Возведение комплексного числа в натуральную степень — справочник студента

Рассмотрим случай, когда комплексное число необходимо возвести в степень. Как правило, комплексное число задано в алгебраической форме, к примеру:

Необходимо возвести во вторую степень комплексное число z.
Поэтому первым делом избавляемся от алгебраического представления и приводим наше число к тригонометрическому виду:

Формула Муавра утверждает, что степень

комплексного числа z равна

Применяем формулу Муавра:

По большому счету, что значит возвести комплексное число в степень? Это умножить комплексное число само на себя n раз.

На мой взгляд, формулу Муавра целесообразно использовать в случае, когда степень n > 2.

В ином случае, когда n = 2, можно поупражняться в умножении комплексных чисел как обычных алгебраических двучленов, рассмотренных в статье ранее. А в целом, эта формула работает для любой степени.

Пример 1. Возвести в четвертую степень комплексное число

Сначала разберем структуру исходного комплексного числа, которое необходимо возвести в степень. Запишем, чему равно значение его действительной и мнимой части:

Найдем модуль и аргумент комплексного числа:

Запишем тригонометрическое представление комплексного числа:

Теперь, используя формулу Муавра, найдем

Источник: http://matematyka.ru/vozvedenie-kompleksnogo-chisla-v-stepen-formula-muavra/

Возведение комплексных чисел в степень

• Начнем с квадрата.
• Пример 9 Возвести в квадрат комплексное число 
• Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей  и перемножить числа по правилу умножения многочленов.
• Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения  : 

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения: . Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности.

Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно.

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень  справедлива формула:

Данная формула следует из правила умножения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме: чтобы найти произведение чисел , нужно перемножить их модули и сложить аргументы:

1. Аналогично для показательной формы: если , то: 
2. Пример 10 Дано комплексное число , найти z20.
3. Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме. В примере 8 мы это уже сделали: 
4. Тогда, по формуле Муавра: 

Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов.

Один оборот составляет радиан  или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе .

Пример 11 Дано комплексное число , найти z30. Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.

• Представим число в тригонометрической форме:  (это число z4 Примера 8). Используем формулу Муавра  : 
• Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.

Пример 12 Возвести в степень комплексные числа i10, i33, (-i)21. Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство. Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова: 

1. Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень: 
2. Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:
3. Пример 13 Возвести в степень комплексные числа  
4. Квадратное уравнение с комплексными корнями
5. Рассмотрим пример: 

Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее, два корня:

• Действительно ли найденные корни являются решением уравнения  ?
• Выполним проверку:
• Что и требовалось проверить.
• Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: .
• Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.

Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно:  и т.д. Во всех случаях получается двасопряженных комплексных корня.

Пример 14 Решить квадратное уравнение 

Вычислим дискриминант: 

Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!

1. По известным формулам получаем два корня:
2. – сопряженные комплексные корни
3. Таким образом, уравнение  имеет два сопряженных комплексных корня: 
4. Нетрудно понять, что в поле комплексных чисел «школьное» квадратное уравнение всегда при двух корнях! И вообще, любое уравнение вида  имеет ровно n корней, часть из которых могут быть комплексные
5. Пример 15 Найти корни уравнения 4z2+1=0 и разложить квадратный двучлен на множители.
6. Разложим квадратный двучлен на множители:
7. Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?
8. Уравнение вида  имеет ровно n корней  , которые можно найти по формуле:
9. где  – это модуль комплексного числа ,  – его аргумент, а параметр принимает значения: 
10. Пример 16 Найти корни уравнения 
11. Перепишем уравнение в виде 
12. В данном примере , n=2 , поэтому уравнение будет иметь два корня: z0 и z1 .
13. Общую формулу можно сразу детализировать:
14. Теперь нужно найти модуль и аргумент комплексного числа :
15. Число  располагается в первой четверти, поэтому:
16. Еще более детализируем формулу:
17. Подставляя в формулу значение k=0, получаем первый корень:
18. Подставляя в формулу значение k=1, получаем второй корень:
19. Ответ: 
20. Пример 17 Найти корни уравнения , где 
21. Сначала представим уравнение в виде :
22. Если , тогда 
23. Обозначим  привычной формульной буквой: 
24. Таким образом, требуется найти корни уравнения 
25. В данном примере n=3, а значит, уравнение имеет ровно три корня: z0, z1, z2
26. Детализирую общую формулу:
27. Найдем модуль и аргумент комплексного числа :
28. Число  располагается во второй четверти, поэтому:
29. Еще раз детализирую формулу:
30. Корень удобно сразу же упростить:
31. Подставляем в формулу значение k=0 и получаем первый корень:
32. Подставляем в формулу значение k=2 и получаем третий корень:
33. Очень часто полученные корни требуется изобразить геометрически:
34. Как выполнить чертеж?

Сначала на калькуляторе находим, чему равен модуль корней и чертим циркулем окружность данного радиуса. Все корни будут располагаться на данной окружности.

Теперь берем аргумент первого корня и выясняем, чему равняется угол в градусах:  . Отмеряем транспортиром  и ставим на чертеже точку z0.

• Берем аргумент второго корня  и переводим его в градусы: .
• Отмеряем транспортиром  и ставим на чертеже точку z1.
• По такому же алгоритму строится точка z2.

Источник: http://studies.in.ua/algebra-ta-geometria-lekcii/4512-vozvedenie-kompleksnyh-chisel-v-stepen.html

В помощь студенту-заочнику по дисциплине: «математика» раздел № 6 «комплексные числа»

• МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ ПМР
• ГОУ «ДНЕСТРОВСКИЙ ТЕХНИКУМ ЭНЕРГЕТИКИ
• И КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ»
• УТВЕРЖДАЮ
• Зам. директора по учебной работе

__________________М.В. Питель

1. «_____»__________________2019 г
2. В ПОМОЩЬ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ
3. по дисциплине: «МАТЕМАТИКА»
4. РАЗДЕЛ № 6
5. «Комплексные числа»
6. Разработал преподаватель математики
7. ГОУ СПО «ДТЭ и КТ»
8. Демьянова Светлана Васильевна
9. РАССМОТРЕНО СОГЛАСОВАНО
10. на заседании ЦМК методист

_____________________ дисциплин ________ Левицкая И.Н. Протокол №__ от «__»_____201__г. «__» _________201__г.

Председатель __________________

______________________________

г. Днестровск, 2019 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………………………………………………..3

Глава I. Комплексные числа………………………………………………………………………..…4

1. Понятие комплексного числа.……………………………………………………………………….4

2. Операции над комплексными числами.…………………………………………………………….7

3. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел..………………………………………..10

Глава II. Практика……………………………………………………………………………………..13 2.1. Найти число, сопряженное к комплексному числу.………………………………………………13 2.2. Найти модуль и аргумент комплексного числа………………………………………………..…13 Глава III. Презентация…………………………………………………………………………………14 Заключение………………………………………………………………………………………………15 Список использованной литературы………………………………………………………………..16

ВВЕДЕНИЕ

В зачетной работе написано одного из основных разделов математического анализа теории комплексных чисел. Рассмотрены все типы комплексных чисел, изучаемых в курсе высшей математики. Для каждого типа приведены основные теоретические сведения, приведены примеры решения комплексных чисел и сделана презентация.

Глава I. Комплексные числа.

1. Понятие комплексного числа.

Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:

1. Два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда

2. Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число

3. Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число

Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z = a + ib.

Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z, действительная часть обозначается a = Re z.

Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z. Такие названия выбраны в связи со следующими особыми свойствами комплексных чисел.

Заметим, что арифметические операции над комплексными числами вида z = a + i · 0 осуществляются точно так же, как и над действительными числами. Действительно,

Следовательно, комплексные числа вида a + i · 0 естественно отождествляются с действительными числами. Из-за этого комплексные числа такого вида и называют просто действительными. Итак, множество действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел. Множество комплексных чисел обозначается С. Мы установили, что  , а именно 

В отличие от действительных чисел, числа вида 0 + ib называются чисто мнимыми. Часто просто пишут bi, например, 0 + i3 = 3i. Чисто мнимое число i1 = 1i = i обладает удивительным свойством:

Таким образом,

С учётом этого замечательного соотношения легко получаются формулы сложения и умножения для комплексных чисел. Нет нужды запоминать сложную формулу для произведения комплексных чисел – если на комплексные числа смотреть как на многочлены с учётом равенства i2=-1 то и перемножать эти числа можно как многочлены. В самом деле,

то есть как раз получается нужная формула.

Геометрическая интерпретация действительных чисел является действительная прямая. Кроме того, как было установлено выше, на действительной прямой «нет места для новых точек», то есть любой точке на действительной оси отвечает действительное число.

Следовательно, комплексные числа на этой прямой расположить уже нельзя, однако можно попытаться рассмотреть наряду с действительной осью, на которой мы будем откладывать действительную часть комплексного числа, ещё одну ось, ей перпендикулярную; будем называть её мнимой осью.

Тогда любому комплексному числу z = x + iy можно поставить в соответствие точку координатной плоскости. На оси абсцисс будем откладывать действительную часть комплексного числа, а на оси ординат – мнимую часть.

Таким образом мы построим взаимнооднозначное соответствие между всеми комплексными числами и всеми точками плоскости. Если такое соответствие построено, то координатная плоскость называется комплексной плоскостью.

Очень важной является интерпретация комплексного числа z = a + ib как вектора   с координатами (a; b) на комплексной плоскости с началом в точке O (0; 0) и концом в точке A с координатами (a; b). Ясно, что это соответствие является взаимнооднозначным. В самом деле, как было только что отмечено, любому комплексному числу z = a + ib соответствует вектор   и наоборот, каждому вектору    соответствует, и притом единственное, число z = a + ib (Рисунок 1).

Рис. 1

Рассмотренные интерпретации комплексного числа позволяют называть комплексное число вектором или точкой на комплексной плоскости (Рисунок 2).

Рис. 2.Комплексные числа на плоскости

Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу:

Модуль комплексного числа z обычно обозначается   или r. Указанная в определении формула легко выводится при помощи теоремы Пифагора (Рисунок 3).

• Рис.3
• Если   то   то есть для действительного числа модуль совпадает с абсолютной величиной. Ясно, что   для всех   При этом   тогда и только тогда, когда 
• Аргументом комплексного числа z = a + ib (z ≠ 0) называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором     величина угла считается положительной, если угол отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.

Угол φ, аргумент комплексного числа, обозначается φ = arg z. Для числа z = 0 аргумент не определён.

Отметим следующий важный факт: заданием своего модуля и аргумента комплексное число фиксируется однозначно. Обратное, вообще говоря, неверно: если задано комплексное число z ≠ 0, то его модуль определяется однозначно, а аргумент – нет.

Действительно, если φ = arg z – аргумент этого комплексного числа, то все числа вида φ + 2πn также будут аргументами этого комплексного числа. Например, аргументами комплексного числа z = 1 + i являются углы   и т. д.

Из определения тригонометрических функций следует, что φ = arg z тогда и только тогда, когда для этого φ выполняется система

1. Операции над комплексными числами.

Арифметические операции над комплексными числами были определены в предыдущем пункте. Эти операции обладают следующими свойствами:

1. Коммутативность сложения: z1 +z2=z2+z1

для любых z1 ,z2 .

1. (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)

   Ассоциативность сложения:

для любых z1 ,z2 .

1. Существует такое число z = 0, которое обладает свойством z+0=z

для любого z  .

1. Для любых двух чисел z1 и z2 существует такое число z, что z1 + z = z2. Такое число z называется разностью двух комплексных чисел и обозначается z = z2 – z1.

2. Коммутативность умножения: z1z2= z2z1

для любых   z1z2

1. Ассоциативность умножения: (z1z2)z3= z1(z2z3)

для любых z1,z2,z3 .

1. Дистрибутивность сложения относительно умножения: z1(z2+z3)= z1z2 +z1z3

для любых z1,z2,z3 .

1. Для любого комплексного числа z: z∙1=z.

2. Для любых двух чисел z1 и z2 существует такое число z, что z1∙z=z2 Такое число z называется частным двух комплексных чисел и обозначается    Деление на 0 невозможно.

1. Все указанные свойства доказываются с помощью определения операций сложения и умножения.
2. Рис. 4 Сложение и вычитание комплексных чисел
3. Рис. 5 Умножение и деление комплексных чисел
4. Если число z = a + bi, то число   называется комплексно сопряжённым с числом z.
5. Рис. 6 Комплексное сопряженные числа
6. Комплексно сопряжённое число обозначается . Для этого числа справедливы соотношения:

Заметим, что последнее соотношение сводит операцию деления комплексных чисел к умножению z1 на z2 последующему делению на действительное число  .

1. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

Та запись комплексного числа, которую мы использовали до сих пор, называется алгебраической формой записи комплексного числа. Часто бывает удобна немного другая форма записи комплексного числа. Пусть   и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем:

Отсюда получается

Такая форма называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов. Арифметические действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, производятся следующим образом. Пусть z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1) и z2 = r2(cos φ2 + i sin φ2). Имеем:

Видно, что в тригонометрической форме операции умножения и деления производятся особенно просто: для того, чтобы перемножить (разделить) два комплексных числа, нужно перемножить (разделить) их модули и сложить (вычесть) их аргументы.

Отсюда следует, что для того чтобы перемножить n комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы: если φ1, φ2, …, φn – аргументы чисел z1, z2, …, zn, то

В частности, если все эти числа равны между собой, то получим формулу, позволяющую возводить комплексное число в любую натуральную степень.

Первая формула Муавра:

Число z называется корнем степени n,n  из комплексного числа w, если   Корень степени n,n   обозначается   Пусть теперь число w фиксировано. Найдём z из уравнения   .

Если w = 0, то у уравнения    существует единственное решение z = 0.

Если w ≠ 0, то положим, что нам известно тригонометрическое представление числа w = r0(cos φ0 + i sin φ0), и будем искать число z также в тригонометрической форме: z = r(cos φ + i sin φ). Из определения аргумента и геометрической интерпретации комплексных чисел следует, что два комплексных числа, записанных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на угол, кратный 2π. Имеем:

откуда получается:

Итак, все решения уравнения   задаются формулой

Заметим, что если в эту формулу подставлять натуральные числа k, то при k = 0, 1, …, n мы будем получать разные комплексные числа, а при k = n имеем:

Значит, и в дальнейшем значения корней будут повторяться. Следовательно, существует ровно n корней уравнения   и все они задаются одной формулой.

Вторая формула Муавра:

Глава II. Практика. 2.1. Найти число, сопряженное к комплексному числу.

Найдите число, сопряжённое к комплексному числу (1 + 2i)(3 – 4i).

Решение:

Имеем   Следовательно,  Ответ. 11 – 2i.

2.2. Найти модуль и аргумент комплексного числа.

Найти модуль и аргумент комплексного числа z = –1 – i.

Решение

Так как Re z = –1 и Im z = –1, то точка z лежит в третьей координатной четверти. Для поиска аргумента решим систему Ответ.

Глава III. Презентация.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Комплексные числа это одно из фундаментальных понятий математического анализа. В данной работе мы изучили комплексные числа.

Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии.

Именно поэтому нам нужно расширять свои знания о комплексных числах, их свойствах и особенностях.

• В зачетной работе я раскрыла понятие комплексного числа, операции над комплексными числами и тригонометрическая форма записи комплексного числа.
• В практической работе решила примеры по комплексным числам и сделала презентацию.
• СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел. – М., 2008г.

2. Гордиенко Н.А., Беляева Э.С., Фирстов В.Е., Серебрякова И.В. Комплексные числа и их приложения: Учебное пособие, 2008г.

3. Кураш А.Г. «Алгебраические уравнения произвольных степеней». М., 2007г.

4. Маркушевич А.И. «Комплексные числа и конформные отображения». М., 2009г.

5. Стройк Д.Я. «Краткий очерк истории математики». М., 2009г.

6. Яглом И.М. Комплексные числа и их приложения в геометрии. Изд. 2-е, стереотипное. – М., 2008г.

7. https://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2014/01/14/referat-kompleksnye-chisla-ikh-proshloe-i-nastoyashchee

8. https://mathematics.ru/courses/algebra/content/chapter1/section4/paragraph1/theory.html#.XdAMMdIzbIU

9. http://mmmf.msu.ru/zaoch/math/complex.pdf

7

Источник: https://multiurok.ru/files/v-pomoshch-studentu-zaochniku-po-distsipline-mat-5.html

Учебное пособие "Комплексные числа" по учебной дисциплине ЕН.01 «Математика» учебно-методическое пособие по теме

• Государственное бюджетное образовательное учреждение
• среднего профессионального образования
• «Краснодарский монтажный техникум»
• Краснодарского  края
• УТВЕРЖДАЮ
• Заместитель директора
• по учебно-методической работе

Муронова Л.А.

1.  Ноябрь 2013  г.
2. Учебное пособие
3. тема «Комплексные числа»
4. по дисциплине   ЕН.01 МАТЕМАТИКА
5. для  обучающихся  ГБОУ СПО «КМТ» КК
6. специальности 270843    Монтаж, наладка и эксплуатация электрооборудования промышленных и гражданских зданий

РАССМОТРЕНО	СОСТАВИЛ
на заседании методической комиссии   естественнонаучных дисциплин	Преподаватель математики
Валуева Л.А.
Протокол № _2_
от «_25»_октября 2013г.
Председатель МК
Абдуева В.Ф.

• Краснодар,   2013г.
• СОДЕРЖАНИЕ
• Введение
• Пояснительная записка.

1. Мнимая единица. Алгебраическая форма комплексных чисел.

1. Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.
2. Арифметические операции над комплексными числами в алгебраической форме.
3. Натуральная степень  мнимой единицы i

1. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
2. Тригонометрическая форма комплексного числа

1. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.

1. Показательная форма комплексного числа

1. Действия над комплексными числами, заданными в показательной форме.

1. Задачи для самостоятельного решения.
2. Литература.

Введение

В соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом по специальности 270843 Монтаж, наладка и эксплуатация электрооборудования промышленных и гражданских зданий (утвержден приказом Министерства образования и науки РФ от  15.04.2010г. №  359) выпускник должен обладать соответствующими профессиональными компетенциями. Учебная дисциплина ЕН 0.1 Математика призвана вместе с другими дисциплинами сформировать следующие профессиональные компетенции:

ПК 2.4. Участвовать в проектировании силового и осветительного электрооборудования.

ПК 3.3. Участвовать в проектировании электрических сетей.

ПК 4.2. Контролировать качество выполнения электромонтажных работ.

ПК 4.3. Участвовать в расчетах основных технико-экономических показателей.

То есть  цель изучения дисциплины ЕН 0.1. Математика —  сформировать у студента навыки владения математическим аппаратом для его успешного применения в решении прикладных задач своей специальности.  Одним из таких аппаратов является методика расчета с применением комплексных чисел.

Комплексные числа – одна из основ современной физики.

Комплексные числа образуют самую настоящую замкнутую коммунитативную систему. То есть это самые полноценные числа. На этих числах выполняются любые математические операции, в том числе и извлечение квадратного корня из отрицательных чисел, что невозможно на множестве действительных чисел. Именно поэтому они нашли такое широкое применение в физике, технике и других областях.

В электротехнике для измерения сопротивления используются действительные числа, а для измерения индуктивности и электрической емкости – комплексные.

Данное учебное пособие призвано оказать помощь обучающихся ГБОУ СПО КМТ КК II курса специальности 270843 Монтаж, наладка и эксплуатация электрооборудования промышленных и гражданских зданий в изучении темы «Комплексные числа» для более качественного  усвоения  пройденного материала. 

Пояснительная записка

Учебное пособие по учебной дисциплине ЕН.

01 «Математика» предназначено для  обучающихся ГБОУ СПО КМТ КК II курса специальности 270843 Монтаж, наладка и эксплуатация электрооборудования промышленных и гражданских зданий и соответствуют Федеральному государственному образовательному стандарту по этой специальности (утвержден приказом Министерства образования и науки РФ от  15.04.2010г. №  359).

Выдержка из ФГОС:

ЕН.1. Математика

1. В результате изучения обязательной части цикла обучающийся должен:
2. Уметь:
3. находить производную элементарной функции;
4. выполнять действия над комплексными числами;
5. вычислять погрешности результатов действия над приближенными числами;
6. решать простейшие уравнения и системы уравнений;
7. Знать:
8. основные понятия и методы математического анализа;
9. методику расчета с применением комплексных чисел;
10. базовые понятия дифференциального и интегрального исчисления;
11. структуру дифференциального уравнения.

Учебное пособие является дополнением к учебнику для ссузов Богомолова Н.В. Математика для расширенного изучения темы «Комплексные числа», в соответствии с требованиями ФГОС, и дальнейшего изучения дисциплины общепрофессионального цикла ОП.03 «Электротехника», т.к. эта тема в недостаточном объеме отражена в учебнике.

В учебном пособии  приведен краткий теоретический материал по темам, которые отсутствуют в учебнике и подборка задач по теме «Комплексные числа». Теоретический материал снабжен примерами задач с подробными указаниями по их решению.

Подборка задач и упражнений соответствует содержанию темы и поможет студентами усвоить теоретический материал и приобрести навыки и умения решать задачи по теме «Комплексные числа».

В учебном пособии учтена специфика специальности и отражена практическая направленность курса.

1. Мнимая единица. Алгебраическая форма комплексных чисел.

Неразрешимость уравнения x2 + 1 = 0  на множестве действительных чисел привела к введению так называемой мнимой единицы , т.е. мнимого (придуманного) числа, обладающего свойством: .

Источник: https://nsportal.ru/npo-spo/estestvennye-nauki/library/2013/12/13/uchebnoe-posobie-kompleksnye-chisla-po-uchebnoy

Возведение в степень комплексного числа

• Наиболее удобно поднять до степенных комплексных чисел, записанных в экспоненциальной или тригонометрической форме.
• Экспоненциальность в экспоненциальной форме
• Для поднятия до степени комплексных чисел формула истинна в экспоненциальной форме:
• ( z^{k}=left(r e^{i varphi}
  ight)^{k}=r^{k} e^{i k varphi}, k in Z )
• ПРИМЕР

Задание

Возвести число в квадрат ( z=sqrt{2} e^{frac{pi}{4} i} )

Решение.

1. Модуль комплексного числа ( z=sqrt{2} e^{frac{pi}{4 i}} )равен ( sqrt{2} ) Поэтому квадрат числа равен:
2. ( z^{2}=left(sqrt{2} e^{frac{pi}{4} i}
   ight)^{2}=(sqrt{2})^{2} e^{2 frac{pi}{4} i}=2 e^{frac{pi}{2} i} )

Ответ: ( z^{2}=2 e^{frac{pi}{2} i} )

• Экспоненциальность в тригонометрической форме
• Обычно комплексные числа обычно поднимаются до степени тригонометрической формы, для которой справедлива формула Моиварда: ( z^{k}=r^{k}(cos k varphi+i sin k varphi) ), ( forall k in N )
• Эта формула непосредственно вытекает из формулы Эйлера, связывающей тригонометрическую и экспоненциальную функции ( e^{i varphi}=cos varphi+i sin varphi ) , поскольку
• ( z^{k}=(r(cos varphi+i sin varphi))^{k}=r^{k}(cos varphi+i sin varphi)^{k}=r^{k} e^{i k varphi}=r^{k}(cos k varphi+i sin k varphi) )
• Примеры решения проблем
• ПРИМЕР 1

Задание

Возвести в квадрат число ( z=sqrt{2}left(cos left(-frac{pi}{4}
ight)+i sin left(-frac{pi}{4}
ight)
ight) )

Решение.

1. Применяя формулу Мойвра для квадрата числа и формулы, описанные выше, получаем:
2. ( z^{2}=left(sqrt{2}left(cos left(-frac{pi}{4}
   ight)+i sin left(-frac{pi}{4}
   ight)
   ight)
   ight)^{2}=(sqrt{2})^{2}left(cos left(-frac{pi}{4}
   ight)+i sin left(-frac{pi}{4}
   ight)
   ight)^{2}= )
3. ( =2left(cos 2left(-frac{pi}{4}
   ight)+i sin 2left(-frac{pi}{4}
   ight)
   ight)=2left(cos left(-frac{pi}{2}
   ight)+i sin left(-frac{pi}{2}
   ight)
   ight) )

Ответ

• ( z^{2}=2left(cos left(-frac{pi}{2}
  ight)+i sin left(-frac{pi}{2}
  ight)
  ight) )
• ПРИМЕР 2

Задание

Возвести в 10-й степень число ( z=1+i ).

Решение.

Начнем с того, что мы выражаем комплексное число в тригонометрической форме.

Вещественной частью комплексного числа ( z=1+i ) является число ( x=operatorname{Re} ), ( z=1
); мнимая часть равна ( y=operatorname{lm} ), ( z=1 ). Чтобы найти тригонометрическую форму написания комплексного числа, вам нужно найти его модуль и аргумент.

1. Модуль комплексного числа ( z ) является числом ( r=sqrt{x^{2}+y^{2}}=sqrt{1^{2}+1^{2}}=sqrt{2} ) . Аргумент вычисляется по формуле:
2. ( varphi=arg z=operatorname{arctg} frac{y}{x}=operatorname{arctg} frac{1}{1}=operatorname{arctg} 1=frac{pi}{4} )
3. Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа:
4. ( z=sqrt{2}left(cos frac{pi}{4}+i sin frac{pi}{4}
   ight) )
5. Применяя формулу Моиварда: для возведения в степень, получаем:
6. ( z^{10}=left(sqrt{2}left(cos frac{pi}{4}+i sin frac{pi}{4}
   ight)
   ight)^{10}=(sqrt{2})^{10}left(cos frac{pi}{4}+i sin frac{pi}{4}
   ight)^{10}= )
7. ( =32left(cos left(10 cdot frac{pi}{4}
   ight)+i sin left(10 cdot frac{pi}{4}
   ight)
   ight)=32left(cos frac{5 pi}{2}+i sin frac{5 pi}{2}
   ight)=32left(cos frac{pi}{2}+i sin frac{pi}{2}
   ight) )

Читайте также:  Природа человеческих способностей - справочник студента

Ответ

( z^{10}=32left(cos frac{pi}{2}+i sin frac{pi}{2}
ight) )

Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход? Закажи свою оригинальную работу УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ

Источник: https://sciterm.ru/spravochnik/vozvedenie-v-stepen-kompleksnogo-chisla/

Комплексные числа в средней школе

• ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ
• ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»
• Учитель Математики Высшей категории
• Программа спецкурса «Комплексные числа»
• Объяснительная записка
• Наряду с решением основной образовательной задачи обучения математики в школе, цель любого спецкурса — это углубление и расширение знаний, развитие интереса учащихся к предмету, знакомство их с новыми идеями и методами, развитие их математических способностей, привитие учащимся интереса и вкуса к самостоятельным занятиям математикой, привитие исследовательских навыков, воспитание и развитие их инициативы и творчества.

Данный курс преследует цель углубления и расширения развития понятия числа, обобщения понятия числа – знакомство с комплексными числами, что является естественным завершением изучаемых в школе числовых систем, с приложениями теории комплексных чисел (программа ориентирована на повышение уровня математического развития учащихся), познакомить учащихся с некоторыми историческими сведениями. В результате изучения курса учащиеся должны хорошо представлять развитие понятия числа, связь между действительными и комплексными числами. Уметь выполнять арифметические действия с комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах, геометрически изображать комплексные числа, уметь применять комплексные числа при нахождении корней многочленов, доказательстве тригонометрических формул и др. приложения комплексных чисел.

Содержание курса

История развитие числа: натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные (потребность в комплексных числах). Определение комплексного числа. Комплексные числа в алгебраической форме. Условие равенства двух комплексных чисел.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Сопряжённые комплексные числа и их свойства. Возведение комплексного числа в целую степень. Корень из комплексного числа в алгебраической форме.  Полярная система координат. Комплексная плоскость.

Извлечение корня из комплексных чисел. Формула Муавра.

Применение комплексных чисел. Вывод тригонометрических

 формул с помощью комплексных чисел.

(Дополнительно, при наличии времени, в зависимости от подготовленности учащихся: Распространения второго замечательного предела на комплексную плоскость. Формула Эйлера (элементарный, но строгий вывод формулы Эйлера) и экспоненциальная форма комплексного числа. Применение комплексных чисел в физике и технике, например – метод комплексных амплитуд в теории колебаний – межпредметная связь).

Комплексные корни многочлена (многочлены в поле комплексных чисел): основная теорема алгебры многочленов и её следствия. Теорема о комплексном корне многочлена с действительными коэффициентами. Разложение многочлена на множители. Обобщённая теорема Виета. Показательная форма комплексного числа.

Замечание:

1. «Комплексные числа» – традиционная тема физико-математических классов при 9-ти часовой недельной нагрузке. При переходе на профильное обучение, где предусматривается на изучение математики 6 часов появляется необходимость вынести данную тему на занятия элективного курса.

2. В программу введены дополнительные вопросы по практическому приложению комплексных чисел.

Полное усвоение программы курса предполагает ведение курса на высоком методическом уровне, с небольшой группой (не более 15) учащихся, желающих изучать данный курс на добровольных началах, (для учащихся физико-математических классов — обязательный курс).

  По окончанию курса учащиеся сдают зачёт (с оценкой) по вопросам, охватывающим основной теоретический материал, решают основные типовые примеры и задачи по курсу, пишут контрольную работу, включающей и задачи повышенного уровня и задачи прикладного характера.

Возможна защита реферата по теоретическим и приложениям комплексных чисел в математике, физике, технике.

Основные формы ведения курса – лекционный метод, практические семинары, собеседование, консультации, рефераты учащихся по теоретическим вопросам, приложениям комплексных чисел, по решению задач, самостоятельная работа учащихся с учебной и научно-популярной литературой, возможны исследовательские работы учащихся.

Лекция охватывает весь теоретический и практический материал темы, в ней определяются крупные блоки изложения материала. Количество часов, отводимое на лекцию, определяется объёмом изучаемого материала и уровнем восприятия данного класса. Рассматриваются примеры решения задач по теме. Учащиеся получают информацию о вопросах зачёта, об объёме контрольной работы.

На практических занятиях учащиеся должны закрепить и углубить знание теоретического материала, усвоить алгоритмы решений основных типовых примеров и задач, подготовиться к зачёту и контрольной работе.

Зачёт может быть проведён во время практических занятий.

Контрольная работа подводит окончательный итог знаний.

Тематическое планирование лекционных и практических занятий (24 ч.)

Содержание	Количество часов
лекции	практика	Зачёт, к/работы
1	История развития числа, определение комплексного числа	2	№1 2 №2 2
2	Алгебраическая форма комплексного числа. Равенство комплексных чисел. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.	2
3	Сопряжённые комплексные числа и их свойства. Возведение комплексного числа в целую степень. Корень из комплексного числа в алгебраической форме.	2
4	Знакомство с полярной системой координат. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа. Примеры изображения множеств точек, задаваемых на комплексной плоскости уравнениями и неравенствами, содержащими комплексные числа.	1	5
5	Умножение, деление, возведение в степень, извлечение корней комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра.	1	2
6 7	Применение комплексных чисел: основная теоремы алгебры и её следствия. Теорема о комплексном корне многочлена с действительными коэффициентами. Обобщённая теорема Виета. Применение комплексных чисел. Вывод тригонометрических формул с помощью комплексных чисел	2	3

Рекомендуемая литература (учебники, методические пособия):

Виленкин Н.Я., Ивашов-Мусатов О.С.,Швацбурд С.И. Алгебра и математический анализ, 11 класс: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Москва «Просвещение», 1993.

Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.– Москва «Просвещение»– АО «Учебная литература»,1995.

Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Швацбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа: методические рекомендации и дидактические материалы.–Москва «Просвещение», 1990.

Избранные вопросы математики.10 класс, факультативный курс. Под редакцией В.В.Фирсова., Москва, «Просвещение», 1980.

Соловьёв. Ю.Комплексные числа. Приложение к журналу «Квант» №2/94, с.50-

Энциклопедия для детей, том11, Москва, «Аванта+», 2000.

МШ-6-2003, с.20-24 №6 (контрольные работы).

Куланин Е.Д., Луканкин Л.Д. Комплексные числа и кривые второго порядка. МШ-2-93.

Козиоров Ю.Н. Комплексные числа и тригонометрические функции, МШ-2-95

Методические рекомендации

Практика показывает, что учащихся трудно воспринимают понятие комплексного числа. Это связано с тем, что учащиеся не чувствуют потребности введения новых чисел. В зависимости от состава слушателей спецкурса можно выбрать тот или иной способ введения понятия комплексного числа.

Например, восприятие комплексных чисел значительно облегчается, если вводить их так, как они возникли исторически, – в связи с » неприводимым» случаем кубического уравнения, где оно появляется естественно.

После вывода формулы Кардано решаются уравнения, ставится и разрешается проблема нахождения, например корня х=4 уравнения х³ — 15х — 4 =0 по формуле Кардано. Появляется необходимость введения чисел новой природы.

Или так, как вводят понятие комплексного числа авторы книги «Избранные вопросы по математике» А.М.Абрамов, Н.Я.Виленкин, Г.В.Дорофеев и др (4) (М, Просвещение, 1980г.) под редакцией В.В. Фирсова., причём авторы большое внимание уделяют приложениям комплексных чисел, что очень важно.

Источник: https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/kompleksnie_chisla_v_srednej_shkole_165924.html