Выражения и тождества — справочник студента

Рассмотрим примеры.

Пример 1:

Данное уравнение мы решали методом выделения полного квадрата и получили корни или

Пример 2:

Данное уравнение мы также решали методом выделения полного квадрата и получили ответ или .

Это означает, что в случае примера 1 только при или уравнение превращалось в верное числовое равенство, для второго примера только при или уравнение превращалось в верное числовое равенство.

Для нас важно то, что приведенные выше выражения справедливы каждое только для своей пары значений переменной и эти значения имеют название корни уравнения.
Но существуют такие выражения, которые справедливы при любых значениях переменных, которые в них входят. Рассмотрим примеры:
Пример 3:

Подставив в выражение любые значения , мы получим верное числовое равенство.

Пример 4:

Формула квадрата разности утверждает, что данное выражение справедливо при любых значениях
Выражения из примеров 3 и 4 мы будем называть тождествами. Подобных примеров можно привести очень много:
Пример 5:

Данное выражение также справедливо при любых значениях переменных

В этом и заключается принципиальное отличие уравнения от тождества. Тождество – это такое равенство, которое верно при любых значениях переменных, которые в него входят, уравнение же справедливо только при некоторых значениях переменных.

Уточним, что значит любые значения переменных. Рассмотрим элементарное равенство:
;
какое бы значение не принимал, равенство будет справедливым.
Разделим обе стороны на
Данное выражение будет справедливо при любых , кроме , потому что в знаменателе обеих дробей стоит двучлен , и эти дроби определены, то есть их можно вычислить, только если знаменатель не равен нулю: , то есть .
Пример 6:

Данное выражение является тождеством, так как оно справедливо во всех случаях кроме тех, когда знаменатель равен нулю. То есть, оно справедливо при всех , кроме , так как в этом случае дробь не имеет смысла.

Итак, появились значения переменных, при которых даже само выражение не имеет смысла, в связи с этим скорректируем определение тождества: тождество это выражение, обращающееся в верное равенство при всех допустимых значениях переменных, которые в него входят.
Рассмотрим задачи.
Пример 7 – доказать тождество:

Мы уже встречались с подобными примерами, говорили, что .

Теперь докажем, что выражение под квадратом можно умножить на минус единицу и получится верное равенство. Для этого в заданном выражении раскроем скобки:

Мы знаем, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется, таким образом, тождество доказано.
Но его можно доказать и другим способом:
;
Пример 8:
;
Преобразуем левую часть:
;
После преобразований получаем:
;
Тождество доказано.
Заметим, что тождественные преобразования – это те преобразования, при которых одно выражение заменяется другим, тождественно ему равным.
Пример 9:
;

Есть два способа решения данной задачи. Первый – это напрямую в левой части раскрыть квадрат, выполнить умножение одночлена на двучлен, привести подобные члены и посмотреть, окажется ли выражение тождеством или нет.

Второй способ – преобразовать левую часть при помощи метода вынесения общего множителя:
;
Теперь мы видим, что левая часть – это разность квадратов. Преобразует ее:
;
Получаем выражение:
;
Тождество доказано.
Пример 10 – доказать, что если , , , то выражения и тождественно равны при любых значениях :

Рассмотри два заданных выражения. В первом стоят с плюсом, а с минусом, во втором наоборот стоит с плюсом, а стоят с минусом, значит первое выражение равно второму, взятому с противоположным знаком. То есть имеем некоторое выражение :

, , ,
подставим значения A, B и С в заданное выражение:
;
Упростим выражение:
;
Приведем подобные члены:
;
;
Тождество доказано.
Пример 11 – установите, является ли данное равенство тождеством и если да, то укажите допустимые значения переменных:
Начнем с определения допустимых значений :
, , и ;
Получили, что все значения , кроме и являются допустимыми, так как в этих двух точках знаменатель обращается в ноль и дробь не имеет смысла.

Теперь нужно упростить выражение в левой части. Это алгебраическая дробь и мы знаем, что нужно разложить на множители входящие в нее многочлены и сократить. В числителе применим формулу разности квадратов, а знаменатель оставим:

Получаем:
;
Данное выражение является тождеством при всех значениях , кроме и .
Пример 12 — установите, является ли данное равенство тождеством и если да, то укажите допустимые значения переменных:
Левая часть является алгебраической дробью, многочлены в числителе и знаменателе нужно разложить на множители:
Мы видим в числителе и знаменателе одинаковые выражения, которые можно сократить, но обязательно при этом нужно указывать допустимые значения:
Получаем:
Выражение является тождеством для всех значений, кроме:
Пример 13 – доказать тождество:
Пример 14 – доказать тождество:
Сначала упростим дробь:
Приведем подобные в левой части:
Свернем полный квадрат по формуле:

Вывод: в данном уроке мы ознакомились с понятием тождества, дали его определение, научились определять допустимые значения переменных. Мы решили много примеров различной сложности и научились доказывать тождества, преобразуя только одну часть выражения или сразу обе.

Список рекомендованной литературы

Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ
Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет:

Школьный помощник (Источник).
Задачи и тесты по геометрии, алгебре, физике и математике (Источник).

Рекомендованное домашнее задание:
а) ; б) ;
в) ; г)
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;

Доказать тождество и указать допустимые значения переменных:

а) ; б)

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/7-klass/glava-5-razlozhenie-mnogochlenov-na-mnozhiteli/tozhdestva

Реферат на тему "Тождественные преобразования выражений"

«Тождественные преобразования выражений»

Содержание.

Введение	3
3
Порядок выполнения действий при тождественных преобразованиях	4
Основные тождественные преобразования	4
Перестановка местами слагаемых, множителей	5
5
Группировка слагаемых, множителей	9
Вынесение за скобки общего множителя	9
Приведение подобных слагаемых	10
Памятка «Тождественные преобразования алгебраических выражений».	12
Заключение	15

ВВЕДЕНИЕ.

Простейшие преобразования выражений и формул, опирающиеся на свойства арифметических операций, производятся в начальной школе и 5 и 6 классах. Формирование умений и навыков выполнения преобразований происходит в курсе алгебры.

Это связано как с резким увеличением числа и разнообразия совершаемых преобразований, так и с усложнением деятельности по их обоснованию и выяснению условий применимости, с выделением и изучением обобщенных понятий тождества, тождественного преобразования, равносильного преобразования.

Тождество – это равенство, верное при любых значениях переменных.
Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.
Тождественное равенство обозначают символом «≡» (тройное равенство).
Тождественное преобразование выражения – это замена исходного выражения на выражение, тождественно равное ему.
Часто в этом словосочетании слово «тождественное» опускается, и говорят просто «преобразование выражения», при этом подразумевают, что речь идет именно о тождественном преобразовании.
Для тождественных преобразований используют формулы сокращенного умножения, законы арифметики и другие тождества.
При выполнении тождественных преобразований алгебраических выражений необходимо знать порядок выполнения действий, действия с дробями и степенными выражениями, формулы сокращенного умножения и др.
Следует иметь в виду, что при тождественных преобразованиях остаются неизменными:
— величина допустимых изменений буквенных величин;
— область допустимых значений каждой из буквенных величин.

Однако это не значит, что мы должны отказываться от таких преобразований, которые изменяют области допустимых значений величин. Напротив, мы ими часто пользуемся и при упрощении выражений и при решении уравнений. Нужно только при каждом таком преобразовании указать, как изменились области допустимых значений буквенных величин.

Порядок выполнения действий при тождественных преобразованиях.

Порядок выполнения действий:
— действия с одночленами;
— действия в скобках;
— умножение или деление (в порядке появления);
— сложение или вычитание (в порядке появления).

Основные тождественные преобразования.

Существует ряд наиболее часто используемых тождественных преобразований, которые проводятся с выражениями различных видов.

Такие преобразования назовем основными:

Перестановка местами слагаемых, множителей

Справедливо правило: в любой сумме слагаемые или в любом произведении множители можно переставлять местами.

Это правило вытекает из переместительного и сочетательного свойств сложения и произведения. Из этих свойств следует, что все выражения, полученные после перестановки местами слагаемых (или множителей), тождественно равны исходному выражению. Поэтому, перестановка местами слагаемых в сумме (или множителей в произведении) является тождественным преобразованием.

Выражения и тождества - Справочник студента

Числовые выражения и выражения с переменными в своей записи могут содержать скобки. Эти выражения можно заменить тождественно равными выражениями, в которых будет меньшее количество скобок или их не будет вовсе.

Правило раскрытия скобок, в которые заключены одиночные положительные числа: пусть a – положительное число, тогда (a) заменяется на a, +(a) заменяется на +a и −(a) заменяется на −a.
Правило раскрытия скобок, в которых содержатся одиночные отрицательные числа: +(−a) заменяется на −a, а −(−a) заменяется на +a, если же выражение начинается с отрицательного числа (−a), записанного в скобках, то скобки, содержащие это число, просто опускаются, и вместо (−a) остается −a.
Правило раскрытия скобок в произведении двух чисел.

Пусть a и b – положительные числа. Тогда произведение двух отрицательных чисел −a и −b вида (−a)·(−b) заменяется на (a·b), а произведения двух чисел с противоположными знаками вида (−a)·b и a·(−b) заменяются на (−a·b).

Иными словами, умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

Аналогичное правило справедливо и для частного двух чисел, так как деление можно рассматривать как умножение на обратное число.

Раскрытие скобок
При сложении	При умножении
Положительных чисел	Отрицательных чисел	Чисел с одинаковыми знаками	Чисел с разными знаками
(а) + … = а + …	(-а) + …= -а + …	(а)∙(b) = (a∙b) = = a∙b	(— а)∙(b) = (- a∙b) = = — a∙b
… + (а) = … + а	… + (-а) = … — а	(-a)∙(-b) = (a∙b) = = a∙b	(а)∙(— b) = (- a∙b) = = — a∙b
… — (-а) = … + а

Для раскрытия скобок, содержащих произведение нескольких отрицательных чисел, следует руководствоваться следующим правилом:
Если количество отрицательных чисел четно, то можно опустить скобки, заменив эти числа противоположными, после чего заключить полученное выражение в новые скобки; если же количество отрицательных чисел нечетно, то нужно опустить скобки, заменить эти числа на противоположные, поставить минус перед полученным выражением и заключить его в скобки.
Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку.
Раскрытие скобок в этих случаях проводится с использованием формул вида

где и – некоторые числа или выражения.
Умножение скобки на скобку
Чтобы умножить одну сумму на другую, надо каждое слагаемое первой суммы умножить на каждое слагаемое второй суммы и сложить полученные произведения:

Деление скобки на число и скобки на скобку.

При делении скобки на число можно раскрыть скобки, разделив на это число каждое из заключенных в скобки слагаемых.

Не менее удобно предварительно деление заменить умножением, после чего воспользоваться соответствующим правилом раскрытия скобок в произведении. Это правило позволяет раскрывать скобки и при делении скобки на скобку.

Порядок раскрытия скобок.

Порядок раскрытия скобок в алгебраических выражениях согласован с порядком выполнения действий:

сначала выполняется возведение скобок в натуральную степень,
дальше раскрываются скобки в произведениях и частных,
наконец, когда скобок в произведениях не остается, раскрываются скобки в суммах и разностях.

Задание для интерактивной доски: необходимо соотнести выражения и тождественно равными им.

Выражения и тождества - Справочник студента

Группировка слагаемых, множителей

К суммам трех и большего количества слагаемых применимо тождественное преобразование, получившее название группировка слагаемых.

Под группировкой слагаемых понимают объединение нескольких слагаемых в группу, путем их перестановки и заключения в скобки.

То есть, при группировке слагаемые переставляются местами так, чтобы группируемые слагаемые оказались рядом, после чего они заключаются в скобки.

Аналогично в произведениях трех, четырех и т.д. множителей может быть проведена группировка множителей.

Выражения и тождества - Справочник студента

Вынесение за скобки общего множителя

Когда слагаемые в выражении имеют одинаковый множитель, то с таким выражением можно провести преобразование, которое называется вынесением за скобки общего множителя. При этом преобразовании исходное выражение представляется в виде произведения общего множителя и выражения в скобках, состоящего из исходных слагаемых без общего множителя.

В основе вынесения общего множителя за скобки лежит распределительное свойство умножения относительно сложения, которое задается равенством a·(b+c)=a·b+a·c.

Поменяв в этом равенстве местами левую и правую часть, оно примет вид a·b+a·c=a·(b+c), откуда становится видно, что правая его часть равна левой части, в которой вынесен за скобки общий множитель a.

Задание для интерактивной доски:

Приведение подобных слагаемых

Данное тождественное преобразование относится к суммам, содержащим подобные слагаемые, то есть одинаковые слагаемые или слагаемые, отличающиеся только числовым коэффициентом. Оно получило название приведение подобных слагаемых.

Суть приведения подобных слагаемых заключается в вынесении общей буквенной части подобных слагаемых за скобки, и в последующем вычислении суммы числовых коэффициентов в скобках.
Задание для интерактивной доски:
Соотнести тождественные выражения:

Памятка «Тождественные преобразования алгебраических выражений».

Действия с дробями:

Сложение

Вычитание

Умножение

Деление

Перестановка членов пропорции:

;

Производные пропорции.

Дана пропорция , справедливы следующие пропорции:

;

Формулы сокращенного умножения:

, где и — корни уравнения .

Формулы корней квадратного уравнения

, дискриминант

Среди действительных чисел корней нет

Формулы корней приведенного квадратного уравнения

, дискриминант

Среди действительных чисел корней нет

Теорема Виета. В приведенном квадратном уравнении сумма корней равна коэффициенту при , взятому с противоположным знаком, а их произведение – свободному члену:
Если задано квадратное уравнение в общем виде: , то делением уравнения на можно свести к приведенному, где ,
Действия со степенями:

При работе с модулями используют различные свойства модулей, например:

Действия с корнями (корни предполагаются арифметическими):

Свойства числовых неравенств
пусть , , тогда
пусть , , тогда
Заключение.

Тождественные преобразования представляют из себя одну из главных линий школьного курса математики. На их основании у обучащихся формируется представления об аналитических методах математики. Как правило, при выполнении практически любого задания по алгебре выполняется тождественные преобразования.

Необходимо иметь ввиду: в школьном курсе математики очень часто делают неравносильные преобразования, и при этом происходит расширения или сужение области определения. Обучащиеся должны понимать, что в данном случае нужно сделать проверку при решении или уравнения или найти область определения при решении неравенства.

Источник: https://videouroki.net/razrabotki/riefierat-na-tiemu-tozhdiestviennyie-prieobrazovaniia-vyrazhienii.html

Математика: Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений

Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений

Комментарий. Для выполнения заданий этой группы требуется хорошо знать свойства логарифмов и уметь их применять. Эта работа очень полезна для подготовки к решению логарифмических и показательных уравнений и неравенств. Рассмотрим далее задания, связанные с упрощением показательных и логарифмических выражений.

Вспомним основные свойства логарифмов.

.

Комментарий. Логарифм единицы по любому основанию равен нулю. Для того, чтобы убедиться в истинности данной формулы, достаточно вспомнить, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
.

Комментарий. Логарифм равен единице в случае равенства чисел (выражений) — основания логарифма и выражения, стоящего под логарифмом.
.

Комментарий. Представленная формула является одним из вариантов записи определения логарифма.
.
.
.
.
.

Комментарий.

Данная формула называемая формулой перехода к новому основанию, имеет два важных следствия. Приравняем в формуле , тогда . Рассмотрим числитель полученной дроби. Поставим вопрос: в какую степень следует возвести число b, чтобы получить число b. Ответ — в первую степень, т.е. числитель рассматриваемой дроби равен единице. Таким образом, . В ряде задач полезно бывает полученную формулу записать в преобразованном виде: .
.

Комментарий. Предполагается, что во всех представленных формулах параметры принимают допустимые значения.

Вычислить
Представим в виде степени числа 5, тогда
Далее воспользуемся правилом умножения степеней одинаковым основанием (при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются):
.
Преобразуем полученную в процессе решения разность логарифмов (по одному основанию) и применим определение логарифма (зададим вопрос: В какую степень следует возвести основание логарифма 3, чтобы получить число, стоящее под логарифмом — 9?):
Ответ: 25.
Упростить выражение
Упростим показатель степени подкоренного выражения:
Тогда
Ответ: 27.
Упростить выражение:

Вначале упростим логарифмируемое выражение. Если Вы уже занимались упрощением алгебраических выражений, то вид первого множителя в знаменателе вызовет предположение, что перед нами полный квадрат. Действительно, Тогда:

Следовательно,
Ответ: 1/2.
Найти значение выражения
Разделим на знаменатель каждое слагаемое числителя по отдельности:
Переходя далее в каждом слагаемом к новому основанию 18, получаем, что:
Преобразуем далее сумму логарифмов с одинаковым основанием в логарифм произведения и используем определение логарифма:
Ответ: 1.
Вычислить
Для преобразования данного выражения перейдем во всех логарифмах к основанию 4:
.
Тогда выражение принимает вид:
Далее разложим на множители логарифмируемые выражения, выделяя в каждом из них множитель вида 4n :
28 = 4 ∙ 7, 112 = 16 ∙ 7 = 42 ∙ 7, 448 = 64 ∙ 7 = 43 ∙ 7.
Продолжим преобразование выражения, используя свойства логарифмов:
Ответ: 2.
Вычислить
Представим числа 2 и 1 в виде: Тогда
Ответ: 2.
Найти если
Обратим внимание на то, что в каждом логарифме (либо в основании, либо в аргументе) присутствует множитель 7. Поэтому перейдем к основанию 7 во всех логарифмах:
Обратим внимание, что , тогда:
Следовательно, для вычисления этого логарифма нужно знать значения и Воспользуемся формулами перехода к новому основанию:
Подставим далее найденные значения в преобразованное исходное выражение:
Ответ:

Известно, что лежит между числами 8 и 13, а принимает целые значения. Найти количество этих значений.

Перейдем в обоих логарифмах к основанию b.

Для этого воспользуемся сначала формулой «логарифм частного»: . Обратим далее внимание, что .

Получаем, что
Решим методом интервалов неравенство: .
Для этого перейдем к систем нестрогих неравенств: .
Рассматривая каждое из записанных неравенств отдельно и впоследствии находя решение как пересечение множеств (решений первого и второго неравенств), получаем:
Выполним преобразования полученного двойного неравенства.
Прибавим 1 ко всем частям неравенства: Поскольку его значения задаются неравенством:
или
Следовательно, может принимать 6 целых значений – от 11 до 16.
Ответ: 6.

Источник: http://www.e-biblio.ru/xbook/new/xbook311/book/part-004/page.htm

math4school.ru

Выражения и тождества - Справочник студента

При упрощении выражений, вычислении их значений, при решении уравнений и неравенств необходимо производить тождественные преобразования заданных выражений. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся ошибки при тождественных преобразованиях.

Нарушение порядка действий

K Упражнение. Упростить выражение
[1-frac{sqrt{x}}{x-1}:frac{sqrt{x}-1}{x}]
L Неправильное решение.
Сначала
[1-frac{sqrt{x}}{x-1}=frac{x-1-sqrt{x}}{x-1}]
затем
[frac{x-1-sqrt{x}}{x-1}:frac{sqrt{x}-1}{x}]
и так далее.
J Правильное решение.
Сначала следует выполнить
[frac{sqrt{x}}{x-1}:frac{sqrt{x}-1}{x}]
затем произвести вычитание.

Для удобства принятия решения о последовательности выполнения действий их разделили на две ступени:
первая ступень – сложение и вычитание,
вторая ступень – умножение и деление.
При нахождении значения выражения или его упрощении действия выполняются в следующем порядке:

В выражении отсутствуют скобки, и оно включает в себя действия только одной ступени, тогда все операции выполняются по порядку слева на право.
Если в выражении отсутствуют скобки, и присутствуют действия двух ступеней. Тогда в первую очередь выполняются действия второй ступени, а во вторую действия первой ступени. Правило слева направо при выполнении действий одинаковой ступени выполняется.
Если выражение содержит скобки, то действия в скобках выполняются в первую очередь. Остальные действия выполняются в соответствии с правилами 1. и 2.

Нарушение правил действий над степенями и многочленами

Нередко учащиеся неверно применяют формулы сокращенного умножения, нарушают правила действий над степенями с рациональным показателем.

L Неправильное решение	J Правильное решение
[left(a^{frac{1}{2}}+b^{frac{1}{2}} ight)^{-3}=frac{1}{a^{frac{3}{2}}+b^{frac{3}{2}}}]	[left(a^{frac{1}{2}}+b^{frac{1}{2}} ight)^{-3}=frac{1}{left(a^{frac{1}{2}}+b^{frac{1}{2}} ight)^{3}}]
[frac{a^3-b^3}{a-b}=a^2-b^2]	[frac{a^3-b^3}{a-b}=a^2+ab+b^2]
[left(a-b ight)^{frac{1}{2}}=a^{frac{1}{2}}-b^{frac{1}{2}}]	[left(a-b ight)^{frac{1}{2}}=sqrt{a-b}]
[a^{-1}+b^{-1}=frac{1}{a+b}]	[a^{-1}+b^{-1}=frac{1}{a}+frac{1}{b}]
[16^x-4^x=(16-4)^x]	[16^x-4^x=4^x(4^x-1)]
[9^{2-x}=9^2-9^x]	[9^{2-x}=9^2:9^x]

Разложение многочленов на множители выполняется нерационально или не доводится до конца.

K Упражнение. Разложить многочлен x3 – x2 – x + 1 на множители.

L Неправильное решение.
x3 – x2 – x + 1 = x2 · (x – 1) – (x + 1) = дальше продолжить не удалось.
J Правильное решение.
x3 – x2 – x + 1 = x2 · (x – 1) – (x – 1) = (x2 – 1) · (x – 1) =
= (x + 1) · (x – 1) · (x – 1) = (x + 1) · (x – 1)2.

Сокращение дробей

Очень распространенной ошибкой является попытка сократить стоящие в числителе и знаменателе одинаковые выражения, одно из которых (или в числителе, или в знаменателе), а порой и оба, являются не сомножителями, а слагаемыми.

L Неправильное решение	J Правильное решение
[frac{2m+2(m+n)^3}{(m+n)^2(2m+n)}=frac{2m+2(m+n)}{2m+n}]	Сократить нельзя
[frac{sin alpha +cos alpha }{sin alpha}=1+cos alpha]	Сократить нельзя
[frac{a^4-b^4}{a-b}=a^3-b^3]	[frac{a^4-b^4}{a-b}=frac{(a^2+b^2)(a-b)(a+b)}{(a-b)}=] [=(a^2+b^2)(a+b)]
[frac{sin alpha +sin 2alpha -sin 3alpha }{cos alpha +cos 2alpha -cos 3alpha }=] [= an alpha + an 2alpha- an 3alpha]	Сократить нельзя
[frac{sqrt{a^3b}left(asqrt{a}+bsqrt{b} ight)}{sqrt{a}+sqrt{b}}] Сокращение не произведено	[frac{sqrt{a^3b}left(asqrt{a}+bsqrt{b} ight)}{sqrt{a}+sqrt{b}}=] [=frac{sqrt{a^3b}left(sqrt{a}+sqrt{b} ight)left(a-sqrt{ab}+b ight)}{sqrt{a}+sqrt{b}}=] [=sqrt{a^3b}left(a-sqrt{ab}+b ight)]

Неправильное выполнение действий с арифметическими корнями

L Неправильное решение	J Правильное решение
[sqrt{left(4-sqrt{32} ight)^2}=4-sqrt{32}]	[sqrt{left(4-sqrt{32} ight)^2}=sqrt{32}-4]
[sqrt{frac{a+1}{(1-a)^2}}=frac{sqrt{a+1}}{1-a}] при а > 1	[sqrt{frac{a+1}{(1-a)^2}}=frac{sqrt{a+1}}{a-1}] при а > 1
[sqrt{a^2+b^2}=a+b]	Упростить невозможно
[bsqrt{2}=sqrt{2b^2}] при b < 0	[bsqrt{2}=-1sqrt{2b^2}] при b < 0

Необходимо помнить, что для любого действительного числа а и натурального k верно:
[sqrt[2k+1]{a^{2k+1}}=a,]
[sqrt[2k]{a^{2k}}=left| a
ight|.]

Ошибки тригонометрического характера

При нахождении одной из тригонометрических функций через заданное значение другой не учитываются знаки тригонометрических функций в зависимости от положения угла.

K Упражнение. Найти ctg α, если sin α = 0,8.

L Неправильное решение.
1 + ctg2 α = sin–2 α,
1 + ctg2 α = 25/16,
ctg2 α = 9/16,
ctg α = 3/4.

Комментарий. Здесь ошибка заключается в том, что при извлечении корня мы можем получить как положительное значение, так и отрицательное, то есть ctg α = ± 3/4, поэтому необходимо искать решение отдельно в каждой четверти.

J Правильное решение.
Так как sin α > 0, то α может находиться только в I или во II четверти, значит:
1) если α – угол первой четверти, то ctg α = 3/4;
2) если α – угол второй четверти, то ctg α = – 3/4.

Смотрите так же:

Ошибки в уравнениях
Ошибки в системах уравнений
Ошибки в неравенствах
Ошибки в упражнениях с параметрами
Ошибки в упражнениях о функциях
Ошибки в упражнениях из начал анализа
Ошибки в геометрических задачах

Источник: http://math4school.ru/oshibki_v_tozhdestvennih_preobrazovanijah.html

Конспект урока на тему " Тождества. Тождественные преобразования выражений "

7 класс

«Тождества. Тождественное преобразование выражений».

Абдулкеримова Хадижат Махмудовна,
учитель математики
Цели урока

ознакомить и первично закрепить понятия «тождественно равные выражения», «тождество», «тождественные преобразования»;
рассмотреть способы доказательства тождеств, способствовать выработке навыков доказательства тождеств;
проверить усвоение учащимися пройденного материала, сформировывать умения применения изученного для восприятия нового.

Тип урока: изучение нового материала
Оборудование: доска, учебник, рабочая тетрадь.
План урока

Организационный момент
Проверка домашнего задания
Актуализация знаний
Изучение нового материала (Ознакомление и первичное закрепление понятий «тождество», «тождественные преобразования»).
Тренировочные упражнения (Формирование понятий «тождество», «тождественные преобразования»).
Рефлексия урока (Обобщить теоретические сведения, полученные на уроке).
Сообщение домашнего задания (Разъяснить содержание домашнего задания)

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания.(фронтально)

III. Актуализация знаний.

Приведите пример числового выражения и выражения с переменными
Сравните значения выражений х+3 и 3х при х=-4; 1,5; 5
На какое число нельзя делить? (0)
Результат умножения? (Произведение)
Наибольшее двузначное число? (99)
Чему равно произведение от -200 до 200? (0)
Результат вычитания. (Разность)
Сколько граммов в килограмме? (1000)
Переместительное свойство сложения. (От перестановки мест слагаемых сумма не изменяется)
Переместительное свойство умножения. (От перестановки мест множителей произведение не изменяется)
Сочетательное свойство сложения. (Чтобы к сумме двух чисел прибавить какое-нибудь число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего)
Сочетательное свойство умножения. (чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего)
Распределительное свойство. (Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое и сложить полученные результаты)

IV. Обьяснение новой темы :
Найдем значение выражений при х=5 и у=4
3(х+у)=3(5+4)=3*9=27
3х+3у=3*5+3*4=27

Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных значения выражений 3(х+у) и 3х+3у равны.

Рассмотрим теперь выражения 2х+у и 2ху. При х=1 и у=2 они принимают равные значения:
2х+у=2*1+2=4
2ху=2*1*2=4
Однако можно указать такие значения х и у, при которых значения этих выражений не равны. Например, если х=3, у=4, то
2х+у=2*3+4=10
2ху=2*3*4=24
Определение: Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.
Выражения 3(х+у) и 3х+3у являются тождественно равными, а выражения 2х+у и 2ху не являются тождественно равными.

Равенство 3(х+у) и 3х+3у верно при любых значениях х и у. Такие равенства называются тождествами.

Определение: Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством.

Тождествами считают и верные числовые равенства. С тождествами мы уже встречались. Тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами (Учащиеся комментируют каждое свойство, проговаривая его).

a + b = b + aab = ba(a + b) + c = a + (b + c)(ab)c = a(bc)a(b + c) = ab + ac
Можно привести и другие примеры тождеств (Учащиеся комментируют каждое свойство, проговаривая его).
а + 0 = а
а * 1 = а
а + (-а) = 0
а * (-b) = — ab
a—b=a + (-b)
(-a) * (-b) = ab
Определение: Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.
Учитель:
Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.

Тождественные преобразования выражений широко применяются при вычислении значений выражений и решении других задач. Некоторые тождественные преобразования вам уде приходилось выполнять, например приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок. Напомним правила этих преобразований:

Учащиеся:

Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть;
Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки;
Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.

Учитель:
Пример 1. Приведем подобные слагаемые
5х +2х-3х=х(5+2-3)=4х
Каким правилом мы воспользовались?
Ученик:

Мы воспользовались правилом приведения подобных слагаемых. Это преобразование основано на распределительном свойстве умножения.

Учитель:
Пример 2. Раскроем скобки в выражении 2а + (b-3c) = 2a + b – 3c
Применили правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «плюс».
На каком свойстве основано данное преобразование?
Ученик:
Проведенное преобразование основано на сочетательном свойстве сложения.
Учитель:
Пример 3. Раскроем скобки в выражении а – (4b – с) = a – 4b + c
Воспользовались правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «минус».
На каком свойстве основано данное преобразование?
Ученик:
Выполненное преобразование основано на распределительном свойстве умножения и сочетательном свойстве сложения.

V. Выполнение упражнений.

№85 Устно
№86 Устно
№88 Устно
№93
№94
№90ав
№96
№97

VI. Рефликсия урока.

Учитель задает вопросы, а учащиеся отвечают на них по желанию.

Какие два выражения называются тождественно равными? Приведите примеры.
Какое равенство называется тождеством? Привести примером.
Какие тождественные преобразования вам известны?

VII. Домашнее задание. п.5, № 95, 98,100 (а,в)

Источник: https://infourok.ru/konspekt-uroka-na-temu-tozhdestva-tozhdestvennie-preobrazovaniya-virazheniy-2196500.html

Как доказать тождество?

Чтобы доказать тождество нужно доказать, что его правая и левая части равны, т.е. свести его к виду «выражение» = «такое же выражение»

В простых случаях, когда тождество не содержит переменных и иррациональности, можно просто вычислить правую и левую части.

Пример. Доказать тождество ((2,5+5cdot) (frac{6}{15})()^2=22-1,75). Решение:

((2,5+5cdot) (frac{6}{15})()^2=22-1,75) ( (2,5+) (frac{6}{3})()^2=20,25) ((2,5+2)^2=20,25) ((4,5)^2=20,25) (20,25=20,25)
Тождество доказано.
В более сложных случаях, доказывая тождество, приходится прибегать к преобразованиям, потому что просто посчитать «в лоб» уже нельзя. При этом можно:

Преобразовывать обе части одновременно (как в примере выше).
Преобразовывать только левую или только правую часть.
Переносить слагаемые через равно, меняя знак.
Умножать левую и правую часть на одно и то же число.
Использовать все математические правила и формулы (формулы сокращенного умножения, свойства степени, правила работы с дробями и разложения на множители и так далее и тому подобное). Именно пятый пункт при доказательстве тождеств используется чаще всего, поэтому все эти свойства и правила нужно знать, помнить и уметь использовать.

Пример. Доказать тождество ((a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)). Решение:

((a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2))	Работаем с левой частью, не трогая правую. С помощью формул сокращенного умножения раскроем скобки слева,…
(a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=2(a^2+b^2))	…затем приводим подобные слагаемые,…
(2a^2+2b^2=2(a^2+b^2))	…после чего вынесем за скобку двойку.
(2(a^2+b^2 )=2(a^2+b^2))	Обе части равны — тождество доказано

Пример. Доказать тождество (x^2+frac{1}{x^2} =(x+frac{1}{x})^2-2). Решение:

(x^2+frac{1}{x^2} =(x+frac{1}{x})^2-2)	Преобразуем правую часть, не трогая левую. Раскроем скобки с помощью формулы квадрата суммы,…
(x^2+frac{1}{x^2} =x^2+2xcdotfrac{1}{x}+frac{1}{x^2} -2)	…упростим одно из слагаемых, сократив (x) и (frac{1}{x}), …
(x^2+frac{1}{x^2} =x^2+2+frac{1}{x^2} -2)	… и приводим подобные слагаемые ((2) и (-2)).
(x^2+frac{1}{x^2} =x^2+frac{1}{x^2})	Слева и справа одинаковые выражения, значит тождество доказано.

Источник: http://cos-cos.ru/math/68/