Необходимый признак сходимости рядов — справочник студента

Решение типового варианта контрольной работы. Ряды

Пример 1. Исследовать на сходимость числовые ряды:

Б) 

Д) 

Е) 

З) 

Решение.

• Следовательно, ряд расходится.
• Б)  Поскольку в записи общего члена ряда есть показательная функция , то используем признак Даламбера.
• Для рассматриваемого ряда
• ;
• Вычислим

Следовательно, по признаку Даламбера, исходный ряд сходится.

В)  Так как в записи общего члена ряда есть факториал (), то используем признак Даламбера. Для исследуемого ряда

1. Вычислим
2. В пределе получили бесконечность, следовательно, исследуемый ряд расходится.
3. Г)  Воспользуемся радикальным признаком Коши. Здесь
4. Вычислим
5. Полученное значение больше 1, следовательно, ряд расходится.
6. Исследуем данный ряд с помощью интегрального признака Коши. Составим соответствующий интеграл и вычислим его
7. Интеграл сходится, следовательно, исследуемый ряд сходится.
8. Составим ряд, эквивалентный исходному, оставив в числителе и знаменателе лишь старшие степени n:
9. Полученный ряд эквивалентен исходному, так как

Таким образом, исходный ряд и ряд сходятся и расходятся одновременно. Т. к. ряд сходится, следовательно, исходный ряд также сходится.

• Д)  Так как , то
• .
• Ряд расходится , следовательно, исходный ряд также расходится.
• Оценим общий член ряда:
• .
• Ряд

Ряд сходится , следовательно, эквивалентный ряд также сходится. Т. к. из сходимости большего ряда следует сходимость меньшего, то исходный ряд сходится.

Пример2. Найти область сходимости ряда .

1. Решение. Воспользуемся признаком Даламбера:
2. Ряд сходится, если
3. или ;
4. или ,
5. .
6. Ряд расходится, если .

Неопределенный случай: т. е. или ,

• Пусть : ‑ сходится.
• Ряд сходится как эквивалентный сходящемуся ряду.
• Пусть : .

Этот ряд – знакочередующийся. Исследуя его на абсолютную сходимость (рассматриваем ряд, состоящий из абсолютных величин), получим ряд как и при , а он сходится. Т. к. ряд, состоящий из абсолютных величин, сходится, то данный ряд сходится абсолютно.

Получили, что ‑ область сходимости ряда.

Пример 3. Вычислить с точностью интеграл .

Решение. Запишем разложение функции в ряд Маклорена:

+…

1. Вычислим интеграл
2. .

Заметим, что при вычислении интеграла получаем знакочередующийся ряд. Мы отбрасываем при вычислении все слагаемые, начиная со слагаемого, меньшего по абсолютной величине заданной точности .

Пример 4. Найти три первые (отличные от 0) члена разложения в степенной ряд решения задачи Коши .

• Решение.
• Для представления решения в виде ряда Маклорена необходимо найти первые три отличные от нуля значения . По условию задачи Выразим из уравнения :
• Найдем , продифференцировав обе части равенства по :
• Окончательно получим:
• .
• Пример 5. Разложить данную функцию в ряд Фурье
• А)  в интервале (-2, 2):
• Б)  по синусам на интервале .
• Решение.
• Разложение периодической (период ) функции имеет вид:
• А) В нашем примере L=2.
• Где
• Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.
• ;
• Используя формулу интегрирования по частям, получаем
• .
• Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.
• Аналогично предыдущему
• И окончательно получим:
• Подставляя полученные значения в разложение , получим:

Б) Продолжим функцию на отрезок нечетным образом (рис. 1).

Рис. 1

Тогда получим нечетную функцию, ряд Фурье которой содержит только синусы, т. е. .

1. Найдем коэффициенты , используя формулу:
2. Для вычисления первого и третьего интегралов используем метод интегрирования по частям:
3. .
4. Таким образом, .

Источник: http://matica.org.ua/primery/primery/riady

Числовые ряды. Признаки сходимости числовых рядов

Признаки сходимости числовых рядов

Необходимый признак сходимости числового ряда:

Если ряд сходится, то .

Данный признак означает, что если , то ряд расходится. Например, расходится, так как . Из выполнения условия в общем случае не следует сходимость ряда . Например, для ряда (гармонический ряд), условие выполнено, но данный ряд расходится.

Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядовПризнаки сравнения         Если , и ряд расходится, то расходится и ряд . Признаки сравнения можно сформулировать в такой форме:

•         Если заданы ряды и существует , то ряды сходятся либо расходятся одновременно.
• Признак Д’Аламбера
• Радикальный признак Коши
• Интегральный признак Коши

Если существует то:         при ряд сходится;         при ряд расходится. Если существует то:         при ряд сходится;         при ряд расходится. Пусть задан ряд , члены которого являются значениями непрерывной, положительной и монотонно убывающей функции f(x) на промежутке . Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл . Если же расходится, то ряд также будет расходящимся.Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Признак Лейбница (достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов) Ряд сходится, если: .

Знакопеременный ряд называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд . Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называют сходящимся условно.

Очевидно, что если ряд сходится, то ряд также сходится. Обратное утверждение в общем случае неверно. Степенные ряды Пусть для степенного ряда существует .         Если , то ряд сходится только в точке .         Если , то ряд сходится на всей числовой оси.         Если , то ряд сходится в интервале . Пусть для степенного ряда существует .         Если , то ряд сходится на всей числовой оси.         Если , то ряд сходится только в точке .         Если , то ряд сходится в интервале Вопрос о сходимости ряда на концах интервала сходимости решают дополнительным исследованием.Разложение некоторых функций в ряд Маклорена Ряды Фурье Рядом Фурье функции f(x), определенной на сегменте называется ряд

1. .

,где Если в точке x0 функция f(x) терпит разрыв первого рода, то сумма ряда Фурье определится как Если функция f(x) задана в сегменте , то данная функция может быть представлена в виде суммы ряда Фурье , где Если функция f(x) четная, то Если функция f(x) нечетная, то

Источник: http://botaniks.ru/teoria_ruada.php

Необходимые и достаточные условия сходимости числовых рядов

• Раздел 7. Числовые и степенные ряды
• Числовые ряды
• Основные определения

Определение. Пусть — произвольная числовая последовательность. Формальное выражение вида

называется числовым рядом. Числа называются членами ряда, а – общим членом ряда.

Определение. Суммы , называются частичными суммами ряда.

Определение. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм. При этом число называется суммой ряда:

Определение. Если последовательность частичных сумм ряда не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся.

1. Свойства числовых рядов
2. 1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если отбросить или добавить произвольное конечное число членов ряда.
3. 2) Рассмотрим два ряда и , где С – постоянное число.

Теорема. Если ряд сходится и имеет сумму равную S, то ряд также сходится, и имеет сумму равную .

3) Рассмотрим два ряда и . Суммой (разностью) этих рядов называется ряд , где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.

Теорема. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно и , то ряд тоже сходится и его сумма равна .

• Сумма (разность) двух сходящихся рядов также является сходящимся рядом.
• Сумма сходящегося и расходящегося рядов является расходящимся рядом.
• О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.
• При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.
• Необходимые и достаточные условия сходимости числовых рядов
• Теорема.(Критерий Коши) Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал такой номер N, что при и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось неравенство:
• .

Доказательство. (необходимость) Пусть , тогда для любого числа найдется номер N такой, что неравенство выполняется при . При и любом целом выполняется также неравенство . Учитывая оба неравенства, получаем:

Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.

1. Сформулируем критерий Коши для ряда.
2. Для того чтобы ряд был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал номер N такой, что при n>N и любом p>0 выполнялось бы неравенство
3. .
4. Однако на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно, поэтому, как правило, используются более простые признаки сходимости.

Теорема.(Необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то его общий член un стремился к нулю при стремящемся к .

Это условие не является достаточным. Однако, если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится. Например, так называемый гармонический ряд является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Найдем — необходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится.

Теорема.Если ряд сходится, то последовательность его частичных сумм ограничена.

Это условие не является достаточным.

Например, ряд расходится, т.к. расходится последовательность его частичных сумм в силу того, что

Однако при этом последовательность частичных сумм ограничена, т.к. при любом n.

Источник: https://megaobuchalka.ru/8/45479.html

Необходимый признак сходимости числового ряда. Первая часть

Перед началом работы с этой темой советую посмотреть раздел с терминологией для числовых рядов. Особенно стоит обратить внимание на понятие общего члена ряда. Если у вас есть сомнения в правильности выбора признака сходимости, советую глянуть тему «Выбор признака сходимости числовых рядов».

Необходимый признак сходимости числовых рядов имеет простую формулировку: общий член сходящегося ряда стремится к нулю. Можно записать этот признак и более формально:

Если ряд $sumlimits_{n=1}^{infty}u_n$ сходится, то $lim_{n oinfty}u_n=0$.

Часто в литературе вместо словосочетания «необходимый признак сходимости» пишут «необходимое условие сходимости». Однако перейдём к сути: что означает данный признак? А означает он следующее: если $lim_{n oinfty}u_n=0$, то ряд может сходиться. Если же $lim_{n oinfty}u_n
eq 0$ (или же предела попросту не существует), то ряд $sumlimits_{n=1}^{infty}u_n$ расходится.

Что означает словосочетание «необходимое условие»? показатьскрыть

Поясним понятие необходимого условия на примере. Для покупки ручки студенту необходимо иметь 10 рублей. Это можно записать так: если студент покупает ручку, то у него есть 10 рублей. Наличие десяти рублей – это и есть необходимое условие покупки ручки.

Пусть это условие выполнено, т.е. десятка у студента есть. Значит ли это, что он купит ручку? Вовсе нет. Он может купить ручку, а может приберечь деньги на потом. Или купить что-либо иное. Или подарить их кому-то, – вариантов масса 🙂 Иными словами, выполнение необходимого условия покупки ручки (т.е. наличие денег) вовсе не гарантирует покупку этой ручки.

Точно так же и необходимое условие сходимости числового ряда $lim_{n oinfty}u_n=0$ вовсе не гарантирует сходимость этого самого ряда. Простая аналогия: если есть деньги, студент может купить ручку, а может и не купить. Если $lim_{n oinfty}u_n=0$, ряд может как сходиться, так и расходиться.

Однако что произойдет, если необходимое условие покупки ручки не выполнено, т.е. денег нет? Тогда студент ручку точно не купит. То же самое и с рядами: если необходимое условие сходимости не выполнено, т.е. $lim_{n oinfty}u_n
eq 0$, то ряд точно будет расходиться.

Говоря кратко: если необходимое условие выполнено, то следствие может как произойти, так и не произойти. Однако если необходимое условие не выполнено, то следствие точно не произойдёт.

Для наглядности приведу пример двух рядов: $sumlimits_{n=1}^{infty}frac{1}{n}$ и $sumlimits_{n=1}^{infty}frac{1}{n^2}$. Общий член первого ряда $u_n=frac{1}{n}$ и общий член второго ряда $v_n=frac{1}{n^2}$ стремятся к нулю, т.е.

$$ lim_{n oinfty}u_n=lim_{n oinfty}frac{1}{n}=0;; lim_{n oinfty}v_n=lim_{n oinfty}frac{1}{n^2}=0. $$

Однако гармонический ряд $sumlimits_{n=1}^{infty}frac{1}{n}$ расходится, а ряд $sumlimits_{n=1}^{infty}frac{1}{n^2}$ сходится. Выполнение необходимого условия сходимости вовсе не гарантирует сходимости ряда.

Если $lim_{n oinfty}u_n
eq 0$, то ряд $sumlimits_{n=1}^{infty}u_n$ расходится.

Чаще всего в стандартных примерах необходимый признак сходимости проверяется, если общий член ряда представлен дробью, числитель и знаменатель которой есть некие многочлены. Например, $u_n=frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$ (см. пример №1). Или же могут присутствовать корни от многочленов (см. пример №2).

Бывают примеры, которые несколько выбиваются из данной схемы, но для стандартных контрольных работ это редкость (см. примеры во второй части этой темы). Подчеркну главное: с помощью необходимого признака нельзя доказать сходимость ряда. Этот признак используют, когда нужно доказать, что ряд расходится.

• Пример №1
• Исследовать сходимость ряда $sumlimits_{n=1}^{infty}frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$.
• Решение
• Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$. Найдём предел общего члена ряда:

$$ lim_{n oinfty}u_n=lim_{n oinfty}frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}=left|frac{infty}{infty}
ight|= lim_{n oinfty}frac{frac{3n^2}{n^2}+frac{2n}{n^2}-frac{1}{n^2}}{frac{5n^2}{n^2}+frac{7}{n^2}}= lim_{n oinfty}frac{3+frac{2}{n}-frac{1}{n^2}}{5+frac{7}{n^2}}=frac{3+0-0}{5+0}=frac{3}{5}. $$

Если метод решения данного предела вызывает вопросы, то советую обратиться к теме «Предел отношения двух многочленов». Так как предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. $lim_{n oinfty}u_n=frac{3}{5}
eq 0$, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.

Решение окончено, однако, полагаю, у читателя возникнет вполне резоннный вопрос: а как мы вообще увидели, что нужно проверить выполнение необходимого условия сходимости? Существует немало признаков сходимости числовых рядов, так почему же взяли именно этот? Данный вопрос совсем не праздный. Но так как ответ на него, возможно, будет интересен не всем читателям, то я скрыл его под примечание.

Почему мы начали применять именно необходимый признак сходимости? показатьскрыть

Если говорить нестрого, то вопрос сходимости этого ряда решается ещё до формального исследования. Я не буду касаться такой темы как порядок роста, просто приведу некие общие рассуждения.

Давайте посмотрим на общий член ряда $u_n=frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$ повнимательнее. Сначала обратимся к числителю.

Число (-1), расположенное в числителе, можно отбросить сразу: если $n oinfty$, то данное число будет пренебрежимо малым по сравнению с остальными слагаемыми.

Посмотрим на степени $n^2$ и $n$, имеющиеся в числителе. Вопрос: какой элемент ($n^2$ или $n$) будет расти быстрее прочих?

Ответ здесь прост: наиболее быстро будет увеличивать свои значения именно $n^2$. Например, когда $n=100$, то $n^2=10;000$. И этот разрыв между $n$ и $n^2$ будет всё больше и больше. Поэтому все слагаемые, кроме тех, что содержат $n^2$, мы мысленно отбросим.

Осталось лишь показать это формально, что и было сделано выше.

Частенько в записи общего члена ряда используют такие элементы, как, например, $sinalpha$ или $arctgalpha$ и тому подобное. Нужно просто помнить, что значения подобных величин не могут выходить за некие числовые границы. Например, каким бы ни было значение $alpha$, значение $sinalpha$ останется в пределах $-1≤sinalpha≤ 1$. Т.е.

, к примеру, мы можем записать, что $-1≤sin(n!e^n)≤ 1$. А теперь представьте, что в записи общего члена ряда расположено выражение вроде $5n+sin(n!e^n)$.

Сыграет ли синус, который может «колебаться» лишь от -1 до 1, хоть какую-либо значимую роль? Ведь значения $n$ устремляются в бесконечность, а синус не сможет превысить даже единицу! Поэтому при предварительном рассмотрении выражения $5n+sin(n!e^n)$ синус можно просто отбросить.

Или, для примера, возьмём арктангенс. Каким бы ни было значение аргумента $alpha$, значения $arctgalpha$ будут удовлетворять неравенству $-frac{pi}{2}

Источник: https://math1.ru/education/num_series/ncondition1.html

Методическая разработка по теме: Методическая разработка по теме "Числовые и функциональные ряды" | Социальная сеть работников образования

• МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ТЕМЫ
• Числовые и функциональные ряды.
• Москва, 1010
• ВВЕДЕНИЕ
•         Методическое пособие предназначено для преподавателей математики, а также для студентов второго курса, обучающихся по специальности «Вычислительные машины, комплексы, сети».

        Изложение теоретического материала по всей теме сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач, ведется на доступном, по возможности строгом языке. В конце пособия приведены примеры и задания, которые студенты могут выполнять в режиме самоконтроля.

        Учитывая уровень подготовки учащихся колледжа, а также крайне ограниченное число часов (12 часов  для группы ВМ 25 и 16 часов для группы ВМ 21), отводимое программой для прохождения темы «Числовые и функциональные ряды», строгие выводы, представляющие большие трудности для усвоения, опущены, ограничиваясь рассмотрением примеров.

        Ряды представляют собой простой и совершенный инструмент математического анализа для приближенного вычисления функций, интегралов и решения дифференциальных уравнений., которые возникают при решении многих практических задач.

В то время, когда точное выполнение указанных математических операций во многих случаях оказывается весьма затруднительным или невозможным , можно получить приближенное решение многих задач с любой желаемой точностью при помощи рядов

Список литературы:

Основная: 

1. Богомолов Н.В., Практические занятия по математике. М., “Высшая школа”, 1990 – 495 с.;
2. Тарасов Н.П., Курс высшей математики для техникумов. М., “Наука”, 1971 – 448 с.;
3. Зайцев И.Л., Курс высшей математики для техникумов. М., государственное издательство техникумов – теоретической литературы, 1957 — 339 с.;
4. Письменный Д.Т., Курс лекций по высшей математике. М., “Айрис Пресс”, 2005, часть 2 – 256 с.;
5. Выгодский М.Я., Справочник по высшей математике. М., “Наука”, 1975 – 872 с.;

Дополнительная: 

1. Гусак А.А., Высшая математика. В 2-х т., Т.2: Учебное пособие для студентов вузов. Мос., “ТетраСистемс”, 1988 – 448 с.;
2. Григулецкий В.Г., Лукьянова И.В., Петунина И.А., Математика для студентов экономических специальностей. Часть 2. Краснодар, 2002 – 348 с.;
3. Григулецкий В.Г. и др. Задачник-практикум по математике. Краснодар. КГАУ, 2003 – 170 с.;
4. Григулецкий В.Г., Степанцова К.Г., Гетман В.Н., Задачи и упражнения для студентов учетно-финансового факультета. Краснодар. 2001 – 173 с.;

Числовые и функциональные ряды

1. Определение числового ряда.

Источник: https://nsportal.ru/npo-spo/informatika-i-vychislitelnaya-tekhnika/library/2013/11/24/metodicheskaya-razrabotka-po-teme

Необходимый признак сходимости ряда

Пусть задан положительный числовой ряд $ sum_{n=1} ^infty a_n $. Сформулируем необходимый признак сходимости ряда:

1. Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю: $$ lim _{n o infty} a_n = 0 $$
2. Если предел общего члена ряда не равен нулю, то ряд расходится: $$ lim _{n o infty} a_n
   eq 0 $$

Замечание

Часто проблемой почему наши заказчики не могут исследовать ряд самостоятельно является момент непонимания сути необходимого признака. Ещё раз отметим, что если общий член ряда стремится к нулю $ a_n o 0 $, то это ещё не значит, что ряд сходится! Нужно применить в дополнение достаточный признак.  Данный признак применяется сам по себе только в случаях, когда нужно доказать расходимость ряда.

Обобщенный гармонический ряд

Данный ряд записывается следующим образом $ sum_{n=1} ^infty frac{1}{n^p} $. Причем в зависимости от $ p $ ряд сходится или расходится:

1. Если $ p = 1 $, то ряд $ sum_{n=1} ^infty frac{1}{n} $ расходится и называется гармоническим, несмотря на то, что общий член $ a_n = frac{1}{n} o 0 $. Почему так? В замечании говорилось, что необходимый признак не даёт ответа о сходимости, а только о расходимости ряда. Поэтому, если применить достаточный признак, такой как интегральный признак Коши, то станет ясно, что ряд расходится!
2. Если $ p leqslant 1 $, то ряд расходится. Пример,$ sum_{n=1} ^infty frac{1}{sqrt{n}} $, в котором $ p = frac{1}{2} $
3. Если $ p > 1 $, то ряд сходится. Пример, $ sum_{n=1} ^infty frac{1}{sqrt{n^3}} $, в котором $ p = frac{3}{2} > 1 $

Примеры решений

Пример 1

Доказать расходимость ряда $ sum_{n=1} ^infty frac{n}{6n+1} $

Решение

Ряд положительный, записываем общий член: $$ a_n = frac{n}{6n+1} $$ Вычисляем предел при $ n o infty $: $$ lim _{n o infty} frac{n}{6n+1} = frac{infty}{infty} = $$ Выносим за скобку $ n $ в знаменателе, а затем выполняем на него сокращение: $$ = lim_{n o infty} frac{n}{n(6+frac{1}{n})} = lim_{n o infty} frac{1}{6 + frac{1}{n}} = frac{1}{6} $$ Так как получили, что $ lim_{n o infty} a_n = frac{1}{6} eq 0 $, то необходимый признак Коши не выполнен и ряд следовательно расходится. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

Ряд расходится

Пример 2

Исследовать ряд на сходимость $ sum_{n=1} ^infty frac{n^3-2n+1}{n^2+2n+3} $

Решение

Первым делом выпишем общий член ряда и проверим выполнение необходимого признака сходимости числового положительного ряда: $$ a_n=frac{n^3-2n+1}{n^2+2n+3} $$ $$ lim_{n o infty} a_n = lim_{n o infty}frac{n^3-2n+1}{n^2+2n+3} = frac{infty}{infty} = $$ Выносим старшие степени $ n $ в числителе и знаменателе, а затем сокращаем на $ n^2 $: $$ = lim_{n o infty} frac{n^3(1-frac{2}{n^2}+frac{1}{n^3})}{n^2(1+frac{2}{n}+frac{3}{n^2})}= lim_{n o infty} frac{n(1-frac{2}{n^2}+frac{1}{n^3})}{1+frac{2}{n}+frac{3}{n^2}}= infty $$ Так как $ lim_{n o infty} a_n = infty eq 0 $, то необходимый признак сходимости говорит о расходимости ряда.

Ответ

Ряд расходится

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

Источник: https://xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai/neobhodimyj-priznak-shodimosti-ryada.html

Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, признак Даламбера, Коши, Раабе и др

Данная статья представляет собой структурированную и подробную информацию, которая может пригодиться во время разбора упражнений и задач. Мы рассмотрим тему числовых рядов.

Данная статья начинается с основных определений и понятий. Далее мы стандартные варианты и изучим основные формулы. Для того, чтобы закрепить материал, в статье приведены основные примеры и задачи.

Базовые тезисы

Для начала представим систему: a1, a2…, an,… , где ak∈R, k=1,2….

Для примера, возьмем такие числа, как: 6,3,-32,34,38,-316,… .

Определение 1

Числовой ряд – это сумма членов ∑akk=1∞=a1+a2+…+an+… .

Чтобы лучше понять определение, рассмотрим данный случай, в котором q = -0.5: 8-4+2-1+12-14+…=∑k=1∞(-16)·-12k .

Определение 2

ak является общим илиk–ым членом ряда.

Он выглядит примерно таким образом -16·-12k .

Определение 3

Частичная сумма ряда выглядит примерно таким образом Sn=a1+a2+…+an , в которой n –любое число. Sn является n-ой суммой ряда.

Например, ∑k=1∞(-16)·-12k есть S4=8-4+2-1=5 .

S1,S2,…,Sn,… образуют бесконечную последовательность числового ряда.

Для ряда n –ая сумму находится по формуле Sn=a1·(1-qn)1-q=8·1—12n1—12=163·1—12n . Используем следующую последовательность частичных сумм: 8,4,6,5,…,163·1—12n,… .

Определение 4

Ряд ∑k=1∞ak является сходящимся тогда, когда последовательность обладает конечным пределом S=lim Snn→+∞ . Если предела нет или последовательность бесконечна, то ряд ∑k=1∞ak называется расходящимся.

Определение 5

Суммой сходящегося ряда ∑k=1∞ak является предел последовательности ∑k=1∞ak=lim Snn→+∞=S .

Пример 1

В качестве примера расходящегося ряда можно привести сумму геометрической прогрессии со знаменателем большем, чем единица: 1+2+4+8+…+2n-1+…=∑k=1∞2k-1.

n-ая частичная сумма определяется выражением Sn=a1·(1-qn)1-q=1·(1-2n)1-2=2n-1, а предел частичных сумм бесконечен: limn→+∞Sn=limn→+∞(2n-1)=+∞.

Еще одим примером расходящегося числового ряда является сумма вида∑k=1∞5=5+5+…. В этом случае n-ая частичная сумма может быть вычислена как Sn=5n. Предел частичных сумм бесконечен limn→+∞Sn=limn→+∞5n=+∞.

Определение 6

Сумма подобного вида как ∑k=1∞=1+12+13+…+1n+… – это гармонический числовой ряд.

Определение 7

Сумма ∑k=1∞1ks=1+12s+13s+…+1ns+… , где s –действительное число, является обобщенно гармоническим числовым рядом.

Определения, рассмотренные выше, помогут вам для решения большинства примеров и задач.

Для того, чтобы дополнить определения, необходимо доказать определенные уравнения.

Действуем методом от обратного. Если он сходится, то предел конечен. Можно записать уравнение как limn→+∞Sn=S и limn→+∞S2n=S . После определенных действий мы получаем равенство limn→+∞(S2n-Sn)=0 .

Напротив,

S2n-Sn=1+12+13+…+1n+1n+1+1n+2+…+12n—1+12+13+…+1n=1n+1+1n+2+…+12n

1. b1+b1q+b1q2+…+b1qn+…=∑k=1∞b1qk-1

• Необходимо подтвердить, что сумма последовательности чисел сходится при q 1 и расходится, если s≤ 1 .

Для s = 1 получаем ∑k=1∞1k , ряд расходится.
При s 

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/series/chislovye-rjady-opredelenija-svojstva-priznaki-sho/

Сходимость ряда онлайн

Проверить сходимость ряда можно несколькими способами. Во-первых можно просто найти сумму ряда. Если в результате мы получим конечное число, то такой ряд сходится. Например, поскольку

Одним из таких методов является признак Даламбера, который записывается следующим образом:

здесь и соответственно n-ый и (n+1)-й члены ряда, а сходимость определяется значением D: Если D < 1 - ряд сходится, если D > 1 — расходится. При D = 1 — данный признак не даёт ответа и нужно проводить дополнительные исследования.

В качестве примера, исследуем сходимость ряда с помощью признака Даламбера. Сначала запишем выражения для и . Теперь найдем соответствующий предел:

Еще одним методом, позволяющим проверить сходимость ряда является радикальный признак Коши, который записывается следующим образом:

здесь n-ый член ряда, а сходимость, как и в случае признака Даламбера, определяется значением D: Если D < 1 - ряд сходится, если D > 1 — расходится. При D = 1 — данный признак не даёт ответа и нужно проводить дополнительные исследования.

В качестве примера, исследуем сходимость ряда с помощью радикального признака Коши. Сначала запишем выражение для . Теперь найдем соответствующий предел:

• Поскольку , в соответствии с радикальным признаком Коши, ряд расходится.
• Стоит отметить, что наряду с перечисленными, существуют и другие признаки сходимости рядов, такие как интегральный признак Коши, признак Раабе и др.

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha позволяет протестировать сходимость ряда. При этом, если калькулятор в качестве суммы ряда выдает конкретное число, то ряд сходится.

В противном случае, необходимо обращать внимание на пункт «Тест сходимости ряда». Если там присутствует словосочетание «series converges», то ряд сходится.

Если присутствует словосочетание «series diverges», то ряд расходится.

Ниже представлен перевод всех возможных значений пункта «Тест сходимости ряда»:

Текст на английском языке Текст на русском языке

By the harmonic series test, the series diverges.	При сравнении исследуемого ряда с гармоническим рядом , исходный ряд расходится.
The ratio test is inconclusive.	Признак Даламбера не может дать ответа о сходимости ряда.
The root test is inconclusive.	Радикальный признак Коши не может дать ответа о сходимости ряда.
By the comparison test, the series converges.	По признаку сравнения, ряд сходится
By the ratio test, the series converges.	По признаку Даламбера, ряд сходится
By the limit test, the series diverges.	На основнии того, что , или указанный предел не существует, сделан вывод о том, что ряд расходится.

Источник: https://mathforyou.net/online/calculus/series/convergence/