Механический смысл второй производной — справочник студента

• План урока:
• Физический смысл производной
• Геометрический смысл производной
• Связь производной с возрастанием и убыванием функций
• Производная как функция
• Вторая производная функции и ее физический смысл

Физический смысл производной

Вводя понятие производной, мы предварительно решали задачи на поиск мгновенной скорости некоторого тела (автомобиля, пешехода, самолета). Во всех них в качестве исходных данных задавался некоторый закон, который описывал зависимость пути, пройденного телом, от времени. Обычно этот закон представлял собой функцию s(t).

Для нахождения мгновенной скорости мы сначала записывали выражение для вычисления средней скорости, которое содержало переменную величину ∆t. На следующем шаге мы составляли выражение ∆s/∆t, после чего величину ∆t мы устремляли к нулю и смотрели, чему в таком случае будет равняться предел отношения ∆s/∆t.

Этот предел и принимался за мгновенную скорость тела.

Можно заметить, что последовательность наших действий совпадает с теми действиями, которые выполняются для вычисления производной. Разница лишь в обозначениях. В случае с производной мы рассматриваем функцию у(х), а в случае с поиском скорости тела – функцию s(t).

Таким образом, можно сформулировать физический смысл производной (иногда его называют механическим смыслом, так как в физике производная используется не только в механике):

Функцию s(t) обычно называют законом движения. Рассмотрим простейший случай, когда тело движется с постоянной скоростью, равной, например, 3 м/с. Из физики известно, что в таком случае путь s, пройденный телом за время t, можно вычислить по формуле

где v – скорость.

Значит, закон движения тела будет выглядеть так:

Найдем производную в произвольный момент времени t0. Так как производная должна совпадать со скоростью, то независимо от значения t0 производная должная оказаться равной 3. Действительно, в точке t0 значение функции равно

Дадим приращение аргумента ∆t. В точке t0 + ∆t функция будет равна

Найдем приращение функции ∆s:

Обратите внимание – величина ∆s уже не зависит от t0. Далее найдем отношение ∆s/∆t:

Величины ∆t сократились, и получилось, что отношение ∆s/∆t от величины ∆t не зависит. Ясно, что предел этого отношения при ∆t→0 (а это и есть производная) будет равен 3:

Действительно, получилось, что производная s′(t) в любой точке равна 3, то есть она совпадает со скоростью.

Геометрический смысл производной

Возьмем график произвольной функции у(х) и выберем на ней точку х0 (обозначим ее как А). Дадим ей приращение ∆х. Тогда мы получим новую точку с абсциссой х0 + ∆х, которую обозначим буквой В.

Соединим исходную и новую точку прямой линией АВ. Эта линия пересекает график как минимум в двух точках (А и B), поэтому мы можем назвать её секущей.

Проведем также касательную к графику функции в точке А:

Если из точки B провести вертикальную линию, а из точки А – горизонтальную, то они пересекутся в некоторой точке О. Рассмотрим треугольник АОВ. Очевидно, что он прямоугольный (∠ АОВ = 90°). При этом АО = ∆х, а ОВ = ∆у. Так как АО и ОВ – это катеты прямоугольного треугольника, то их отношение (ОВ/АО) равно тангенсу угла ВАО, который на рисунке обозначен как α:

Ещё раз отметим, что угол α – это угол между секущей и горизонтальной линией. Этот угол определяется именно отношением величин ∆у и ∆х.

Производная – это предел отношения ∆у/∆х при ∆х→0. Попробуем устремить в данном случае величину ∆х к нулю. Тогда точка В начнет перемещаться по графику всё ближе к точке А, а треугольник АОВ будет сокращаться в размерах. Однако АВ всё ещё будет оставаться секущей:

Мы видим что при уменьшении ∆х секущая АВ приближается к касательной. В конце концов, при «максимальном» уменьшении ∆х, Точка В почти сольется с точкой А, а секущая АВ почти сольется с касательной.

Тогда и угол α, являющийся углом наклона секущей, будет почти не отличаться (или отличаться на бесконечно малую величину) от угла наклона касательной.

Поэтому можно принять, что угол α – это и есть угол наклона касательной:

1. Но мы уже определили ранее, что тангенс угла α – это отношение ∆у/∆х:
2. Получается, что в предельном случае, когда ∆х стремится к нулю, секущая, по сути, становится касательной к графику, а отношение ∆у/∆х – производной (по ее определению):

Отсюда следует, что значение производной в точке х0 совпадает с тангенсом угла наклона касательной к графику функции в этой же точке. В этом заключается геометрический смысл производной.

Здесь следует уточнить понятие касательной. Из геометрии известно понятие касательной к окружности. Так называют прямую, имеющую с окружностью ровно одну общую точку.

Однако для касательной к графику функции такое определение не подходит.

Действительно, любая строго вертикальная прямая пересечет график функции только в одной точке, однако назвать ее касательной нельзя, ведь она проходит «сквозь график»:

• С другой стороны, прямая, касающаяся графика в одной точке, может потом пересечь его в другой точке:
• Поэтому касательную к графику в точке х0 определяют именно как предельное положение секущей, которое получается, когда промежуток ∆х устремляют к нулю.
• Задание. Найдите угол наклона касательной, проведенной к графику
• в точке х0 = 2.

Решение. Тангенс искомого угла можно найти, вычислив производную. Для этого сначала вычислим значение функции в точке х0:

1. Теперь даем приращение ∆х и вычисляем функцию в точке (х0 + ∆х):
2. Далее находим величину ∆у, то есть приращение функции в точке х0:
3. Отношение ∆у/∆х можно определить так:
4. Если устремить величину ∆х к нулю, то отношение ∆у/∆х устремится к единице:
5. Значит, и производная в точке х0 = 2 будет равна 1:
6. Производная – это тангенс угла наклона касательной, то есть

Так как тангенс 45° равен единице, то α = 45°. Убедимся в этом, проведя через точку (2; 1) прямую с таким наклоном. Она действительно оказывается касательной:

Ответ: 45°

Связь производной с возрастанием и убыванием функций

• Заметим, что если провести касательную к графику в той точке, где функция возрастает, то сама эта касательная окажется также возрастающей линейной функцией. При этом угол ее наклона будет острым:
• Напомним что тангенс любого острого угла – это всегда положительная величина, то есть tgα> 0.

Однако это тангенс равен значению производной.

Значит, она также положительна, если функция возрастает.

Ситуация меняется в случае убывающей функции. Тогда и касательная к графику оказывает убывающей линейной функцией. Из-за этого она образует с горизонтальной осью Ох не острый, а тупой угол:

Напомним, что тангенс тупого угла является отрицательным числом. Но тогда и производная должна быть отрицательная. Получается, что по знаку производной можно определить, убывает или возрастает функция в данной точке.

Задание. Определите знак производной функции у = sinx в точке х0 = 3π/4, не вычисляя её.

Решение. График у =sinx выглядит так:

Точка х0 = 3π/4 находится между π/2 и π. Видно, что в этой точке функция убывает. Следовательно, производная в этой точке отрицательна.

Ответ: Производная отрицательна.

Производная как функция

До этого мы вычисляли значение производной в отдельных точках графика. Она представляет некоторое число у′(х0). Однако чаще всего производную можно вычислить в каждой точке графика у(х). То есть каждой точке х0 соответствует какое-то число у′(х0). Но если есть соответствие между числами х0 или у′(х0), то можно говорить о функции. Её обозначают как у′(х), или просто как у′.

Объясним, чем отличаются обозначения у′(х0) и у′. Обе эти величины называются производными и вычисляются для некоторой функции у(х). Однако у′(х0) – это конкретное значение производной, то есть число. Например, 4 или 6. А выражение у′(х) – это не число, а функция, например, у = сosx или у = х3. Подставив в выражение у′(х) значение х0, можно узнать и у′(х0).

Возникает вопрос – а как находить функцию у′(х)? Для этого можно использовать определение производной, как и в случае су′(х0). Только вместо значения х0 не требуется подставлять какое-то число. Продемонстрируем эту процедуру на примере.

Пусть есть функция у = х2. Найдем у′(х). Для этого дадим произвольной точке с координатой х приращение ∆х. В результате попадем в новую точку (х + ∆х). Вычислим значения функции у = х2 в точках х и (х + ∆х):

1. Далее находим величину ∆у:
2. Следующий шаг – вычисляем отношение ∆у/∆х:
3. Осталось найти предел отношения ∆у/∆х при ∆х→0, который и будет являться производной у′:тут что-то не поняла решение, верное?

Получили, что у′ = 2х. Ещё раз обратите внимание, что у′– это функция, а не число. Поиск производной называют операцией дифференцирования. Для краткости иногда используют такую запись:

Здесь в левой части в скобках записана исходная функция. Над скобкой стоит штрих, который и означает дифференцирование. Справа записана производная. Когда надо вычислить производную, используют такие фразы, как «продифференцируем функцию» или «возьмем производную».

Итак, мы получили, что (х2)′ = 2x. Эту формулу производной для функции у =х2 стоит запомнить.

Найдя у′, мы существенно упрощаем свою жизнь. Пусть нам надо найти значение производной функции сразу в 5 точках.

Раньше мы бы для каждой точке давали бы приращение ∆x, искали соответствующее ему значение ∆у, вычисляли бы отношение ∆у/∆х, а потом находили бы предел этого отношения.

То есть нам надо было бы вычислить сразу 5 пределов. Однако зная у′, мы можем просто подставлять в неё значение х0 и сразу находить производную.

Задание. Найдите производную функции у = х2 в точке х0 = 100.

• Решение. Известно, что (х2)′ = 2x, то есть для функции у = х2 производная равна
• Подставим значение х0 = 100 в производную:
• Ответ: 100.

Задание. К графику у = х2 в точках х1 = 0,5 и х2 = – 0,5 проведены касательные. Под каким углом пересекаются эти касательные?

Решение. Сначала приведем рисунок для этой задачи, причем выберем крупный масштаб, когда длина двух клеток равна всего 0,1:

Чтобы найти угол между двумя касательными, сначала найдем, какие углы они образуют с горизонтальной линией Ох. Для этого вычислим производную от у = х2 в точках 0,5 и (– 0,5). Так как у′ = 2х, то

Получается, что тангенс наклона 1-ой касательной равен единице, это значит, что сам угол равен 45°. Тангенс наклона второй касательной равен (– 1). Чтобы найти угол ее наклона, составим тригонометрическое уравнение:

Естественно, уравнение имеет бесконечно большое количество решений: – π/4; 3π/4; 7π4 и т.д. Среди них нас интересует то, которое соответствует углу от 0 до 180°. Это угол 3π/4, который равен 135°.

Итак, касательные имеют углы наклона, равные 45° и 135°. Далее поиск угла их пересечения становится простой и чисто геометрической задачей. Добавим точки на рисунок:

1. Мы нашли, что ∠ВСЕ = 45° и ∠АDC = 135°. Тогда
2. Тогда из треугольника DOC можно найти и интересующий нас ∠DOC. Мы используем тот факт, что сумма углов любого треугольника составляет в точности 180°:
3. В итоге получаем, что прямые пересекаются под прямым углом.
4. Ответ: 90°.

Задание. Автомобиль стартует и набирает скорость, при этом закон его движения имеет вид s(t) = t2. Найдите скорость машины через 2,3, 4 и 5 секунд после старта. Постройте график, иллюстрирующий зависимость скорости машины от времени.

Решение. Скорость машины будет равна производной ее закона движения. Производная функции s(t) = t2 имеет вид s′(t) = 2t. Подставляя в производную значения 2, 3, 4 и 5, найдем скорость автомобиля в эти моменты времени:

• Так как s′(t) = 2t, а скорость равна производной, то есть v(t) = s′(t), то получаем, что зависимость скорости от времени имеет вид v(t) = 2t. Её график будет выглядеть так (на нем отмечены те самые точки, которые соответствуют 2, 3, 4 и 5 секунде после старта):
• Ответ: 4, 6, 8 и 10 м/с.
• Рассмотренный пример показывает, что зная закон движения s(t), можно не просто вычислить скорость тела в отдельные моменты времени, но и получить зависимость, то есть общую формулу, позволяющую вычислять скорость. Другими словами, график производной s′(t) совпадает с графиком скорости v(t)

Вторая производная функции и ее физический смысл

Итак, мы узнали, что при дифференцировании функции мы получаем какую-то новую функцию. Встает логичный вопрос – а можно ли продифференцировать и эту новую функцию? Естественно можно, и в результате получат ещё одну функцию, которую называют второй производной.

Для ее обозначения используют уже не один штрих, а сразу два: у′′. При необходимости можно взять и третью производную (у′′′), и четвертую (у′′′′), и даже сотую или тысячную. Однако при рассмотрении большинства практических задач достаточно первых двух производных.

Есть ли у второй производной функции физический смысл? Да. Дело в том, что в физике различают равномерное и ускоренное движение тела. В первом случае оно двигается с постоянной скоростью, а во втором скорость тела может изменяться.

И для определения ускорения как раз и может потребоваться вторая производная.

Действительно, если ускорение – это скорость изменения скорости, то ее можно найти, взяв производную от функции v(t), то есть а(t) = v′(t). Однако сама скорость получается при дифференцировании закона движения s(t), то есть v(t) = s′(t). Тогда получается, что

То есть физический смысл второй производной заключается в том, что вторая производная закона движения s′′(t) в момент t0 равна ускорению тела в этот самый момент.

Ещё раз взглянем на пример, который мы уже рассмотрели. Пусть автомобиль стартует с места, и пройденный им путь определяется законом s(t) = t2. Мы уже выяснили, что в этом случае его скорость можно рассчитать по формуле v(t) = 2t. Получается, что скорость тела непостоянна, значит, имеет место ускоренное движение. Попробуем найти величину ускорения.

Для этого возьмем производную от функции v(t) = 2t. Возьмем какое-то значение аргумента t и дадим ему приращение ∆t, в результате получим новый аргумент (t + ∆t). Вычислим скорость тела в эти моменты времени:

1. Теперь мы можем найти приращение функции ∆v, соответствующее приращению ∆t
2. Далее находим отношение ∆v/∆t:
3. Получили, что это отношение является постоянной величиной и равно 2. Естественно, что предел постоянной величины равен этой величине:

Итак, получили, что производная v′ – это постоянное число, не зависящее от времени. Оно же равно ускорению тела. Значит, в любой момент времени ускорение тела равно 2м/с2.

• Напомним, что важнейший закон механики, известный как второй закон Ньютона, выглядит так:
• где F– это сила, действующая на тело;
• m–масса тела;
• а – ускорение.
• Однако теперь мы знаем, что ускорение является второй производной от закона движения. В связи с этим его можно переписать в виде

И на самом деле в физике значительно чаще используется именно такая его формулировка. Это лишний раз подтверждает значимость понятия производной.

Источник: https://100urokov.ru/predmety/urok-2-smysl-proizvodnoj

Производная функции

Елена Репина 2013-08-06 2014-01-11

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , если этот предел существует.

Пример: 

Но нет необходимости каждый раз пользоваться этим определением для нахождения производной…

Работу нам упростит таблица производных и правила дифференцирования.

Геометрический смысл производной

• 
• Если мы рассмотрим прямоугольный треугольник , то заметим, что есть .
• А при стремлении к нулю, точка будет приближаться к точке и секущая «превратится» в касательную к графику функции в точке .
• Поэтому геометрический смысл производной таков:
• Производная  в точке  () равна тангенсу угла   наклона   касательной к графику функции в этой точке:
• ,
• где – угол наклона касательной (проведенной  к в т. )

Физический смысл производной

1. Если точка движется вдоль оси и ее координаты изменяются по закону , то мгновенная скорость точки:
2. ,
3. а ускорение:

Пример:

Материальная точка движется прямолинейно по закону , где  — расстояние от точки отсчета в метрах,  — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени .

• Решение:
• м/с
• Ответ: 60.

Уравнение касательной

Уравнение касательной к графику в точке :

Пример:

1. Составить уравнение касательной к графику функции  в точке .
2. Решение:
3. 1.
4. 2.
5. 3.
6. Ответ:
7. Смотрите также  «Производная функции в точке. Знак производной и монотонность функции»

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Печать страницы

Источник: https://egemaximum.ru/proizvodnaya-funkcii/

Производная. Геометрический и механический смысл производной

Тема. Производная. Геометрический и механический смысл производной

1. Производная. Рассмотрим некоторую функцию  в двух точках   и . Здесь через х обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции:  называется приращением функции. Производной функции  в точке  называется предел, к которому стремится отношение приращение функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю (формула 1).

 Если этот предел существует, то функция  называется дифференцируемой в точке . Производная функции  обозначается (формула 2).

1. Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции . Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции можно записать формула 3). В ней   — угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то  неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения  равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует вывод.

Производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

1. Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке . В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: . Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A: . Отсюда следует: . Подставляя это выражение вместо b, получаем уравнение касательной (формула 4).

1. Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси. При этом задан закон движения точки: координата x движущейся точки – это известная функция времени . В течение интервала времени от до точка перемещается на расстояние: . Её средняя скорость () находится по формуле: . При  значение средней скорости стремится к определённой величине, которая в физике называется мгновенной скоростью  материальной точки в момент времени . Следовательно, для мгновенной скорости можно записать формулу 5. Если сравнить эту формулу с формулой производной 1, то можно сделать вывод, что

 Скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: 

Источник: https://ya-znau.ru/znaniya/zn/173

Механический смысл производной второго порядка

Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону S = f(t). Как уже известно, производная St’ равна скорости точки в данный момент времени: St’= V.

Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент t +Dt – скорость равна V + DV, т. е. за промежуток времени Dt скорость изменилась на величину DV.

Отношение выражает среднее ускорение движения точки за время Dt. Предел этого отношения при Dt ®0 называется ускорением точки М в данный момент t и обозначается буквой а: Итак, вторая производная от пути по времени есть величина ускорения прямолинейного движения точки, т. е. .

Дифференциалы высших порядков

Пусть y=f(x) дифференцируемая функция, а ее аргумент х – независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал есть также функция х, можно найти дифференциал этой функции.

• Дифференциал от дифференциала функции называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается : .
• Дифференциал второго порядка от данной функции равен произведению второго порядка этой функции на квадрат дифференциала независимой переменной: .
• Приложение дифференциального исчисления
• Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале (a; b), если для любых двух точек x1 и x2 из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство ( ).
• Необходимое условие возрастания (убывания): Если дифференцируемая функция на интервале (a, b) возрастает (убывает), то производная этой функции неотрицательна (неположительна) в этом интервале ( ).
• Достаточное условие возрастания (убывания):Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого интервала, то функция возрастает (убывает) на этом интервале.
• Функция f(x)в точке х1имеет максимум, если для любого х из некоторой окрестности точки выполняется неравенство: f(x1)>f(x), при x¹x1.
• Функция f(x) в точке х1 имеет минимум, если для любого х из некоторой окрестности точки выполняется неравенство: f(x1)

Источник: https://cyberpedia.su/14xfdea.html