Информатика, 10 класс. Урок № 9.
Тема урока — Арифметические операции в позиционных системах счисления
Урок посвящен теме «Арифметические операции в позиционных системах счисления»». В ходе урока школьники научатся складывать, вычитать, умножать и делить в разных позиционных системах счисления.
- Ключевые слова:
- — позиционные системы счисления,
- — арифметические операции в системе счисления с основанием q,
- — таблица сложения,
- — таблица умножения.
- Учебник:
— Информатика. 10 класс: учебник / Л. Л. Босова, А. Ю. Босова. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2016. — 288 с.
— Математические основы информатики: учебное пособие / Е. В. Андреева, Л. Л Босова, И. Н. Фалина — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. — 328 с.
Мы продолжаем изучать позиционные системы счисления. Вы узнали, что позиционные системы счисления бывают разные: десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Вы научились переводить числа из одной системы счисления в другую.
Но зачем нам с вами это надо? Конечно для того, чтобы производить расчеты. С 1 класса нас учат производить расчеты в десятичной системе счисления.
А как вы думаете, можно ли производить расчеты в произвольной позиционной системе счисления? И зачем это нужно?
Двоичная система счисления издавна была предметом пристального внимания многих ученых. Первый кто заговорил о двоичном кодировании, был Лейбниц Готфрид Вильгельм. Он написал трактат «Expication de l'Arithmetique Binary» — об использовании двоичной системы счисления в вычислительных машинах.
В рукописи на латинском языке, написанной в марте 1679 года, Лейбниц разъясняет, как выполнять вычисление в двоичной системе, в частности умножение, а позже в общих чертах разрабатывает проект вычислительной машины, работающей в двоичной системе счисления. Вот что он пишет: « Вычисления такого рода можно было бы выполнять и на машине».
Эти слова подчеркивают универсальность алфавита, состоящего из двух символов.
- Все позиционные системы счисления “одинаковы”, а именно, во всех них выполняются арифметические операции по одним и тем же правилам:
- — справедливы одни и те же законы арифметики: коммутативный (переместительный), ассоциативный (сочетательный), дистрибутивный (распределительный);
- — справедливы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком.
- Мы узнаем на уроке:
- как строить таблицы сложения и умножения в заданной позиционной системе счисления;
- как выполнять сложение, умножение, вычитание и деление чисел, записанных в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления;
- как подсчитывать количество единиц в двоичной записи числа, являющегося результатом суммирования или вычитания степеней двойки.
Арифметические операции в позиционных системах счисления с основанием q выполняются по правилам, аналогичным правилам, действующим в десятичной системе счисления.
Рассмотрим сложение.
Чтобы в системе счисления с основанием q получить сумму S двух чисел A и B, надо просуммировать образующие их цифры по разрядам i справа налево:
- если ai + bi < q, то si = ai + bi, старший (i + 1)-й разряд не изменяется
- если ai + bi ≥ q, то si = ai + bi – q, старший (i + 1)-й разряд увеличивается на 1
Можно составить таблицу сложения:
Давайте рассмотрим правило сложения на примере в двоичной системе счисления
Это мы рассмотрели сложение в двоичной системе счисления, а теперь сложим два числа в троичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системе счисления.
- — 1 + 2 = 3 ≥ 3 записываем 3 – 3 = 0 под 1-м разрядом, а 2-й разряд увеличиваем на 1
- — 1 + 2 = 3 ≥ 3записываем 3 – 3 = 0 под 2-м разрядом, а 3-й разряд увеличиваем на 1
- — 1 + 1 + 2 = 4 ≥ 3записываем 4 – 3 = 1 под 3-м разрядом, а 4-й разряд увеличиваем на 1
- — 1 + 1 = 2 < 3записываем 2 под 4-м разрядом
- Сложим в восьмеричной и шестнадцатеричной системе счисления.
Теперь разберём вычитание в системах счисления с основанием q.
- Чтобы в системе счисления с основанием q получить разность R двух чисел A и B, надо вычислить разности образующих их цифр по разрядам i справа налево:
- — если ai ≥ bi, то ri = ai – bi, старший (i + 1)-й разряд не изменяется
- — если a i < b i , то ri = q + ai – bi ,
- старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1
- Рассмотрим правило вычитания в двоичной системе счисления на примере.
Рассмотрим правило вычитания в троичной системе счисления, где q=3
- 1 ≥ 0 записываем 1 – 0 = 1 под 1-м разрядом
- 0 < 1записываем 3 + 0 – 1 = 2 под 2-м разрядом, делая заем в 3-м разряде
- 0 < 2записываем 3 + 0 – 2 = 1 под 3-м разрядом,делая заем в 4-м разряде
- 0 = 0записываем 0 под 4-м разрядом
- 0 < 1записываем 3 + 0 – 1 = 2 под 5-м разрядом,
делая заем в 6-м разряде
В восьмеричной и шестнадцатеричной системе выполним вычитание.
Как же выполняется умножение чисел в системе счисления с основанием q? Если мы рассмотрим таблицы умножения в двоичной, троичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления, то увидим, что алгоритм умножения точно такой же, как и в десятичной системе.
Чтобы в системе счисления q получить произведение M многозначного числа A и однозначного числа b, надо вычислить произведения b и цифр числа A по разрядам i:
- если ai · b m, получаем:
- Так как в задаче надо найти единицы, то получаем:
- Итого: 1 + 1 + 218 + 1 + 1 = 222.
- Давайте разберем еще одну задачу.
- Найдём количество цифр в восьмеричной записи числа, являющегося результатом десятичного выражения: 2299 + 2298 + 2297 + 2296.
- Решение:
- Двоичное представление исходного числа имеет вид:
- все операнды представить в привычной нам десятичной системе счисления;
- вычислить результат выражения в десятичной системе счисления;
- перевести результат в требуемую систему счисления.
- Для работы с десятичными числами вида 2n, полезно иметь ввиду следующие закономерности в их двоичной записи:
- Для натуральных n и m таких, что n > m, получаем:
- Тренировочный модуль.
- 1 задание
- Выберите выражения, значения которых одинаковые.
- Возьми карандаш и подчеркни результат сложения
- 145 + 325
- 225 1035 435 1015
- Реши кросснамбер
- По вертикали:
- 1. Найди сумму и запиши в двоичной системе счисления 1538 + F916
- 3. Найди произведение и запиши в двоичной системе счисления 1223 * 112
- 6. Выполни операцию деления 100100002 / 11002
- 7. Реши пример, ответ запиши в десятичной системе счисления (5648 + 2348) * C16
- По горизонтали:
- 2. Разность двоичных чисел 11001100 — 11111
- 4. Найти разность 1678 – 568
- 5. Выполнить операцию деления 416128 / 128
- 8. Найти разность 12E16 – 7916 ответ запиши в десятичной системе счисления
- Проверь себя:
- Восьмеричная система
- Алгоритм перевода восьмеричного числа в двоичную систему счисления
- Алгоритм перевода двоичного числа в восьмеричную систему счисления
- Вопросы и задания
- Задачи
- Оказывается, можно сделать перевод из восьмеричной системы в двоичную напрямую, используя тесную связь между этими системами: их основания связаны равенством 23 = 8.
- Покажем это на примере восьмеричного числа 7538. Запишем его в развёрнутой форме:
- 7538 = 7 • 82 + 5 • 81 + 3 • 80 — 7 • 26 + 5 • 23 + 3 • 20.
- Теперь переведём отдельно каждую цифру в двоичную систему:
- 7 = 1112 = 1 • 22 + 1 • 21 + 1 • 20,
- 5 = 1012 = 1 • 22 + 1 • 20,
- 3 = 112 = 1 • 21 + 1 • 20.
- Подставим эти выражения в предыдущее равенство:
- 7538 = (1 • 22 + 1 • 21 + 1 • 20) • 26 + (1 • 22 + 1 • 20) • 23 + (1 • 21 + 1 • 20) • 20.
- Калькулятор перевода чисел между систем счисления онлайн.
- Вы можете выполнить перевод числа из одной системы счисления в любую другую.
- Калькулятор покажет подробный ход решения.
- Калькулятор
- Инструкция
- Теория
- История
- Сообщить о проблеме
- Вы ввели число: 436258 в восьмеричной системе счисления и хотите перевести его в шестнадцатиричную.
- 436258 = 4∙84+3∙83+6∙82+2∙81+5∙80 = 16384+1536+384+16+5 = 1832510
- Получилось: 1832510
- Переведем 1832510 в шестнадцатиричную систему вот так:
- Введите число которое надо перевести.
- Укажите его систему счисления.
- Укажите в какую систему счисления переводить.
- Нажмите кнопку «Перевести».
- Научиться переводить число из одной системы счисления в другую очень просто.
- Любое число может быть легко переведено в десятичную систему по следующему алгоритму:
- Каждая цифра числа должна быть умножена на основание системы счисления этого числа возведенное в степень равное позиции текущей цифры в числе справа налево, причём счёт начинается с 0.
- Пример 1:
- Переведем таким способом двоичное число 1010012 в восьмеричное:
- 101 0012 => 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 0 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 => 518.
- Для упрощения перевода можно заранее подготовить таблицу преобразования двоичных триад (групп по 3 цифры) в восьмеричные цифры:
- Системы счисления. Восьмеричные и шестнадцатеричные числа
- На прошлых уроках мы с Вами изучили двоичные числа: научились складывать и вычитать, умножать и делить их, а также переводить числа из двоичной в десятичную систему счисления и наоборот.
- Сейчас мы рассмотрим еще две системы счисления, которые, как и двоичная, часто используются в информатике – это восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.
- А) (55)8; (+)
- Б) (56)8;
- В) (215)8;
- Г) (216)8.
- А) (110011)2;
- Б) (1110010)2; (+)
- В) (110111)2;
- Г) (110101)2.
- А) (AE4D)16; (+)
- Б) (AED)16;
- В) (A4ED)16;
- Г) (DEA)16.
- А) (101101011)2;
- Б) (1011101011)2;
- В) (10110101011)2; (+)
- Г) (10110101001)2.
- А) (11101111)2;
- Б) (10111111)2;
- В) (10101111)2; (+)
- Г) (10101001)2.
- Записать шестнадцатеричное число в двоично-шестнадцатеричном виде — это значит заменить каждую шестнадцатеричную цифру на соответствующую двоичную тетраду. Например:
- С81F,1D16 > 1100 1000 0001 1111,0001 11012–16
- Переведем данное шестнадцатеричное число сначала в десятичную систему счисления, а затем в двоичную систему. Получим:
- 1) Переведем число в восьмеричную систему путем последовательного деления на 8 целой части и последовательного умножения на 8 дробной части числа. Получим:
- 1369,75 = 2531,68
- 2) Путем перекодировки по двоично-восьмеричной таблице переведем это число в двоичную систему счисления:
- 2531,68 = 10 101 011 001,1102
- 3) Разделив цифры двоичного числа на тетрады (влево и вправо от запятой), переведем двоичное число в шестнадцатеричную систему, используя двоично-шестнадцатеричную таблицу:
- 0101 0101 1001,11002 = 559,С16
- Вопросы и задания
- Пример сложения и вычитания пятеричных чисел
- Таблица умножения пятеричной системы
- В режиме отображения значений электронная таблица будет иметь следующий вид:
- Таблица создается в такой последовательности:
- Таблица готова!
- Здесь используются две стандартные функции электронных таблиц:
- ЦЕЛОЕ(число) — выделение целой части числа, стоящего в аргументе;
- ОСТАТ(число; делитель) — остаток целочисленного деления (аналог операции mod в Паскале).
- Учимся программировать
- Program Tabl_mul;
- var X,Y,Z,p: integer;
- begin
- write('Input p (2 < p < = 10):');
- readln(p); {Ввод основания системы}
- writeln(P,'-system multiplication table');
- {Изменение первого сомножителя}
- for X := 1 to p — 1 do
- begin
- {Изменение второго сомножителя}
- for Y := 1 to p — 1 do
- begin
- {Вычисление произведения и перевод
- в р-ичную систему}
- Z := (X * Y div p) * 10 + (X * Y) mod p;
- {вывод произведения без перевода строки}
- write(Z:3)
- end;
- writeln {перевод строки}
- end
- end.
- Input p (2 < p
- В шестнадцатеричной системе счисления базисными цифрами являются цифры от 0 до 15 включительно. Для обозначения базисных цифр больше 9 одним символом кроме арабских цифр 0…9 в шестнадцатеричной системе счисления используются буквы латинского алфавита:
- 1010 = A16 1210 = C16 1410 = E16
1110 = B16 1310 = D16 1510 = F16. - Например, число 17510 в шестнадцатеричной системе счисления запишется как AF16. Действительно,
- 10·161+15·160=160+15=175
- В таблице представлены числа от 0 до 16 в десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.
- Пример: Преобразовать число 1101110,012 в восьмеричную систему счисления.
- Объединяем двоичные цифры в триады справа налево. Получаем
- 001 101 110,0102 = 156,28.
- Чтобы перевести число из восьмеричной системы в двоичную, нужно каждую восьмеричную цифру записать ее двоичным кодом:
- 156,28 = 001 101 110,0102.
- Пример: Преобразовать число 1101110,112 в шестнадцатеричную систему счисления.
- Объединяем двоичные цифры в тетрады справа налево. Получаем
- 0110 1110,11002 = 6E,C16.
- Чтобы перевести число из шестнадцатеричной системы в двоичную, нужно каждую шестнадцатеричную цифру записать ее двоичным кодом:
- 6E,C16 = 0110 1110,11002.
- «Компьютерные» системы счисления
- Планируемые образовательные результаты:
- предметные – навыки перевода небольших десятичных чисел в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления, и восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в десятичную систему счисления;
- метапредметные – умение анализировать любую позиционную систему счисления как знаковую систему;
- личностные – понимание роли фундаментальных знаний как основы современных информационных технологий.
- Решаемые учебные задачи:
- 1) рассмотрение восьмеричной системы счисления как знаковой системы;
- 2) рассмотрение правила перевода восьмеричных чисел в десятичную систему счисления;
- 3) рассмотрение правила перевода целых десятичных чисел в восьмеричную систему счисления;
- 4) рассмотрение шестнадцатеричной системы счисления как знаковой системы;
- 5) рассмотрение правила перевода шестнадцатеричных чисел в десятичную систему счисления;
- 6) рассмотрение правила перевода целых десятичных чисел в шестнадцатеричную систему счисления;
- 7) характеристика двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления с точки зрения их использования в компьютерной технике.
- Основные понятия, изучаемые на уроке: система счисления; цифра; алфавит; позиционная система счисления; основание; развѐрнутая форма записи числа; свѐрнутая форма записи числа; двоичная система счисления; восьмеричная система счисления; шестнадцатеричная система счисления.
- Используемые на уроке средства ИКТ: персональный компьютер (ПК) учителя, мультимедийный проектор, экран; ПК учащихся.
- Электронные образовательные ресурсы
- презентация «Системы счисления» из электронного приложения к учебнику;
- ресурсы федеральных образовательных порталов:
-
Орг. Момент
-
Актуализация знаний, проверка усвоения изученного материала
- 1) проверка изученного материала по вопросам к §1.1;
- 2) визуальная проверка выполнения заданий в РТ;
- 3) рассмотрение заданий, вызвавших затруднения при выполнении
- домашнего задания;
- 4) заслушивание краткого сообщения о методе разностей и алгоритме
- выполнения № 21 (если есть ученик, выполнивший это задание).
-
Изучение нового материала
- Новый материал излагается в сопровождении презентации «Системы
- счисления».
- После краткого рассмотрения вопросов, связанных с восьмеричной
- системой счисления, можно предложить ученикам в течение 5–7 минут
- самостоятельно выполнить № 18.
- В процессе изложения материала рекомендуется начать выполнение
- заданий № 26, 27 и 31 в РТ.
- Ответы и решения к заданиям в РТ.
- № 18. Если соединить точки 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-
Эти соотношения позволят подсчитать количество «1» в выражении без вычислений. Двоичные представления чисел 24032 и 24000 внесут в двоичное представление суммы по одной «1». Разность 22018 – 21800 в двоичной записи представляет собой цепочку из 218 единиц и следующих за ними 1800 нулей. Слагаемые 22 и 21 дают ещё 2 единицы.
Всего в этой записи 300 двоичных символов. При переводе двоичного числа в восьмеричную систему счисления каждая триада исходного числа заменяется восьмеричной цифрой. Следовательно, восьмеричное представление исходного числа состоит из 100 цифр.
Ответ: 100 цифр
Итак, сегодня вы узнали, что арифметические операции в позиционных системах счисления с основанием q выполняются по правилам, аналогичным правилам, действующим в десятичной системе счисления. Если необходимо вычислить значение арифметического выражения, операнды которого представлены в различных системах счисления, можно:
Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/5423/conspect/
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления
Главная | Информатика и информационно-коммуникационные технологии | Планирование уроков и материалы к урокам | 10 классы | Планирование уроков на учебный год (по учебнику К.Ю. Полякова, Е.А. Еремина, полный углубленный курс, 4 часа в неделю) | Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления
§13. Шестнадцатеричная система счисления
§12. Восьмеричная система счисления
Восьмеричная система
Восьмеричная система счисления (система с основанием 8) использовалась для кодирования команд во многих компьютерах 1950-1980-х гг. (например, в американской серии PDP-11, советских компьютерах серий ДВК, СМ ЭВМ, БЭСМ). В ней используются цифры от 0 до 7.
Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему проще всего использовать стандартный алгоритм для позиционных систем (деление на 8, выписывание остатков в обратном порядке). Например:
Для перевода из восьмеричной системы в десятичную значение каждой цифры умножают на 8 в степени, равной разряду этой цифры, и полученные произведения складывают:
Более интересен перевод из восьмеричной системы в двоичную и обратно. Конечно, можно перевести число сначала в десятичную систему, а потом — в двоичную. Но для этого требуется выполнить две непростые операции, в каждой из них легко ошибиться.
Раскрывая скобки, мы получим разложение исходного числа по степеням двойки, т. е. его запись в двоичной системе счисления (здесь добавлены нулевые слагаемые для отсутствующих степеней числа 2):
Таким образом, 7538 = 111 101 0112. Двоичная запись разбита на триады (группы из трёх цифр), каждая триада — это двоичная запись одной цифры исходного восьмеричного числа.
Следующая страница Алгоритм перевода восьмеричного числа в двоичную систему счисления
Cкачать материалы урока
Источник: https://xn—-7sbbfb7a7aej.xn--p1ai/informatika_10_136_pol/informatika_materialy_zanytii_10_136_pol_13.html
Перевод чисел из одной системы счисления в любую другую онлайн
| Поставить LIKE | и поделиться ссылкой |
Перевод 43625 из восьмеричной в шестнадцатиричную CC
Осуществлен перевод числа: 43625 из восьмеричной системы счисления в шестнадцатиричную систему счисления. Дата и время данного расчета 2019-09-14 14:19 МСК
| Результат: |
| 4795 Показать как оно получилось |
Ура!!! Вам стало интересно как получилось данное число
Для этого переведем его сначала в десятичную вот так : Целая часть числа находится делением на основание новой
| 18325 | 16 | ||
| -18320 | 1145 | 16 | |
| 5 | -1136 | 71 | 16 |
| 9 | -64 | 4 | |
| 7 | |||
Получилось:1832510 = 479516 Результат перевода:
436258 = 479516
Вы можете отблагодарить нас:
Калькулятор перевода чисел имеет одно поле для ввода. В это поле необходимо ввести число которое Вы хотите перевести.
После этого Вам обязательно нужно указать в какой системе счисления Вы его ввели. Для этого под полем ввода есть графа «Его система счисления».
Если Вы не нашли своей системы, то выберите графу «другая» и появится поле ввода . В это поле необходимо вписать основание системы одним числом без пробелов. Далее необходимо выбрать в какую систему хотите перевести данное число. Если Вы опять не нашли нужной системы то введите ее в графе «другая».
После нажмите кнопку «ПЕРЕВЕСТИ» и результат появится в соответствующем поле. Если Вы хотите получить подробный ход решения, то нажмите на соответствующую ссылку.
Сообщите нам о возникшей проблеме в результате расчета на этом калькуляторе.
Попробуйте новый сайт: Перейти
Источник: https://calculatori.ru/perevod-chisel.html?id=944319
Лекция: Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления
Определение, правила перевода целых чисел из одной системы счисления в другую, включая двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные. Представление чисел в оперативной памяти компьютера. Представление дробных чисел в различных системах счисления.
Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).
Существуют системы позиционные и непозиционные. В непозиционных системах счисления вес цифры не зависит от позиции, которую она занимает в числе. Так, например, в римской системе счисления в числе XXXII (тридцать два) вес цифры X в любой позиции равен просто десяти.
В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число. Любая позиционная система характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.
За основание можно принять любое натуральное число — два, три, четыре, шестнадцать и т. д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.
Десятичная система счисления
Эта система пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н. э. В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция).
В десятичной системесчисления особую роль играют число 10 и его степени; 10, 100, 1000 и т. д. Крайняя правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа — число десятков, следующая — число сотен и т. д.
Причина наибольшей распространенностидесятичной системы счисления состоит в том, что первым счетным аппаратом человека являлись его руки. Число пальцев и стало отправным пунктом для системы счета.
Двоичная система счисления
В этой системе всего две цифры — 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т. д. Крайняя правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра — число двоек, следующая — число четверок и т. д.
Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число — представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи.
Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически.
Восьмеричная система счисления
В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает — как и в десятичном числе — просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем 64 и т. д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное).
Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611 (восьмеричное), надо заменить каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр).
Легко догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа в восьмеричную систему нужно разбить его на триады справа налево и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.
Шестнадцатеричная система счисления
Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: А, В, С, D, Е, F.
Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означает просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде — 16 (десятичное), в следующем — 256 (десятичное) и т. д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное).
Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится аналогично тому, как это делается для восьмеричной системы
Перевод чисел между системами счисления, основания которых являются степенями числа 2 (q = 2n), может производиться по более простым алгоритмам. Такие алгоритмы могут применяться для перевода чисел между двоичной (q = 21), восьмеричной (q = 23) и шестнадцатеричной (q = 24) системами счисления.
Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную. Для записи двоичных чисел используются две цифры, то есть в каждом разряде числа возможны 2 варианта записи. Решаем показательное уравнение:
2 = 2i. Так как 2 = 21, то i = 1 бит.
Каждый разряд двоичного числа содержит 1 бит информации.
Для записи восьмеричных чисел используются восемь цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 8 вариантов записи. Решаем показательное уравнение:
8 = 2i. Так как 8 = 23, то i = 3 бита.
Каждый разряд восьмеричного числа содержит 3 бита информации.
Таким образом, для перевода целого двоичного числа в восьмеричное его нужно разбить на группы по три цифры, справа налево, а затем преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру. Если в последней, левой, группе окажется меньше трех цифр, то необходимо ее дополнить слева нулями.
| Двоичные триады |
| Восьмеричные цифры |
Для перевода дробного двоичного числа (правильной дроби) в восьмеричное необходимо разбить его на триады слева направо и, если в последней, правой, группе окажется меньше трех цифр, дополнить ее справа нулями. Далее необходимо триады заменить на восьмеричные числа.
Например, преобразуем дробное двоичное число А2 = 0,1101012 в восьмеричную систему счисления:
| Двоичные триады |
| Восьмеричные цифры |
Получаем: А8 = 0,658.
Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную. Для записи шестнадцатеричных чисел используются шестнадцать цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 16 вариантов записи. Решаем показательное уравнение:
16 = 2i. Так как 16 = 24, то i = 4 бита.
Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита информации.
Таким образом, для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное его нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады), начиная справа, и, если в последней левой группе окажется меньше четырех цифр, дополнить ее слева нулями.
Для перевода дробного двоичного числа (правильной дроби) в шестнадцатеричное необходимо разбить его на тетрады слева направо и, если в последней правой группе окажется меньше четырех цифр, то необходимо дополнить ее справа нулями.
Затем надо преобразовать каждую группу в шестнадцате-ричную цифру, воспользовавшись для этого предварительно составленной таблицей соответствия двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр.
Переведем целое двоичное число А2 = 1010012 в шестнадцатеричное:
| Двоичные тетрады |
| Шестнадцатеричные цифры |
В результате имеем: А16 = 2916.
Переведем дробное двоичное число А2 =0,1101012 в шестнадцатеричную систему счисления:
| Двоичные тетрады | |
| Шестнадцатеричные цифры | D |
Получаем: А16 = 0,D416.
Для того чтобы преобразовать любое двоичное число в восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления, необходимо произвести преобразования по рассмотренным выше алгоритмам отдельно для его целой и дробной частей.
Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную.
Для перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную необходимо цифры числа преобразовать в группы двоичных цифр.
Для перевода из восьмеричной системы в двоичную каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных цифр (триаду), а при преобразовании шестнадцатеричного числа — в группу из четырех цифр (тетраду).
Например, преобразуем дробное восьмеричное число А8 = 0,478 в двоичную систему счисления:
| Восьмеричные цифры |
| Двоичные триады |
Получаем: А2 = 0,1001112 .
Переведем целое шестнадцатеричное число А16 = АВ16 в двоичную систему счисления:
| Шестнадцатеричные цифры | А | В |
| Двоичные тетрады |
В результате имеем: А2 = 101010112
Источник: https://ronl.org/lektsii/informatika/875468/
Системы счисления. Восьмеричные и шестнадцатеричные числа (Информатика — обшие сведения)
Вы уже знаете, что компьютер «знает» только двоичную систему счисления.
Тогда зачем же нужны системы, отличные от двоичной?
Дело в том, что в двоичной системе счисления числа записываются с большим количеством разрядов, т. е. число получается очень длинным. И записывать такие числа на бумаге или читать их на экране монитора довольно неудобно.
Поэтому кроме двоичной в информатике используют еще две вспомогательные системы счисления – восьмеричную и шестнадцатеричную. Они позволяют более компактно записывать числа.
Выбор систем счисления с основаниями 8 и 16 обусловлен тем, что числа 8 и 16 являются степенями числа 2: 8 = 23, 16 = 24. Поэтому мы с легкостью сможем преобразовывать числа из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную систему счисления и наоборот.
Но для начала давайте рассмотрим алфавиты восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления, т. е. цифры, с помощью которых мы будем записывать числа в этих системах счисления.
Восьмеричные числа записываются с помощью восьми цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. А вот алфавит шестнадцатеричной системы счисления состоит из десяти цифр и шести букв латинского алфавита: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Давайте составим таблицу соответствия первых двадцати чисел трех систем счисления: десятичной, восьмеричной и шестнадцатеричной.
| Десятичная | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| Восьмеричная | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | |
| Шестнадцатеричная | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | |
| Десятичная | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |
| Восьмеричная | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | |
| Шестнадцатеричная | B | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
Как видно из нее, чем больше основание системы счисления, тем меньше код числа. Например, число 14 в десятичной и восьмеричной системе счисления записывается с помощью двух знаков, а в шестнадцатеричной – с помощью одного.
А сейчас мы с Вами научимся переводить двоичные числа в восьмеричные и шестнадцатеричные. Например, переведем число (1101011)2 в восьмеричное.
Для того чтобы перевести двоичное число в восьмеричное, нужно разбить его справа налево на группы по три цифры в каждой, а затем каждой группе в соответствие поставить восьмеричное число.
Разобьем число (1101011)2 на группы по три цифры: 1, 101, 011. И поставим в соответствие восьмеричные числа, получим: 1, 5, 3. Т. е. получили число (153)8.
Чтобы выполнить обратное преобразование, надо в соответствие каждой цифре восьмеричного числа записать группу из трех двоичных цифр.
Итак, чтобы перевести число (153)8 в двоичную систему счисления, записываем 001, 101, 011. Опускаем первые ведущие нули и получаем число (1101011)2.
Для шестнадцатеричной системы преобразование выполняется аналогично, только число разбивается справа налево на группы не по три, а по четыре двоичные цифры.
Переведем число (1101011)2 в шестнадцатеричную систему счисления: 110, 1011. Теперь в соответствие каждой четверке цифр записываем шестнадцатеричную цифру: 6, В. Т. е. получили число (6B)16.
А теперь переведем полученное нами число (6В)16 в двоичную систему счисления. Вместо каждой цифры шестнадцатеричного числа записываем четверку цифр соответствующего двоичного числа: 0110, 1011. Опускаем ведущие нули и получаем (1101011)2.
Теперь, если Вы хорошо усвоили материал, можете закрепить его, выполнив несложные задания. Для этого перейдите в режим тренажера. Если хотите позаниматься позже – закройте текущее окно.
***
Упражнение №1. Переведите в восьмеричную систему счисления число (101101)2.
Упражнение №2. Переведите в двоичную систему счисления число (162)8.
Упражнение №3. Переведите в шестнадцатеричную систему счисления число (1010111001001101)2.
Упражнение №4. Переведите в двоичную систему счисления число (5АВ)16.
Упражнение №5. Найдите значение выражения (15)8 + (А2)16, записав результат в виде двоичного числа.
Источник: http://micscapital.com/lessonContent-003892.html
Каким мне представляется профильный курс информатики
Продолжение. См. № 4/2009
§4. Смешанные системы счисления
Способ записи чисел, при котором числа из позиционной системы счисления с основанием Q записываются с помощью цифр системы счисления с основанием P, называется смешанной P-Q-ичной системой.
Примером смешанной системы является двоично-десятичная система счисления. В ней десятичное число записывается путем замены каждой цифры на 4-разрядный двоичный код. Таблица соответствия для двоично-десятичной системы следующая:
В этой таблице каждой десятичной цифре поставлено в соответствие равное ей четырехзначное двоичное число (нули слева — незначащие). Например, десятичное число 58236,37 в двоично-десятичной форме запишется так: 101 10001 0010 0011 0101,0011 01112–10. Первый слева ноль у целого числа является незначащей цифрой, поэтому его можно не писать.
Для обратного преобразования из двоично-десятичной формы в десятичное число нужно разбить на четверки все знаки двоичного кода: от запятой влево — в целой части и вправо — в дробной части. Затем каждую четверку двоичных цифр заменить на соответствующую десятичную цифру. Например:
11 1000 0010 1001 0011,0101 1001 1000 2–10 -> 3823,598
Отметим важное обстоятельство: между данными десятичным и двоично-десятичным числом нельзя поставить знак равенства.
Двоично-десятичное представление — это всего лишь двоичный код для представления десятичного числа, но никак не равное ему значение в двоичной системе счисления.
Выполнение арифметических вычислений над десятичными числами, представленными в двоично-десятичной форме, весьма затруднительно. Тем не менее в истории ЭВМ известны такие примеры. В первой ЭВМ под названием ENIAC использовалась двоично-десятичная система.
Современные компьютеры производят вычисления в двоичной системе счисления. Однако для представления компьютерной информации нередко используются двоично-восьмеричная и двоично-шестнадцатеричная системы.
Двоично-восьмеричная система. В следующей таблице представлено соответствие между восьмеричными цифрами и трехзначными двоичными числами (двоичными триадами), равными по значению этим цифрам.
Записать восьмеричное число в двоично-восьмеричном виде — это значит заменить каждую восьмеричную цифру на соответствующую двоичную триаду. Например:
3517,28 > 11 101 001 111,010 2–8.
А теперь переведем данное восьмеричное число в двоичную систему счисления. Для этого сначала переведем его в десятичную систему, а потом из десятичной в двоичную систему счисления. Вот что получается:
3517,2 8 = 1871,25 = 11101001111,012.
Но это тот же самый двоичный код, что записан выше в двоично-восьмеричной системе! Мы пришли к следующему результату: двоично-восьмеричное число равно значению данного восьмеричного числа в двоичной системе счисления.
Отсюда следует, что перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную производится перекодировкой по двоично-восьмеричной таблице путем замены каждой восьмеричной цифры на соответствующую двоичную триаду. А для перевода числа из двоичной системы в восьмеричную его цифры надо разбить на триады (начиная от запятой) и заменить каждую триаду на соответствующую восьмеричную цифру.
Двоично-шестнадцатеричная система счисления. В следующей таблице представлено соответствие между шестнадцатеричными цифрами и четырехзначными двоичными числами (двоичными тетрадами), равными по значению этим цифрам.
С81F,1D16 = 51231,875 =
= 1100 1000 0001 1111,0001 11012
Получился тот же самый двоичный код, что записан выше в двоично-шестнадцатеричной системе! Рассмотренный пример привел к следующему результату: двоично-шестнадцатеричное число равно значению данного шестнадцатеричного числа в двоичной системе счисления.
Следовательно, для перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную достаточно выполнить перекодировку по двоично-шестнадцатеричной таблице путем замены каждой шестнадцатеричной цифры на соответствующую двоичную тетраду. А для перевода числа из двоичной системы в шестнадцатеричную его цифры надо разбить на тетрады (начиная от запятой) и заменить каждую тетраду на соответствующую шестнадцатеричную цифру.
Можно ли на основании приведенных частных примеров делать глобальные выводы о том, что двоично-восьмеричный (двоично-шестнадцатеричный) код любого восьмеричного (шестнадцатеричного) числа совпадает с двоичным значением этого числа? Нет, конечно! Это утверждение требует доказательства. Такое доказательство существует1.
Доказано, что для любого числа в системе счисления с основанием p = 2n смешанный двоично-р-ичный код совпадает с представлением этого числа в двоичной системе счисления.
Поскольку 8 = 23, а 16 = 24, то сформулированное правило относится к восьмеричной и шестнадцатеричной системам. Очевидно, что такая же связь существует между двоичной и четверичной системами счисления, поскольку 4 = 22.
Любые данные в памяти компьютера хранятся в двоичном виде. Восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления используют для компактного представления содержимого памяти компьютера, а также ее адресации. Восьмеричное представление сжимает двоичный код в три раза, а шестнадцатеричное представление — в четыре раза.
Задача. Перевести число 1369,75 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.
Наиболее рациональный способ решения задачи следующий. Нужно перевести это число в одну из трех систем с основанием 2, 8 или 16, а затем, используя связь между ними через смешанное представление, выполнить перевод в две другие системы путем перекодировки по таблицам 2–8 и 2–16.
1. Дайте определение смешанной системе счисления.
2. Почему двоично-десятичный код не совпадает с двоичным числом, равным данному десятичному числу?
3. Для каких целей в компьютерных технологиях используются восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?
4. Выполните наиболее рациональным способом следующие переводы чисел: 537,158->X2; 537,158->X16; 10111011010101,010112->X8->Y16.
5. Напишите двоично-четверичную таблицу перекодировки.
6*. Постройте электронную таблицу для перевода четверичных чисел в двоичную систему счисления.
7**. Постройте электронную таблицу для перевода восьмеричных чисел в двоичную систему счисления.
8**. Напишите программу на Паскале перевода целого двоичного числа в восьмеричную систему счисления.
§5. Арифметика в позиционных системах счисления
Во всех позиционных системах счисления выполнение арифметических операций подчиняется одним и тем же законам: коммутативному, ассоциативному, дистрибутивному. В основе арифметических вычислений лежат правила сложения (таблица сложения) и правила умножения (таблица умножения) однозначных чисел.
Сложение и вычитание многозначных чисел в р-ичной системе производится столбиком по тому же алгоритму, что и для десятичных чисел. Соответствующие разряды слагаемых записываются друг под другом.
Сложение производится поразрядно, начиная с младшего разряда.
Если при суммировании цифр одного разряда сумма оказывается больше р–1 (двузначное число), то в данном разряде результата записывается младшая цифра суммы, а старшая цифра прибавляется к следующему по старшинству разряду (ближайшему слева).
Вычитание — обратная к сложению операция. Если в очередном разряде уменьшаемого стоит цифра меньшая, чем у вычитаемого, то занимается единица у ближайшего слева ненулевого разряда. В результате к вычисляемому разряду уменьшаемого добавляется р. Если единица занималась не у соседнего слева разряда, то к промежуточным разрядам добавляется р–1.
Умножение сводится к многократному сложению со сдвигом разрядов, а деление — к многократному вычитанию.
Двоичная арифметика. Вот как выглядят таблицы сложения и умножения в двоичной системе счисления:
Рассмотрим примеры выполнения четырех арифметических операций с двоичными числами.
Замечание: далее нижний индекс для обозначения системы счисления будет опускаться.
Пример 1. Сложение двоичных чисел. Маленькими цифрами сверху обозначены значения, переносимые при сложении в соседний слева разряд.
Пример 2. Вычитание двоичных чисел. Маленькими цифрами сверху обозначены значения, добавляемые к разряду в процессе переноса единицы из ближайшего ненулевого разряда слева.
Правильность полученного результата можно проверить путем сложения разности с вычитаемым. В результате должно получиться уменьшаемое.
Пример 3. Умножение двоичных чисел.
Пример 4. Деление двоичных чисел. В следующем примере делимым числом является произведение из предыдущего примера, делителем — второй сомножитель. Частное получилось равным первому сомножителю.
Двоичная арифметика — наиболее простая. Эта простота стала одной из причин использования двоичной системы счисления в компьютерах.
Арифметика в других системах счисления. Приведем примеры вычислений в других системах счисления. Рассмотрим пятеричную систему.
Таблица сложения пятеричной системы
Вычисления в системах счисления с основанием p = 2n можно производить по такой же схеме, как это делалось выше: построить таблицы сложения и умножения и, заглядывая в эти таблицы, выполнять многозначные вычисления. Но можно пойти другим путем, используя связь таких систем с двоичной системой счисления. Алгоритм вычисления будет следующим:
1) перевести данные числа в двоичную систему счисления, используя таблицу двоичного представления цифр р-ичной системы;
2) выполнить вычисления с двоичными числами;
3) перевести полученное двоичное число в р-ю систему через ту же таблицу (п. 1).
Задача 1. Вычислить сумму двух шестнадцатеричных чисел: 3A8D,1F16 + 2C6,516.
Используем описанный выше алгоритм.
Задача 2. В среде электронной таблицы создать автоматически заполняемую таблицу умножения для восьмеричной системы счисления.
1. В ячейку D1 заносится число 8 — основание системы счисления. Поясняющий текст заносится в соседние ячейки первой строки.
2. В блок B3:H3 заносятся числа с 1 до 7.
3. В блок A4:А10 заносятся числа с 1 до 7.
4. В ячейку В4 заносится формула:
=ЦЕЛОЕ(B$3*$A4/$D$1)*10+ОСТАТ(B$3*$A4;$D$1)
5. Формула из ячейки В4 копируется в блок B4:H10.
Задача 3. Создать программу на Паскале, выводящую на экран таблицу умножения в системе счисления с основанием p (2 < p 10).
В данной программе переменные X и Y принимают значения сомножителей, изменяющихся в диапазоне от 1 до р – 1. Произведение X * Y может быть одно- или двузначным числом. Структура алгоритма — два вложенных цикла: внешний цикл — по переменной X, внутренний цикл — по переменной Y.
“Пустой” оператор writeln используется для перехода к новой строке таблицы при выводе на экран после каждого окончания внутреннего цикла. Форматирование выводимого значения (Z:3) обеспечивает выделение под число трех позиций на экране.
При использовании данной программы для построения восьмеричной таблицы умножения на экране получим:
Источник: https://inf.1sept.ru/articles/2009/05/03
Двоичная восьмеричная шестнадцатеричная системы счисления
Двоичная система счисления
Для представления чисел в микропроцессоре используется двоичная система счисления.
При этом любой цифровой сигнал может иметь два устойчивых состояния: «высокий уровень» и «низкий уровень».
В двоичной системе счисления для изображения любого числа используются две цифры, соответственно: 0 и 1. Произвольное число x=anan-1..
a1a0,a-1a-2…a-m запишется в двоичной системе счисления как
x = an·2n+an-1·2n-1+…+a1·21+a0·20+a-1·2-1+a-2·2-2+…+a-m·2-m
где ai — двоичные цифры (0 или 1).
Восьмеричная система счисления
В восьмеричной системе счисления базисными цифрами являются цифры от 0 до 7. 8 единиц младшего разряда объединяются в единицу старшего.
Шестнадцатеричная система счисления
| Десятичная | Двоичная | Восьмеричная | Шестнадцатеричная |
| 0 | 0 | ||
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
Двоично-восьмеричные и двоично-шестнадцатеричные преобразования
Двоичная система счисления удобна для выполнения арифметических действий аппаратными средствами микропроцессора, но неудобна для восприятия человеком, поскольку требует большого количества разрядов.
Поэтому в вычислительной технике помимо двоичной системы счисления широкое применение нашли восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления для более компактного представления чисел.
Три разряда восьмеричной системы счисления реализуют все возможные комбинации восьмеричных цифр в двоичной системе счисления: от 0 (000) до 7(111).
Чтобы преобразовать двоичное число в восьмеричное, нужно объединить двоичные цифры в группы по 3 разряда (триады) в две стороны, начиная от разделителя целой и дробной части. При необходимости слева от исходного числа нужно добавить незначащие нули. Если число содержит дробную часть, то справа от него тоже можно добавить незначащие нули до заполнения всех триад. Затем каждая триада заменяется восьмеричной цифрой.
Четыре разряда шестнадцатеричной системы счисления реализуют все возможные комбинации шестнадцатеричных цифр в двоичной системе счисления: от 0 (0000) до F(1111).
Чтобы преобразовать двоичное число в шестнадцатеричное, нужно объединить двоичные цифры в группы по 4 разряда (тетрады) в две стороны, начиная от разделителя целой и дробной части. При необходимости слева от исходного числа нужно добавить незначащие нули.
Если число содержит дробную часть, то справа от нее тоже нужно добавить незначащие нули до заполнения всех тетрад. Затем каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой.
Назад: Представление данных и архитектура ЭВМ
Источник: https://prog-cpp.ru/bin-oct-hex/
Восьмеричная и шестнадцатеричные системы счисления. Компьютерные системы счисления
Урок 4. Восьмеричная и шестнадцатеричные системы счисления.
1) анимация «Преобразование десятичного числа в другую систему счисления» (sc.edu.ru);
2) анимация «Арифметические операции в позиционных системах счисления» (sc.edu.ru);
3) анимация «Преобразование чисел между системами счисления 2, 8, 16» (sc.edu.ru);
4) анимация «Схема Горнера» (sc.edu.ru).
Ход урока
Источник: https://infourok.ru/vosmerichnaya-i-shestnadcaterichnie-sistemi-schisleniya-kompyuternie-sistemi-schisleniya-1161792.html
Загрузка...
