Локальная и интегральная теоремы лапласа — справочник студента

где функция Ф (х) определяется равенством Формула называется интегральной формулой Муавра— Лапласа. Получаемые по интегральной и локальной формулам Муа вра — Лапласа вероятности достаточно точны, если произведение nр составляет несколько сотен!!!

Свойства функции Ф(х) • • Функция Ф(х) нечетная, Ф ( х) = Ф(х). Функция Ф(х) монотонно возрастающая. Предел функции Ф(х) при x→∞ равен 0, 5. Для всех значений х > 5 считают, что Ф (х) ≈ 0, 5. Уже Ф (5) = 0, 4999992, при увеличении х функция Ф (х) возрастает, но не может пре восходить 0, 5. Поэтому в таблицах функция дана для значений х < 5.

Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности Вероятность, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р, абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события А от его постоянной вероятности не превысит положительного числа , приближенно равна:

Пример. Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0, 8. Найти вероятность, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0, 04. Решение. По условию задачи: n = 625; p = 0, 8; =0, 04. Отсюда q =1– p = 0, 2. Требуется найти вероятность:

Для решения задачи воспользуемся формулой, определяющей оценку отклонения относительной частоты от постоянной вероятности: Ф(х) – интегральная функция Лапласа. Найдем аргумент функции Лапласа: По табл. функции Лапласа: Ф(2, 5) = 0, 4938, т. е. 2 Ф(х) = 0, 9876.

Итак, искомая вероятность:

•

•

Пример. Страховая компания заключила 40000 договоров. Вероятность страхового случая по каждому из них в течение года составляет 2%. Найти вероятность, что таких случаев будет не более 870. Решение. По условию задачи n = 40000, p = 0, 02. Находим np = 800, . Для вычисления Р (m 870) воспользуемся интегральной теоремой Муавра Лапласа: Р(0 < m 870) = Ф 0(х2) –Ф 0(х1), где

Пример. Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний равна 0, 8. Найти такое положительное число , чтобы с вероятностью 0, 99 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не превышала . Решение. По условию p = 0, 8, n = 400. Используем следствие из интегральной т. Муавра Лапласа:

Следовательно, . По таблице для функции Лапласа определяем Отсюда, = 0, 0516.

Фрагмент таблицы значений функции Лапласа.

x 1, 76 1, 77 1, 78 1, 79 1, 80 1, 81 1, 82 1, 83 1, 84 1, 85 1, 86 1, 87 0, 4608 0, 4616 0, 4625 0, 4633 0, 4641 0, 4649 0, 4656 0, 4664 0, 4671 0, 4678 0, 4686 0, 4693 x 2, 13 2, 14 2, 15 2, 16 2, 17 2, 18 2, 19 2, 20 2, 21 2, 22 2, 23 2, 24 0, 4838 0, 4842 0, 4846 0, 4850 0, 4854 0, 4857 0, 4861 0, 4864 0, 4868 0, 4871 0, 4875 x 2, 50 2, 51 2, 52 2, 53 2, 54 2, 55 2, 56 2, 57 2, 58 2, 59 2, 60 2, 61 0, 4938 0, 4940 0, 4941 0, 4943 0, 4945 0, 4946 0, 4948 0, 4949 0, 4951 0, 4953 0, 4955 x 2, 87 2, 88 2, 89 2, 90 2, 91 2, 92 2, 93 2, 94 2, 95 2, 96 2, 97 2, 98 0, 4979 0, 4980 0, 4981 0, 4982 0, 4983 0, 4984 0, 4985 0, 4986

1, 89 1, 90 1, 91 1, 92 1, 93 1, 94 1, 95 1, 96 1, 97 1, 98 1, 99 2, 00 2, 01 0, 4706 0, 4713 0, 4719 0, 4726 0, 4732 0, 4738 0, 4744 0, 4750 0, 4756 0, 4761 0, 4767 0, 4772 0, 4778 2, 26 2, 27 2, 28 2, 29 2, 30 2, 31 2, 32 2, 33 2, 34 2, 35 2, 36 2, 37 2, 38 0, 4881 04884 0, 4887 0, 4890 0, 4893 0, 4896 0, 4898 0, 4901 0, 4904 0, 4906 0, 4909 0, 4911 0, 4913 2, 64 2, 65 2, 66 2, 67 2, 68 2, 69 2, 70 2, 71 2, 72 2, 73 2, 74 2, 75 0, 4967 0, 4959 0, 4960 0, 4961 0, 4962 0, 4963 0, 4964 0, 4965 0, 4966 0, 4967 0, 4968 0, 4969 0, 4970 3, 00 3, 10 3, 20 3, 30 3, 40 3, 50 3, 60 3, 70 3, 80 3, 90 4, 00 4, 10 4, 20 0, 49865 0, 49903 0, 49931 0, 49952 0, 49966 0, 49977 0, 49984 0, 49989 0, 49993 0, 49995 0, 499968 0, 499979 0, 499987

Источник: https://present5.com/teorema-muavralaplasa-lokalnaya-i-integralnaya-per-simo-n/

Локальная и интегральная теорема Муавра-Лапласа

Nbsp;   При изучении курса теории вероятностей и математической статистики студентами заочной формы обучения большая роль отводится самостоятельной работе с учебным материалом. Для проверки приобретения студентами практических навыков им предлагается выполнить внеаудиторную контрольную работу (стр.

29) Работу над контрольной работой рекомендуется построить следующим образом. Каждый студент решает свой вариант – его номер в экзаменационной ведомости.

В заданиях контрольной работы часто необходимо номер варианта, как переменную N подставить в условие, и решать задачу с рассчитанными по номеру варианта данными; иногда индивидуальные данные для каждого варианта предлагаются в виде таблицы после формулировки текстовой части задания.

Сначала рекомендуется разобрать предложенное решение типовой задачи (стр12);убедиться что при самостоятельном решении этой же задачи получается точно такой же ответ, как в подробном решении. При необходимости следует обращаться к теоретической справке и соответствующей теме в учебниках, перечисленных в списке литературы.

Оформлять контрольную работу необходимо в отдельной тетради в клетку. Обязательно указать фамилию и инициалы, номер варианта. Индивидуальные задания можно решать в любой последовательности. После проверки контрольной работы преподавателем выставляется оценка «зачтено». При наличии ошибок контрольная работа возвращается на доработку студенту.      

• ЛЕКЦИИ
• Определение вероятности события
• Классическое определение вероятности события.При классическом определении вероятность события определяется равенством
• P(A)=m/n,

где m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события A; n – число возможных элементарных исходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы образуют полную группу и равновозможны.

Геометрическое определение вероятности. Пусть отрезок lсоставляет часть отрезка L. На отрезке Lнаудачу поставлена случайная точка.

Если предположить, что вероятность попадания точки на отрезок lпропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L, то вероятность попадания точки на отрезок lопределяется равенством

1. P = Длина l/Длина L
2. Теорема сложения вероятностей
3. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
4. Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
5. Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А1+А2+…+А n) = P(A1) + Р(А2) +…+ Р(А n).

• Теорема сложения вероятностей совместных событий.Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления
• Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).
• Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событии. Например, для трех совместных событий

1. Р(A+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(ABC).
2. Теорема умножения вероятностей
3. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
4. Р(АВ) = Р(А)∙Р A(В).
5. В частности, для независимых событий
6. P(АВ) = Р(А)∙Р(В),

т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Формула полной вероятности

Вероятность события А, которое может наступить лишь припоявлении одного из несовместных событий (гипотез)H1,H2, …,Hn образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события A:

Формула Байеса

Пусть событиеА может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез)H1,H2, …,Hn, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формулам Байеса

• Формула Бернулли
• Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления событияравна p(0 < p < 1), событие наступит ровноmраз (безразлично,в какой последовательности), равна
• где q = 1 – p.
• Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит: а)менееm раз; б) болееm раз; в) не менееm раз; г) не болееm раз, находят соответственно по формулам:
• Pn(0) + Pn(1) +…+ Pn(m – 1);
• Pn(m + 1) + Pn(m + 2) +…+ Pn(n);
• Pn(m) + Pn(m + 1) +…+ Pn(n);
• Pn(0) + Pn(1) +…+ Pn(m).
• Формула Пуассона
• Есливероятность pнаступления события A – постоянна и мала, а число испытаний n – велико и число λ = np – незначительно (будем полагать, что λ = np ≤ 10), то имеет место приближенное равенство:

Локальная и интегральная теорема Муавра-Лапласа

Локальная теорема.Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р 5 полагают Φ(x) = 0,5. Для отрицательных значений х используют эту же таблицу, учитывая, что функция Лапласа нечетная Ф(–x)= –Ф(x).

На практике, приближенные равенства из локальной и интегральной теоремы Муавра-Лапласа используют при выполнении условия: npq > 20.

Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 63;

Источник: https://studopedia.net/10_29319_lokalnaya-i-integralnaya-teorema-muavra-laplasa.html

Предельные теоремы в схеме Бернулли. Локазьная и интегральная предельная теоремы Муавра-Лапласа. Теорема Пуассона. Примеры

Так как νn число успехов в последовательности из n независимых испытаний Бернулли, можно представить в виде:

 (1)

где  — независимые одинаково распределенные бернуллиевские случайные величины. Мы знаем в явном виде распределение νn, а именно: , где p — вероятность успеха в единичном испытании. Вместе с тем, во многих задачах приходится находить вероятности Pn,p(k) при больших значениях n. Это может вызвать значительные вычислительные трудности ввиду громоздкости биномиальных коэффициентов  и необходимости возводить числа p и (1 − p) в высокие степени. Ниже мы рассмотрим две важные предельные ситуации, когда биномиальное распределение может быть приближено другими распределениями.
Пусть в каждом из  независимых испытаний событие A может произойти с вероятностью ,  (условия схемы Бернулли). Обозначим как и раньше, через  вероятность ровно  появлений события А в  испытаниях. кроме того, пусть – вероятность того, что число появлений события А находится между  и .

• Локальная теорема Лапласа.
• Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то
• Интегральная теорема Лапласа.
• Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то
• Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций:

а) 

б) при больших  верно .

Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при . Причем чем ближе значения  к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность (по сравнению с исходной формулой Бернулли).

Пример. Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить деталь отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти вероятность того, что в их числе 280 деталей отличного качества.

Решение. По условию , откуда

По таблицам найдем .

Искомая вероятность равна: 

Теорема Пуассона:

Пусть ,  таким образом, что, где a > 0 — заданное число. Тогда для любого фиксированного k

.

Другими словами, в описанном предельном переходе биномиальные вероятности Pn,p(k) аппроксимируются пуассоновским распределением.

Источник: http://studentmtuci.blogspot.com/2016/01/blog-post_83.html

Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Очевидно, что при больших значениях n пользоваться формулой Бернулли затруднительно, так как придется вычислять значения факториалов больших чисел и возводить в большую степень числа, близкие к нулю (0 < p < 1). В этом случае можно использовать асимптотические формулы Лапласа, дающие тем лучшее приближенное значение Pn(m) и Pn(k1 £ m £ k2), чем больше n.

Локальная теорема Лапласа.Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы (0 < p < 1), то вероятность того, что событие A появится в серии из n испытаний ровно m раз приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции

, .

Функция j(x) является четной функцией, то есть j(– x) = j(x), для всех принимается j( x) = 0. Таким образом, вероятность того, что событие A появится в n независимых испытаниях ровно m раз, приближенно равна

Интегральная теорема Лапласа.Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы (0 < p < 1), то вероятность того, что событие A появится в серии из n испытаний от k1 до k2 раз, приближенно равна

где , .

В приложении Б приведены таблицы значений функции Лапласа

Функция F(x) нечетна, то есть F(– x) = – F(x). При x > 5 можно принять F(x) = 0,5.

Пример 21Завод изготавливает конденсаторы. Вероятность выхода из строя за время Т одного конденсатора равна 0,2. Найти вероятность того, что из 100 конденсаторов за время Т выйдет из строя: а) ровно 10 конденсаторов; б) не менее 20 и не более100 конденсаторов.

Предполагая, что выход из строя конденсаторов осуществляется независимо друг от друга, условие задачи можно рассматривать как серию из n = 100 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность события A = {конденсатор выйдет из строя} равна 0,2. То есть p = 0,2, q = 0,8.

• Так как число испытаний достаточно велико, для вычисления вероятностей событий B и C можно воспользоваться приближёнными формулами Муавра-Лапласа.
• а) Определим вероятность события В = {среди 100 конденсаторов ровно 10 выйдет из строя за время Т}.
• Для вычисления вероятности события В воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа. В данном случае: n = 100; p = 0,2; q = 0,8; m = 10;

j ( – 2,5) = 0,0175;

б) Для вычисления вероятности события С воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа при n = 100; p = 0,2; q = 1 – 0,2= 0,8; k1 = 20; k2 =100;

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/4_32702_lokalnaya-i-integralnaya-teoremi-laplasa.html

Видеоурок: интегральная теорема Муавра-Лапласа

17 сентября 2015

• Материалы к уроку

• Таблица значений функции Лапласа

Данная теорема является дальнейшим развитием схемы Бернулли и позволяет работать с диапазонами: какова вероятность, что число успехов будет лежать в пределах указанного отрезка.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Пусть число испытаний $n$ достаточно велико, а вероятность успеха $0 lt ,p, lt 1$. Пусть также$q=1-p$ — вероятность неудачного испытания. Тогда вероятность того, что число успехов будет лежать в пределах от ${{k}_{1}}$ до ${{k}_{2}}$, можно примерно посчитать по формуле:

[{{P}_{n}}left( {{k}_{1}};{{k}_{2}}
ight)approx Phi left( frac{{{k}_{2}}-np}{sqrt{npq}}
ight)-Phi left( frac{{{k}_{1}}-np}{sqrt{npq}}
ight)]

где

[Phi left( x
ight)=frac{1}{sqrt{2 ext{ }!!pi!! ext{ }}}intlimits_{0}^{x}{{{e}^{-frac{{{t}^{2}}}{2}}}dt}]

Функция $Phi left( x
ight)$ называется функцией Лапласа и содержит в себе интеграл, который не считается напрямую. Как следствие, значения этой функции сведены в таблицу, которую можно загрузить прямо на этой странице.

Разумеется, в таблице приведены не все возможные значения. Для больших значений $x$ (скажем, для $x gt 6$ ) считают, что $Phi left( x
ight)approx 0,5$. Кроме того, функция Лапласа является нечётной, поэтому из неё можно выносить знак «минус»:

[Phi left( -x
ight)=-Phi left( x
ight)]

Это прямо следует из определения, в котором присутствует определённый интеграл.

Что такое «интегральная теорема Муавра-Лапласса»?

Сегодня мы разберем интегральную теорему Муавра-Лапласа. Это «старшая сестра» второй версии теоремы Муавра-Лапласа, разобранной в прошлом уроке. Во-первых, разберемся, зачем вообще нужна еще одна теорема — интегральная.

Допустим, у нас есть 1000 изделий, о которых известно, что там в среднем есть 10% брака. Однако это не означает, что в партии из 1000 изделий будет ровно 100 бракованных изделий, скорее всего, их будет 101-102 или 98, но не 100.

Вероятность того, что будет ровно 100, легко считается при помощи более легкой теоремы Муавра-Лапласа, и вы можете сами убедиться, что она будет велика. В этом случае возникает вопрос: «Какова тогда вероятность, что деталей будет от 95 до 105, либо от 50 до 150?».

Вот именно в таких примерах нам на помощь приходит интегральная теорема Муавра-Лапласа. С назначением самой интегральной теоремы все ясно, теперь давайте разберемся с ее формулой.

• Вероятность того, что при $n$-испытаниях количество успешных испытаний будет в пределах от ${{K}_{1}}$ до ${{K}_{2}}$ выражается следующей формулой:
• [{{P}_{n}}left( {{K}_{1}};{{K}_{2}}
  ight)approx Fleft( frac{{{K}_{2}}-np}{sqrt{npq}}
  ight)-Fleft( frac{{{K}_{1}}-np}{sqrt{npq}}
  ight)]
• Сама же функция $F$ называется функцией Муавра-Лапласа, и выглядит она следующим образом:

[Fleft( x
ight)=frac{2}{sqrt{2 ext{ }!!pi!! ext{ }}}{{intlimits_{0}^{x}{e}}^{-frac{{{t}^{2}}}{2}}}dt]

Сразу же скажу, что данный интеграл «красиво» не считается, поэтому вместо красивого интегрирования у вас всегда будет в распоряжении таблица значений функции Лапласа, и с помощью этой таблицы, а также некоторых способов, которые мы разберем чуть позже в этом уроке, мы и будем решать все примеры на данную интегральную теорему.

Разумеется, возникает вопрос «А что это за буквы такие — $n$, $q$, $p$?».

С $n$, я думаю, все понятно — это число испытаний.

$p$ — это вероятность успеха в каждом конкретном испытании.

$q$ — по аналогии с формулой Бернули это вероятность провала, т.е. неуспеха в каждом конкретносм испытании. Считатеся она по очень простой формуле:

[q=1-p]

Надеюсь, с буквами теперь понятно, поэтому перейдем к решению конкретных примеров.

Задача № 1

Начнем мы с довольно простой задачи, однако уже на ее примеры мы познакомимся с особенностями применения интегральной теоремы Муавра-Лапласса.

Известно, что в среднем 5% студентов носят очки. Какова вероятность того, что из 200 студентов, находящихся в аудитории, окажется не менее 10%, носящих очки?

1. В первую очередь, давайте запишем саму интегральную теорему Муавра-Лапласса:
2. [{{P}_{n}}left( {{K}_{1}};{{K}_{2}}
   ight)approx Fleft( frac{{{K}_{2}}-np}{sqrt{npq}}
   ight)-Fleft( frac{{{K}_{1}}-np}{sqrt{npq}}
   ight)]
3. При этом полезно помнить еще одну формулу:

[Fleft( x
ight)=frac{2}{sqrt{2 ext{ }!!pi!! ext{ }}}{{intlimits_{0}^{x}{e}}^{-frac{{{t}^{2}}}{2}}}dt]

Собственно, из-за этого интеграла, присутствуещего в функции Муавра-Лапласса, сама теорема и называется интегральной.

При первом взгляде на эту интегральную теорему многие ученики приходят в шок — уж больно много здесь разных конструкций, корней, вычислений и т.д. На самом деле, все очень просто, и сейчас вы сами в этом убедитесь.

Для начала давайте выпишем все значения. Итак, нам известно следующее:

• Всего студентов 200 — $n=200$;
• Вероятность попадания студента, который носит очки — $p=0,05$;
• Вероятность того, что студенты не носят очки будет равна $1-0,05=0,95$.

• Далее мы можем найти $sqrt{npq}$:
• [sqrt{npq}=sqrt{200cdot 0,05cdot 0,95}=sqrt{9,5}approx 3,08]
• Разумеется, такие вычисления выполняются на калькуляторе.
• Кроме того, в нашей формуле, в интегральной теореме Муавра-Лапласса, мы наблюдаем выражение $np$ — произведение количества испытаний на вероятность успеха:
• [np=200cdot 0,05=10]
• Давайте перепишем формулу с учетом всех фактов:
• [{{P}_{n}}left( {{K}_{1}};{{K}_{2}}
  ight)approx Fleft( frac{200-10}{3,08}
  ight)-Fleft( frac{20-10}{3,08}
  ight)=]
• [=Fleft( 61,7
  ight)-Fleft( 3,25
  ight)]
• И вот здесь нас поджидает первая проблема: если мы посмотрим на таблицу значений, то значение $3,25$ здесь еще присутствует, но вот числа от $60$ и более здесь вообще не представлены. Для решения этого вопроса предлагаю взглянуть на исходную формулу Муавра-Лапласса:

[Fleft( x
ight)=frac{2}{sqrt{2 ext{ }!!pi!! ext{ }}}{{intlimits_{0}^{x}{e}}^{-frac{{{t}^{2}}}{2}}}dt]

При больших «иксах» ${{e}^{-frac{{{t}^{2}}}{2}}}$ будет очень маленьким числом, т.е. возрастание $x$ дает очень маленькую, стремящуюся к «нулю» добавку к вероятности. Поэтому для всех «иксов», начиная от шести и более примерно считается, что значение функции Лапласса равно $0,5$. $$ $$

Итак, продолжим наше решение:

[{{P}_{n}}left( {{K}_{1}};{{K}_{2}}
ight)approx 0,5-0,49942=0,00058=5,8cdot {{10}^{-4}}]

Нюансы решения

Как видите, ничего сверхъестественного. Все применение интегральной теоремы Муавра-Лапласса сводится к следующему:

1. Аккуратно выписать все значения: число испытаний, вероятность и «единицу» «минус» вероятность.
2. Посчитать корни и величины.
3. Пробежаться глазами по таблице и найти значение функции в тех точках, которые мы получили.

Однако, как вы понимаете, это была самая простая задача — существуют гораздо более сложные и навороченные. И один из самых «противных» типов заданий на применение интегральной теоремы Муавра-Лапласса состоит в том, что общая вероятность, которую мы обычно рассчитываем по формуле, нам известна, а необходимо найти либо ${{K}_{1}}$, либо ${{K}_{2}}$. Вот именно сейчас такую задачу мы и решим.

Самое обидное, что именно такие чаще всего и попадаются на всяких контрольных, зачетах и экзаменах. Они будут вам встречаться на исследованиях, где необходимо определить какую-нибудь статистическую величину. Поэтому именно сейчас мы попытаемся решить такую задачу.

Задача № 2

Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два разных входа, каждым из которых любой зритель может воспользоваться с равной вероятностью. Около каждого входа имеется свой гардероб. Сколько мест должно быть в каждом гардеробе, чтобы с вероятностью в 0,99 любой зритель смог раздеться в том гардеробе, в который он обратился сразу после входа в театр.

Я думаю, очевидно, что в данной задаче общее количество испытаний, т.е. человек, которые придут в театр, не более 1000 — $n=1000$.

Всего входов два, при этом в каждый с одинаковой вероятностью входит один и тот же человек — $p=frac{1}{2}$.

Следовательно, $q=1-frac{1}{2}=frac{1}{2}$.

Кроме того, общая возможность того, что при 1000 испытаний количество успеха попадет в искомый нами диапазон, равно 0,99 — ${{P}_{1000}}left( {{K}_{1}};{{K}_{2}}
ight)=0,99$. Остается разобраться с числами ${{K}_{1}}$ и ${{K}_{2}}$, т.е.

границами диапазона. ${{K}_{1}}$ — наименьшее количество людей, которые могут обратиться в данный гардероб. Очевидно, будет «ноль», потому что меньше нуля прийти не может — ${{K}_{1}}=0$. Остается вопрос: «Чему равно ${{K}_{2}}$?».

Именно это нам и нужно найти по условию.

1. Опять запишем интегральную теорему Муавра-Лапласса:
2. [{{P}_{1000}}left( {{K}_{1}};{{K}_{2}}
   ight)approx Fleft( frac{{{K}_{2}}-np}{sqrt{npq}}
   ight)-Fleft( frac{{{K}_{1}}-np}{sqrt{npq}}
   ight)]
3. Посмотрим:
4. [np=1000cdot frac{1}{2}=500]
5. [sqrt{npq}=sqrt{1000cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2}}=sqrt{250}=5sqrt{10}=15,8]
6. Подставим все полученные числа в формулу, с учетом того, что ${{K}_{1}}=0$:
7. [{{P}_{1000}}left( {{K}_{1}};{{K}_{2}}
   ight)approx Fleft( frac{{{K}_{2}}-500}{15,8}
   ight)-Fleft( frac{0-500}{15,8}
   ight)=0,99]
8. Теперь внимательно посмотрим на эту формулу. Отдельно посчитаем значение функции Муавра-Лапласса в следующей точке:
9. [Fleft( frac{-500}{15,8}
   ight)=-Fleft( 31,6
   ight)=0,5]
10. Итого переписывая, мы получаем:
11. [Fleft( frac{{{K}_{2}}-500}{15,8}
    ight)+0,5=0,99]
12. [Fleft( frac{{{K}_{2}}-500}{15,8}
    ight)=+0,49]

Единственный способ, при помощи которого можно решить этот пример — это взять таблицу значений функции Муавра-Лапласса и посмотреть, когда она равна $0,49$, при каком $x$. Проблема состоит в том, что точного значения мы не найдем. Однако есть значение функции Муавра-Лапласса в точках $2,32$ и $2,34$ :

[Fleft( 2,32
ight)=0,48983]

[Fleft( 2,34
ight)=0,49036]

Где-то между ними лежит наша искомая величина $0,49$. А между числами $2,32$ и $2,34$ лежит величина $2,33$. Так и запишем:

• [frac{{{K}_{2}}-500}{15,8}=2,33]
• Теперь нам осталось решить простейшее уравнение:
• [{{K}_{2}}-500=2,33cdot 15,8]
• [{{K}_{2}}-500=36,8]
• [{{K}_{2}}approx 536,8=537]
• Ответ: 537.

Каверзные вопросы

Подождите, есть несколько вопросов. Во-первых, почему мы так легко вынесли «минус» из функции Лапласса наружу, а во-вторых, почему мы постоянно пользуемся калькулятором?

Давайте для начала посмотрим на формулу функции Муавра-Лапласса:

[Fleft( x
ight)=frac{2}{sqrt{2 ext{ }!!pi!! ext{ }}}{{intlimits_{0}^{x}{e}}^{-frac{{{t}^{2}}}{2}}}dt]

Это, прежде всего, интеграл от «нуля» до $x$ в прелах четной функции, поэтому если перед $x$ внезапно появится «минус», мы можем поменять местами верхние и нижнее пределы интегрирования, при том перед самим интегралом также появится знак «минус», и больше никаких изменений не будет. Это одно из ключевых свойств определенного интеграла.

В заключение посмотрим еще одну задачку, в которой мы не только еще раз отработаем использование стандартной формулы, но и вспомним, что такое вторая версия теоремы Муавра-Лапласса, отличная от интегральной, и в каких ситуациях она применяется.

Задача № 3

Радиотелеграфная станция передает цифровой текст. В силу наличия помех каждая цифра независимо от других может быть неправильно принята с вероятностью 0,01. Найдите вероятность того, что в принятом тексте, содержащем 1100 цифр, будет:

а) 15 ошибок;

б) менее 20 ошибок.

Решение пункта б)

1. Что касается б), то тут все вполне очевидно — это чистейшая теорема Муавра-Лапласса, причем интегральная.

   Так и запишем:

2. [n=1100]
3. [p=0,01]
4. [q=0,99]
5. [{{K}_{1}}=0]
6. [{{K}_{2}}=19]
7. Теперь запишем интегральную формулу Муавра-Лапласса:
8. [{{P}_{n}}left( {{K}_{1}};{{K}_{2}}
   ight)approx Fleft( frac{{{K}_{2}}-np}{sqrt{npq}}
   ight)-Fleft( frac{{{K}_{1}}-np}{sqrt{npq}}
   ight)]
9. Посчитаем:
10. [np=1100cdot 0,01=11]
11. [sqrt{npq}=sqrt{11cdot 0,99}=sqrt{frac{11cdot 11cdot 9}{100}}=sqrt{frac{{{11}^{2}}cdot {{3}^{2}}}{{{10}^{2}}}}=frac{11cdot 3}{10}=3,3]
12. Осталось подставить числа в формулу:
13. [{{P}_{1100}}left( 0;19
    ight)approx Fleft( frac{19-11}{3,3}
    ight)-Fleft( frac{0-11}{3,3}
    ight)=]
14. [=Fleft( 2,42
    ight)+Fleft( 3,33
    ight)=]
15. [=0,49224+0,49960=0,99184approx 0,99]
16. Ответ: 0,99

Решение пункта а)

А теперь давайте разберемся с пунктом а). В нем от нас требуется, чтобы при тех же исходных данных, вычислить, что в итоге появится ровно 15 ошибок.

• Очевидно, что это идеальная задача для применения второй версии теоремы Муавра-Лапласса — не интегральной. Давайте я ее запишу:[]
• [{{P}_{n}}left( K
  ight)approx frac{1}{sqrt{npq}}cdot varphi left( frac{K-np}{sqrt{npq}}
  ight)]
• Выпишем известные данные:
• [n=1100]
• [p=0,01]
• [q=0,99]
• Решим:
• [{{P}_{1100}}left( 15
  ight)approx frac{1}{3,3}cdot varphi left( frac{15-11}{3,3}
  ight)approx 0,303cdot varphi left( 1,212
  ight)approx ]
• [approx 0,303cdot 0,1919approx 0,058]
• Ответ: 0,058.

Ключевые моменты

Вот и все, что я хотел вам рассказать об интегральной теореме Муавра-Лапласса, такой, на первый взгляд сложной, но очень простой на практике. Все, что вам необходимо — это

1. Знать сами формулы для обеих теорем Муавра-Лапласса, в том числе, интегральной.
2. Грамотно считать корни и элементы $np$, которые являются матожиданием.

Источник: https://www.berdov.com/works/teorver/integralnaya-teorema-muavra-laplasa/

Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

Рассмотрим еще две формулы, которые являются асимптотическими приближениями формулы Бернулли (2.4).

Теорема 2.5-

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Если в схеме Бернулли число испытаний п велико, при этом выполняется условие npq » 1, то справедлива приближенная формула

где

Используемая в асимптотической формуле (2.6) функция ф(.г) играет важную роль в теории вероятностей, поэтому существуют специальные таблицы, в которых приведены ее значения (см. приложение 1). Отметим, что при использовании данных таблиц следует учитывать, что функция ф(.г) четная, т.е. ф(-.г) = ф(.г). Другие применения и основные свойства этой функции будут рассмотрены в п. 4.6.

Теорема 2.6-

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Если в схеме Бернулли число испытаний п велико, тогда вероятность того, что событие/!, вероятность которого в каждом испытании равна р, произойдет отт1 до т2 раз, приближенно определяется формулой

Нетрудно видеть, что функция Ф(.г) является первообразной функции ф(.г). Она также играет важную роль в теории вероятностей, значения этой функции приведены в таблице (см. приложение 2).

Пример 2.7. В результате статистических наблюдений, проведенных страховой компанией, установлено, что страховой случай возникает у одного из ста страхователей. В компании застраховано 500 автомобилей. Какова вероятность того, что страховой случай наступит для 4 застрахованных автомобилей?

Решение 1. Вероятность наступления страхового случая для каждого автомобиля равнар = 0,01. Для вероятностир и числа застрахованных автомобилей п выполняются условия теоремы Пуассона. Определяя параметр X = 0,01 ? 500 = 5 и используя формулу (2.4), получим

Замечание. Применяя для вычислений калькулятор, можно убедиться, что, при решении примера 2.7 с использованием формулы Бернулли искомая вероятность равна

Таким образом, использование асимптотической формулы в данном примере позволяет получить результат с высокой точностью.

Решение 2. На этот раз для решения задачи воспользуемся асимптотической формулой (2.6). Для этого вычислим

Учитывая четность функции ф(.г), с помощью таблицы (см. приложение 1) находим

С помощью формулы (2.6) получим приближенное значение вероятности

Мы видим, что отличие асимптотического решения от точного составляет 8%, т.е. точность вычисления вероятности с использованием формулы (2.6) в этом случае ниже, чем при использовании формулы (2.5). Причиной этого является то, обстоятельство, что условие локальной теоремы Муавра—Лапласа npq » 1, в данном случае не выполняется, т.к. npq = 500 • 0,01( 1 — 0,01) = 4,95.

Источник: https://bstudy.net/706587/ekonomika/lokalnaya_integralnaya_teoremy_muavra_laplasa