Уравнение бернулли — справочник студента

Дифференциальным уравнением Бернулли называется уравнение вида

где m ≠ 0 и m ≠ 1.

Таким образом, дифференциальное уравнение Бернулли обязательно содержит функцию y в степени, отличной от нуля и единицы.

Дифференциальное уравнение Бернулли можно решить двумя методами.

1. Переходом с помощью подстановки к линейному уравнению.
2. Методом Бернулли.

Переход от уравнения Бернулли к линейному уравнению.

Уравнение делим на :

которое является линейным дифференциальным уравнение первого порядка. Его можно решить методом вариации константы Лагранжа или методом Бернулли.

Решение методом Бернулли.

Решение следует искать в виде произведения двух функций y = u ⋅ v. Подставив его в дифференциальное уравнение, получим уравнение

Из слагаемых, содержащих функцию u в первой степени, вынесем её за скобки:

• Приравняв выражение в скобках нулю, то есть
• ,
• получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными для определения функции v.
• Функцию u следует находить из дифференциального уравнения

которое также является уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

.

Решение. Решим дифференциальное уравнение двумя методами.

1. Переход от уравнения Бернулли к линейному уравнению. Данное уравнение умножим на y³:

1. .
2. Введём обозначение , тогда , и приходим к уравнению
3. или
4. .
5. Решим его методом Бернулли. В последнее уравнение подставим z = u ⋅ v, z' = u'v + uv':

• Выражение в скобках приравняем нулю и решим полученное дифференциальное уравнение:
• Полученную функцию v подставим в уравнение:
• Тогда

2. Методом Бернулли. Ищем решение в виде произведения двух функций y = u ⋅ v. Подставив его и y' = u'v + uv' в данное дифференциальное уравнение, получим

1. Выражение в скобках приравняем нулю и определим функцию v:
2. Полученную функцию v подставим в уравнение и определим функцию u:
3. И, наконец, найдём решение данного дифференциального уравнения:

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

.

Решение. Это уравнение, в котором m = −1. Применив подстановку y = u ⋅ v, получим

• Выражение в скобках приравняем нулю и определим функцию v:
• Полученную функцию v подставим в уравнение и определим функцию u:
• Таким образом, получаем решение данного дифференциального уравнения:
• .

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

.

Решение. Это уравнение можно решить, используя подстановку y = u ⋅ v. Получаем

1. Приравняем нулю выражение в скобках и решим полученное уравнение с разделяющимися переменными:
2. Подставляем v в данное уравнение и решаем полученное уравнение:
3. или
4. Разделим переменные:
5. и проинтегрируем обе части уравнения:
6. Далее используем подстановку
7. :
8. .
9. Введём обозначения:
10. Продолжаем:
11. Таким образом, получаем функцию u:
12. .
13. и решение данного дифференциального уравнения:

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

• Пример 4. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
• при условии .
• Решение. Перепишем уравнение, перенося в левую сторону линейные слагаемые, а в правую — нелинейные:
• .
• Это уравнение Бернулли, которое можно решить, используя подстановку y = u ⋅ v, y' = u'v + uv':
• Выражение в скобках приравняем нулю и решим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
• Подставим функцию v в данное уравнение и решим полученное дифференциальное уравнение:
• Вычислим каждый интеграл отдельно. Первый:
• .
• Второй интеграл интегрируем по частям. Введём обозначения:
• Решаем:
• Приравниваем друг другу найденные значения интегралов и находим функцию u:
• Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:
• .
• Используем начальное условие, чтобы определить значение константы:
• Ищем частное решение, удовлетворяющее начальному условию:
• В результате получаем следующее частное решение данного дифференциального уравнения:
• .

И напоследок — пример с альтернативным обозначением производных — через дробь.

Пример 5. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

.

Решение. Решим это уравнение первым из представленных в теоретической части методом — переходом к линейному уравнению. Разделив данное уравнение почленно на y³, получим

1. .
2. Введём новую функцию . Тогда
3. .
4. Подставляя эти значения в уравнение, полученное на первом шаге, получим линейное уравнение:
5. .
6. Найдём его общий интеграл:
7. ,
8. .
9. Подставляя эти значение в полученное линейное уравнение, получаем
10. или
11. .
12. Приравниваем нулю выражение в скобках:
13. Для определения функции u получаем уравнение
14. .
15. Разделяем переменные:
16. Интегрируем по частям:
17. Таким образом, общий интеграл данного уравнения
18. или
19. .

Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения

Всё по теме «Дифференциальные уравнения»

Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Однородные дифференциальные уравнения первого порядка Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Поделиться с друзьями

Источник: https://function-x.ru/differential_equations9.html

Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли для реальной и идеальной жидкости

Ниже задача с решением уравнения Бернулли. Примеры уравнения Бернулли по формулам.

Уравнение Бернулли позволяет выполнить расчет водоснабжения и отопления: Подобрать диаметры и насосы. В этой статье будет расписан энергетический и геометрический смысл уравнения Бернулли.

• Скачайте видео: Задача на расчет уравнения Бернулли
• График Бернулли и уравнение Бернулли для идеальной жидкости:

График Бернулли и уравнение Бернулли для реальной жидкости:

где,

Смысл уравнения Бернулли

Смысл уравнения Бернули в том, чтобы показать, что внутри системы заполненной жидкостью (участка трубопровода) сохраняется общая энергия между разными точками. То есть на участке трубопровода необходимо выделить две точки, и эти две точки равны друг другу по значению полной энергии. Полная энергия состоит из потенциальной и кинетической энергии.

Назначение уравнения Бернули

Понять, как распределяется давление в системе трубопроводов. А также с помощью уравнения находить неизвестные параметры внутри системы. Например, найти давление в каждой течке пространства системы заполненной жидкостью.

Подробнее на видео: (для запуска видео кликните по окошку) На видео намного больше информации

Следующий урок

1. Решая задачу с уравнением Бернулли, Вы фактически занимаетесь гидравлическим расчетом. О том, как делать гидравлический расчет — написано тут: Конструктор водяного отопления
2. Задача. Пример решения уравнения Бернулли
3. По решению задачи необходимо найти давление в точке 2 при известных параметрах: давление и расход.

Как понять уравнение Бернулли?

• Для расчета уравнения Бернулли необходимо выбрать две точки в пространстве
• Например,
• Точка 1 – это место где известно давление
• Точка 2 – это место где нужно узнать давление

Поймите, что каждый кусок формулы измеряется давлением: м.в.ст. (метр водяного столба)

То есть для того, чтобы быстро считать гидравлику систем водоснабжения и отопления, необходимо меньше всего выражаться в Барах, Паскалях и тому подобное.

Проще выражать давление в единице измерения: м.в.ст. (метр водяного столба)

1. Вы этим самым упростите себе жизнь… просто другая единица это еще один процесс, который отнимает время.
2. Решение задачи
3. Сборка формулы уравнения Бернулли

Как избавится от минуса?

Как избавится от множителя (-1)?

Необходимо множитель (-1) помножить на каждый слагаемый член. Знак каждого слагаемого члена меняется на противоположный. То есть (+ на -) (- на +). Далее перестановка слагаемых.

• Ответ:
• Что такое идеальная жидкость?

Идеальная жидкость — это жидкость, не обладающая внутренним трением. То есть такая жидкость не создает гидравлическое сопротивление.

Реальная жидкость — это жидкость, которая обладает вязкостью. То есть внутренним сопротивлением.

1. Формула Бернулли для реальной жидкости
2. Коэффициент Кориолиса – это поправка кинетической энергии на реальную жидкость.
3. Потому что реальная жидкость движется не равномерно

У реальной жидкости серединная струйка воды движется быстрее остальных. При ламинарном режиме градиент: Чем ближе к стенке, тем медленнее движется поток воды.

• Формула коэффициента Кориолиса
• Что такое коэффициент Кориолиса?
• Коэффициент Кориолиса характеризует отношение действительной кинетической энергии потока жидкости в данном сечении к той кинетической энергии потока, которую он имел бы, если бы все частицы двигались с одинаковой скоростью, равной средней скорости потока.
• Чему равен коэффициент Кориолиса?

Нд.п. – Это динамические потери. Это потери вызванные движением воды.

1. Подробнее о формулах: Конструктор водяного отопления
2. Имеются дополнительные задачи с уравнением Бернули на реальную жидкость:
3. Задача1
4. Задача2
5. Задача3
6. Дополнительные задачи тут: Расчет водоснабжения и отопления своими руками
7. Посмотрите видеоурок по составлению уравнения Бернулли:

• Посмотреть другие уроки: Расчет водоснабжения и отопления своими руками
• Как сделать гидравлический расчет погружного насоса?
• Посмотрите видео:

Подробнее о программе

Источник: http://infosantehnik.ru/str/91.html

Уравнение Бернулли — вывод формулы, физический смысл, примеры использования

Время на чтение: 14 минут

Исследования учёного

Даниил Бернулли родился в Голландии в 1700 году. В 1725 году он начал работать на кафедре физиологии, где увлёкся основами теоретической физики.

Через 25 лет он возглавил кафедру экспериментальной физики, которой и руководил до конца своих дней. Основным его трудом считается создание теории гидродинамической зависимости, известной как Закон Бернулли.

Открытие учёного предвосхитило зарождение молекулярно-кинетического учения поведения газов.

Причиной открытия принципа стало изучение действия закона сохранения энергии в различных ситуациях. Бернулли установил, что давление жидкости в замкнутом пространстве зависит от сечения объекта, в котором она находится. Чем меньше сечение трубы, тем ниже будет созданное давление в пропускаемом через неё жидком веществе.

Этот факт был доказан экспериментально и описан математически.

Правило в математической формулировке имеет вид (pv2/ 2) + p * g * h + ρ = const, где:

• p — количество жидкости на единицу объёма;
• v — скорость движения потока;
• h — уровень, на который поднят элемент жидкости;
• ρ — сила, действующая на единицу площади;
• g — ускорение, придаваемое жидкости под действием притяжения Земли.

Чтобы понять физический смысл уравнения Бернулли, нужно рассмотреть трубу переменного сечения, в которой существует точка А и Б. Первая располагается в широкой части, а вторая — в узкой.

В соответствии с уравнением непрерывности скорость V1 в части трубы, имеющей большее сечение, будет меньше, чем скорость жидкости V2 в узком сечении. Если в жидкость поместить прибор для измерения давления, он покажет какое-то значение P1 в точке A и P2 в точке Б.

При этом там, где скорость движения жидкости медленнее, давление будет больше.

Объясняется это следующим образом: если V1 больше V2, значит, при движении происходит изменение скорости течения. Представив, что в жидкости находится точка, можно утверждать о её движении с ускорением. Это означает, что на неё действуют силы.

Одна из них совпадает с направлением течения, тем самым ускоряя движение. Обусловлена эта сила разностью давления.

Так как движение происходит от точки А к Б, то и давление возле А будет больше, чем около Б. Эта разность давлений и приводит к ускорению.

Условия действия

Закон применим для условия, при котором соблюдается неразрывность струи воздуха или жидкости. В тех участках потока, где скорость течения больше, давление будет меньше и наоборот. Это утверждение и называется теоремой Бернулли. По сути, закон позволяет установить связь между давлением, скоростью, высотой.

Пусть имеется труба переменного сечения с изменяющейся высотой. Внизу она широкая, а затем сужается. По ней течёт жидкость. Площадь сечения можно обозначить как S1 и S2, а давление участков и скорость движения на них P1, P2, V1, V2. Высота внизу будет равняться S1, а вверху S2.

Выделив участок в трубе с жидкостью, можно сказать, что она движется слева направо и через некоторое время полностью сдвинется в область S2. Изменение положения слева будет равно расстоянию дельта L1, а справа — дельта L2.

Течение является:

• ламинарным — находящаяся в трубке жидкость перемешивается слоями без хаотических изменений давления и скорости, турбулентность отсутствует;
• стационарным — распределение скоростей не изменяется с течением времени;
• скоростным — в движении принимает участие такой параметр, как ускорение;
• идеальным с несжимаемой жидкостью.

Последнее обозначает, что нет вязкости. Поэтому на жидкость действует только сила упругости и тяжести, а силы трения нет. Система не является замкнутой, а значит закон сохранения энергии применительно к рассматриваемому участку использовать нельзя. Зато вполне можно применить теорему о кинетической энергии.

Для газов уравнение можно использовать лишь в том случае, если их плотность изменяется незначительно. Но касаемо аэродинамики учитывается и то, что изменение давления воздуха гораздо меньше атмосферного. Поэтому уравнение можно применять в аэродинамических расчётах.

Согласно ему, сумма действующих всех сил на тело (рассматриваемый кусок жидкости) равняется изменению кинетической энергии объекта: ΣAi = ΔEk.

На нижний участок действует сила давления, выполняющая положительную работу, а на верхний — отрицательную. Кроме этого, действует и сила тяжести. Так как жидкость поднимается, она имеет тоже отрицательный знак.

Сила бокового давления перпендикулярна любой точке в системе, поэтому никакого влияния она не оказывает.

Количественная сторона

Исходя из сил, действующих на тело, изменение кинетической энергии можно описать выражением: ΔEk = Ap1 +Ap2 +Ag. Чтобы найти работу, необходимо силу умножить на пройденное расстояние. Поэтому работа силы давления равна произведению самой силы F на модуль перемещения ΔL и косинусу угла между ними: Ap1 = F1* ΔL *1.

Чтобы найти силу, нужно давление умножить на площадь. Значит: Ap1 = p 1 * S1 * ΔL1 = p1V1. Таким же образом находится работа для второго состояния: Ap2 = F1* ΔL2 *(-1) = — p2 * S2 * ΔL2 = -p2 * V2. Жидкость несжимаемая, следовательно: V1=V2=V.

Работу силы тяжести можно вычислить исходя из того, что рассматриваемый кусок жидкости является относительным, то есть он, хотя и не статический, в любом месте будет подвергаться воздействию одинаковой силы тяжести.

Верным будет выражение: Ag = — ΔEp = — (m2 * g * h2 — m1 * g * h1) = m1 * g * h1 — m2 * g * h2. Так как жидкость несжимаемая, её плотность не изменится. Отсюда можно утверждать: Ag = ρ * V * g * h1 — ρ * V * g * h2.

Зная количественные показатели всех трёх работ, можно найти изменение кинетической энергии. Из физики известно, что оно равно разнице конечной и начальной энергии.

Течение стационарное, значит, скорость с течением времени не изменится.

Следовательно, кинетическая энергия будет определяться разницей появившейся энергии в верхней части и ушедшей из нижней области: ΔEk = (m2 * v22)/2 — (m1 * v12) / 2.

Воспользовавшись тем, что масса равняется произведению плотности на объём, формулу можно привести к виду: ΔEk = (ρ * V * v22)/2 — (ρ * V * v12) / 2. Теперь найденные выражения для работ нужно подставить в теорему о кинетической энергии.

Получится следующее равенство: p1V — p2V + ρ * V * g * h1 — ρ * V * g * h2 = (ρ * V * v22) / 2 — (ρ * V * v12) / 2.

То место, где давление p1, некая точка внутри трубки, пусть будет обозначено цифрой один, а там, где p2, — цифрой два. Всё что относится к единице можно записать в левой части, а к двойке — в правой: ρ1 * g * h1 + (ρ * v12) / 2 = ρ * g * h2 + (ρ * v22) / 2.

Полученная формула показывает, что при переходе в пределе одной линии скорость, давление и высота изменяются. Поэтому в любой точке будет справедливым выражение: ρ1+ ρ * g * h + (ρ * v1) / 2 = const.

Это и есть количественное описание уравнения Бернулли для идеальной жидкости.

Применение в гидравлике

Наиболее типичным примером использования уравнения является решение заданий по нахождению скорости вытекания жидкости из отверстия в широком сосуде. Такой ёмкостью называют систему, в которой диаметр сосуда значительно больше размера отверстия. Необходимо найти скорость вытекающей жидкости U1. Известно, что высота столба жидкости, на который действует сила тяжести g, равна h.

Пусть в жидкости, находящейся сверху, имеется точка один. Через некоторое время она окажется внизу в положении два. На верх жидкости давит атмосферное давление, поэтому p1=pатм. Высота в точке один равна h. Скорость U1 считают равной нулю. Давление p2 в точке два будет также равно атмосферному. Так как жидкость опустится на дно, то высота h2 станет нулевой.

Все эти величины следует подставить в уравнение Бернулли. Получится выражение: pатм + ρ * g * h + 0 = pатм + (ρ * U2) / 2 + 0. Атмосферное давление взаимно уничтожается: ρ * g * h = (ρ * U2) / 2.

В левой и правой части стоит плотность, на которую можно сократить. Отсюда получается, что вид жидкости значения не имеет. Это может быть: вода, ртуть, расплавленный металл. Эффект от этого не поменяется.

Из формулы можно выразить искомое U2. Оно будет равно: U2 = (2 * g * h)½.

Интересным фактом является то, что полученный ответ при решении задачи называется формулой Торричелли. Она показывает, что скорость, с которой вытекает жидкость из широкого сосуда, равна скорости тела при свободном падении с той же высоты.

Используя уравнение, можно легко рассчитать давление жидкости на дно и стенки сосуда. В этом случае закон Бернулли является обобщением для формулы гидростатического давления. Пусть имеется сосуд с жидкостью высотой h.

Точка, находящаяся наверху, характеризуется давлением p1 = pатм., высотой h1 равной h и скоростью U1. Для точки на дне параметры будут следующие: p2 = p, h2 = 0, U2 = 0.

Скорости принимаются равными нулевому значению, так как рассматриваемая жидкость находится в состоянии покоя.

Данные следует подставить в уравнение. В итоге получится равенство: pатм + ρ * g * h + 0 = p + 0 + 0. Из него несложно найти неизвестное: p = pатм + ρ * g * h. Полученный ответ является формулой гидростатического давления и подтверждает закон Паскаля.

Аналогично уравнение Бернулли для потока реальной жидкости используется при расчёте расхода в карбюраторе, пульверизаторе, учёте статического и динамического давления.

Подъёмная сила

Самолёт летает благодаря тому, что набегающий на крыло напор воздуха создаёт подъёмную силу. Её можно рассчитать и оценить с помощью уравнения. Геометрически крыло можно представить в виде плоскости с углом a (угол атаки).

На него действует поток воздуха со скоростью U. Частица воздуха ударяет в твёрдую поверхность и отражается от неё. Угол отражения равен углу атаки, а её скорость равняется U'. Нужно рассчитать подъёмную силу.

Для этого необходимо выполнить три шага:

• рассмотреть изменение скорости воздуха;
• узнать импульс частиц;
• используя закон Ньютона, определить силу.

В результате получится, что на крыло действует сила, состоящая из двух компонентов: подъёмной силы Fy и аэродинамического сопротивления Fx. Fy = Cy * p * U2 * S, а Fx = Cx * p * U2 * S. В формулах С является коэффициентом, а S — площадью крыла.

Для расчёта используется уравнение Бернулли. Выглядеть оно будет следующим образом: Pп. к + (ρ * Uп. к) * 2 / 2 + ρ * g * hп. к = Pн. к + (ρ * Uн. к) * 2 / 2 + ρ * g * hн. к, где: п. к — под крылом, а н. к — над крылом.

Это уравнение можно упростить, приняв, что давления над и под крылом примерно одинаковые, поэтому плотность будет также одинаковая. Кроме того, высота крыла довольно маленькая. Исходя из этого, формулу можно упростить, и она примет вид: pп. к-pн.к = (ρ * (Uн.к + Uп. к) * (Uн.к — Uп. к)) / 2 = 2 * U1 * U2.

Таким образом, используя метод, можно рассчитать подъёмную силу, обусловленную эффектом Бернулли. Например, пусть дано, что площадь крыла равна 50 м². Скорость потока воздуха над крылом и под ним соответственно равны: U1 = 320 м/с, U2 = 290 м/с. Найти грузоподъёмность. Для решения задания нужно знать дифференциальную плотность воздуха. Это справочная величина, равная 1,29 кг/м3.

Используя уравнение Бернулли, можно записать: pп. к-pн.к = ρ * (U2н.к — U2п. к). Подъёмная сила равна площади крыла, умноженной на разность давления. Подставив одно выражение в другое, получим рабочую формулу: Fy = ρ * (U2н.к — U2п. к) * S / 2. После выполнения расчёта получится ответ 590 кН. То есть грузоподъёмность самолёта составит порядка 59 тонн.

Реальные вычисления для таких задач довольно сложные, поэтому часто используют онлайн-калькуляторы.

Источник: https://nauka.club/fizika/uravneniye-bernulli.html

Основы гидравлики



Бернулли — вне всякого сомнения — имя, знакомое и специалистам, и обывателям, которые хоть немного интересуются науками.

Этот человек оставил ослепительный след в истории познавания человечеством окружающего мира, как физик, механик, гидравлик и просто общепризнанный гений, Даниил Бернулли навсегда останется в памяти благодарных потомков за свои идеи и выводы, которые долгое время существования человечества были покрыты мраком неизведанного. Открытия и законы, которыми Бернулли осветил путь к познанию истины, являются фундаментальными, и придали ощутимый импульс развитию многих естественных наук. К таковым относится и уравнение Бернулли в Гидравлике, которое он вывел почти три века назад. Данное уравнение является основополагающим законом этой сложной науки, объясняющим многие явления, описанные даже древними учеными, например, великим Архимедом.

Попробуем уяснить несложную суть закона Бернулли (чаще его называют уравнением Бернулли), описывающего поведение жидкости в той или иной ситуации.

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока, которая ограничена сечениями S1 и S2, (рис. 1). (Понятие идеальной жидкости абстрактно, как и понятие всего идеального. Идеальной считается жидкость, в которой нет сил внутреннего трения, т. е.

трения между отдельными слоями и частицами подвижной жидкости). Пусть в месте сечения S1 скорость течения ν1, давление p1 и высота, на которой это сечение расположено, h1. Аналогично, в месте сечения S2 скорость течения ν2, давление p2 и высота сечения h2.

• За бесконечно малый отрезок времени Δt жидкость переместится от сечения S1 к сечению S1', от S2 к S1'.
• По закону сохранения энергии, изменение полной энергии E2 — E1 идеальной несжимаемой жидкости равно работе А внешних сил по перемещению массы m жидкости:
• E1 — E2 = A     (1)
• где E1 и E2 — полные энергии жидкости массой m в местах сечений S1 и S2 соответственно.

С другой стороны, А — это работа, которая совершается при перемещении всей жидкости, расположенной между сечениями S1 и S2, за рассматриваемый малый отрезок времени Δt.

Чтобы перенести массу m от S1 до S1' жидкость должна переместиться на расстояние L1 = ν1Δt и от S2 до S1' — на расстояние L2 = ν2Δt. Отметим, что L1 и L2 настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис.

1, приписывают постоянные значения скорости ν, давления р и высоты h. Следовательно,

A = F1L1 + F2L2     (2)

1. Полные энергии E1 и E2 будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы m жидкости:
2. E1 = mv12/2 + mgh1     (3)
3. E2 = mv22/2 + mgh2     (4)
4. Подставляя (3) и (4) в (1) и приравнивая (1) и (2), получим
5. mv12/2 + mgh1+ p1S1v1Δt = mv22/2 + mgh2+ p2S2v2Δt.     (5)

Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости, объем, занимаемый жидкостью, всегда остается постоянным, т. е.

• ΔV = S1v1Δt = S2v2Δt.
• Разделив выражение (5) на ΔV, получим
• ρv12/2 + ρgh1 +p1 = ρv22/2 + ρgh2 + p2,
• где ρ — плотность жидкости.
• После некоторых преобразований эту формулу можно представить в другом виде:
• v12/2g + p1/ρg + z1 = v22/2g + p2/ρg + z2.
• Поскольку сечения выбирались произвольно, то в общем случае можно записать:
• ρv2/2 +ρgh +p = const      (6).

Выражение (6) получено швейцарским физиком Д. Бернулли (опубликовано в 1738 г.) и называется уравнением Бернулли.

Даниил Бернулли (Daniel Bernoulli, 1700 — 1782), швейцарский физик, механик и математик, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики. Академик и иностранный почётный член (1733) Петербургской академии наук, член Академий: Болонской (1724), Берлинской (1747), Парижской (1748), Лондонского королевского общества (1750).

Уравнение Бернулли по своей сути является интерпретацией закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Уравнение хорошо выполняется и для реальных жидкостей, для которых внутреннее трение не очень велико.

Величина р в формуле (6) называется статическим давлением (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина ρν2/2 — динамическим давлением, величина ρgh — гидростатическим давлением.

Статическое давление обусловлено взаимодействием поверхности жидкости с внешней средой и является составляющей внутренней энергии рассматриваемого элементарного объема жидкости (т. е.

характеризуется взаимодействием внутренних частиц жидкости, вызванных внешним возмущением — давлением), а гидростатическое – положением этого объема жидкости в пространстве (зависит от высоты над поверхностью Земли).

Динамическое давление характеризует кинематическую составляющую энергии этого объема, поскольку зависит от скорости потока, в котором движется рассматриваемый элементарный объем жидкости.

1. Для горизонтальной трубки тока изменение потенциальной составляющей ρgh будет равно нулю (поскольку h2 – h1 = 0), и выражение (6) примет упрощенный вид:
2. ρv2/2 + p = const     (7).
3. Выражение p + ρν2/2 называется полным давлением.
4. Таким образом, содержание уравнения Бернулли для элементарной струйки при установившемся движении можно сформулировать так: удельная механическая энергия при установившемся движении элементарной струйки идеальной жидкости, представляющая собой сумму удельной потенциальной энергии положения и давления и удельной кинетической энергии, есть величина постоянная.

Все члены уравнения Бернулли измеряются в линейных единицах.

В гидравлике широко применяют термин напор, под которым подразумевают механическую энергию жидкости, отнесенную к единице ее веса (удельную энергию потока или неподвижной жидкости).

Величину v2/2g называют скоростным (кинетическим) напором, показывающим, на какую высоту может подняться движущаяся жидкость за счет ее кинетической энергии. Величину hп = p/ρg называют пьезометрическим напором, показывающим на какую высоту поднимается жидкость в пьезометре под действием оказываемого на нее давления.

Величину z называют геометрическим напором, характеризующим положение центра тяжести соответствующего сечения движущейся струйки над условно выбранной плоскостью сравнения.

Сумму геометрического и пьезометрического напоров называют потенциальным напором, а сумму потенциального и скоростного напора — полным напором.

На основании анализа уравнения Бернулли можно сделать вывод, что при прочих неизменных параметрах потока (жидкости или газа) величина давления в его сечениях обратно пропорциональна скорости, т. е. чем выше давление, тем меньше скорость, и наоборот.

Это явление используется во многих технических конструкциях и устройствах, например, в карбюраторе автомобильного двигателя (диффузор), в форме крыла самолета.

***

Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли

Поскольку напор измеряется в линейных величинах, можно дать графическую (геометрическую) интерпретацию уравнению Бернулли и его составляющим.

На графике (рис. 2) представлена горизонтальная плоскость сравнения 0-0, относительно которой геометрический напор будет в каждом сечении равен вертикальной координате z центра тяжести сечения (линия геометрического напора проходит по оси струйки). Линия К-К, характеризующая потенциальный напор струйки, получена сложением геометрического и пьезометрического напора в соответствующих сечениях (т. е. разница координат точек линии К-К и соответствующих точек оси струйки характеризует пьезометрический напор в данном сечении). Полный напор характеризуется линией MN, которая параллельна плоскости сравнения О-О, свидетельствуя о постоянстве полного напора H'e (удельной механической энергии) идеальной струйки в любом ее сечении.

При движении реальной жидкости, обладающей вязкостью, возникают силы трения между ограничивающими поток поверхностями и между слоями внутри самой жидкости.

Для преодоления этих сил трения расходуется энергия, которая превращается в теплоту и рассеивается в дальнейшем движущейся жидкостью. По этой причине графическое изображение уравнения Бернулли для идеальной жидкости будет отличаться от аналогичного графика для реальной жидкости.

Если обозначить hf потери напора (удельной энергии) струйки на участке длиной L, то уравнение Бернулли для реальной жидкости примет вид:

v12/2g + p1/ρg + z1 = v22/2g + p2/ρg + z 2 + hf.

Для реальной жидкости полный напор вдоль струйки не постоянен, а убывает по направлению течения жидкости, т. е. его графическая интерпретация имеет вид не прямой линии, а некоторой кривой МЕ (рис. 3). Заштрихованная область характеризует потери напора.

• Падение напора на единице длины элементарной струйки, измеренной вдоль оси струйки, называют гидравлическим уклоном:
• i = dHe/dL = — dhf/dL .
• Гидравлический уклон положителен, если напорная линия снижается по течению жидкости, что всегда бывает при установившемся движении.
• α1v12/2g + p1/ρg + z1 = α2v22/2g + p2/ρg + z 2 + hf,

Для практического применения уравнения Бернулли необходимо распространить его на поток реальной жидкости:

где α1,α2 — коэффициенты Кориолиса, учитывающие различие скоростей в разных точках сечения потока реальной жидкости. На практике обычно принимают α1 = α2 = α: для ламинарного режима течения жидкости в круглых трубах α = 2, для турбулентного режима α = 1,04…1,1.

***



Из уравнения Бернулли для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (S1v1Δt = S2v2Δt) видно, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, которая имеет различные сечения, скорость жидкости больше в более узких местах (где площадь сечения S меньше), а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно увидеть, установив вдоль трубы ряд манометров.

Данный опыт показывает, что в манометрической трубке В, которая прикреплена к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, которые прикреплены к широкой части трубы, что соответствует уравнению Бернулли.

Так как динамическое давление зависит от скорости движения жидкости (газа), то уравнение Бернулли можно использовать для измерения скорости потока жидкости. Принципиально это свойство жидкости для определения скорости потока реализовано в так называемой трубке Пито – Прандтля (обычно ее называют трубкой Пито).

Трубка Пито – Прандтля (см. рис. 2) состоит из двух тонких стеклянных трубок, одна из которых изогнута под прямым углом (Г-образно), а вторая — прямая. Одним из свободных концов каждая трубка присоединена к манометру.

Изогнутая трубка имеет открытый свободный конец, направленный против тока и принимающий напор потока жидкости, а вторая погружена в поток перпендикулярно току, и скорость потока на давление внутри трубки не влияет, т. е.

внутри этой трубки действует лишь статическая составляющая давления жидкости.

1. Разница между давлением в первой трубке (полное давление) и второй трубке (статическое давление), которую показывает манометр, является динамическим давлением, определяемым по формуле:
2. p = ρv2/2.
3. Определив с помощью трубки Пито — Прандтля динамическое давление в потоке жидкости, можно легко вычислить скорость этого потока:
4. v = √(2p0gh/ρ).

Уравнение Бернулли также используют для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, с маленьким отверстием в боковой стенке на некоторой глубине ниже уровня жидкости.

Рассмотрим два сечения (на уровне h1 свободной поверхности жидкости в сосуде и на уровне h1 выхода ее из отверстия) и применим уравнение Бернулли:

ρv12/2 + ρgh1 + p1 = ρv22/2 + ρgh2 + p2,

Так как давления р1 и р2 в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. р1 = р2, то уравнение будет иметь вид

• v12/2 +gh1 = v22/2 +gh2.
• Из уравнения неразрывности мы знаем, что ν1/ν2 = S2/S1, где S1 и S2 — площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если S1значительно превышает S2, то слагаемым ν12/2 можно пренебречь и тогда:
• v2 = √2gh.

Это выражение получило название формулы Торричелли.

Формулу Торричелли можно использовать для подсчета объемного (или массового) расхода жидкости, истекающего из отверстия в сосуде с поддерживаемым постоянно уровнем под действием атмосферного давления.

При этом используется формула Q = vS (для определения массового расхода – m = ρvS), по которой определяется расход жидкости за единицу времени.

1. Если требуется узнать расход жидкости за определенный промежуток времени t, то его определяют, умножив расход за единицу времени на время t.
2. Следует отметить, что такая методика расчета расхода реальной жидкости через отверстие в стенке сосуда дает некоторые погрешности, обусловленные физическими свойствами реальных жидкостей, поэтому требует применения поправочных коэффициентов (коэффициентов расхода).
3. ***

Пример решения задачи на определение расхода жидкости

Определить примерный объемный расход воды, истекающей из отверстия диаметром 10 мм, проделанном в вертикальной стенке широкого сосуда на высоте h = 1 м от верхнего, постоянно поддерживаемого, уровня воды за 10 секунд. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с2. Коэффициент расхода воды через отверстие — µs = 0,62.

• Решение:
• По формуле Торричелли определим скорость истечения воды из отверстия:
• v = √2gh = √2×10×1 ≈ 4,5 м/с.
• Определим расход воды Q за время t = 10 секунд:
• Q = µsvSt = 0,62×4,5×3,14×0,012/4 × 10 ≈ 0,0022 м3 ≈ 2,2 литра.
• ***

На практике расход жидкости в трубопроводах измеряют расходомерами, например, расходомером Вентури. Расходомер Вентури (см рис.

2) представляет собой конструкцию из двух конических патрубков, соединенных цилиндрическим патрубком.

В сечениях основной трубы и цилиндрического патрубка устанавливают трубки-пьезометры, которые фиксируют уровень жидкости, обусловленный полным давлением в потоке.

Это сказывается на скорости движения жидкости по рассматриваемым участкам. Перепад высоты уровня жидкости в пьезометрах позволяет рассчитать среднюю скорость потока жидкости на рассматриваемых участках и вычислить объемный расход по внутреннему сечению трубы.

В расходомерах учитываются потери напора в самом приборе при помощи коэффициента расхода прибора φ.

***

Гидравлические сопротивления



Главная страница

Специальности

Учебные дисциплины

Олимпиады и тесты

Источник: http://k-a-t.ru/gidravlika/7_Bernulli/

Уравнение Бернулли — Всё для чайников

Подробности Категория: Гидравлика

Документальные учебные фильмы. Серия «Физика».

 Даниил Бернулли (Daniel Bernoulli; 29 января (8 февраля) 1700 — 17 марта 1782), швейцарский физик-универсал, механик и математик, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики. Академик и иностранный почётный член (1733) Петербургской академии наук, член Академий: Болонской (1724), Берлинской (1747), Парижской (1748), Лондонского королевского общества (1750). Сын Иоганна Бернулли.

Закон (уравнение) Бернулли является (в простейших случаях) следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:

Здесь

 — плотность жидкости,  — скорость потока,  — высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,  — давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости,  — ускорение свободного падения.

• Уравнение Бернулли также может быть выведено как следствие уравнения Эйлера, выражающего баланс импульса для движущейся жидкости.
• В научной литературе закон Бернулли, как правило, называется уравнением Бернулли(не следует путать с дифференциальным уравнением Бернулли), теоремой Бернулли или интегралом Бернулли.
• Константа в правой части часто называется полным давлением и зависит, в общем случае, от линии тока.

Размерность всех слагаемых — единица энергии, приходящаяся на единицу объёма жидкости.

Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости.

Следует обратить внимание на то, что третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления и не представляет собой запаса какого-либо специального вида энергии («энергии давления»).

Соотношение, близкое к приведенному выше, было получено в 1738 г. Даниилом Бернулли, с именем которого обычно связывают интеграл Бернулли. В современном виде интеграл был получен Иоганном Бернулли около 1740 года.

Для горизонтальной трубы высота постоянна и уравнение Бернулли принимает вид:   .

Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности :   .

Согласно закону Бернулли, полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.

Полное давление состоит из весового , статического и динамического давлений.

Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа.

Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров (например труба Вентури), водо- и пароструйных насосов.

А последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики.

Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю. Для приближённого описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, учитывающих потери на местных и распределенных сопротивлениях.

Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений), в магнитной гидродинамике, феррогидродинамике.

В статье были спользованны материалы Wikipedia

Источник: https://forkettle.ru/vidioteka/estestvoznanie/47-fizika/gidravlika/109-uravnenie-bernulli

Дифференциальное уравнение Бернулли и методы его решения

Дано определение дифференциального уравнения Бернулли. Рассмотрены методы его решения: приведением к линейному уравнению и методом Бернулли. Дан пример подробного решения уравнения методом Бернулли.

Содержание

Решение дифференциального уравнения Бернулли приведением к линейному уравнению ⇓Решение методом Бернулли ⇓Пример решения дифференциального уравнения Бернулли ⇓ Дифференциальное уравнение Бернулли – это уравнение вида:, где n ≠ 0, n ≠ 1, p и q – функции от x.

Рассмотрим дифференциальное уравнение Бернулли: (1)   , где n ≠ 0, n ≠ 1, p и q – функции от x. Разделим его на y n. При y ≠ 0 или n < 0 имеем: (2)   . Это уравнение сводится к линейному с помощью замены переменной: . Покажем это.

По правилу дифференцирования сложной функции:

;

. Подставим в (2) и преобразуем: ; . Это – линейное, относительно z, дифференциальное уравнение. После его решения, при n > 0, следует рассмотреть случай y = 0. При n > 0, y = 0 также является решением уравнения (1) и должно входить в ответ.

Решение методом Бернулли

Рассматриваемое уравнение (1) также можно решить методом Бернулли. Для этого ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций: y = u·v, где u и v – функции от x. Дифференцируем по x: y′ = u′ v + u v′.

Подставляем в исходное уравнение (1): ; (3)   . В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения: (4)   . Уравнение (4) – это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его и находим частное решение v = v(x).

Подставляем частное решение в (3). Поскольку оно удовлетворяет уравнению (4), то выражение в круглых скобках обращается в нуль. Получаем: ; . Здесь v – уже известная функция от x. Это уравнение с разделяющимися переменными.

Находим его общее решение, а вместе с ним и решение исходного уравнения y = uv.

Пример решения дифференциального уравнения Бернулли

Решить уравнение

Решение

На первый взгляд, кажется, что это дифференциальное уравнение не похоже на уравнение Бернулли. Если считать x независимой переменной, а y – зависимой (то есть если y – это функция от x), то это так. Но если считать y независимой переменной, а x – зависимой, то легко увидеть, что это – уравнение Бернулли.

Итак, считаем что x является функцией от y. Подставим     и умножим на   : ; ; (П.1)   . Это – уравнение Бернулли с n = 2. Оно отличается от рассмотренного выше, уравнения (1), только обозначением переменных (xвместо y). Решаем методом Бернулли.

Делаем подстановку: x = u v, где u и v – функции от y. Дифференцируем по y: . Подставим в (П.1): ; (П.2)   . Ищем любую, отличную от нуля функцию v(y), удовлетворяющую уравнению: (П.3)   . Разделяем переменные: ; ; .

Интегрируем по частям: . Подставляем в (П.4): . Возвращаемся к переменной x: ; ; .

Ответ

.

Источник: https://1cov-edu.ru/differentsialnye-uravneniya/bernulli/