Алгебраические функции — справочник студента

Формулы сокращенного умножения

К оглавлению…

Квадрат суммы:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Алгебраические функции - Справочник студента

Квадрат разности:

Алгебраические функции - Справочник студента

Разность квадратов:

Алгебраические функции - Справочник студента

Разность кубов:

Алгебраические функции - Справочник студента

Сумма кубов:

Алгебраические функции - Справочник студента

Куб суммы:

Алгебраические функции - Справочник студента

Куб разности:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Параллельность плоскостей - справочник студента

Оценим за полчаса!

Алгебраические функции - Справочник студента

Последние две формулы также часто удобно использовать в виде:

Алгебраические функции - Справочник студента Алгебраические функции - Справочник студента

Квадратное уравнение и формула разложения квадратного трехчлена на множители

К оглавлению…

Пусть квадратное уравнение имеет вид:

Алгебраические функции - Справочник студента

  • Тогда дискриминант находят по формуле:
  • Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле:
  • Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень (его кратность: 2), который ищется по формуле:
  • Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней. В случае когда квадратное уравнение имеет два корня, соответствующий квадратный трехчлен может быть разложен на множители по следующей формуле:
  • Если квадратное уравнение имеет один корень, то разложение соответствующего квадратного трехчлена на множители задается следующей формулой:

Только в случае если квадратное уравнение имеет два корня (т.е. дискриминант строго больше ноля) выполняется Теорема Виета. Согласно Теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна:

  1. Произведение корней квадратного уравнения может быть вычислено по формуле:

Парабола

  • График параболы задается квадратичной функцией:
  • При этом координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины:
  • Игрек вершины параболы:

Свойства степеней и корней

К оглавлению…

Основные свойства степеней:

    Последнее свойство выполняется только при n > 0. Ноль можно возводить только в положительную степень.

    Основные свойства математических корней:

    • Для арифметических корней:
    • Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a; если же n – четное, то только при a больше либо равном нолю. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство:
    • Для корня четной степени имеется следующее свойство:

    Формулы с логарифмами

    К оглавлению…

    Определение логарифма:

    1. Определение логарифма можно записать и другим способом:

    Свойства логарифмов:

    • Логарифм произведения:
    • Логарифм дроби:
    • Вынесение степени за знак логарифма:
    • Другие полезные свойства логарифмов:

    Арифметическая прогрессия

    К оглавлению…

    1. Формулы n-го члена арифметической прогрессии:
    2. Соотношение между тремя соседними членами арифметической прогрессии:
    3. Формула суммы арифметической прогрессии:
    4. Свойство арифметической прогрессии:

    Геометрическая прогрессия

    К оглавлению…

    • Формулы n-го члена геометрической прогрессии:
    • Соотношение между тремя соседними членами геометрической прогрессии:
    • Формула суммы геометрической прогрессии:
    • Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
    • Свойство геометрической прогрессии:

    Тригонометрия

    К оглавлению…

    1. Пусть имеется прямоугольный треугольник:
    2. Тогда, определение синуса:
    3. Определение косинуса:
    4. Определение тангенса:
    5. Определение котангенса:
    6. Основное тригонометрическое тождество:
    7. Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

    Формулы двойного угла

    • Синус двойного угла:
    • Косинус двойного угла:
    • Тангенс двойного угла:
    • Котангенс двойного угла:

    Тригонометрические формулы сложения

    1. Синус суммы:
    2. Синус разности:
    3. Косинус суммы:
    4. Косинус разности:
    5. Тангенс суммы:
    6. Тангенс разности:
    7. Котангенс суммы:
    8. Котангенс разности:

    Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение

    • Сумма синусов:
    • Разность синусов:
    • Сумма косинусов:
    • Разность косинусов:
    • Сумма тангенсов:
    • Разность тангенсов:
    • Сумма котангенсов:
    • Разность котангенсов:

    Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму

    1. Произведение синусов:
    2. Произведение синуса и косинуса:
    3. Произведение косинусов:

    Формулы понижения степени

    • Формула понижения степени для синуса:
    • Формула понижения степени для косинуса:
    • Формула понижения степени для тангенса:
    • Формула понижения степени для котангенса:

    Формулы половинного угла

    1. Формула половинного угла для тангенса:
    2. Формула половинного угла для котангенса:

    Тригонометрические формулы приведения

    Формулы приведения задаются в виде таблицы:

    Тригонометрическая окружность

    По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

    Тригонометрические уравнения

    К оглавлению…

    • Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:
    • Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:
    • Для тангенса:
    • Для котангенса:
    • Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

    Геометрия на плоскости (планиметрия)

    К оглавлению…

    1. Пусть имеется произвольный треугольник:
    2. Тогда, сумма углов треугольника:
    3. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:
    4. Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:
    5. Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:
    6. Формула Герона для площади треугольника:
    7. Площадь треугольника через радиус описанной окружности:
    8. Формула медианы:
    9. Свойство биссектрисы:
    10. Формулы биссектрисы:
    11. Основное свойство высот треугольника:
    12. Формула высоты:
    13. Еще одно полезное свойство высот треугольника:
    14. Теорема косинусов:
    15. Теорема синусов:
    16. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:
    17. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:
    18. Площадь правильного треугольника:
    19. Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):
    20. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:
    21. Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:
    22. Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):
    23. Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:
    24. Длина средней линии трапеции:
    25. Площадь трапеции:
    26. Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:
    27. Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:
    28. Площадь квадрата через длину его стороны:
    29. Площадь квадрата через длину его диагонали:
    30. Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):
    31. Площадь прямоугольника через две смежные стороны:
    32. Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:

    Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):

    • Свойство касательных:
    • Свойство хорды:
    • Теорема о пропорциональных отрезках хорд:
    • Теорема о касательной и секущей:
    • Теорема о двух секущих:
    • Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):
    • Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):
    • Свойство центральных углов и хорд:
    • Свойство центральных углов и секущих:
    • Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:
    • Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:
    • Сумма углов n-угольника:
    • Центральный угол правильного n-угольника:
    • Площадь правильного n-угольника:
    • Длина окружности:
    • Длина дуги окружности:
    • Площадь круга:
    • Площадь сектора:
    • Площадь кольца:
    • Площадь кругового сегмента:

    Геометрия в пространстве (стереометрия)

    К оглавлению…

    1. Главная диагональ куба:
    2. Объем куба:
    3. Объём прямоугольного параллелепипеда:
    4. Главная диагональ прямоугольного параллелепипеда (эту формулу также можно назвать: «трёхмерная Теорема Пифагора»):
    5. Объём призмы:
    6. Площадь боковой поверхности прямой призмы (P – периметр основания, l – боковое ребро, в данном случае равное высоте h):
    7. Объём кругового цилиндра:
    8. Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:
    9. Объём пирамиды:

    Площадь боковой поверхности правильной пирамиды (P – периметр основания, l – апофема, т.е. высота боковой грани):

    • Объем кругового конуса:
    • Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса:
    • Длина образующей прямого кругового конуса:
    • Объём шара:
    • Площадь поверхности шара (или, другими словами, площадь сферы):

    Координаты

    К оглавлению…

    1. Длина отрезка на координатной оси:
    2. Длина отрезка на координатной плоскости:
    3. Длина отрезка в трёхмерной системе координат:
    4. Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы):
    Читайте также:  Методы оценки и диагностики эмоциональных состояний - справочник студента

    Таблица умножения

    К оглавлению…

    Таблица квадратов двухзначных чисел

    К оглавлению…

    Расширенная PDF версия документа «Все главные формулы по школьной математике»:

    К оглавлению…

    Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

    Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

    1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
    2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
    3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

    Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

    Нашли ошибку?

    Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь).

    В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка.

    Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

    Источник: https://educon.by/index.php/formuly/formmat

    Шпаргалки по математике, алгебре и геометрии — Инженерный справочник DPVA.ru / Технический справочник ДПВА / Таблицы для инженеров (ex DPVA-info)

    Алгебраические функции - Справочник студента
    Проект Карла III Ребане и хорошей компании


    Раздел недели: Тепловые величины: теплоемкость, теплопроводность, температуры кипения, плавления, пламени…
    Алгебраические функции - Справочник студента
    Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа.  / / Шпаргалки по математике, алгебре и геометрии

    Шпаргалки по математике, алгебре и геометрии

    Таблица квадратов. Таблица степеней. Формулы сокращенного умножения. Модуль числа. Свойства модуля: Уравнения и неравенства с модулем. Последовательности и прогрессии. Метод кординат на плоскости. Скалярное произведение векторов. Расстояние между точками. Тригонометрия — основные формулы. Таблица значений тригонометрических функций. Решение тригонометрических уравнений: Четность и нечетность тригонометрических функций. Обратные тригонометрические функции. Формулы приведения. Знаки тригонометрических функций. Показательные уравнения и неравенства.
    Алгебраические функции - Справочник студента Алгебраические функции - Справочник студента Алгебраические функции - Справочник студента Алгебраические функции - Справочник студента
    Корень n-ой степени. Степени. Иррациональные уравнения и неравенства. Логарифм, свойства логарифмов Логарифмические уравнения и неравенства. Соотношения в правильных многоугольниках. Теория вероятностей. Теоремы сложения вероятностей. Логарифмические уравнения и неравенства. Производная. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Уравнение касательной к графику функции в точке.
    Алгебраические функции - Справочник студента Алгебраические функции - Справочник студента
    Тригонометрические формулы. Свойства функций, основные тождества, сумма углов. Сумма функций, формулы приведения, особые случаи, степени, половинные, двойные и тройные углы. Обратные функции.
    Набор 2 — Алгебра. Линейная алгебра.
    Свойства степеней. Формулы сокращенного умножения. Свойства арифметических корней. Модуль. Начала математического анализа: прогрессии арифметическая и геометрическая. Производная. Первообразная и интеграл. Среднее арифметическое и среднее геометрическое. Тригонометрия. Основные формулы. Арксинус, арккосинус,  арктангенс, арккотангенс. Четность функций. Значения тригонометрических функций некоторых углов. Графики некоторых элементарных функций.  Логарифмы. Решение квадратных, иррациональных, показательных, тригонометрических уравнений, уравнений с модулем Квадратные неравенства. Неравенства с модулем. Логарифмические неравенства. Неравенства с модулем. Иррациональные неравенства. Показательные неравенства. Комбинаторика и бином Ньютона.
    Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Показательная форма комплексного числа. Действия с комплексными числами. Последовательности, пределы последовательности. Теоремы о пределах числовых последовательностей. Определение предела числовой функции. Односторонние пределы. Свойства пределов. Непрерывные функции и их свойства. Точки разрыва и их классификации. Замечательные пределы. Важные пределы. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства. Скалярное и векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов. Матрица перехода от базиса к базису. Преобразование координат вектора при  переходе к новому базису. Евклидово пространство. Длина вектора. Угол между векторами. Линейные преобразования пространства. Матрица линейного преобразования. Связь между координатами образа и прообраза. Связь между координатами одного и того же линейного оператора в разных базисах. Угол между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости. Характеристические уравнения линейного оператора. Собственные векторы линейного оператора и их свтойства. Поверхности второго порядка. Плоскость в пространстве. Виды углов в пространстве. Уравнения плоскости.
    Делимость чисел. Кратное. Делитель. НОК.  НОД  Простые и составные числа. Взаимно простые числа.  Числовые последовательности, члены, способы задания. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы. Характеристические свойства Числа. Множества натуральных, целых, рациональных, действительных, иррациональных чисел. Арифметические действия с дробями. Модуль — свойства. Решение квадратных уравнений. Формулы дискриминанта. Решение неполных квадратных уравнений. Теорема Виета. Алгоритм решения квадратного неравенства.
    Основные свойства функций. Понятие функции. Четность и нечетность. Периодичность. Нули функции. Промежутки знакопостоянства. Монотонность (возрастание, убывание). Асимптоты. Алгоритм описания фукнкции. Преобразование графиков функций у= f(x) в y=-f(x); y=f(-x); y=-f(-x); y=f(x-a); y=f(x)+b; y=f(ax); y=kf(x); y=|f(x)|; y=f(|x|). Построение графика обратной функции
    Квадратичная функция. Область определения / значений. Вершина графика функции. Нули. Свойства степеней. Св-ва арифметических корней.  Формулы сокращенного умножения. Показательная и логарифмическая функция. Область определения / значений. Промежутки знакопостоянства, монотонности, нули. Связь логарифмической и показательной функции. Свойства логарифмов. Решение показательных уравнений. Решение логарифмических уравнений. Примеры значений логарифмических и показательных функций. Тригонометрический функции синус и косинус. Область определения / значений. Промежутки знакопостоянства, монотонности, нули. Точки минимума и максимума. Четность, периоды.
    Степенные функции y=xn и y=x1/n, n∈Z. Свойства, графики. Квадратичная функция. Свойства степеней. Свойства арифметических корней. Формулы сокращенного умножения. Примеры значения степенных функций. Обратные тригонометрические функции: arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x, графики, свойства, область определения и значений, асимптоты, промежутки знакопостоянства, возрастания, убывания. Простейшие тригонометрические функции — связь с обратными. Примеры значений обратных тригонометрических функций.  Комбинаторика. Факториал. Перестановки. Размещения. Сочетания. Биноминальные коэффициенты. Треугольник Паскаля. Свойства биноминальных коэффициентов. Формула бинома
    Неравенства, понятия, строгие, нестрогие, решение. Свойства неравенств. Решение линейных неравенств. Решение квадратных неравенств. Метод интервалов при решении неравенств. Решение показательных неравенств. Решение логарифмическмх неравенств. Решение иррациональных неравенств. Решение неравенств с модулем. Часто применяемые неравенства
    Решение тригонометрических неравенств: sin x > a, sin x< a, sin x ≥ a, sin x ≤ a; cos x > a, cos x< a, cos x ≥ a, cos x ≤ a; tg x > a, tg x< a, tg x ≥ a, tg x≤a;  ctg x > a, ctg x< a, ctg x ≥ a, ctg x≤a Системы уравнений. Понятие системы уравнений. Свойства систем уравнений. Линейные системы уравнений с двумя неизвестными. Основные методы решения систем уравнений
    Производная функции. Определение, вторая производная, дифференцирование, геометрический и физический смысл производной, правила дифференцирования, производная сложной функции, достаточное условие монотонности функции, необходимое и достаточное условия экстремума, производные элементарных функций. Интегрирование функций. Понятие и основное свойство первообразной. Неопределенный интеграл. Правила интегрирования. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства и геометрический смысл определенного интеграла. Физический смысл определенного интеграла
    Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Показательная форма комплексного числа. Действия с комплексными числами. Последовательности, пределы последовательности. Теоремы о пределах числовых последовательностей. Определение предела числовой функции. Односторонние пределы. Свойства пределов. Непрерывные функции и их свойства. Точки разрыва и их классификации. Замечательные пределы. Важные пределы. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства. Скалярное и векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов. Матрица перехода от базиса к базису. Преобразование координат вектора при  переходе к новому базису. Евклидово пространство. Длина вектора. Угол между векторами. Линейные преобразования пространства. Матрица линейного преобразования. Связь между координатами образа и прообраза. Связь между координатами одного и того же линейного оператора в разных базисах. Угол между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости. Характеристические уравнения линейного оператора. Собственные векторы линейного оператора и их свтойства. Поверхности второго порядка. Плоскость в пространстве. Виды углов в пространстве. Уравнения плоскости.
    Набор 3 — Геометрия.
    Свойства треугольников, свойства четырехугольников, свойства окружностей, правильные многоугольники. Прямоугольная декартова система координат. Тела вращения. Цилиндр, конус, усеченный конус, сфера и шар, части шара. Призма. Пирамида. Различные виды углов. Построение плоских фигур. Радиальное измерение угловых величин. Свойства треугольников и правильных многоугольников. Выпуклые многоугольники. Подобие. Признаки подобия треугольников.
    Эллипс. Гипербола и ее свойства. Парабола и ее свойства. Полярная система координат. Цилиндрическая и сферическая системы координат. Двугранный угол. Трехгранный угол. Свойства четырехугольников. Виды четырехугольников. Свойства произвольных четырехугольников. Свойства параллелограмма. Свойства ромба. Свойства прямоугольника. Свойства квадрата. Свойства трапеции
    Геометрические места точек. Понятия. Примеры. Преобразования фигур. Параллельный перенос. Поворот. Преобразования симметрии относительно точки и прямой. Гомотетия. Подобие. Прямые и углы. Свойства прямых. Взаимное расположение прямых на плоскости. Аксиома параллельности и свойства параллельных прямых. Перпендикуляр и наклонные. Виды углов, свойства углов, признаки параллельности прямых, Теорема Фалеса.
    Свойства треугольников. Неравенство треугольника. Углы треугольника. Признаки подобия треугольников, прямая — параллельная стороне. Вычисления в треугольнике. Равнобедренный, равносторонний и прямоугольный треугольники. Замечательные линии треугольника. Медиана, средняя линия, биссектриса, высота, серединный перпендикуляр, взаимное расположение линий треугольника.
    Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности. Вписанные и описанные окружности. Описанные и вписанные в треугольник, четырехугольник, ромб, прямоугольник, квадрат, трапецию и правильный многоугольник окружности.
    Понятие вектора. Коллинеарные векторы. Действия с векторами и их свойства — сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число, критерий коллинеарности. Скалярное умножение (произведение) векторов. Проекция вектора на вектор. Разложение векторов по неколлинеарным векторам. Координаты вектора на плоскости. Действия с векторами в координатах на плоскости. Взаимное расположение векторов. Разложение вектора по координатным векторам. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Координаты середины отрезка. Расстояние между точками. Уравнение прямой, уравнение плоскости. Уравнение окружности. Уравнение сферы.
    Прямые и плоскости в пространстве. Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей. Признаки параллельности прямых и плоскостей. Признаки и свойства прямых перпендикулярных плоскости и перпендикулярных плоскостей. Перпендикуляр и наклонные. Проекция наклонной, теорема о трех перпендикулярах. Определения и признаки скрещивающихся прямых. Углы в стереометрии (плоские углы в стереометрии) Уравнения прямой на плоскости. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой «в отрезках». Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки. Нормальное уранение прямой.

    Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

    Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста. Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.

    Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса.

    Источник: https://dpva.ru/Guide/GuideMathematics/MathsForTheYoungest/MathShpargalka/

    Классификация элементарных функций

    Выделяют множество видов элементарных функций, каждый из которых обладает собственным набором свойств. Так, одни можно дифференцировать на определенном промежутке бесконечное число раз, другие являются непрерывными, ортогональными и др. В этой статье мы расскажем об общепринятой классификации элементарных функций.

    Читайте также:  Факты сознания - справочник студента

    Что такое элементарные функции

    Начнем с базового определения.

    Определение 1

    Элементарные функции – это такие функции, которые получаются из основных функций с помощью сложения, вычитания, умножения и деления, а также посредством преобразования сложных функций.

    Пример 1

    Пример элементарной функции – y=arcsin2xx2-3+1-ln(x).

    Таким функции бывают:

    • алгебраическими;
    • трансцендентными.

    В свою очередь алгебраические функции можно разделить на иррациональные и рациональные (целые рациональные и дробные рациональные).

    Рассмотрим каждый вид функций отдельно.

    Понятие алгебраических функций

    Определение 2

    Алгебраические функции – это функции, которые состоят из цифр и букв, соединяющихся друг с другом при помощи знаков сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня и возведения в целую степень.

    Иными словами, это те функции, которые можно получить из основных функций f(x)=x и f(x)=1 и любых чисел, проведя с ними необходимые алгебраические действия (вычитание, умножение, сложение, деление и др.)

    Пример 2

    Так, примером алгебраической функции является y=x2-34x.

    Выделяют рациональные и иррациональные алгебраические функции.

    Определение 3

    Рациональные функции – это те, в которых аргумент не находится под знаком корня (радикала). Они в свою очередь делятся на целые рациональные (т.е. многочлены) и дробные рациональные (выражения, составленные из многочленов).

    Пример 3

    Примером первого вида функций является y=12×4+x-1, второго – y=x-ax3+b.

    Важно отметить, что в рациональных функциях могут присутствовать иррациональные коэффициенты. Основное условие –– отсутствие аргумента функции под знаком радикала. Так, y=13×2-1 относится не к иррациональным, а к целым рациональным функциям.

    Определение 4

    Иррациональные функции – это те, которые содержат в себе аргумент под знаком корня (радикала).

    Пример 4

    Примером такой функции может быть y=x+13.

    Понятие трансцендентных функций

    Прочие функции, которые нельзя отнести к алгебраическим, относятся к виду трансцендентных.

    Определение 5

    Трансцендентные функции – это те, которые образуются при помощи логарифмирования, возведения в иррациональную степень или с помощью тригонометрических и обратных тригонометрических преобразований.

    Пример 6

    Пример такой функции – y=log2x3+23.

    При определении вида функции нужно учитывать один важный момент. Если исходная функция может быть упрощена, то определять вид мы будем уже у полученной в итоге преобразований, а не у исходной функции.

    Так, y=x3+3×2+3x+13 не относится к иррациональным функциям, поскольку при упрощении она становится рациональной y=x3+3×2+3x+13=x+1323=(x+1)2=x2+2x+1 .

    Функция y=arcsin(sin(3×2+1) является рационально алгебраической, а не трансцендентной, поскольку y=arcsin(sin(3×2+1)=3×2+1.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

    Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/funktsii/klassifikatsija-elementarnyh-funktsij/

    2 курс. Алгебра

    Лектор А.Л. Городенцев, преподаватель Е.Б. Фейгин

    Программа модуля I

    Полилинейная алгебраТензорное произведение векторных пространств, примеры тензорных конструкций и канонических изоморфизмов. Тензорная алгебра векторного пространства, свёртки, действие симетрической группы, линейная оболочка тензора, многообразия Сегре. Симметрическая и грассманова алгебры, поляризация (грасмановых) многочленов, многообразия Веронезе и Грассмана.

    Многочлены и рядыФормальные экспонента, логарифм и бином. Техника производящих функций. Числа и многочлены Бернулли. Многоугольник Ньютона. Разложение корней алгебраических уравнений в дробно степенные ряды.Симметрические функцииЦелочисленные базисы модуля симметрических функций, их производящие функции и переходы между ними. Многочлены Шура.

    Техника вычислений с симметрическими функциями. 

    Учебные материалы к лекциям

    Помимо представленных ниже специальных матермалов к отдельным лекциям рекомендуется учебник Э.Б.Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание)

    • Лекции 1-2 Тензорное произведение векторных пространств, тензорная алгебра, свёртки, линейная оболочка тензора.
    •  Лекция 3 Симметричные и кососимметричные тензоры. Поляризация многочленов и грассмановых многочленов над полем характеристики нуль, частные производные. Многообразия Веронезе и Грассмана.
    •   Напоминания из исчисления формальных степенных рядов: обращение и решение линеных реккурентных уравнений; дифференцирование, интегрирование, экспоненцирование, логарифмирование и бином Ньютона (с любым показателем из поля коэффициентов); действие Q[[d/dx]] на Q[x], ряд Тодда, числа Бернулли и обращение разностных операторов.
    •  Лекция 5 Кольцо симметрических функций. Его базисы (как модуля над Z) из мономиальных, элементарных, полных многочленов и из многочленов Шура, а также базис как векторного пространства над Q из ньютоновых степенных сумм; производящие функции для этих базисов и матрицы переходов между ними. (См. §§1-4 в [2])
    •  Исчисление массивов, диаграмм и таблиц. Комбинаторные соотношения на количества таблиц. Правило Литтлвуда-Ричардсона для перемножения многочленов Шура. Тождества Коши, Джамбелли-Якоби-Труди и Пьери.

    Задачи семинаров

    • Листок 1 Тензоры. Выдаётся с 1 сентября.
    • Листок 2 Тензорные степени. Выдаётся с 13 сентября.
    •   Поляризация (грассмановых) многочленов. Выдаётся с 27 сентября
    • Симметрические функции. Выдается с 6 октября

    • Контрольная N1 (классная) была 28 сентября (образец варианта). Темы: тензоры, многочлены, симметрические функции.

    Программа модулей II-III

    Конечные группыДействия, формула для длины орбиты. Полупрямые произведения. Теоремы Силова.Категории и функторыПримеры малых категорий. Категория функторов, представимость, лемма Ионеды. Сопряжённые функторы. Пределы. Диаграмный поиск.

    Пространства с операторамиПриводимость, разложимость, полупростота. Лемма Шура. Теорема плотности и теорема о двойном коммутаторе.Представления конечных группПолупростота групповой алгебры. Теория характеров. Кольцо представлений, индуцирование, двойственность Фробениуса.

    Представления симметрической группы, функторы Шура.

    Учебные материалы к лекциям

    Помимо представленных ниже специальных материалов к отдельным лекциям рекомендуются следующие учебники:

    1. Э.Б.Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание)
    2. Ж.-П.Серр. Линейные представления конечных групп. М., «Мир», 1970 (или любое другое издание)
    3. W.Fulton, J.Harris Representation theory: a first course. B-H-NY., «Springer-Verlag», 1991 (есть в колхозе)
    4. У.Фултон. Таблицы Юнга и … М., «МЦНМО», 2008 (или любое другое издание)
    • Лекция 7. Конечные группы в действии: длина орбиты, количество орбит, регулярное и присоединённое действие, действия p-групп, силовские подгруппы, полупрямые произведения.
    • Лекция 8. Пространства с операторами: разложимость, приводимость, полупростота, лемма Шура, характеризация полупростых модулей, теорема плотности, теорема Бернсайда (над алгебраически замкнутым полем пространство с операторами неприводимо тогда и только тогда, когда эти операторы порождают всю алгебру эндоморфизмов)
    • Лекция 9. Линейные представления конечных групп над замкнутым полем: разложение в сумму изотипных подмодулей, строение групповой алгебры, неприводимые идемпотенты, скалярное произведение, характеры.
    • Лекция 10. Категории и функторы. Естественные преобразования. Лемма Ионеды. Представимые функторы. Сопряжённые функторы и (ко)индуцированные модули.
    •  Лекция 11  Пределы диаграмм
    • Целые расшиоения коммутативных колец
    • Лекция 13. [обновлено 25.03.2010] Представления симметрических групп.
    • Задачи семинаров
    •   Конечные группы. (выдается с 1 ноября) 
    •  Группы в действии (выдается с 11 ноября)
    •  Диаграмный поиск (выдается с 17 ноября)
    • Маленькие линейные представления (выдается с 23 ноября)
    • Выдается с 17 января
    • Индуцированные представления. Выдается с 16 февраля
    • Целые расширения коммутативных колец. Выдается с 9 марта

    Программа модуля IV

    Элементы коммутативной алгебрыСвойства целых элементов. Нормальные кольца. Лемма Гаусса. Строение конечно порождённых коммутативных алгебр над полем, степень трансцендентности. Теоремы Гильберта о базисе и о нулях.

    Антиэквивалентность категории конечно порождённых приведённых коммутативных алгебр с единицей над алгебраически замкнутым полем K и категории аффинных алгебраических многообразий над K.Элементы теории ГалуаПоле разложения, примитивные элементы. Алгебраическое замыкание.

    Продолжение гомоморфизмов, нормальные расширения и соответствие Галуа. Техника вычисления групп Галуа. Разрешимость уравнений в радикалах.Корни многочленовАлгебраическая замкнутость поля дробно степенных рядов, разложение алгебраической функции в ряд Пюизо, многоугольники Ньютона.

    Дискриминанты и результанты, теорема Безу. Свойства колец целых в полях алгебраических чисел.

    Учебные материалы к лекциям

    Помимо представленных ниже специальных материалов к отдельным лекциям рекомендуются следующие учебники:

    1. Э.Б.Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание)

    Источник: https://math.hse.ru/courses_math/bac2-algebra

    Иллюстрированный самоучитель по MatLab

    Элементарные функции, пожалуй, наиболее известный класс математических функций. Поэтому, не останавливаясь подробно на их описании, представим набор данных функций, имеющийся в составе системы MATLAB. Функции, перечисленные ниже, сгруппированы по функциональному назначению. В тригонометрических функциях углы измеряются в радианах.

    Все функции могут использоваться в конструкции вида y=func(x), где func – имя функции. Обычно в такой форме задается информация о функции в системе MATLAB. Мы, однако, будем использовать для функций, возвращающих одиночный результат, более простую форму func(x). Форма [y,z,…]=func(x….

    ) будет использоваться только в тех случаях, когда функция возвращает множественный результат.

    Алгебраические и арифметические функции

    В системе MATLAB определены следующие алгебраические и арифметические функции:

    • abs(X) – возвращает абсолютную величину для каждого числового элемента вектора X. Если X содержит комплексные числа, abs(X) вычисляет модуль каждого числа. Примеры:
    • abs(-5) = 5
    • abs(3+4i) =5
    • >> abs([1-2 1 3i 2+3i])
    • ans =

    1.0000 2.0000 1.0000 3.0000 3.6056

    • ехр(Х) – возвращает экспоненту для каждого элемента X. Для комплексного числа z = х + i*y функция exp(z) вычисляет комплексную экспоненту: exp(z)=exp(x)*(cos(y)+i*sin(y)).

    Примеры:

    >> exp([1 23])

    ans =

    2.7183 7.3891 20.0855

    >> exp(2+3i)

    ans =

    -7.3151 + 1.0427i

    • factor(n) – возвращает вектор-строку, содержащую простые множители числа п. Для массивов эта функция неприменима. Пример:
    1. f = factor(221)
    2. f =
    3. 13 17
    • G=gcd(A, В) – возвращает массив, содержащий наибольшие общие делители соответствующих элементов массивов целых чисел А и В. Функция gcd (0.0) возвращает значение 0, в остальных случаях возвращаемый массив G содержит положительные целые числа;
    • [G, С. D] = gcd(A, В) – возвращает массив наибольших общих делителей G и массивов С и D, которые удовлетворяют уравнению A(i).*С(1) + B(i).*D(i) = G(i). Они полезны для выполнения элементарных эрмитовых преобразований. Примеры:
    • >> A=[2 6 9]:
    • >> B=[2 3 3]:
    • >> gcd(A.B)
    • ans =
    • 2 3 3

    >> [G.C.D]=gcd(A.B)

    1. G =
    2. 2 3 3
    3. C =
    4. 0 0 0
    5. D=
    6. 1 1 1
    • lcm(A.B) – возвращает наименьшие общие кратные для соответствующих парных элементов массивов А и В. Массивы А и В должны содержать положительные целые числа и иметь одинаковую размерность (любой из них может быть скаляром). Пример:
    • >> A=[1 354];
    • >> B=[2 462];
    • >> lcm(A.B)
    • ans =
    • 2 12 30 4
    • log (X) – возвращает натуральный логарифм элементов массива X. Для комплексного или отрицательного z, где z = х + y*i, вычисляется комплексный логарифм в виде log(z) = log(abs(z)) + i*atan2(y,x). Функция логарифма вычисляется для каждого элемента массива. Область определения функции включает комплексные и отрицательные числа, что способно привести к непредвиденным результатам при некорректном использовании. Пример:

    >> X=[1.2 3.34 5 2.3];

    >> log(X)

    ans=

    -0.1823 1.2060 1.6094 0.8329

    Источник: http://samoychiteli.ru/document21597.html

    Содержание

    Предисловие………………………………………………………………….. 6
    1. Числовые множества………………………………………………….. 7
    1.1. Натуральные и целые числа……………………………………… 7
    1.2. Рациональные числа………………………………………………. 16
    1.3. Иррациональные числа…………………………………………… 17
    1.4. Действительные числа. Числовые промежутки………………… 18
    1.5. Модуль действительного числа…………………………………. 19
    1.6. Метод математической индукции………………………………. 20
    Задачи для самостоятельного решения………………………………… 22
    2. Функции действительного переменного……………………………. 24
    2.1. Понятие функции………………………………………………….. 24
    2.2. Свойства функции……………………………………………….. 28
    2.3. Основные элементарные функции……………………………….. 35
    2.4. Элементарные функции. Классификация функций……………. 38
    2.5. Геометрические преобразования графиков…………………….. 42
    Задачи для самостоятельного решения………………………………… 44
    3. Степени. Многочлены. Корни. Алгебраические выражения……. 49
    3.1. Степень действительного числа…………………………………… 49
    3.2. Многочлены. Действия над многочленами…………………….. 51
    3.3. Преобразование алгебраических выражений…………………… 59
    Задачи для самостоятельного решения………………………………… 67
    4. Уравнения………………………………………………………………. 70
    4.1. Основные понятия………………………………………………… 70
    4.2. Линейные уравнения……………………………………………… 70
    4.3. Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним………. 71
    4.4. Рациональные и дробно-рациональные уравнения…………….. 74
    4.5. Уравнения с модулем…………………………………………….. 80
    4.6. Иррациональные уравнения………………………………………. 84
    Задачи для самостоятельного решения………………………………… 89
    5. Неравенства………………………………………………………………. 92
    5.1. Основные понятия…………………………………………………. 92
    5.2. Квадратные неравенства………………………………………….. 92
    5.3. Рациональные и дробно-рациональные неравенства. Метод интервалов для рациональных неравенств……………………….. 93
    5.4. Неравенства с модулем…………………………………………….. 96
    5.5. Иррациональные неравенства…………………………………….. 99
    Задачи для самостоятельного решения…………………………………… 102
    6. Показательные уравнения и неравенства……………………………. 105
    6.1. Показательные уравнения………………………………………… 105
    6.2. Показательные неравенства……………………………………….. 108
    Задачи для самостоятельного решения…………………………………… 113
    7. Логарифмические уравнения………………………………………….. 115
    7.1. Преобразование логарифмических выражений..………………… 115
    7.2. Логарифмические уравнения……………………………………… 120
    7.3. Логарифмические неравенства…………………………………… 124
    Задачи для самостоятельного решения…………………………………… 126
    8. Тригонометрия…………………………………………………………… 130
    8.1. Преобразование тригонометрических выражений……………… 130
    8.2. Тригонометрические уравнения………………………………….. 138
    8.3. Тригонометрические неравенства………………………………… 149
    Задачи для самостоятельного решения………………………………….. 152
    9. Системы уравнений…………………………………………………….. 156
    9.1. Основные понятия…………………………………………………. 156
    9.2. Методы решения систем алгебраических уравнений…………… 156
    9.3. Системы иррациональных уравнений……………………………. 163
    9.4. Системы показательных и логарифмических уравнений………. 165
    9.5. Системы тригонометрических уравнений………………………. 169
    Задачи для самостоятельного решения………………………………….. 173
    10. Дифференциальное исчисление функции одной переменной…….. 176
    10.1. Понятие производной функции. Правила дифференцирования… 176
    10.2. Приложения производной………………………………………… 181
    Задачи для самостоятельного решения………………………………….. 184
    11. Комплексные числа……………………………………………………… 185
    11.1. Определение комплексного числа……………………………….. 185
    11.2. Действия над комплексными числами…………………………… 185
    11.3. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа………………………………………………………………… 186
    11.4. Множества комплексной плоскости………………………………. 189
    Задачи для самостоятельного решения………………………………….. 191
    Литература……………………………………………………………………… 193
    Краткий справочник по элементарной математике……………………… 195

    Соседние файлы в папке Gmail

    Источник: https://studfile.net/preview/5831562/

    Ссылка на основную публикацию