число А16 = 3АF = 3•162 + 10•161 + 15•160

Несмотря на то, что исторически человек привык работать в десятичной системе счисления, с технической точки зрения она крайне неудобна, так как в электрических цепях компьютера требовалось бы иметь одновременно десять различных сигналов. Тем не менее, такие схемы существуют в некоторых видах микрокалькуляторов. Чем меньше различных сигналов в электрических цепях, тем проще микросхемы, являющиеся основой конструкции большинства узлов ЭВМ, и тем надежнее они работают. Наименьшее основание, которое может быть у позиционных систем счисления это – двойка. Именно поэтому двоичная система счисления используется в вычислительной технике, а двоичные наборы приняты за средство кодирования информации. В компьютере имеются только два устойчивых состояния работы микросхем, связанных с прохождением электрического тока через данное устройство (1) или его отсутствием (0). Говоря точнее, (1) кодирует высокое напряжение в схеме компьютера, а (0) – низкое напряжение. Если вспомнить, что двоичная система счисления обладает самыми маленькими размерами таблиц сложения и умножения, то можно догадаться, что этот факт должен сильно радовать конструкторов ЭВМ, поскольку обработка сигнала в этом случае будет также самой простой. Таким образом, двоичная система счисления, с точки зрения организации работы ЭВМ, является наилучшей.

Мы уже говорили о преимуществах двоичной системы счисления с технической точки зрения организации работы компьютера. Зачем нужны другие системы счисления, кроме, естественно, еще и десятичной, в которой человек привык работать? Чтобы ответить на него, возьмем любое число в десятичной системе счисления, например 255, и переведем его в другие системы счисления с основаниями, кратными двойке:

25510 = 111111112 =33334 = 3778 =FF16.

Чем меньше основание системы счисления, тем больше разрядов требуется для его записи то есть, тем самым мы проигрываем в компактности записи чисел и их наглядности.  Поэтому, наряду с двоичной и десятичной системами счисления, в вычислительной технике применяют так же запись чисел в 8-и 16-ричных системах счисления. Поскольку их основания кратны двойке, они органично связаны с двоичной системой счисления и преобразуются в эту систему наиболее быстро и просто (по сути они являются компактными видами записи двоичных чисел). Все другие системы счисления представляют для вычислительной техники чисто теоретический интерес.
1. Какое число записано с помощью римских цифр: CLVI

Решение: Зная обозначения, запишем: С – 100; L – 50; V – 5; I – 1 Пользуемся правилом записи чисел в римской системе счисления:

• Т.к. большая стоит перед меньшей – CL, то они складываются (С+L = 100 + 50 = 150).
• Т.к. большая цифра стоит перед меньшей – VI, то они складываются (V + I = 5 + 1 = 6). Следовательно, 150 + 6 = 156

Ответ: CLVI = 15610

2. Записать в развёрнутом виде число: 3ВFA16 Решение: Пользуемся формулой:

• Аq = +- (an-1*qn-1 + an-2*qn-2 + …+a0*q0 + a–1*q-1 +a–2*q-2 + …+ a–m*q-m)
• Следовательно: 3ВFA16 = 3*163 + B*162 + F*161 + A*160
  Ответ: 3ВFA16 = 3*163 + B*162 + F*161 + A*160
• 3. Запишите в свёрнутой форме число  1*82 + 4*81 + 7*80
  
• Аq = +- (an-1*qn-1 + an-2*qn-2 + …+a0*q0 + a–1*q-1 +a–2*q-2 + …+ a–m*q-m)
• Следовательно: 1*82 + 4*81 + 7*80 = 1478
  Ответ: 1*82 + 4*81 + 7*80 = 1478

В нашем случае: a1 = 3; a2 = B; a3 = F; a4 = A q=16 n=3, 2, 1, 0

Решение: Пользуемся формулой:
В нашем случае: a1 = 1; a2 = 4; a3 = 7 q=8 n= 2, 1, 0

4. Используя приложение Калькулятор операционной системы Windows запишите значения числа 1010 10 в различных системах счисления.

Для этого:

1. откройте калькулятор: ПУСК-ПРОГРАММЫ-СТАНДАРТНЫЕ-КАЛЬКУЛЯТОР
2. настройте вид калькулятора на инженерный: ВИД-ИНЖЕНЕРНЫЙ

• Dec – десятичная система счисления
• Oct – восьмеричная система счисления
• Bin – двоичная система счисления
• Hex – шестнадцатеричная система счисления

1. поставьте флажок в Dec и наберите число 1010
2. поставьте флажок в Oct – вы увидите данное число, представленное в 8-ой системе счисления (запишите результат)
3. поставьте флажок в Bin – вы увидите данное число, представленное в 2-ой системе счисления (запишите результат)
4. поставьте флажок в Hex – вы увидите данное число, представленное в 16-ой системе счисления (запишите результат)

1. Представить число в развернутой форме. При этом основание системы счисления должно быть представлено в десятичной системе счисления.
2. Найти сумму ряда. Полученное число является значением числа в десятичной системе счисления.

1. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное, меньше делителя.
2. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.
3. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.

1. Последовательно умножаем данное число и получаемые дробные части произведения на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа.
2. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.
3. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Перевод произвольных чисел, т.е. содержащих целую и дробную часть, осуществляется в два этапа:

1. Отдельно переводится целая часть.
2. Отдельно переводится дробная.
3. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой.

Для облегчения решения задач заполним следующую таблицу:

Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Если основание q-ричной системы счисления является степенью числа 2, то перевод чисел из q-ричной систему счисления в 2-ичную и обратно можно проводить по более простым правилам.

1. Двоичное число разбить справа налево на группы по n в каждой.
2. Если в левой последней группе окажется меньше n разрядов, то её надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов.
3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать её соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2n

1. Переведём в 10-ую с.с. число: 0,1235

Решение: Действуем строго по алгоритму перевода чисел из любой системы счисления в десятичную:

1. Запишем число в развёрнутой форме: 0,1235 = 1*5–1 + 2*5– 2 + 3*5-3
2. Найдём сумму ряда: 0,2 + 0,08 + 0,024 = 0,30410
3. Ответ: 0,1235 = 0,30410
   

2. Переведём число 12610 в 8-ую с.с. и число 18010 в 16-ую с.с.

Источник: https://www.sites.google.com/site/informatika1011kl/sistemy-scislenia-1