Волновое уравнение — справочник студента

Волновое уравнение - Справочник студента

Что касается масштабов бедствия, данная дисциплина охватывает почти все разделы физики, изложенные в 10 томах Ландау-Лифшица: электромагнетизм, гидро- и газодинамика, теория теплопереноса, упругости.
 

В рамках курса “уравнения математической физики”, очевидно, вы будете иметь дело с уравнениями, но не далеко не простыми. Забудьте о заданиях с уравнениями типа 2x+5=9. Да здравствуют дифференциальные уравнения с частными производными! А это вам не шутки.
 

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

В большинстве случаев вы будете рассматривать случай двух независимых переменных и уравнение второго порядка вида (хотя, конечно, для полноценного рассмотрения многих физических задач для реального мира необходимо рассматривать трехмерный случай):
 

Волновое уравнение - Справочник студента

Но не так страшно уравнение, каким оно кажется на первый вид. На самом деле далеко не каждое уравнение такого общего вида годится для моделирования физического явления, и вы будете сталкиваться с уравнениями одного и того же типа.
 

Итак, начнем наше знакомство с теми уравнениями, которые запишутся в ваш новый список друзей.
 

1) Одномерное волновое уравнение:

Волновое уравнение - Справочник студента

u(x,t) может быть, например, давлением или плотностью для упругих волн в газах, напряженностью электрического или магнитного поля,a a есть скорость распространения волн в рассматриваемой среде. Это уравнение является уравнением гиперболического типа; оно будет с вами, когда вы будете изучать процессы поперечных колебаний струны, электрических колебаний в проводе, колебаний газа и жидкости.
 

2) Ваш друг номер два:

Волновое уравнение - Справочник студента

Это уравнение параболического типа, известное в народе также как уравнение теплопроводности, где u(x,t)представляет собой температуру. С этим уравнением вы будете сталкиваться каждый раз, когда заинтересуетесь вопросом распространения тепла, фильтрации газа и жидкости.
 

3) Двумерное уравнение Лапласа:

Волновое уравнение - Справочник студента

Это уравнение эллиптического типа, которое необходимо при рассмотрении задач об электрических и магнитных полях (например, таким уравнением описывается потенциал электростатического поля при отсутствии зарядов), а также задач гидродинамики и диффузии.
 

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Внутренняя и внешняя среда - справочник студента

Оценим за полчаса!

Испугались? В действительности, не все так плохо. Уравнения такого типа можно научиться очень быстро решать, даже если вы перед этим не штудировали учебники по дифференциальным уравнениям.
 

Мы покажем на примере первого уравнения (2), как можно с ними дружить.
 

Мы можем заметить, что правая часть зависит только от t, а левая часть — только от x. Равенство между ними возможно только при условии, что обе части равны константе, это значит, что решение уравнения есть произведение одной функции от t и другой функции от x:
 

Волновое уравнение - Справочник студента

Подставив это выражение в исходное уравнение, получаем систему двух простых дифференциальных уравнений:
 

Волновое уравнение - Справочник студента
 

А для того, чтобы решить такие уравнения, достаточно знать, как решать квадратное уравнение (это под силу даже школьнику), ведь для решения подобного уравнения (дифференциального однородного уравнения второго порядка)
 

Волновое уравнение - Справочник студента

необходимо всего лишь решить квадратное уравнение
 

Волновое уравнение - Справочник студента

и тогда решение уравнения (7) есть:
 

Волновое уравнение - Справочник студента

В зависимости от условий конкретной физической задачи, вы будете иметь дело с определенными граничными условиями, например, f(x=0)=0, применяя которые, легко можно найти постоянную λ в системе уравнений (6) и постоянные A1 и A2 в каждом решении вида (9).
 

Хотите знать больше?

Тогда бегом в библиотеку за следующими учебниками:

  • А.Н.Тихонов, А.А.Самарский, “Уравнения математической физики”. М. “Наука”, 1972.
  • В.С. Владимиров “Уравнения математической физики”. М. “Наука”, 1988.
  • Смирнов М.М. “Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка”. М. “Наука”, 1964.
  • Полянин А.Д. “Справочник по линейным уравнениям математической физики”. М.: Физматлит, 2001.
  • Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. “Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения”. М.: Физматлит, 2002.

Хотите заказать решение у нас?

Автор данной статьи также берется за решение уравнений математической физики на заказ.
Узнать цену работы можно на странице заказа. Для этого нужно всего лишь прикрепить файл с заданием и указать сроки.

Источник: https://Reshatel.org/reshenie-zadach/uravneniya-matematicheskoj-fiziki/

Решение волнового уравнения

Контрольная работа

Задача 1. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения на отрезке.

Волновое уравнение - Справочник студента
Волновое уравнение - Справочник студента

  • Решение:
  • Запишем решение для волнового уравнения на отрезке длины для условийВолновое уравнение - Справочник студентаВолновое уравнение - Справочник студента:
  • Волновое уравнение - Справочник студента. Где Волновое уравнение - Справочник студента,

Волновое уравнение - Справочник студента

Для условий задачи после подстановки a и l будет следующее выражение:

Волновое уравнение - Справочник студента, все равны нулю, т. к. .

  1. .
  2. = ===
  3. =.
  4. = = .
  5. Ответ: .

Задача 2. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения в прямоугольнике.

  • .
  • Решение:
  • Запишем решение для волнового уравнения на прямоугольнике для условий:
  • ;
  • =;
  • =;
  • =.
  • После подстановки условий задачи получится следующее выражение:
  • , так как ;
  • =;
  • ==
  • ==;
  • =
  • =.
  • Ответ: , где =.

Задача 3. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения в круге.

  1. Решение:
  2. Запишем решение для волнового уравнения в круге радиуса для условий :
  3. ;
  4. =;
  5. =;
  6. Где =, — функция Бесселя первого рода, — корень с номером уравнения =(это уравнение имеет бесконечное число корней).
  7. Так как .
  8. Подставляем значения из условия задачи в выражения для , ,:
  9. =
  10. =;
  11. =.
  12. Ответ: =, где =,
  13. =, — функция Бесселя первого рода, — корень с номером уравнения =
  14. =.
Читайте также:  Обмен - справочник студента

Задача 4. Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке.

  • ; =; .
  • Решение:
  • Решим задачу для условий записанных ниже:
  • ; ; .
  • Применим метод разделения переменных Фурье. Будем искать частное решение уравнения в виде
  • =. После преобразования, получим два дифференциальных уравнения:
  • 1);
  • 2).
  • Отыскание для второго уравнения представляет собой задачу Штурма – Луивилля, собственные значения которой , а собственные функции , где целое и .
  • Решение первого уравнения следующее (используется индекс k, так как каждому соответствует свой , и получается бесконечное счетное множество решений).
  • =, где частные решения уравнения . Из граничных условий следует, что и , обозначим =, и получим
  • =. Запишем общее решение как сумму частных =
  • ==. определим из начальных условий :

= =. Отсюда видно, что являются коэффициентами разложения в ряд Фурье по синусам = .

  1. Найдем для условий нашей задачи:
  2. = +=
  3. ==
  4. =.
  5. Ответ: .

Задача 5. Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности в круге.

  • Решение:
  • Запишем решение для волнового уравнения в круге радиуса для условий в полярных координатах:
  • .
  • Будем искать частное решение в виде . Тогда ,
  • .Отсюда получаем два уравнения:
  • 1)
  • 2).
  • Решением задачи Штурма-Лиувилля для R будут собственные значения и собственные функции , где — функция Бесселя первого рода нулевого порядка,— корни уравнения , n – целое число n > 0.
  • Соответствующие решения уравнения будут такими: .
  • Тогда ==.
  • Общее решение будем искать в виде . Воспользуемся начальными условиями , подставив значение и получим:
  • — это коэффициенты Эйлера-Фурье разложения функции в ряд по
  • = , где — функция Бесселя первого рода первого порядка.
  • В результате мы имеем:
  • , = .
  • Подставим значения из условия задачи :
  • , =.
  • Ответ: , =.

Задача 6. Используя формулу Пуассона, найти решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.

  1. .
  2. Решение:
  3. Для условий формула Пуассона записывается в виде:

. У нас . После подстановки значений в интеграл, получим:

  • ==.
  • Результатом вычисления интеграла , где — константы, является выражение:
  • = Для интеграла нашей задачи ; ; .
  • Тогда после преобразований =. Таким образом
  • ==.
  • Ответ: =.

Задача 7. Найти общее решение уравнения.

.

Решение:

Приведем уравнение, данное в условиях, к каноническому виду. Для этого составим характеристическое уравнение . Разрешим его относительно dy. Получим два уравнения и . После интегрирования уравнения перейдут в

  1. 1)
  2. 2) .
  3. Осуществим замену переменных .
  4. Вычислим частные производные новых переменных по старым переменным: .
  5. Так как выражаются линейно через , то получим:
  6. ;
  7. ;
  8. ;
  9. Подставим значения производных:
  10. = ;
  11. =;
  12. = .
  13. Из условия задачи получаем 0==+=.
  14. Общим решением полученного уравнения =0 (предполагается, что все вторые частные производные непрерывны) является функция линейная относительно переменных:

, где — произвольные константы. При возврате к независимым переменным x, y получится функция , где — произвольные константы.

Ответ: , где — произвольные константы.

Задача 8. Решить смешанную задачу.

  • Решение:
  • Запишем решение для волнового уравнения на отрезке длины в общем виде:
  • .
  • . Где ,
  • .
  • Для условий задачи после подстановки a и l будет следующее выражение:
  • .
  • Так как при =

=3. При .

Аналогично, для , получим ==1. При .

  1. =
  2. = =.
  3. Ответ: .

Источник: http://fiziku5.ru/zadachi/reshenie-volnovogo-uravneniya

Волновое уравнение в физике

Волновой процесс может иметь самую разнообразную природу: в виде волн распространяются свет и звуковое поле, волновую природу имеют колебания вероятности и механические движения таких объектов, как струна.

Электромагнитные волны используются в быту (сотовая связь, радиотехника, СВЧ-печи), в медицине (рентгеновские аппараты), в промышленности и науке (электромагнитные системы управления, лазеры и даже гамма-телескопы).

Волновой процесс отличается от колебательного тем, что изменяющаяся величина перемещается, «оторвавшись» от своего источника. Обычно при волновом движении переносится только энергия, однако в отдельных случаях (излучение газа в вакуум, процессы горения) имеет место и перенос массы.

Волновое дифференциальное уравнение

  • Описывать волны сложно: для них не всегда можно выделить даже общие свойства. Движение волны описывается с помощью волнового дифференциального уравнения:
  •     Волновое уравнение - Справочник студента
  • В этом уравнении u – величина, которая изменяется, v – скорость волны, x, y, z и t – пространственная и временная координата.

Решение волнового уравнения

Решение этого уравнение может оказаться весьма сложным. Поэтому на практике часто используют его частное решение – уравнение плоской волны. Это волна с фронтом в виде бесконечной плоскости, движущаяся перпендикулярно своему фронту.

Волновое уравнение - Справочник студента

В природе плоских волн не существует, однако эту модель удобно использовать для расчётов. А излучение лазера или зеркальной антенны с достаточной точностью можно считать плоским.

  1. Уравнение плоской волны гармоническое и выглядит вот так:
  2.     Волновое уравнение - Справочник студента
  3. Здесь А – изменяющаяся величина, А0 – ее амплитуда, – начальная фаза колебаний. Волновое число k можно рассчитать, зная длину волны :
  4. Циклическая частота связана со скоростью фронта :
  5. А скорость фронта волны, в свою очередь, связана с частотой:
  6. Чтобы математически описать распространение звука, работу антенны или лампы накаливания, удобно использовать уравнение сферической волны:
  7.     Волновое уравнение - Справочник студента
  8. Здесь r – радиус (симметричная координата), а — амплитуда сферической волны.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Источник: http://ru.solverbook.com/spravochnik/uravneniya-po-fizike/volnovoe-uravnenie/

Волновое уравнение

Определение 1

В том случае если волна распространяется в однородной среде, то ее движение в общем случае описывают волновым уравнением (дифференциальным уравнением в частных производных):

[frac{{partial }^2overrightarrow{s}}{partial t^2}=v^2left(frac{{partial }^2overrightarrow{s}}{partial x^2}+frac{{partial }^2overrightarrow{s}}{partial y^2}+frac{{partial }^2overrightarrow{s}}{partial z^2}
ight)left(1
ight)]

или

[ riangle overrightarrow{s}=frac{1}{v^2}frac{{partial }^2overrightarrow{s}}{partial t^2}left(2
ight),]

где $v$ — фазовая скорость волны $ riangle =frac{{partial }^2}{partial x^2}+frac{{partial }^2}{partial y^2}+frac{{partial }^2}{partial z^2}$ — оператор Лапласа. Решением уравнения (1,2) служит уравнение любой волны, данные уравнения удовлетворяют, например, и плоская и сферическая волны.

Если плоская волна распространяется вдоль оси $X$, то уравнение (1) представляется как:

Примечание 1

Если физическая величина распространяется как волна, то она обязательно удовлетворяет волновому уравнению. Справедливо обратное утверждение: если какая — либо величина подчиняется волновому уравнению, то она распространяется как волна. Скорость распространения волны будет равна квадратному корню из коэффициента, который стоит при сумме пространственных производных (в данном виде записи).

Волновое уравнение - Справочник студента

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Волновое уравнение играет очень большую роль в физике.

Решение волнового уравнения для плоской волны

  • Запишем общее решение уравнения (2), для световой волны, распространяющейся в вакууме в случае, если s скалярная функция зависит только от одной из декартовых переменных, например $z$, то есть $s=s(z,t)$, что означает, функция $s$ имеет постоянное значение в точках плоскости, которая перпендикулярна $оси Z$. Волновое уравнение (1) в этом случае примет вид:
  • где скорость распространения света в вакууме равна $c$.
  • Общим решением уравнения (4) при заданных условиях будет выражение:

где $s_1left(z+ct
ight)$- функция описывающая волну произвольной формы, которая перемещается со скоростью $c$ в отрицательном направлении по отношению к направлению $оси Z$, $s_2left(z-ct
ight)$ — функция описывающая волну произвольной формы, которая перемещается со скоростью $c$ в положительном направлении по отношению к направлению $оси Z$. Надо отметить, что в процессе движения значения $s_1$ и $s_2$ в любой точке волны и ее форма волны неизменны.

Получается, что волна, которую описывает суперпозиция двух волн (в соответствии с формулой (5)). Причем эти составляющие волны движутся в противоположных направлениях. В этом случае уже нельзя говорить о скорости или направлении волны. В самом простом случае получается стоячая волна. В общем случае необходимо рассматривать сложное электромагнитное поле.

Волновое уравнение и система уравнений Максвелла

  1. Волновые уравнения для колебаний векторов напряженности электрического поля и вектора магнитной индукции магнитного поля легко получить из системы уравнений Максвелла в дифференциальной форме.

    Запишем систему уравнений Максвелла для вещества, в котором нет свободных зарядов и токов проводимости:

  2. Применим операцию $rot$ к уравнению (7):
  3. В выражении (10) можно изменить порядок дифференцирования в правой части выражения, так как пространственные координаты и время — независимые переменные, следовательно, имеем:
  4. Примем во внимание то, уравнение (6), заменим $rotoverrightarrow{B}$ в выражении (11) на правую часть формулы (6), имеем:
  5. Зная, что $rotrotoverrightarrow{E}=graddivoverrightarrow{E}-{
    abla }^2overrightarrow{E}$, и используя $divoverrightarrow{E}=0$, получаем:
  6. Аналогично можно получить волновое уравнение для вектора магнитной индукции. Оно имеет вид:
  7. В выражениях (13) и (14) фазовая скорость распространения волны $(v)$ равна:

Пример 1

Задание: Получите общее решение волнового уравнения $frac{{partial }^2s}{partial z^2}-frac{1}{c^2}frac{{partial }^2s}{partial t^2}=0(1.1)$ плоской световой волны.

  • Решение:
  • Введем независимые переменные вида для функции $s$:
  • В таком случае частная производная $frac{partial s}{partial z}$ равна:
  • Частная производная $frac{partial s}{partial t}$ равна:

[xi =z-ct, eta =z+ctleft(1.2
ight).]
[frac{partial s}{partial z}=frac{partial s}{partial xi}frac{partial xi}{partial z}+frac{partial s}{partial eta }frac{partial eta }{partial z}=frac{partial s}{partial xi}+frac{partial s}{partial eta }left(1.3
ight).]
[frac{partial s}{partial t}=frac{partial s}{partial xi}frac{partial xi}{partial t}+frac{partial s}{partial eta}frac{partial eta}{partial t}=-cfrac{partial s}{partial xi}+cfrac{partial s}{partial eta} o frac{1}{c}frac{partial s}{partial t}=-frac{partial s}{partial xi}+frac{partial s}{partial eta}left(1.4
ight).]

Вычтем почленно выражение (1.4) из выражения (1.3), имеем:

[frac{partial s}{partial z}-frac{1}{c}frac{partial s}{partial t}=2frac{partial s}{partial xi}left(1.5
ight).]

Почленное сложение выражений (1.4) и (1.3) дает:

[frac{partial s}{partial z}-frac{1}{c}frac{partial s}{partial t}=2frac{partial s}{partial eta }left(1.6
ight).]

Найдем произведение левых частей выражений (1.5) и (1.6) и учтем результаты, записанные в правых частях этих выражений:

[left(frac{partial s}{partial z}-frac{1}{c}frac{partial s}{partial t}
ight)left(frac{partial s}{partial z}-frac{1}{c}frac{partial s}{partial t}
ight)=frac{{partial }^2s}{partial z^2}-frac{1}{с^2}frac{{partial }^2s}{partial t^2}=4frac{partial }{partial xi }frac{partial s}{partial eta }=0left(1.7
ight).]

Если проинтегрировать выражение (1.7) по $xi $, то получим функцию, которая не зависит от этой переменной, и может зависеть только от $eta $, что значит, что она является произвольной функцией $Psi(eta )$. В этом случае уравнение (1.7) примет вид:

[frac{partial s}{partial eta }=Psi left(eta
ight)left(1.8
ight).]

Проведем интегрирование (1.8) по $eta $ имеем:

[s=int{Psi left(eta
ight)d} eta=s_1left(eta
ight)+s_2left(xi
ight)left(1.9
ight),]

где $s_1left(з
ight)$ — первообразная, $s_2left(xi
ight)$- постоянная интегрирования. Причем, функции $s_1$ и $s_2$ — произвольные. Учитывая выражения (1.2), общее решение уравнения (1.1) можно записать как:

[sleft(z,t
ight)=s_1left(z+ct
ight)+s_2left(z-ct
ight).]

Ответ: $sleft(z,t
ight)=s_1left(z+ct
ight)+s_2left(z-ct
ight).$

Пример 2

  1. Задание: Определите из волнового уравнения, чему равна фазовая скорость распространения плоской световой волны.
  2. Решение:
  3. Сравнивая волновое уравнение, например, для вектора напряженности, полученное из уравнений Максвелла:
  4. с волновым уравнением:
  5. позволяет сделать вывод о том, что скорость распространения волны $(v)$ равна:

[{
abla }^2overrightarrow{E}-varepsilon {varepsilon }_0mu {mu }_0frac{{partial }^2overrightarrow{E}}{partial t^2}=0(2.1)]
[ riangle overrightarrow{s}=frac{1}{v^2}frac{{partial }^2overrightarrow{s}}{partial t^2}(2.2)]
[v=frac{1}{sqrt{{mu varepsilon mu }_0{varepsilon }_0}}=frac{1}{sqrt{{mu }_0{varepsilon }_0}}frac{1}{sqrt{mu varepsilon }}=frac{с}{sqrt{mu varepsilon }}.]

Но здесь требуется отметить, что понятие скорости электромагнитной волны имеет определенный смысл только с волнами простой конфигурации, под такие волны подходит, например категория плоских волн. Так $v$ не будет являться скоростью распространения волны в случае производного решения волнового уравнения, в состав которых входят, например, стоячие волны.

Ответ: $v=frac{с}{sqrt{mu varepsilon }}.$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/optika/volnovoe_uravnenie/

Волновое уравнение

Природа волнового процесса

Волновой процесс может иметь самый разнообразный характер: светлое и звуковое поле распространяются в виде волн, колебания вероятности и механические движения объектов, таких как струна, имеют волновой характер.

Электромагнитные волны используются в повседневной жизни (сотовая связь, радиотехника, микроволновые печи), в медицине (рентгеновские аппараты), в промышленности и науке (электромагнитные системы управления, лазеры и даже гамма-телескопы).

Волновой процесс отличается от колебательного тем, что переменное значение движется, «отрываясь» от его источника. Обычно во время движения волны переносится только энергия, но в некоторых случаях (выброс газа в вакуум, процессы горения) происходит массоперенос.

Дифференциальное уравнение волны

Трудно описать волны: для них не всегда можно выделить даже общие свойства. Движение волны описывается с использованием волнового дифференциального уравнения:

В этом уравнении u — величина, которая изменяется, v — скорость волны, x, y, z и t — пространственные и временные координаты.

Решение волнового уравнения

Решение этого уравнения может быть очень сложным. Поэтому на практике часто используют свое частное решение — уравнение плоской волны. Это волна с фронтом в виде бесконечной плоскости, движущейся перпендикулярно ее фронту.

Волновое уравнение

В природе плоских волн не существует, но эту модель удобно использовать для расчетов. И излучение лазерной или зеркальной антенны можно считать достаточно плотным с достаточной точностью.

Плоское волновое уравнение гармонично и выглядит так:

Здесь А — переменная, А0 — ее амплитуда, — начальная фаза колебаний. Волновое число k можно рассчитать, зная длину волны :

А скорость волнового фронта, в свою очередь, связана с частотой:

Чтобы математически описать распространение звука, работу антенны или лампы накаливания,

  • Здесь r — радиус (симметричная координата), а — амплитуда сферической волны.
  • Примеры решения проблем
  • ПРИМЕР 1
  • Задача

    Плоская волна распространяется с периодом 1,2 с и скоростью 15 м / с. Амплитуда колебаний составляет 2 см. Когда 4 с прошло с начала колебаний, оказалось, что точка, расположенная на расстоянии 45 м от источника, смещена на некоторое значение А. Что такое A?

  • Решение.
    1. В уравнении плоской волны мы выражаем циклическую частоту за период (начальная фаза равна нулю):
    2. Необходимо указать волновое число в известных величинах:
    3. Тогда получим формулу:
    4. Мы вводим в уравнение численные значения:
  • Ответ
    • ПРИМЕР 2
  • Задача

    Существует упругая однородная среда, в которой распространяются две волны: одна вдоль оси абсцисс, другая — по оси ординат. Их движение задается уравнениями , . Волны поперечны, направление колебаний одинаково. Как частицы среды движутся в плоскости XY?

  • Решение.

    Для волн принцип суперпозиции работает, поэтому уравнение полученного процесса представляет собой сумму двух сложенных уравнений:

    Отметим, что формула равна 0 (т. Е. Нет колебаний) в точках, где . Это точки , где n = 0,1,2 …

    1. Выразите волновое число по длине волны: . Тогда получим уравнение прямых, вдоль которых частицы не колеблются:
    2. На рисунке эти линии показаны пунктирной линией.
    3. Пример волнового уравнения
    4. А если частицы движутся с максимальным отклонением:
    5. На рисунке эти точки показаны сплошными линиями.
  • Ответ

    Нет колебаний — баллы . Максимальные колебания — баллы

  • Источник: https://sciterm.ru/spravochnik/volnovoe-uravnenie/

    1.23

    1.23.
    ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

    Вывод
    волнового уравнения. Фазовая скорость
    в различных средах. Продольные волны в
    твердом теле. Плотность
    энергии
    среды в волновом поле. Перенос энергии
    волновым движением.
    Вектор
    Пойнтинга.

    Волновое уравнение

    Применяя
    второй закон Ньютона к упругой среде,
    можно получить дифференциальное
    уравнение в частных производных, решением
    которого будет уравнение волны. Логическая
    схема этого вывода такова:

    Вывод закона
    Гука для бесконечно малого упругого
    стержня

    Выделим
    элемент упругого стержня, длиной Δx.

    • Закрепим
      левую часть этого элемента (второй
      рисунок), правую сместим на величину Δξ
      вдоль оси x.

    • закон Гука.
    • Здесь
      коэффициент kупр,
      характеризующий упругость стержня,
      зависит от материала стержня, его длины
      и площади сечения.
    • Нормальное
      напряжение и относительная деформация
    • Введем:

    При Δx
    → 0

    Перепишем

    ,
    выразив F
    и Δξ
    через σ
    и ε
    :

    или

    Модуль Юнга

    Величина

    не
    зависит от длины и сечения стержня, она
    определяется только упругими свойствами
    материала, ее называют модулем Юнга
    материала:

    Закон Гука

    Тогда
    связь нормального напряжения σ
    и относительной деформации ε
    будет иметь вид:

    Это выражение тоже
    носит название закона Гука.

    Вывод
    волнового уравнения из

    .

    Пусть
    волна распространяется вдоль упругого
    стержня. Рассмотрим элемент этого
    стержня, его длина равна Δx
    в невозмущенном состоянии. Пусть при
    распространения волны левая часть этого
    элемента сместится на величину ξ(x),
    а правая — на величину ξ(x
    +
    Δx),
    не равную смещению левой части.

    В нашем примере
    стержень растянут внешними силами:

    Сумма этих сил равна:

    Домножим
    и поделим последнее выражение на Δx.
    Величина

    при Δx
    → 0 дает вторую производную от «кси»
    по x,
    т.е.
    .

    Тогда
    .

    Масса
    нашего элемента
    ,
    его ускорение

    тогда

    преобразуется
    в

    или

    Проверим,
    будет ли
    его
    решением.

    Откуда

    Т.к.
    ,
    то фазовая скорость упругой продольной
    волны:

    и волновое уравнение
    можно записать в виде:

    Для волны,
    распространяющейся в произвольном
    направлении, волновое уравнение имеет
    вид:

    Найдем полную
    механическую энергию для выделенного
    нами элемента упругой среды, в которой
    распространяются упругая продольная
    волна:

    Скорость:

    тогда

    Потенциальная
    энергия упругого деформированного
    стержня:

    Полная
    энергия выделенного элемента объемом
    SΔx будет равна:

    Плотность энергии
    упругой волны

    Плотность
    энергии упругой гармонической волны

    (23.12)

    Среднее
    по времени значение плотности энергии
    упругой гармонической волны

    ,
    это известно из математики, значит:

    Поток
    энергии — среднее количество энергии,
    переносимое волной за единицу времени
    через поперечное сечение S

    Плотность
    потока энергии.
    Количество
    энергии, переносимое волной за единицу
    времени через единицу площади поверхности,
    расположенной перпендикулярно направлению
    распространения волны, называется
    плотностью потока
    энергии
    волны.

    Вектор
    Умова-Пойнтинга — связь плотности потока
    энергии с плотностью энергии упругой
    волны

    Так как
    фазовая скорость волны v
    — вектор, направление которого совпадает
    с направлением распространения волны,
    то можно величине плотности потока
    энергии j придать смысл
    векторной величины:

    j = wv. (23.16)

    Величина
    j, вектор
    плотности энергии волны
    ,
    впервые была введена Н.А. Умовым в 1984
    году и получила название вектора
    Умова.
    Подобная величина
    для электромагнитных волн называется
    вектором Умова —
    Пойнтинга
    .

    Интенсивность
    волны

    — это среднее по
    времени от модуля вектора плотности
    потока энергии:

    Для гармонической
    волны:

    Фазовая скорость
    различна для разных сред
    .

    В случае упругих
    поперечных волн (в твердом теле) фазовая
    скорость равна:

    где —
    модуль сдвига среды, -ее
    плотность в невозбужденном состоянии
    (т.е. когда в этой среде не распространяется
    упругая волна).

    Фазовая скорость
    упругих продольных волн в твердом теле
    равна

    Фазовая скорость
    продольных волн в жидкости и газе
    определяется соотношением:

    где К –
    модуль объемной
    упругости среды

    величина, характеризующая способность
    среды сопротивляться изменению ее
    объема, —
    плотность невозмущенной среды.

    Фазовая скорость
    продольных волн в идеальном газе задается
    формулой:


    показатель адиабаты,

    png» width=»14″>
    — молярная масса, Т – абсолютная
    температура, R – универсальная
    газовая постоянная. Фазовая скорость
    в газе зависит от сорта газа (

    png» width=»30″>)
    и от его термодинамического состояния
    (Т).

    7

    Источник: https://studfile.net/preview/4298681/

    ПОИСК

        Прежде чем переходить к статистическому выводу волнового уравнения, полезно привести в явном виде решение уравнения (105). Рассматривая это решение, можно непосредственно убедить- [c.255]

        Статистический вывод волнового уравнения [c.256]

        При обычном обосновании уравнения Паули, впервые данном самим Паули [363], подразумевается, что приближение к равновесию вызывается возмущающим членом ЗС] в гамильтониане системы, причем ЗС, настолько мал, что вероятности перехода Рц можно вычислять в первом приближении нестационарной теории возмущений.

    При этом вывод уравнения Паули опирается на статистическую гипотезу, что фазы волновых функций, принадлежащих различным собственным значениям Ж, распределены беспорядочно, т.е. что матрица плотности считается диагональной в представлении невозмущенного гамильтониана.

    Эта гипотеза беспорядочных фаз относится не только к начальному состоянию, но многократно используется после каждого из таких интервалов времени, для которых невозмущенная энергия зе при переходе сохраняется. Аналогичная (и глубоко неудовлетворительная) ситуация имеет место при допущении молекулярного хаоса в выводе кинетического уравнения Больцмана.

    Этот вопрос связан с тем, что надо получить необратимость во времени, хотя исходные уравнения динамики обратимы [75,119, 163, 445]. [c.41]

        Объем книги и общий уровень изложения в ней не дают возможности систематически изложить основы квантовой химии, на автор стремился познакомить студента с основными методами ее необходимыми для понимания выводов и квантовомеханических представлений, используемых в книге. В дополнениях дана характеристика волнового уравнения Шредингера, основы квантовомеханической теории атома водорода и элементы квантовомеханической теории химической связи. Расширено рассмотрение молекулярных спектров. Значительное внимание уделено методам электронного парамагнитного резонанса, ядерного магнитного резонанса, нашедшим широкое применение при исследовании разных вопросов и уже на данной стадии развития подводящим к пониманию особенностей тонких и сверхтонких изменений в состоянии частиц. Введены основные сведения об элементах симметрии молекул и кристаллов. Описаны расчетные методы статистической термодинамики и основные понятия термодинамики необратимых процессов. Введено вириальное уравнение состояний и другие соотношения, используемые для расчета свойств неидеальных газов в широкой области температур и давлений. Приведен дополнительный материал, характеризующий особенности свойств веществ при высоких и очень высоких температурах. Описаны особенности внутреннего строения и свойств полимерных материалов. [c.12]

        Теоретический расчет вириальных коэффициентов осуществляется на основе методов статистической физики с использование-м иногда выводов волновой механики.

    Однако расчет сложен во всех случаях, за исключением расчета для газов, обладающих сравнительно простыми молекулами.

    Поэтому часто применяют уравнение (HI, 35), определяя коэффициент В эмпирическим путем на основе имеющихся экспериментальных данных для рассматриваемого газа. [c.152]

        Те элементы кинетической и молекулярной теории газов, термодинамики, физической химии, квантовой теории, волновой и статистической механики, которые имеют отношение к главной теме книги, также вкратце излагаются. Так, гл. 2 посвящена уравнениям пограничного слоя и их выводу на основе молекулярной теории газов.

    Глава 9 посвящена вопросам термодинамики газовых смесей и методам квантовой теории, спектроскопическому анализу и статистической механике в том их аспекте, в котором они применяются к определению термодинамических свойств и равновесных составов газовых смесей. Глава 10 посвящена переносным свойствам и роли межмолекулярных сил в их определении.

    [c.8]

        При обычном обосновании уравнения Паули, впервые данном самим Паули [141], подразумевается, что приближение к равновесию вызывается возмущающим членом гамильтониане системы Жг, причем Ж настолько мал, что вероятности перехода Рц можно вычислять в первом приближении с помощью нестационарной теории возмущений. При этом вывод уравнения Паули опирается на статистическую гипотезу, что фазы волновых функций, принадлежащих различным собственным значениям Ж, распределены беспорядочно, т. е. что матрица плотности считается диагональной в представлении невозмущенного гамильтониана. Эта гипотеза беспорядочных фаз относится не только к начальному состоянию, но многократно используется после каждого из таких интервалов вре- [c.142]

        Выводы. В этой главе представлены уравнения, применимые для расчета термодинамических свойств равновесных газовых смесей, и коротко ообъясняется, как эта уравнения выводятся из квантовой теории, волновой механики, статистической механики и некоторых физических измерений.

    Изложение не является исчерпывающим, и читатель, интересующийся более полным изложением ), отсылается к цитируемой литературе. Намерение автора заключалось в представлении в этой главе некоторых полезных уравнений, а также в объяснении законов, лежащих в основе их вывода. [c.

    362]

    Смотреть страницы где упоминается термин Статистический вывод волнового уравнения: [c.380]    [c.61]    Смотреть главы в:

    Современная квантовая химия Том 1 -> Статистический вывод волнового уравнения

    Современная квантовая химия Том1 -> Статистический вывод волнового уравнения

    Уравнения волновое

    © 2019 chem21.info Реклама на сайте

    Источник: https://www.chem21.info/info/1626747/

    Ссылка на основную публикацию