Уравнение непрерывности — справочник студента

Перехожу теперь ко второму пункту. Важную сторону уравнения Шредингера отдельной частицы составляет идея о том, что вероятность обнаружить частицу в каком-то месте определяется квадратом абсолютной величины волновой функции. Для квантовой механики характерно также то, что вероятность сохраняется локально (т. е. в каждом отдельном месте).

Когда вероятность обнаружить электрон в таком-то месте убывает, а вероятность обнаружить его в каком-то другом месте возрастает (так что полная вероятность не меняется), то что-то в промежутке между этими местами должно было произойти.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Иными словами, электрон обладает непрерывностью в том смысле, что если вероятность спадает в одном месте и возрастает в другом, то между этими местами должно что-то протекать. Так, если вы между ними поставите стенку, то это скажется на вероятностях и они станут не такими, как были.

Следовательно, одно только сохранение вероятности не есть полная формулировка закона сохранения, все равно как одно только сохранение энергии не обладает такой глубиной и не представляет такой важности, как локальное сохранение энергии [см. гл. 27, § 1 (вып. 6)]. Если энергия исчезает, то этому должен соответствовать отток энергии от этого места.

Вот и у вероятности хотелось бы обнаружить такой же «ток». Хотелось бы, чтобы было так: если где-нибудь переменится плотность вероятности (вероятность обнаружить что-то там такое в единице объема), то чтобы можно было считать, что вероятность откуда-то сюда притекла (или утекла отсюда куда-то еще).

Такой ток был бы вектором, который можно было бы толковать следующим образом: его х-компонента была бы чистой вероятностью (в секунду и на единицу объема) того, что частица пройдет в направлении х через плоскость, параллельную плоскости yz. Проход в направлении +х считается положительным потоком, а проход в обратную сторону — отрицательным потоком.  

  • Существует ли такой ток? Вы знаете, что плотность вероятности Р(r, t) выражается  через волновую функцию
  • Уравнение непрерывности - Справочник студента

     

  • И вот, я спрашиваю: существует ли такой ток J, что
  • Уравнение непрерывности - Справочник студента

     

  • Если я продифференцирую (19.7) по времени, то получу два слагаемых
Уравнение непрерывности - Справочник студента

 

Теперь для ∂ψ/∂t возьмите уравнение Шредингера — уравнение (19.3); кроме того, комплексно его сопрягите, т. е. перемените знак при   каждом i, чтобы   получить  ∂ψ*/∂t. У вас выйдет

Уравнение непрерывности - Справочник студента

 

Члены с потенциальной энергией и многие другие члены взаимно уничтожатся. А то, что останется, оказывается, действительно можно записать в виде полной дивергенции. Все уравнение целиком эквивалентно уравнению

Уравнение непрерывности - Справочник студента

 

Не так уж сложно, как кажется на первый взгляд. Это симметричная комбинация из ψ*, умноженного на некоторую операцию над ψ, плюс ψ, умноженное на комплексно сопряженную операцию над ψ*.

Это просто некоторая величина плюс комплексно сопряженная ей величина, так что все вместе (как и положено быть) вещественно. Операция запоминается так: это лопросту оператор импульса P минус qА. Ток из (19.

8) я могу записать в виде

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!
Уравнение непрерывности - Справочник студента

 

Тогда это и есть тот ток J, который удовлетворяет уравнению (19.8).  

Уравнение (19.8) показывает, что вероятность сохраняется локально. Если частица исчезает из одной области, то она не может оказаться в другой без того, чтобы что-то не протекло в промежутке между областями.

Вообразите, что первая область окружена замкнутой поверхностью, которая проведена так далеко, что имеется нулевая вероятность обнаружить на ней электрон. Полная вероятность обнаружить электрон где-то внутри поверхности равна объемному интегралу от Р.

Но, согласно теореме Гаусса, объемный интеграл от дивергенции J равняется поверхностному интегралу от J. Если ψ на поверхности равно нулю, то (19.12) утверждает, что и J есть нуль; значит, полная вероятность отыскать частицу внутри поверхности не может измениться.

Только тогда, когда часть вероятности достигает границы, какая-то ее часть может вытечь наружу. Мы вправе говорить,что она выбирается наружу только через поверхность— это и есть локальная сохраняемость.

Социальные комментарии Cackle

Источник: https://www.all-fizika.com/article/index.php?id_article=2054

Уравнение непрерывности — это… Что такое Уравнение непрерывности?

В этой статье не хватает ссылок на источники информации.
Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 13 мая 2012.

Ниже приведены примеры уравнений непрерывности, которые выражают одинаковую идею непрерывного изменения некоторой величины.

Уравнения непрерывности — (сильная) локальная форма законов сохранения.

Дифференциальная форма

Дифференциальная форма общего уравнения непрерывности такова:

frac{partial 
ho}{partial t} + 
abla cdot mathbf{j} = sigma,

где

  • ∇• — дивергенция,
  • t — время,
  • σ добавление q на единицу объёма в единицу времени. Члены которые добавляют (σ > 0) или удаляют (σ < 0) q называются «источниками» и «стоками» соответственно.

Это общее уравнение может быть использовано для вывода любого уравнения непрерывности, начиная с простого уравнения неразрывности и до уравнения Навье-Стокса.

Если q сохраняющаяся величина, которая не может быть создана или уничтожена (например энергия), тогда σ = 0, и уравнение непрерывности принимает вид:

frac{partial 
ho}{partial t} + 
abla cdot mathbf{j} = 0,

Электромагнетизм

В электродинамике уравнение непрерывности выводится из уравнений Максвелла. Оно утверждает, что дивергенция плотности тока равна изменению плотности заряда со знаком минус,

Вывод

Закон Ампера гласит

Взяв дивергенцию от обеих частей выражения, получим

,

но дивергенция ротора равняется нулю, таким образом

По теореме Гаусса

Подставляя это выражение в предыдущее уравнение, получаем искомое уравнение непрерывности.

Интерпретация

Плотность тока — это движение зарядов. Уравнение непрерывности гласит, что если заряд уходит из дифференциального объёма (то есть дивергенция плотности тока положительна), тогда количество заряда внутри объёма уменьшается. В этом случае скорость изменения плотности заряда отрицательна.

Теория волн

В теории волн уравнение непрерывности выражает собой закон сохранения энергии в элементарном объеме, в котором распространяются волны любой природы. Его дифференциальная форма

где  — вектор плотности потока энергии в точке с координатами в момент времени ,  — плотность энергии.

Вывод

По определению, вектор плотности потока энергии — это вектор, модуль которого равен энергии, переносимой через единичную площадку, перпендикулярную направлению переноса энергии, за единицу времени, то есть , а направление его совпадает с направлением переноса энергии. Тогда энергия, вытекающая в единицу времени из некоторого макроскопического объема V,

По закону сохранения энергии , где  — энергия, находящаяся в объеме V. По определению, плотность энергии — энергия единицы объема, тогда полная энергия, заключенная в данном объеме, равна

Тогда выражение для потока энергии примет вид

Применяя формулу Гаусса-Остроградского к левой части выражения, получим

В силу произвольности выбранного объема, заключаем что подынтегральные выражения равны, откуда и получаем дифференциальную форму уравнения непрерывности.

Гидродинамика

В гидродинамике уравнение непрерывности называют уравнением неразрывности. Оно выражает собой закон сохранения массы в элементарном объеме, то есть непрерывность потока жидкости или газа. Его дифференциальная форма

,

где  — плотность жидкости (или газа),  — вектор скорости жидкости (или газа) в точке с координатами в момент времени .

Вектор называют плотностью потока жидкости. Его направление совпадает с направлением течения жидкости, а абсолютная величина определяет количество вещества, протекающего в единицу времени через единицу площади, расположенную перпендикулярно вектору скорости.

Для несжимаемых жидкостей . Поэтому уравнение принимает вид

,

из чего следует соленоидальность поля скорости.

Квантовая механика

В нерелятивистской квантовой механике сохранение вероятности также приводит к уравнению непрерывности. Пусть P(xt) — плотность вероятности, тогда уравнение запишется в виде

где j — ток вероятности.

Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/206787

Непрерывность функций – теоремы и свойства

Уравнение непрерывности - Справочник студента

Приводятся определения и формулировки основных теорем и свойств непрерывной функции одной переменной. Рассмотрены свойства непрерывной функции в точке, на отрезке, предел и непрерывность сложной функции, классификация точек разрыва. Даны определения и теоремы, связанные с обратной функцией. Изложены свойства элементарных функций.

Определение Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена на некоторой окрестности этой точки, и если предел при x стремящемся к x0 равен значению функции в x0: .

Используя определения предела функции по Коши и по Гейне, можно дать развернутые определения непрерывности функции в точке.

Можно сформулировать понятие непрерывности в терминах приращений. Для этого мы вводим новую переменную , которая называется приращением переменной x в точке . Тогда функция непрерывна в точке , если . Введем новую функцию:

.

Ее называют приращением функции в точке . Тогда функция непрерывна в точке , если .

Определение непрерывности справа (слева) Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке x0, если она определена на некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности этой точки, и если правый (левый) предел в точке x0 равен значению функции в x0: .

Более подробно, см. «Определение непрерывности функции в точке».

Свойства непрерывных в точке функций

Теорема об ограниченности непрерывной функции Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0. Тогда существует такая окрестность U(x0), на которой функция ограничена.

Теорема о сохранении знака непрерывной функции Пусть функция непрерывна в точке . И пусть она имеет положительное (отрицательное) значение в этой точке: . Тогда существует такая окрестность точки , на которой функция имеет положительное (отрицательное) значение:   при  .

Арифметические свойства непрерывных функций Пусть функции   и   непрерывны в точке . Тогда функции , и непрерывны в точке . Если , то и функция непрерывна в точке .

Свойство непрерывности слева и справа Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в справа и слева.

Доказательства свойств приводятся на странице «Свойства непрерывных в точке функций».

Непрерывность сложной функции

Теорема о непрерывности сложной функции Пусть функция   непрерывна в точке . И пусть функция   непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке .

Предел сложной функции

Теорема о пределе непрерывной функции от функции Пусть существует предел функции при , и он равен : . Здесь точка t0 может быть конечной или бесконечно удаленной: . И пусть функция   непрерывна в точке . Тогда существует предел сложной функции , и он равен : .

Теорема о пределе сложной функции Пусть функция имеет предел и отображает проколотую окрестность точки на проколотую окрестность точки .

Пусть функция определена на этой окрестности и имеет на ней предел . Здесь – конечные или бесконечно удаленные точки: .

Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние. Тогда существует предел сложной функции и он равен : .

Подробнее, см. «Предел и непрерывность сложной функции».

Точки разрыва

Определение точки разрыва Пусть функция определена на некоторой проколотой окрестности точки . Точка называется точкой разрыва функции , если выполняется одно из двух условий: 1) не определена в ; 2) определена в , но не является непрерывной ⇑ в этой точке.

  • Определение точки разрыва 1-го рода Точка называется точкой разрыва первого рода, если является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева и справа : .
  • Определение скачка функции Скачком Δ функции в точке называется разность пределов справа и слева .
  • Определение точки устранимого разрыва Точка называется точкой устранимого разрыва, если существует предел , но функция в точке или не определена, или не равна предельному значению: .
  • Таким образом, точка устранимого разрыва – это точка разрыва 1-го рода, в которой скачек функции равен нулю.

Определение точки разрыва 2-го рода Точка называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва 1-го рода. То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.

Подробнее, см. «Точки разрыва функции – определения, классификация и примеры».

Свойства функций, непрерывных на отрезке

  1. Определение функции, непрерывной на отрезке Функция называется непрерывной на отрезке (при ), если она непрерывна во всех точках открытого интервала (при ) и непрерывна справа и слева ⇑ в точках a и b, соответственно.

  2. Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

  3. Определение достижимости максимума (минимума) Функция достигает своего максимума (минимума) на множестве , если существует такой аргумент , для которого для всех .

  4. Определение достижимости верхней (нижней) грани Функция достигает своей верхней (нижней) грани на множестве , если существует такой аргумент , для которого .

  5. Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции Непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих верхней и нижней граней или, что тоже самое, достигает на отрезке своего максимума и минимума.

Теорема Больцано – Коши о промежуточном значении Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть C есть произвольное число, находящееся между значениями функции на концах отрезка: и . Тогда существует точка , для которой .

Следствие 1 Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть значения функции на концах отрезка имеют разные знаки: или . Тогда существует точка , значение функции в которой равно нулю: .

Следствие 2 Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть . Тогда функция принимает на отрезке все значения из и только эти значения:   при  .

Подробнее, см. «Свойства функций, непрерывных на отрезке».

Обратные функции

Определение обратной функции Пусть функция имеет область определения X и множество значений Y. И пусть она обладает свойством: для всех . Тогда для любого элемента из множества Y можно поставить в соответствие только один элемент множества X, для которого . Такое соответствие определяет функцию, которая называется обратной функцией к . Обратная функция обозначается так: .

  • Из определения следует, что ;   для всех  ;   для всех  .
  • Лемма о взаимной монотонности прямой и обратной функций Если функция строго возрастает (убывает), то существует обратная функция , которая также строго возрастает (убывает).
  • Свойство о симметрии графиков прямой и обратной функций Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой .

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на отрезке Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке . Тогда на отрезке определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (убывает).

Для возрастающей функции . Для убывающей – .

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на интервале Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на открытом конечном или бесконечном интервале . Тогда на интервале определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (убывает).

Для возрастающей функции . Для убывающей: .

Аналогичным образом можно сформулировать теорему о существовании и непрерывности обратной функции на полуинтервале.

Подробнее, см. «Обратные функции – определение и свойства».

Свойства и непрерывность элементарных функций

Элементарные функции и обратные к ним непрерывны на своей области определения. Далее мы приводим формулировки соответствующих теорем и даем ссылки на их доказательства.

Показательная функция

Показательная функция f(x) = ax, с основанием a > 0 – это предел последовательности , где есть произвольная последовательность рациональных чисел, стремящаяся к x: .

Теорема. Свойства показательной функции Показательная функция имеет следующие свойства: (П.0)   определена, при , для всех ; (П.1)   при a ≠ 1 имеет множество значений ; (П.2)   строго возрастает при , строго убывает при , является постоянной при ; (П.3)   ; (П.3*)   ; (П.4)   ; (П.5)   ; (П.6)   ; (П.7)   ; (П.8)   непрерывна для всех ; (П.9)     при ;   при .

Подробнее, см. «Определение и доказательство свойств показательной функции».

Логарифм

Логарифмическая функция, или логарифм, y = loga x, с основанием a – это функция, обратная к показательной функции с основанием a.

Теорема. Свойства логарифма Логарифмическая функция с основанием a,   y = loga x, имеет следующие свойства: (Л.1)   определена и непрерывна, при и , для положительных значений аргумента,; (Л.2)   имеет множество значений ; (Л.3)   строго возрастает при , строго убывает при ; (Л.4)     при ;   при ; (Л.5)   ; (Л.6)   при ; (Л.7)     при  ; (Л.8)     при  ; (Л.9)     при  .

Подробнее, см. «Определение и доказательство свойств логарифма».

Экспонента и натуральный логарифм

В определениях показательной функции и логарифма фигурирует постоянная a, которая называется основанием степени или основанием логарифма.

В математическом анализе, в подавляющем большинстве случаев, получаются более простые вычисления, если в качестве основания использовать число e: .

Показательную функцию с основанием e называют экспонентой: , а логарифм по основанию e – натуральным логарифмом: .

Свойства экспоненты и натурального логарифма изложены на страницах «Экспонента, е в степени х», «Натуральный логарифм, функция ln x»

Степенная функция

Степенная функция с показателем степени p – это функция  f(x) = x p, значение которой в точке x равно значению показательной функции с основанием x в точке p. Кроме этого,  f(0) = 0 p = 0  при  p > 0.

Здесь мы рассмотрим свойства степенной функции y = x p при неотрицательных значениях аргумента . Для рациональных , при нечетных m, степенная функция определена и для отрицательных x. В этом случае, ее свойства можно получить, используя четность или нечетность. Эти случаи подробно рассмотрены и проиллюстрированы на странице «Степенная функция, ее свойства и графики».

Теорема. Свойства степенной функции (x ≥ 0) Степенная функция,   y = x p, с показателем p имеет следующие свойства: (С.1)   определена и непрерывна на множестве при , при ; (С.2)   имеет множество значений при , при ; (С.3)   строго возрастает при , строго убывает при ; (С.4)     при ;   при ; (С.5)   ; (С.5*)   ; (С.6)   ; (С.7)   ; (С.8)   ; (С.9)   .

Подробнее, см. «Непрерывность и свойства степенной функции».

Тригонометрические функции

Теорема о непрерывности тригонометрических функций Тригонометрические функции: синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x) и котангенс (ctg x), непрерывны на своих областях определения.

Теорема о непрерывности обратных тригонометрических функций Обратные тригонометрические функции: арксинус (arcsin x), арккосинус (arccos x), арктангенс (arctg x) и арккотангенс (arcctg x), непрерывны на своих областях определения.

Подробнее, см. «Доказательство непрерывности тригонометрических функций».

Использованная литература: О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004. Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Источник: https://1cov-edu.ru/mat-analiz/nepreryvnost-funktsii/

ПОИСК

[c.119]

    Точное решение системы уравнений (308) и (331) может быть получено с учетом уравнения непрерывности тока, согласно которому плотность тока утечки из металла трубы равна сумме внешней и внутренней утечки.

Однако в этом нет необходимости, так как общий метод [164] определения тока внешней утечки /п предполагает замену трубопровода тонким проводником с некоторой эквивалентной продольной проводимостью, доля проводимости транспортируемой жидкости в которой по сравнению с проводимостью металла трубы так незначительна, что ею вполне можно пренебречь.

Тогда решение задачи упрощается, и линейная плотность тока утечки определяется как решение уравнения (331) без учета внутренней утечки. [c.214]

    Следуя работам [12—4], уравнения непрерывности и движения для газовой и твердой фаз можно записать в виде [c.186]

    Общее уравнение непрерывности (Г.33)  [c.16]

    Уравнение непрерывности химических компонентов (Г.40)  [c.16]

    В случае стационарного течения общее уравнение непрерывности (1) принимает вид [c.27]

    С учетом уравнения (34), уравнение непрерывности компонентов (уравнение (4)) может быть записано так  [c.27]

    Из уравнения непрерывности (1.27) следует, что [c.39]

    Уравнения непрерывности компонентов требуют дальнейшего обсуждения, так как может оказаться, что не все уравнения (4) и (5) являются независимыми и будут содержать не всю информацию, которая может быть получена из уравнения (1.29). Из уравнения (1.8) видно, что скорость образования компонента i в процессе химической реакции может быть представлена в виде м [c.41]

    Уравнение непрерывности в форме уравнения (1.19) формально можно получить интегрированием по всей площади поперечного сечения потока. Пределы изменения координат 2 и Хд (см. (1.

13)) при таком интегрировании не должны зависеть от х, поскольку границы поперечного сечения потока образованы линиями тока и поэтому должны быть параллельны локальной координате х, т. е. параллельны вектору локальной скорости.

Таким образом, поскольку свойства потока не зависят от координат х я х , после умножения уравнения (1.19) на 2 3 и последующего интегрирования по поперечному сечению в случае установившегося потока можно получить [c.93]

    Следовательно, уравнение непрерывности имеет вид [c.94]

    Уравнение (33) является записанным в безразмерном виде уравнением непрерывности компонентов.

Выбор обозначения для функции (т, ф), определяемой формулой (34), подчеркивает, что эта функция является функцией только переменных т и ф, потому что другие переменные р и Т, фигурирующие в правой части формулы (34), могут быть легко выражены через т, ф и константы с помощью соотношений (6) и (27).

Функция (т, ф) неотрицательна во всем интервале изменения т, О т 1, и физически допустимом интервале изменения ф она равна нулю лишь при т = 1, хотя и принимает весьма малые значения [c.150]

    Рассмотрим бесконечный слой жидкости, ограниченный двумя параллельными плоскостями, находящимися на определенном расстоянии, и пусть одна из границ равномерно движется вдоль пленки.

Если предположить, что на границах отсутствует скольжение и применимо обычное уравнение непрерывности для несжима-ющейся жидкости, то вязкость будет определена как тангенциальная сила, отнесенная к единице поверхности движущейся границы. [c.173]

    Состояние газа в ударной волне, наряду с уравнением непрерывности потока и законом сохранения количества движения, определяется также законом сохранения энергии, которые могут быть преобразованы к виду (так называемая вдиаСата Гкгсньо) [c.241]

    Пусть скорость превращенпя Д = Тогда уравнение непрерывности для реагента А при установившемся режиме и.меет вид  [c.101]

    Поток прекратится, когда концентрации (в общем случае — химические потенциалы) компонентов в обеих областях выравняются.

Зависимость концентрации от времени и координаты в процессе диффузии определяется дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных (второе уравнение Фика), которое получается подстановкой (Х 1.

2) в уравнение непрерывности потока (соотношение неразрывности) дс д1 -Ь дЦдх = О, в результате чего имеем  [c.210]

    Сравнивая полученное уравнение с законом сохранения числа частиц, выража-емым известным уравнением непрерывности (дш1д1) + (11у/ = О, где ш = г1) я ) — [c.99]

    Умножив уравнение (22) на pgigз и воспользовавшись уравнением (23), можно показать, что, когда д/д1 = О, уравнение непрерывности для компонента имеет вид [c.25]

Источник: https://www.chem21.info/info/90907/

Научно-учебный комплекс ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НАУКИ МГТУ им.Н.Э.Баумана — Линейная алгебра и функции нескольких переменных (1-й курс, 2-й семестр)

авторы А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Это расширенный вариант лекций, читаемых студентам большинства специальностей в МГТУ имени Н.Э. Баумана.

Дополнительный материал, включенный в этот вариант, представлен теми вопросами, которые вынесены на самостоятельное изучение и в аудитории, как правило, не рассматриваются.

Кроме того, увеличено количество примеров решения типовых задач, что, на наш взгляд, также будет полезным при изучении курса (но при этом не отменяет семинарские занятия).

В начале каждой лекции приведено краткое содержание, которое почти дословно совпадает с календарным планом по курсу (расхождения в основном вызваны разделением материала на отдельные лекции).

pdf  Лекция 1. Линейные пространства.   Аксиомы и примеры линейных пространств. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Критерий линейной зависимости, его следствия.

Определение базиса и размерности линейного пространства. Теоремы о базисе и размерности (без док-ва). Теорема о единственности разложения по базису. Координаты вектора. Линейные операции над векторами в базисе. Матрица перехода к новому базису.

Преобразование координат вектора при переходе к новому базису. 

pdf  Лекция 2. Линейные подпространства. Евклидовы пространства.  Подпространства линейного пространства. Ранг системы векторов, связь с рангом матрицы. Линейная оболочка. Примеры. Евклидово пространство, аксиомы и примеры. Норма вектора.

Неравенство Коши — Буняковского и неравенство треугольника. Ортогональность векторов. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Ортонормированный базис евклидова пространства Выражение координат вектора в ортонормированном базисе.

Вычисление скалярного произведения и нормы вектора в ортонормированном базисе.

pdf  Лекция 3. Процесс ортогонализации. Линейные операторы и их матрицы.  Теорема о его существовании ортонормированного базиса и процесс ортогонализации Грама — Шмидта (без док-ва). Линейные операторы и их матрицы (определение, примеры).

Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису, инвариантность ее определителя. Подобные матрицы. Действия над линейными операторами и соответствующие действия с их матрицами. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

 

pdf  Лекция 4. Характеристический многочлен и собственные значения.  Характеристический многочлен линейного оператора, его независимость от базиса. След матрицы линейного оператора и его инвариантность.

Характеристический многочлен и собственные значения матрицы. Свойство множества собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному значению. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения, связь между ними (без док-ва).

Теорема о линейной независимости собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов. Критерий существования такого базиса (без док-ва).

Существование базиса из собственных векторов в случае действительных и некратных корней характеристического уравнения. 

pdf  Лекция 5. Линейные операторы в евклидовых пространствах.  Линейные операторы в евклидовых пространствах. Сопряженный и самосопряженный операторы, их матрицы в ортонормированном базисе. Свойства корней характеристического многочлена самосопряженного оператора: вещественность и равенство алгебраических и геометрических кратностей (без док-ва).

Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих различным собственным значениям. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора (док-во для случая различных собственных значений). Ортогональные преобразования, ортогональные матрицы и их свойства.

Диагонализация симметрической матрицы ортогональным преобразованием.

pdf  Лекция 6. Квадратичные формы и их свойства.  Квадратичные формы. Координатная и матричная формы записи. Преобразование матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису.

Ранг квадратичной формы, его независимость от выбора базиса. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра (без док-ва) Квадратичные формы канонического вида. Метод Лагранжа.

Закон инерции квадратичных форм (без док-ва). 

pdf  Лекция 7. Канонический вид кривых и поверхностей второго порядка.  Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Приведение уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду. 

pdf  Лекция 8. Функции нескольких переменных как отображения.  Метрика и окрестности в Rn. Открытые, замкнутые, ограниченные и связные множества в Rn. Граница множества. Понятие области в Rn.

Скалярная функция нескольких переменных (ФНП) как отображение F: Ω→R (Ω⊆Rn). Линии и поверхности уровня. Предел ФНП. Бесконечно малые и бесконечно большие ФНП. Непрерывность ФНП в точке, на множестве.

Свойства ФНП, непрерывных на множестве (без док-ва).

pdf  Лекция 9. Дифференцируемые функции нескольких переменных.  Частные производные ФНП, геометрическая интерпретация для n=2. Частные производные высших порядков. Теорема о независимости смешанных частных производных от порядка дифференцирования. Матрица Гессе. Дифференцируемость ФНП. Необходимые условия и достаточное условие дифференцируемости.

pdf  Лекция 10. Дифференциал. Полный дифференциал ФНП. Производная сложной функции. Частная и полная производные ФНП. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для ФНП (без док-ва). Применение дифференциала ФНП к приближенным вычислениям.

pdf  Лекция 11. Неявные функции. Градиент.  Неявные функции. Теорема о существовании (без док-ва) и дифференцируемости неявной ФНП. Производная ФНП по направлению и градиент, их свойства. 

pdf  Лекция 12. Геометрические приложения.  Касательная плоскость и нормаль к поверхности, условия их существования и вывод уравнений. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных.

pdf  Лекция 13. Экстремум функции нескольких переменных.  Экстремум ФНП. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума (формулировка с помощью матрицы Гессе, без док-ва).

pdf  Лекция 14. Условный экстремум.  Условный экстремум ФНП, его геометрическая интерпретация (при n=2), функция Лагранжа. Необходимое условие условного экстремума (вывод для n=2). Достаточные условия (без док-ва). Нахождение наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой ФНП на замкнутом ограниченном множестве.

pdf  Лекция 15. Векторные функции нескольких переменных.  Векторная ФНП (ВФНП) как отображение F: Ω→Rm (Ω⊆Rn).. Координатные функции ВФНП. Геометрическая интерпретация для n, m = 2, 3. Предел ВФНП. Непрерывность ВФНП.

pdf  Лекция 16. Дифференцируемость векторных функций нескольких переменных.  Матрица Якоби ВФНП, якобиан (при n=m). Дифференцируемость ВФНП, ее дифференциал. Производная сложной ВФНП в матричной форме. Теорема о неявной функции в общем случае. Теорема об обратной функции.

Источник: http://fn.bmstu.ru/educational-work-fs-12/70-lections/240-lin-al-fmp

Уравнение непрерывности

В результате спроектированной модели и эксперимента [128], проведенного в группе студентов 5-го курса специальности «Медицинская физика», изучающих спецкурс «Матричная оптика», были получены функции фк- Они зависят от некоторой безразмерной координаты г.

Проведено два измерения — перед началом изучения спецкурса и после него. Обе полученные функции представляют собой одну и ту же функцию в разные моменты времени.

Измеряемая функция в некотором смысле аналогична волновой функции квантовомеханической частицы и представляет собой решение некоторого уравнения.

Допустим, это уравнение подобно уравнению Шредингера. Тогда его следствием является уравнение непрерывности

где j — вектор плотности тока вероятности; со — фф* — плотность вероятности.

Аналогичные уравнения используются при моделировании сложных социальных процессов.

Например, в широко известной модели мировой динамики Форрестера, построенной на основе принципов системной динамики как метода изучения сложных систем с нелинейными обратными связями, для основных фазовых переменных (так называемых системных уровней) записываются дифференциальные уравнения (в физике они часто называются балансными уравнениями) типа

где у+ — положительный темп скорости переменной у, включающий факторы, вызывающие рост переменной у, у~ — отрицательный темп скорости, включающий факторы, вызывающие убывание переменной у.

Предполагается, что эти темпы расщепляются на произведение функций, зависящих только от факторов — комбинаций основных переменных, т. е., в свою очередь, являющихся функциями системных уровней.

Это позволяет упростить задачу моделирования.

Уравнение (5.2) подобно (5.3). Левые части уравнений (5.2) и (5.3) представляют собой аналог плотности потока вероятности. Однако, в отличие от (5.3), в уравнении непрерывности (5.

2) в левой части находится квадрат модуля комплексной функции, а не действительной величины. Ее информационный смысл значительно богаче. Смысловое значение и> приведено в [128].

В правой части обоих уравнений присутствуют потоки.

Уравнение непрерывности (5.2) может быть получено из уравнения Шредингера, а вектор плотности потока вероятности выражается следующим образом:

Заметим, что правая часть выражения (5.4), взятого из квантовой механики, подобно правой части (5.3), формируется так же, как и в модели Форрестера, из комбинаций основных переменных.

Проведено измерение в два момента времени: перед изучением спецкурса в момент времени t и после обучения в момент t,2. Если предположить, что этот интервал времени достаточно мал, то в левой части (5.2) можно заменить производную по времени на разность

Проведем преобразование правой части уравнения непрерывности для нашего примера. Поскольку волновая функция представлена в виде

где и(г) — действительный коэффициент; 2тгкг — действительная фаза, то подстановка (5.6) в (5.4) дает

Если исходить из этих оценок левой и правой части (5.2), то результаты вычисления (5.5) и (5.7) будут пропорциональны с некоторым коэффициентом, который в данных рассуждениях не определен. Проверим, подходит ли уравнение непрерывности для описания процесса формирования компетенций.

Для этого используем комплексные статусные функции [128], полученные при проведении эксперимента по оценке процесса формирования профессиональных компетенций студентов 5-го курса физического факультета СГУ специальности «Медицинская физика», изучающих спецкурс «Матричная оптика», с использованием предложенного метода.

Уравнение (5.2) в интегральной форме представим в виде

Таким образом, исходя из предположения, что статусная функция набора состояний компетенций в некотором смысле аналогична волновой функции квантовомеханической частицы и удовлетворяет некоторому уравнению, которое подобно уравнению Шрединге- ра, покажем соответствие левой и правой частей уравнения непрерывности:

Источник: https://ozlib.com/801653/tehnika/uravnenie_nepreryvnosti

Ссылка на основную публикацию