Формулы сокращенного умножения
К оглавлению…
Квадрат суммы:
Квадрат разности:
Разность квадратов:
Разность кубов:
Сумма кубов:
Куб суммы:
Куб разности:
Последние две формулы также часто удобно использовать в виде:
Квадратное уравнение и формула разложения квадратного трехчлена на множители
К оглавлению…
Пусть квадратное уравнение имеет вид:
- Тогда дискриминант находят по формуле:
- Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле:
- Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень (его кратность: 2), который ищется по формуле:
- Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней. В случае когда квадратное уравнение имеет два корня, соответствующий квадратный трехчлен может быть разложен на множители по следующей формуле:
- Если квадратное уравнение имеет один корень, то разложение соответствующего квадратного трехчлена на множители задается следующей формулой:
Только в случае если квадратное уравнение имеет два корня (т.е. дискриминант строго больше ноля) выполняется Теорема Виета. Согласно Теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна:
- Произведение корней квадратного уравнения может быть вычислено по формуле:
Парабола
- График параболы задается квадратичной функцией:
- При этом координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины:
- Игрек вершины параболы:
Свойства степеней и корней
К оглавлению…
Основные свойства степеней:
Последнее свойство выполняется только при n > 0. Ноль можно возводить только в положительную степень.
Основные свойства математических корней:
- Для арифметических корней:
- Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a; если же n – четное, то только при a больше либо равном нолю. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство:
- Для корня четной степени имеется следующее свойство:
Формулы с логарифмами
К оглавлению…
Определение логарифма:
- Определение логарифма можно записать и другим способом:
Свойства логарифмов:
- Логарифм произведения:
- Логарифм дроби:
- Вынесение степени за знак логарифма:
- Другие полезные свойства логарифмов:
Арифметическая прогрессия
К оглавлению…
- Формулы n-го члена арифметической прогрессии:
- Соотношение между тремя соседними членами арифметической прогрессии:
- Формула суммы арифметической прогрессии:
- Свойство арифметической прогрессии:
Геометрическая прогрессия
К оглавлению…
- Формулы n-го члена геометрической прогрессии:
- Соотношение между тремя соседними членами геометрической прогрессии:
- Формула суммы геометрической прогрессии:
- Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
- Свойство геометрической прогрессии:
Тригонометрия
К оглавлению…
- Пусть имеется прямоугольный треугольник:
- Тогда, определение синуса:
- Определение косинуса:
- Определение тангенса:
- Определение котангенса:
- Основное тригонометрическое тождество:
- Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:
Формулы двойного угла
- Синус двойного угла:
- Косинус двойного угла:
- Тангенс двойного угла:
- Котангенс двойного угла:
Тригонометрические формулы сложения
- Синус суммы:
- Синус разности:
- Косинус суммы:
- Косинус разности:
- Тангенс суммы:
- Тангенс разности:
- Котангенс суммы:
- Котангенс разности:
Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение
- Сумма синусов:
- Разность синусов:
- Сумма косинусов:
- Разность косинусов:
- Сумма тангенсов:
- Разность тангенсов:
- Сумма котангенсов:
- Разность котангенсов:
Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму
- Произведение синусов:
- Произведение синуса и косинуса:
- Произведение косинусов:
Формулы понижения степени
- Формула понижения степени для синуса:
- Формула понижения степени для косинуса:
- Формула понижения степени для тангенса:
- Формула понижения степени для котангенса:
Формулы половинного угла
- Формула половинного угла для тангенса:
- Формула половинного угла для котангенса:
Тригонометрические формулы приведения
Формулы приведения задаются в виде таблицы:
Тригонометрическая окружность
По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:
Тригонометрические уравнения
К оглавлению…
- Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:
- Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:
- Для тангенса:
- Для котангенса:
- Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:
Геометрия на плоскости (планиметрия)
К оглавлению…
- Пусть имеется произвольный треугольник:
- Тогда, сумма углов треугольника:
- Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:
- Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:
- Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:
- Формула Герона для площади треугольника:
- Площадь треугольника через радиус описанной окружности:
- Формула медианы:
- Свойство биссектрисы:
- Формулы биссектрисы:
- Основное свойство высот треугольника:
- Формула высоты:
- Еще одно полезное свойство высот треугольника:
- Теорема косинусов:
- Теорема синусов:
- Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:
- Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:
- Площадь правильного треугольника:
- Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):
- Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:
- Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:
- Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):
- Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:
- Длина средней линии трапеции:
- Площадь трапеции:
- Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:
- Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:
- Площадь квадрата через длину его стороны:
- Площадь квадрата через длину его диагонали:
- Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):
- Площадь прямоугольника через две смежные стороны:
- Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:
Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):
- Свойство касательных:
- Свойство хорды:
- Теорема о пропорциональных отрезках хорд:
- Теорема о касательной и секущей:
- Теорема о двух секущих:
- Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):
- Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):
- Свойство центральных углов и хорд:
- Свойство центральных углов и секущих:
- Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:
- Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:
- Сумма углов n-угольника:
- Центральный угол правильного n-угольника:
- Площадь правильного n-угольника:
- Длина окружности:
- Длина дуги окружности:
- Площадь круга:
- Площадь сектора:
- Площадь кольца:
- Площадь кругового сегмента:
Геометрия в пространстве (стереометрия)
К оглавлению…
- Главная диагональ куба:
- Объем куба:
- Объём прямоугольного параллелепипеда:
- Главная диагональ прямоугольного параллелепипеда (эту формулу также можно назвать: «трёхмерная Теорема Пифагора»):
- Объём призмы:
- Площадь боковой поверхности прямой призмы (P – периметр основания, l – боковое ребро, в данном случае равное высоте h):
- Объём кругового цилиндра:
- Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:
- Объём пирамиды:
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды (P – периметр основания, l – апофема, т.е. высота боковой грани):
- Объем кругового конуса:
- Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса:
- Длина образующей прямого кругового конуса:
- Объём шара:
- Площадь поверхности шара (или, другими словами, площадь сферы):
Координаты
К оглавлению…
- Длина отрезка на координатной оси:
- Длина отрезка на координатной плоскости:
- Длина отрезка в трёхмерной системе координат:
- Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы):
Таблица умножения
К оглавлению…
Таблица квадратов двухзначных чисел
К оглавлению…
Расширенная PDF версия документа «Все главные формулы по школьной математике»:
К оглавлению…
Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?
Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:
- Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
- Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
- Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.
Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.
Нашли ошибку?
Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь).
В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка.
Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.
Источник: https://educon.by/index.php/formuly/formmat
Шпаргалки по математике, алгебре и геометрии — Инженерный справочник DPVA.ru / Технический справочник ДПВА / Таблицы для инженеров (ex DPVA-info)
 Проект Карла III Ребане и хорошей компании |
Раздел недели: Тепловые величины: теплоемкость, теплопроводность, температуры кипения, плавления, пламени… |
 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа. / / Шпаргалки по математике, алгебре и геометрии
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста. Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. |
Источник: https://dpva.ru/Guide/GuideMathematics/MathsForTheYoungest/MathShpargalka/
Классификация элементарных функций
Выделяют множество видов элементарных функций, каждый из которых обладает собственным набором свойств. Так, одни можно дифференцировать на определенном промежутке бесконечное число раз, другие являются непрерывными, ортогональными и др. В этой статье мы расскажем об общепринятой классификации элементарных функций.
Что такое элементарные функции
Начнем с базового определения.
Определение 1
Элементарные функции – это такие функции, которые получаются из основных функций с помощью сложения, вычитания, умножения и деления, а также посредством преобразования сложных функций.
Пример 1
Пример элементарной функции – y=arcsin2xx2-3+1-ln(x).
Таким функции бывают:
- алгебраическими;
- трансцендентными.
В свою очередь алгебраические функции можно разделить на иррациональные и рациональные (целые рациональные и дробные рациональные).
Рассмотрим каждый вид функций отдельно.
Понятие алгебраических функций
Определение 2
Алгебраические функции – это функции, которые состоят из цифр и букв, соединяющихся друг с другом при помощи знаков сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня и возведения в целую степень.
Иными словами, это те функции, которые можно получить из основных функций f(x)=x и f(x)=1 и любых чисел, проведя с ними необходимые алгебраические действия (вычитание, умножение, сложение, деление и др.)
Пример 2
Так, примером алгебраической функции является y=x2-34x.
Выделяют рациональные и иррациональные алгебраические функции.
Определение 3
Рациональные функции – это те, в которых аргумент не находится под знаком корня (радикала). Они в свою очередь делятся на целые рациональные (т.е. многочлены) и дробные рациональные (выражения, составленные из многочленов).
Пример 3
Примером первого вида функций является y=12×4+x-1, второго – y=x-ax3+b.
Важно отметить, что в рациональных функциях могут присутствовать иррациональные коэффициенты. Основное условие –– отсутствие аргумента функции под знаком радикала. Так, y=13×2-1 относится не к иррациональным, а к целым рациональным функциям.
Определение 4
Иррациональные функции – это те, которые содержат в себе аргумент под знаком корня (радикала).
Пример 4
Примером такой функции может быть y=x+13.
Понятие трансцендентных функций
Прочие функции, которые нельзя отнести к алгебраическим, относятся к виду трансцендентных.
Определение 5
Трансцендентные функции – это те, которые образуются при помощи логарифмирования, возведения в иррациональную степень или с помощью тригонометрических и обратных тригонометрических преобразований.
Пример 6
Пример такой функции – y=log2x3+23.
При определении вида функции нужно учитывать один важный момент. Если исходная функция может быть упрощена, то определять вид мы будем уже у полученной в итоге преобразований, а не у исходной функции.
Так, y=x3+3×2+3x+13 не относится к иррациональным функциям, поскольку при упрощении она становится рациональной y=x3+3×2+3x+13=x+1323=(x+1)2=x2+2x+1 .
Функция y=arcsin(sin(3×2+1) является рационально алгебраической, а не трансцендентной, поскольку y=arcsin(sin(3×2+1)=3×2+1.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/funktsii/klassifikatsija-elementarnyh-funktsij/
2 курс. Алгебра
Лектор А.Л. Городенцев, преподаватель Е.Б. Фейгин
Программа модуля I
Полилинейная алгебраТензорное произведение векторных пространств, примеры тензорных конструкций и канонических изоморфизмов. Тензорная алгебра векторного пространства, свёртки, действие симетрической группы, линейная оболочка тензора, многообразия Сегре. Симметрическая и грассманова алгебры, поляризация (грасмановых) многочленов, многообразия Веронезе и Грассмана.
Многочлены и рядыФормальные экспонента, логарифм и бином. Техника производящих функций. Числа и многочлены Бернулли. Многоугольник Ньютона. Разложение корней алгебраических уравнений в дробно степенные ряды.Симметрические функцииЦелочисленные базисы модуля симметрических функций, их производящие функции и переходы между ними. Многочлены Шура.
Техника вычислений с симметрическими функциями.
Учебные материалы к лекциям
Помимо представленных ниже специальных матермалов к отдельным лекциям рекомендуется учебник Э.Б.Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание)
- Лекции 1-2 Тензорное произведение векторных пространств, тензорная алгебра, свёртки, линейная оболочка тензора.
- Лекция 3 Симметричные и кососимметричные тензоры. Поляризация многочленов и грассмановых многочленов над полем характеристики нуль, частные производные. Многообразия Веронезе и Грассмана.
- Напоминания из исчисления формальных степенных рядов: обращение и решение линеных реккурентных уравнений; дифференцирование, интегрирование, экспоненцирование, логарифмирование и бином Ньютона (с любым показателем из поля коэффициентов); действие Q[[d/dx]] на Q[x], ряд Тодда, числа Бернулли и обращение разностных операторов.
- Лекция 5 Кольцо симметрических функций. Его базисы (как модуля над Z) из мономиальных, элементарных, полных многочленов и из многочленов Шура, а также базис как векторного пространства над Q из ньютоновых степенных сумм; производящие функции для этих базисов и матрицы переходов между ними. (См. §§1-4 в [2])
- Исчисление массивов, диаграмм и таблиц. Комбинаторные соотношения на количества таблиц. Правило Литтлвуда-Ричардсона для перемножения многочленов Шура. Тождества Коши, Джамбелли-Якоби-Труди и Пьери.
Задачи семинаров
- Листок 1 Тензоры. Выдаётся с 1 сентября.
- Листок 2 Тензорные степени. Выдаётся с 13 сентября.
- Поляризация (грассмановых) многочленов. Выдаётся с 27 сентября
- Симметрические функции. Выдается с 6 октября
- Контрольная N1 (классная) была 28 сентября (образец варианта). Темы: тензоры, многочлены, симметрические функции.
Программа модулей II-III
Конечные группыДействия, формула для длины орбиты. Полупрямые произведения. Теоремы Силова.Категории и функторыПримеры малых категорий. Категория функторов, представимость, лемма Ионеды. Сопряжённые функторы. Пределы. Диаграмный поиск.
Пространства с операторамиПриводимость, разложимость, полупростота. Лемма Шура. Теорема плотности и теорема о двойном коммутаторе.Представления конечных группПолупростота групповой алгебры. Теория характеров. Кольцо представлений, индуцирование, двойственность Фробениуса.
Представления симметрической группы, функторы Шура.
Учебные материалы к лекциям
Помимо представленных ниже специальных материалов к отдельным лекциям рекомендуются следующие учебники:
- Э.Б.Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание)
- Ж.-П.Серр. Линейные представления конечных групп. М., «Мир», 1970 (или любое другое издание)
- W.Fulton, J.Harris Representation theory: a first course. B-H-NY., «Springer-Verlag», 1991 (есть в колхозе)
- У.Фултон. Таблицы Юнга и … М., «МЦНМО», 2008 (или любое другое издание)
- Лекция 7. Конечные группы в действии: длина орбиты, количество орбит, регулярное и присоединённое действие, действия p-групп, силовские подгруппы, полупрямые произведения.
- Лекция 8. Пространства с операторами: разложимость, приводимость, полупростота, лемма Шура, характеризация полупростых модулей, теорема плотности, теорема Бернсайда (над алгебраически замкнутым полем пространство с операторами неприводимо тогда и только тогда, когда эти операторы порождают всю алгебру эндоморфизмов)
- Лекция 9. Линейные представления конечных групп над замкнутым полем: разложение в сумму изотипных подмодулей, строение групповой алгебры, неприводимые идемпотенты, скалярное произведение, характеры.
- Лекция 10. Категории и функторы. Естественные преобразования. Лемма Ионеды. Представимые функторы. Сопряжённые функторы и (ко)индуцированные модули.
- Лекция 11 Пределы диаграмм
- Целые расшиоения коммутативных колец
- Лекция 13. [обновлено 25.03.2010] Представления симметрических групп.
- Задачи семинаров
- Конечные группы. (выдается с 1 ноября)
- Группы в действии (выдается с 11 ноября)
- Диаграмный поиск (выдается с 17 ноября)
- Маленькие линейные представления (выдается с 23 ноября)
- Выдается с 17 января
- Индуцированные представления. Выдается с 16 февраля
- Целые расширения коммутативных колец. Выдается с 9 марта
Программа модуля IV
Элементы коммутативной алгебрыСвойства целых элементов. Нормальные кольца. Лемма Гаусса. Строение конечно порождённых коммутативных алгебр над полем, степень трансцендентности. Теоремы Гильберта о базисе и о нулях.
Антиэквивалентность категории конечно порождённых приведённых коммутативных алгебр с единицей над алгебраически замкнутым полем K и категории аффинных алгебраических многообразий над K.Элементы теории ГалуаПоле разложения, примитивные элементы. Алгебраическое замыкание.
Продолжение гомоморфизмов, нормальные расширения и соответствие Галуа. Техника вычисления групп Галуа. Разрешимость уравнений в радикалах.Корни многочленовАлгебраическая замкнутость поля дробно степенных рядов, разложение алгебраической функции в ряд Пюизо, многоугольники Ньютона.
Дискриминанты и результанты, теорема Безу. Свойства колец целых в полях алгебраических чисел.
Учебные материалы к лекциям
Помимо представленных ниже специальных материалов к отдельным лекциям рекомендуются следующие учебники:
- Э.Б.Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание)
Источник: https://math.hse.ru/courses_math/bac2-algebra
Иллюстрированный самоучитель по MatLab
Элементарные функции, пожалуй, наиболее известный класс математических функций. Поэтому, не останавливаясь подробно на их описании, представим набор данных функций, имеющийся в составе системы MATLAB. Функции, перечисленные ниже, сгруппированы по функциональному назначению. В тригонометрических функциях углы измеряются в радианах.
Все функции могут использоваться в конструкции вида y=func(x), где func – имя функции. Обычно в такой форме задается информация о функции в системе MATLAB. Мы, однако, будем использовать для функций, возвращающих одиночный результат, более простую форму func(x). Форма [y,z,…]=func(x….
) будет использоваться только в тех случаях, когда функция возвращает множественный результат.
Алгебраические и арифметические функции
В системе MATLAB определены следующие алгебраические и арифметические функции:
- abs(X) – возвращает абсолютную величину для каждого числового элемента вектора X. Если X содержит комплексные числа, abs(X) вычисляет модуль каждого числа. Примеры:
- abs(-5) = 5
- abs(3+4i) =5
- >> abs([1-2 1 3i 2+3i])
- ans =
1.0000 2.0000 1.0000 3.0000 3.6056
- ехр(Х) – возвращает экспоненту для каждого элемента X. Для комплексного числа z = х + i*y функция exp(z) вычисляет комплексную экспоненту: exp(z)=exp(x)*(cos(y)+i*sin(y)).
Примеры:
>> exp([1 23])
ans =
2.7183 7.3891 20.0855
>> exp(2+3i)
ans =
-7.3151 + 1.0427i
- factor(n) – возвращает вектор-строку, содержащую простые множители числа п. Для массивов эта функция неприменима. Пример:
- f = factor(221)
- f =
- 13 17
- G=gcd(A, В) – возвращает массив, содержащий наибольшие общие делители соответствующих элементов массивов целых чисел А и В. Функция gcd (0.0) возвращает значение 0, в остальных случаях возвращаемый массив G содержит положительные целые числа;
- [G, С. D] = gcd(A, В) – возвращает массив наибольших общих делителей G и массивов С и D, которые удовлетворяют уравнению A(i).*С(1) + B(i).*D(i) = G(i). Они полезны для выполнения элементарных эрмитовых преобразований. Примеры:
- >> A=[2 6 9]:
- >> B=[2 3 3]:
- >> gcd(A.B)
- ans =
- 2 3 3
>> [G.C.D]=gcd(A.B)
- G =
- 2 3 3
- C =
- 0 0 0
- D=
- 1 1 1
- lcm(A.B) – возвращает наименьшие общие кратные для соответствующих парных элементов массивов А и В. Массивы А и В должны содержать положительные целые числа и иметь одинаковую размерность (любой из них может быть скаляром). Пример:
- >> A=[1 354];
- >> B=[2 462];
- >> lcm(A.B)
- ans =
- 2 12 30 4
- log (X) – возвращает натуральный логарифм элементов массива X. Для комплексного или отрицательного z, где z = х + y*i, вычисляется комплексный логарифм в виде log(z) = log(abs(z)) + i*atan2(y,x). Функция логарифма вычисляется для каждого элемента массива. Область определения функции включает комплексные и отрицательные числа, что способно привести к непредвиденным результатам при некорректном использовании. Пример:
>> X=[1.2 3.34 5 2.3];
>> log(X)
ans=
-0.1823 1.2060 1.6094 0.8329
Источник: http://samoychiteli.ru/document21597.html
Содержание
| Предисловие………………………………………………………………….. | 6 | |
| 1. | Числовые множества………………………………………………….. | 7 |
| 1.1. | Натуральные и целые числа……………………………………… | 7 |
| 1.2. | Рациональные числа………………………………………………. | 16 |
| 1.3. | Иррациональные числа…………………………………………… | 17 |
| 1.4. | Действительные числа. Числовые промежутки………………… | 18 |
| 1.5. | Модуль действительного числа…………………………………. | 19 |
| 1.6. | Метод математической индукции………………………………. | 20 |
| Задачи для самостоятельного решения………………………………… | 22 | |
| 2. | Функции действительного переменного……………………………. | 24 |
| 2.1. | Понятие функции………………………………………………….. | 24 |
| 2.2. | Свойства функции……………………………………………….. | 28 |
| 2.3. | Основные элементарные функции……………………………….. | 35 |
| 2.4. | Элементарные функции. Классификация функций……………. | 38 |
| 2.5. | Геометрические преобразования графиков…………………….. | 42 |
| Задачи для самостоятельного решения………………………………… | 44 | |
| 3. | Степени. Многочлены. Корни. Алгебраические выражения……. | 49 |
| 3.1. | Степень действительного числа…………………………………… | 49 |
| 3.2. | Многочлены. Действия над многочленами…………………….. | 51 |
| 3.3. | Преобразование алгебраических выражений…………………… | 59 |
| Задачи для самостоятельного решения………………………………… | 67 | |
| 4. | Уравнения………………………………………………………………. | 70 |
| 4.1. | Основные понятия………………………………………………… | 70 |
| 4.2. | Линейные уравнения……………………………………………… | 70 |
| 4.3. | Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним………. | 71 |
| 4.4. | Рациональные и дробно-рациональные уравнения…………….. | 74 |
| 4.5. | Уравнения с модулем…………………………………………….. | 80 |
| 4.6. | Иррациональные уравнения………………………………………. | 84 |
| Задачи для самостоятельного решения………………………………… | 89 |
| 5. | Неравенства………………………………………………………………. | 92 |
| 5.1. | Основные понятия…………………………………………………. | 92 |
| 5.2. | Квадратные неравенства………………………………………….. | 92 |
| 5.3. | Рациональные и дробно-рациональные неравенства. Метод интервалов для рациональных неравенств……………………….. | 93 |
| 5.4. | Неравенства с модулем…………………………………………….. | 96 |
| 5.5. | Иррациональные неравенства…………………………………….. | 99 |
| Задачи для самостоятельного решения…………………………………… | 102 | |
| 6. | Показательные уравнения и неравенства……………………………. | 105 |
| 6.1. | Показательные уравнения………………………………………… | 105 |
| 6.2. | Показательные неравенства……………………………………….. | 108 |
| Задачи для самостоятельного решения…………………………………… | 113 | |
| 7. | Логарифмические уравнения………………………………………….. | 115 |
| 7.1. | Преобразование логарифмических выражений..………………… | 115 |
| 7.2. | Логарифмические уравнения……………………………………… | 120 |
| 7.3. | Логарифмические неравенства…………………………………… | 124 |
| Задачи для самостоятельного решения…………………………………… | 126 | |
| 8. | Тригонометрия…………………………………………………………… | 130 |
| 8.1. | Преобразование тригонометрических выражений……………… | 130 |
| 8.2. | Тригонометрические уравнения………………………………….. | 138 |
| 8.3. | Тригонометрические неравенства………………………………… | 149 |
| Задачи для самостоятельного решения………………………………….. | 152 | |
| 9. | Системы уравнений…………………………………………………….. | 156 |
| 9.1. | Основные понятия…………………………………………………. | 156 |
| 9.2. | Методы решения систем алгебраических уравнений…………… | 156 |
| 9.3. | Системы иррациональных уравнений……………………………. | 163 |
| 9.4. | Системы показательных и логарифмических уравнений………. | 165 |
| 9.5. | Системы тригонометрических уравнений………………………. | 169 |
| Задачи для самостоятельного решения………………………………….. | 173 | |
| 10. | Дифференциальное исчисление функции одной переменной…….. | 176 |
| 10.1. | Понятие производной функции. Правила дифференцирования… | 176 |
| 10.2. | Приложения производной………………………………………… | 181 |
| Задачи для самостоятельного решения………………………………….. | 184 | |
| 11. | Комплексные числа……………………………………………………… | 185 |
| 11.1. | Определение комплексного числа……………………………….. | 185 |
| 11.2. | Действия над комплексными числами…………………………… | 185 |
| 11.3. | Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа………………………………………………………………… | 186 |
| 11.4. | Множества комплексной плоскости………………………………. | 189 |
| Задачи для самостоятельного решения………………………………….. | 191 | |
| Литература……………………………………………………………………… | 193 | |
| Краткий справочник по элементарной математике……………………… | 195 |
Соседние файлы в папке Gmail
Источник: https://studfile.net/preview/5831562/
Загрузка...
