Классическая электронная теория дисперсии — справочник студента

В данной теме будет рассмотрено действие поля световой волны на движение связанных в атоме заряженных частиц. Решение этой задачи позволит понять разнообразные физические явления, истолкование которых было невозможно с позиций классической электромагнитной теории света.

Соединение электромагнитной теории света и электронных явлений является заслугой нидерландского ученого Лоренца Х. А. Появлению этой фундаментальной теории предшествовал ряд наблюдений, опытов и попыток их обобщения.

В первую очередь рассмотрим дисперсию вещества, т. е. зависимость показателя преломления от длины волны проходящего света (или зависимость от длины волны фазовой скорости распространения электромагнитных волн). Напомним, что еще Ньютон поставил опыт (разложил белый цвет в спектр), наглядно иллюстрирующий зависимость N = N(L) (рис. 5.1).

Р и с. 5.1 Р и с. 5.2

Впоследствии, изучая преломление света в призмах, наполненных молекулами красителя, было обнаружено, что эта зависимость принимала более сложный вид (рис. 5.2).

Существует интервал длин волн, где поведение N аномально. Отрезок AB и CD, где Dn/DL  0 – описывает аномальную дисперсию.

Для описания нормальной дисперсии, исходя из упругостной теории света, была предложена формула Коши: Где A, B, C и т. д. – постоянные, L0 – длина волны в вакууме.

Обычно ограничиваются первыми двумя членами, так что: . Скорость изменения показателя преломления с изменением длины волны (Dn/DL) называют дисперсией вещества, которая характеризует свойства вещества. Все среды, за исключением абсолютного вакуума, обладают дисперсией.

Феноменологическая теория Максвелла, не содержащая никаких атомно-молекулярных констант, не давала объяснения дисперсии света. Для этого необходимы атомистические представления.

Дисперсия света возникает в результате Вынужденных колебаний заряженных частиц – электронов и ионов – под действием переменного поля электромагнитной волны.

В классической теории Лоренца строение колеблющихся систем – атомов и молекул — и их колебания описываются на основе классических представлений о движении и законов Ньютона.

При распространении электромагнитных волн в среде электрическая составляющая поля волны вызывает колебательные движения электронов и ядер, входящих в состав атомов и молекул среды. Колеблющиеся электроны и ядра сами становятся источниками вторичных электромагнитных волн той же частоты.

Эти вторичные волны налагаются друг на друга и вместе с падающей волной образуют полное результирующее поле в среде. Эффект сложения падающей волны с вторичными волнами эквивалентен изменению фазовой скорости волны в веществе.

Отношение фазовой скорости распространения волны в вакууме к скорости распространения ее в данной среде определяет численное значение показателя преломления данной среды, который является одной из важнейших ее характеристик.

В реальном веществе не вся энергия колеблющихся электронов и ядер испускается обратно в виде электромагнитных волн, а часть ее переходит в другие формы энергии и, главным образом, в тепловую.

Потерю энергии световым пучком, проходящим сквозь вещество, вследствие превращения ее в различные формы внутренней энергии вещества называют поглощением света.

Рассмотрим более подробно процесс взаимодействия электромагнитного поля волны с веществом. Как известно, подобное рассмотрение может быть проведено как в классическом, так и в квантовом приближении. Мы остановимся лишь на классическом подходе к рассмотрению взаимодействия излучения с веществом.

Макроскопическая теория взаимодействия излучения с веществом исходит из некоторой идеализированной модели строения вещества.

Наибольшей простотой отличается модель газообразной среды, так как для нее в первом приближении можно не учитывать взаимодействия атомов или молекул и, кроме того, можно считать, что действующее на отдельный атом поле совпадает со средним полем в веществе.

В таких условиях для получения макроскопического материального уравнения достаточно рассмотреть действие поля волны на изолированный атом.

Входящие в состав атома электроны можно разделить на внешние, или оптические, и электроны внутренних оболочек.

Собственные частоты электронов внутренних оболочек столь велики, что поле световой волны на них практически не влияет и лишь для рентгеновского излучения внутренние электроны становятся существенными.

При возбуждении атома (или смещении электрона из положения равновесия) со стороны частей этого атома и окружающих атомов будет действовать сила, стремящаяся вернуть электрон в положение равновесия, так что электрон будет совершать гармонические собственные колебания с определенной частотой. Как показывает опыт, изолированные атомы всех веществ способны испускать практически монохроматические волны с характерными для каждого вещества частотами, поэтому можно предположить, что сила, удерживающая электрон в положении равновесия или сила связи оптического электрона с атомом носит характер упругой силы и зависимость ее от смещения электрона (при условии, что это смещение невелико) определена законом где R— величина смещения электрона, B— соответствующая константа упругой связи.

Применяя к электрону в атоме законы классической механики, можно записать уравнение движения электрона (массы Т), смещенного из положения равновесия и предоставленного действию этой внутриатомной силы, которая носит упругий характер Из уравнения следует, что

Где R0 — амплитуда колебаний, W02 = B/M — круговая частота собственных колебаний электрона, причем W0 зависит от природы атома, определяющей величину константы B (значение W0 получено из уравнения после подстановки в него второй производной по времени от смещения электрона).

Собственная частота W0 атомного электрона может быть рассчитана только на основе квантовой теории атома. В рамках классической теории ее следует рассматривать как формально введенную постоянную.

Предположение о гармоническом характере колебаний электрона в атоме имеет лишь приближенный характер.

В действительности же, электрон, приведенный в колебание, постепенно отдает свою энергию, и, следовательно, амплитуда колебания с течением времени уменьшается.

Поэтому колебание атома не имеет строго гармонического характера и должно рассматриваться как затухающее. Даже в случае изолированного атома колебания будут затухающими, ибо энергия будет покидать атом, излучаясь во все стороны (радиационное затухание).

• Кроме затухания, неизбежно связанного с излучением, могут иметь место и другие причины растраты колебательной энергии, связанные с взаимодействием атомов между собой, причем в этих случаях энергия колебания может переходить и в другие формы (например, в тепло) увеличивая среднюю кинетическую энергию хаотического движения атомов среды.
• Затухание колебаний можно описать, вводя в уравнение движения излучающего заряда эффективную силу трения (сопротивления) таким образом, чтобы потеря энергии на излучение могла быть представлена как средняя работа этой силы, хотя никаких сил сопротивления в обычном смысле этого слова здесь нет.
• Сила эта, как показывает опыт, обычно мало искажает собственные колебания атомов, так что растраченная за период энергия составляет лишь ничтожную часть колебательной энергии атома. При таких условиях можно учесть эту силу, положив ее пропорциональной скорости движения электрона:
• , где коэффициент Q зависит от природы вещества.

В классическом приближении ядро атома в паре с каждым оптическим электроном можно моделировать затухающим Гармоническим осциллятором, характеризуемым определенной собственной частотой W0 и постоянной затухания G. А в целом, атом моделируется совокупностью гармонических осцилляторов с соответствующими собственными частотами и постоянными затухания.

Предполагаемая модель затухающего гармонического осциллятора, которая описывает поведение оптического электрона, выглядит чрезмерно упрощенной в свете современных представлений о строении атома. В атомных масштабах движение электрона подчиняется законам квантовой, а не классической физики.

Никаких квазиупругих сил и сил трения, пропорциональных скорости, в атомах нет. Строение атомов и молекул определяется кулоновскими силами взаимодействия электронов и ядер.

Но классическая физика оказалась не в состоянии объяснить на основе этих сил структуру и даже само существование атомов и молекул как устойчивых образований. Более точное описание атома дает только квантовая механика.

Для описанной выше модели гармонического осциллятора квантовая теория некоторых явлений, в частности, дисперсии и поглощения света, приводит к тем же результатам, что и классическая, хотя и с некоторыми особенностями, которые мы отметим.

Пусть в среде распространяется монохроматическая световая волна, длина волны которой должна быть много больше среднего расстояния между атомами или молекулами среды. Заряженные частицы, входящие в состав атома, и в первую очередь, электроны испытывают воздействие со стороны электрического и магнитного поля этой волны.

Это воздействие эквивалентно проявлению некоторой вынуждающей силы. Так как магнитное поле действует только на движущийся заряд, а скорость его пренебрежимо мала по сравнению со скоростью света, то магнитной силой можно пренебречь и ограничиться учетом действия лишь электрического поля волны, т. е.

на электрон будет действовать вынуждающая сила , где — напряженность электрического поля.

В разреженных газах, где расстояние между молекулами среды велико и можно пренебречь действием окружающих молекул, поляризованных проходящей световой волной, действующее поле можно заменить полем световой волны. Уравнение движения электрона в поле световой волны, с учетом ранее оговоренных сил, имеет вид .

Оно представляет собой уравнение движения при вынужденных колебаниях. Разделив все члены выражения на массу электрона M и учитывая, что

Приведем предыдущее уравнение к виду

В пределах элемента объема, малого по сравнению с длиной волны, электрическое поле волны можно считать однородным и изменяющимся со временем по гармоническому закону:

Нас будет интересовать не общее, а только частное решение уравнения, представляющее установившиеся вынужденные колебания электронов, частота которых совпадает с частотой вынуждающей силы.

Поэтому решение уравнения для смещения электрона можно искать в виде: Амплитуду вынужденных колебаний найдем, подставляя R и его производные, а также действующее поле в уравнение. В результате получим: .

1. Смещение электрона из положения равновесия в электрическом поле световой волны проявляется в том, что атом в электрическом поле приобретает дипольный момент, пропорциональный напряженности поля в случае изотропной среды: .
2. Зависящий от W коэффициент пропорциональности между и в формуле называется атомной поляризуемостью A(W):
3. Если в единице объема среды находится N атомов одного сорта и в каждом из них способен смещаться только один электрон, то электрический момент единицы объема, или поляризованность вещества, будет равен или
4. С другой стороны, если амплитуда напряженности поля волны много меньше напряженности внутриатомных электрических полей, то отклик вещества на поле можно считать линейным. Это значит, что поляризованность среды в пределах рассматриваемого элемента объема однородна и изменяется по гармоническому закону с частотой внешнего воздействия w и амплитудой, пропорциональной :

Направление вектора в изотропной среде, где нет физически выделенных направлений, совпадает с направлением вектора . Коэффициент пропорци-ональности C(W) между и , называемый диэлектрической восприимчи-востью, в изотропной среде является скаляром. Сравнивая выражения и видим, что .

При вынужденных колебаниях электронов вещества под действием электрического поля волны движение электронов, создающее поляризованность, в общем, происходит с отставанием по фазе от колебаний напряженности электрического поля.

Это запаздывание по фазе проявляется в том, что восприимчивость C(W) – комплексная величина. Когда затуханием элементарных осцилляторов можно пренебречь, отставания по фазе не будет и восприимчивость выражается вещественной величиной.

Восприимчивость, характеризующая распространение монохроматической волны, зависит от частоты волны W. Об этой зависимости говорят как о законе дисперсии восприимчивости. Вид функции C(W) определяется структурой вещества.

• Если ввести вместо напряженности электрического поля , вектор электрической индукции согласно, то уравнениям Максвелла для электромагнитных волн в веществе можно формально придать такой же вид, как и для вакуума. Поскольку вектор из дальнейшего рассмотрения такой заменой исключается, то целесообразно вместо функции восприимчивости C(W), связы-вающей и , ввести диэлектрическую проницаемость E(W), связывающую век-торы и в монохроматической волне:
• .
• Подставляя в значения и , определяемые соответственно выражениями и, получим связь между E(W) и C(W): E(W) = 1 + C(W)
• Или с учетом выражения получим окончательное решение упрощенной задачи дисперсии и абсорбции (поглощение) света: .

Источник: https://www.webpoliteh.ru/5-2-klassicheskaya-elektronnaya-teoriya-dispersii/

Элементарная (классическая) теория дисперсия

Взаимодействие света с веществом

Дисперсия света

Дисперсией света называется зависимость показателя преломления вещества от частоты (или длины) световой волны. Или зависимость фазовой скорости света в среде от его частоты (или длины волны). .

Впервые эту зависимость установил в 1672 году И. Ньютон, разлагая белый свет с помощью стеклянной призмы.

Зависимость показателя преломления среды от частоты или длины волны не линейна и не монотонна. Области значений частот (или длин волн), в которых , соответствует нормальной дисперсии света. Нормальная дисперсия наблюдается у веществ, прозрачных для света. Например, обычное стекло прозрачно для видимого света. Именно в этой области наблюдается нормальная дисперсия для них. На основе явления нормальной дисперсии основано разложение белого света стеклянной призмой в монохроматорах. Например, в монохроматоре УМ-2, который используется в лабораторных работах.

Дисперсия называется аномальной, если , т.е. с ростом частоты n показатель преломления n уменьшается. Аномальная дисперсия наблюдается в областях частот, соответствующих полосам интенсивного поглощения света в данной среде. Например, у обычного стекла в инфракрасной и ультрафиолетовой областях спектра.

Зависимость показателя преломления n от частоты n  и длины волны l приведены на рисунках.

• (U = v).
• Групповая скорость связана с циклической частотой и волновым числом следующим соотношением.
•       Возьмём полный дифференциал от w и k.

1. Можно записать.
2.  Зная, что с = l×n можно легко получит подобное выражение через длину волны.

При нормальной дисперсии U < v, т.к.

При аномальной дисперсии U > v и, в частности, если , то U > c. Этот результат не противоречит специальной теории относительности. Понятие групповой скорости правильно описывает распространение только такого сигнала (волнового пакета), форма которого не изменяется при перемещении сигнала в среде.

Строго говоря, это условие выполняется только для вакуума, т.е. в не диспергирующей среде. В области частот, соответствующих аномальной дисперсии, групповая скорость не совпадает со скоростью распространения сигнала, так как вследствие значительной дисперсии форма сигнала так быстро изменяется, что не имеет смысла говорить о групповой скорости.

Элементарная (классическая) теория дисперсия

Дисперсия света является результатом взаимодействия электромагнитной волны с заряженными частицами, входящими в состав вещества (электронами). Теория Максвелла не могла объяснить это явление, т.к. в те годы не было известно о сложном строении атома.

Классическая теория была разработана голландским физиком Х.А. Лоренцем (1853 – 1928). Это нобелевский лауреат 1902 года за предсказание эффекта расщепления спектральных линий в магнитном поле – эффект Зеемана.

Теория была разработана лишь после создания им же электронной теории строения вещества и после того как была получена формула, связывающая диэлектрическую проницаемость с поляризуемостью молекулы (формула Лорентца – Лоренца или Lorentz — Lorenz). Первый это датский физик Л.В.

Лорентц (1829 – 1891). В русской литературе фамилии этих ученых пишут одинаково, как Лоренц.

Лоренц показал, что показатель преломления , а относительная диэлектрическая проницаемость e также зависит от частоты ( ). Для видимого света частота n ~ 1015 Гц. В этом диапазоне частот существует только поляризация электрически упругого смещения. Смещаются в основном валентные электроны.

Под действием падающей световой волны происходят вынужденные колебания электронов в атомах вещества с частотой световой волны n.  При этом периодически изменяются дипольные электрические моменты атомов. Следовательно, атомы излучают вторичные электромагнитные волны, частота которых тоже n.

 Среднее расстояние между атомами вещества много меньше протяжённости одного цуга волн, следовательно, вторичные волны, излучаемые большим числом соседних атомов, когерентны, как между собой, так и с первичной волной.

При сложении этих волн они интерферируют, в результате этой интерференции и получаются все наблюдаемые оптические явления, связанные с взаимодействием света с веществом. Фаза вторичной волны будет другой, так как сказывается запаздывание смещения электрона из положения равновесия.

Смещение электрона становится заметным только при достижении электромагнитной волной определённой величины напряжённости электрического поля. Разность фаз между первичной и вторичной волнами будет постоянной. Скорость распространения фронта волны (фазовая скорость) зависит от результата сложения волн.

В однородном изотропном веществе в результате интерференции образуется проходящая волна, направление распространения которой совпадает с направлением первичной волны.

В оптически неоднородной среде (среде с разными показателями преломления n) сложение первичной и вторичной волн приводит к рассеянию света. Рассеяние света мы рассмотрим позже.

При падении света на границу раздела двух сред с разными показателями преломления в результате интерференции возникает не только проходящая (преломлённая) волна, но и отражённая волна. Отражение происходит не от геометрической поверхности раздела, а от более или менее значительного слоя частиц среды, прилегающих к границе раздела.

• Всё это общие качественные положения.
• Рассмотрим только элементарную теорию дисперсии в однородном изотропном диэлектрике.
• Наша цель – найти зависимость показателя преломления от частоты , а так как , то найдём вначале зависимость относительной диэлектрической проницаемости от частоты .
• Из электростатики мы знаем.
•                                                                                (1)

P – вектор поляризации или дипольный момент единицы объёма (в данном случае его проекция на направление внешнего электрического поля E); c — диэлектрическая восприимчивость среды. Тогда для показателя преломления можно записать.

                                                                                              (2)

Примем, что поляризация обусловлена смещением только валентных (оптических) электронов. Для атомов с одним оптическим электроном имеем.

1. Тогда вектор поляризации можно записать следующим образом.

p – дипольный электрический момент атома; n0 – концентрация атомов; r – смещение электрона. Знак (–) учитывает отрицательный заряд электрона.

• Тогда для показателя преломления имеем.
•                                                                                    (2')
• Таким образом, задача сводится к нахождению зависимости r = r(E).
• Оптический электрон совершает вынужденные колебания под действием следующих сил:
• а) возвращающей квазиупругой силы , где m и w0 – масса и частота незатухающих колебаний электрона;
• б) силы сопротивления (со стороны других атомов кристаллической решётки),
• , где b – коэффициент затухания;
• в) вынуждающей силы , где E – напряжённость электрического поля световой волны.
• Уравнение вынужденных колебаний имеет вид.
•                                                           (3)

В случае линейно поляризованного монохроматического света с циклической частотой w, , где E0 – амплитуда колебаний электрического поля световой волны. Тогда имеем.

1. Решение этого уравнения имеет вид.
2. j0 найдём из выражения.
3. Если среда не поглощает свет, то b = 0 и тогда решение будет иметь вид.
4.  Подставим последнее выражение в (2') и получим для показателя преломления.
5. Графическая зависимость показателя преломления от круговой частоты представлена на рисунке.
6. В классической теории предполагается, что каждый атом можно рассматривать как систему гармонических осцилляторов.

Атомы вещества тоже колеблются, поэтому внутреннее поле (поле остальных атомов) непостоянно во времени. Т.е. действительная картина получается более сложной.

Конечно, реально коэффициент затухания

b ¹ 0. Кроме того, у каждого атома наблюдается по нескольку характеристических полос поглощения. Тогда зависимость будет иметь более сложный вид.

Расчёт таких систем, как атомы и молекулы, а тем более в их взаимодействующей совокупности, следует вести по законам квантовой механики. Но квантовая механика привела к такому же результату, что и классическая теория. Квантовая механика более точно указала принципы нахождения сил, действующих на электрон, и частоты осцилляторов.

Поглощение света

При прохождении света (электромагнитной волны) через вещество его интенсивность уменьшается. В 1729 году французский учёный Пьер Бугер (1698 – 1758) открыл закон ослабления света в среде.

• Получим этот закон.
• На толщине слоя dx интенсивность света будет уменьшаться.
• В области линейной оптики коэффициент a ¹ f(I).
• Перепишем и проинтегрируем по всей толщине образца.
•  После интегрирования получаем.
• В итоге получаем.

a – коэффициент поглощения. Это величина обратная расстоянию, на котором интенсивность света уменьшается в l раз. Размерность – 1/м. Коэффициент поглощения зависит от природы вещества, длины волны.

При поглощении света энергия световой волны частично вновь возвращается излучению в виде вторичных волн, порождаемых электронами. Частично она переходит в энергию движения атомов, т.е.

во внутреннюю энергию вещества. Вынужденные колебания электронов, а, следовательно, и поглощение света становится особенно интенсивным при резонансных частотах поглощения.

А это наблюдается в области аномальной дисперсии.

Разные вещества по-разному поглощают свет.

Для одноатомных газов и паров металлов (у них атомы расположены далеко друг от друга и их можно считать изолированными) резкие линии поглощения наблюдаются лишь в узких спектральных областях. Это линейчатые спектры поглощения.

Спектры поглощения молекул, кроме этого определяются колебаниями атомов в молекуле и их вращением относительно центра масс и характеризуются полосами поглощения. Их ширина составляет 10-10 – 10-7 м. Более подробно молекулярные спектры мы рассмотрим в третьем семестре.

У твёрдых диэлектриков наблюдается селективное поглощение в относительно широких полосах поглощения. Их ширина составляет 10-7 – 10-6 м. Т.е. диэлектрики имеют сплошной спектр поглощения.

Газы при высоких давлениях, а также жидкости как твёрдые тела имеют широкие полосы поглощения.

По мере повышения давления газов максимумы поглощения, первоначально очень узкие, всё более расширяются, и при высоких давлениях спектр поглощения газов приближается к спектрам поглощения жидкостей.

Этот факт указывает на то, что расширение полос поглощения есть результат взаимодействия атомов друг с другом.

Металлы практически непрозрачны для света. Их коэффициент поглощения имеет значение на 5 – 6 порядков выше, чем у прозрачных диэлектриков, например, стекла. Это обусловлено наличием в металлах свободных электронов.

Под действием электрического поля световой волны свободные электроны приходят в движение – в металле возникают быстропеременные токи, сопровождающиеся выделением джоулевой теплоты.

Зависимостью коэффициента поглощения от длины волны объясняется окрашенность поглощающих тел.

Например, стекло слабо поглощающее красные и оранжевые лучи, но сильно поглощающее синие и зелёные лучи при освещении белым светом будет казаться красным. Если на это стекло направить синий или зелёный свет, то из-за сильного поглощения этих длин волн стекло будет казаться чёрным.

1. Это явление используется для изготовления светофильтров.
2. Разнообразие пределов селективного (избирательного) поглощения у различных веществ объясняет разнообразие и богатство цветов и красок, наблюдающееся в окружающем мире.
3. Рассеяние света
4. Рассмотрим этот вопрос только качественно и кратко.

Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 1540;

Источник: https://studopedia.net/1_56934_elementarnaya-klassicheskaya-teoriya-dispersiya.html

Электронная теория дисперсии

• Лекция «Взаимодействие электромагнитных волн с веществом»
• 1.Дисперсия света
• 2.Электронная теория дисперсии

3.Поглощение света. Закон Бугера

4.Излучение Вавилова- Черенкова

Дисперсия света

Дисперсия – это зависимость показателя преломления среды от частоты или длины волны. Более физично надо сказать, что дисперсия это зависимость фазовой скорости от частоты.

Следствием дисперсии является разложение призмой белого света в спектр. Данное явление впервые обнаружил Ньютон в 1672г. Угол отклонения Д лучей зависит от преломленного угла призмы Р и показатель преломления n. В призме наиболее сильно отклоняются фиолетовые лучи, а наибольшее слабо– красное. Следовательно, угол отклонения зависит от длины волны света.

nф> nкр

Призма, как и дифракционная решетка, является спектральным прибором, но в дифракционной решетке наиболее сильно отклоняются красные лучи. При помощи дифракционной решетки непосредственно определять длину волны падающего света. Призма же дает лишь зависимость угла отклонения от длины волны.

Отношение называется дисперсией вещества. Она показывает, как быстро изменяется показатель преломления среды с изменением длины волны. Чем больше длина волны, тем меньше n; или чем больше частота, тем больше n.

В формуле (1) при уменьшении длины волны увеличивается показатель преломления и соответственно увеличивается дисперсия. Такое поведение дисперсии называется нормальной. Вблизи линий и полос поглощения с уменьшением λ, показатель преломления уменьшается, соответственно уменьшается Д и такая дисперсия называется нормальной.

1. На явлении нормальной дисперсии основана работа спектрометров.
2. Электронная теория дисперсии
3. При изучении электромагнитной природы световых волн Максвеллом, им была получена формула, связывающая оптические, магнитные и электрические свойства среды.
4. (1) — формула Максвелла

Для видимого спектра для всех длин волн магнитная проницаемость µ, µ=1, а это значит, что показатель преломления , так как ε считается . На самом деле n зависит от частоты или λ, то есть электромагнитная теория Максвелла не объясняет явление дисперсии. Трудность объяснения дисперсии с точки зрения теории Максвелла устраняется в электронной теории дисперсии Лоренца. В теории Лоренца дисперсия рассматривается как результат взаимодействия электромагнитной волны с заряженными частицами, входящими в состав вещества и совершающими вынужденные колебания под действием переменного электрического поля.

χ- электрическая восприимчивость вещества

• где р — вектор мгновенной поляризации
• ε0- диэлектрическая проницаемость вакуума
• Е- напряженность электрического поля

(3)

Мы будем рассматривать прозрачный диэлектрик, в котором поляризуются электроны, то есть мы будем рассматривать электронную поляризацию.

Электронная поляризация, то есть вынужденные колебания электронов под действием падающей электромагнитной волны будет играть преобладающую роль по сравнению со всеми другими видами поляризации, так как частота падающего света приблизительно 1015Гц, то это слишком большая частота, чтобы поляризовать атомы в молекулы. В первом приближении можно считать, что вынужденные колебания совершает только самый внешний электрон. Этот электрон наиболее слабо связан с ядром атома и поэтому под действием оптической электромагнитной волны. Он начинает совершать вынужденные колебания. Внешний электрон в атоме называется оптический электрон, приобретает наведенный дипольный момент, который определяется формулой (4)

1. (4)
2. е— заряд электрона
3. х – смещение электрона
4. P=n0p (5)
5. Р — вектор мгновенной поляризации и р- наведенный дипольный момент связаны между собой формулой (5); n0- концентрация атомов в диэлектрике. Тогда формула (3) с учетом формул (4), (5) запишется как
6. (6)
7. Падающая световая волна описывается выражением E=E0coswt
8. E0- амплитудное значение напряженности электрического поля. Эта световая волна создает внешнюю вынуждающую силу, которая будет периодическим
9. F=eE=eE0coswt (7)
10. Тогда запишем все силы, движущие на электрон и найдем равнодействующую этих сил.
11. (8)
12. Формула (8) можно переписать в виде:
13. (9)
14. Так как мы рассматриваем прозрачный диэлектрик, то мы предполагаем, что затухание световых волн при прохождении через диэлектрик будет крайне незначительно, а это значит, что γ ≈→0 следовательно уравнение (9) можно записать как:
15. (9а)
16. Решением уравнения (9а) получено нами в классической механике и называется уравнение вынужденного колебания, его решением будет выражение
17. X=Acoswt (10)
18. А- амплитуда незатухающего колебания
19. (11)
20. m- масса электрона
21. w0- собственная частота внешнего электрона
22. w- частота падающей электромагнитной волны
23. Подставим в уравнение (6) формулу (10), (11)
24. (12)
25. Формула (12) описывает явления электронной дисперсии учитывающей колебания внешнего электрона. Если усложнить рассмотрение, то есть рассмотрим поляризацию не только внешнего электрона, но и всех имеющихся электрических зарядов, то формула, выражающая дисперсию примет вид:
26. (13)
27. N-число разных электрических зарядов

Формула (13) отражает явление дисперсии в наиболее общем виде. Рассмотрим дисперсию для газов, у которых n≈1. Будем работать с (12)

• (14) — показатель преломления в газах
• Проанализируем графически формулу (12), то есть рассмотрим, как изменится показатель преломления от частоты, падающей электромагнитной волны.
• Рассмотрим изменение частоты внешней электромагнитной волны от w=0, w= w0

в формуле (12) n2>1. При росте частоты от 0 до w0 знаменатель формулы (12) уменьшится, сама дробь увеличится, соответственно увеличится n. Он больше 1, то есть с ростом w до w0 увеличиться n среды, следовательно, наблюдается нормальная дисперсия. В точке w= w0 происходит разрыв функции и . При частоте w> w0 второе слагаемое в формуле (12) идет со знаком «- » и, следовательно, n2

Источник: https://megaobuchalka.ru/3/18315.html

Дисперсия света

Дисперсия света — это явление, обусловленное зависимостью показателя преломления п вещества от частоты ш или длины волны X света, т. е.

или

Дисперсией вещества называется производная показателя преломления по длине волны света

Следствием дисперсии света является разложение в спектр пучка белого света при прохождении его сквозь призму. Изучение этого спектра привело И. Ньютона к открытию дисперсии света.

2.4.1. Классическая электронная теория дисперсии света

Из электромагнитной теории (света) Дж. Максвелла следует, что показатель (абсолютный) преломления среды (п) связан с электрической (е) и магнитной (р) постоянными среды:

Для большинства сред в оптической области спектра р = 1, поэтому

Электромагнитная теория Дж. Максвелла не давала объяснения дисперсии, к тому же возникли противоречия теории с экспериментальными данными. Во-первых, согласно классической электродинамике,

тогда как показатель преломления п зависит от длины волны или частоты света.

Во-вторых, наблюдаются расхождения между экспериментальными и теоретическими значениямипоказателя преломления. Например, для воды тогда как пэксп = 1,33.

Дисперсия света возникает в результате вынужденных колебаний заряженных частиц (электронов и ионов) под действием переменного поля электромагнитной волны. Как известно, электроны, входящие в атом, можно разделить на оптические (периферийные) и электроны внутренних оболочек.

В теории дисперсии можно ограничиться рассмотрением только оптических электронов, так как практически только они влияют на излучение и поглощение света в оптической области спектра.

Рис. 2.25

Итак, за модель атома вещества принимаем положительное ядро, на расстоянии г от которого находится периферийный оптический электрон. Это электрический диполь (рис. 2.25), момент которого равен:

Выведенные из положения равновесия за счет действия внешнего электрического поля такие электроны начнут колебаться, постепенно теряя энергию колебаний на излучение.

Для учета затухания вводится «сила трения излучения», пропорциональная скорости.

Допустим, что в атоме имеется всего один оптический электрон, и он в классической теории дисперсии рассматривается как затухающий гармонический осциллятор, колебания которого в поле световой волны описываются уравнением

где т, е — масса и заряд электрона соответственно; Ьг — квазиупругая сила, стремящаяся вернуть электрон в положение равновесия; gr— сила сопротивления или торможения, введенная для учета поглощения света; Е — напряженность электрического поля, действующего на электрон. Считая коэффициент g малым, т. е. g —> 0, и разделив обе части уравнения (2.91) на т, получим

Решение уравнения (2.92), т.е. смещение оптического электрона г как функцию времени t, можно записать в виде

где со — частота электромагнитной волны, действующей на электрон (частота внешнего воздействия).

Пусть rK(t)— смещение/с-го электрона из положения равновесия, тогда проекция дипольного момента p(t) на направление вектора напряженности E(t) равна

С учетом (2.93) получим:

где со0к — собственные частоты электронов, входящих в состав молекул (атомов). Если N — число атомов (молекул) в единице объема, то вектор поляризации среды (по- ляризованность среды) будет равен

Согласно электростатике, диэлектрическая проницаемость равна

Изложенное выше справедливо и в том случае, если в среде могут существовать несколько видов зарядов (электронов и ионов, например, в газе) с различными собственными частотами ш0к, с различными зарядами ек и массами тк. Тогда формула (2.95) принимает вид

Рис. 2.26

Как видно из (2.96) в области частот от 0 < со < щк, где k = 1 (рис. 2.26) показатель преломления п больше единицы и возрастает при увеличении ш — это нормальный ход дисперсии.

Вблизи каждой из собственных

частот оо0к функция (2.26) претерпевает разрыв: при увеличении со к со0к слева п = +°°, при стремлении справа п = (см. пунктирные линии на рис. 2.26). Вобласти частот со0)С

Рис. 2.27

В пределах волнового пакета волны в большей или меньшей степени усиливают друг друга, вне пакета они практически полностью гасят друг друга.

В недиспергирующей среде все плоские волны, образующие пакет, распространяются с одинаковой фазовой скоростью и. Очевидно, что в этом случае скорость движения пакета совпадает с о, и форма пакета не меняется.

Рис. 2.28

Типы дисперсионных зависимостей

В диспергирующей среде скорости различных монохроматических волн, составляющих волновой пакет, различны, поэтому волновой пакет со временем расплывается.

В этом случае пакету можно приписать скорость и, под которой понимается скорость, с которой перемещается центр пакета, т. е. точка с максимальным значением Е. Эту скорость называют групповой скоростью.

Зависимость м = м(/г) называют дисперсионной зависимостью (рис. 2.28).

28, кривая а), то секущая наклонена сильнее касательной и о > и. В противном случае угол наклона касательной больше и и < и (рис. 2.28, кривая б). Линейный график ш(/г) соответствует условию и = и.

Функцию м = ш(&) можно определить, зная зависимость показателя преломления от длины волны или частоты: п = п(ш) или

п = п(Х), которая обычно называется дисперсией среды. Найдем связь групповой и фазовой скорости:

Перейдя к независимой переменной X с учетом соотношения X = 2n/k, получаем формулу Рэлея:

строго говоря, эта ситуация реализуется только в вакууме, но на практике бывает, что дисперсией можно пренебречь, например, при распространении света в воздухе;

с ростом длины волны; такую дисперсию называют нормальной, и в этом случае групповая скорость меньше фазовой, такой тип дисперсии типичен для прозрачных сред; функция ш = со(/е), показанная на рисунке 5.4, кривая а, соответствует нормальной дисперсии;

3. показатель преломления растет с ростом длины волны; такая дисперсия называется аномальной (см. рис. 2.28, кривая б), для областей аномальной дисперсии характерно превышение групповой скорости над фазовой и сильное поглощение света.

Отметим также, идеально монохроматическая волна не переносит какой-либо информации, поэтому теория относительности не накладывает каких-либо ограничений на фазовую скорость, и возможны среды, в которых п с.

Вследствие чего само понятие групповой скорости, как скорости перемещения импульса, нуждается в уточнении. При нормальной дисперсии (рис. 2.29а) максимум импульса отстает от переднего фронта, при аномальной (рис. 2.296) — максимум смещается вперед.

Рис. 2.29

Последний случай реализуется, например, при распространении поверхностных волн в жидкости в условиях уменьшающейся глубины водоема — так называемые волны прибоя.

В них как бы моделируется ситуация аномальной дисперсии: групповая скорость превосходит фазовую; вершина волны смещается вперед и даже переваливает через передний волновой фронт, вызывая обрушение волны.

Причиной возникновения волн прибоя является потеря ветровой энергии волны за счет трения о дно. Уже из этого примера понятно, что в условиях аномальной дисперсии волны не могут распространяться далеко — они затухают.

В оптике схожие деформации световых импульсов возникают в квантовых усилителях. Проходя через среду с инверсной населенностью, передняя часть импульса усиливается сильнее «хвоста», и максимум смещается вперед.

Наблюдающуюся в прозрачных средах зависимость диэлектрической проницаемости е, а следовательно, и показателя преломленния п, от частоты принято называть временной дисперсией. В этом случае фазовая и групповая скорости не совпадают по величине, но имеют одно и то же направление. В анизотропных средах фазовая и групповая скорости могут не совпадать и по направлению.

Следовательно, максимумы (как центры соответствующей группы волн) перемещаются со скоростью, представляющей собой групповую скорость

Отметим, что горбы и впадины складываемых волн по-прежнему распространяются каждая со своей фазовой скоростью и, а амплитуда суммарной волны распространяется с групповой скоростью и. Для нахождения связи между указанными скоростями сделаем следующие преобразования. С учетом (2.97) групповая скорость (2.102) принимает вид:

и, подставляя последнее выражение в (2.105), получим формулу Дж. Рэлея:

в зависимости от знака величины (или знака ,

см. формулу (2.88)).

Итак, общий ход дисперсии (увеличение показателя преломления при уменьшении длины волны) не всегда имеет место. Ф. Леру, наблюдая преломление в парах иода, обнаружил, что синие лучи преломляются меньше, чем красные лучи. Эту особенность Леру назвал аномальной дисперсией. Аномальный ход дисперсии наблюдается и в жидкостях.

В результате систематических исследований А. Кундт установил закон, согласно которому явление аномальной дисперсии тесно связано с поглощением света: все тела, обладающие аномальной дисперсией в какой-либо области, сильно поглощают свет в этой области длин волн (или частот).

Изучению аномальной дисперсии в парах натрия посвящены работы Д. С. Рождественского. Он использовал интерференционные методы для точного измерения зависимости показателя преломления паров натрия от длины волны, причем расхождения между теорией и экспериментом не превышали 2-3%.

Рис. 2.30

Дисперсионные зависимости

Дальнейшие исследования показали, что полная дисперсионная картина для любого вещества состоит из областей аномальной дисперсии и областей нормальной дисперсии, расположенных между полосами поглощения (рис. 2.30).

На дисперсии волн основаны принципы действия радиотехнических, оптических устройств: антенн с частотным сканированием, рефрактометров, спектральных приборов, в частности, призменных спектрографов и спектроскопов (рис. 2.31).

Рис. 2.31

Наблюдение дисперсии методом скрещенных призм (о) и фотографии дисперсионных кривых в методе крюков (б)

Призменный спектрограф, основная часть которого — одна или несколько призм, служит для получения и одновременной регистрации фотографическим методом спектра излучения.

Спектрограф применяют для промышленных и научных исследований спектров веществ, в астрономических исследованиях физических свойств и движения небесных объектов.

Спектроскоп — оптический прибор для визуального наблюдения спектра излучения. Основным элементом прибора, разлагающим излучение в спектр, является призма.

Page 3

1. Что такое дисперсия света? 1) Зависимость показателя преломления от длины волны; 2) зависимость показателя преломления от диэлектрической проницаемости вещества; 3) отклонение света от прямолинейного распространения; 4) распределение энергии излучения по частотам; 5) среди ответов нет правильного. Что называют дисперсией вещества? 1) Зависимость п = 2) зависимость углового расстояния между спектральными линиями от длины волны; 4) зависимость линейного расстояния между спектральными линиями от длины волны; 5) среди ответов нет правильного. [1] [2] [3] [4] 3) электроны, наиболее близко расположенные к ядру; 4) электроны, вырванные под действием фотоэффекта; 5) среди ответов нет правильного. 4. Что называют аномальной дисперсией? 1) Дисперсию света; 2) дисперсию вещества; 3) уменьшение л(л) по модулю с уменьшением Л; 4) увеличение по модулю с увеличением X; 5. Какие силы внутри атомов приводят к аномальной дисперсии? 1) Силы внутриядерных взаимодействий; 2) силы гравитации; 3) силы диссипативного трения, приводящие к реакции излучения; 4) силы трения обычные; 5) межъядерные взаимодействия. 6. Что называют групповой скоростью волны? 1) Скорость энергетического максимума волнового пакета; 2) скорость распространения волнового фронта; 3) скорость волны в вакууме; 4) скорость нулевой гармоники; 5) скорость энергетического минимума волнового пакета. [5] 8. Откуда следует формула для показателя преломления света п = 1) Из уравнений Максвелла; 2) из геометрической оптики; 3) из теории дифракции; 4) из закона сохранения энергии; 5) из электронной теории дисперсии света. 9. Что лежит в основе элементарной электронной теории дисперсии? 1) Модель атома по Резерфорду; 2) модель атома по Томсону; 3) определение смещения электрона в атоме под действием внешнего поля Е; 4) определение смещения электрона в атоме под действием внешнего магнитного поля Н; 5) электромагнитная теория Максвелла. 10. В электронной теории дисперсии используется следующее: 1) поглощение и рассеяние света веществом; 2) составление дифференциальных уравнений колебаний электронов; 3) вариационное исчисление; 4) тензорный анализ; 5) уравнения Максвелла. [6] 12. В недиспергирующей среде групповая скорость 1) равна скорости света в вакууме; 2) равна нулю; 3) совпадает с фазовой скоростью; 4) не совпадает с фазовой скоростью; 5) меняется с течением времени. 13. Скорость распространения волнового пакета 1) совпадает с групповой скоростью; 2) совпадает с фазовой скоростью; 3) равна скорости света; 4) меньше скорости света; 5) превышает скорость света. 14. Фазовая скорость равна 15. Кто впервые обнаружил явление дисперсии? 1) Ф. Леру; 2) И. Ньютон; 3) Д. С. Рождественский; 4) X. Лоренц; 5) Д. Рэлей.

  Посмотреть оригинал

Источник: https://ozlib.com/822685/fizika/dispersiya_sveta

Классическая электронная теория дисперсии света

Формально дисперсия света — следствие зависимости

[учли (14.4), (9.8) и (18.6), кн. 3], где е — диэлектрическая проницаемость среды; р — магнитная проницаемость среды (для оптически прозрачных тел р= 1); ж — диэлектрическая восприимчивость среды.

Из формул (35.1) и (33.1) следует, что п является, с одной стороны,переменной величиной (зависит от X), а с другой — постоянной (е = const).

Это противоречие, а также не согласующиеся с опытом значения п по формуле (35.1) показывают, что теория Максвелла не позволяет объяснить дисперсию света.

Указанные противоречия устраняются классической электронной теорией, согласно которой дисперсия света рассматривается как результат взаимодействия электромагнитных волн с заряженными частицами вещества, совершающими вынужденные колебания в переменном электромагнитном поле волны.

Перепишем формулу (35.1) в виде

Учитывая, что мгновенное значение поляризованное™ Р — хе0Е [см. (18.2), кн. 3|, выражение (35.2) приведется к виду

Основную роль играет электронная поляризация, т. е. вынужденные колебания электронов под действием электрической составляющей поля волны, так как для ориентационной поляризации молекул частота колебаний в световой волне (v = 1015 Гц) очень высока.

Электроны, входящие в атом, делятся на внешние, или оптические, и электроны внутренних оболочек.

С излучением оптического диапазона взаимодействуют только внешние электроны, поскольку собственные частоты электронов внутренних оболочек настолько велики, что их колебания в поле световой волны практически не возбуждаются. Поэтому электронная теория дисперсии рассматривает только оптические электроны.

Ради простоты рассмотрим колебания одного оптического электрона. Наведенный дипольный момент электрона, совершающего вынужденные колебания,

где е — заряд электрона; х — смещение электрона под действием электрического поля световой волны. Если концентрация атомов в диэлектрике равна /70, то мгновенное значение поляризованное™

Подставив выражение (35.4) в (35.3), найдем

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний оптического электрона (предполагается, что среда света не поглощает, а следовательно, не учитывается сила сопротивления, обусловливающая поглощение энергии падающей волны)

Решением уравнения (35.6) является

где

в чем можно убедиться подстановкой.

Подставив выражения (35.7) и (35.8) в (35.5), получим дисперсионную формулу (без учета затухания):

т. е. показатель преломления п зависит от частоты со внешнего ноля, и выражение (35.9) действительно подтверждает наличие дисперсии света.

Из формулы (35.9) следует, что в области от со = 0 до со < со() п- больше единицы и возрастает с увеличением со (нормальная дисперсия); при со = со0 о — = + оо; в области от со > со0 до (о = «о п2 меньше единицы и возрастает от — ~ до 1 (нормальная дисперсия).

График зависимости о до со (дисперсионная кривая) представлен на рис. 54. Подобное поведение показателя преломления вблизи собственной частоты со0 получилось в результате допущения об отсутствии сил сопротивления при колебаниях электронов.

Если принять в расчет и это обстоятельство, то график функции п (со) вблизи со0 задается пунктирной линией А В.

Область АВ — область аномальной дисперсии (п убывает при возрастании со), остальные участки зависимости о от со описывают нормальную дисперсию (и возрастает с возрастанием со).

Рис. 54

Если учесть, что в молекуле содержатся оптические электроны с набором частот to0i, то дисперсионная формула (без учета затухания) получается в виде

Общий ход дисперсионной кривой (с учетом затухания) для данного случая представлен на рис. 55. Вблизи каждой из частот наблюдается аномальная дисперсия. Формула (35.10) экспериментально подтверждена Д.С. Рождественским при излучении аномальной дисперсии в парах натрия.

Рис. 55

Источник: https://bstudy.net/735158/spravochnik/klassicheskaya_elektronnaya_teoriya_dispersii_sveta